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專題8.3 圓的方程【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 求圓的方程】 3
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】 5
【題型3 圓過定點問題】 6
【題型4 點與圓的位置關系的判斷】 8
【題型5 與圓有關的軌跡問題】 9
【題型6 與圓有關的對稱問題】 11
【題型7 圓系方程】 12
【題型8 與圓有關的最值問題】 14
1、圓的方程
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程 (2)能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題 2022年全國乙卷（文數）：第15題，5分 2022年全國甲卷（文數）：第14題，5分 2023年全國乙卷（文數）：第11題，5分 2023年上海卷：第7題，5分 2024年北京卷：第3題，4分 2024年天津卷：第12題，5分 從近幾年的高考情況來看，高考對圓的方程的考查比較穩定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；有時也會與距離公式、圓錐曲線等結合考查，復習時應熟練掌握圓的方程的求法，靈活求解.
【知識點1 圓的定義和圓的方程】
1．圓的定義
圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.
2．圓的標準方程
(1)圓的標準方程：方程 (r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程.
(2)圓的標準方程的優點：根據圓的標準方程很容易確定圓心坐標和半徑.
(3)圓的標準方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標準方程中含有三個字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標準方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點，將三點坐標代入圓的一般方程，求待定系數D，E，F；
②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數D，E，F.
4．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是.
5．圓的參數方程
圓 (r>0)的參數方程為，其中為參數.
6．求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.
(2)待定系數法
①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.
【知識點2 點與圓的位置關系】
1．點與圓的位置關系
(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.
(2)圓A的標準方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內一點.
位置關系 判斷方法
幾何法 代數法(標準方程) 代數法(一般方程)
點在圓上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
點在圓內 |MA|點在圓外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知識點3 軌跡方程】
1．軌跡方程
求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量x,y之間的方程.
(1)當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關點法).
(2)求軌跡方程時，一要區分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等.
2.求軌跡方程的步驟：
(1)建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標；
(2)列出關于x,y的方程；
(3)把方程化為最簡形式；
(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；
(5)作答.
【方法技巧與總結】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為.
2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上.
3．圓心在任一弦的垂直平分線上.
【題型1 求圓的方程】
【例1】（2024·遼寧大連·一模）過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】借助待定系數法計算即可得.
【解答過程】令該圓圓心為，半徑為，則該圓方程為，
則有，解得，
故該圓方程為.
故選：D.
【變式1-1】（2024·河南·模擬預測）圓心在射線上，半徑為5，且經過坐標原點的圓的方程為（ ）.
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據圓心在射線上，設出圓心坐標，利用圓心到原點距離等于半徑求得圓心坐標，即可求出圓的方程.
【解答過程】因為圓心在射線上，故設圓心為，
又半徑為5，且經過坐標原點，所以，解得或（舍去），
即圓的圓心坐標為，則圓的方程為，
即.
故選：C.
【變式1-2】（2024·北京·模擬預測）圓心為且和軸相切的圓的方程是　　
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意先求出圓的半徑，再根據圓心坐標，求得它的標準方程．
【解答過程】解：圓心為且和軸相切的圓，它的半徑為1，
故它的的方程是，
故選：A．
【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，圓與兩坐標軸交于四點，其中，點在軸正半軸上，點在軸的正半軸上，圓的內接四邊形的面積為，則圓的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據題意幾何條件分別求出、D坐標，然后求出圓心坐標及半徑，從而求解.
【解答過程】設，則．
又因為，解得（負值舍去），
因此圓心，圓的方程為，
即，故B正確.
故選:B．
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】
【例2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.
【解答過程】，即，
∴曲線是圓，∴“”是“”的必要不充分條件.
故選：A.
【變式2-1】（23-24高二下·上?！て谥校┓匠瘫硎緢A的充要條件是（ ）
A． B． C． D．或
【解題思路】根據圓的一般式方程的充要條件為，代入運算求解即可.
【解答過程】由題意可得：，解得或，
所以方程表示圓的充要條件是或.
故選：D.
