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專題8.1 直線的方程【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 直線的傾斜角與斜率】 3
【題型2 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】 4
【題型3 求直線的方程】 7
【題型4 直線過定點(diǎn)問題】 8
【題型5 三線能圍成三角形的問題】 10
【題型6 兩直線的夾角問題】 12
【題型7 軌跡問題——直線】 13
【題型8 直線方程的綜合應(yīng)用】 15
1、直線的方程
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式 (2)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式) 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第10題，5分 從近幾年的高考情況來看，高考對直線方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法.
【知識點(diǎn)1 直線的方程】
1．直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義
①當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.
(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式
過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
3．直線的方向向量
設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則就是這條直線的方向向量.
4．辨析直線方程的五種形式
方程形式 直線方程 局限性 選擇條件
點(diǎn)斜式 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知斜率；②已知
一點(diǎn)
斜截式 y=kx+b 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知在y軸上的截距；②已知斜率
兩點(diǎn)式 不能表示與x軸、
y軸垂直的直線 ①已知兩個定點(diǎn)；②已知兩個截距
截距式 不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點(diǎn)的直線 ①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全為0) 表示所有的直線 求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程
【知識點(diǎn)2 求直線方程的一般方法】
1．求直線方程的一般方法
(1)直接法
直線方程形式的選擇方法：
①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；
②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；
③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；
④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.
(2)待定系數(shù)法
先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.
利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.
若已知直線過定點(diǎn)，則可以利用直線的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).
【方法技巧與總結(jié)】
1．牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.
2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.
3．斜率為k的直線的一個方向向量為(1,k).
【題型1 直線的傾斜角與斜率】
【例1】（2024·陜西西安·二模）直線的傾斜角（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)直線方程求出斜率，再由斜率得出傾斜角即可.
【解答過程】由可得，，
所以直線斜率，
又，所以，
故選：A.
【變式1-1】（2024·安徽合肥·三模）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由方向向量的坐標(biāo)得出直線的斜率，再求傾斜角即可.
【解答過程】由題意可得：直線的斜率，即直線的傾斜角為.
故選：A.
【變式1-2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）直線，的斜率分別為1，2，，夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，由兩角差的正切公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系計算可得結(jié)果.
【解答過程】設(shè)直線，的傾斜角分別為，則,;
因此；
所以.
故選：C.
【變式1-3】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得到斜率的取值范圍.
【解答過程】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
故的取值范圍是.
故選：C.
【題型2 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】
【例2】（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，與直線，且直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．或 B．或 C． D．
【解題思路】直線經(jīng)過定點(diǎn)，求得、的斜率，再數(shù)形結(jié)合可得直線的斜率的取值范圍.
【解答過程】解：已知點(diǎn)，與直線，且直線與線段相交，
直線，即直線，它經(jīng)過定點(diǎn)，
的斜率為，的斜率為，
則直線的斜率的取值范圍為或，
故選：A.
【變式2-1】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計算即可.
【解答過程】直線的斜率為，直線的斜率為，
結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.
故選：D.
【變式2-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)、、， 過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
【解題思路】過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線l的斜率或，進(jìn)而求解即可
【解答過程】如圖，過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率或，
而，于是直線l的斜率或，
所以直線l斜率k的取值范圍是，
故選：C.

【變式2-3】（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線的斜率的取值范圍，即可得出直線的傾斜角的取值范圍.
【解答過程】直線的方程可化為，
聯(lián)立方程組，可得，所以直線過定點(diǎn)，
設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，
因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，
所以，即，
因?yàn)椋曰颍?br/>故直線的傾斜角的取值范圍是．
故選：D．
【題型3 求直線的方程】
【例3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】方法一：由直線的方向量求出直線斜率，然后利用點(diǎn)斜式可求出直線方程；方法二：由已知可得直線的一個法向量為，則設(shè)直線為，再將代入求出，從而可得直線方程.
【解答過程】方法一 ∵直線的一個方向向量為，∴，
∴直線的方程為，即．
方法二 由題意知直線的一個法向量為，
∴直線的方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，
故所求直線的方程為．
故選：B.
【變式3-1】（2024·廣東珠海·模擬預(yù)測）過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.
【解答過程】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，
所以，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是，
即.
故選：C.
【變式3-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)邊上的高所在的直線為，求出直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.
【解答過程】設(shè)邊上的高所在的直線為，
由已知可得，，所以直線l的斜率.
