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專題4.6 解三角形【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 正、余弦定理求三角形的邊與角】 4
【題型2 正、余弦定理判定三角形形狀】 6
【題型3 正弦定理判定三角形解的個數】 7
【題型4 證明三角形中的恒等式或不等式】 9
【題型5 和三角形面積有關的問題】 13
【題型6 求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 17
【題型7 距離、高度、角度測量問題】 20
【題型8 求解平面幾何問題】 23
【題型9 三角函數與解三角形的交匯問題】 27
1、三角恒等變換
考點要求 真題統計 考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變形
(2)理解三角形的面積公式并能應用
(3)能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題 (4)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題 2022年新高考全國I卷、Ⅱ卷：第18題，12分 2023年新課標I卷、Ⅱ卷：第17題，10分 2024年新課標I卷、Ⅱ卷：第15題，13分 2024年全國甲卷（文數）：第12題，5分 2024年全國甲卷（理數）：第11題，5分 解三角形是高考的重點、熱點內容，是每年高考必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，正弦定理、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，也會出現在解答題中，在高考試題中出現有關解三角形的試題大多數為較易題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應用；二是考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應用，有時也會與三角函數、平面向量等知識綜合命題，需要學生靈活求解.
【知識點1 解三角形幾類問題的解題策略】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.
2．判定三角形形狀的途徑：
(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；
(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.
無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.
3．對三角形解的個數的研究
已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.
已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三
角形不能被唯一確定.
(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知
a,b和A，解三角形為例加以說明.
由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：
①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數為0；
②若B==1，則滿足條件的三角形的個數為1；
③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數為1或2.
顯然由0角形內角和等于”等，此時需進行討論.
4．與三角形面積有關問題的解題策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；
(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.
【知識點2 測量問題的基本類型和解決思路】
1．測量距離問題的基本類型和解決方案
當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：
類型 簡圖 計算方法
A,B間不可達也不可視 測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得
B, C與點A可視但不可達 測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D與點A,B均可視不可達 測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
2．測量高度問題的基本類型和解決方案
當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：
類型 簡圖 計算方法
底部
可達 測得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可達 點B與C,D共線 測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
點B與C , D不共線 測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.
3．測量角度問題的解決方案
測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方
位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知識點3 解三角形的應用的解題策略】
1．平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.
2．解三角形與三角函數的綜合應用
解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面：
(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形；
(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.
【方法技巧與總結】
1．三角形中的三角函數關系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cos(A+B)=-cosC；
(3)；
(4).
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
3．在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，
.
【題型1 正、余弦定理求三角形的邊與角】
【例1】（2024·浙江紹興·三模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則A等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】本題先根據誘導公式對條件式進行化簡，再用余弦定理進行邊角互化，即可得出答案.
【解答過程】因為，所以，
即，
如圖，過B點作于D，可知，
，
所以，
所以，又，所以.
故選：D.
【變式1-1】（2024·河南鄭州·三模）的內角所對的邊分別為．若，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【解題思路】直接由余弦定理的變形式解出即可.
【解答過程】在中，由余弦定理可得：，
化簡得：，解得：或（舍）.
故選：A.
【變式1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運用正弦定理進行邊角互化，結合誘導公式以及兩角和的正弦公式即可解決.
【解答過程】因為，
由正弦定理，
因為，
展開化簡，
又.
故選:B.
【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且，若，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【解題思路】利用正弦定理和三角恒等變換的化簡計算可得，結合余弦定理計算即可求解.
【解答過程】，
由正弦定理得，
又，所以，
即，
得，即，
又，所以，而，
由余弦定理得.
故選：A.
【題型2 正、余弦定理判定三角形形狀】
【例2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【解題思路】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.
【解答過程】，
即，故，
，
因為，所以，故，
因為，所以，
故為等腰直角三角形.
故選：D.
【變式2-1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解題思路】根據給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結合二倍角公式求解即得.
【解答過程】在中，由及正弦定理得，而，
整理得，即，而，
則，因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故選：C.
【變式2-2】（2024·山東·二模）在中，設內角的對邊分別為，設甲：，設乙：是直角三角形，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【解題思路】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【解答過程】在中，由正弦定理及，得，
即，整理得，
由正弦定理得，則或，即或，
因此甲：或，顯然甲不能推乙；
乙：是直角三角形，當角或是直角時，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.
故選：D.
【變式2-3】（2023·甘肅酒泉·三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解題思路】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡已知等式可得，即可判斷的形狀．
【解答過程】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
則，即
或為等腰三角形或直角三角形．
故選：D.
【題型3 正弦定理判定三角形解的個數】
【例3】（2024·福建·模擬預測）在中，已知，，若有兩解，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正弦定理及圖形關系得到即可得到答案.
【解答過程】

