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專題8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系【十大題型】
【新高考專用】
【題型1 直線與圓的位置關系的判斷】 5
【題型2 弦長問題】 6
【題型3 切線問題、切線長問題】 7
【題型4 圓上的點到直線距離個數問題】 7
【題型5 面積問題】 8
【題型6 直線與圓位置關系中的最值問題】 8
【題型7 直線與圓中的定點定值問題】 9
【題型8 圓與圓的位置關系】 10
【題型9 兩圓的公共弦問題】 10
【題型10 兩圓的公切線問題】 11
1、直線與圓、圓與圓的位置關系
考點要求 真題統計 考情分析
(1)能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系 (2)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題 2022年新高考全國I卷：第14題，5分 2023年新高考I卷：第6題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第15題，5分 2023年全國乙卷（理數）：第12題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第10題，5分 直線與圓、圓與圓的位置關系是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結合命題時，主要考察直線與圓的位置關系、圓的弦長等，多以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會出現在壓軸題的位置，此時多與圓錐曲線相結合，難度較大，需要學會靈活求解.
【知識點1 直線與圓的位置關系】
1．直線與圓的位置關系及判定方法
(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：
位置 相交 相切 相離
交點個數 兩個 一個 零個
圖形
d與r的關系 dr
方程組
解的情況 有兩組不
同的解 僅有一組解 無解
(2)直線與圓的位置關系的判定方法
①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的
實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當dr時，直線與圓相離.
2．圓的弦長問題
設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.
(2)代數法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.
①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.
②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.
【知識點2 圓與圓的位置關系】
1．圓與圓的位置關系及判斷方法
(1)圓與圓的位置關系
圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.
(2)圓與圓的位置關系的判定方法
①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：
設兩圓與的圓心距為d，則
d=，兩圓的位置關系表示如下：
位置關系 關系式 圖示 公切線條數
外離 d>r1+r2 四條
外切 d=r1+r2 三條
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2| 一條
內含 0≤d<|r1-r2| 無
②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.
當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，
兩圓無公共點，包括內含與外離.
2．兩圓的公共弦問題
(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法
兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.
設圓:，①
圓:，②
①-②，得，③
若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點
滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.
(2)求兩圓公共弦長的方法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦長.
3．兩圓的公切線
(1)兩圓公切線的定義
兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.
(2)兩圓的公切線位置的5種情況
①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；
②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；
③相交時，有2條公切線，都是外公切線；
④內切時，有1條公切線；
⑤內含時，無公切線.
判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。
(3)求兩圓公切線方程的方法
求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，
設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.
【知識點3 與圓有關的最值問題的解題策略】
1．解與圓有關的最值問題
(1)利用圓的幾何性質求最值的問題
求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.
①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d
為圓心到直線的距離；
②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；
③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.
(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍) 問題
解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選
用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
【方法技巧與總結】
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.
(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.
2．圓與圓的位置關系的常用結論
兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.
【題型1 直線與圓的位置關系的判斷】
【例1】（2024·山東淄博·二模）若圓，則直線與圓C的位置關系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相離 D．相交或相切
【變式1-1】（2024·陜西·模擬預測）“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-2】（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【變式1-3】（2024·北京大興·三模）已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型2 弦長問題】
【例2】（2024·河南·模擬預測）直線，圓.則直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式2-1】（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（　　）
A． B．1 C． D．﹣2
【變式2-2】（2024·北京豐臺·一模）在平面直角坐標系中，直線上有且僅有一點，使，則直線被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·湖南婁底·一模）已知圓，過點的動直線與圓相交于兩點時，直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或.
【題型3 切線問題、切線長問題】
【例3】（2024·遼寧丹東·二模）過坐標原點O作圓的兩條切線OA，OB，切點分別為A，B，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）已知點在圓 ．上，點，若的最小值為，則過點A且與圓C相切的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式3-2】（2024·北京西城·模擬預測）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）過直線上一點M作圓C：的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點，則直線PQ的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 圓上的點到直線距離個數問題】
【例4】（2024·重慶·模擬預測）設圓和不過第三象限的直線 ，若圓上恰有三點到直線的距離為，則實數（ ）
A．2 B．4 C．26 D．41
【變式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知直線，圓上恰有3個點到直線的距離都等于1，則（ ）
A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1
【變式4-3】（2024·山西·二模）已知是坐標原點，若圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 面積問題】
【例5】（2024·湖北·模擬預測）已知A，B是直線：上的兩點，且，P為圓：上任一點，則面積的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，設是圓上一動點，則面積的最大值與最小值之差等于（ ）
A．12 B． C．6 D．
【變式5-2】（2024·山西呂梁·一模）已知圓，點為直線上的動點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【變式5-3】（23-24高三上·廣東深圳·期末）是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 直線與圓位置關系中的最值問題】