又過，所以的方程為，
整理可得，.
故選：A.
【變式3-3】（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）已知直線l傾斜角的余弦值為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意利用同角三角關(guān)系可得直線l的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.
【解答過程】設(shè)直線l的傾斜角為，則，可得，
則直線l的斜率，
且直線l經(jīng)過點(diǎn)，
所以直線l的方程為，即.
故選：A.
【題型4 直線過定點(diǎn)問題】
【例4】（23-24高二上·安徽六安·期末）直線，當(dāng)變動時，所有直線都通過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直線方程轉(zhuǎn)化為：，然后令，解方程即可求解．
【解答過程】解：直線方程轉(zhuǎn)化為：，
令，解得，
所以直線過定點(diǎn)，
故選：A．
【變式4-1】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知，滿足，則直線必過定點(diǎn)（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用已知條件消去，令的系數(shù)為0即可.
【解答過程】由，得，
代入直線方程中，
得，即，
令，解得，
所以該直線必過定點(diǎn).
故選：D.
【變式4-2】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先確定直線所過定點(diǎn)及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可確定滿足題意的臨界狀態(tài)，結(jié)合直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得結(jié)果.
【解答過程】由題意知：直線恒過定點(diǎn)；
直線與軸分別交于點(diǎn)，；
在平面直角坐標(biāo)系中作出直線如下圖所示，
結(jié)合圖象可知：若直線與直線交點(diǎn)位于第二象限，則臨界狀態(tài)為如圖所示的位置，其中過點(diǎn)，與直線平行；
，，傾斜角為，傾斜角為，
直線傾斜角的取值范圍為.
故選：D.
【變式4-3】（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）若直線恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【解答過程】因?yàn)椋瑒t，
令，解得，
即直線恒過點(diǎn).
又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，
可得，且，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
所以的最大值為.
故選：B.
【題型5 三線能圍成三角形的問題】
【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三條不同的直線，，不能圍成一個三角形，則a的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分線線平行和三線共點(diǎn)討論即可.
【解答過程】若，則，解得．若，則，解得．
若，，交于一點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得得，
代入，得，解得，故a的取值集合為．
故選：D.
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（ ）
A．個 B．個
C．個 D．個
【解題思路】分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)，則三條直線不能構(gòu)成三角形.
【解答過程】三條直線不能構(gòu)成三角形 至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).
若∥，則；若∥，則 ；
若∥，則 的值不存在；
若三條直線相交于同一點(diǎn)，
直線和聯(lián)立： ，直線和交點(diǎn)為;
直線和聯(lián)立： ，直線和交點(diǎn)為;
三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合 或.
故實(shí)數(shù)的取值最多有個.
故選:C.
【變式5-2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知三條直線、、不能圍成一個三角形，則實(shí)數(shù)的值為 6或-4或 ．
【解題思路】分直線與平行，與平行，過與的交點(diǎn)三種情況分別求解可得.
【解答過程】由題知，當(dāng)直線與平行，即，時，三條直線無法圍成三角形；
當(dāng)與平行，即，時，三條直線無法圍成三角形；
由解得，當(dāng)直線過點(diǎn)，即，即時，三條直線無法圍成三角形.
綜上，當(dāng)或或時，三條直線無法圍成三角形.
故答案為：6或-4或.
【變式5-3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直線，若直線不能圍成三角形，寫出一個符合要求的實(shí)數(shù)的值 （只需寫出其中一個即可） ．
【解題思路】聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)，列出直線不能圍成三角形的條件，分別解出即可.
【解答過程】由解得，所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
過定點(diǎn)，
若直線不能圍成三角形，只需經(jīng)過點(diǎn)，或與平行，或與平行，
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，，解得；
當(dāng)與平行時，，解得；
當(dāng)與平行時，，解得.
故的值為.
故答案為：（只需寫出其中一個即可）.
【題型6 兩直線的夾角問題】
【例6】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直線與直線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】借助傾斜角與斜率的關(guān)系可得兩直線的傾斜角，即可得其夾角.
【解答過程】設(shè)兩直線的傾斜角分別為，由，則，
由，則，即，
則兩直線夾角為.
故選：B.
【變式6-1】（23-24高二上·福建福州·期中）已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【解題思路】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)得到，根據(jù)夾角得到答案.