如上圖所示，要使有兩解，則以為圓心，為半徑的圓與射線有兩個交點，
有兩解的充要條件為，代入題設得.
故選：C.
【變式3-1】（2023·貴州·模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由正弦定理結合已知，可推得.進而根據三角形解得個數推得，即可得出答案.
【解答過程】由正弦定理可得，.
要使有兩解，即有兩解，則應有，且，
所以，
所以.
故選：B．
【變式3-2】（2023·浙江·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用正弦定理推出，根據三角形有兩解，確定角A的范圍，從而結合的取值范圍求得答案.
【解答過程】由正弦定理得，所以,
因為該三角形有兩解，故,
故，即，
故選：B.
【變式3-3】（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由正弦定理可得，分析可知關于A的方程：在有兩解，結合正弦函數圖象分析求解.
【解答過程】由正弦定理可得，
由題意可知：關于A的方程：在有兩解，
在同一坐標系內分別作出曲線，和水平直線，

因為它們有兩個不同的交點，所以，所以.
故選：C.
【題型4 證明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2024·全國·模擬預測）在中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，．
(1)求證：．
(2)若，求證：．
【解題思路】（1）分別在，，中，利用正弦定理即可得證；
（2）設，則，，在，中，利用正弦定理即可得證.
【解答過程】（1）如圖．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因為，
所，所以．
由可知，均為銳角．
由（1）知，．
設，則，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
【變式4-1】（2024·北京西城·二模）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，證明：.
【解題思路】(1)利用降冪公式化簡已知條件，求出tanB即可求出B；
(2)結合余弦定理和已知條件即可證明．
【解答過程】（1）在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∴．
由余弦定理得①，
∵，∴②，
將②代入①，得，
整理得，∴．
【變式4-2】（2024·廣東·二模）如圖，已知△ABC內有一點P，滿足．
(1)證明：．
(2)若，，求PC．
【解題思路】（1）由正弦定理得，即，即要證明即可，由此利用三角形內角和證明可得結論；
（2）由題意求得，繼而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.
【解答過程】（1）證明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要證明，只需證明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，又因為，，
所以，
由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，
則，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由題意知，
故解得，
所以．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）在中，，且，，均為整數．
(1) 求的大小；
(2) 設的中點為，求證：．
【解題思路】(1) 從角入手，根據條件確定，結合為整數，通過假設法，得到的值，也就確定了角大小.
(2) 首先利用角和角和的正切展開式，確定角和角滿足的等式，再結合，均為整數，確定，的值，最后利用解三角形知識證明即可.
【解答過程】(1) 因為，所以為銳角，則，
若，且在內單調遞增，
．
又都大于，與矛盾，
，即．
(2) 證明：．
又，
即．
由均為整數，且，
得，
可得，
則.
設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
由正弦定理，
可得
又的中點為．
在中，由余弦定理，得
，
，即證．
【題型5 和三角形面積有關的問題】
【例5】（2024·西藏·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分線交于點，且，，求的面積．
【解題思路】（1）先應用正弦定理，再結合兩角和差公式計算求值即可；
（2）先應用角平分線表示面積求出,最后應用面積公式計算.
【解答過程】（1）由正弦定理及，得，
所以，
整理，得．
因為，所以，即．
因為，所以．
（2）因為為的平分線，所以，
即，
化簡，得，
由，得，
所以
．
【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形滿足，點在的兩側，，，為正三角形，設.

