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專題4.5 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】 2
【題型2 由部分圖象確定函數y=Asin(ωx+φ)的解析式】 4
【題型3 圖象與性質的綜合應用】 8
【題型4 函數的零點（方程的根）問題】 12
【題型5 三角函數模型】 15
【題型6 函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用】 19
1、函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)結合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義；能借助圖象理解參數ω,φ,A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響
(2)會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型 2023年全國甲卷（文數）：第12題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第10題，5分 函數y=Asin(ωx+φ)是三角函數的重要內容，也是高考的熱點內容，從近幾年的高考情況來看，函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換以及由部分圖象求函數的解析式是高考考察的主要方向，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現，難度不高.
【知識點1 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】
1．函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的作法
作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖：用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z=ωx+φ，由z取來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法：由函數y=sin x的圖象通過變換得到y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
2．三角函數的圖象變換問題的求解方法
解決三角函數圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關鍵如下：
(1)定函數：一定要看準是將哪個函數的圖象變換得到另一個函數的圖象；
(2)變同名：函數的名稱要變得一樣；
(3)選方法：即選擇變換方法.
【知識點2 由部分圖象確定函數解析式的解題方法】
1．由部分圖象確定函數解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的零點的橫坐標，則令即可求出φ.
(2)代入點的坐標.利用一些已知點(最高點、最低點或零點)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導公式變換使其符合要求.
【知識點3 三角函數圖象、性質的綜合應用的解題策略】
1．研究函數y=Asin(ωx+φ)性質的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性質時可將ωx+φ視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題.
2．函數的零點（方程的根）的問題的解題策略
函數的零點（方程的根）的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數，據此進行求解即可.
3．三角函數模型
三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題.
【方法技巧與總結】
1．函數y=Asin(ωx+φ)+k圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度.
【題型1 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】
【例1】（2024·河北保定·三模）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由正弦型函數的圖象變換直接求得答案.
【解答過程】將函數的圖象向左平移個單位長度，
得到函數.
故選：C.
【變式1-1】（2024·陜西西安·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，若函數在區間和上均單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結合正弦函數圖象的平移先求出的解析式，然后結合正弦函數的單調性即可求解．
【解答過程】將函數的圖象向左平移個單位長度后，
得到函數，
令，，
則，，
若函數在區間和上均單調遞增，
則，解得．
故選：A．
【變式1-2】（2024·山東泰安·模擬預測）將函數圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數 的圖象，則（ ）
A． B．在上單調遞增
C．在上的最小值為 D．直線是圖象的一條對稱軸
【解題思路】由平移變換內容得可判斷A；求出的增區間可判斷B；依據的范圍即可求出的值域即可判斷C；根據對稱軸方程求解的對稱軸方程即可判斷D.
【解答過程】對于選項A，由題意，可得，
故A錯誤；
對于選項B，令，，
所以在上單調遞增，故B錯誤；
對于選項C，因為，所以，故，
在上的最小值為0，故C錯誤；
對于選項D，函數的對稱軸方程為，
化簡可得，取，可得，
所以是圖象的一條對稱軸，故D正確.
故選：D.
【變式1-3】（2024·重慶·模擬預測）已知函數，先將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，即可得到函數的圖象．若函數的圖象關于y軸對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據三角函數的圖象變換，得到，由的圖象關于y軸對稱，求得，得到，進而求得的值，得到答案.
【解答過程】先將函數的圖象向右平移個單位長度，
得到的圖象，
再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，
得到的圖象，
因為函數的圖象關于y軸對稱，所以，即，
又因為，所以，所以，
所以．
故選：C．
【題型2 由部分圖象確定函數y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例2】（2024·山西晉中·模擬預測）函數在一個周期內的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是偶函數
D．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是奇函數
【解題思路】由圖得到，，代入周期公式求出，再代入點，結合已知范圍求出，可判斷AB錯誤；由圖象平移變換和三角函數的誘導公式得到C正確，D錯誤.
【解答過程】對于A、B選項：由圖可得，，
因為，
所以，
因為圖象過點，所以，
又，所以，
所以，故A、B錯誤；
對于C、D選項：的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是，
所以為偶函數，故D錯誤，C正確；
故選：C.
【變式2-1】（2024·重慶·三模）已知函數的部分圖像如圖所示，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由圖像以及題意求出的解析式，從而得，，進而依據它們的角的關系結合三角恒等變換公式即可求解.
【解答過程】由圖可知，由可知，
故，又由圖，
故由圖，①，
由圖，②，
又，結合①②可得，故，
所以.
故 .
故選：D.
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，其中，，則（ ）
A． B．
C．直線是圖象的一條對稱軸 D．是圖象的一個對稱中心
【解題思路】根據周期性求出，根據函數過點求出，即可得到函數解析式，再根據余弦函數的性質判斷即可.
【解答過程】依題意，又，所以，解得，
所以，
又函數過點，所以，所以，
又，所以，
所以，故A、B錯誤；
又，所以不是的對稱軸，故C錯誤；
，所以是圖象的一個對稱中心，故D正確.