【解答過程】，即，
設(shè)直線的傾斜角為，，則，，
夾角為，故或.
故選：C.
【變式6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為 ．
【解題思路】先由斜率的定義求出兩直線的傾斜角，然后再利用兩角差的正切展開式計算出夾角的正切值，最后求出結(jié)果.
【解答過程】設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，
則，且，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，即兩條直線的夾角為，
故答案為：.
【變式6-3】（23-24高二上·上海奉賢·期中）直線與直線的夾角，則a的取值范圍是 ．
【解題思路】利用兩條直線的夾角公式求解即可.
【解答過程】由題知直線的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)橹本€與直線的夾角，
所以，即，
解得.
故答案為：.
【題型7 軌跡問題——直線】
【例7】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程表示的圖形是（ ）
A．兩條直線 B．四條直線 C．兩個點(diǎn) D．四個點(diǎn)
【解題思路】求出即可得到圖形.
【解答過程】因?yàn)椋瑒t，解得 ，解得，
其表示的兩條圖形為兩條直線.
故選：A.
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知滿足方程，則M的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
【解題思路】將方程轉(zhuǎn)化為，利用方程的幾何意義判斷.
【解答過程】滿足方程，
即滿足方程，
幾何意義為：點(diǎn)M到直線x-2y+3=0和到點(diǎn)（-1，1）的距離相等，
又因?yàn)辄c(diǎn)（-1，1）在直線x-2y+3=0上，
所以點(diǎn)M的軌跡為一條直線，
故選：A.
【變式7-2】（23-24高三·全國·課后作業(yè)）若過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為 .
【解題思路】設(shè)，則，連接，，根據(jù)計算得到答案.
【解答過程】設(shè)，則，連接，
，，即，化簡即得.
故答案為：.
【變式7-3】（23-24高二上·上海徐匯·期中）若動點(diǎn)A、B分別在直線和上移動，則中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為 .
【解題思路】先求出中點(diǎn)的軌跡，判斷為直線，則其到原點(diǎn)的距離的最小值即為原點(diǎn)到該直線的距離.
【解答過程】設(shè)，，中點(diǎn)
由題可知，
所以，
又，
所以
即中點(diǎn)P的軌跡為直線.
則P到原點(diǎn)的距離的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，
，
故答案為：.
【題型8 直線方程的綜合應(yīng)用】
【例8】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）設(shè)直線l的方程為．
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過第二象限？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）確定，再分別求出直線在軸上的截距，列出方程求解即得.
（2）化直線方程為點(diǎn)斜式，由直線不過第二象限，列出不等式組并求解即得.
【解答過程】（1）當(dāng)時，直線平行于軸，在軸上無截距，不合題意，
則，直線在軸上的截距分別為，
依題意，，解得或，
當(dāng)時，直線的方程為，當(dāng)時，直線的方程為，
所以直線的方程為或 ．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使直線不經(jīng)過第二象限，
而直線的方程化為，
則有，解得，
所以存在實(shí)數(shù)使直線不經(jīng)過第二象限，的取值范圍為．
【變式8-1】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知三角形的頂點(diǎn)為，，.
(1)求直線的方程；
(2)若直線l過點(diǎn)B且與直線交于點(diǎn)E，，求直線l的方程.
【解題思路】（1）由，，即可求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式即可寫出直線的方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，解出的值，根據(jù)、點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線的方程.
【解答過程】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的方程為：，
即直線的方程為：.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)E在直線上，直線的方程為：，
所以設(shè)的坐標(biāo)為，，，
，
解得：或，
的坐標(biāo)為或，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率不存在時，則，
當(dāng)直線的斜率存在時，，
所以，化簡可得.
直線的方程為或.
【變式8-2】（23-24高二下·上海·期中）數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心 垂心 重心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，
(1)求三角形外心的坐標(biāo)；
(2)求頂點(diǎn)的坐標(biāo).
【解題思路】（1）根據(jù)題意可得邊的垂直平分線的所在的直線方程為，結(jié)合題意聯(lián)立方程求解即可；
（2）設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合重心坐標(biāo)公式可得，由外心可得，聯(lián)立方程求解即可.
【解答過程】（1）由題意可知：邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
邊的垂直平分線的所在的直線方程為，即，
聯(lián)立方程，解得
所以的外心的坐標(biāo)為.
