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專題8.2 兩條直線的位置關系【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 兩條直線的平行與垂直】 3
【題型2 求與已知直線平行、垂直的直線方程】 4
【題型3 兩直線的交點問題】 5
【題型4 距離問題】 7
【題型5 與距離有關的最值問題】 9
【題型6 點（或直線）關于點對稱】 11
【題型7 點關于直線對稱】 12
【題型8 直線關于直線的對稱問題】 15
【題型9 直線系方程】 17
1、兩條直線的位置關系
考點要求 真題統計 考情分析
(1)能根據斜率判定兩條直線平行或垂直 (2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標 (3)掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離 2022年上海卷：第7題，5分 2024年北京卷：第3題，4分 從近幾年的高考情況來看，高考對兩條直線的位置關系、距離公式的考查比較穩定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；復習時應加強對距離公式、對稱關系的掌握，靈活求解.
【知識點1 兩條直線的位置關系】
1．兩條直線的位置關系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （當時，記為）
垂直 k1·k2=-1 （當時，記為）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （當時，記為）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （當時，記為）
2．平行的直線的設法
平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0.
3．垂直的直線的設法
垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+m=0.
【知識點2 三種距離公式】
1．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
2．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
3．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
【知識點3 點、線間的對稱關系】
1．六種常用對稱關系
(1)點(x,y)關于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y).
(2)點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y)，關于y軸的對稱點為(-x,y).
(3)點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x)，關于直線y=- x的對稱點為(-y,-x).
(4)點(x,y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x,y)，關于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).
(5)點(x,y)關于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).
(6)點(x,y)關于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x)，關于直線x-y=k的對稱點為(k+y,x-k).
【知識點4 直線系方程】
1．直線系方程
過直線與的交點的直線系方程為，但不包括直線.
【題型1 兩條直線的平行與垂直】
【例1】（2024·河南新鄉·三模）已知直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義，結合兩直線平行判斷即得.
【解答過程】當時，直線，則，
當時，，解得，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）已知點，，且直線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】借助垂直直線斜率的關系計算即可得.
【解答過程】由題意可得，解得.
故選：A.
【變式1-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】求出直線平行的充要條件為，結合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【解答過程】若，則有，所以或，
當時，，故，重合；
當時，，滿足條件，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
【變式1-3】（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由直線垂直的充要條件即可列式得解.
【解答過程】直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，
即且，，所以.
故選：D.
【題型2 求與已知直線平行、垂直的直線方程】
【例2】（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】依題意設直線的方程為，代入求出參數的值，即可得解.
【解答過程】因為直線平行于直線，所以直線可設為，
因為在軸上的截距是，則過點，代入直線方程得，
解得，所以直線的方程是.
故選：C.
【變式2-1】（2024·廣東珠海·模擬預測）過點且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.
【解答過程】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，
所以，過點且與直線垂直的直線方程是，
即.
故選：C.
【變式2-2】（2024·吉林·模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設邊上的高所在的直線為，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.
【解答過程】設邊上的高所在的直線為，
由已知可得，，所以直線l的斜率.
又過，所以的方程為，
整理可得，.
故選：A.
【變式2-3】（23-24高二上·廣東江門·期末）過點與平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據直線與平行設出直線方程，根據過點即可求解.
【解答過程】設直線方程為，因為直線過點，
所以，所以直線方程為.
故選C.
【題型3 兩直線的交點問題】
【例3】（2024·海南?？凇ざ＃┤糁本€與直線的交點在直線上，則實數（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解題思路】求出直線與直線的交點，再代入求解作答.
【解答過程】解方程組，得直線與直線的交點，
依題意，，解得，
所以實數.
故選：A.
【變式3-1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線與直線的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】兩個方程的聯立，加減消元法計算即可.
【解答過程】……①
……②
①+②得：……③
③代入②有：……④
由③④得交點坐標為：.
故選：B.
