資源簡介

專題7.2 空間點、直線、平面之間的位置關系【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 平面的基本性質及推論】 4
【題型2 點共線、點（線）共面、線共點問題】 5
【題型3 等角定理】 6
【題型4 平面分空間問題】 7
【題型5 截面問題】 8
【題型6 異面直線的判定】 9
【題型7 異面直線所成的角】 10
【題型8 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】 11
1、空間點、直線、平面之間的位置關系
考點要求 真題統計 考情分析
(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義 (2)了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題 2022年新高考I卷：第9題，5分 2022年上海卷：第15題，5分 2023年上海卷：第15題，5分 空間點、直線、平面之間的位置關系是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，主要分兩方面進行考查，一是空間中點、線、面關系的命題的真假判斷；二是異面直線的判定和異面直線所成角問題；常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易.
【知識點1 平面的基本事實及推論】
1．四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論
(1)四個基本事實及其表示
①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
(2)四個基本事實的作用
基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.
基本事實2：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內；②用直線檢驗平面.
基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.
基本事實4：①判斷兩條直線平行.
(3)基本事實1和2的三個推論
推論 自然語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面. 點A aa與A共面于平面α,且平面唯一.
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面. a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面. 直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.
2．等角定理
(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
(2)符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.
【知識點2 共面、共線、共點問題的證明方法】
1．共面、共線、共點問題的證明
(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.
(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.
(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.
【知識點3 平面分空間問題】
1．平面分空間問題
一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢 三個平面呢
(1)兩個平面有兩種情形：
①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個平面有五種情形：
①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).
【知識點4 空間點、線、面之間的位置關系】
1．空間中直線與直線的位置關系
(1)三種位置關系
我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.
2．空間中直線與平面的位置關系
直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：
位置關系 圖形表示 符號表示 公共點
直線在平面內 有無數個公共點
直線與平面相交 有且只有一個公共點
直線與平面平行 沒有公共點
3．空間中平面與平面的位置關系
(1)兩種位置關系
兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：
位置關系 圖形表示 符號表示 公共點
兩個平面平行 沒有公共點
兩個平面相交 有一條公共直線
(2)兩種位置關系
平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.
4．異面直線所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經過空間任意一點O作直線a'//a，b'//b，把a'與b'所成的角叫做
異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍：.
【方法技巧與總結】
1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.
2．兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于異面直線所成的角，也可能等于其補角.
【題型1 平面的基本性質及推論】
【例1】（2024·全國·模擬預測）給出下列四個結論：
①經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
②經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
③經過三點，有且只有一個平面；
④經過一條直線和一個點，有且只有一個平面.
其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面 B．四邊形確定一個平面
C．三角形確定一個平面 D．一條直線和一個點確定一個平面
【變式1-2】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知，是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若，且，則
B．若A，B，C是平面內不共線三點，，，則
C．若直線，直線，則a與b為異面直線
D．若A，B是兩個不同的點，且，則直線
【變式1-3】（23-24高一下·河南安陽·階段練習）下列命題正確的是（ ）
A．過三個點有且只有一個平面
B．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面
C．四邊形為平面圖形
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
【題型2 點共線、點（線）共面、線共點問題】
【例2】（2024·吉林·模擬預測）在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．三點共線 B．四點異不共面
C．四點共面 D．四點共面
【變式2-1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）下列選項中，，，，分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·重慶·二模）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數是（ ）

①E，F，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2-3】（2024·四川南充·三模）如圖，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分別為、、、的中點，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四點共面
C．設，則平面截該三棱柱所得截面的周長為
D．、、三線共點
【題型3 等角定理】
【例3】（23-24高一·全國·課后作業）給出下列命題：
①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；
②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；
③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．
其中正確的命題有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式3-1】（23-24高一下·全國·課后作業）已知，，，則（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式3-2】（23-24高一·全國·課前預習）在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形（ ）
A．全等 B．相似
C．僅有一個角相等 D．無法判斷
【題型4 平面分空間問題】
【例4】（2023·廣東廣州·模擬預測）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高二上·四川樂山·階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【變式4-3】（2024·四川內江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則的最小值與最大值之和為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【題型5 截面問題】
【例5】（2023·四川南充·一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F分別為，的中點，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A． B． C．9 D．18
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（ ）

