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專題8.6 雙曲線【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 雙曲線的定義及其應用】 4
【題型2 雙曲線的標準方程】 6
【題型3 曲線方程與雙曲線】 8
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】 9
【題型5 雙曲線中焦點三角形問題】 11
【題型6 雙曲線上點到焦點的距離及最值問題】 14
【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】 16
【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】 19
【題型9 雙曲線的簡單幾何性質問題】 21
【題型10 雙曲線的實際應用問題】 24
【題型11 橢圓與雙曲線綜合】 27
1、雙曲線
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程 (2)掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率) (3)了解雙曲線的簡單應用 2023年新高考I卷：第16題，5分 2023年全國甲卷（文數）：第8題，5分 2023年北京卷：第12題，5分 2023年天津卷：第9題，5分 2024年新高考I卷：第12題，5分 2024年全國甲卷（理數）：第5題，5分 雙曲線是圓錐曲線中的重要內容，是高考命題的重點.從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與性質等知識，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現，選擇、填空題中難度中等偏易，解答題中難度偏大，有時會與向量等知識結合考查，需要學會靈活求解.
【知識點1 雙曲線及其性質】
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
雙曲線在坐標系中的位置
標準方程
焦點坐標 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關系
3．雙曲線的簡單幾何性質
雙曲線的一些幾何性質：
圖形
標準方程
范圍 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱
頂點 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長 實半軸長為a,虛半軸長為b
離心率
漸近線方程
4．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
【知識點2 雙曲線方程的求解方法】
1．雙曲線方程的求解
(1)用定義法求雙曲線的標準方程
根據雙曲線的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.
(2)用待定系數法求雙曲線的標準方程
用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為或，再根據條件求解.
(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為.
【知識點3 雙曲線的焦點三角形的相關結論】
1．雙曲線的焦點三角形
(1)焦點三角形的概念
設P是雙曲線上一點，,為雙曲線的焦點，當點P,,不在同一條直線上時，它們構成一個焦
點三角形，如圖所示.
(2)焦點三角形的常用結論
若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，,分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中為.
【知識點4 雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】
1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
(1)直接求出a, c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)
求解.
【知識點5 雙曲線中的最值問題的解題策略】
1．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【方法技巧與總結】
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).
【題型1 雙曲線的定義及其應用】
【例1】（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．充分不必要條件
【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.
【解答過程】，
當點在左支時，的最小值為，
當點在右支時，的最小值為，
因為，則點在雙曲線的左支上，
由雙曲線的定義，解得；
當，點在左支時，；在右支時，；推不出；
故為充分不必要條件，
故選：D.
【變式1-1】（2024·青海·模擬預測）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】借助雙曲線定義計算即可得.
【解答過程】由雙曲線定義可知：，
則三角形的周長為，
故.
故選：D.
【變式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知雙曲線的左右焦點依次為，，且，若點在雙曲線的右支上，則（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【解題思路】根據題意，得，，求出，根據雙曲線的定義即可求出的值.
【解答過程】
由題意知，，，
，
雙曲線，
點在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義得，，
故選：B.
【變式1-3】（2024·四川達州·二模）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【解題思路】
由雙曲線的定義知，，則 ，即可得出答案.
【解答過程】雙曲線C：，則，，
由雙曲線的定義知：，，
，
所以
.
故選：C.
【題型2 雙曲線的標準方程】
【例2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線經過點， 離心率為2，則的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意設出雙曲線方程，在根據離心率公式，即可求出。
【解答過程】由題意知，雙曲線的焦點在軸上，
設雙曲線的方程為 ，
因為雙曲線C經過點，所以，
因為，所以，
所以，
所以雙曲線的標準方程為.
故選：C.
【變式2-1】（2024·北京海淀·一模）若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點的距離大，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意及雙曲線的定義可知，，再結合，求出，即可求出結果.
【解答過程】由題知，根據題意，由雙曲線的定義知，又，
所以，得到，所以雙曲線的方程為，
故選：D.
【變式2-2】（2024·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，若的中心在原點，焦點在軸上，離心率，且點在雙曲線上，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用待定系數法可求雙曲線的標準方程.
【解答過程】設雙曲線的方程為：，
因為離心率，故半焦距，故，
而雙曲線過，故，解得，
故雙曲線的方程為：，
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先根據雙曲線的定義求出，在中，利用正弦定理求出，再根據三角形的面積公式求出，利用勾股定理可求得，進而可求出答案.