【變式2-2】（23-24高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據圓的一般方程表示圓的條件求出參數的取值范圍，即可判斷.
【解答過程】若方程表示圓，
則，
解得，
又，所以或，
即程表示的圓的個數為.
故選：B.
【變式2-3】（23-24高二上·廣東·期末）已知方程表示一個圓，則實數取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據方程表示圓的條件可得結果.
【解答過程】因為方程表示一個圓，
所以，
即，所以或，
故選：C.
【題型3 圓過定點問題】
【例3】（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】將方程進行變形整理，解方程組即可求得結果.
【解答過程】圓的方程化為，
由得或，
故圓恒過定點．
故選：D．
【變式3-1】（23-24高二上·浙江溫州·期中）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解題思路】設點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標.
【解答過程】設點，則線段的中點為，
圓的半徑為，
所以，以為直徑為圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，以為直徑的圓經過定點坐標為、.
故選：D.
【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習）當m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點 （0，－2）和（0，1） .
【解題思路】根據題意，進行求解即可.
【解答過程】方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化為（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.
由，得，
所以定點坐標是（0，－2）和（0，1）.
故答案為：（0，－2）和（0，1）.
【變式3-3】（23-24高三上·上海徐匯·期末）已知二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為，則圓經過定點的坐標為 和 （其坐標與無關）
【解題思路】設出的圖象與坐標軸的三個交點坐標，再設出圓的一般方程，把三點坐標代入圓方程，求出系數，得圓的方程（含有），分析此方程可得圓所過定點．
【解答過程】二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，記為，易知，滿足，，，，設圓方程為，則
，
①－②得，，∴，從而，
代入③得，
∴圓方程為，
整理得，
由得或．
∴圓過定點和．
故答案為：和．
【題型4 點與圓的位置關系的判斷】
【例4】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數）外，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由點在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.
【解答過程】由題意知，
故，
又由圓的一般方程，
可得，即，
即或，
所以實數的范圍為.
故選：C.
【變式4-1】（2024·甘肅定西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
利用表示圓的條件和點和圓的位置關系進行計算.
【解答過程】依題意，方程可以表示圓，則，得；
由點在圓的外部可知：，得.
故.
故選：C.
【變式4-2】（24-25高三上·廣東·開學考試）“”是“點在圓內”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【解題思路】先求出“點在圓內”的充要條件，對比即可得解.
【解答過程】點在圓內，
所以“”是“點在圓內”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習）若點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內部，則實數a的取值范圍是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【解題思路】根據題意，進行求解即可.
【解答過程】點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內部，
∴ (2a)2＋a2＜5，
解得－1＜a＜1.
故選：A.
【題型5 與圓有關的軌跡問題】
【例5】（24-25高二上·上?！ふn后作業）點與圓上任意一點連線的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設圓上任意一點為，中點為，由中點坐標公式可求得，代入圓的方程即可求得軌跡方程．
【解答過程】解：設圓上任意一點為，中點為，
則，可得，
代入得，
化簡得．
故選：D．
【變式5-1】（23-24高二上·廣東東莞·階段練習）已知線段的端點的坐標，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡所圍成圖形的面積（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用相關點法求得點的軌跡方程，進而求得面積.
【解答過程】設線段的中點，，
則，即，
又因為端點在圓上運動，所以，
即，
整理得：，
所以點的軌跡方程是以圓心為，半徑為的圓.
所以該圓的面積為.
故選：C.
【變式5-2】（2024·山東淄博·一模）在平面直角坐標系xOy中，已知向量 與 關于x軸對稱，向量 若滿足 的點A的軌跡為E，則（ ）
A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個半徑為1的圓
C．E是兩條平行直線 D．E 是橢圓
【解題思路】設，由題有，，代入化簡即可得出答案.
【解答過程】設，由題有，，
所以，，
所以，即，
所以點的軌跡是一個半徑為1的圓，
故選：B．
【變式5-3】（2024·山東德州·三模）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接設，根據兩點間距離公式代入運算整理．
【解答過程】∵，即
設，則，整理得
故選：B．
【題型6 與圓有關的對稱問題】
【例6】（2024·浙江·模擬預測）圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據點關于直線對稱的性質，結合圓的標準方程進行求解即可.