A． B．9 C． D．
【變式5-2】（2024·上海黃浦·二模）如圖，已知分別是正方體的棱和的中點，由點確定的平面截該正方體所得截面為（　　）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【變式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 異面直線的判定】
【例6】（2024·上海·模擬預測）如下圖，是正方體面對角線上的動點，下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【變式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）學校手工課上同學們分組研究正方體的表面展開圖．某小組得到了如圖所示表面展開圖，則在正方體中，、、、這四條線段所在的直線中，異面直線有（ ）
A．對 B．對 C．對 D．對
【變式6-3】（2024·四川宜賓·二模）四棱錐所有棱長都相等，、分別為、的中點，下列說法錯誤的是（ ）
A．與是異面直線 B．平面
C． D．
【題型7 異面直線所成的角】
【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·云南·二模）如圖，在正方體中，E、F、M、N分別是的中點，則異面直線EF與MN所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·陜西·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，，點是線段上靠近的三等分點，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】
【例8】（2024·上海長寧·二模）已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式8-1】（2024·浙江紹興·三模）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【變式8-2】（2024·河南·三模）已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【變式8-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面.下列說法中正確的是（ ）
A．若 ，則
B．若 ，則
C．若，則
D．若 ，則
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定1個平面 B．三條直線最多可確定2個平面
C．三條直線最多可確定3個平面 D．三條直線最多可確定4個平面
2．（2024·上海·三模）在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．（2024高一·全國·專題練面α，β，γ不能將空間分成（　　）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
4．（2024·陜西銅川·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若直線兩兩相交，則直線共面
B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行
C．若平面上有三個不共線的點到平面的距離相等，則平面與平面平行
D．若不共面的4個點到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個
5．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均相等，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·寧夏銀川·三模）是兩個不同的點，為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·湖南·二模）如圖，在三棱柱中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．四點共面 B．
C．三線共點 D．
8．（2024·陜西銅川·三模）在正方體中，分別為的中點，若，則平面截正方體所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（ ）
A．經過兩條相交直線，有且只有一個平面
B．經過兩條平行直線，有且只有一個平面
C．經過三點，有且只有一個平面
D．經過一條直線和一個點，有且只有一個平面
10．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，是兩條直線，是兩個平面，下列結論不正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
11．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在長方體中，，分別為，的中點，，分別為，的中點，則下列說法正確的是（ ）

A．四點，，，在同一平面內
B．三條直線，，有公共點
C．直線與直線不是異面直線
D．直線上存在點使，，三點共線
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 ．
13．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為 ．
14．（2024·全國·模擬預測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是 .（填寫正確推理與證明的序號）
（1）已知②③④，則①成立
（2）已知①③④，則②成立
（3）已知①②④，則③成立
（4）已知①②③，則④成立
四、解答題
15．（23-24高一·全國·課前預習）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：
(1)三個平面相交于一點P，且平面與平面相交于，平面與平面相交于，平面與平面相交于；
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.
16．（23-24高二·上海·課堂例題）已知直線和平面、，判斷下列命題的真假，并說明理由：
(1)若，，則；
(2)若，，則；
(3)若，，則．
17．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，是的中點，分別在上，且．
(1)證明：四點共面；
(2)若平面，求四棱錐的體積．
18．（2023·上海·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點.