【解答過程】因為，所以，
又因為點在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
則，所以，
則，所以，
所以，
所以的方程為.
故選：B.

【題型3 曲線方程與雙曲線】
【例3】（2024·四川南充·二模）已知，是實數，則“”是“曲線是焦點在軸的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【解答過程】若曲線是焦點在軸的雙曲線，則，，所以，故必要性成立，
若，滿足，但是曲線是焦點在軸的雙曲線，故充分性不成立，
所以“”是“曲線是焦點在軸的雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式3-1】（23-24高二上·上海·期末）當時，方程所表示的曲線是（ ）
A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線
C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線
【解題思路】化簡方程，然后判斷表示的曲線即可．
【解答過程】當ab＜0時，方程化簡得，
∴方程表示雙曲線．焦點坐標在y軸上；
故選：D．
【變式3-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知曲線，則“”是“曲線C的焦點在x軸上”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】若，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓；當曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線時.
【解答過程】若，則曲線表示焦點在x軸上的橢圓，故充分性成立；
若曲線C的焦點在x軸上，也有可能是，此時曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，故必要性不成立，
故選：A.
【變式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據雙曲線的標準方程，結合充分、必要條件的概念即可求解.
【解答過程】若，則，所以方程表示雙曲線；
若方程表示雙曲線，則，解得或，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.
故選：A.
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】
【例4】（23-24高二上·廣東·期末）已知動圓與圓及圓都外切，那么動圓圓心軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設，半徑為，根據給定條件可得，從而得到的軌跡為以為焦點，的雙曲線左支，再求軌跡方程即可.
【解答過程】圓：，圓心，半徑 ，
圓：，圓心，半徑 ，
設動圓圓心，半徑為，由動圓與圓，都外切，
得，則，
因此圓心的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線左支，
即，半焦距，虛半軸長，
所以動圓圓心的軌跡方程是.
故選：B.
【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設、是兩定點，，動點P滿足，則動點P的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在
【解題思路】由判斷出正確答案.
【解答過程】依題意，、是兩個定點，P是一個動點，
且滿足，所以動點P的軌跡是雙曲線的一支.
故選：B.
【變式4-2】（24-25高二上·全國·課后作業）相距1600m的兩個哨所，聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，已知當時的聲音速度是，在哨所聽到的爆炸聲的時間比在哨所聽到時遲．若以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，則爆炸點所在曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據速度、時間、位移之間的關系，結合雙曲線的定義進行求解即可.
【解答過程】以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，
設為曲線上任一點，
則，
所以點的軌跡為雙曲線的右支，且，，
，
點的軌跡方程為．
故選：B.
【變式4-3】（24-25高二上·上海·課堂例題）已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運動軌跡為曲線C，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設圓P的半徑為r，外切關系可得，，進而得，從而利用雙曲線的定義即可求解.
【解答過程】由圓M：，得圓心，半徑，
由圓N：，得圓心，半徑．
設圓P的半徑為r，則有，．
兩式相減得，
所以圓心P的運動軌跡為以、為焦點的雙曲線的左支，
又，所以C的方程為．
故選：B．
【題型5 雙曲線中焦點三角形問題】
【例5】（2024·四川成都·三模）設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用雙曲線的定義可得，又，進而即得.
【解答過程】∵雙曲線，
∴，又點P在雙曲線C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面積為.
故選：B.
【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）已知點，，動點P滿足，圓E：與點P的軌跡的一個交點為M，圓E與x軸的交點為B，C，則的周長為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意先求出點P的軌跡方程，再畫出圖像，進而利用雙曲線的定義和圓的性質得到的周長.
【解答過程】
設，根據可知直線的斜率存在且不為0，故P不與A，重合.
所以由得，得，故點P的軌跡方程為．
第二步：設，由題意不妨令，，則B，C分別為雙曲線的左、右焦點．
不妨設M在第一象限，，則，根據圓的性質可知，
所以，得.
故，所以的周長為．
故選：D.
【變式5-2】（2024·陜西榆林·模擬預測）設，是雙曲線C：的左，右焦點，過的直線與y軸和C的右支分別交于點P，Q，若是正三角形，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解題思路】由雙曲線的定義、正三角形的性質即可求解.
【解答過程】根據雙曲線定義有，
由于點P在線段的垂直平分線上，∴，
又，，故．
故選：C.
