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專題5.1 平面向量的概念及線性運算【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 平面向量的基本概念】 2
【題型2 向量加、減法的幾何意義】 4
【題型3 向量的線性運算】 6
【題型4 根據向量線性運算求參數】 7
【題型5 向量共線定理及其應用】 9
1、平面向量的概念及線性運算
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解平面向量的意義、 幾何表示及向量相等的含義
(2)掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義
(3)了解向量線性運算的性質及其幾何意義 2022年新高考全國I卷：第3題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第4題，5分 平面向量是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念和平面向量的線性運算主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易，考查形式比較穩定.學生在高考復習中應注意加強對向量的線性運算法則、向量共線定理的理解.
【知識點1 平行向量有關概念的歸納】
1．平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的平移混淆.
(4)非零向量與的關系：是與同方向的單位向量.
【知識點2 平面向量線性運算問題的解題策略】
1．平面向量線性運算問題的求解思路：
(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化；
(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
2．向量線性運算的含參問題的解題策略：
與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值.
3．利用共線向量定理解題的策略：
(1)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.
(3)若與不共線且，則.
(4)(λ,μ為實數)，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.
【方法技巧與總結】
1．中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則.
2．(λ,μ為實數)，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.
3．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
【題型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2024·全國·模擬預測）已知向量，為非零向量，則“向量，的夾角為180°”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】判斷命題“若向量，的夾角為180°，則”和命題“若，則向量，的夾角為180°”的真假即可得解.
【解答過程】因向量，為非零向量，則當向量，的夾角為180°時，與方向相反，即成立，
當時，與方向相同或者方向相反，即向量，的夾角為0°或者180°，可以不為180°，
所以“向量，的夾角為180°”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-1】（2024·北京·三模）若為非零向量，則“”是“共線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】表示與同向的單位向量，共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必要性的定義可求出答案.
【解答過程】依題意為非零向量， 表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，
則表示與同向的單位向量，所以能推出共線，所以充分性成立；
共線可能同向共線、也可能反向共線，所以共線得不出，所以必要性不成立.
故選：B.
【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·三模）已知是平面四邊形，設：，：是梯形，則是的條件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【解題思路】根據向量共線的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.
【解答過程】在四邊形中，
若，
則，且，
即四邊形為梯形，充分性成立；
若當，為上底和下底時，
滿足四邊形為梯形，
但不一定成立，即必要性不成立；
故是的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-3】（2024·云南昆明·模擬預測）下列有關四邊形的形狀判斷錯誤的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為梯形
C．若，且，則四邊形為菱形
D．若，且，則四邊形為正方形
【解題思路】根據向量共線、相等的知識確定正確答案.
【解答過程】A選項，，則，所以四邊形為平行四邊形，A正確.
B選項，，則，所以四邊形為梯形，B正確.
C選項，，則，四邊形是平行四邊形；由于，所以四邊形是菱形，C正確.
D選項，，則，所以四邊形為平行四邊形；由于，所以四邊形為菱形，D選項錯誤.
故選：D.
【題型2 向量加、減法的幾何意義】
【例2】（2024·河南開封·三模）在平面四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，則下列向量與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量的加減法法則結合已知條件逐個分析判斷即可
【解答過程】因為在平面四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，
所以，
因為，
所以,
所以A正確，
因為，
所以，所以B正確，
因為，
所以，所以C正確，
因為，
所以D錯誤，
故選：D.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）等邊三角形的垂心為，點是線段上靠近的三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先延長交于點，根據題意得到為的中點，再利用向量的線性運算計算即可.
【解答過程】如圖所示：
延長交于點，
因為為等邊三角形的垂心，所以為的中點，
所以
.
故選：A.
【變式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經過的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解題思路】根據題意，可得四邊形為菱形，即可得到平分，從而得到結果.
【解答過程】
因為，且D為中點，，
則，
又因為，則可得四邊形為菱形，
即為菱形的對角線，
所以平分，即直線經過的內心
故選:A.
【變式2-3】（2024·廣東·模擬預測）等腰中，，D為線段上的動點，過D作交于E．過D作交于F，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意可得，得到，結合，即可求解.
【解答過程】如圖所示，根據題意可得，所以，
所以，所以.
故選：A.
【題型3 向量的線性運算】
【例3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）下列向量關系式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由向量加減法的運算規則，驗證各選項的結果.
【解答過程】，A選項錯誤；
，B選項錯誤；
，C選項錯誤；
由向量加法的運算法則，有，D選項正確.
故選：D.
【變式3-1】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
直接由向量的線性運算即可求解.