【變式3-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先求出兩條直線的交點坐標，再根據垂直求出斜率，點斜式寫方程即可.
【解答過程】由題知：，解得：，交點.
直線的斜率為，所求直線斜率為.
所求直線為：，即.
故選：B.
【變式3-3】（23-24高二下·上?！て谥校┲本€，若三條直線無法構成三角形，則實數可取值的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】分、、及三條直線相交于一點四種情況討論，分別求出所對應的的值，即可得解.
【解答過程】①時，則，解得，經檢驗符合題意；
②時，則，解得，經檢驗符合題意；
③時，則，解得，經檢驗符合題意；
④三條直線交于一點，解得或，
則實數可取值的集合為，即符合題意的實數共6個.
故選：D.
【題型4 距離問題】
【例4】（2024·全國·模擬預測）平行直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先通過平行求出，再利用平行線的距離公式求解.
【解答過程】因為，所以，，
解得，所以，
故兩平行直線間的距離．
故選：C．
【變式4-1】（2024·海南?？凇つM預測）設，若函數圖象上任意一點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意結合兩點間距離公式分析運算.
【解答過程】因為點在函數圖象上，則，即，
又因為，則，
整理得，
由于對恒成立，則，解得.
故選：C.
【變式4-2】（2024·河南信陽·模擬預測）已知方程在實數范圍內有解，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將方程中的看成主元，看成系數可得，表示一條直線，直線上的點為，根據的幾何意義確定點到點的距離不小于到直線的距離，結合點到直線的距離公式和二次函數的性質即可求解.
【解答過程】由題意知，將方程中的看成主元，看成系數，
則變成二元一次方程，
該方程可以表示直角坐標系中的一條直線，直線上的點為，
的幾何意義是點與的距離，
所以直線上的點到點的距離不小于到直線的距離，
到直線的距離為
，
即，所以，
又，是開口向上的拋物線，
當時，，所以，
即的最小值為.
故選：A.
【變式4-3】（2024·江蘇南京·一模）已知實數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
根據題意設直線：，點，利用點到直線的距離公式得點A到直線的距離為，由直線的斜率不存在得，由得，化簡即可求解.
【解答過程】
根據題意，設直線：恒過原點，點，
那么點到直線的距離為：，
因為，所以，且直線的斜率，
當直線的斜率不存在時，，所以，
當時，，
所以，即，
因為，所以.
故選：A.
【題型5 與距離有關的最值問題】
【例5】（2024·吉林·二模）直線的方程為，當原點到直線的距離最大時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線所過定點的坐標，分析可知當時，原點到直線的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關系可求得實數的值.
【解答過程】直線方程可化為，
由可得，
所以，直線過定點，
當時，原點到直線的距離最大，且，
又因為直線的斜率為，解得.
故選：B.
【變式5-1】（23-24高二上·安徽·階段練習）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為(　　)
A． B． C． D．
【解題思路】先判定兩直線平行，再求出兩平行線之間的距離即得解.
【解答過程】因為，所以兩直線平行，
將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，
由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，
即，所以|PQ|的最小值為.
故選：C.
【變式5-2】（23-24高三上·重慶·階段練習）在平面直角坐標系中，集合，集合，已知點，點，記表示線段長度的最小值，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解題思路】將集合看作是直線的集合，求出定點坐標，即可得出答案.
【解答過程】集合可以看作是表示直線上的點的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以直線過定點.
集合可看作是直線上的點的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以，直線過定點.
顯然，當點與點分別重合，且線段與直線都垂直時，有最大值.
故選：D.
【變式5-3】（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離．結合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，可知當A，P，B三點共線時取得最小值可得答案.
【解答過程】，
則y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，
即，則可知當A，P，B三點共線時，取得最小值，
即．
故選：A.
【題型6 點（或直線）關于點對稱】
【例6】（23-24高二上·全國·期末）點在直線上，直線與關于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A． B． C． D．（1，0）
【解題思路】根據兩直線關于點對稱，利用中點坐標公式即可求直線上的對稱點，且該點在直線上.