【變式5-3】（2024·廣西南寧·一模）設是雙曲線的左、右兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且，則的面積為（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【解題思路】
由題意可知P在以為直徑的圓上，由雙曲線的定義與三角形面積公式可求得，又，即可求解
【解答過程】
由題可知，，且.
因為，
所以.
所以點P在以為直徑的圓上，
即是以P為直角頂點的直角三角形.
故，即.
又，
所以，
解得，
所以，
則的面積為5，
故選：A.
【題型6 雙曲線上點到焦點的距離及最值問題】
【例6】（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，動點在直線上，線段交于點，過作的垂線，垂足為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設出點的坐標為，由已知，用表示出和，進而得到的值.
【解答過程】由雙曲線的對稱性，不妨設點在軸上及其上方，如圖，

依題意，，設，則，
由得，
所以，
所以.
故選：D．
【變式6-1】（2024·青海玉樹·模擬預測）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P是C的右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．16 B．18 C． D．
【解題思路】利用雙曲線的定義表示，結合基本不等式求解最小值.
【解答過程】因為，為雙曲線的左、右焦點，P是C的右支上的一點，
所以，
所以
，當且僅當，即時，等號成立；
因為，所以，所以成立，的最小值為16.
故選：A.
【變式6-2】（2024·河南鄭州·一模）設，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當取最小值時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
結合雙曲線定義數形結合判斷取最小值時，三點共線，聯立直線及雙曲線方程解出Q的坐標為，即可求解的值.
【解答過程】由雙曲線定義得,
故
如圖示，當三點共線，即Q在M位置時，取最小值，
，故方程為，
聯立，解得點Q的坐標為 (Q為第一象限上的一點)，
故
故選：A.
【變式6-3】（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【解題思路】求得兩圓的圓心和半徑，設雙曲線的左右焦點為，，連接，，，，運用勾股定理和雙曲線的定義，結合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．
【解答過程】由雙曲線方程可知：，
可知雙曲線方程的左、右焦點分別為，，
圓的圓心為（即），半徑為；
圓的圓心為（即），半徑為．
連接，，，，則，
可得
，
當且僅當P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為30.
故選：C.
【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】
【例7】（2024·河南鄭州·一模）已知雙曲線C：（，）的左右焦點分別為，，實軸長為6，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解題思路】先根據題意得雙曲線的方程為，再結合雙曲線的定義得，故，連接，交雙曲線于，交圓于，此時取得最小值，再計算即可得答案.
【解答過程】由題意可得，即，
漸近線方程為，即有，即，可得雙曲線方程為，
焦點為，，由雙曲線的定義可得，
由圓可得，半徑，，
連接，交雙曲線于，交圓于，
此時取得最小值，且為，
則的最小值為.
故選：B.
【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】根據雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質可知，利用函數的單調性即可求得最小值.
【解答過程】由雙曲線：可得
，，所以，
所以，，
由雙曲線的定義可得，所以，
所以，
由雙曲線的性質可知：，令，則，
所以在上單調遞增，
所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，
即的最小值為，
故選：C.
【變式7-2】（23-24高二上·全國·單元測試）已知等軸雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，左焦點為，焦距為4，點的坐標為，為雙曲線右支上一動點，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由雙曲線的定義和三點共線取得最值的性質，可得最大值．
【解答過程】由題意可設雙曲線的方程為，
則，即，得到，所以，
由雙曲線的定義可得，
則，
當三點共線時，取得等號，則的最大值為，
故選：C．
【變式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知點，點是雙曲線：左支上的動點，是圓：上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
利用圓的性質求出的最大值，由點與拋物線右支的位置求出的最小值，再利用雙曲線定義求解即得.
【解答過程】
雙曲線的半焦距，圓的圓心是雙曲線的左焦點，令右焦點為，
圓半徑為，顯然點在圓外，，當且僅當是的延長線與圓的交點時取等號，
，當且僅當三點共線時取等號，由雙曲線的定義，
所以，即的最小值為.
故選：D.