【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【變式6-1】（2024·陜西漢中·二模）已知，直線為l上的一動點，A，B為上任意不重合的兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標系中， 記 為點 到直線 的距離， 則當 變化時， 的最大值與最小值之差為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）已知圓的方程為：，點，，是線段上的動點，過作圓的切線，切點分別為，，現有以下四種說法：①四邊形的面積的最小值為1；②四邊形的面積的最大值為；③的最小值為；④的最大值為．其中所有正確說法的序號為（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
【題型7 直線與圓中的定點定值問題】
【例7】（2024高三·全國·專題練習）已知圓：，為圓心，動直線過點，且與圓交于，兩點，記弦的中點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過作兩條斜率分別為，的直線，交曲線于，兩點，且，求證：直線過定點．
【變式7-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知圓心在直線上，并且經過點，與直線相切的圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)對于圓上的任意一點，是否存在定點（不同于原點）使得恒為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【變式7-2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）圓經過點，圓心在直線上．
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與軸分別交于兩點，為直線上的動點，直線與曲線圓的另一個交點分別為，求證直線經過定點，并求出定點的坐標．
【變式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圓過點，圓心在直線上，截軸弦長為．
(1)求圓的方程；
(2)若圓半徑小于，點在該圓上運動，點，記為過、兩點的弦的中點，求的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，若直線與直線交于點，證明：恒為定值．
【題型8 圓與圓的位置關系】
【例8】（2024·吉林長春·模擬預測）已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（ ）
A．內含 B．相切 C．相交 D．外離
【變式8-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）圓與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．外切 C．內切 D．相離
【變式8-2】（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A．外切 B．相交 C．內切 D．沒有公共點
【變式8-3】（2024·山東·模擬預測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相交 C．內切 D．內含
【題型9 兩圓的公共弦問題】
【例9】（2024·黑龍江·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】（2024·江西宜春·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（2024·河北石家莊·二模）已知圓與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·河南·二模）若圓與圓的公共弦AB的長為1，則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型10 兩圓的公切線問題】
【例10】（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式10-1】（23-24高三下·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知圓，圓，則兩圓的公切線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式10-3】（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時相切的是（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（2024·北京海淀·三模）已知直線和圓，則“”是“存在唯一k使得直線l與相切”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·福建福州·模擬預測）已知圓與軸相切，則（ ）
A．1 B．0或 C．0或1 D．
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海西寧·二模）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·內蒙古赤峰·三模）已知圓 圓則兩圓的公切線條數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2024·全國·模擬預測）已知P為直線上一點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2024·廣西賀州·一模）已知點P為直線與直線的交點，點Q為圓上的動點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·廣西南寧·三模）已知圓，點在線段（）上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（ ）.
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·廣西·模擬預測）已知直線與曲線有公共點，則整數k的取值可以為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標為
B．直線與圓始終有兩個交點
C．當時，直線與圓相交于兩點，則的面積為
D．點到直線的距離最大時，
11．（2024·山東青島·三模）已知動點 分別在圓 和 上，動點 在 軸上，則（ ）
A．圓的半徑為3
B．圓和圓相離
C．的最小值為
D．過點做圓的切線，則切線長最短為
三、填空題
12．（2024·陜西·模擬預測）圓上總存在兩個點到的距離為1，則a的取值范圍是 .
13．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知圓，直線，為直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線過定點 .
14．（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知圓和圓，M、N分別是圓C、D上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值是 .
四、解答題
15．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）已知圓的方程：
(1)若直線與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
(2)當圓被直線截得的弦長為時，求m的值．
16．（23-24高二上·廣西百色·期末）已知圓經過點和，且圓心在直線上.
(1)求圓方程；
(2)若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關系.
17．（2024高三·全國·專題練習）已知點是圓上任意一點．
(1)求P點到直線的距離的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
18．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，是平面內的一動點，且滿足，記點的運動軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線與曲線交于，兩點，若的面積是的面積的3倍，求直線的方程．
19．（2024·黑龍江·模擬預測）已知圓．
(1)證明：圓C過定點；
(2)當時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系【十大題型】
【新高考專用】
【題型1 直線與圓的位置關系的判斷】 5
【題型2 弦長問題】 7
【題型3 切線問題、切線長問題】 9
【題型4 圓上的點到直線距離個數問題】 11
【題型5 面積問題】 13
【題型6 直線與圓位置關系中的最值問題】 15
【題型7 直線與圓中的定點定值問題】 18
【題型8 圓與圓的位置關系】 23
【題型9 兩圓的公共弦問題】 25
【題型10 兩圓的公切線問題】 26
1、直線與圓、圓與圓的位置關系
考點要求 真題統計 考情分析
(1)能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系 (2)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題 2022年新高考全國I卷：第14題，5分 2023年新高考I卷：第6題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第15題，5分 2023年全國乙卷（理數）：第12題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第10題，5分 直線與圓、圓與圓的位置關系是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結合命題時，主要考察直線與圓的位置關系、圓的弦長等，多以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會出現在壓軸題的位置，此時多與圓錐曲線相結合，難度較大，需要學會靈活求解.
【知識點1 直線與圓的位置關系】
1．直線與圓的位置關系及判定方法
(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：
位置 相交 相切 相離
交點個數 兩個 一個 零個
圖形
d與r的關系 dr
方程組
解的情況 有兩組不
同的解 僅有一組解 無解
(2)直線與圓的位置關系的判定方法
①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的
實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當dr時，直線與圓相離.