(1)當時，求；
(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.
【解題思路】（1）在中，由余弦定理可得的值；
（2）由余弦定理可得的表達式，進而求出正三角形的面積的表達式，進而求出四邊形的面積的表達式，由輔助角公式及的范圍，可得四邊形面積的范圍．
【解答過程】（1）因為，，，
由余弦定理可得：.
（2）由余弦定理可得，
因為為正三角形，所以，
，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
故當時，四邊形面積的最大值為.
【變式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）請在①，②，③三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并完成解答．
的內角所對的邊分別是，已知______．
(1)求角；
(2)若，點在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長的值．
【解題思路】（1）選①，利用余弦定理求解即得；選②，利用正弦定理邊化角，結合和角的正弦求解即得；選③，利用誘導公式及二倍角公式，結合輔助角公式計算即得.
（2）利用三角形面積公式建立方程求解即得.
【解答過程】（1）選①，由及余弦定理，得，
整理得，則，
而，所以.
選②由及正弦定理，得，
，而，則，
即，又，所以．
選③，由，得，即，
于是，即，而，
所以，即.
（2）在中，由點在邊上，為的平分線，得，
即，則，
又，聯立消去得，
而，解得，所以邊長．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求.
(2)求面積的取值范圍.
【解題思路】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.
（2）利用正弦定理得，結合為銳角三角形，求得，進而求得，即可求解.
【解答過程】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.
又，所以由正弦定理，得.
又為銳角三角形，所以.
方法二：由題意知，.
由正弦定理得，
所以，
所以，即；
又因為，所以，又因為，所以.
（2）由正弦定理，得 ；
因為為銳角三角形，所以，
解得，所以，所以.
因為，所以，所以.
故面積的取值范圍為.
【題型6 求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】
【例6】（2024·江西·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別記為，，，且．
(1)若，求的大小．
(2)若，求的取值范圍．
【解題思路】（1）由，得，再利用兩角和差的正余弦公式化簡，進而可求得的關系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出，再根據的關系結合三角函數的性質即可得解.
【解答過程】（1）因為，所以，
即，
即，
所以，即，
而，所以或，
所以或（舍去），
又因為，所以，
所以；
（2）由（1）得，
因為，
所以，
，
則，
又由，得，
所以，所以，
所以.
【變式6-1】（2024·安徽淮北·二模）記的內角的對邊分別為，已知
(1)試判斷的形狀；
(2)若，求周長的最大值.
【解題思路】（1）根據題意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；
（2）由（1）和，得到，則周長為，結合三角函數的性質，即可求解.
【解答過程】（1）解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周長為，
因為，可得，
所以，當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.
【變式6-2】（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，內角A，，所對的邊分別為，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范圍．
【解題思路】（1）利用正、余弦定理進行邊角轉化，即可得結果；
（2）利用正弦定理結合三角恒等變換整理得，結合正弦函數性質分析求解.
【解答過程】（1）設的外接圓半徑為．
由正弦定理，得，，．
因為，則，
整理得，
由余弦定理得，即，
又因為，則，可得，所以．
（2）由正弦定理可得，
則
因為是銳角三角形，則，解得，
則，可得，
所以的取值范圍是．
【變式6-3】（2023·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【解題思路】（1）根據正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根據正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長的取值范圍.
【解答過程】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因為，
所以；
（2）銳角中，，，
由正弦定理得：，
故，
則
，
因為銳角中，，
則，，
解得：，
故，，
則，
故，
所以三角形周長的取值范圍是.
【題型7 距離、高度、角度測量問題】
【例7】（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
【解題思路】現從四棱錐中提取兩個直角三角形和的邊角關系，進而分別解出兩個三角形邊的長，求出來雁塔AB的高度即可.
【解答過程】過點作，交于點，
在直角三角形中，因為，
所以，
在直角三角形中，因為，
所以，
則.
故選：B.
【變式7-1】（2024·貴州·模擬預測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路，是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現存建筑是宣統元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數據：，）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
利用正弦定理在中取得的長，根據正切函數的定，可得答案.
【解答過程】
由題意可知，，，所以，又因，
由正弦定理，可得：，解得，
又因為，所以，
故選:C.
【變式7-2】（23-24高一下·浙江溫州·期中）如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進到達處，在處測得對于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解.
【解答過程】因為，所以，
在中，由正弦定理得，
又，
解得，
在中，由正弦定理得，
解得，
即，
所以.
故選：.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）小明同學為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（，，三點共線）處測得樓頂，教堂頂的仰角分別是和，在樓頂處測得塔頂的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
先在中求得的長度，再在中利用正弦定理求得的長度，進而在中，求得索菲亞教堂的高度.
【解答過程】 ，
由題意知：，所以，
在中， （m），
在中，由正弦定理得 ，
所以 （m），
在中，（m）.
故選：A.
【題型8 求解平面幾何問題】
【例8】（2023·河南·模擬預測）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；
(2)證明：．
【解題思路】（1）設，根據面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進而求出，從而求出的值；
（2）在中，由正弦定理得，結合（1）中，由角的范圍得到.
【解答過程】（1）設，
因為的面積為，
所以，解得，
所以．
在中，由余弦定理得 ，
所以．
在中，，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
在中，由正弦定理得，
所以，且．
由（1）可得，又，
所以．
【變式8-1】（2023·河南信陽·模擬預測）在中，，的面積為，為的中點，于點于點.