【解答過程】由題意.
故選：D.
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，結合向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.
【解答過程】在中，因為，所以為的中點，
又因為，所以為線段的靠近的三等分點，
所以．
故選：D．
【變式3-3】（2024·四川自貢·一模）如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據平面向量的線性運算求得正確答案.
【解答過程】
.
故選：B.
【題型4 根據向量線性運算求參數】
【例4】（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知中，是邊上一點，若，，則（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】根據平面向量加減法運算求解即可.
【解答過程】連接，如圖所示：

因為，
所以，
所以，所以.
故選：B.
【變式4-1】（2023·貴州·模擬預測）已知在中，點D為邊BC的中點，若，則（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解題思路】結合幾何關系，利用向量的線性運算法則即可將用來表示，從而得到答案.
【解答過程】因為點D為邊BC中點，
所以，
所以，，.
故選：D.
【變式4-2】（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，為的靠近點的三等分點，與相交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用平行分線段成比例得到，進而利用向量加法的平行四邊形法則即可得解.
【解答過程】因為平行四邊形中，為的靠近點的三等分點，與相交于點，
所以，
所以，又，
所以，.
故選：B.
【變式4-3】（2023·浙江紹興·模擬預測）在中，是線段上一點，滿足是線段的中點，設，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用向量的線性運算，求出，得到的值，再對各選項分析判斷即可求出結果.
【解答過程】因為是線段上一點，滿足，所以，
又是線段的中點，所以，
所以，
所以，故，
故選：B.
【題型5 向量共線定理及其應用】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用向量共線的意義，結合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【解答過程】當，時，滿足，但不存在，使得；
當時，可得；
所以“”是“存在，使得”的必要不充分條件.
故選：A.
【變式5-1】（2024·上海崇明·一模）設為所在平面上一點.若實數x、y、z滿足，則“”是“點在的邊所在直線上”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件.
【解題思路】先由得中只能有一個為0，假設可得點在的邊BC所在直線上，滿足充分性；若點在的邊所在直線上，假設在AB上，容易得，必要性滿足，則可得答案.
【解答過程】 為所在平面上一點，且實數x、y、z滿足
若“”，則中只能有一個為0，否則若，得，這與矛盾；
假設（不為0），可得，，
向量和共線，點在的邊BC所在直線上；
若點在的邊所在直線上，假設在AB上，說明向量和共線，
，
“”是“點在的邊所在直線上”的充分必要條件.
故選：C.
【變式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知,是平面內兩個非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據向量的模長關系以及共線，即可結合必要不充分條件進行判斷.
【解答過程】若∥，則則存在唯一的實數μ≠0，使得
故 ，
而 ，
存在λ 使得成立，
所以“∥”是“存在，使得 ”的充分條件，
若且 ，則與方向相同,故此時∥，
所以“∥”是“存在， 使得 的必要條件，
故∥”是“存在，使得| 的充分必要條件，
故選: C.
【變式5-3】（2023·甘肅武威·一模）已知正三角形的邊長為6， ，，且，則點到直線距離的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．
【解題思路】由結合得出點在線段上運動，進而得出點到直線距離的最大值.
【解答過程】因為，所以，
所以．如圖，設，
，則．因為，，
所以點在線段上運動，顯然，當點與點重合時，點到直線的距離取得最大值．
故選：D.
一、單選題
1．（2023·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結合充分、必要性定義即知答案.
【解答過程】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，則，
所以“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B.
2．（2023·福建南平·模擬預測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】根據幾何關系求解.
【解答過程】如圖，
，所以M是AC的中點，；
故選：C.
3．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
【解題思路】利用向量運算法則得到.
【解答過程】，
因為正方形的邊長為1，所以，
故.
故選：C.
4．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形中，，且，點是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【解答過程】依題意可得
．
故選：D.
5．（2024·廣西·模擬預測）在中，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將向量看作基底，利用向量的加減法法則以及數乘的運算法則，得到 即可.
【解答過程】依題意，，
所以，
又因為，
所以 ，
所以，，
所以，，，，只有選項C正確；
故選：C．
6．（2024·福建福州·模擬預測）已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結果.
【解答過程】依題意，設，又是兩個不共線的向量，
所以，所以．
故選：D.
7．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（ ）
A．、、三點共線 B．、、三點共線
C．、、三點共線 D．、、三點共線
【解題思路】根據向量共線則判斷即可.
【解答過程】對A，因為，，不存在實數使得，故、、三點不共線，故A錯誤；
對B，因為，，不存在實數使得，故、、三點不共線，故B錯誤；
對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；
對D，因為，，不存在實數使得，故、、三點不共線，故D錯誤.