故選：D.
【變式2-3】（2024·陜西商洛·模擬預測）將函數的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），然后再向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由圖象可得最小正周期，可求，，點的坐標代入函數的解析式，可求解析式，進而利用圖象變換可求函數的解析式.
【解答過程】由圖像可得，函數的最小正周期為，
所以，將點的坐標代入函數的解析式，
且函數在附近遞增，所以.
則，
得.因為，所以當時，，
因此.
函數的圖象向右平移個單位長度，然后橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，
得到函數的解析式為.
故選：B.
【題型3 圖象與性質的綜合應用】
【例3】（2024·重慶·三模）如圖，函數的圖像與軸的其中兩個交點分別為A，B，與y軸交于點C，D為線段的中點，，，則下列說法正確的是（ ）

A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱
C． D．為偶函數
【解題思路】利用三角函數的圖象與性質先含參表示的坐標，由線段關系求解參數得，再判定選項即可.
【解答過程】由題可，則，
有，
，
把代入上式，得，解得(負值舍去)，
，由，解得，
解得，
顯然其周期為，故A錯誤；
當時，，，故B錯誤；
，故C正確；
，顯然是奇函數，故D錯誤.
故選：C.
【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則在下列區間上函數單調遞增的是（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】由的圖象，棱臺三角函數的性質求得，進而得到，結合正弦型函數的性質，即可求解.
【解答過程】由函數的圖象，可得，解得，所以，
所以，又由，即，
可得，即，
因為，所以，所以，
所以，令，
解得，
所以函數的單調增區間是.
故選：C.
【變式3-2】（2024·四川成都·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的編號是（ ）
①函數的圖象關于點成中心對稱；
②函數的解析式可以為；
③函數在上的值域為；
④若把圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，則所得函數是.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【解題思路】由圖可得，由函數的周期求出，再根據函數過點求出，即可得到函數解析式，再根據正弦函數的性質一一分析即可.
【解答過程】由圖可得，，所以，又，解得，
所以，又函數過點，
所以，即，
解得，又，所以，
所以，
對于①，因為，
所以函數的圖象不關于點對稱，故①錯誤；
對于②，因為，
故函數的解析式可以為，即②正確；
對于③，當時，所以，
則，即函數在上的值域為，故③正確；
對于④，把圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變得到，
再將向右平移個單位得到，故④錯誤.
故選：B.
【變式3-3】（2024·遼寧·三模）已知函數，圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．函數的振幅是，初相是
B．若函數的圖象上的所有點向左平移后，對應函數為奇函數，則
C．若函數在上單調遞減，則的取值范圍為
D．若函數的圖象關于中心對稱，則函數的最小正周期的最小值為
【解題思路】根據函數圖象得到，由求出，即可得到，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.
【解答過程】由圖可知，且，即，
又，所以，所以，
故函數的振幅是，初相是，故A錯誤；
將的圖象上的所有點向左平移得到，
依題意，解得，故B錯誤；
若函數在上單調遞減，則，即，則，解得，
又，所以，
又，所以，解得，
即函數在上單調遞減，則的取值范圍為，故C正確；
若函數的圖象關于中心對稱，則，
解得，
又，所以，又函數的最小正周期，顯然沒有最小值，故D錯誤.
故選：C.
【題型4 函數的零點（方程的根）問題】
【例4】（2024·山西晉城·二模）將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據三角函數圖象的平移變換可得，由在上有2個零點得，解之即可求解.
【解答過程】將函數的圖象向右平移個單位長度，
得的圖象， 由，得，
又在上有2個零點，所以，
解得，即實數的取值范圍為.
故選：C.
【變式4-1】（2024·山西長治·一模）已知函數的部分圖象如圖所示，若方程在上有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定的函數圖象，結合五點法作圖求出函數的解析式，再分析在上的圖象性質即可得解.
【解答過程】觀察圖象知，，函數的周期，，
由，得，而，則，
于是，當時，，
當，即，函數單調遞減，函數值從減小到，
當，即時，函數單調遞增，函數值從增大到，
顯然函數的上的圖象關于直線對稱，
方程在上有兩個不相等的實數根，即直線與函數在上的圖象有兩個公共點，
所以實數m的取值范圍是.
故選：B.
【變式4-2】（2024·陜西安康·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上有5個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用三角函數圖象的變換得出，再根據二次函數的性質得出在上有3個零點，法一、利用整體思想及正弦函數的性質得其零點為，根據定義域取值計算即可；法二、利用整體思想得，解不等式即可.
【解答過程】將函數的圖像向左平移個單位長度，
得到函數，再將函數的橫坐標變為原來的倍，
縱坐標不變，得到函數，
所以，因為當時，有2個零點，
所以要使在上有5個零點，則需在上有3個零點.
法一：令，則，
解得，當時，分別對應3個零點，
則，解得.故選A.
法二：因為，所以，
所以，則.
故選:A.