【解答過程】由圓C：，可知圓心坐標：，半徑為，
因為點關于直線的對稱點為，
所以圓C：關于直線對稱的圓的方程是
，
故選：C.
【變式6-1】（23-24高二上·安徽黃山·期末）圓與圓N關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據對稱性求得圓的圓心和半徑，進而求得圓的方程.
【解答過程】圓的圓心為，半徑為，
關于直線的對稱點是，
所以圓的圓心是，半徑是，
所以圓的方程為.
故選：D.
【變式6-2】（23-24高二下·云南昆明·階段練習）已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先確定圓心坐標，再求出兩圓心的中點坐標與斜率，即可得到直線的斜率，再由點斜式計算可得.
【解答過程】圓的圓心為，
圓的圓心為，
所以、的中點坐標為，又，
則，所以直線的方程為，即.
故選：A.
【變式6-3】（2024·陜西寶雞·一模）已知圓關于直線對稱，則的最大值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解題思路】由圓的方程求出圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，由基本不等式即可求出的最大值.
【解答過程】解：由題意
在圓中，
∴圓心為，半徑為1
在直線中，
圓關于該直線對稱
∴直線過圓心，
∴，即：
∵
解得：
當且僅當時等號成立
∴的最大值為.
故選：D.
【題型7 圓系方程】
【例7】（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A． B．．
C． D．
【解題思路】設所求圓的方程為，求出圓心坐標代入直線，求得，即可求得答案.
【解答過程】由題意設所求圓的方程為，
即，
圓心坐標為，代入中，
即，解得，
將代入中，即，
滿足，
故所求圓的方程為，
故選：A.
【變式7-1】（2024高二·遼寧·學業考試）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是 ．
【解題思路】根據過兩圓交點的圓系方程設出所求圓的方程，并求出圓心坐標，把圓心坐標代入直線的方程，從而求出圓的方程.
【解答過程】設圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入，可得，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
【變式7-2】（23-24高一下·江西九江·期中）經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為 .
【解題思路】利用圓系方程可求圓的方程.
【解答過程】由題可先設出圓系方程；，則圓心坐標為； ，又圓心在直線上，可得；解得.
所以圓的方程為：.
故答案為：.
【變式7-3】（2024高三下·全國·專題練習）求過圓：與圓：的交點，圓心在直線：圓的方程.
【解題思路】根據題意，設圓的方程為，得出圓心坐標代入直線方程，求得的值，進而得到圓的方程.
【解答過程】設所求圓的方程為，
整理得，
即，
可得所求圓的圓心坐標為，
因為所求圓的圓心在直線上，可得，
解得，代入整理得
即所求圓的方程為.
【題型8 與圓有關的最值問題】
【例8】（2024·西藏拉薩·二模）已知點，動點在圓上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先設點的坐標，結合軌跡方程求參，再根據距離和最小值為兩點間距離求解即可.
【解答過程】令，即求的最小值.
設，則，
整理，得點的軌跡方程為.
又點在圓上，
所以，解得，所以，
所以，
即的最小值為.
故選：A.
【變式8-1】（2024·河南·模擬預測）已知點在以原點為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【解題思路】由題可得點滿足的圓方程，進而，然后利用基本不等式結合條件即得.
【解答過程】由題意可得點的坐標滿足，所以，．
因此，
.
當且僅當時，即時取等號．
故選: D．
【變式8-2】（2024·湖北黃石·三模）已知在等腰直角三角形中，，點在以為圓心、2為半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立坐標系，先把轉化為，其中，再利用兩點之間線段最短求解.
【解答過程】如圖：建立平面直角坐標系.則，,取.設
則.
所以 ，
又.
故選：B.
【變式8-3】（2024·廣西貴港·模擬預測）已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點，設坐標原點為O，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出圓的圓心及半徑，直線所過定點，借助向量運算得，利用三角代換結合輔助角公式及三角函數性求出最大值.
