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專(zhuān)題5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【六大題型】
【新高考專(zhuān)用】
【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】 3
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】 4
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 5
【題型4 利用向量共線(xiàn)求參數(shù)】 5
【題型5 利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】 6
【題型6 由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問(wèn)題】 6
1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意義
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算 (4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件 2022年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第3題，5分 2022年新高考全國(guó)I卷：第3題，5分 2023年天津卷：第14題，5分 2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第9題，5分 2024年上海卷：第5題，5分 平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則、向量共線(xiàn)與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活進(jìn)行求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 平面向量基本定理的探究】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，
，使.若，不共線(xiàn)，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線(xiàn)的兩個(gè)向量線(xiàn)性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).
2．應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
3．用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路：
用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.
【知識(shí)點(diǎn)2 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及其解題策略】
1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
不共線(xiàn)的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
區(qū) 別 表示形
式不同 向量=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x,y)中間沒(méi)有等號(hào).
意義
不同 點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y).
聯(lián)系 向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.
2．平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說(shuō)，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
3．共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
(1)兩向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使=.如果用
坐標(biāo)表示，可寫(xiě)為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說(shuō)，向量， (≠0)共線(xiàn)的充要條件是-=0.
(2)三點(diǎn)共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點(diǎn)共線(xiàn)，則有=，
從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn).
4．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若與不共線(xiàn)，且，則.
2．已知P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若A(,)，B(,)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.
3．已知△ABC的重心為G，若A(,)，B(,)，C(,)，則G.
【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】
【例1】（2024·山東濰坊·二模）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D在邊AB上且滿(mǎn)足，E為BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)DE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·湖南婁底·三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線(xiàn)段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，則（ ）

A． B．
C． D．
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】
【例2】（2024·陜西西安·一模）在中，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在中，在邊上，且是邊上任意一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C．3 D．-3
【變式2-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，若，則的值為（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【變式2-3】（2024·河南商丘·三模）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)F，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·寧夏銀川·二模）已知向量，，，若，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式3-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在菱形中，，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 利用向量共線(xiàn)求參數(shù)】
【例4】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．2 D．1
【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線(xiàn)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【變式4-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．3 B． C． D．
【變式4-3】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，其中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】
【例5】（2024·河北邯鄲·三模）已知向量與共線(xiàn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·四川廣安·二模）已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·期末）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量，，若向量與共線(xiàn)，則（ ）
A． B． C． D．
【題型6 由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問(wèn)題】
【例6】（23-24高一下·山東·期中）在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．2
【變式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以A為圓心，為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線(xiàn)相切的圓上移動(dòng)，設(shè)，則最大值是 .
【變式6-3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為 ．
一、單選題
1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·陜西渭南·二模）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·天津·二模）已知向量，其中 且，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
8．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量.若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2023·廣東梅州·三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則（ ）

A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)為線(xiàn)段上的中點(diǎn)時(shí)，
B．的最大值為
C．的取值范圍為
D．的取值范圍為
三、填空題
12．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若將，作為平面向量的一個(gè)基，則向量可表示為 （用表示）.

13．（2024·陜西西安·二模）向量，，．若三點(diǎn)共線(xiàn)，則
．
14．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，，則的取值范圍為 ．
四、解答題
15．（23-24高一下·廣西桂林·階段練習(xí)）已知，，．
(1)若，求，；
(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
16．（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).
(1)用，表示；
(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng).
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）向量，，．
(1)求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m，n；
(2)若，求實(shí)數(shù)k．
18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，G為DF與BE的交點(diǎn)．
(1)記向量，，試以向量，為基底表示，；
(2)若，求m，n的值；
(3)求證：A，G，H三點(diǎn)共線(xiàn)．
19．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，，且三點(diǎn)共線(xiàn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求的坐標(biāo)；
(3)已知，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【六大題型】
【新高考專(zhuān)用】
【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】 3
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】 6
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 8
【題型4 利用向量共線(xiàn)求參數(shù)】 9
【題型5 利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】 11
【題型6 由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問(wèn)題】 12
1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意義
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算 (4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件 2022年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第3題，5分 2022年新高考全國(guó)I卷：第3題，5分 2023年天津卷：第14題，5分 2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第9題，5分 2024年上海卷：第5題，5分 平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則、向量共線(xiàn)與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活進(jìn)行求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 平面向量基本定理的探究】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，
，使.若，不共線(xiàn)，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線(xiàn)的兩個(gè)向量線(xiàn)性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).