【解答過程】由題設關于對稱的點為，若該點必在上，
∴，解得，即一定在直線上.
故選：C.
【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線與直線關于點對稱，則實數的值為（ ）
A．2 B．6 C． D．
【解題思路】根據線關于點對稱即可得兩直線平行，進而根據點的對稱代入求解即可.
【解答過程】由于直線與直線關于點對稱，
所以兩直線平行，故，則，
由于點在直線上，關于點的對稱點為，
故在上，代入可得，故，
故選：A.
【變式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）點在直線上，直線與關于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩直線關于點對稱，利用中點公式即可求直線上的對稱點，且該點在直線上.
【解答過程】由題設，關于對稱的點必在上，若該點為，
∴，解得，即一定在直線上.
故選：C.
【變式6-3】（23-24高一下·內蒙古包頭·期末）與直線關于坐標原點對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設出所求對稱直線上的點的坐標，求出關于原點的對稱點坐標，代入已知直線方程，即可.
【解答過程】設所求對稱直線上任意一點的坐標為，則關于原點對稱點的坐標為，該點在已知的直線上，則，即.
故選：D.
【題型7 點關于直線對稱】
【例7】（2024·浙江·模擬預測）點關于直線的對稱點是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設出對稱點，根據對稱 關系列出式子即可求解.
【解答過程】解：設點關于直線的對稱點是，
則有，解得，，
故點關于直線的對稱點是.
故選：B.
【變式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知，從點射出的光線經y軸反射到直線上，又經過直線反射到點，則光線所經過的路程為（ ）
A． B．6 C． D．
【解題思路】利用光線反射定理結合點關于直線的對稱點即可求得光線所經過的路程.
【解答過程】直線的方程為，點關于y軸的對稱點為，
設點E關于直線的對稱點為，
則，解之得，則
設點射出的光線交y軸于點C，交直線于點D，
則光線所經過的路程為
故選：C.
【變式7-2】（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為．若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】找出對稱點，發現特殊情況路徑最短，用兩點間距離公式求解即可.
【解答過程】如圖，設點關于直線的對稱點為，與直線交于，且設飲馬處為，

由軸對稱性質得，，，
解得，，故，
即與重合時，將軍飲馬的總路程最短，
則最短路程為.
故選：C.
【變式7-3】（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，一束光線從出發，經直線反射后又經過點，則光線從A到B走過的路程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據點關于線對稱求出C點標,結合反射光線的性質應用兩點間距離公式求出距離的最小值即可.
【解答過程】
一束光線從出發，經直線反射,與交于點P,
由題意可得，點關于直線的對稱點在反射光線上，
設,則,,
故光線從A到B所經過的最短路程是.
故選：C.
【題型8 直線關于直線的對稱問題】
【例8】（2024·上海靜安·二模）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解題思路】根據三條直線交于一點，再利用點關于直線的對稱點公式，求直線上一點，即可求解.
【解答過程】聯立，得，
取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A.
【變式8-1】（23-24高二上·陜西西安·期中）設直線，直線，則關于對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設所求直線上任一點，關于直線的對稱點，利用軸對稱的性質列出方程組解出，由點在直線上，代入方程可得答案.
【解答過程】設所求直線上任一點，關于直線的對稱點，
則，解得，
∵點在直線上，即，
∴，化簡得，即為所求直線方程.
故選：B.
【變式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點射出，經直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出關于直線的對稱點為的坐標，由都在反射光線所在直線上得直線方程．
【解答過程】設關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
所以反射光線所在直線方程為，即．
故選：B．
【變式8-3】（23-24高二上·湖北黃石·階段練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用兩條直線平行的性質求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.