2．圓的弦長問題
設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.
(2)代數法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.
①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.
②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.
【知識點2 圓與圓的位置關系】
1．圓與圓的位置關系及判斷方法
(1)圓與圓的位置關系
圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.
(2)圓與圓的位置關系的判定方法
①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：
設兩圓與的圓心距為d，則
d=，兩圓的位置關系表示如下：
位置關系 關系式 圖示 公切線條數
外離 d>r1+r2 四條
外切 d=r1+r2 三條
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2| 一條
內含 0≤d<|r1-r2| 無
②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.
當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，
兩圓無公共點，包括內含與外離.
2．兩圓的公共弦問題
(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法
兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.
設圓:，①
圓:，②
①-②，得，③
若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點
滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.
(2)求兩圓公共弦長的方法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦長.
3．兩圓的公切線
(1)兩圓公切線的定義
兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.
(2)兩圓的公切線位置的5種情況
①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；
②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；
③相交時，有2條公切線，都是外公切線；
④內切時，有1條公切線；
⑤內含時，無公切線.
判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。
(3)求兩圓公切線方程的方法
求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，
設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.
【知識點3 與圓有關的最值問題的解題策略】
1．解與圓有關的最值問題
(1)利用圓的幾何性質求最值的問題
求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.
①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d
為圓心到直線的距離；
②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；
③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.
(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍) 問題
解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選
用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
【方法技巧與總結】
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.
(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.
2．圓與圓的位置關系的常用結論
兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.
【題型1 直線與圓的位置關系的判斷】
【例1】（2024·山東淄博·二模）若圓，則直線與圓C的位置關系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相離 D．相交或相切
【解題思路】直線經過定點，然后證明定點在圓內可判斷.
【解答過程】經過定點，由于，則定點在圓內.
故直線與圓C的位置關系是相交.
故選：A.
【變式1-1】（2024·陜西·模擬預測）“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出或，從而確定答案.
【解答過程】圓是以為圓心，半徑為2的圓，
所以點到直線的距離為，
解得或，
故“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.
故選：A．
【變式1-2】（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【解題思路】根據題意可得直線表示過定點，且除去的直線，點在圓上，可判斷直線與圓相交.
【解答過程】因為直線，即，
當時，，解得，
所以直線表示過定點，且除去的直線，
將圓的方程化為標準方程為，因為，點在圓上，
所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時直線為，不合題意，
所以直線與圓相交.
故選：C.
【變式1-3】（2024·北京大興·三模）已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用直線與圓的位置關系的判斷方法，當，直線與圓有公共點時，恒成立，從而得到，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求出結果.
【解答過程】易知圓的圓心為，半徑為，
當，直線與圓有公共點時，恒成立，即恒成立，
則且，解得，即或（舍去）
所以“，直線與圓有公共點”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
【題型2 弦長問題】
【例2】（2024·河南·模擬預測）直線，圓.則直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】先將圓的方程化為標準形式，求出圓心坐標與圓的半徑，再求出圓心到直線的距離，最終利用勾股定理即可求解.
【解答過程】圓的標準方程為，
由此可知圓的半徑為，圓心坐標為，
所以圓心到直線的距離為，
所以直線被圓截得的弦長為.
故選：D.
【變式2-1】（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（　　）
A． B．1 C． D．﹣2
【解題思路】首先求出圓心到直線的距離，進一步利用垂徑定理建立等量關系式，最后求出a的值．
【解答過程】圓與直線與相交于A，B兩點，且．
則圓心到直線的距離，
利用垂徑定理得，所以，解得．
故選：C．
【變式2-2】（2024·北京豐臺·一模）在平面直角坐標系中，直線上有且僅有一點，使，則直線被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用垂徑定理直接求解即可.
【解答過程】由題意知：坐標原點到直線的距離；
圓的圓心為，半徑，被圓截得的弦長為.
故選：D.
【變式2-3】（2024·湖南婁底·一模）已知圓，過點的動直線與圓相交于兩點時，直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或.
【解題思路】考慮直線與軸垂直和不垂直兩種情況，斜率不存在時，滿足要求，斜率存在時，設出直線方程，利用點到直線距離公式得到方程，求出答案.
【解答過程】當直線與軸垂直時，易知直線的方程為，
中令得，解得，
故此時，符合題意；
當直線與軸不垂直時，設直線的斜率為，則直線的方程為，
即，
則圓心到直線的距離為，又，
，解得，則直線的方程為，
即，
綜上可知直線的方程為或.
故選：C.
【題型3 切線問題、切線長問題】
【例3】（2024·遼寧丹東·二模）過坐標原點O作圓的兩條切線OA，OB，切點分別為A，B，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【解題思路】由圓的標準方程作出圓的圖形，易得切點坐標，利用兩點之間距離公式計算即得.
【解答過程】

如圖，由圓可得x軸，y軸，即是過點O的切線，
所以切點為，，故．
故選：C.
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）已知點在圓 ．上，點，若的最小值為，則過點A且與圓C相切的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解題思路】
首先得到圓心坐標與半徑，根據的最小值為，得到方程求出的值，即可求出圓的方程，再分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出切線方程，即可得解.