2．應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
3．用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路：
用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.
【知識(shí)點(diǎn)2 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及其解題策略】
1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
不共線(xiàn)的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
區(qū) 別 表示形
式不同 向量=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x,y)中間沒(méi)有等號(hào).
意義
不同 點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y).
聯(lián)系 向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.
2．平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說(shuō)，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
3．共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
(1)兩向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使=.如果用
坐標(biāo)表示，可寫(xiě)為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說(shuō)，向量， (≠0)共線(xiàn)的充要條件是-=0.
(2)三點(diǎn)共線(xiàn)的坐標(biāo)表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點(diǎn)共線(xiàn)，則有=，
從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn).
4．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若與不共線(xiàn)，且，則.
2．已知P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若A(,)，B(,)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.
3．已知△ABC的重心為G，若A(,)，B(,)，C(,)，則G.
【題型1 平面向量基本定理的應(yīng)用】
【例1】（2024·山東濰坊·二模）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)三角形中向量對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的數(shù)量及位置關(guān)系，用、表示出即可.
【解答過(guò)程】由題設(shè)，
所以 .
故選：B.
【變式1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D在邊AB上且滿(mǎn)足，E為BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)DE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)及D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合平面向量基本定理用和表示出，然后根據(jù)向量相等即可得解．
【解答過(guò)程】

由題，A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，則，
D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，則，
∴　，得　，
∴．
故選：B.
【變式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
設(shè)，設(shè)，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問(wèn)題可解.
【解答過(guò)程】
設(shè)，則，，
設(shè)，，
則，，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以，即.
故選：C.
【變式1-3】（2023·湖南婁底·三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線(xiàn)段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，則（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】由題意得，結(jié)合矩形的特征可用表示出，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算法則即可作答.
【解答過(guò)程】由題意得，顯然，，
同理有，，
所以，故，
因?yàn)?br/>，
所以.
故選：D.
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】
【例2】（2024·陜西西安·一模）在中，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理的推論得到，解得即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋裕矗?br/>又，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，解得.
故選：A.
【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在中，在邊上，且是邊上任意一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C．3 D．-3
【解題思路】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，
則，
又，所以，即.
故選：C.
【變式2-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，若，則的值為（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解題思路】表達(dá)出，利用平面向量基本定理求出，即可求出的值.
【解答過(guò)程】由題意及圖可得，
∵，
∴，
∵，
∴,．
∵，
∴，，解得：，，，
故選：C．
【變式2-3】（2024·河南商丘·三模）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)F，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意推出，可得，推出，根據(jù)向量的加減運(yùn)算，用基底表示出，和比較，可得，即得答案.
【解答過(guò)程】連結(jié)DE，
由題意可知，，
所以，則，
所以，所以，，
則，
故，
又，所以，，則，
故選：A.
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算，即可求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)，則，
可得.
故選：B．
【變式3-1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由向量坐標(biāo)的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.
【解答過(guò)程】由題意得，，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
故選：A.
【變式3-2】（2023·寧夏銀川·二模）已知向量，，，若，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】由題意，得，
所以，解得，
所以.
故選：C.
【變式3-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在菱形中，，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系后計(jì)算即可得.
【解答過(guò)程】作出圖形如圖所示.記線(xiàn)段交于點(diǎn)，
分別以所在直線(xiàn)為，軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，
故，，設(shè)，
則，解得.
故選：C.

【題型4 利用向量共線(xiàn)求參數(shù)】
【例4】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．2 D．1
【解題思路】利用向量平行得到方程，求出答案.
【解答過(guò)程】，故，解得.
故選：D.
【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線(xiàn)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解題思路】根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算求出的值，判斷得解.