(1)求該圓錐的側面積與體積；
(2)求異面直線AB與CD所成角的大小.
19．（2024·廣西河池·模擬預測）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點，過，，的平面截四棱錐所得的截面為．
(1)若與棱交于點，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明．
(2)求多面體的體積．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題7.2 空間點、直線、平面之間的位置關系【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 平面的基本性質及推論】 4
【題型2 點共線、點（線）共面、線共點問題】 6
【題型3 等角定理】 11
【題型4 平面分空間問題】 13
【題型5 截面問題】 15
【題型6 異面直線的判定】 19
【題型7 異面直線所成的角】 22
【題型8 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】 25
1、空間點、直線、平面之間的位置關系
考點要求 真題統計 考情分析
(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義 (2)了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題 2022年新高考I卷：第9題，5分 2022年上海卷：第15題，5分 2023年上海卷：第15題，5分 空間點、直線、平面之間的位置關系是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，主要分兩方面進行考查，一是空間中點、線、面關系的命題的真假判斷；二是異面直線的判定和異面直線所成角問題；常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易.
【知識點1 平面的基本事實及推論】
1．四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論
(1)四個基本事實及其表示
①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
(2)四個基本事實的作用
基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.
基本事實2：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內；②用直線檢驗平面.
基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.
基本事實4：①判斷兩條直線平行.
(3)基本事實1和2的三個推論
推論 自然語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面. 點A aa與A共面于平面α,且平面唯一.
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面. a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面. 直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.
2．等角定理
(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
(2)符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.
【知識點2 共面、共線、共點問題的證明方法】
1．共面、共線、共點問題的證明
(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.
(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.
(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.
【知識點3 平面分空間問題】
1．平面分空間問題
一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢 三個平面呢
(1)兩個平面有兩種情形：
①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個平面有五種情形：
①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).
【知識點4 空間點、線、面之間的位置關系】
1．空間中直線與直線的位置關系
(1)三種位置關系
我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.
2．空間中直線與平面的位置關系
直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：
位置關系 圖形表示 符號表示 公共點
直線在平面內 有無數個公共點
直線與平面相交 有且只有一個公共點
直線與平面平行 沒有公共點
3．空間中平面與平面的位置關系
(1)兩種位置關系
兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：
位置關系 圖形表示 符號表示 公共點
兩個平面平行 沒有公共點
兩個平面相交 有一條公共直線
(2)兩種位置關系
平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.
4．異面直線所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經過空間任意一點O作直線a'//a，b'//b，把a'與b'所成的角叫做
異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍：.
【方法技巧與總結】
1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.
2．兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于異面直線所成的角，也可能等于其補角.
【題型1 平面的基本性質及推論】
【例1】（2024·全國·模擬預測）給出下列四個結論：
①經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
②經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
③經過三點，有且只有一個平面；
④經過一條直線和一個點，有且只有一個平面.
其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據點、線、面的基本事實及推論進行判斷即可.
【解答過程】根據基本事實以及推論，易知①②正確.
若三點共線，則經過三點的平面有無數多個，故③錯誤.
若點在直線外，則確定一個平面，若點在直線上，則可有無數個平面，故④錯誤.
即正確的命題有2個，
故選：B.
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面 B．四邊形確定一個平面
C．三角形確定一個平面 D．一條直線和一個點確定一個平面
【解題思路】利用立體幾何中的基本事實確定平面的方法求解即可.
【解答過程】三個不共線的點確定一個平面，故選項A錯誤，
四邊形存在空間四邊形，故選項B錯誤，
三角形的頂點是三個不共線的點，確定一個平面，故選項C正確，
當點在直線上時無法確定一個平面，故選項D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知，是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若，且，則
B．若A，B，C是平面內不共線三點，，，則
C．若直線，直線，則a與b為異面直線
D．若A，B是兩個不同的點，且，則直線
【解題思路】根據題意結合平面的性質以及相關基本事實逐項分析判斷.
【解答過程】對于A，因為且，則A是平面和平面的公共點，
又因為，由基本事實3可得，故A正確；
對于B，由基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，
又因為，且A，，，則，故B正確；
對于C，由于平面和平面位置不確定，
則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯誤；
對于D，由基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，
那么這條直線在這個平面內，故D正確．
故選：C．
【變式1-3】（23-24高一下·河南安陽·階段練習）下列命題正確的是（ ）
A．過三個點有且只有一個平面
B．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面
C．四邊形為平面圖形
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
【解題思路】根據平面的基本性質可判斷A，D，由推論可判斷B，根據特例可判斷C.
【解答過程】根據公理知，過不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；
因為兩條平行直線確定一個平面，而兩個交點都在這個平面內，故這條直線也在這個平面內，所以三條直線共面，故B錯誤；
由空間四邊形不是平面圖形可知，C錯誤；
由公理知，兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故D正確.
故選：D.
【題型2 點共線、點（線）共面、線共點問題】
【例2】（2024·吉林·模擬預測）在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．三點共線 B．四點異不共面
C．四點共面 D．四點共面
【解題思路】由長方體性質易知四點共面且是異面直線, 再根據 與 、面 、 面 的位置關系知 在面 與面 的交線上, 同理判斷 , 即可判斷各選項的正誤.
【解答過程】
因為 ,
則四點共面.
因為 ,
則 平面 ,
又 平面 ,
則點 在平面 與平面的交線上,
同理, 也在平面 與平面 的交線上,
所以三點共線;
從而 四點共面,都在平面 內，
而點B不在平面 內，
所以四點不共面，故選項B正確；
三點均在平面內，
而點A不在平面內，
所以直線AO與平面相交且點O是交點，
所以點M不在平面內，
即 四點不共面，
故選項C錯誤；
，且，
所以為平行四邊形，
所以共面，
所以四點共面，
故選項D正確.
故選: C.
【變式2-1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）下列選項中，，，，分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用空間中平行關系的轉化可判斷ABC正確，根據異面直線的定義可判斷D錯誤.
【解答過程】在A圖中，分別連接，
由正方體可得四邊形為矩形，則，
因為為中點，故，則，所以四點共面.
在B圖中，設為所在棱的中點，分別連接，
由A的討論可得，故四點共面，
同理可得，故，同理可得，
故平面，平面，所以六點共面.
在C圖中，由為中點可得，同理，
故，所以四點共面.
在D圖中，為異面直線，四點不共面.
故選：D.
【變式2-2】（2024·重慶·二模）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數是（ ）