(1)求的面積；
(2)若，求的值.
【解題思路】（1）由題意，可得，，作于點，于點，可得，，代入上式得解；
（2）延長到點，使，連接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得結果.
【解答過程】（1）在四邊形中，，，
故，
故，
作于點，于點，

又為的中點，
則，
，
故.
（2）設的三條邊，，分別為，，，
由，知，
延長到點，使，連接，
則，，
則在中，，，
故由與可得，，則，
，則，
由正弦定理得，
則.
【變式8-2】（2024·陜西西安·一模）已知平面四邊形的對角線分別為，，其中．
(1)探究：是否為直角三角形；若是．請說明哪個角為直角，若不是，請給出相關理由；
(2)記平面四邊形的面積為S，若，且恒有，求實數λ的取值范圍．
【解題思路】
（1）先將等式中的正切化為正弦再化簡，結合三角形內角和為，將轉化為，結合誘導公式以及兩角和的正弦化簡可得出結果.
（2）由可知四邊形為梯形，將梯形的面積公式用表示，根據的范圍求出梯形面積的范圍，從而求出λ的取值范圍.
【解答過程】（1）（1）因為，
則有，
在平面四邊形中，，
所以，
在中，，所以
，
即，所以，即，
為直角三角形，且為直角.

（2）因為，且，可知且，即四邊形為梯形，
不妨設梯形的高為，則有，
則，
，則，則，
恒成立，則.
【變式8-3】（2023·山西呂梁·二模）如圖，在平面四邊形中，，，的平分線交于點，且．

(1)求及；
(2)若，求周長的最大值．
【解題思路】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，從而求出∠AEB的大小，從而求出∠ABE的大小，再根據BE是∠ABD的平分線可得△BDE是等腰三角形，從而可得DE長度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；
（2）設，．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的關系式，，再結合基本不等式即可求出m＋n的最大值，從而可求△BCD周長的最大值．
【解答過程】（1）在中，由正弦定理得，
又，則，
于是，
∵為角平分線，∴，∴，∴，
在中，根據余弦定理得，
∴．
（2）設，．在中，
由余弦定理得，
即有，即，
∴，
當且僅當時，“＝”成立．
∴周長的最大值為．
【題型9 三角函數與解三角形的交匯問題】
【例9】（2023·湖南·模擬預測）已知函數.
(1)求函數的定義域和值域；
(2)已知銳角的三個內角分別為A，B，C，若，求的最大值.
【解題思路】（1）先化簡，然后利用真數大于0可得，即可求出定義域，繼而求出值域；
（2）先利用（1）可得，結合銳角三角形可得，然后利用正弦定理進行邊變角即可求出答案
【解答過程】（1） ，
所以要使有意義，
只需，即，
所以，解得
所以函數的定義域為，
由于，所以，
所以函數的值域為；
（2）由于，所以，
因為，所以，所以即，
由銳角可得，所以，
由正弦定理可得 ，
因為，所以所以，
所以的最大值為2.
【變式9-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得的單調遞減區間.
（2）利用余弦定理求得，結合三角函數值域的求法求得的取值范圍.
【解答過程】（1）
令，則
所以，單調減區間是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，則，，
，所以.
【變式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函數的部分圖象如圖所示．