【解答過(guò)程】向量，，
若與共線(xiàn)，則.解得或，
所以“”是“與共線(xiàn)”的充分不必要條件，
故選：A.
【變式4-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．3 B． C． D．
【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線(xiàn)的充要條件計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】由題意可知，，．
因?yàn)椋裕?br/>整理得，即．
故選:A．
【變式4-3】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，其中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)向量平行，得到，結(jié)合基本不等式即可求.
【解答過(guò)程】由題意，因?yàn)椋裕郑?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．
故選：A.
【題型5 利用向量共線(xiàn)求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】
【例5】（2024·河北邯鄲·三模）已知向量與共線(xiàn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.
【解答過(guò)程】
因?yàn)椋裕獾茫?br/>所以．
故選：B.
【變式5-1】（2024·四川廣安·二模）已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點(diǎn)、始點(diǎn)的關(guān)系可解.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，
所以，
設(shè)，又，所以
即，解得.
故選：A.
【變式5-2】（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·期末）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.
【解答過(guò)程】由題意可知 由于A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以與共線(xiàn)，
所以，
所以,
故選：D.
【變式5-3】（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量，，若向量與共線(xiàn)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值，再由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求.
【解答過(guò)程】向量，，則，
若向量與共線(xiàn)，有，解得，則，
所以.
故選：A.
【題型6 由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決最值和范圍問(wèn)題】
【例6】（23-24高一下·山東·期中）在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．2
【解題思路】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令，，根據(jù)向量線(xiàn)性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組得，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.
【解答過(guò)程】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：，令，，
由可得：，
則且，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.
故選：C.
【變式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以A為圓心，為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再由得到，，從而得到，由此可求得的取值范圍.
【解答過(guò)程】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)，如圖所示：
.
則，，，，，，
則，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，故，即.
故選：A.
【變式6-2】（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線(xiàn)相切的圓上移動(dòng)，設(shè)，則最大值是 4 .
【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程，設(shè)出，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，用P的坐標(biāo)表，則，根據(jù)直線(xiàn)AP:與有交點(diǎn),求出范圍．
【解答過(guò)程】解：以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，建立如圖所示直角坐標(biāo)系：
所以，，，，所以，，
因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切，而，圓心，
所以半徑，所以圓：，
設(shè),則，，
又
所以，則，所以
所以表示坐標(biāo)原點(diǎn)A與點(diǎn)P兩點(diǎn)之間連線(xiàn)的斜率的2倍，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)，所以直線(xiàn)AP:與有交點(diǎn)，
則圓心到的距離為
解得:，則
所以，則最大值是4.
故答案為：4．
【變式6-3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為 ．
【解題思路】如圖，以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，,又，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.
【解答過(guò)程】如圖，以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
又，
則，
，即
，
解得，
,
因?yàn)椋瑒t，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，
則的最大值為.
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【解題思路】根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.
【解答過(guò)程】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)，使得，
故和不共線(xiàn)，可作基底；
對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)，使得，
故和不共線(xiàn)，可作基底；
對(duì)C：對(duì) 和，因?yàn)槭遣还簿€(xiàn)的兩個(gè)非零向量，
且存在實(shí)數(shù)，使得，
故和共線(xiàn)，不可作基底；
對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線(xiàn)，可作基底.
故選：C.
2．（2024·陜西渭南·二模）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，求出或2，從而結(jié)合充分條件、必要條件判斷出結(jié)論.
【解答過(guò)程】若，則，解得或2，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.
【解答過(guò)程】在中，取為基底，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,
所以，
所以.
故選：B.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由的坐標(biāo)得出，設(shè)點(diǎn)，得出，根據(jù)列出方程組求解即可．
【解答過(guò)程】因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，則，
又，
所以，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：B．
5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知整理可得，然后由坐標(biāo)運(yùn)算可得.
【解答過(guò)程】由得，即，即，
又，所以.
故選：D．
6．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用平面向量基本定理根據(jù)題意將用表示出來(lái)，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足，
所以，所以，
消去，得，
所以，
所以，，所以．
故選：D．
7．（2024·天津·二模）已知向量，其中 且，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
【解題思路】根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】∵， ，其中，且，
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
∴的最小值為.