【變式4-3】（2024·天津紅橋·一模）將函數的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移單位，得到函數的部分圖象（如圖所示）．對于，，且，若，都有成立，則下列結論中不正確的是（ ）

A．
B．
C．在上單調遞增
D．函數在的零點為，則
【解題思路】由題意可得函數的圖象在區間上的對稱軸為，再結合可求出，即可判斷A；再根據平移變換和周期變換得原則即可判斷B，再根據正弦函數的圖象和性質分別判斷CD 即可.
【解答過程】對于A，由題意可知函數的圖象在區間上的對稱軸為，
則與關于對稱，
又，結合圖象可得，
所以，又，所以，
所以，故A正確；
對于B，右移個單位得到函數的圖象，
再將其橫坐標縮短為原來的得到的圖象，故B正確；
對于C，由，得，
所以在上不單調，故C錯誤；
對于D，令，則，
函數在上有個零點，
則，，，，，
故，
所以，故D正確；
故選：C．
【題型5 三角函數模型】
【例5】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近位置進倉，轉一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【解題思路】以軸心為坐標原點，與地面平行的直線為軸建立平面直角坐標系，根據題意，求得函數，令時，即可求解.
【解答過程】設座艙距離地面的最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
設函數表示游客離底面的高度，
因為摩天輪的最高點距離地面為，直徑為，且轉一周大約需要，
周期，，所以，
即，
當時，游客在點，其中以為終邊的角為，
所以，
當時，可得
所以，摩天輪的座艙后距離地面高度約為.
故選：A.
【變式5-1】（2024·山西·模擬預測）某質點的位移與運動時間的關系式為，其圖象如圖所示，圖象與軸交點坐標為，與直線的相鄰三個交點的橫坐標依次為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．質點在內的位移圖象為單調遞減
D．質點在內走過的路程為
【解題思路】根據正弦函數周期求判斷A，根據特殊點求解判斷B，根據正弦函數的單調性判斷C，根據正弦函數值域判斷D.
【解答過程】由已知函數圖象得，函數的周期，所以，故A錯誤；
令，所以，又，所以，
因為，所以或.
又，所以，所以.故B錯誤；
由已知得圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線，，
且在內單調遞減，因為，
所以在上單調遞減，故C正確；
由圖象得該質點在內的路程為，故D錯誤.
故選：C.
【變式5-2】（2023·全國·模擬預測）隨著電力的發展與石油的消耗，風力發電越來越受到重視.預計到2025年全球風電新增裝機量達到111.2GW，中國的裝機量占比達到世界第一.已知風速穩定時風力發電機葉片圍繞轉軸中心做勻速圓周運動，現有兩個風力發電機，和分別為兩個風力發電機葉片邊緣一點，和到各自轉軸中心距離均為20米，初始時刻處于所在的發電機轉軸中心正上方，處于所在的發電機轉軸中心正下方，且和圍繞各自發電機轉軸中心做勻速圓周運動.由于兩個發電機所處位置風速不同，點轉速為，點轉速為，以時間（單位：秒）為自變量，和與各自發電機轉軸中心高度差為應變量，分別得三角函數與，下列哪種方式可以使變為（ ）
A．將圖象上所有點向右平移個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的倍
B．將圖象上所有點向左平移個單位長度，再將橫坐標縮小到原來的倍
C．將圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的倍，再向左平移個單位長度
D．將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，再向右平移個單位長度
【解題思路】根據題意，分別列出函數與的解析式，再利用三角函數圖象的變換即可求解.
【解答過程】由題意可知：三角函數與的角速度分別為，，
又因為初始時刻處于所在的發電機轉軸中心正上方，處于所在的發電機轉軸中心正下方，所以，，
由三角函數的變換可知：縱坐標不變，橫坐標縮短縮小到原來的倍得到，再向右平移個單位長度可得到，
故選項正確；
故選：.
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負數）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過分鐘后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好開始入水 D．恰好開始出水
【解題思路】根據題意列出計算式，再用兩角和差公式計算即可.
【解答過程】由題意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再經過分鐘，可得，所以盛水筒在水面上．
在判斷時，可以采用放縮法更為直接，過程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故選：B．
【題型6 函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用】
【例6】（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數
(1)求函數的最小正周期及對稱軸方程；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變 橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，求在[0，2π]上的單調遞減區間.
【解題思路】（1）利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡可得，再根據周期的公式與余弦函數的對稱軸公式求解即可；
（2）根據三角函數圖形變換的性質可得，再根據余弦函數的單調區間求解即可.
【解答過程】（1），
，
所以函數的最小正周期為，
令，，得函數的對稱軸方程為，
（2）將函數的圖象向左平移個單位后所得圖象的解析式為，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的單調遞減區間為.
【變式6-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數.
(1)若時，恒成立，求實數的取值范圍；
(2)將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數的圖象.若，函數有且僅有4個零點，求實數的取值范圍.