（1）求函數的解析式；
（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．
【解題思路】（1）根據圖形求出最小正周期可求得，代入點可求得；
（2）根據求得，根據面積求出，即可由余弦定理求得.
【解答過程】解：（1）據圖象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由題意得的面積為，解得，
由余弦定理得，解得：.
【變式9-3】（2024·北京·三模）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
【解題思路】利用三角恒等變換整理可得，結合最小正周期分析求解；
以為整體，結合正弦函數最值可得.若選條件①：利用正弦定理結合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數分析求解；若選條件②：利用正弦定理結合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數分析求解；若選條件③：利用面積公式、余弦定理可得，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換可得，結合正弦函數分析求解.
【解答過程】（1）由題意可知：，
因為函數的最小正周期為，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因為，則，
可知當，即時，取到最大值3，即.
若條件①：因為，
由正弦定理可得，
又因為，
可得，且，則，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若條件②；因為，
由正弦定理可得：，
則，
因為，則，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若選③：因為，則，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為.
一、單選題
1．（2024·江西贛州·二模）記的內角A，B，C的對邊分別為，，，若，，則A＝（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件得，又余弦定理可得，結合，即可求解
【解答過程】由有，即，
又因為，上式可化為，
又余弦定理得，所以，
又因為，所以.
故選：A.
2．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，， ，則外接圓的半徑為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得外接圓的半徑．
【解答過程】因為，， ，由余弦定理可得：，
設外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，則．
故選：B．
3．（2024·北京海淀·二模）在中，，則的長為（ ）
A．6或 B．6 C． D．3
【解題思路】根據余弦定理即可求解.
【解答過程】由余弦定理可得,
故或，
故選：A.
4．（2024·寧夏銀川·三模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若有兩解，則c的取值可能為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】由題意可得，計算即可得.
【解答過程】由題意可得，即.
故選：A.
5．（2024·重慶·模擬預測）記的內角的對邊分別為，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用余弦定理求得，進而利用三角形的面積公式求得正確答案.
【解答過程】由余弦定理得，即，解得，
所以三角形的面積為.
故選：A.
6．（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】根據圖形，利用直角三角形求解即可.
【解答過程】由題意，
而，
所以.
故選：D.
7．（2024·四川成都·模擬預測）設銳角的三個內角的對邊分別為，且，則的取值范圍為 （ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正弦定理，轉化為三角函數，化簡后換元，根據二次函數的單調性求范圍即可.
【解答過程】在中，由可得，
由正弦定理得：
又為銳角三角形，所以，解得，
令，則，
因為在時單調遞增，
所以，則.
故選：C.
8．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解題思路】根據余弦定理得、，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.
【解答過程】在中，由余弦定理得，
即，得①，
在中，由余弦定理得，
即，得②，
又，
所以③，
由②①，得，由，
得，代入③得.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且，則恰有一解.
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
【解題思路】根據正弦定理，判斷三角形的解的個數，即可判斷AB，根據余弦定理和三邊的關系，即可判斷CD.
【解答過程】A選項：由正弦定理，，，
且，則，選項A正確；
選項B：，所以無解，故B錯誤；
C選項：①為最大邊：，且，此時；
②為最大邊：，且，此時，選項C錯誤；
D選項：，且，所以，選項D正確；
故選；AD.
10．（2024·福建泉州·模擬預測）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，的面積，則以下說法正確的是（ ）
A．
B．的周長的最大值為6
C．若，則為正三角形
D．若邊上的中線長等于，則
【解題思路】根據條件對數量積進行表示同時表示面積即可求出角A，由余弦定理結合基本不等式即可判斷B，C，利用中線公式結合余弦定理與三角形面積公式計算即可判斷D．
【解答過程】對于A，，
即可得到，又，所以，故A項錯誤．
對于B，由余弦定理，
利用基本不等式可知，
所以，當且僅當時取等號，此時周長最大值為6，故B項正確．
對于C，由B項可知當時，，
則，故為正三角形，故C項正確．
對于D，設邊上的中線為，
設，在中，，
在中，，
聯立可解得，
則，故D項錯誤．
故選：BC.
11．（2024·河北邯鄲·三模）已知的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若為邊的中點，且，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若角的平分線與邊相交于點，且，則的最小值為10
【解題思路】借助面積公式與余弦定理由題意可得，對A：借助三角恒等變換公式可將其化為正弦型函數，借助正弦型函數的單調性即可得；對B：借助向量數量積公式與基本不等式即可得；對C：借助正弦定理可將其化為與角有關的函數，結合角度范圍即可得解；對D：借助等面積法及基本不等式計算即可得.
【解答過程】由題意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
對A，
，
，，，
的取值范圍為，故A正確；
對B，為邊的中點，，
則，
，當且僅當時，等號成立，
，故B正確；
對于C，，
是銳角三角形，，
，，故C正確；
對于D，由題意得，
即，
整理得，即，
，
當且僅當時，等號成立，故D錯誤．
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024·新疆·三模）在中，，.則 .
【解題思路】根據正弦定理及余弦定理可得，再由誘導公式及二倍角正弦公式求解.
【解答過程】由正弦定理，，
所以由可得，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
13．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）海寶塔位于銀川市興慶區，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂的仰角為，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂的仰角為，據此可估計海寶塔的高度約為 m.（計算結果精確到0.1）