【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】
【例8】（2024·安徽·模擬預測）雙曲線的一條漸近線過點，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由一條漸近線過點得，代入即可求解．
【解答過程】雙曲線的漸近線方程為，
將點代入中，得，
故離心率，
故選：A．
【變式8-1】（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線分別為的右焦點和左頂點，點是雙曲線上的點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】根據、點在上，求出可得答案．
【解答過程】由題設知，，則，
所以，且，易知，
又因為點在上，所以，所以，
因為，所以 ，
則，化簡得
，
解得或（舍去）．所以，
故的離心率為．
故選：B．
【變式8-2】（2024·四川雅安·三模）設分別為雙曲線的左右焦點，過點的直線交雙曲線右支于點，交軸于點，且為線段的中點，并滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【解題思路】設，根據中點關系得，從而根據向量垂直的坐標形式列式求得，根據點在雙曲線上列方程求解即可a、c的關系式，利用離心率的定義轉化為的方程求解即可.
【解答過程】由題意，，設，則，
因為為線段的中點，所以，即，則，
因為，所以，即，
又在雙曲線上，所以，
結合整理得，所以，
解得或（舍去），由，解得.
故選：A.
【變式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線上存在關于原點中心對稱的兩點A，B，以及雙曲線上的另一點C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設點，則可取，代入雙曲線方程整理可得，結合漸近線列式求解即可.
【解答過程】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，
設點，則可取，
則，整理得，
解得，即，可得，則，
所以該雙曲線離心率的取值范圍是．
故選：A.
【題型9 雙曲線的簡單幾何性質問題】
【例9】（2024·福建福州·模擬預測）以為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.
【解答過程】對于選項A，由得漸近線方程為，所以選項A錯誤，
對于選項B，由得漸近線方程為，所以選項B正確，
對于選項C，由得漸近線方程為，所以選項C錯誤，
對于選項D，由得漸近線方程為，所以選項D錯誤，
故選：B.
【變式9-1】（2024·湖南·三模）雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（ ）
A． B．4 C． D．2
【解題思路】由點到直線的距離公式、焦點、漸近線以及的關系即可求解.
【解答過程】由對稱性，不妨設，雙曲線的漸近線是，
則由題意，解得，故所求為.
故選：A.
【變式9-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線方程為（），則不因的值變化而變化的是（ ）
A．頂點坐標 B．焦距 C．離心率 D．漸近線方程
【解題思路】分和，再代入選項討論即可.
【解答過程】因為雙曲線方程為（），
所以雙曲線的漸近線方程為，即.
所以漸近線方程不變，故D選項正確；
雙曲線方程化為，
當，雙曲線的焦點和頂點在軸上，頂點坐標為，焦距為，
離心率為，顯然頂點坐標和焦距是隨變化的，則AB錯誤；
當，雙曲線方程化為，
雙曲線的焦點和頂點在軸上，頂點坐標為，焦距為，
離心率為，則C錯誤；
故選：D.
【變式9-3】（2024·河北·模擬預測）雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設，則，由已知結合雙曲線定義，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，進而可求答案．
【解答過程】解：如圖，由題意得：，
設，則，
所以，，
由雙曲線的定義得：，
所以，，則，
因為，在中，，
即，解得，
所以，，
在中，，
即，
可得，
所以，
所以，即，
故雙曲線的漸近線方程為．
故選：C．
【題型10 雙曲線的實際應用問題】
【例10】（2024·全國·模擬預測）圓錐曲線的光學性質在實際生活中有著廣泛的應用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，當入射光線和反射光線PE互相垂直時（其中P為入射點），，則該雙曲線的離心率為（ ）

A． B．2 C． D．
【解題思路】根據三角函數的定義表示出，利用勾股定理表示出，根據雙曲線的定義得到，即得離心率.
【解答過程】設雙曲線C的焦距為，因為，，
所以，，
所以，故該雙曲線的離心率為．
故選：B.
【變式10-1】（23-24高二下·浙江·階段練習）江南水鄉多石拱橋，現有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬米，若水面上升5米，則水面寬為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．30米
【解題思路】設雙曲線方程為，如圖建立直角坐標系，水面上升5米后，設水面寬為CD，設D.由題可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案.
【解答過程】設雙曲線方程為，如圖建立直角坐標系.
水面上升5米后，設水面寬為CD，設D，其中.
又由題可得，代入雙曲線方程可得：
，則D.
將D點坐標代入雙曲線方程可得：，則D.
又由對稱性可得，則水面上升5米，則水面寬為30米.
故選：D.
【變式10-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發生在接報中心的（ ）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關各點均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340m
C．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m
【解題思路】建立平面直角坐標系，由條件確定該巨響發生的軌跡，聯立方程組求其位置.