【解題思路】（1）利用三角恒等變形，轉化為正弦型函數，然后利用相位整體思想，結合正弦曲線，求出最值，即可得到答案；
（2）根據伸縮和平移變換，得到新的函數解析式，再同樣把相位看成一個整體，利用正弦曲線，數形結合，就可以判定端點值的取值范圍，從而得到解答.
【解答過程】（1）因為，
當時，可得，
當，即時，取得最小值，
因為時，恒成立，所以，
即實數的取值范圍為.
（2）由圖象的橫坐標縮小為原來的，可得：，
再將其向右平移，可得：，
即函數，
因為，所以，在給定區間的正弦函數的零點是，
再由函數有且僅有4個零點，則滿足，
解得，所以實數的取值范圍.
【變式6-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數的圖象可由函數的圖象平移得到，且關于直線對稱．
(1)求的值；
(2)求函數的單調遞增區間．
【解題思路】（1）根據題意求出振幅和周期，再由正顯函數的對稱軸解出，進而得到，再代入解出即可；
（2）先由圖象平移得到，法一換元法整體代入求增區間；法二由正弦函數的遞增區間結合條件中范圍求出即可.
【解答過程】（1）依題知函數與函數有相同的振幅和周期，所以，
因為函數的圖象關于直線軸對稱，
所以，
即，
又因為，所以，
所以，
．
（2）
，
法一：因為，所以，
因為在單調遞增，
故的單調遞增區間為和．
法二：
由，
得，
又因為
所以的單調遞增區間為和．
【變式6-3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，______，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中.①函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱且；②函數的圖象的一個對稱中心為且.
(1)求函數的解析式；
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有3個零點，求t的取值范圍.
【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡可得，根據最小正周期求出，若選①，則根據三角函數的圖象平移變換求得，可得解析式；若選②，則根據三角函數的對稱性求得，即得解析式；
（2）根據三角函數的伸縮變換可得，結合x的取值范圍，確定，結合函數的零點個數即可求得t的取值范圍.
【解答過程】（1）由題意可得
，
，
由于其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，故,
故.
若選①，函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數為，
由題意知該函數為偶函數，故，
由于且，即，故，
故；
若選②，函數的圖象的一個對稱中心為且，
則，
由于且，即，故，
故；
（2）由題意可得，
由于在區間上恰有3個零點，故，
即.
一、單選題
1．（2024·山東青島·三模）為了得到 的圖象，只要把 的圖象上所有的點（ ）
A．向右平行移動 個單位長度 B．向左平行移動 個單位長度
C．向右平行移動 個單位長度 D．向左平行移動 個單位長度
【解題思路】利用誘導公式統一函數名，再根據函數的圖象變換規律，得出結論．
【解答過程】，
由誘導公式可知：
又
則，即只需把圖象向右平移個單位.
故選：A.
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）若函數（）向左正移個單位后在區間上單調遞增，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據圖象平移規律、函數的單調性可得答案.
【解答過程】函數向左平移個單位后為，
當時，，
∵單調遞增，
所以，即，
可得，
又，∴.
故選：B.
3．（2024·四川自貢·三模）函數（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與y軸交于M點，與x軸交于C點，點N在圖象上，點M、N關于點C對稱，下列說法錯誤的是（ ）
A．函數的最小正周期是
B．函數的圖象關于點對稱
C．函數在單調遞增
D．函數的圖象向右平移后，得到函數的圖象，則為奇函數
【解題思路】A選項，根據M、N關于點C對稱得到點橫坐標，從而得到最小正周期；B選項，根據的圖象關于點對稱和最小正周期得到B正確；C選項，求出，將代入解析式求出，，從而利用整體法判斷出在不單調；D選項，求出，得到其奇偶性.
【解答過程】A選項，點M、N關于點C對稱，故，
設的最小正周期為，則，故，A正確；
B選項，可以看出函數的圖象關于點對稱，
又的最小正周期，
故函數的圖象關于點對稱，B正確；
C選項，又，故，
，故將代入解析式得，
解得，
又，故當且僅當時，滿足要求，故，
又當時，，故，
則，
當時，，
由于在上不單調，
故在上不單調，C錯誤；
D選項，，定義域為R，
又，為奇函數，D正確.
故選：C.
4．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）已知函數，給出的下列四個選項中，正確的是（ ）
A．函數的最小正周期是
B．函數在區間上是減函數
C．函數的圖象關于點對稱
D．函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位得到
【解題思路】根據三角恒等式對已知函數進行化簡得，根據周期公式即可求解A，根據整體法，結合正弦函數的單調性即可求解B，代入驗證即可求解C，利用函數圖象的平移變換即可求解D.