【解答過程】
由圓方程可得圓心為，半徑，因為的最小值為，所以，
解得，故圓．
若過點的切線斜率存在，
設切線方程為，則，解得，
所以切線方程為，即；
若過點的切線斜率不存在，由圓方程可得，圓過坐標原點，所以切線方程為．
綜上，過點且與圓相切的直線方程為或．
故選：A.
【變式3-2】（2024·北京西城·模擬預測）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【解題思路】連接，，當最小時，最小，計算點到直線的距離得到答案.
【解答過程】如圖所示：連接，則，
當最小時，最小，，
故的最小值為.
故選：C.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）過直線上一點M作圓C：的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點，則直線PQ的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點求得t的值，進而得到直線PQ的方程.
【解答過程】圓C：的圓心為，
設，則以為直徑的圓的方程為
與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為
因為直線PQ過點，所以，解得．
所以直線PQ的方程為，即．
故選：C．
【題型4 圓上的點到直線距離個數問題】
【例4】（2024·重慶·模擬預測）設圓和不過第三象限的直線 ，若圓上恰有三點到直線的距離為，則實數（ ）
A．2 B．4 C．26 D．41
【解題思路】首先得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離為，即可求出的值，再由直線不過第三象限求出的取值范圍，即可得解.
【解答過程】因為圓的圓心為，半徑，
因為圓上恰有三點到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，解得或，
又直線 不過第三象限，則，解得，
所以.
故選：C.
【變式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
【解題思路】利用圓上恰存在三個點到直線的距離等于，等價于到直線：的距離為，從而利用點線距離公式與充分必要條件即可得解.
【解答過程】因為圓：的圓心，半徑為，
當圓上恰存在三個點到直線的距離等于時，
則到直線：的距離為，
所以，解得，即必要性不成立；
當時，由上可知到直線：的距離為，
此時圓上恰存在三個點到直線的距離等于，即充分性成立；
所以“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知直線，圓上恰有3個點到直線的距離都等于1，則（ ）
A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1
【解題思路】結合題意，利用點到直線的距離公式列式求解，再進行驗證即可.
【解答過程】如圖所示，圓的半徑為2.設點在圓上運動.
圓心到直線的距離，令，則.
①當時，與直線平行且距離等于1的直線是，，
與圓的三個交點是，，，滿足題意.
②當時，與直線平行且距離等于1的直線是，，與圓的三個交點是，，，滿足題意.
綜上，.
故選：D.
【變式4-3】（2024·山西·二模）已知是坐標原點，若圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出平行于直線且距離為2的直線方程，再求出與圓心較近的直線與圓相交，另一條平行直線與圓相離的的范圍.
【解答過程】圓的圓心，半徑，
設與直線平行且距離為2的直線方程為，
則，解得，直線，，
點到直線的距離，到直線的距離，
由圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，得圓與直線相交，且與直線相離，
則，即，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：A.

【題型5 面積問題】
【例5】（2024·湖北·模擬預測）已知A，B是直線：上的兩點，且，P為圓：上任一點，則面積的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，求得圓心到直線的距離，得到，結合三角形的面積公式，即可求解.
【解答過程】由圓，可得圓心，半徑為，
設點到直線的距離為，圓心到直線l的距離為，
可得，則，
又由，所以面積的最大值為.
故選：B.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，設是圓上一動點，則面積的最大值與最小值之差等于（ ）
A．12 B． C．6 D．
【解題思路】求出到直線的距離的最大值與最小值，結合面積公式做差即可得.
【解答過程】因為直線與圓相離，
設圓心到直線的距離為，
則，又圓的半徑為2，
所以到直線的距離的最小值為，
到直線的距離的最大值為，
因此面積的最大值與最小值之差等于：
．
故選：B．
【變式5-2】（2024·山西呂梁·一模）已知圓，點為直線上的動點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【解題思路】寫出面積表達式，從而得到當與直線垂直時面積最小，代入數據計算即可.
【解答過程】由題意得，，，
，
當垂直直線時，，
，
故選：B.
【變式5-3】（23-24高三上·廣東深圳·期末）是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，結合切線長定理列出四邊形面積的函數關系，再借助幾何意義求出最小值.
【解答過程】圓的圓心，半徑，
點到直線的距離，顯然，
由于切圓于點，則，
四邊形的面積，
當且僅當直線垂直于直線時取等號，
所以四邊形面積的最小值為.
故選：B.
【題型6 直線與圓位置關系中的最值問題】
【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點向圓引切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】根據已知條件，求得，由此可知時，取得最小值，由此即可求解.
【解答過程】
由已知有：圓的圓心，半徑為，直線的一般方程為，
設點到圓心的距離為，則有，所以，
所以取最小值時，取得最小值，
因為直線上點到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，
所以，故的最小值為.
故選：B.
【變式6-1】（2024·陜西漢中·二模）已知，直線為l上的一動點，A，B為上任意不重合的兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意分析得當，分別為圓的切線，且最小時，最大，此時最小，再利用二倍角公式即可得解.