【解答過程】圓C：的圓心為，半徑為2，
直線l的方程可化為，于是l過定點，且，
顯然，即，
又，因此，
設，，顯然，
則，其中，當時等號成立，此時，
，符合條件，
所以的最大值為．
故選：D.
一、單選題
1．（2024·吉林長春·三模）經過，，三個點的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設經過，，三個點的圓的方程為，代入三點坐標可得答案.
【解答過程】設經過，，三個點的圓的方程為
，
由題意可得，解得，
且滿足，
所以經過，，三個點的圓的方程為，
即為.
故選：C.
2．（2024·浙江·一模）圓的圓心坐標和半徑分別為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】將一般方程化為標準方程即可求解.
【解答過程】圓，即，
它的圓心坐標和半徑分別為.
故選：A.
3．（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據表示圓得，又利用點在圓外得，從而可得結果.
【解答過程】因為可化為，則，所以．
又點在圓的外部，所以，故，
綜上，．
故選：A.
4．（2024·陜西銅川·三模）已知圓經過點，則其圓心到原點的距離的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】由題意及圓的定義得圓心所在的軌跡方程，然后利用點與圓的位置關系求解最大值即可.
【解答過程】由圓經過點，可得，
即，故圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
又，所以圓心到原點的距離的最大值為.
故選：C.
5．（2024·河南信陽·模擬預測）已知圓O：，點和點在圓上，滿足，則最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將點代入圓中得并結合，可得，再使用重要不等式求解即可.
【解答過程】由題意可知，點在圓上，
所以，
因為，
所以，
所以，
又因為，
所以，當且僅當取等號.
故選：B.
6．（23-24高二上·廣西玉林·期末）若直線在軸 軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】設出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.
【解答過程】由已知圓，直線將圓平分，則直線經過圓心，
直線方程為，或，將點代入上式，解得
直線的方程為或.
故選：C.
7．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，直線，點關于直線的對稱點為，則面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，根據點關于直線的對稱得到，點為以為圓心，半徑為1的圓，（除去），數形結合得到面積的最大值.
【解答過程】設，則與的中點坐標為，
由題意得，
消去得，
故點為以為圓心，半徑為1的圓，（除去），
故的最大值為2，位于的正上方，
故面積的最大值為
故選：B.
8．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習）已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】利用圓的性質及“將軍飲馬”模型計算最值即可.
【解答過程】

如圖所示，易知，兩圓半徑分別為，
取點關于橫軸的對稱點A，則，在橫軸上任取一點，連接，
連接交橫軸于P，交圓于E(圓上靠近橫軸一點)，連接交圓于F(圓上靠近橫軸一點)，
則 ，
當且僅當，，對應重合時等號成立，
此時的最小值為.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·廣西·模擬預測）若點在圓的外部，則的取值可能為（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【解題思路】由圓，結合點在圓外列不等式組求參數范圍.
【解答過程】由題設，在圓外，
則，解得.
故選：BC.
10．（2024·山西臨汾·三模）已知是以為圓心，為半徑的圓上任意兩點，且滿足，是的中點，若存在關于對稱的兩點，滿足，則線段長度的可能值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】由已知得出點軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，得出的范圍，再結合直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出范圍，進而判斷出答案．
【解答過程】因為，
所以，
因為是中點，所以，
所以點軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
設為點，則，
所以，
又，兩點關于點對稱，
所以為直角三角形，且為斜邊中點，則，
所以，
故選：BCD．
11．（2024·遼寧丹東·模擬預測）已知曲線:，則（ ）
A．曲線圍成圖形面積為
B．曲線的長度為
C．曲線上任意一點到原點的最小距離為2
D．曲線上任意兩點間最大距離
【解題思路】通過分類討論去掉絕對值后，可畫出曲線圖形，由圖可得答案.
【解答過程】當時，曲線；
當時，曲線；
當時，曲線；
當時，曲線；
當時，曲線為原點.
畫出曲線的圖形，如圖所示.