【解答過程】
，所以函數的最小正周期是，故A錯誤；
當時，，
又在上單調遞減，所以函數在區間上是減函數，故B正確；
因為，所以函數的圖象不關于點對稱，故C錯誤；
將的圖象向右平移個單位得到，再將向下平移1個單位得到，故D錯誤．
故選：B．
5．（2024·四川成都·三模）在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.在平面直角坐標系下，某個簡諧運動可以用函數（，，）來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結論正確的編號是（ ）
①函數的圖象關于點成中心對稱；
②函數的解析式可以為；
③函數在上的值域為；
④若把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，則所得函數是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【解題思路】根據圖象求出函數表達式，對于①，由代入檢驗法判斷；對于②，由誘導公式檢驗；對于③，由整體代入法求值域檢驗；對于④，由平移、伸縮變換法則驗算即可判斷.
【解答過程】由圖可知，所以，
且，所以，
又因為，所以只能，
所以，
對于①，，故①錯誤；
對于②，，故②正確；
對于③，當時，，此時的取值范圍是，
從而函數在上的值域為，故③正確；
對于④，若把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，
則所得函數是，故④錯誤；
綜上，正確的編號是②③.
故選：B.
6．（2024·陜西安康·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度，再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，可以得到函數的圖象，若在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據圖象的變換求出，再結合三角函數性質求解即可.
【解答過程】將函數的圖象向左平移個單位長度，得到，
再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象，即
因為，所以，
因為在上無零點，所以，
即，解得，
因為，所以，.
故選：A.
7．（2024·山西晉中·模擬預測）如圖所示的音樂噴泉曲線，我們叫葫蘆曲線（像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），每過相同的間隔，它的振幅就變化一次，且過點，其對應的方程為（，），其中為不超過x的最大整數.若該葫蘆曲線上一點N的橫坐標為，則點N的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先代入，求出，從而，再代入，求出點N的縱坐標.
【解答過程】由題意得，即，
所以，
因為，所以，
故，解得，
所以，
將代入得，，
故，
所以點N的縱坐標為.
故選：D.
8．（2024·四川南充·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若是的一個單調遞增區間，則（ ）
A．的最小正周期為 B．函數的最大值為1
C．在上單調遞減 D．方程在上有5個實數根
【解題思路】A選項，根據圖象的平移變換得到，然后根據是的一個遞增區間得到，根據最小正周期的公式計算即可；B選項，利用和差公式和輔助角公式化簡得到，即可得到最大值；C選項，根據復合函數判斷單調性的方法判斷；D選項，將的實數根個數轉化為函數與的圖象交點個數，然后結合圖象判斷.
【解答過程】由題意得，
因為是的一個遞增區間，所以，解得，
因為，所以，，故A錯；
，
所以函數的最大值為，故B錯；
則，因為在上單調遞增，
所以在上單調遞增，故C錯；
的圖象如上，由與的圖象交點可知，在上有5個實數根，故D正確.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·新疆喀什·三模）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．是函數圖象的一條對稱軸
D．函數的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
【解題思路】A由降冪公式，輔助角公式可得答案；
B由周期計算公式可得答案；
C將代入由A選項所得化簡式中可得答案；
D由函數圖象平移知識可得答案．
【解答過程】Ａ選項，，故A正確；
B選項，由A選項結合周期計算公式可知最小正周期為，故B錯誤；
C選項，將代入，在此時得最大值，故是函數圖象的一條對稱軸，故C正確；
D選項，的圖象向右平移個單位得，故D正確．
故選：ACD.
10．（2024·廣西柳州·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，令，則下列說法正確的有（ ）．
A．的一個對稱中心
B．的對稱軸方程為
C．在上的值域為
D．的單調遞減區間為
【解題思路】由題圖可得，根據三角恒等變換可得，再由余弦函數的對稱性、單調性、值域逐項判斷即可．
【解答過程】由題圖可得，，解得．
又，
可得，解得．
因為，所以，所以．
所以
．
對于A，當，，
所以不是的一個對稱中心，故A錯誤；
對于B，令，可得，
故的對稱軸方程為，故B正確；
對于C，時，，所以，
故在上的值域為，故C正確；
對于D，令，解得，
所以的單調遞減區間為，故D正確．
故選：BCD．
11．（2024·廣西南寧·一模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為110米，轉盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個座艙，游客甲從距離地面最近的位置進艙，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速旋轉，開始轉動t分鐘后距離地面的高度為H米，當時，游客甲隨艙第一次轉至距離地面最遠處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，則，下列說法中正確的是（ ）
A．關于的函數是偶函數
B．若在時刻，游客甲距離地面的高度相等，則的最小值為30
C．摩天輪旋轉一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘
D．若甲、乙兩游客分別坐在兩個座艙里，且兩人相隔5個座艙（將座艙視為圓周上的點），則劣弧的弧長米
【解題思路】
對A，先根據題意確定各參數的值，再根據三角函數的奇偶性判斷即可；對B，根據代入解析式可得，或，進而可判斷；對C，求解即可；對D，由題意每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，進而可得劣弧的弧長.
【解答過程】
對A，由題意，，
所以，當時，可得，所以，
故，所以是非奇非偶函數，故A錯誤；
對B，由題意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正確；
對C，由題意，即，即，
所以，，解得.