①E，F，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】推導出，，從而，由此能證明E，F，G，H四點共面；，從而直線EG與直線FH必相交，設交點為P，證明P點在直線上．
【解答過程】如圖所示，

E，F分別為AB，AD的中點，∴，，
分別在，CD上，且，∴，，
∴，則E，F，G，H四點共面，說法①正確；
∵，四邊形是梯形，不成立，說法②錯誤；
若直線與直線交于點P，則由，平面，得平面，
同理平面，又平面平面，
∴則P，A，C三點共線，說法③正確；
說法中正確的有2 個.
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川南充·三模）如圖，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分別為、、、的中點，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四點共面
C．設，則平面截該三棱柱所得截面的周長為
D．、、三線共點
【解題思路】根據線線平行及菱形對角線垂直判斷A，根據兩直線平行確定平面判斷B，作出截面四邊形，根據截面邊長的大小判斷C，利用相交平面的公共點共線得三點共線可判斷D.
【解答過程】如圖，
連接，由分別為中點，可得，
由可知，側面為菱形，
所以，所以，故A正確；
連接，因為E、F、G、H分別為、、、的中點，
所以，，所以，所以E、F、G、H四點共面，故B正確；
延長交的延長線于點，連接，交于點，連接，，
設確定平面為，則，所以，所以，
則易知三棱柱的截面四邊形為， 在中，，
在中，，而中，，
而，所以截面的周長大于，故C錯誤；
由B知，且，所以梯形的兩腰、所在直線必相交于一點，
因為平面，平面，
又平面平面，所以，所以與重合，
即、、三線共點于，故D正確.
故選：C.
【題型3 等角定理】
【例3】（23-24高一·全國·課后作業）給出下列命題：
①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；
②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；
③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．
其中正確的命題有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解題思路】對于①，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，據此判斷；對于②，根據等角定理判斷；對于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時兩個角有可能不相等且不互補，據此判斷.
【解答過程】對于①，這兩個角也可能互補，故①錯誤；根據等角定理，②顯然正確；
對于③，如圖所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角不一定相等，也不一定互補，故③錯誤．所以正確的命題有1個．
故選：B.
【變式3-1】（23-24高一下·全國·課后作業）已知，，，則（ ）
A． B．或
C． D．或
【解題思路】根據等角定理，即可得到結論.
【解答過程】的兩邊與的兩邊分別平行，
根據等角定理易知或.
故選：B.
【變式3-2】（23-24高一·全國·課前預習）在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解題思路】由分別為的中點，得到，結合題意得出，即可求解.
【解答過程】如圖所示，因為分別為的中點，可得，
又因為，所以，所以.
故選：D.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形（ ）
A．全等 B．相似
C．僅有一個角相等 D．無法判斷
【解題思路】根據等角定理，結合題意進行判斷.
【解答過程】由題意知，根據等角定理，這兩個三角形的三個角對應相等，
所以這兩個三角形相似.
故選：B.
【題型4 平面分空間問題】
【例4】（2023·廣東廣州·模擬預測）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】作出圖形，可得出三個不互相重合的平面將空間所分成的部分數，即可得出的值.
【解答過程】按照三個平面中平行的個數來分類：
（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；
（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分；

（3）三個平面中沒有平行的平面：
（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；
（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成部分.