對于A，曲線圍成的面積可分割為一個邊長為的正方形和四個半徑為的半圓，
故面積為，故A正確；
對于B，曲線由四個半徑為的半圓組成，故周長為，故B正確；
對于C，如圖所示，因為原點在曲線上，所以最小值為0，故C錯誤；
對于D，如圖所示，曲線上任意兩點的連線過圓心及原點時，距離最大，最大為.故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·湖南邵陽·三模）寫出滿足“點在圓外部”的一個的值：
4（答案不唯一， ） ．
【解題思路】利用方程表示圓、點在圓外列出不等式組求解即得.
【解答過程】圓，則，
由點在圓外部，得，
解得，取.
故答案為：4（答案不唯一， ）.
13．（2024·貴州畢節·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為 ．
【解題思路】設，先求出直線和恒過的定點，，由可得，即可得出答案.
【解答過程】因為，所以直線過點，
直線過點，
因為，所以，設，
所以，所以，
所以，化簡可得：.
故答案為：.
14．（2024·天津河西·模擬預測）已知點為圓上一點，點，當變化時線段AB長度的最小值為 .
【解題思路】根據圓的方程得到圓心的軌跡，然后根據幾何知識得到當時線段的長度最小，
然后求線段的長度即可.
【解答過程】
圓的圓心坐標為，半徑，所以圓心在直線：上，
當時線段的長度最小，
點到直線的距離，
所以.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知過點的動直線l與圓相交于不同的兩點A，B．
(1)求圓的圓心坐標；
(2)求線段的中點M的軌跡C的方程．
【解題思路】（1）根據題意，將圓的一般式化為標準式，即可得到結果；
（2）根據題意，由列出方程，化簡即可得到結果.
【解答過程】（1）圓的方程可變形為，
故的圓心坐標為，半徑為2.
（2）設，因為點M是的中點，，
，
故，
由此可得，
故軌跡方程為，軌跡是以圓心為，半徑為的圓.
16．（23-24高二上·湖南永州·期末）的頂點是，，．
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求過點A，B，C的圓方程．
【解題思路】（1）求出直線的斜率，得到邊上的高所在直線的斜率，點斜式求出直線方程，得到答案；
（2）設出圓的一般方程，待定系數法進行求解.
【解答過程】（1）直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，
故邊上的高所在直線的方程為，即；
（2）設圓的方程為，
將，，代入得
，解得，
故圓的方程為.
17．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直線，圓．
(1)求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；
(2)若圓與關于直線對稱，求的標準方程．
【解題思路】（1）求出圓的標準方程，由，設的方程，從而可求解.
（2）設的圓心，由與關于直線對稱得，從而可求解.
【解答過程】（1）將的方程轉化為，可知的圓心為，半徑為4．
因為，所以可設的一般式方程為，
將代入，解得，
故的一般式方程為．
（2）設的圓心為，由與關于直線對稱，
可得，解得
所以的標準方程為．
18．（23-24高二上·山東濟南·期末）已知圓心為C的圓經過，兩點，且圓心C在直線上．
(1)求圓C的標準方程；
(2)點P在圓C上運動，求的取值范圍．
【解題思路】（1）利用圓的對稱性先確定圓心，再求半徑即可；
（2）設P坐標，利用兩點距離公式及點在圓上消元轉化為函數求值域求范圍即可.
【解答過程】（1）圓經過，兩點，得圓心在的中垂線上，
又圓心C在直線上，聯立直線方程有，得，
即圓心坐標為，
又，
故圓C的標準方程為．
（2）設，易知，
則（*），
因為點P在圓C上運動，則，
故（*）式可化簡為，，
由得的取值范圍為．
19．（23-24高二上·湖南·期末）已知四邊形的三個頂點，，．
(1)求過A，B，C三點的圓的方程．
(2)設線段上靠近點A的三等分點為E，過E的直線l平分四邊形的面積．若四邊形為平行四邊形，求直線l的方程．
【解題思路】
（1）方法一：根據斜率分析可知，結合直角三角形的外接圓的性質分析求解；方法二：設圓的一般方程，代入A，B，C三點運算求解即可；
（2）利用向量關系求得.方法一：根據題意可知直線l過線段的中點，再利用直線的兩點式方程運算求解；方法二：設l與相交于點，可知，利用向量關系求得點，再利用直線的兩點式方程運算求解.
