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專題7.5 空間向量的概念與運算【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 空間向量的線性運算】 4
【題型2 空間共線向量定理的應用】 5
【題型3 空間向量數量積及其應用】 6
【題型4 空間向量基本定理及其應用】 6
【題型5 證明三點共線、四點共面】 7
【題型6 空間向量的坐標運算】 9
1、空間向量的概念與運算
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示 (2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直 2023年新高考I卷：第18題，12分 2024年上海卷：第15題，5分 空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內容，空間向量的概念與運算是空間向量與立體幾何的基礎.從近幾年的高考情況來看，空間向量的概念與運算考查相對較少，常以選擇題、填空題的形式考查，主要涉及空間向量的線性運算、數量積運算與空間向量基本定理等，難度較易.
【知識點1 空間向量的有關概念】
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
【知識點2 空間向量的線性運算】
1．空間向量的線性運算
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋ ＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共線向量定理
(1)共線向量定理
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；
②證明三點共線.
【知識點3 空間向量的數量積】
1．空間向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當〈a，b〉＝時，a⊥b.
2．空間向量的數量積
定義 已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 規定：零向量與任何向量的數量積都為0.
性質 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
運算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交換律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空間向量夾角的計算
求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．
4．空間向量數量積的計算
求空間向量數量積的步驟：
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積．
(3)代入求解．
【知識點4 空間向量基本定理及其應用】
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合
相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0.
5．求距離(長度)問題
＝( ＝ )．
6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．
【知識點5 空間向量的坐標運算】
1．空間向量的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
2．空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【方法技巧與總結】
1．三點共線：在平面中A,B,C三點共線(其中x+y=1)，O為平面內任意一點.
2．四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點.
【題型1 空間向量的線性運算】
【例1】（2024·山東棗莊·模擬預測）如圖，在長方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·上海·模擬預測）設A、B、C、D為空間中的四個點，則“”是“A、B、C、D四點共圓”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【變式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面體中，是的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 空間共線向量定理的應用】
【例2】（2024·貴州六盤水·模擬預測）已知，，不共面，若，，且三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（ ）
A．共線 B．共線
C．共面 D．不共面
【變式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，已知點，，，若向量與向量共線，則的值為（ ）
A．0 B． C．1 D．
【變式2-3】（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 空間向量數量積及其應用】
【例3】（2023·江蘇淮安·模擬預測）在四面體中，，，，，則的值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【變式3-1】（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐，，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·河南新鄉·二模）已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側面上運動，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 空間向量基本定理及其應用】
【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體中， 為的中點，若 ，則 （ ）
A．3 B． C． D．
【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【變式4-3】（23-24高二上·湖北·開學考試）在四面體中（如圖），平面平面，是等邊三角形，，，M為的中點，N在側面上（包含邊界），若，則下列正確的是（ ）

A．若，則∥平面 B．若，則
C．當最小時， D．當最大時，
【題型5 證明三點共線、四點共面】
【例5】（23-24高三上·四川成都·開學考試）在四棱柱中，，．

(1)當時，試用表示；
(2)證明：四點共面；
【變式5-1】（2024高二上·全國·專題練習）已知為空間9個點(如圖)，并且，，．，求證：
(1)四點共面；
(2)；
(3)．
【變式5-2】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．
(1)設向量，，，用、、表示向量、；
(2)求證：、、 三點共線．
【變式5-3】（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）已知，，是空間中不共面的向量，若，，.
(1)若三點共線，求的值；
(2)若四點共面，求的最大值．
【題型6 空間向量的坐標運算】
【例6】（2024·河南·模擬預測）已知空間向量，若共面，則實數 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式6-1】（2023·西藏日喀則·一模）已知向量，若與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·四川內江·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）設三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·河北·模擬預測）如圖，在四面體中，為的重心，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設，，且，則（ ）
A． B．0 C．3 D．
3．（24-25高二上·上海·課后作業）設，是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A、B、D三點共線，則實數k的值為（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
4．（2024·湖南長沙·一模）在平行六面體中，已知，，，，，則的值為（ ）
A．10.5 B．12.5
C．22.5 D．42.5
5．（2024·全國·模擬預測）在棱長為2的正方體中，已知，截面與正方體側面交于線段，則線段的長為（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023·河南·模擬預測）如圖，在平行六面體中，底面，側面都是正方形，且二面角的大小為，，若是與的交點，則（ ）