（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分；

綜上，可以為、、、部分，不能為部分，
故選：B.
【變式4-1】（23-24高二上·四川樂山·階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據空間中平面位置關系逐項判斷即可.
【解答過程】對于A，三個平面將空間分成4個部分，不合題意；
對于B，三個平面將空間分成6個部分，不合題意；
對于C，三個平面將空間分成7個部分，符合題意；
對于D，三個平面將空間分成8個部分，不合題意.
故選：C.
【變式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空間的4個平面最多能將空間分成（ ）個區域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【解題思路】根據平面的性質進行歸納推理．前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個平面與前三個平面所分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個平面最多能將空間分成的區域數．
【解答過程】一個平面把空間分成2部分，兩個平面最多把空間分面4部分，3個平面最多把空間分布8個部分，前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個平面與前三個平面分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個數為．
故選：C．
【變式4-3】（2024·四川內江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則的最小值與最大值之和為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解題思路】求出三個不同平面分空間所成的部分數即可得解.
【解答過程】按照三個平面中平行的個數來分類：
（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；
（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分；

（3）三個平面中沒有平行的平面：
（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；
（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成部分；
（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分，

所以三個不平面將空間分成、、、部分，的最小值與最大值之和為12.
故選：B.
【題型5 截面問題】
【例5】（2023·四川南充·一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F分別為，的中點，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A． B． C．9 D．18
【解題思路】根據，分別是，的中點，得到，利用正方體的結構特征，有，從而有，由平面的基本性質得到在同一平面內，截面是等腰梯形，再利用梯形面積公式求解.
【解答過程】由題知連接，，，如圖所示
因為分別是的中點，所以，
在正方體中，所以，
所以在同一平面內，
所以平面截該正方體所得的截面為平面，因為正方體的棱長為，
所以，，，
則到的距離為等腰梯形的高為，
所以截面面積為，故B正確.
故選：B.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（ ）

A． B．9 C． D．
【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.
【解答過程】

如圖，取AB的中點G，連接GE，，．
因為E為BC的中點，所以，，
又，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，，
所以，，
所以用過點，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，
其周長為．
故選：A．
【變式5-2】（2024·上海黃浦·二模）如圖，已知分別是正方體的棱和的中點，由點確定的平面截該正方體所得截面為（　　）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【解題思路】根據題意，取的中點，的中點，的中點，連接，可得過的截面圖形.
【解答過程】解：如圖，取的中點，
的中點，的中點，連接，
由正方體的性質可知，
由中位線性質可知，
所以，，
所以，由點確定的平面即為截面，其為六邊形．
故選：D．
【變式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由于上下底平行，則可得平面與上下底面的交線平行，則可得為平面與上底面的交線，為平面與下底面的交線，則梯形為平面截正方體的截面，可證得梯形為等腰梯形，根據已知的數量關系求解即可.
【解答過程】連接，，與交點即為，
因為，所以‖，
因為‖，所以‖，
所以共面，
所以平面截正方體所得的截面為梯形，
因為正方體的棱長為6，且，
所以，
在中，，則，
在中，，則
，
在，，則
，
過作于，則，
所以,
所以等腰梯形的面積為
,
故選：A.