【解答過程】由題意得的標準方程為，所以圓心，半徑為2，
所以圓心到直線的距離為，所以直線與相離，
所以當，分別為圓的切線，且最小時，
最大，又，則最大，
所以最大，此時最小，
此時.
故選：D.
【變式6-2】（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標系中， 記 為點 到直線 的距離， 則當 變化時， 的最大值與最小值之差為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解題思路】由直線方程得到其過定點，而可看成單位圓上的一點，故可將求點到直線之距轉化為求圓心到直線之距，要使距離最大，需使直線，此時最大距離即圓心到點的距離再加上半徑即得.
【解答過程】由直線 整理得，可知直線經過定點，
而由知，點可看成圓上的動點，
于是求點 到直線 的距離最值可通過求圓心到直線的距離得到.

如圖知當直線與圓相交時， 到直線 的距離最小值為，
要使點到直線距離最大，需使圓心到直線距離最大，
又因直線過定點，故當且僅當時距離最大，（若直線與不垂直，則過點作直線的垂線段長必定比短）
此時，故點到直線距離的最大值為，即的最大值與最小值之差為.
故選：D.
【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）已知圓的方程為：，點，，是線段上的動點，過作圓的切線，切點分別為，，現有以下四種說法：①四邊形的面積的最小值為1；②四邊形的面積的最大值為；③的最小值為；④的最大值為．其中所有正確說法的序號為（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
【解題思路】利用數形結合，將面積的最值轉化為求的最值，即可判斷①②；利用數量積和三角函數表示，再轉化為利用對勾函數的單調性求最值.
【解答過程】如圖，當點是的中點時，此時，最短，最小值為，
當點與點或點重合時，此時最長，最大值為2，
因為是圓的切線，所以，，
則四邊形的面積為，
所以四邊形的面積的最小值為，最大值為，故①②正確；
,
，
，，
設，函數單調遞增，最小值為0，最大值為，故③錯誤，④正確.
故選：B.
【題型7 直線與圓中的定點定值問題】
【例7】（2024高三·全國·專題練習）已知圓：，為圓心，動直線過點，且與圓交于，兩點，記弦的中點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過作兩條斜率分別為，的直線，交曲線于，兩點，且，求證：直線過定點．
【解題思路】（1）根據題意可得：，，即點的軌跡為以為直徑的圓，從而得到曲線的方程；
（2）討論當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯立，結合韋達定理可得：，，化簡，可得，從而得到，得到直線過定點，當直線斜率不存在時，設直線：，可得，可得，從而得到直線過定點，得證.
【解答過程】（1）因為是弦的中點，
所以，即，
所以點的軌跡為以為直徑的圓，所以曲線的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，
設直線的方程為，
代入，得.
設，，則，是方程的兩解，
則，，，
根據根與系數的關系，得，
即.
若，則直線過點，舍去；
所以，即，
直線的方程為，故直線過定點.
當直線斜率不存在時，設直線：，
與曲線的方程聯立，可得，，則，解得，
故直線的方程為，恒過點.
綜上，直線過定點.
【變式7-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知圓心在直線上，并且經過點，與直線相切的圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)對于圓上的任意一點，是否存在定點（不同于原點）使得恒為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）利用點在圓上以及相切，根據點到直線的距離公式以及點點距離公式，求出圓的半徑和圓心，即可求圓的標準方程；
（2）設，定點 ，不同時為，根據為常數），可得，進而整理可得，即可得的坐標．
【解答過程】（1）圓心在直線，故設圓心為，半徑為，
則，解得，
所以圓的方程為
（2）設，且，即，
設定點，,不同時為，為常數）．
則,
兩邊平方，整理得
代入后得恒成立
化簡得
所以，解得或(舍去）
即．
【變式7-2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）圓經過點，圓心在直線上．
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與軸分別交于兩點，為直線上的動點，直線與曲線圓的另一個交點分別為，求證直線經過定點，并求出定點的坐標．
【解題思路】（1）設出圓心坐標，利用圓心到圓上各點的距離等于半徑求解即可；
（2）設出直線的方程和直線的方程，分別與圓的方程聯立寫出的坐標，進而寫出直線的方程，化簡即可證明直線經過定點，并求出定點的坐標.
【解答過程】（1）因為圓心在直線上，設圓心為
又因為圓經過點
則，解得，
所以圓心半徑為，
所以圓的標準方程為
（2）由圓與軸分別交于兩點，不妨設，
又為直線上的動點，設，則
則方程為，方程為，
設，
聯立方程，解得，
所以，即，即.
聯立方程，解得，
所以，即，即.
當時， ，
所以直線的方程為
化簡得所以直線過定點.
當時，，此時過定點.
綜上，直線過定點.

【變式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圓過點，圓心在直線上，截軸弦長為．
(1)求圓的方程；
(2)若圓半徑小于，點在該圓上運動，點，記為過、兩點的弦的中點，求的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，若直線與直線交于點，證明：恒為定值．
【解題思路】（1）設圓心為，設圓的半徑為，根據圓的幾何性質可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出圓的方程；
（2）利用圓的幾何性質得，利用數量積的坐標運算求得動點的軌跡方程；
（3）設直線與直線交于點，通過斜率關系得，利用幾何關系得，從而，利用點到直線的距離公式及兩點距離公式求解即可.