故選：C.
8．（2024·全國·二模）點是所在平面內兩個不同的點，滿足，則直線經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【解題思路】根據向量的運算，并結合數形結合分析，即可判斷.
【解答過程】設的中點為點，所以，
則，
若四點共線時，即點都在中線上，所以經過三角形的重心，
若四點不共線時，，且，連結，交于點，
如圖，
，即點是三角形的重心，即經過的重心，
綜上可知，經過的重心.
故選：A.
二、多選題
9．（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．若與都是單位向量，則
B．零向量的長度為零，方向是任意的
C．若與是平行向量，則
D．若或，則
【解題思路】根據單位向量、零向量、相等向量和共線向量的定義判斷.
【解答過程】單位向量與的方向不一定相同，故A錯；
零向量的長度為零，方向任意，故B正確；
若，的模長不一定相等，故C錯；
若或，則的方向相同或相反，所以，故D正確.
故選：BD.
10．（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線 B．
C． D．點在的內部
【解題思路】根據三角形重心的性質，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷．
【解答過程】
，
因為點為的重心，
所以，所以，
所以三點共線，故A正確，B錯誤；
，
因為，
所以，即，故C正確；
因為，
所以點的位置隨著點位置的變化而變化，故點不一定在的內部，故D錯誤；
故選：AC．
11．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）數學與生活存在緊密聯系，很多生活中的模型多源于數學的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構造出六個正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】由圖可得各向量關系與其模長間等量關系，即可得答案.
【解答過程】A選項，由題知，故，而，故A正確；
B選項，由題知，，故B錯誤；
C選項，，故C正確；
D選項，因為，，
，
故，故D正確.
故選：ACD．
三、填空題
12．（2023·黑龍江·模擬預測）在平行四邊形中，，，
．
【解題思路】利用平面向量的線性運算.
【解答過程】由平行四邊形ABCD,，
可知，則，
整理得，
則，
所以.
故答案為：.
13．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列關于向量的命題，序號正確的是 ①③ .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
【解題思路】根據平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據相等向量和相反向量的定義可判斷③.
【解答過程】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②錯誤；
對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.
故選：①③.
14．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點在上，，點在 內 (含邊界)一點，若，則的最大值為 .
【解題思路】先利用向量線性運算得到，作出輔助線，得到，且，從而得到答案.
【解答過程】，
取的中點，連接，
因為，故，
又，所以，故，且，
所以的最大值為，此時點與點重合.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
【解題思路】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計算即得.
【解答過程】（1） ；
（2） ；
（3）.
16．（24-25高二·上海·假期作業）如圖，E、F、G依次是正三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點.
(1)在以A、B、C、E、F、G為起點或終點的向量中，找出與向量共線的向量；
(2)在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，找出與向量模相等的向量；
(3)在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，找出與向量相等的向量.
【解題思路】（1）由EF是△ABC的中位線，結合向量共線的概念得到與向量共線的向量；
（2）由向量模相等的概念得到與向量模相等的向量；
（3）由向量相等的概念得到與向量相等的向量．
【解答過程】（1）
分別為的中點，，且，與向量共線的向量是.
（2）因為是正三角形，所以，
因為E、F、G依次是正的邊AB、BC、AC的中點，
所以，
所以在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，
與向量模相等的向量為；
（3）在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，與向量相等的向量為.
17．（23-24高一下·河南周口·階段練習）如圖，點是中BC邊的中點，.
(1)若點是的重心，試用表示;
(2)若點是的重心，求.
【解題思路】（1）根據三角形中線的性質和重心的性質求解；
（2）根據三角形重心的性質結合題意求解即可》
【解答過程】（1）因為點是中BC邊的中點，點是的重心，
所以.
（2）因為點是的重心且是BC邊的中點，所以，
又，所以，
所以.
18．（23-24高一上·浙江杭州·期末）設是不共線的兩個非零向量．
(1)若，求證：三點共線；
(2)若與共線，求實數k的值．
【解題思路】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質求出參數即可.
【解答過程】（1）由，
得,
,
所以，且有公共點B，
所以三點共線.
（2）由與共線，
則存在實數，使得，
即，又是不共線的兩個非零向量，
因此，解得，或，
實數k的值是.
19．（23-24高一上·遼寧大連·期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此時，的值．
【解題思路】（1）由三角形重心性質可得，結合三點共線性質即可求得結果.
（2）運用“1”的代換及基本不等式求解即可.