【解答過程】因為直線：與：，
所以，
又兩條平行直線：與：之間的距離是，
所以解得
即直線：，：，
設直線關于直線對稱的直線方程為，
則，解得，
故所求直線方程為，
故選：A.
【題型9 直線系方程】
【例9】（23-24高二上·全國·課后作業）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（　　）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【解題思路】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，求解即可.
【解答過程】設過兩直線交點的直線系方程為，
代入原點坐標，得，解得，
故所求直線方程為，即.
故選：D.
【變式9-1】（23-24高二上·重慶·階段練習）經過直線和的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】設直線方程為，求出其在兩坐標軸上的截距，令其相等，解方程即可求出結果.
【解答過程】解：設直線方程為，
即
令，得，
令，得.
由，
得或.
所以直線方程為或.
故選：C.
【變式9-2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）過兩直線和的交點且過原點的直線方程為 ．
【解題思路】根據直線相交設所求直線為，結合直線過原點求參數，即可得方程.
【解答過程】令所求直線為，
又直線過原點，則，
所以所求直線為.
故答案為：.
【變式9-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標系中，過直線與的交點，且在軸上截距為1的直線的方程為 ．（寫成一般式）
【解題思路】設交點系方程，結合直線過求方程即可.
【解答過程】由題設，令直線的方程為，且直線過，
所以，故直線的方程為.
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知直線，直線，則“”是“或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據直線平行滿足的系數關系列式求解a，結合充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【解答過程】若直線和直線平行，
則，解得，
所以“”是“或”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線：，：之間的距離是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解題思路】利用平行直線間的距離公式即可得解.
【解答過程】因為：，：，
所以它們之間的距離為.
故選：B.
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知直線與直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由，計算得或，即可判斷.
【解答過程】因為，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
4．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】先求得直線過的定點，再由點P與定點的連線與直線垂直求解.
【解答過程】直線l：，
整理得，
由，可得，
故直線恒過點，
點到的距離，
故；
直線l：的斜率，
故，解得
故選：B.
5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線 ， 一束光線從原點 出發沿射線 向直線 射出， 經 反射后與 軸交于點 ， 再次經 軸反射后與 軸交于點 . 若 ， 則 的值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據光學的性質，根據對稱性可先求關于直線的對稱點，后求直線，可得、兩點坐標，進而由可得.
【解答過程】
如圖，設點關于直線的對稱點為，
則得，即，
由題意知與直線不平行，故，
由，得，即，
故直線的斜率為，
直線的直線方程為：，
令得，故，
令得，故由對稱性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，則第二次反射后光線不會與軸相交，故不符合條件．
故，
故選：B.
6．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知點,直線與軸相交于點,則△中邊上的高所在直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】令得點坐標,再根據和斜率公式,得直線的斜率,結合點斜式求解即可.
【解答過程】直線與軸相交于點,令得
由題知且直線的斜率得
易知點在直線上,根據點斜式得即.
故選：C.
7．（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．3 C． D．5
【解題思路】根據兩點間線段最短，結合中點坐標公式、互相垂直直線斜率的性質進行求解即可.
【解答過程】設點關于直線對稱的點為，
則有，
所以“將軍飲馬”的最短總路程為，
故選：C.
8．（2024·貴州畢節·模擬預測）直線，直線，給出下列命題：
①，使得； ②，使得；
③，與都相交； ④，使得原點到的距離為.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解題思路】利用兩直線平行可得出關于的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實數的值，可判斷②；取可判斷③；利用點到直線的距離公式可判斷④.
【解答過程】對于①，若，則，該方程組無解，①錯；
對于②，若，則，解得，②對；
對于③，當時，直線的方程為，即，此時，、重合，③錯；
對于④，直線的方程為，
若，使得原點到的距離為，則，整理可得，
，方程有解，④對.