【解題思路】如圖，由三角形的外角和可得，進而求出BD，設m，利用勾股定理求出DG，即可求出DC.
【解答過程】如圖，設海寶塔塔底中心為點，與交于點，
過點作于點，則，

由題意知，m，m，
所以，則，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，設m，則m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海寶塔的高度為m.
故答案為：.
14．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，平面四邊形中，，則四邊形面積的最大值為 10 .
【解題思路】設，利用余弦定理求出，進而可求出，再根據換元，結合三角函數的性質即可得解.
【解答過程】設，
則，
而，
則，
所以，
令，則，
則
，其中，
當且僅當時取等號，
此時，即，
所以四邊形面積的最大值為10.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·云南·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，且滿足.
(1)求角；
(2)為邊上一點，，且，求.
【解題思路】（1）利用給定條件結合二倍角公式得到，再根據同角三角函數化簡運算得到，求解角度即可.
（2）先利用正弦定理求，利用余弦定理求，再利用余弦定理求解即可.
【解答過程】（1）由，得，
即，，即.
又，，則角為.
（2）易知，在中，
由正弦定理得；在中，同理.
又，代入得：，
根據余弦定理得，所以.
16．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，角的對邊分別是．
(1)求證：；
(2)若，面積為1，求邊的長．
【解題思路】（1）根據題中等式利用同角三角函數商關系公式，兩角和的正弦公式，三角和內角和定理，正弦定理化簡得到結果；
（2）利用（1）的結果計算，再利用三角形面積公式計算出，最后利用余弦定理計算出；
【解答過程】（1）證明：根據，以及，，
得，．
所以，即，
根據，得．
所以，
由正弦定理，得，因此．
（2）由（1）知，，，
，
所以，得，，
又，
所以由余弦定理得．
17．（2024·安徽合肥·三模）如圖，某人開車在山腳下水平公路上自向行駛，在處測得山頂處的仰角，該車以的速度勻速行駛4分鐘后，到達處，此時測得仰角，且.
(1)求此山的高的值；
(2)求該車從到行駛過程中觀測點的仰角正切值的最大值．
【解題思路】（1）設，由銳角三角函數表示出、，再在中利用余弦定理計算可得；
（2）設是線段上一動點，連接，即可得到點處觀測點的仰角為，且，求出的最小值，即可得解.
【解答過程】（1）設，在中，因為，所以，
同理，在中，，
在中，由余弦定理得，
由，所以，解得（負值已舍去），所以此山的高為 ；
（2）由（1）得，設是線段上一動點，連接，
則在點處觀測點的仰角為，且，
因為，，所以，
當時，最短，記最小值為，由，
即，解得，所以，
所以該車從到行駛過程中觀測點仰角正切值的最大值為．
18．（2024·遼寧·模擬預測）已知的內角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．
【解題思路】（1）根據正弦定理角化邊，結合余弦定理，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出的表達式，根據為銳角三角形確定B的范圍，求出三角形周長的表達式并化簡，結合正切函數性質，即可求得答案.
【解答過程】（1）由題意知中，，
即，即，
故，而；
（2）由（1）知，而，
故由正弦定理得，則
，
由為銳角三角形，則，則，
故的周長
，
而，故，
故的周長的取值范圍為.
19．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）某公園計劃改造一塊四邊形區域ABCD鋪設草坪，其中百米，百米，，，草坪內需要規劃4條人行道DM、DN、EM、EN以及兩條排水溝AC、BD，其中M、N、E分別為邊BC、AB、AC的中點．
(1)若，求排水溝BD的長；
(2)若，試用表示4條人行道的總長度．
【解題思路】（1）在中，求出，，利用和差公式求，再由余弦定理可得；
（2）設，利用正弦定理求得，，由和可得，，分別在，中求出，然后可得答案.
【解答過程】（1）因為，百米，百米，
所以百米，所以，
又，，所以為等腰直角三角形，
所以百米，
因為，
所以在中，由余弦定理得百米.
（2）因為M、N、E分別為邊BC、AB、AC的中點，
所以百米，百米，
設，其中，
在中，由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
連接，則，
在中，，，
由余弦定理得
，
在中，，，
由余弦定理得
，
所以4條人行道的總長度為百米.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題4.6 解三角形【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 正、余弦定理求三角形的邊與角】 4
【題型2 正、余弦定理判定三角形形狀】 4
【題型3 正弦定理判定三角形解的個數】 5
【題型4 證明三角形中的恒等式或不等式】 6
【題型5 和三角形面積有關的問題】 7
【題型6 求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 8
【題型7 距離、高度、角度測量問題】 9
【題型8 求解平面幾何問題】 11
【題型9 三角函數與解三角形的交匯問題】 13
1、三角恒等變換
考點要求 真題統計 考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變形
(2)理解三角形的面積公式并能應用
(3)能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題 (4)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題 2022年新高考全國I卷、Ⅱ卷：第18題，12分 2023年新課標I卷、Ⅱ卷：第17題，10分 2024年新課標I卷、Ⅱ卷：第15題，13分 2024年全國甲卷（文數）：第12題，5分 2024年全國甲卷（理數）：第11題，5分 解三角形是高考的重點、熱點內容，是每年高考必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，正弦定理、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，也會出現在解答題中，在高考試題中出現有關解三角形的試題大多數為較易題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應用；二是考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應用，有時也會與三角函數、平面向量等知識綜合命題，需要學生靈活求解.
【知識點1 解三角形幾類問題的解題策略】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.
2．判定三角形形狀的途徑：
(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；