A． B． C． D．3
8．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，現有一陽馬，面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高二下·全國·課后作業）如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結果為向量的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，M為A1C1與B1D1的交點．若，，，則下列說法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024·江蘇南京·二模）已知平行六面體的棱長均為2，，點在內，則（ ）
A．平面 B．
C． D．
三、填空題
12．（2024·上海·三模）已知空間向量，，共面，則實數 .
13．（2024·山東濟南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
14．（2024·遼寧·一模）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對于任意，都有（其中），則 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
16．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知空間三點，，，設，．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若，，求．
17．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，，，底面，分別為側棱的中點，點在上且．求證：四點共面.
18．（2024·貴州六盤水·模擬預測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
19．（2024·云南·模擬預測）三階行列式是解決復雜代數運算的算法，其運算法則如下： .若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標原點，分別以的方向為軸 軸 軸的正方向建立空間直角坐標系，已知是空間直角坐標系中異于的不同兩點.
(1)①若，求；
②證明：.
(2)記的面積為，證明：；
(3)問：的幾何意義表示以為底面 為高的三棱錐體積的多少倍？
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【新高考專用】
【題型1 空間向量的線性運算】 4
【題型2 空間共線向量定理的應用】 6
【題型3 空間向量數量積及其應用】 8
【題型4 空間向量基本定理及其應用】 11
【題型5 證明三點共線、四點共面】 14
【題型6 空間向量的坐標運算】 17
1、空間向量的概念與運算
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示 (2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直 2023年新高考I卷：第18題，12分 2024年上海卷：第15題，5分 空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內容，空間向量的概念與運算是空間向量與立體幾何的基礎.從近幾年的高考情況來看，空間向量的概念與運算考查相對較少，常以選擇題、填空題的形式考查，主要涉及空間向量的線性運算、數量積運算與空間向量基本定理等，難度較易.
【知識點1 空間向量的有關概念】
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
【知識點2 空間向量的線性運算】
1．空間向量的線性運算
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋ ＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共線向量定理
(1)共線向量定理
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；
②證明三點共線.
【知識點3 空間向量的數量積】
1．空間向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當〈a，b〉＝時，a⊥b.
2．空間向量的數量積
定義 已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 規定：零向量與任何向量的數量積都為0.
性質 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
運算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交換律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空間向量夾角的計算
求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．
4．空間向量數量積的計算
求空間向量數量積的步驟：
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積．
(3)代入求解．
【知識點4 空間向量基本定理及其應用】
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合
相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0.
5．求距離(長度)問題
＝( ＝ )．
6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．
【知識點5 空間向量的坐標運算】
1．空間向量的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
2．空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【方法技巧與總結】
1．三點共線：在平面中A,B,C三點共線(其中x+y=1)，O為平面內任意一點.
2．四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點.
【題型1 空間向量的線性運算】
【例1】（2024·山東棗莊·模擬預測）如圖，在長方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由空間向量的線性運算結合長方體的結構特征進行運算.
【解答過程】由長方體的結構特征，有，
則.
故選：B.
【變式1-1】（2024·上海·模擬預測）設A、B、C、D為空間中的四個點，則“”是“A、B、C、D四點共圓”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【解題思路】根據共面的性質，結合空間向量的加法和減法的幾何意義、充分性、必要性的定義進行判斷即可.
【解答過程】由 ，
當“A、B、C、D四點在同一條直線上時， A, B, C, D四點不共圓，
若A、B、C、D四點共圓，當ABCD 是矩形時，此時AC，BD為圓的直徑,滿足，而當ABCD 不是矩形時，顯然AC，BD不是圓的直徑，此時.
故選: D.
【變式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面體中，是的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件作出圖形，利用空間向量的加法法則即可得解.
【解答過程】因為四面體中，是的中點，
所以.
故選：B.
【變式1-3】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】借助空間向量的線性運算計算即可得.
【解答過程】
，故A、B錯誤；
，故C錯誤、D正確.
故選：D.
【題型2 空間共線向量定理的應用】
【例2】（2024·貴州六盤水·模擬預測）已知，，不共面，若，，且三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據向量共線設，從而得到方程組，求出，得到答案.
【解答過程】因為三點共線，所以，
即，故，解得，
所以.
故選：C.
【變式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（ ）
A．共線 B．共線
C．共面 D．不共面
【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.
【解答過程】若共線，則，
又，則共線，
與條件矛盾，故A錯誤；
同理若共線，則，
又，則共線，
與條件矛盾，故B錯誤；
根據空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯誤.
故選：C.
【變式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，已知點，，，若向量與向量共線，則的值為（ ）
A．0 B． C．1 D．
【解題思路】根據向量平行的坐標關系直接求解可得.
【解答過程】根據題意：，，
與共線，所以，
可得，．
故選：B.
【變式2-3】（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據共線定理及空間向量線性運算可得結果.
【解答過程】如圖：連接交于H，則H為中點，連接,
因為平面，平面，設，則，
又平面，所以平面，故K為與平面的交點，
又因為與平面交于點F，所以F與K重合，
又E為的中點，G為平面的重心，
因為點A，F，G三點共線，則
又因為點E，F，H三點共線，則，
,
所以，解得，即，故.
故選：C.
【題型3 空間向量數量積及其應用】
【例3】（2023·江蘇淮安·模擬預測）在四面體中，，，，，則的值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【解題思路】根據空間數量積的運算律計算可得.
【解答過程】因為，，
所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.