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線，直線，則（ ）
A．直線可以與軸平行 B．直線可以與軸平行
C．當 時， D．當時，
【解題思路】根據直線平行和垂直對選項進行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】當時，直線，此時直線與軸平行，B項正確；
若，則直線，此時直線與軸平行，A項正確；
若 ，則，解得，
經驗證可知此時兩直線不重合，C項正確；
若，則，解得，D項錯誤.
故選：ABC.
10．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知直線經過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】當直線的斜率不存在時不滿足題意，當直線的斜率存在時，設出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.
【解答過程】當直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即.
由已知得，
所以或，
所以直線的方程為或.
故選：AC.
11．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短 在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是
C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是
D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是
【解題思路】確定關于直線對稱點，確定關于直線對稱點，利用兩點之間距離最小來判斷.
【解答過程】對于A，如圖①所示，設點關于直線的對稱點為，
由解得，
所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標為，故A錯誤；
對于B，如圖②所示，因為點關于直線的對稱點為，
將軍先去河流飲馬，再返回軍營的最短路程是，故B錯誤；
對于C，如圖③所示，因為點關于直線的對稱點分別為，；
點關于直線的對稱點為，
所以將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程，故C正確；
對于D，如圖④所示，設點關于直線的對稱點分別為，
由解得；點關于直線的對稱點為，
將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程是，故D錯誤.
故選：ABD.


三、填空題
12．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為 .
【解題思路】聯立直線求解交點，即可根據點斜式求解直線方程.
【解答過程】聯立與可得，
故交點為，傾斜角為，所以斜率為1，
故直線方程為，即，
故答案為：.
13．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知直線與直線，若，則的最大值為 .
【解題思路】根據直線垂直的條件得，根據基本不等式得，從而可得結果.
【解答過程】因為，
即，當且僅當時取等號，
，即的最大值為.
故答案為：.
14．（2024·四川成都·模擬預測）已知直線經過點，且被兩條平行直線和截得的線段長為，則直線的方程為 或 ．
【解題思路】直線分斜率存在和不存在兩種情況討論；當斜率不存在時直線是軸，求交點坐標即可；當直線的斜率存在時，設定直線的方程并與直線的方程聯立求交點，滿足弦長即可.
【解答過程】若直線的斜率不存在，則直線的方程為：，
此時與的交點分別為和，
截得的線段的長為：，不符合題意．
若直線的斜率存在，則設直線的方程為：，
解方程組，得點，
解方程組，得點.
由，得，
即，解得：，
則直線的方程為：或.
故答案是：或.
四、解答題
15．（23-24高二下·四川雅安·開學考試）已知直線，直線．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值．
【解題思路】（1）依題意可得，求出參數的值，再代入檢驗；
（2）根據兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.
【解答過程】（1）因為，所以，
整理得，即，
解得或．
當時，，此時與重合，不符合題意；
當時，，符合題意．
故．
（2）因為，所以，
解得．
16．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.
(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；
(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.
【解題思路】（1）利用直線的交點坐標同時在兩直線上解方程組即可得到結果；
（2）分直線的斜率存在與否，不存在時，直接驗證即可；存在時利用點斜式設出直線方程，再由點到直線的距離解出斜率，得到直線方程即可.
【解答過程】（1）由題意得，即解得
；
（2）顯然直線：滿足條件. 此時，直線的斜率不存在.
當直線的斜率存在時，設，即.
點到直線的距離為，
，即，得，
得直線
綜上所述，直線的方程為 和
17．（23-24高二上·浙江金華·期中）已知兩直線.
(1)求過兩直線的交點，且垂直于直線的直線方程；
(2)已知兩點，動點在直線運動，求的最小值.
【解題思路】（1）聯立方程，求出交點，再由垂直關系得出斜率，進而寫出直線方程；
（2）由對稱性得出點關于直線對稱的點為，進而結合圖像得出最值.
【解答過程】（1）解：聯立，解得，
因為所求直線垂直于直線，所以所求直線的斜率為；
故所求直線方程為，即
（2）設點關于直線對稱的點為，
，解得
則，
故的最小值為.