所以摩天輪旋轉一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘，故C正確；
對D，因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著36個座艙，
故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，
因為兩個座艙相隔5個座艙，所以劣弧對應的圓心角是，
故（m）.故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
12．（2024·湖南邵陽·三模）宋朝詩人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點水的情形，蜻蜓點水會使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似于用函數的圖象來描述，如圖所示，則 ．
【解題思路】利用圖象可以觀察出振幅和周期，也就是能求出，最后通過代入最高點坐標去求即可.
【解答過程】
由題知：，，，即，
又，，故，即．
故答案為：.
13．（2024·安徽池州·模擬預測）筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 3 .
【解題思路】由題意得，，，又時，，代入求值，得到，求出函數解析式，求出答案.
【解答過程】由題意得，又，故，
且，解得，
故，
當時，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案為：3.
14．（2024·四川南充·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若是的一個單調遞增區間，則方程在上實數根的個數為 5 .
【解題思路】根據三角函數圖象變換規律求出，再由是的一個單調遞增區間，可求出的值，從而可求出的解析式，再由得，然后由求解即可.
【解答過程】因為將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，
所以，
所以的最小正周期為，
所以是的半個周期，
因為是的一個單調遞增區間，所以，
所以，得，
因為，所以，
所以，
當時，，
由，得
，或，或，或，或，
所以方程在上實數根的個數為5，
故答案為：5.
四、解答題
15．（2024·云南曲靖·模擬預測）已知函數.
(1)完善下面的表格并作出函數在上的圖象：
0
1
(2)將函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，解不等式.
【解題思路】（1）由表格中所給數據計算得到其他對應數據完善表格；由五點作圖法繪出函數在上的圖象；
（2）函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，由圖象的平移變換得到的解析式，進而得到三角不等式，由正弦函數的圖象和性質解得答案.
【解答過程】（1）表格如下：
0
0
0 1 0
函數在上的圖象如下：
（2）將函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，
則，
所以，即，
則，
得，
所以不等式的解集為.
16．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關于角的函數關系記為.

(1)求的解析式；
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求在的單調遞增區間.
【解題思路】
（1）根據條件得到直線的方程，利于點到直線的距離公式進行計算即可;
（2）根據函數圖象的變換規則得到函數解析式后，整體代入法求解單調區間即可.
【解答過程】（1）可知，
又直線的方程為，
故根據點到直線距離公式，
即.
（2）可知，
由，
得，
所以當時，函數的單調增區間為和.
17．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）如圖為函數 的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，討論函數在區間的零點個數．
【解題思路】（1）由周期求出，根據求出；
（2）首先求出的解析式，函數在區間的零點個數即為函數的圖象與直線在上的交點個數，由的取值范圍，求出的取值范圍，再結合余弦函數的圖象即可得解.
【解答過程】（1）根據題意得，，故，，故．
將代入，得，解得，
又，故．
（2）依題意，．
函數在區間的零點個數即為函數的圖象與直線在上的交點個數．
當時，，結合余弦函數圖象可知，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
且，，，
作出函數在上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當或時，有個零點；
當時，有個零點；
當或時，有個零點．
18．（2024·北京東城·二模）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求的值；
(2)從下列三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，并求函數在上的最大值和最小值.
條件①：函數是奇函數；
條件②：將函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【解題思路】（1）根據題意可得，即可得的值；
（2）若選條件①：根據題意結合三角函數的奇偶性可得，以為整體，結合正弦函數有界性分析求解；若選條件②：根據題意結合圖象變換可得，以為整體，結合正弦函數有界性分析求解；若選條件③：根據題意代入，結合正弦函數值的符號分析判斷.
【解答過程】（1）設的最小正周期為，
由題意可得：，即，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
若選條件①：函數是奇函數，
且，則，
可得，解得，則，
又因為，則，
可知：當，即時，取到最小值；
當，即時，取到最大值；
若選條件②：將函數的圖象向右平移個單位長度后，
得到，
且，則，
可得，解得，則，
又因為，則，
可知：當，即時，取到最小值；
當，即時，取到最大值；
若選條件③：因為，即，
且，則，
可知，即，不合題意，舍去.
19．（2024·安徽合肥·模擬預測）某商場零食區改造，如圖，原零食區是區域，改造時可利用部分為扇形區域，已知，米，米，區域為三角形，區域是以為半徑的扇形，且．
(1)若需在區域外輪廓地面貼廣告帶，求廣告帶的總長度；
(2)在區域中，設置矩形區域作為促銷展示區，求促銷展示區的面積的最大值．
【解題思路】（1）根據弧長公式以及直角三角形的邊角關系即可求解，
（2）根據銳角三角函數可得， ，即可利用面積公式，結合三角恒等變換以及三角函數的性質即可求解最值.