(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.
無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.
3．對三角形解的個數的研究
已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.
已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三
角形不能被唯一確定.
(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知
a,b和A，解三角形為例加以說明.
由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：
①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數為0；
②若B==1，則滿足條件的三角形的個數為1；
③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數為1或2.
顯然由0角形內角和等于”等，此時需進行討論.
4．與三角形面積有關問題的解題策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；
(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.
【知識點2 測量問題的基本類型和解決思路】
1．測量距離問題的基本類型和解決方案
當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：
類型 簡圖 計算方法
A,B間不可達也不可視 測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得
B, C與點A可視但不可達 測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D與點A,B均可視不可達 測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
2．測量高度問題的基本類型和解決方案
當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：
類型 簡圖 計算方法
底部
可達 測得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可達 點B與C,D共線 測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
點B與C , D不共線 測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.
3．測量角度問題的解決方案
測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方
位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知識點3 解三角形的應用的解題策略】
1．平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.
2．解三角形與三角函數的綜合應用
解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面：
(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形；
(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.
【方法技巧與總結】
1．三角形中的三角函數關系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cos(A+B)=-cosC；
(3)；
(4).
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
3．在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，
.
【題型1 正、余弦定理求三角形的邊與角】
【例1】（2024·浙江紹興·三模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則A等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·河南鄭州·三模）的內角所對的邊分別為．若，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【變式1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且，若，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【題型2 正、余弦定理判定三角形形狀】
【例2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【變式2-1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式2-2】（2024·山東·二模）在中，設內角的對邊分別為，設甲：，設乙：是直角三角形，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【變式2-3】（2023·甘肅酒泉·三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【題型3 正弦定理判定三角形解的個數】
【例3】（2024·福建·模擬預測）在中，已知，，若有兩解，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·貴州·模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·浙江·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 證明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2024·全國·模擬預測）在中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，．
(1)求證：．
(2)若，求證：．
【變式4-1】（2024·北京西城·二模）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，證明：.
【變式4-2】（2024·廣東·二模）如圖，已知△ABC內有一點P，滿足．
(1)證明：．
(2)若，，求PC．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）在中，，且，，均為整數．
(1) 求的大小；
(2) 設的中點為，求證：．
【題型5 和三角形面積有關的問題】
【例5】（2024·西藏·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分線交于點，且，，求的面積．
【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面內，四邊形滿足，點在的兩側，，，為正三角形，設.