【解答過程】（1）解：設圓心為，設圓的半徑為，
圓心到軸的距離為，且圓 軸弦長為，則，①
且有②，
聯立①②可得或，
所以，圓的方程為或.
（2）解：因為半徑小于，則圓的方程為，
由圓的幾何性質得即，所以，
設，則，
所以，即的軌跡方程是.
（3）解：設直線與直線交于點，由、可知直線的斜率是，

因為直線的斜率為，則，則，，
所以，，因此，，
又E到的距離，，
所以，，故恒為定值.
【題型8 圓與圓的位置關系】
【例8】（2024·吉林長春·模擬預測）已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（ ）
A．內含 B．相切 C．相交 D．外離
【解題思路】求出兩圓圓心坐標與半徑，再求出圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值比較，即可判斷.
【解答過程】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
則，故，所以兩圓內含；
故選：A.
【變式8-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）圓與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．外切 C．內切 D．相離
【解題思路】求得兩圓的圓心與半徑，進而求得兩圓的圓心距，由可得結論.
【解答過程】由已知得圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為 ，
故，
所以圓與圓相交.
故選：A.
【變式8-2】（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A．外切 B．相交 C．內切 D．沒有公共點
【解題思路】由直線與圓相切，得，則圓的圓心在圓上，兩圓相交.
【解答過程】直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，
即，得.
圓的圓心坐標為，半徑為，
其圓心在圓上，所以兩圓相交.
故選：B.
【變式8-3】（2024·山東·模擬預測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相交 C．內切 D．內含
【解題思路】根據點到直線的距離公式求的值，再利用幾何法判斷兩圓的位置關系.
【解答過程】圓： ，所以圓心，半徑為.
由點到直線距離公式得：，且，所以.
又圓的圓心，半徑為：1.
所以，.
由，所以兩圓內含.
故選：D.
【題型9 兩圓的公共弦問題】
【例9】（2024·黑龍江·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程為，即可利用點到線的距離公式以及圓的弦長公式求解.
【解答過程】的圓心和半徑分別為,
，故兩圓相交，
將兩個圓的方程作差得，即公共弦所在的直線方程為，
又知，，
則到直線的的距離，
所以公共弦長為，
故選:A．
【變式9-1】（2024·江西宜春·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，再求出圓心到公共弦的距離，由弦長即可求出兩圓的公共弦長.
【解答過程】由，作差
得兩圓的公共弦所在直線的方程為．
由，得．
所以圓心，半徑，
則圓心到公共弦的距離．
所以兩圓的公共弦長為．
故選：D．
【變式9-2】（2024·河北石家莊·二模）已知圓與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，兩圓方程相減即可得到直線的方程，再由弦長公式，即可得到結果.
【解答過程】因為圓與圓交于A，B兩點，
則直線的方程即為兩圓相減，可得，
且圓，半徑為，
到直線的距離，
所以.
故選：C.
【變式9-3】（2024·河南·二模）若圓與圓的公共弦AB的長為1，則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】將兩圓方程相減得到直線的方程為，然后再根據公共弦的長為即可求解.
【解答過程】將兩圓方程相減可得直線的方程為，
即，
因為圓的圓心為，半徑為，且公共弦的長為，
則到直線的距離為，
所以，解得，
所以直線的方程為，
故選：D.
【題型10 兩圓的公切線問題】
【例10】（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據圓與圓的位置關系求兩圓圓心距及兩圓半徑，從而可判斷兩圓位置關系，即可得公切線條數.
【解答過程】圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，
則，故兩圓外切，則兩圓公切線的條數為.
故選：C.
【變式10-1】（23-24高三下·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【解題思路】先判斷兩個圓的位置關系，確定公切線的條數，求解出兩圓的公共點，然后根據圓心連線與公切線的關系求解出公切線的方程.
【解答過程】解：，圓心，半徑，
，圓心，半徑，
因為，
所以兩圓相內切，公共切線只有一條，
因為圓心連線與切線相互垂直，，
所以切線斜率為，
由方程組解得，
故圓與圓的切點坐標為，
故公切線方程為，即．
故選：A.
【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知圓，圓，則兩圓的公切線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】由兩圓的位置關系即可確定公切線的條數.
【解答過程】由題意圓是以為圓心1為半徑的圓；
即是以為圓心3為半徑的圓；
圓心距滿足，所以兩圓相離，
所以兩圓的公切線條數為4.
故選：D.
【變式10-3】（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時相切的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用點到直線的距離公式逐項驗證即可.
【解答過程】由題意知：，
所以圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2，
對于A，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，
圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，
即直線是兩圓的一條公切線；
對于B，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，
圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，
即直線是兩圓的一條公切線；
對于C，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，
圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，
即直線是兩圓的一條公切線；
對于D，圓的圓心到直線的距離為，不滿足相切條件，
即直線不可能是兩圓的公切線；
故選：D.