【題型6 異面直線的判定】
【例6】（2024·上海·模擬預測）如下圖，是正方體面對角線上的動點，下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【解題思路】利用正方體的特征及異面直線的定義一一判定即可.
【解答過程】當P位于中點時，易知，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時、 面，故A錯誤；
當P與重合時，此時、 面，故B錯誤；
當P與重合時，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時 ，故C錯誤；
由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，
而平面，平面， 、平面，，
故與始終異面，即D正確.
故選：D.
【變式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】根據正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.
【解答過程】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，
其中，所以與共面、與共面、與共面．
故選：C.
【變式6-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）學校手工課上同學們分組研究正方體的表面展開圖．某小組得到了如圖所示表面展開圖，則在正方體中，、、、這四條線段所在的直線中，異面直線有（ ）
A．對 B．對 C．對 D．對
【解題思路】作出正方體的圖形，結合異面直線的定義判斷可得出結論.
【解答過程】作出正方體的圖形如下圖所示：
則與、與、與是異面直線，共對.
故選：B.
【變式6-3】（2024·四川宜賓·二模）四棱錐所有棱長都相等，、分別為、的中點，下列說法錯誤的是（ ）
A．與是異面直線 B．平面
C． D．
【解題思路】畫出圖形，利用異面直線以及直線與平面平行的判定定理，判斷選項A、B、C的正誤，由線線垂直可判斷選項D．
【解答過程】由題意可知四棱錐所有棱長都相等，
、分別為、的中點，與是異面直線，A選項正確；
取的中點為，連接、，
四邊形為平行四邊形，且，
、分別為、的中點，則且，
為的中點，且，則四邊形為平行四邊形，
，且平面，平面，平面，B選項正確；
若，由于，則，事實上，C選項錯誤；
，為的中點，，，，D選項正確.
故選：C．
【題型7 異面直線所成的角】
【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】如圖，確定（或其補角）為直線與所成的角，求出，進而求解.
【解答過程】如圖，連接，則，取的中點，連接，則，
所以（或其補角）為直線與所成的角，
又正四棱柱的體積為16，則該棱柱的高為，
又，
所以，
即直線與所成角的余弦值為.
故選：C.
【變式7-1】（2024·云南·二模）如圖，在正方體中，E、F、M、N分別是的中點，則異面直線EF與MN所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】在正方體中，作出異面直線EF與MN所成的角，利用定義法求解即得.
【解答過程】在正方體中，連接，
由，得四邊形為平行四邊形，，
由E、F、M、N分別是的中點，得，，
因此是異面直線EF與MN所成的角或其補角，
在中，，因此，
所以異面直線EF與MN所成的角是.
故選：C.
【變式7-2】（2024·陜西·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】是中點，連接，易知為直線與所成角的平面角，根據已知條件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.
【解答過程】若是中點，連接，
直三棱柱中且，則為平行四邊形，
所以，故直線與所成角即為，
令，又，則且，則，
又，故，又，
所以.
故選：A.
【變式7-3】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，，點是線段上靠近的三等分點，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用平移法作出異面直線與所成角，利用余弦定理解三角形即可求得答案.
【解答過程】
如圖所示，不妨取，分別取棱上點，
使得，由，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
在中，由得，
所以故（或其補角）為異面直線與所成角，
因為，所以底面，而底面，所以，
在中，，
所以，
在中，，
故異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
【題型8 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】
【例8】（2024·上海長寧·二模）已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【解題思路】根據空間中直線，平面的位置關系分析判斷各個選項.
【解答過程】對于A，由，，則與可能平行，相交，異面，故A錯誤；
對于B，由，，則或，故B錯誤；
對于C，由，，則，故C正確；
對于D，由，，則或或，故D錯誤.
故選：C.
【變式8-1】（2024·浙江紹興·三模）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【解題思路】由空間中的線線，線面，面面間的位置關系逐項分析判斷即可.
【解答過程】若，，則或，所以A錯；，，，，或，所以B錯；
若，，，則，所以C錯；若，，，則與兩面的交線平行，即，故D對.
故選：D.
【變式8-2】（2024·河南·三模）已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【解題思路】由空間中直線與直線，直線與平面，平面平面的位置關系逐一判斷各個選項即可.
【解答過程】A：由，可知、可能平行或相交，A錯誤；
B：由，，可知、可能平行或異面，B錯誤；
C：由，，，可知，C正確；
D：由，，，可知、可能平行或異面，D錯誤.
故選：C.
【變式8-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面.下列說法中正確的是（ ）
A．若 ，則
B．若 ，則
C．若，則
D．若 ，則
【解題思路】由線線，線面，面面之間的關系逐項判斷即可.
【解答過程】對于選項：若 ，則與平行或相交，故A不正確；
對于選項B：若 ，則與可平行 異面或相交，故B不正確；
對于選項C：若，則 或，故C不正確；
對于選項D：若，則 ，又 ，則 ，即D正確.
故選：D.