18．（24-25高二上·上?！るS堂練習）如圖，已知，，，直線：．
(1)求直線經過的定點坐標；
(2)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．
【解題思路】（1）分離參數，列方程可得直線過定點；
（2）分別求點關于直線與的對稱點與，進而可得，再根據對稱性可得，即可得直線方程.
【解答過程】（1）由直線：，即，
令，解得，
故直線恒過定點；
（2）設關于的對稱點，則，
關于的對稱點，
由直線的方程為，即，
所以，解得，
所以，
由題意得、、、四點共線，，
由對稱性得，
所以入射光線的直線方程為，
即．
19．（23-24高二下·上海·階段練習）已知的三個頂點的坐標分別是點與，直線.
(1)求邊AC所在直線的傾斜角和邊AC上的高所在直線的方程;
(2)記為點到直線的距離，試問:是否存在最大值 若存在，求出的最大值:若不存在，說明理由;
【解題思路】（1）求出直線AC的斜率，根據即可求出傾斜角，由直線點斜式方程即可求出直線的方程；
（2）根據直線只含一個參數，可以將其方程以參數進行整理，然后運用恒等式，求出定直線及交點，點到直線的距離為，則，再探究是否存在最大值.
【解答過程】（1）因為，所以，
所以直線的傾斜角為，
因為，所以，
所以直線的方程為：，化簡得：.
（2）將直線變形可得：，
對于取任何實數時，此方程恒成立，則
得，
即直線恒過兩直線及的交點，
由圖象可知，對于任何一條過點的直線，點到它的距離不超過，即．

又因為過點且垂直于的直線方程是，
但無論時，直線表示為，
此時距離最大．所以，存在最大值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題8.2 兩條直線的位置關系【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 兩條直線的平行與垂直】 3
【題型2 求與已知直線平行、垂直的直線方程】 3
【題型3 兩直線的交點問題】 4
【題型4 距離問題】 4
【題型5 與距離有關的最值問題】 5
【題型6 點（或直線）關于點對稱】 5
【題型7 點關于直線對稱】 6
【題型8 直線關于直線的對稱問題】 6
【題型9 直線系方程】 7
1、兩條直線的位置關系
考點要求 真題統計 考情分析
(1)能根據斜率判定兩條直線平行或垂直 (2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標 (3)掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離 2022年上海卷：第7題，5分 2024年北京卷：第3題，4分 從近幾年的高考情況來看，高考對兩條直線的位置關系、距離公式的考查比較穩定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；復習時應加強對距離公式、對稱關系的掌握，靈活求解.
【知識點1 兩條直線的位置關系】
1．兩條直線的位置關系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （當時，記為）
垂直 k1·k2=-1 （當時，記為）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （當時，記為）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （當時，記為）
2．平行的直線的設法
平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0.
3．垂直的直線的設法
垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+m=0.
【知識點2 三種距離公式】
1．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
2．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
3．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
【知識點3 點、線間的對稱關系】
1．六種常用對稱關系
(1)點(x,y)關于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y).
(2)點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y)，關于y軸的對稱點為(-x,y).
(3)點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x)，關于直線y=- x的對稱點為(-y,-x).
(4)點(x,y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x,y)，關于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).
(5)點(x,y)關于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).
(6)點(x,y)關于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x)，關于直線x-y=k的對稱點為(k+y,x-k).
【知識點4 直線系方程】
1．直線系方程
過直線與的交點的直線系方程為，但不包括直線.