一、單選題
1．（2024·北京海淀·三模）已知直線和圓，則“”是“存在唯一k使得直線l與相切”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先由，點到直線距離公式列出方程，求出此時，充分性成立；求出所過定點，再由存在唯一k使得直線l與相切”，得到或定點在圓上，得到方程，求出相應的答案，必要性不成立.
【解答過程】時，到的距離為，
故，解得，
滿足存在唯一k使得直線l與相切”，充分性成立，
經過定點，
若，，若，此時直線，
直線與相切，另一條切線斜率不存在，
故滿足存在唯一k使得直線l與相切”，
當在上，滿足存在唯一k使得直線l與相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直線l與相切”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024·福建福州·模擬預測）已知圓與軸相切，則（ ）
A．1 B．0或 C．0或1 D．
【解題思路】根據一般式得圓的標準式方程，即可根據相切得求解.
【解答過程】將化為標準式為：，
故圓心為半徑為，且或，
由于與軸相切，故，
解得，或（舍去），
故選：D.
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】兩圓方程作差即可.
【解答過程】由圓，圓，
兩式作差得，，即，
所以兩圓的公共弦所在直線方程是.
故選：B.
4．（2024·青海西寧·二模）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出直線所過的定點，數形結合得到當時，直線被圓截得的弦長最小，再由垂徑定理得到最小值.
【解答過程】直線，
令，解得，所以直線恒過定點，
圓的圓心為，半徑為，
且，即在圓內，
當時，圓心到直線的距離最大為，
此時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為.
故選：A.
5．（2024·內蒙古赤峰·三模）已知圓 圓則兩圓的公切線條數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解題思路】確定兩圓的位置關系后可得公切線條數．
【解答過程】圓標準方程為，
則已知兩圓圓心分別為，半徑分別為，
圓心距為，
因此兩圓外切，它們有三條公切線，
故選：B．
6．（2024·全國·模擬預測）已知P為直線上一點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【解題思路】根據已知條件，結合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.
【解答過程】連接，則，
而的最小值為點C到直線l的距離，
所以.
故選：A.
7．（2024·廣西賀州·一模）已知點P為直線與直線的交點，點Q為圓上的動點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出點的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關系，即可求出的取值范圍.
【解答過程】因為點為直線與直線的交點，
所以由可得，且過定點，過定點，
所以點的軌跡是以點與點為直徑端點的圓(去除)，圓心為，
半徑.
而圓的圓心為，半徑為，
所以兩個圓心的距離，且，所以兩圓相離，
所以的最大值為：，
因為不在圓上，故 ，
所以的取值范圍是.
故選：B.
8．（2024·廣西南寧·三模）已知圓，點在線段（）上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（ ）.
A． B． C． D．
【解題思路】由題意得，進而分析得當最大時，圓的面積的最大，求出最大值，即可求解．
【解答過程】由題可知，，，，，為銳角，
當圓的面積取最大值時最大，
而，
所以，
因為點在線段（）上，
所以，
故，即圓半徑的最大值為，
所以圓的面積的最大值為，
故選：D．
二、多選題
9．（2024·廣西·模擬預測）已知直線與曲線有公共點，則整數k的取值可以為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】分類去絕對值可得，當時，曲線C是以為圓心，為半徑的圓在y軸及y軸右側的部分，當時，曲線C是以為圓心，為半徑的圓在y軸左側的部分，利用點到線的距離可求解.
【解答過程】曲線可化為，
即，
當時，曲線C是以為圓心，
為半徑的圓在y軸及y軸右側的部分，直線，
則當直線l與曲線C相切時，有，
解得或（舍去）；
當時，曲線C是以為圓心，為半徑的圓在y軸左側的部分，
直線，則當直線l與曲線C相切時，有，
解得或（舍去）．綜上，若直線l與曲線C有公共點，則．
故選：BCD．
10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標為
B．直線與圓始終有兩個交點
C．當時，直線與圓相交于兩點，則的面積為
D．點到直線的距離最大時，
【解題思路】對于A，對圓的方程配方后可求出圓心判斷，對于B，先求出過定點，再判斷點與圓的位置關系，從而可得結論，對于C，先求出圓心到直線的距離，再求出弦長，從而可求出的面積，對于D，由于直線過定點，則當直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，從而可求出的值.
【解答過程】對于A：配方得，所以圓心，半徑，所以A正確；
對于B：由，得，則直線過定點，
因為，所以點在圓內，
所以直線與圓始終有兩個交點，所以B正確;
對于C：設圓心到直線的距離為，則，弦長，
所以面積，所以C不正確．
對于D：由題意得直線過定點，故當直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，由于，故得，所以D正確．
故選：ABD．
11．（2024·山東青島·三模）已知動點 分別在圓 和 上，動點 在 軸上，則（ ）
A．圓的半徑為3
B．圓和圓相離
C．的最小值為
D．過點做圓的切線，則切線長最短為
【解題思路】求出兩個圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓關于對稱的圓方程，利用圓的性質求出最小值判斷C；利用切線長定理求出最小值判斷D.
【解答過程】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
對于A，圓的半徑為，A錯誤；
對于B，，圓和圓相離，B正確；
對于C，圓關于軸對稱的圓為，，連接交于點，連接，
由圓的性質得，
，當且僅當點與重合，
且是線段分別與圓和圓的交點時取等號，C錯誤；
對于D，設點，過點的圓的切線長，
當且僅當，即時取等號，D正確.