【解答過程】（1）因為，，，
所以，，
則，，的長為，
所以廣告帶的總長度為（米）．
（2）如圖，連接．設．
因為，所以，，
因為，所以，所以，
所以
，
因為，當，即時取得最大值．
所以，
所以促銷展示區的面積的最大值為平方米．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題4.5 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】 2
【題型2 由部分圖象確定函數y=Asin(ωx+φ)的解析式】 3
【題型3 圖象與性質的綜合應用】 5
【題型4 函數的零點（方程的根）問題】 6
【題型5 三角函數模型】 7
【題型6 函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用】 9
1、函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)結合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義；能借助圖象理解參數ω,φ,A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響
(2)會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型 2023年全國甲卷（文數）：第12題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第10題，5分 函數y=Asin(ωx+φ)是三角函數的重要內容，也是高考的熱點內容，從近幾年的高考情況來看，函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換以及由部分圖象求函數的解析式是高考考察的主要方向，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現，難度不高.
【知識點1 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】
1．函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的作法
作函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖：用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z=ωx+φ，由z取來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法：由函數y=sin x的圖象通過變換得到y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
2．三角函數的圖象變換問題的求解方法
解決三角函數圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關鍵如下：
(1)定函數：一定要看準是將哪個函數的圖象變換得到另一個函數的圖象；
(2)變同名：函數的名稱要變得一樣；
(3)選方法：即選擇變換方法.
【知識點2 由部分圖象確定函數解析式的解題方法】
1．由部分圖象確定函數解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的零點的橫坐標，則令即可求出φ.
(2)代入點的坐標.利用一些已知點(最高點、最低點或零點)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導公式變換使其符合要求.
【知識點3 三角函數圖象、性質的綜合應用的解題策略】
1．研究函數y=Asin(ωx+φ)性質的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性質時可將ωx+φ視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題.
2．函數的零點（方程的根）的問題的解題策略
函數的零點（方程的根）的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數，據此進行求解即可.
3．三角函數模型
三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題.
【方法技巧與總結】
1．函數y=Asin(ωx+φ)+k圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度.
【題型1 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】
【例1】（2024·河北保定·三模）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·陜西西安·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，若函數在區間和上均單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2024·山東泰安·模擬預測）將函數圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數 的圖象，則（ ）
A． B．在上單調遞增
C．在上的最小值為 D．直線是圖象的一條對稱軸
【變式1-3】（2024·重慶·模擬預測）已知函數，先將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，即可得到函數的圖象．若函數的圖象關于y軸對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 由部分圖象確定函數y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例2】（2024·山西晉中·模擬預測）函數在一個周期內的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是偶函數
D．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數是奇函數
【變式2-1】（2024·重慶·三模）已知函數的部分圖像如圖所示，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，其中，，則（ ）
A． B．
C．直線是圖象的一條對稱軸 D．是圖象的一個對稱中心
【變式2-3】（2024·陜西商洛·模擬預測）將函數的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），然后再向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 圖象與性質的綜合應用】
【例3】（2024·重慶·三模）如圖，函數的圖像與軸的其中兩個交點分別為A，B，與y軸交于點C，D為線段的中點，，，則下列說法正確的是（ ）

A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱
C． D．為偶函數
【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則在下列區間上函數單調遞增的是（ ）

A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·四川成都·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的編號是（ ）
①函數的圖象關于點成中心對稱；
②函數的解析式可以為；
③函數在上的值域為；
④若把圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，則所得函數是.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【變式3-3】（2024·遼寧·三模）已知函數，圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．函數的振幅是，初相是
B．若函數的圖象上的所有點向左平移后，對應函數為奇函數，則
C．若函數在上單調遞減，則的取值范圍為
D．若函數的圖象關于中心對稱，則函數的最小正周期的最小值為
【題型4 函數的零點（方程的根）問題】
【例4】（2024·山西晉城·二模）將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·山西長治·一模）已知函數的部分圖象如圖所示，若方程在上有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·陜西安康·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上有5個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·天津紅橋·一模）將函數的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移單位，得到函數的部分圖象（如圖所示）．對于，，且，若，都有成立，則下列結論中不正確的是（ ）

A．
B．
C．在上單調遞增
D．函數在的零點為，則
【題型5 三角函數模型】
【例5】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近位置進倉，轉一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【變式5-1】（2024·山西·模擬預測）某質點的位移與運動時間的關系式為，其圖象如圖所示，圖象與軸交點坐標為，與直線的相鄰三個交點的橫坐標依次為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．質點在內的位移圖象為單調遞減
D．質點在內走過的路程為
【變式5-2】（2023·全國·模擬預測）隨著電力的發展與石油的消耗，風力發電越來越受到重視.預計到2025年全球風電新增裝機量達到111.2GW，中國的裝機量占比達到世界第一.已知風速穩定時風力發電機葉片圍繞轉軸中心做勻速圓周運動，現有兩個風力發電機，和分別為兩個風力發電機葉片邊緣一點，和到各自轉軸中心距離均為20米，初始時刻處于所在的發電機轉軸中心正上方，處于所在的發電機轉軸中心正下方，且和圍繞各自發電機轉軸中心做勻速圓周運動.由于兩個發電機所處位置風速不同，點轉速為，點轉速為，以時間（單位：秒）為自變量，和與各自發電機轉軸中心高度差為應變量，分別得三角函數與，下列哪種方式可以使變為（ ）
A．將圖象上所有點向右平移個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的倍
B．將圖象上所有點向左平移個單位長度，再將橫坐標縮小到原來的倍
C．將圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的倍，再向左平移個單位長度
D．將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，再向右平移個單位長度
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負數）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過分鐘后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好開始入水 D．恰好開始出水
【題型6 函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用】
【例6】（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數
(1)求函數的最小正周期及對稱軸方程；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變 橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，求在[0，2π]上的單調遞減區間.