故選：A.
8．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到m,n與α的關(guān)系，進(jìn)而得到m+n關(guān)于α的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式整理后，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.
【解答過(guò)程】以為原點(diǎn) 的方向?yàn)檩S的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則有，.
設(shè)，則.
由題意可知
所以.
因?yàn)椋裕?br/>故的最大值為.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量.若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解題思路】利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.
【解答過(guò)程】向量，則，，
由，得，即，解得，
所以或.
故選：AC.
10．（2023·廣東梅州·三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)平行向量的線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，所以，.
可知：AD錯(cuò)誤，BC正確.
故選：BC.
11．（23-24高三上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)為線(xiàn)段上的中點(diǎn)時(shí)，
B．的最大值為
C．的取值范圍為
D．的取值范圍為
【解題思路】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示條件，由此判斷各選項(xiàng).
【解答過(guò)程】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榫€(xiàn)段上的中點(diǎn)，所以，故，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，，當(dāng)時(shí)，取最大值為，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕娜≈捣秶鸀椋珻正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，，，所以，所以的取值范圍為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若將，作為平面向量的一個(gè)基，則向量可表示為 （用表示）.

【解題思路】先利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求出，進(jìn)而利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.
【解答過(guò)程】由已知，
則，
所以，
所以.
故答案為：.
13．（2024·陜西西安·二模）向量，，．若三點(diǎn)共線(xiàn)，則
．
【解題思路】
根據(jù)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】由題意易得，
若三點(diǎn)共線(xiàn)，則有，所以.
故答案為：.
14．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，，則的取值范圍為 ．
【解題思路】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，討論四種情況，即可求出的取值范圍.
【解答過(guò)程】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：
則，所以，
當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，
當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，
當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，
當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一下·廣西桂林·階段練習(xí)）已知，，．
(1)若，求，；
(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解題思路】（1）根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，即可求解；
（2）設(shè) ，根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和建立關(guān)于x、y的方程組即可求解.
【解答過(guò)程】（1）依題意得，，
則，所以，
所以，．
（2）由（1）知，，所以．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
16．（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).
(1)用，表示；
(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng).
【解題思路】（1）根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算直接可得解；
（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化法可得向量的模.
【解答過(guò)程】（1）由已知，
且為的中點(diǎn)，
則四邊形為平行四邊形，為等邊三角形，
即，
又為的中點(diǎn)，
則，
即；
（2）由已知，，三點(diǎn)共線(xiàn)，
則，
又因?yàn)椋c(diǎn)共線(xiàn)，則有，解得，
故有，
所以.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）向量，，．
(1)求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m，n；
(2)若，求實(shí)數(shù)k．
【解題思路】（1）由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量相等的條件，得方程組，解出m，n即可；
（2）由向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.
【解答過(guò)程】（1）向量，，，
若，則有，解得；
（2），，
由，則有，解得.
18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，G為DF與BE的交點(diǎn)．
(1)記向量，，試以向量，為基底表示，；
(2)若，求m，n的值；
(3)求證：A，G，H三點(diǎn)共線(xiàn)．
【解題思路】（1）根據(jù)向量的減法法則結(jié)合題意求解；
（2）對(duì)結(jié)合（1）化簡(jiǎn)用，表示，而，然后列方程組可求得結(jié)果；
（3）設(shè)，，由，，用用，表示，列方程組求出，從而可得，進(jìn)而證得結(jié)論.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樵谥校珽，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，
所以，
．
（2）由（1）知，，
所以，
因?yàn)椋裕獾茫?br/>（3），
設(shè)，，則
，
又，
所以，解得，所以，
∴，
∴，即A，G，H三點(diǎn)共線(xiàn)．
19．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，，且三點(diǎn)共線(xiàn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求的坐標(biāo)；
(3)已知，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解題思路】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，得，即可列等量關(guān)系求解，
（2）根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，
（3）根據(jù)向量相等即可列方程求解.
【解答過(guò)程】（1）．
因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得，
即，得．
因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，所以，解得
（2）．
（3）因?yàn)樗狞c(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以．
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕獾茫?br/>即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
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