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·陜西·模擬預測）圓上總存在兩個點到的距離為1，則a的取值范圍是 .
【解題思路】問題轉化為兩個圓的位置關系，通過圓心距與半徑和與差的關系列出不等式求解即可.
【解答過程】圓上總存在兩個點到的距離為1，
轉化為：以為圓心1為半徑的圓與已知圓相交，
可得，即，
解得或，即a的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知圓，直線，為直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線過定點 .
【解題思路】設出點坐標，可得以為直徑的圓的方程，與圓方程作差即可得公共弦方程，即可得定點坐標.
【解答過程】根據題意，為直線：上的動點，設的坐標為，
過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則，，
則點、在以為直徑的圓上，
又由，，則以為直徑的圓的方程為，
變形可得：，
則有，可得：，
變形可得：，即直線的方程為，
則有，解可得，故直線過定點.
故答案為：.
14．（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知圓和圓，M、N分別是圓C、D上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值是 .
【解題思路】先得到，當且僅當三點共線，且三點共線時，等號成立，設C關于x軸的對稱點，求出的最小值，進而得到的最小值.
【解答過程】的圓心為，半徑為1，
，圓心為，半徑為2，
結合兩圓位置可得，，
當且僅當三點共線，且三點共線時，等號成立，
設C關于x軸的對稱點，連接，與軸交于點，此點即為所求，
此時，
故即為的最小值，
故的最小值為
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）已知圓的方程：
(1)若直線與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
(2)當圓被直線截得的弦長為時，求m的值．
【解題思路】（1）先將圓改成標準方程，可得到圓心和半徑，利用直線與圓C沒有公共點列出不等式即可求解；
（2）根據圓中弦心距、半徑、半弦長的關系列出方程求解即可.
【解答過程】（1），，
曲線表示圓，，即，
又因為圓與直線沒有公共點，
所以圓心到直線即的距離大于半徑，即，解得
（2）由（1）可知，圓心坐標為，
又直線，圓心到直線的距離，
直線截得的弦長為，，
解得：.
16．（23-24高二上·廣西百色·期末）已知圓經過點和，且圓心在直線上.
(1)求圓方程；
(2)若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關系.
【解題思路】（1）利用弦的中垂線過圓心，通過聯立方程組解得圓心坐標，由圓上的點到圓心距離解得半徑，可求圓方程；
（2）利用圓心距與兩圓半徑的關系，判斷兩圓的位置關系.
【解答過程】（1）已知圓經過點和，則線段的垂直平分線過圓心，
又圓心在直線上，由，解得，即圓心，
圓的半徑.
所以圓的標準方程為.
（2）圓的方程為，則圓心，半徑.

圓與圓的圓心距，，
所以圓與圓相交.
17．（2024高三·全國·專題練習）已知點是圓上任意一點．
(1)求P點到直線的距離的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【解題思路】（1）轉化為圓心到直線的距離的最大值和最小值；
（2）解法一，轉化為直線與圓有公共點，解法二，利用三角換元求最值；
（3）首先設，再轉化為直線與圓有交點，
【解答過程】（1）圓心到直線的距離為．
∴P點到直線的距離的最大值為，最小值為．
（2）解法一 ：設，則直線與圓有公共點，
∴，解得，
則，即的最大值為，最小值為．
解法二：設，則，其中，
∴得，即的最大值為，最小值為．
（3）表示圓上的點與點連線的斜率為k，
設，即，直線與圓有交點，
設，
解得．
則，即的最大值為，最小值為．
18．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，是平面內的一動點，且滿足，記點的運動軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線與曲線交于，兩點，若的面積是的面積的3倍，求直線的方程．
【解題思路】（1）設，結合題意可得，化簡即可得解；
（2）將直線方程代入圓的方程中，借助韋達定理計算即可得.
【解答過程】（1）設，因為，
所以，
化簡得，
故曲線的方程為；
（2）若直線垂直于軸，則，，，四點共線，不能構成三角形；

故可設直線的方程為，
代入曲線的方程可得，
，
則，，
又，,
，故，
因為，故，
則，
故，
則有，
可得，故，
則直線方程為.
19．（2024·黑龍江·模擬預測）已知圓．
(1)證明：圓C過定點；
(2)當時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程．
【解題思路】（1）依題意改寫圓的方程，令參數的系數為0即可；
（2）依題意表示出所求面積，再用點到直線的距離公式即可求解.
【解答過程】（1）依題意，將圓的方程化為
，
令，即，則恒成立，
解得，即圓過定點；
（2）當時，圓，
直線，
設，依題意四邊形的面積，
當取得最小值時，四邊形的面積最小，
又，即當最小時，四邊形的面積最小，
圓心到直線的距離即為的最小值，
即
，即四邊形面積最小值為，
此時直線與直線垂直，
所以直線的方程為，與直線聯立，解得，
設以為直徑的圓上任意一點：，
故圓的方程為，
即，又圓，
兩式作差可得直線方程.
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