（2）設(shè)，則的重心為，
代入歐拉線方程得，整理得，
由（1）可知：的外心坐標(biāo)為，
可知，則，
整理得，
聯(lián)立方程，解得或，
當(dāng)時，點(diǎn)B，C重合，舍去，
所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是.
【變式8-3】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍；
(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時直線的方程.
【解題思路】（1）轉(zhuǎn)化為斜截式，根據(jù)直線不經(jīng)過第三象限得到不等式，求出答案；
（2）表達(dá)出，利用基本不等式求出面積的最小值，并得到直線的方程.
【解答過程】（1）直線可化為，
要使直線不經(jīng)過第三象限，則，解得，
的取值范圍為.
（2）由題意可得中，取，得，
取，得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取“=”，
此時的最小值為4，直線的方程為.
一、單選題
1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先將直線變形成斜截式，再根據(jù)傾斜角的取值范圍結(jié)合直線斜率公式求得即可.
【解答過程】由題意可將原直線方程變形為，
由傾斜角的取值范圍，所以傾斜角為.即A、 B 、C錯誤.
故選：D.
2．（23-24高二上·廣東東莞·期末）若直線l的一個方向向量是，則直線l的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)方向向量得到斜率，進(jìn)而求出傾斜角.
【解答過程】直線l的一個方向向量是，故斜率為
設(shè)直線l的傾斜角是，則，
故.
故選：C.
3．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）直線，的傾斜角分別為，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)傾斜角的范圍，正切的性質(zhì)判斷“”與“”的邏輯關(guān)系即可.
【解答過程】因?yàn)橹本€，的傾斜角分別為，，
所以，
若，則，
若，則都不存在，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
4．（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】依題意設(shè)直線的方程為，代入求出參數(shù)的值，即可得解.
【解答過程】因?yàn)橹本€平行于直線，所以直線可設(shè)為，
因?yàn)樵谳S上的截距是，則過點(diǎn)，代入直線方程得，
解得，所以直線的方程是.
故選：C.
5．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
【解題思路】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【解答過程】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號.
故選：B.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分為圍成的等腰三角形底邊在x軸上、底邊在直線上和底邊在直線上三種情況，分別求解即可.
【解答過程】令直線的傾斜角分別為，則，
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時，或，
因?yàn)椋遥獾茫?br/>所以，或；
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，則.
故選：D．
7．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)傾斜角變化得到斜率的取值范圍.
【解答過程】如圖所示，

直線逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置才能保證過點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，
從轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，
此時斜率，所以此時；
從旋轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負(fù)無窮開始變大，
此時斜率，所以此時，
綜上可得直線的斜率的取值范圍為.
故選：A.
8．（2024·江西上饒·一模）作圓一個內(nèi)接正十二邊形，使該正十二邊形中的4個頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正十二邊形的一條邊所在直線的為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意畫出圖形，把正十二邊形的各點(diǎn)表示出來，結(jié)合選項一一判斷即可.
【解答過程】如圖：
可知，
，
直線的方程，即，A正確；
直線的方程，即，B正確；
直線的方程為，即，D正確.
經(jīng)檢驗(yàn)直線不符合,
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，下列說法不正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或
【解題思路】由題意利用直線的傾斜角和斜率的定義，逐一判斷即可.
【解答過程】對于A，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線沒有斜率，故A錯誤；
對于B，當(dāng)直線的傾斜角為時，斜率為，
當(dāng)直線的傾斜角為時，斜率為，故B錯誤；
對于C，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率不存在，故C錯誤；
對于D，當(dāng)直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
當(dāng)直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
即與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或，故D正確.
故選：ABC.
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直線l過點(diǎn)，且橫、縱截距的絕對值相等，則直線l的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】分直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)，將點(diǎn)代入求解.
【解答過程】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時，橫縱截距為0，符合題意，此時直線方程為；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，可設(shè)橫縱截距分別為(或，均不為0)，
則直線方程為，可解得或，
則直線方程為或.
故選：ABD.
11．（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）對于直線：，下列說法錯誤的是（ ）
A．直線恒過定點(diǎn) B．直線斜率必定存在
C．時直線的傾斜角為 D．時直線在軸上的截距為
【解題思路】求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷A，當(dāng)時斜率不存在，即可判斷B，求出直線的斜率，從而得到傾斜角，即可判斷C，求出直線與軸的交點(diǎn)，即可判斷D.