故選：B.
【變式3-1】（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐，，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用體積法求出球半徑，再利用向量數量積的運算律計算即得.
【解答過程】令是正四棱錐底面正方形中心，則平面，而，
則，正四棱錐的體積，
正四棱錐的表面積，
顯然球的球心在線段上，設球半徑為，則，即，
在中，，于是，又EF是球O的一條直徑，
因此，
顯然，則，，
所以的取值范圍為.
故選：A.
【變式3-2】（2024·河南新鄉·二模）已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側面上運動，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，最小時，有最小值，求的最小值即可.
【解答過程】圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，
則有，，
點在圓錐的側面上運動，
則，
最小時，有最小值，的最小值為點到圓錐母線的距離，
中，，，則，點到的距離，
則的最小值為，的最小值為.
故選：A.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用空間向量的線性運算及數量積公式結合夾角余弦的范圍計算即可.
【解答過程】
如圖所示，延長交底面圓周于B，過Q作底面圓于G點，
顯然，
由題意可知，
所以的取值范圍為.
故選：A.
【題型4 空間向量基本定理及其應用】
【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據空間向量的線性運算，結合重心的性質即可求解.
【解答過程】取中點為，
三個式子相加可得,
又
,
故選：D.
【變式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體中， 為的中點，若 ，則 （ ）
A．3 B． C． D．
【解題思路】根據空間向量的基本定理與應用即可求解.
【解答過程】，
又，所以，
所以.
故選：B.
【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】以，，作為一組基底表示出，再根據數量積的運算律求出，即可得解.
【解答過程】依題意
，
所以
，
所以，即.
故選：C.
【變式4-3】（23-24高二上·湖北·開學考試）在四面體中（如圖），平面平面，是等邊三角形，，，M為的中點，N在側面上（包含邊界），若，則下列正確的是（ ）

A．若，則∥平面 B．若，則
C．當最小時， D．當最大時，
【解題思路】根據可證平面，設，且，進而可得，對于A：若，則點即為點，進而可得結果；對于B：若，可得點在線段上（包括短點），結合垂直關系分析判斷；對于C、D：過作，垂足為，可證平面，則，結合圖形分析判斷.
【解答過程】因為，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
且平面，可得，
又因為N在側面上（包含邊界），設，且，
可得
，
又因為，可得，且.
對于選項A：若，則，可得點即為點，
顯然平面，故A錯誤；
對于選項B：若，則，可得點在線段上（包括端點），
由平面，可知當且僅當點為點，，故B錯誤；
過作，垂足為，可得，，

因為平面，平面，則，
且，平面，所以平面，
可得，
對于選項C：顯然當點即為點時，最小，此時，
可得，故C正確；
對于選項D：顯然當點即為點時，最大，則最大，此時，
可得，故D錯誤；
故選：C.
【題型5 證明三點共線、四點共面】
【例5】（23-24高三上·四川成都·開學考試）在四棱柱中，，．