【解答過程】（1）
方法一：因為，，，
則，，
由，得，
則過A，B，C三點的圓的圓心為線段的中點，
半徑，
所以過A，B，C三點的圓的方程為；
方法二：設過A，B，C三點的圓的方程為，
則，解得，
故過A，B，C三點的圓的方程為，即.
（2）
設，
由題意可得：，，
因為線段上靠近點A的三等分點為E，則，
則，解得，即．
方法一：直線l平分四邊形的面積，可知直線l過線段的中點，
所以直線l的方程為，整理得；
方法二：設l與相交于點，則，
由直線l平分四邊形的面積，可得，
則，解得，即，
所以直線l的方程為，整理得.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題8.3 圓的方程【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 求圓的方程】 3
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】 4
【題型3 圓過定點問題】 5
【題型4 點與圓的位置關系的判斷】 5
【題型5 與圓有關的軌跡問題】 5
【題型6 與圓有關的對稱問題】 6
【題型7 圓系方程】 7
【題型8 與圓有關的最值問題】 7
1、圓的方程
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程 (2)能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題 2022年全國乙卷（文數）：第15題，5分 2022年全國甲卷（文數）：第14題，5分 2023年全國乙卷（文數）：第11題，5分 2023年上海卷：第7題，5分 2024年北京卷：第3題，4分 2024年天津卷：第12題，5分 從近幾年的高考情況來看，高考對圓的方程的考查比較穩定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；有時也會與距離公式、圓錐曲線等結合考查，復習時應熟練掌握圓的方程的求法，靈活求解.
【知識點1 圓的定義和圓的方程】
1．圓的定義
圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.
2．圓的標準方程
(1)圓的標準方程：方程 (r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程.
(2)圓的標準方程的優點：根據圓的標準方程很容易確定圓心坐標和半徑.
(3)圓的標準方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標準方程中含有三個字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標準方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點，將三點坐標代入圓的一般方程，求待定系數D，E，F；
②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數D，E，F.
4．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是.
5．圓的參數方程
圓 (r>0)的參數方程為，其中為參數.
6．求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.
(2)待定系數法
①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.
【知識點2 點與圓的位置關系】
1．點與圓的位置關系
(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.
(2)圓A的標準方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內一點.
位置關系 判斷方法
幾何法 代數法(標準方程) 代數法(一般方程)
點在圓上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
點在圓內 |MA|點在圓外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知識點3 軌跡方程】
1．軌跡方程
求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量x,y之間的方程.
(1)當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關點法).
(2)求軌跡方程時，一要區分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等.
2.求軌跡方程的步驟：
(1)建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標；
(2)列出關于x,y的方程；
(3)把方程化為最簡形式；
(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；
(5)作答.
【方法技巧與總結】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為.
2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上.
3．圓心在任一弦的垂直平分線上.
【題型1 求圓的方程】
【例1】（2024·遼寧大連·一模）過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·河南·模擬預測）圓心在射線上，半徑為5，且經過坐標原點的圓的方程為（ ）.
A．
B．
C．
D．
【變式1-2】（2024·北京·模擬預測）圓心為且和軸相切的圓的方程是　　
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，圓與兩坐標軸交于四點，其中，點在軸正半軸上，點在軸的正半軸上，圓的內接四邊形的面積為，則圓的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
【題型2 二元二次方程表示圓的條件】
【例2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-1】（23-24高二下·上?！て谥校┓匠瘫硎緢A的充要條件是（ ）
A． B． C． D．或
【變式2-2】（23-24高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-3】（23-24高二上·廣東·期末）已知方程表示一個圓，則實數取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 圓過定點問題】
【例3】（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（23-24高二上·浙江溫州·期中）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習）當m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點 .