【解答過程】直線，令，則，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)時，直線斜率不存在，故B不正確；
當(dāng)時直線，即，則直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為，故C不正確；
當(dāng)時直線，令，解得，即直線在軸上的截距為，故D正確；
故選：BC．
三、填空題
12．（2024·上海嘉定·一模）直線與直線的夾角大小為 .
【解題思路】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．
【解答過程】因?yàn)橹本€的斜率不存在，傾斜角為，
直線的斜率為，傾斜角為，
故直線與直線的夾角為，
故答案為：．
13．（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
【解題思路】根據(jù)直線方程求出直線斜率為，由此確定直線傾斜角，結(jié)合已知條件求得直線傾斜角為，由此即可求得直線的斜率.
【解答過程】由直線方程：得的傾斜角為，
所以的傾斜角為，即的斜率為.
故答案為：.
14．（2024·陜西西安·一模）過點(diǎn)，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為 或 ．
【解題思路】按直線是否過原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.
【解答過程】當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線在軸上的截距和在軸上的截距相等，則直線方程為；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，則，解得，直線方程為，
所以所求直線方程為或.
故答案為：或.
四、解答題
15．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線的傾斜角為銳角和鈍角時，分別求出的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值.
【解題思路】（1）由斜率為正或?yàn)樨?fù)求解；
（2）由坐標(biāo)得方向向量，然后利用向量共線得結(jié)論．
【解答過程】（1）直線的傾斜角為銳角時，，解得，
直線的傾斜角為鈍角時，，解得或，
所以直線的傾斜角為銳角時，，為鈍角時，或；
（2）由已知，又直線的方向向量為，
所以，解得．
16．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知直線分別交軸、軸的正半軸于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若直線過定點(diǎn)M，且M是線段AB的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的最小值．
【解題思路】（1）由題意可得，所以可以求出，由此即可求解.
（2）把坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式方程，由乘“1”法以及基本不等式即可求解.
【解答過程】（1）由題意易得直線AB過定點(diǎn)，
由M為AB的中點(diǎn)， 故，
故．
（2）設(shè)，，其中，，則直線AB的方程可寫成，
將代入得，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故的最小值為．
17．（23-24高二下·上海靜安·階段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為．
(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
(2)若，直線l與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，求△OMN面積取最值時，直線l的方程．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，求出在兩個坐標(biāo)軸上的截距，求出，表達(dá)出來直線方程；（2）由（1）和，利用△OMN面積取最值，求出的值，表達(dá)直線方程.
【解答過程】（1）由，令，令，
由直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則，解得或，
故直線方程：或
（2）由（1）可知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.
即直線方程：.
18．（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動時，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【解題思路】（1）根據(jù)直線平行求出所在直線的斜率，然后代入點(diǎn)斜式寫出所在的直線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，利用平行四邊形，推出與坐標(biāo)關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程即可.
【解答過程】（1），所在直線的斜率為：.
所在直線方程是，即；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)的坐標(biāo)是，
是線段的中點(diǎn)，，，
于是有，，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動，
，
，即，
由得，
線段的中點(diǎn)的軌跡方程為 .
19．（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知直線.
(1)求證：直線過定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.
【解題思路】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；
（2）數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直線圖像可得解；
（3）求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得面積，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.
【解答過程】（1）由，即，
則，解得，
所以直線過定點(diǎn)；
（2）
如圖所示，結(jié)合圖像可知，
當(dāng)時，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；
當(dāng)時，直線斜率存在，方程為，
又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；
綜上所述；
（3）已知直線，且由題意知，
令，得，得，
令，得，得，
則，
所以當(dāng)時，取最大值，
此時直線的方程為，即.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題8.1 直線的方程【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 直線的傾斜角與斜率】 3
【題型2 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】 3
【題型3 求直線的方程】 4
【題型4 直線過定點(diǎn)問題】 5
【題型5 三線能圍成三角形的問題】 5
【題型6 兩直線的夾角問題】 5
【題型7 軌跡問題——直線】 6
【題型8 直線方程的綜合應(yīng)用】 6
1、直線的方程
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式 (2)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式) 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第10題，5分 從近幾年的高考情況來看，高考對直線方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法.
【知識點(diǎn)1 直線的方程】
1．直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義
①當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.
(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式
過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
3．直線的方向向量
設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則就是這條直線的方向向量.