【題型1 兩條直線的平行與垂直】
【例1】（2024·河南新鄉·三模）已知直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）已知點，，且直線與直線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-3】（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 求與已知直線平行、垂直的直線方程】
【例2】（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2024·廣東珠?！つM預測）過點且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·吉林·模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（23-24高二上·廣東江門·期末）過點與平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 兩直線的交點問題】
【例3】（2024·海南海口·二模）若直線與直線的交點在直線上，則實數（ ）
A．4 B．2 C． D．
【變式3-1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線與直線的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（23-24高二下·上?！て谥校┲本€，若三條直線無法構成三角形，則實數可取值的個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【題型4 距離問題】
【例4】（2024·全國·模擬預測）平行直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·海南?？凇つM預測）設，若函數圖象上任意一點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·河南信陽·模擬預測）已知方程在實數范圍內有解，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·江蘇南京·一模）已知實數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 與距離有關的最值問題】
【例5】（2024·吉林·二模）直線的方程為，當原點到直線的距離最大時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（23-24高二上·安徽·階段練習）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為(　　)
A． B． C． D．
【變式5-2】（23-24高三上·重慶·階段練習）在平面直角坐標系中，集合，集合，已知點，點，記表示線段長度的最小值，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式5-3】（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離．結合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 點（或直線）關于點對稱】
【例6】（23-24高二上·全國·期末）點在直線上，直線與關于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A． B． C． D．（1，0）
【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線與直線關于點對稱，則實數的值為（ ）
A．2 B．6 C． D．
【變式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）點在直線上，直線與關于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（23-24高一下·內蒙古包頭·期末）與直線關于坐標原點對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型7 點關于直線對稱】
【例7】（2024·浙江·模擬預測）點關于直線的對稱點是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知，從點射出的光線經y軸反射到直線上，又經過直線反射到點，則光線所經過的路程為（ ）
A． B．6 C． D．
【變式7-2】（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為．若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，一束光線從出發，經直線反射后又經過點，則光線從A到B走過的路程為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 直線關于直線的對稱問題】
【例8】（2024·上海靜安·二模）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式8-1】（23-24高二上·陜西西安·期中）設直線，直線，則關于對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點射出，經直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（23-24高二上·湖北黃石·階段練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型9 直線系方程】
【例9】（23-24高二上·全國·課后作業）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（　?。?br/>A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【變式9-1】（23-24高二上·重慶·階段練習）經過直線和的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式9-2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）過兩直線和的交點且過原點的直線方程為 ．
【變式9-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標系中，過直線與的交點，且在軸上截距為1的直線的方程為 ．（寫成一般式）
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知直線，直線，則“”是“或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線：，：之間的距離是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知直線與直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線 ， 一束光線從原點 出發沿射線 向直線 射出， 經 反射后與 軸交于點 ， 再次經 軸反射后與 軸交于點 . 若 ， 則 的值為（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知點,直線與軸相交于點,則△中邊上的高所在直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．3 C． D．5
8．（2024·貴州畢節·模擬預測）直線，直線，給出下列命題：
①，使得； ②，使得；
③，與都相交； ④，使得原點到的距離為.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、多選題
9．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線，直線，則（ ）
A．直線可以與軸平行 B．直線可以與軸平行
C．當 時， D．當時，
10．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知直線經過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短 在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是
C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是
D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是
三、填空題
12．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為 .
13．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知直線與直線，若，則的最大值為 .
14．（2024·四川成都·模擬預測）已知直線經過點，且被兩條平行直線和截得的線段長為，則直線的方程為 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·四川雅安·開學考試）已知直線，直線．
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值．
16．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.
(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；
(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.
17．（23-24高二上·浙江金華·期中）已知兩直線.
(1)求過兩直線的交點，且垂直于直線的直線方程；
(2)已知兩點，動點在直線運動，求的最小值.
18．（24-25高二上·上?！るS堂練習）如圖，已知，，，直線：．
(1)求直線經過的定點坐標；
(2)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．
19．（23-24高二下·上?！るA段練習）已知的三個頂點的坐標分別是點與，直線.
(1)求邊AC所在直線的傾斜角和邊AC上的高所在直線的方程;
(2)記為點到直線的距離，試問:是否存在最大值 若存在，求出的最大值:若不存在，說明理由;
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