【變式6-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數.
(1)若時，恒成立，求實數的取值范圍；
(2)將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數的圖象.若，函數有且僅有4個零點，求實數的取值范圍.
【變式6-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數的圖象可由函數的圖象平移得到，且關于直線對稱．
(1)求的值；
(2)求函數的單調遞增區間．
【變式6-3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，______，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中.①函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱且；②函數的圖象的一個對稱中心為且.
(1)求函數的解析式；
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有3個零點，求t的取值范圍.
一、單選題
1．（2024·山東青島·三模）為了得到 的圖象，只要把 的圖象上所有的點（ ）
A．向右平行移動 個單位長度 B．向左平行移動 個單位長度
C．向右平行移動 個單位長度 D．向左平行移動 個單位長度
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）若函數（）向左正移個單位后在區間上單調遞增，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川自貢·三模）函數（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與y軸交于M點，與x軸交于C點，點N在圖象上，點M、N關于點C對稱，下列說法錯誤的是（ ）
A．函數的最小正周期是
B．函數的圖象關于點對稱
C．函數在單調遞增
D．函數的圖象向右平移后，得到函數的圖象，則為奇函數
4．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）已知函數，給出的下列四個選項中，正確的是（ ）
A．函數的最小正周期是
B．函數在區間上是減函數
C．函數的圖象關于點對稱
D．函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位得到
5．（2024·四川成都·三模）在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.在平面直角坐標系下，某個簡諧運動可以用函數（，，）來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結論正確的編號是（ ）
①函數的圖象關于點成中心對稱；
②函數的解析式可以為；
③函數在上的值域為；
④若把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，則所得函數是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
6．（2024·陜西安康·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度，再把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，可以得到函數的圖象，若在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西晉中·模擬預測）如圖所示的音樂噴泉曲線，我們叫葫蘆曲線（像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），每過相同的間隔，它的振幅就變化一次，且過點，其對應的方程為（，），其中為不超過x的最大整數.若該葫蘆曲線上一點N的橫坐標為，則點N的縱坐標為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川南充·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若是的一個單調遞增區間，則（ ）
A．的最小正周期為 B．函數的最大值為1
C．在上單調遞減 D．方程在上有5個實數根
二、多選題
9．（2024·新疆喀什·三模）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的最小正周期為
C．是函數圖象的一條對稱軸
D．函數的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
10．（2024·廣西柳州·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，令，則下列說法正確的有（ ）．
A．的一個對稱中心
B．的對稱軸方程為
C．在上的值域為
D．的單調遞減區間為
11．（2024·廣西南寧·一模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為110米，轉盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個座艙，游客甲從距離地面最近的位置進艙，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速旋轉，開始轉動t分鐘后距離地面的高度為H米，當時，游客甲隨艙第一次轉至距離地面最遠處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，則，下列說法中正確的是（ ）
A．關于的函數是偶函數
B．若在時刻，游客甲距離地面的高度相等，則的最小值為30
C．摩天輪旋轉一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘
D．若甲、乙兩游客分別坐在兩個座艙里，且兩人相隔5個座艙（將座艙視為圓周上的點），則劣弧的弧長米
三、填空題
12．（2024·湖南邵陽·三模）宋朝詩人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點水的情形，蜻蜓點水會使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似于用函數的圖象來描述，如圖所示，則 ．
13．（2024·安徽池州·模擬預測）筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
14．（2024·四川南充·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若是的一個單調遞增區間，則方程在上實數根的個數為 .
四、解答題
15．（2024·云南曲靖·模擬預測）已知函數.
(1)完善下面的表格并作出函數在上的圖象：
0
1
(2)將函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，解不等式.
16．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關于角的函數關系記為.

(1)求的解析式；
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求在的單調遞增區間.
17．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）如圖為函數 的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，討論函數在區間的零點個數．
18．（2024·北京東城·二模）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求的值；
(2)從下列三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，并求函數在上的最大值和最小值.
條件①：函數是奇函數；
條件②：將函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
19．（2024·安徽合肥·模擬預測）某商場零食區改造，如圖，原零食區是區域，改造時可利用部分為扇形區域，已知，米，米，區域為三角形，區域是以為半徑的扇形，且．
(1)若需在區域外輪廓地面貼廣告帶，求廣告帶的總長度；
(2)在區域中，設置矩形區域作為促銷展示區，求促銷展示區的面積的最大值．
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