4．辨析直線方程的五種形式
方程形式 直線方程 局限性 選擇條件
點(diǎn)斜式 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知斜率；②已知
一點(diǎn)
斜截式 y=kx+b 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知在y軸上的截距；②已知斜率
兩點(diǎn)式 不能表示與x軸、
y軸垂直的直線 ①已知兩個定點(diǎn)；②已知兩個截距
截距式 不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點(diǎn)的直線 ①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全為0) 表示所有的直線 求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程
【知識點(diǎn)2 求直線方程的一般方法】
1．求直線方程的一般方法
(1)直接法
直線方程形式的選擇方法：
①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；
②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；
③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；
④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.
(2)待定系數(shù)法
先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.
利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.
若已知直線過定點(diǎn)，則可以利用直線的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).
【方法技巧與總結(jié)】
1．牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.
2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.
3．斜率為k的直線的一個方向向量為(1,k).
【題型1 直線的傾斜角與斜率】
【例1】（2024·陜西西安·二模）直線的傾斜角（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·安徽合肥·三模）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）直線，的斜率分別為1，2，，夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】
【例2】（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，與直線，且直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．或 B．或 C． D．
【變式2-1】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【變式2-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)、、， 過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
【變式2-3】（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 求直線的方程】
【例3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2024·廣東珠海·模擬預(yù)測）過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）已知直線l傾斜角的余弦值為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 直線過定點(diǎn)問題】
【例4】（23-24高二上·安徽六安·期末）直線，當(dāng)變動時，所有直線都通過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知，滿足，則直線必過定點(diǎn)（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）若直線恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【題型5 三線能圍成三角形的問題】
【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三條不同的直線，，不能圍成一個三角形，則a的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（ ）
A．個 B．個
C．個 D．個
【變式5-2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知三條直線、、不能圍成一個三角形，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【變式5-3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直線，若直線不能圍成三角形，寫出一個符合要求的實(shí)數(shù)的值 ．
【題型6 兩直線的夾角問題】
【例6】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直線與直線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（23-24高二上·福建福州·期中）已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【變式6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為 ．
【變式6-3】（23-24高二上·上海奉賢·期中）直線與直線的夾角，則a的取值范圍是 ．
【題型7 軌跡問題——直線】
【例7】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程表示的圖形是（ ）
A．兩條直線 B．四條直線 C．兩個點(diǎn) D．四個點(diǎn)
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知滿足方程，則M的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
【變式7-2】（23-24高三·全國·課后作業(yè)）若過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為 .
【變式7-3】（23-24高二上·上海徐匯·期中）若動點(diǎn)A、B分別在直線和上移動，則中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為 .
【題型8 直線方程的綜合應(yīng)用】
【例8】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）設(shè)直線l的方程為．
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過第二象限？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【變式8-1】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知三角形的頂點(diǎn)為，，.
(1)求直線的方程；
(2)若直線l過點(diǎn)B且與直線交于點(diǎn)E，，求直線l的方程.
【變式8-2】（23-24高二下·上海·期中）數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心 垂心 重心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，
(1)求三角形外心的坐標(biāo)；
(2)求頂點(diǎn)的坐標(biāo).
【變式8-3】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍；
(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時直線的方程.
一、單選題
1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·廣東東莞·期末）若直線l的一個方向向量是，則直線l的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）直線，的傾斜角分別為，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西上饒·一模）作圓一個內(nèi)接正十二邊形，使該正十二邊形中的4個頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正十二邊形的一條邊所在直線的為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，下列說法不正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直線l過點(diǎn)，且橫、縱截距的絕對值相等，則直線l的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）對于直線：，下列說法錯誤的是（ ）
A．直線恒過定點(diǎn) B．直線斜率必定存在
C．時直線的傾斜角為 D．時直線在軸上的截距為
三、填空題
12．（2024·上海嘉定·一模）直線與直線的夾角大小為 .
13．（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
14．（2024·陜西西安·一模）過點(diǎn)，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為 ．
四、解答題
15．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線的傾斜角為銳角和鈍角時，分別求出的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值.
16．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知直線分別交軸、軸的正半軸于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若直線過定點(diǎn)M，且M是線段AB的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的最小值．
17．（23-24高二下·上海靜安·階段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為．
(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
(2)若，直線l與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，求△OMN面積取最值時，直線l的方程．
18．（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動時，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
19．（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知直線.
(1)求證：直線過定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.
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