(1)當時，試用表示；
(2)證明：四點共面；
【解題思路】（1）根據空間向量線性運算進行求解；
（2）設（不為0），推導出，進而證明出四點共面.
【解答過程】（1）四棱柱中，，
因為，
所以
；
（2）設（不為0），
，
則共面且有公共點，則四點共面.
【變式5-1】（2024高二上·全國·專題練習）已知為空間9個點(如圖)，并且，，．，求證：
(1)四點共面；
(2)；
(3)．
【解題思路】（1）根據向量的共面定理，即可求解；
（2）根據空間向量的運算法則，準確運算，即可求解；
（3）根據空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.
【解答過程】（1）解：因為，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因為有公共點，所以四點共面.
（2）解：因為，
則
，
所以.
（3）解：由（1）及，
可得，
所以，即.
【變式5-2】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．
(1)設向量，，，用、、表示向量、；
(2)求證：、、 三點共線．
【解題思路】（1）借助空間向量的線性運算計算即可得；
（2）借助向量共線定理證明即可得.
【解答過程】（1）因為，則，
所以，
又因為，則，
所以
；
（2）因為
，且，
所以，即、、三點共線．
【變式5-3】（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）已知，，是空間中不共面的向量，若，，.
(1)若三點共線，求的值；
(2)若四點共面，求的最大值．
【解題思路】（1）由三點共線可設，列方程求；
（2）由四點共面可設，列方程可得的關系，由此可求的最大值．
【解答過程】（1）因為三點共線，則，
又， ，
有}解得；
（2）因為四點共面，則，
則 ，
有 解得，
所以，
當時，取到最大值
【題型6 空間向量的坐標運算】
【例6】（2024·河南·模擬預測）已知空間向量，若共面，則實數 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據空間向量共面定理可知存在一對有序實數，使，然后列方程組可求得答案.
【解答過程】因為不共線，共面，
所以存在一對有序實數，使，
所以，
所以，解得，
故選：A.
【變式6-1】（2023·西藏日喀則·一模）已知向量，若與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據垂直關系可得，進而根據坐標運算以及模長公式即可求解.
【解答過程】由于與垂直，所以，所以，
故，
故選：D.
【變式6-2】（2024·四川內江·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【解題思路】利用空間向量的夾角余弦值公式即可求得.
【解答過程】解： ，，
.
故選：B.
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）設三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立空間直角坐標系，不妨假設A在平面中，設，，，和分別是點，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解
【解答過程】將正方體置于空間直角坐標系中，且A在平面中，點和點的連線是一條體對角線．
設，，，
和分別是點，在平面上的投影．
可得，，，
則
，
因為，
當且僅當點C為的中點時，等號成立，
可得，
所以，當，，且時等號成立．
故選：B.
一、單選題
1．（2024·河北·模擬預測）如圖，在四面體中，為的重心，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由空間向量的運算，代入計算，即可得到結果.
【解答過程】
如圖，連接并延長交于點.則為的中點，
所以，
所以.
故選：A.
2．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設，，且，則（ ）
A． B．0 C．3 D．
【解題思路】根據向量的垂直和平行，先求出的值，再求所給向量的模.
【解答過程】由 ，
由 ，.
所以 .
故選：D.
3．（24-25高二上·上海·課后作業）設，是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A、B、D三點共線，則實數k的值為（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【解題思路】利用空間向量共線定理求解即可.
【解答過程】因為A、B、D三點共線，所以使得
又，，，
所以
則
則 解得：
故選：A.
4．（2024·湖南長沙·一模）在平行六面體中，已知，，，，，則的值為（ ）
A．10.5 B．12.5
C．22.5 D．42.5
【解題思路】將作為基底，然后用基底表示出，再求其數量積即可.
【解答過程】由題意得，，
因為，，，，，
所以
，
故選：A.
5．（2024·全國·模擬預測）在棱長為2的正方體中，已知，截面與正方體側面交于線段，則線段的長為（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】根據題意，得到，再由面面平行的性質，證得，結合，即可求解.
【解答過程】如圖所示，因為，所以，
因為平面平面，設平面平面，平面平面，所以，
又因為，所以
過點作，可得，
則為的中點，為的四等分點，
又因為，所以為的四等分點，所以.
故選：C．

6．（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】取中點，根據空間向量的數量積運算得，判斷的最大值即可求解.
【解答過程】取中點，可知在球面上，可得，
所以，

點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，當為直徑時，，
所以的最大值為.
故選：B.
7．（2023·河南·模擬預測）如圖，在平行六面體中，底面，側面都是正方形，且二面角的大小為，，若是與的交點，則（ ）