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定1個平面 B．三條直線最多可確定2個平面
C．三條直線最多可確定3個平面 D．三條直線最多可確定4個平面
【解題思路】根據平面的性質判斷即可.
【解答過程】在空間中，三條直線最多可確定個平面，
例如：三棱錐中的三個側面.
故選：C.
2．（2024·上海·三模）在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解題思路】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【解答過程】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，
反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，
所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.
故選：A.
3．（2024高一·全國·專題練面α，β，γ不能將空間分成（　　）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
【解題思路】根據三個平面的不同位置關系得出三個平面把空間分成4,6,7,8部分，判斷選項得出結果.
【解答過程】三個平面平行時，將空間分成4個部分；
三個平面相交于同一條直線時，將空間分成6個部分；
當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成6個部分；
當三個平面兩兩相交且有三條交線時，將空間分成7個部分；
當有兩個平面相交，第三個平面截兩個相交平面時，可將空間分成8個部分．
所以平面α，β，γ不能將空間分成5部分．
故選：A．
4．（2024·陜西銅川·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若直線兩兩相交，則直線共面
B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行
C．若平面上有三個不共線的點到平面的距離相等，則平面與平面平行
D．若不共面的4個點到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個
【解題思路】根據題意，結合空間中直線與平面位置關系的判定和性質，逐項判定，即可求解.
【解答過程】對于A中，當直線交于同一點時，則直線可能不共面，所以A錯誤；
對于B中，當直線傾斜方向不同時，直線與平面所成的角也可能相等，所以B錯誤；
對于C中，當這3個點不在平面的同側時，平面與平面相交，所以C錯誤；
對于D中，根據題意，顯然這4個點不可能在平面的同側，
當這4個點在平面兩側1，3分布時，這樣的平面有4個，
當這4個點在平面兩側2，2分布時，這樣的平面有3個，
所以這樣的平面有且只有7個，所以D正確.
故選：D．
5．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均相等，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據線線平行可得異面直線與所成角為（或其補角），即可根據余弦定理求解.
【解答過程】連接，取的中點，連接，
由題意知，，
則異面直線與所成角為（或其補角），
在中，，
則，
則異面直線與所成角的余弦值為，
故選：C．
6．（2024·寧夏銀川·三模）是兩個不同的點，為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】A、B可由書上的公理可直接判斷；C可由與相交時，交點為A點的情況進行判斷；D可直接根據線面位置關系來判斷點面位置關系.
【解答過程】A，直線上兩個不同點在某個平面內，則直線在該平面內，故正確；
B，兩個不同點同時在兩個不同平面內，則兩點所在直線為兩平面的交線，故正確；
C，有兩種情況，與相交或，其中與相交，且交點為A點，則C錯誤；
D，直線在面內，則直線上的點都在面內，故結論正確；
故選：C.
7．（2024·湖南·二模）如圖，在三棱柱中，分別為的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．四點共面 B．
C．三線共點 D．
【解題思路】對于AB，利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C，利用平面公理判斷得，的交點在，從而可判斷；對于D，舉反例即可判斷.
【解答過程】對于AB，如圖，連接，，
因為是的中位線，所以，
因為，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，所以 四點共面，故AB正確；
對于C，如圖，延長，相交于點，
因為，平面，所以平面，
因為，平面，所以平面，
因為平面平面，
所以，所以三線共點，故C正確；
對于D，因為，當時，，
又，則，故D錯誤.
故選：D.
8．（2024·陜西銅川·三模）在正方體中，分別為的中點，若，則平面截正方體所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】借助正方體截面的性質可得該截面是邊長為的正六邊形，計算其面積即可得.
【解答過程】如圖，過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點，
過點作的平行線交于點，易知點都在截面內，
且都是其所在棱的中點，從而所得截面是邊長為的正六邊形，
所求面積.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（ ）
A．經過兩條相交直線，有且只有一個平面
B．經過兩條平行直線，有且只有一個平面
C．經過三點，有且只有一個平面
D．經過一條直線和一個點，有且只有一個平面
【解題思路】根據基本事實以及推論即可逐項判斷.
【解答過程】根據基本事實以及推論，易知A，B正確；
對于C項，若三點共線，經過三點的平面有無數多個，故C錯誤；
對于D，若這個點在直線外，則確定一個平面，若這個點在直線上，可有無數平面，故D不正確；
故選：AB.
10．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，是兩條直線，是兩個平面，下列結論不正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【解題思路】根據題意，由空間中的線面位置關系，對選項逐一判斷，即可求解.
【解答過程】若，則平行或相交或異面，故A錯誤；
若，則，故B正確；
若，則平行或相交，故C錯誤；
若，則平行或相交，故D錯誤；
故選：ACD.
11．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在長方體中，，分別為，的中點，，分別為，的中點，則下列說法正確的是（ ）