【解答過程】（1）如圖所示，
因為G為重心，所以，
所以，
因為M，G，N三點共線，所以，即．
（2）由題意可知，且，
所以
當且僅當，即時取等號，
又∵，∴，時，取得最小值為．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題5.1 平面向量的概念及線性運算【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 平面向量的基本概念】 2
【題型2 向量加、減法的幾何意義】 3
【題型3 向量的線性運算】 3
【題型4 根據向量線性運算求參數】 4
【題型5 向量共線定理及其應用】 4
1、平面向量的概念及線性運算
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解平面向量的意義、 幾何表示及向量相等的含義
(2)掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義
(3)了解向量線性運算的性質及其幾何意義 2022年新高考全國I卷：第3題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第4題，5分 平面向量是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念和平面向量的線性運算主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易，考查形式比較穩定.學生在高考復習中應注意加強對向量的線性運算法則、向量共線定理的理解.
【知識點1 平行向量有關概念的歸納】
1．平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的平移混淆.
(4)非零向量與的關系：是與同方向的單位向量.
【知識點2 平面向量線性運算問題的解題策略】
1．平面向量線性運算問題的求解思路：
(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化；
(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
2．向量線性運算的含參問題的解題策略：
與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值.
3．利用共線向量定理解題的策略：
(1)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.
(3)若與不共線且，則.
(4)(λ,μ為實數)，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.
【方法技巧與總結】
1．中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則.
2．(λ,μ為實數)，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.
3．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
【題型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2024·全國·模擬預測）已知向量，為非零向量，則“向量，的夾角為180°”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】（2024·北京·三模）若為非零向量，則“”是“共線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·三模）已知是平面四邊形，設：，：是梯形，則是的條件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【變式1-3】（2024·云南昆明·模擬預測）下列有關四邊形的形狀判斷錯誤的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為梯形
C．若，且，則四邊形為菱形
D．若，且，則四邊形為正方形
【題型2 向量加、減法的幾何意義】
【例2】（2024·河南開封·三模）在平面四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，則下列向量與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）等邊三角形的垂心為，點是線段上靠近的三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經過的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【變式2-3】（2024·廣東·模擬預測）等腰中，，D為線段上的動點，過D作交于E．過D作交于F，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 向量的線性運算】
【例3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）下列向量關系式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2024·四川自貢·一模）如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 根據向量線性運算求參數】
【例4】（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知中，是邊上一點，若，，則（ ）

A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·貴州·模擬預測）已知在中，點D為邊BC的中點，若，則（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【變式4-2】（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，為的靠近點的三等分點，與相交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·浙江紹興·模擬預測）在中，是線段上一點，滿足是線段的中點，設，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 向量共線定理及其應用】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式5-1】（2024·上海崇明·一模）設為所在平面上一點.若實數x、y、z滿足，則“”是“點在的邊所在直線上”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件.
【變式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知,是平面內兩個非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式5-3】（2023·甘肅武威·一模）已知正三角形的邊長為6， ，，且，則點到直線距離的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．
一、單選題
1．（2023·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·福建南平·模擬預測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（ ）
A．0 B． C． D．4
4．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形中，，且，點是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·廣西·模擬預測）在中，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建福州·模擬預測）已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（ ）
A．、、三點共線 B．、、三點共線
C．、、三點共線 D．、、三點共線
8．（2024·全國·二模）點是所在平面內兩個不同的點，滿足，則直線經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
二、多選題
9．（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．若與都是單位向量，則
B．零向量的長度為零，方向是任意的
C．若與是平行向量，則
D．若或，則
10．（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線 B．
C． D．點在的內部
11．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）數學與生活存在緊密聯系，很多生活中的模型多源于數學的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構造出六個正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（ ）

A． B．
C． D．
三、填空題
12．（2023·黑龍江·模擬預測）在平行四邊形中，，， .
13．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列關于向量的命題，序號正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
14．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點在上，，點在 內 (含邊界)一點，若，則的最大值為 .
四、解答題
15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
16．（24-25高二·上海·假期作業）如圖，E、F、G依次是正三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點.
(1)在以A、B、C、E、F、G為起點或終點的向量中，找出與向量共線的向量；
(2)在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，找出與向量模相等的向量；
(3)在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，找出與向量相等的向量.
17．（23-24高一下·河南周口·階段練習）如圖，點是中BC邊的中點，.
(1)若點是的重心，試用表示;
(2)若點是的重心，求.
18．（23-24高一上·浙江杭州·期末）設是不共線的兩個非零向量．
(1)若，求證：三點共線；
(2)若與共線，求實數k的值．
19．（23-24高一上·遼寧大連·期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此時，的值．
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