【變式3-3】（23-24高三上·上海徐匯·期末）已知二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為，則圓經過定點的坐標為 （其坐標與無關）
【題型4 點與圓的位置關系的判斷】
【例4】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數）外，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·甘肅定西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（24-25高三上·廣東·開學考試）“”是“點在圓內”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習）若點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內部，則實數a的取值范圍是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【題型5 與圓有關的軌跡問題】
【例5】（24-25高二上·上?！ふn后作業）點與圓上任意一點連線的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（23-24高二上·廣東東莞·階段練習）已知線段的端點的坐標，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡所圍成圖形的面積（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·山東淄博·一模）在平面直角坐標系xOy中，已知向量 與 關于x軸對稱，向量 若滿足 的點A的軌跡為E，則（ ）
A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個半徑為1的圓
C．E是兩條平行直線 D．E 是橢圓
【變式5-3】（2024·山東德州·三模）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 與圓有關的對稱問題】
【例6】（2024·浙江·模擬預測）圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（23-24高二上·安徽黃山·期末）圓與圓N關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（23-24高二下·云南昆明·階段練習）已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024·陜西寶雞·一模）已知圓關于直線對稱，則的最大值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【題型7 圓系方程】
【例7】（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A． B．．
C． D．
【變式7-1】（2024高二·遼寧·學業考試）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是 ．
【變式7-2】（23-24高一下·江西九江·期中）經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為 .
【變式7-3】（2024高三下·全國·專題練習）求過圓：與圓：的交點，圓心在直線：圓的方程.
【題型8 與圓有關的最值問題】
【例8】（2024·西藏拉薩·二模）已知點，動點在圓上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·河南·模擬預測）已知點在以原點為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式8-2】（2024·湖北黃石·三模）已知在等腰直角三角形中，，點在以為圓心、2為半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2024·廣西貴港·模擬預測）已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點，設坐標原點為O，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·吉林長春·三模）經過，，三個點的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江·一模）圓的圓心坐標和半徑分別為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西銅川·三模）已知圓經過點，則其圓心到原點的距離的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024·河南信陽·模擬預測）已知圓O：，點和點在圓上，滿足，則最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·廣西玉林·期末）若直線在軸 軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，直線，點關于直線的對稱點為，則面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習）已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
二、多選題
9．（2024·廣西·模擬預測）若點在圓的外部，則的取值可能為（ ）
A． B．1 C．4 D．7
10．（2024·山西臨汾·三模）已知是以為圓心，為半徑的圓上任意兩點，且滿足，是的中點，若存在關于對稱的兩點，滿足，則線段長度的可能值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2024·遼寧丹東·模擬預測）已知曲線:，則（ ）
A．曲線圍成圖形面積為
B．曲線的長度為
C．曲線上任意一點到原點的最小距離為2
D．曲線上任意兩點間最大距離
三、填空題
12．（2024·湖南邵陽·三模）寫出滿足“點在圓外部”的一個的值：
．
13．（2024·貴州畢節·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為 ．
14．（2024·天津河西·模擬預測）已知點為圓上一點，點，當變化時線段AB長度的最小值為 .
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知過點的動直線l與圓相交于不同的兩點A，B．
(1)求圓的圓心坐標；
(2)求線段的中點M的軌跡C的方程．
16．（23-24高二上·湖南永州·期末）的頂點是，，．
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求過點A，B，C的圓方程．
17．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直線，圓．
(1)求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；
(2)若圓與關于直線對稱，求的標準方程．
18．（23-24高二上·山東濟南·期末）已知圓心為C的圓經過，兩點，且圓心C在直線上．
(1)求圓C的標準方程；
(2)點P在圓C上運動，求的取值范圍．
19．（23-24高二上·湖南·期末）已知四邊形的三個頂點，，．
(1)求過A，B，C三點的圓的方程．
(2)設線段上靠近點A的三等分點為E，過E的直線l平分四邊形的面積．若四邊形為平行四邊形，求直線l的方程．
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