A．四點，，，在同一平面內
B．三條直線，，有公共點
C．直線與直線不是異面直線
D．直線上存在點使，，三點共線
【解題思路】對于A：根據平行關系可證，即可得四點共面；對于B：根據平面的性質分析判斷；對于C：根據異面直線的判定定理分析判斷；對于D：可知與相交，即可判斷.
【解答過程】作圖，如圖：

對于選項A：連接，
因為，可知為平行四邊形，則，
又因為，分別為，的中點，則，
可得，所以四點，，，在同一平面內，故A正確；
對于選項B：延長，則相交于點，即，
又因為平面，平面，
則平面，平面，
且平面平面，所以，
即三條直線，，有公共點，故B正確；
對于選項C：因為平面，平面，，
所以直線與直線是異面直線，故C錯誤；
對于選項D：因為均在平面內，連接，則與相交，
所以直線上存在點使，，三點共線，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 ．
【解題思路】先根據異面直線所成角的定義確定為異面直線與所成的角或其補角；再根據勾股定理求出，余弦定理求出.，進而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出.
【解答過程】取的中點，連接，如圖所示：
因為為的中點，為的中點，
則根據三角形的中位線定理可得，且.
所以為異面直線與所成的角或其補角．
因為在中，，，，
所以，則.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因為在中，，
所以由余弦定理可得：.
則在中，由余弦定理可得，，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：.
13．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為 ．
【解題思路】作出輔助線，得到平面截該四棱柱所得截面為五邊形，求出各邊邊長，相加得到答案.
【解答過程】延長相交于點，連接交于點，連接，
因為正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，
所以，，，
因為∽，，故，，
在上取點，連接，則，
同理可知，所以四邊形為平行四邊形，
故四點共面，
則平面截該四棱柱所得的截面為五邊形，
，，
同理，
故截面周長為.
故答案為：.
14．（2024·全國·模擬預測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是 （1）（3） .（填寫正確推理與證明的序號）
（1）已知②③④，則①成立
（2）已知①③④，則②成立
（3）已知①②④，則③成立
（4）已知①②③，則④成立
【解題思路】由線面平行，垂直的判定定理和性質定理，以及面面平行的判定，性質定理判斷即可，不正確的舉出一個反例即可.
【解答過程】（1）若，，所以，因為，所以，（1）正確；
（2）若，，且是平面外的直線，則，又因為，所以與平行或相交，（2）錯誤；
（3）因為，，則，又因為，是平面外的直線，所以，（3）正確；
（4）若，，且是平面外的直線，則，又因為，則與平行或相交，（4）錯誤.
故答案為：（1）（3）.
四、解答題
15．（23-24高一·全國·課前預習）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：
(1)三個平面相交于一點P，且平面與平面相交于，平面與平面相交于，平面與平面相交于；
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.
【解題思路】根據點線面的關系，將文字語言轉化為符號語言和圖形語言．
【解答過程】（1）符號語言表示：,
圖形表示：如圖
；
（2）符號語言表示：平面平面，平面平面，圖形表示：如圖
16．（23-24高二·上海·課堂例題）已知直線和平面、，判斷下列命題的真假，并說明理由：
(1)若，，則；
(2)若，，則；
(3)若，，則．
【解題思路】根據線線、線面及面面的位置關系逐一判斷即可.
【解答過程】（1）命題為假命題，理由如下：
例如，如圖所示，平面，，平面.
（2）命題為假命題，理由如下：
例如，如圖所示，平面平面，
平面，平面.
（3）命題為假命題，理由如下：
例如，如圖所示，平面，
，平面.
17．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，是的中點，分別在上，且．
(1)證明：四點共面；
(2)若平面，求四棱錐的體積．
【解題思路】（1）取的中點，連接，由三角形中位線定理得，再根據線段間的關系得到，，從而得到四邊形為平行四邊形，即得，最后利用平行線的傳遞性得到，即可證得結論；
（2）利用割補法將四棱錐的體積等價為2個三棱錐的體積之和，同時多次利用三棱錐體積之間的關系進行轉化求解．
【解答過程】（1）證明：如圖所示，取的中點，連接，
因為分別是的中點，所以，
又因為，所以且，
又由，，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，所以，則四點共面．
（2）解：如圖所示，過點作交于點，則，
可得，，
連接，則
．
18．（2023·上海·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點.

(1)求該圓錐的側面積與體積；
(2)求異面直線AB與CD所成角的大小.
【解題思路】（1）由圓錐的側面積與體積公式求解即可；
（2）找到異面直線AB與CD所成角的平面角，計算即可.
【解答過程】（1）由題意，得，，
，
，；
（2）如圖：

取PO的中點E，連接DE，CE，因為點D是母線PA的中點，
所以，
則或其補角即為異面直線AB與CD所成角，
因為平面，平面，所以，所以，
因為點C是底面直徑AB所對弧的中點，所以，所以,
又，且兩直線在平面內，所以平面EOC，平面，∴，，
，
于是，即異面直線AB與CD所成角的大為.
19．（2024·廣西河池·模擬預測）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點，過，，的平面截四棱錐所得的截面為．
(1)若與棱交于點，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明．
(2)求多面體的體積．
【解題思路】（1）延長，連接交于，連接，可得截面；過作交于，通過證明，可得；
（2）由（1）可得，后由題目條件可得答案.
【解答過程】（1）延長，連接交于，連接，如圖，四邊形為截面.
中，，由，則為中點，為中點．
過作交于，則.
,.，即．
（2）.
由題意及（1）可得，.
則；
又可得，點F到平面BEC距離為，
則.
則．
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