(1)當時，求；
(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.
【變式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）請在①，②，③三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并完成解答．
的內角所對的邊分別是，已知______．
(1)求角；
(2)若，點在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長的值．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）記銳角三角形的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求.
(2)求面積的取值范圍.
【題型6 求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】
【例6】（2024·江西·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別記為，，，且．
(1)若，求的大小．
(2)若，求的取值范圍．
【變式6-1】（2024·安徽淮北·二模）記的內角的對邊分別為，已知
(1)試判斷的形狀；
(2)若，求周長的最大值.
【變式6-2】（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，內角A，，所對的邊分別為，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范圍．
【變式6-3】（2023·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【題型7 距離、高度、角度測量問題】
【例7】（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·貴州·模擬預測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路，是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現存建筑是宣統元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數據：，）（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（23-24高一下·浙江溫州·期中）如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進到達處，在處測得對于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）小明同學為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（，，三點共線）處測得樓頂，教堂頂的仰角分別是和，在樓頂處測得塔頂的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 求解平面幾何問題】
【例8】（2023·河南·模擬預測）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；
(2)證明：．
【變式8-1】（2023·河南信陽·模擬預測）在中，，的面積為，為的中點，于點于點.

(1)求的面積；
(2)若，求的值.
【變式8-2】（2024·陜西西安·一模）已知平面四邊形的對角線分別為，，其中．
(1)探究：是否為直角三角形；若是．請說明哪個角為直角，若不是，請給出相關理由；
(2)記平面四邊形的面積為S，若，且恒有，求實數λ的取值范圍．
【變式8-3】（2023·山西呂梁·二模）如圖，在平面四邊形中，，，的平分線交于點，且．

(1)求及；
(2)若，求周長的最大值．
【題型9 三角函數與解三角形的交匯問題】
【例9】（2023·湖南·模擬預測）已知函數.
(1)求函數的定義域和值域；
(2)已知銳角的三個內角分別為A，B，C，若，求的最大值.
【變式9-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【變式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函數的部分圖象如圖所示．

（1）求函數的解析式；
（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．
【變式9-3】（2024·北京·三模）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
一、單選題
1．（2024·江西贛州·二模）記的內角A，B，C的對邊分別為，，，若，，則A＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，， ，則外接圓的半徑為（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·北京海淀·二模）在中，，則的長為（ ）
A．6或 B．6 C． D．3
4．（2024·寧夏銀川·三模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若有兩解，則c的取值可能為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·重慶·模擬預測）記的內角的對邊分別為，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·模擬預測）設銳角的三個內角的對邊分別為，且，則的取值范圍為 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多選題
9．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，且已知，則（ ）
A．若，且有兩解，則的取值范圍是
B．若，且，則恰有一解.
C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是
D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是
10．（2024·福建泉州·模擬預測）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，的面積，則以下說法正確的是（ ）
A．
B．的周長的最大值為6
C．若，則為正三角形
D．若邊上的中線長等于，則
11．（2024·河北邯鄲·三模）已知的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若為邊的中點，且，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若角的平分線與邊相交于點，且，則的最小值為10
三、填空題
12．（2024·新疆·三模）在中，，.則 .
13．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）海寶塔位于銀川市興慶區，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂的仰角為，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂的仰角為，據此可估計海寶塔的高度約為 m.（計算結果精確到0.1）

14．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，平面四邊形中，，則四邊形面積的最大值為 .
四、解答題
15．（2024·云南·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，且滿足.
(1)求角；
(2)為邊上一點，，且，求.
16．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，角的對邊分別是．
(1)求證：；
(2)若，面積為1，求邊的長．
17．（2024·安徽合肥·三模）如圖，某人開車在山腳下水平公路上自向行駛，在處測得山頂處的仰角，該車以的速度勻速行駛4分鐘后，到達處，此時測得仰角，且.
(1)求此山的高的值；
(2)求該車從到行駛過程中觀測點的仰角正切值的最大值．
18．（2024·遼寧·模擬預測）已知的內角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．
19．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）某公園計劃改造一塊四邊形區域ABCD鋪設草坪，其中百米，百米，，，草坪內需要規劃4條人行道DM、DN、EM、EN以及兩條排水溝AC、BD，其中M、N、E分別為邊BC、AB、AC的中點．
(1)若，求排水溝BD的長；
(2)若，試用表示4條人行道的總長度．
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