A． B． C． D．3
【解題思路】根據平行六面體的結構特征及向量對應線段位置關系，結合向量加法、數乘的幾何意義用表示出，再應用向量數量積的運算律求即可.
【解答過程】在平行六面體中，四邊形是平行四邊形，
又是的交點，所以是的中點，
所以，
由題意，，，
所以，即．
故選：B.
8．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，現有一陽馬，面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知可求得，建立空間坐標系，利用已知設，，根據向量的數量積公式及輔助角公式計算即可得出結果.
【解答過程】平面，，連接，由，可得，
四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，
則，，設，，
則，
所以
因為，則，則，
所以.
故選：D.
二、多選題
9．（23-24高二下·全國·課后作業）如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結果為向量的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【解題思路】利用向量加法的運算，對四個式子逐一計算出結果，由此得出正確選項.
【解答過程】對于A,；
對于B，；
對于C,；
對于D,．
故選：ABCD.
10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，M為A1C1與B1D1的交點．若，，，則下列說法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意可知，，再利用空間向量的線性運算和數量積運算逐個判斷各個選項即可．
【解答過程】由題意可知，，
對于A，，故A正確；
對于B，又因為，
所以，
所以，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確．
故選：AD．
11．（2024·江蘇南京·二模）已知平行六面體的棱長均為2，，點在內，則（ ）
A．平面 B．
C． D．
【解題思路】由面面平行的判定及性質即可判斷A；以為基底，證明出平面，即可判斷B；由即可判斷出D；由正弦定理，勾股定理及函數單調性即可判斷出C．
【解答過程】對于A，連接，
由平行六面體得，平面平面，平面平面，
因為平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
因為平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因為，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面，故A正確；
對于B，以為基底，
則，，，
因為平行六面體的棱長均為2，，
所以，
，
所以，
因為平面，且，
所以平面，又平面，
所以，故B正確；
對于D，，
，即，
所以，當點共線時等號成立，故D正確；
對于C，因為平面，則交的外心，連接，
則，
在中，由正弦定理得外接圓直徑，，則，，
設，
在中，，
在中，，
則，
所以，故C錯誤；
故選：ABD．
三、填空題
12．（2024·上海·三模）已知空間向量，，共面，則實數 3 .
【解題思路】根據空間向量共面得到，得到方程，求出
【解答過程】設，即，
故，解得.
故答案為：3.
13．（2024·山東濟南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
【解題思路】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底，將相關向量分別用基底表示，再利用平面，確定必共面，運用空間向量共面定理表達，建立方程組計算即得.
【解答過程】
如圖，不妨設，依題意，,
，
因，則
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
從而有，解得.
故答案為：.
14．（2024·遼寧·一模）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對于任意，都有（其中），則 ．
【解題思路】首先分析題意，由結合空間向量的數量積定義求解的值，進行下一步化簡得出則當時，取得最小值，得到，多次求解二次函數最值可得答案.
【解答過程】因為且兩者均為單位向量，所以
，
又因為對于任意的 都有，
則當時，取得最小值，
則當
，
令，
由二次函數性質得當,
令，同理，即，
故，
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
【解題思路】根據空間向量的線性運算依次求解即可.
【解答過程】（1），
向量如圖所示，

（2）；
向量如圖所示，

（3），
設是線段的中點，
則.
向量如圖所示，

16．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知空間三點，，，設，．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若，，求．
【解題思路】（1）根據空間向量垂直得到方程，求出答案；
（2）設，根據平行和模長得到方程組，求出答案.
【解答過程】（1），
故，
，
因為互相垂直，所以，
解得或；
（2），
設，則且，
解得或，
故或.
17．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，，，底面，分別為側棱的中點，點在上且．求證：四點共面.
【解題思路】易知，由線面垂直的性質可得，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量坐標方法，設建立方程待定，即可證明四點共面.
【解答過程】因為平面是菱形，所以，
由平面，平面，得，
所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
，
則，
由知，點為靠近的三等分點，則，
所以，
設，則，解得，
則，所以共面，
又直線的公共點為，所以四點共面.
18．（2024·貴州六盤水·模擬預測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
【解題思路】（1）根據空間向量線性運算法則計算可得；
（2）根據數量積的運算律求出，即可得解.
【解答過程】（1）依題意可得
（2）依題意可得，
所以
，
所以，即.
19．（2024·云南·模擬預測）三階行列式是解決復雜代數運算的算法，其運算法則如下： .若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標原點，分別以的方向為軸 軸 軸的正方向建立空間直角坐標系，已知是空間直角坐標系中異于的不同兩點.
(1)①若，求；
②證明：.
(2)記的面積為，證明：；
(3)問：的幾何意義表示以為底面 為高的三棱錐體積的多少倍？
【解題思路】（1）利用向量的叉乘的定義進行分析運算即可；
（2）利用數量積公式求得，則，可得，借助叉乘公式利用分析法即可證得結果；
（3）由，化簡可得，即可得到結果.
【解答過程】（1）①解：因為，
則.
②證明：設，
則
，
與互換，與互換，與互換，
可得，
故.
（2）證明：因為
.
故，
故要證，
只需證，
即證.
由（1），
故，
又，
則成立，
故.
（3）由（2），
得
，
故，
故的幾何意義表示：
以為底面 為高的三棱錐體積的6倍.
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