【解答過程】如圖，

以接報中心為原點，正東、正北方向為軸、軸正向，建立直角坐標系．設分別是西、東、北觀測點，則
設為巨響為生點，由 同時聽到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點比點晚聽到爆炸聲，故，
由雙曲線定義知點在以為焦點的雙曲線左支上，
依題意得
故雙曲線方程為，將 代入上式，得 ，即
故 .
故巨響發生在接報中心的西偏北距中心處．
故選：A.
【變式10-3】（23-24高二上·河南·階段練習）單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風的阻力，又能用最少的材料來維持結構的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細處的直徑為 ，樓底的直徑為 ，樓頂直徑為 ，最細處距樓底 ，則該地標建筑的高為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程是，
由已知可得 ，將點坐標代入解得 的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程
解得 的坐標即可求得地標建筑的高.
【解答過程】解：以地標建筑的最細處所在直線為 軸，雙曲線的虛軸為 軸，建立平面直角坐標系如圖所示.
由題意可得：，，
設 ，雙曲線的方程是，
則，解得 ，
所以雙曲線的方程是：，
將點代入得，
解得，
所以該地標建筑的高為： .
故選：C.
【題型11 橢圓與雙曲線綜合】
【例11】（2024·四川樂山·三模）設雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求得橢圓的離心率，進而可求得雙曲線的離心率，可求的值.
【解答過程】由橢圓，可得，
所以，所以橢圓的離心率，
又，所以雙曲線的離心率為，
又雙曲線，所以，
所以，解得.
故選：B.
【變式11-1】（2024·山西太原·一模）設雙曲線（、均為正值）的漸近線的傾斜角為，且該雙曲線與橢圓的離心率之積為1，且有相同的焦距，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運用共焦點條件得到雙曲線中，由兩曲線的離心率之積為1得，再用轉化得到，進而得到.
【解答過程】由題意易得，在雙曲線中，即，
由于橢圓離心率為，且由兩曲線的離心率之積為1得.
，，，，又，
或，
故選：C.
【變式11-2】（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據橢圓與雙曲線的幾何性質，求出，令，結合，即可求解.
【解答過程】由橢圓的離心率，
雙曲線的離心率，可得，
令，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過，即，
則此時，即，
則的最大值是.
故選：B.
【變式11-3】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，點為兩曲線的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點三角形中的余弦定理建立等量關系，再構造，利用基本不等式，即可求解.
【解答過程】設兩曲線的半焦距為，由余弦定理得．
在橢圓中，，
得 ．
在雙曲線中，，
得．從而，得，
則，即，
即．
所以，
當且僅當時等號成立.
故選：B.
一、單選題
1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知曲線，則“”是“曲線的焦點在軸上的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】易得充分性成立，當 時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，可知必要性不成立.
【解答過程】當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓， 故充分性成立；
當 時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，
故由曲線的焦點在軸上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲線的焦點在軸上”的充分不必要條件．
故選：A．
2．（2024·陜西榆林·模擬預測）設，是雙曲線 的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解題思路】根據雙曲線的定義及等邊三角形的性質計算可得.
【解答過程】對于雙曲線 ，則，
根據雙曲線定義有，
又，，故．
故選：B.

3．（2024·河南濮陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，點F的坐標為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分兩圓外切和內切兩種情況，根據兩圓位置關系結合雙曲線的定義分析求解.
【解答過程】由題意可知：圓的圓心為，半徑，
設，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，
若圓與圓外切，則，，
可得；
若圓與圓內切，則，，
可得；
綜上所述：，
可知動點P的軌跡是以為焦點的雙曲線，且，則，
所以動點P的軌跡方程為.
故選：B.
4．（2024·天津南開·二模）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，若，則此雙曲線的標準方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】，由雙曲線的定義可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．
【解答過程】因為，
由雙曲線的定義可知，
可得，
由于過的直線斜率為，
所以在等腰三角形中，，則，
由余弦定理得：，
化簡得，可得，即，，
可得，，
所以此雙曲線的標準方程可能為：.
故選：C.
5．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角形一邊中線等于這一邊的一半，則這是一個直角三角形，可得是直角，再利用雙曲線的定義，及已知的兩焦半徑關系，結合勾股定理，可得長度關系，即可求得離心率.
【解答過程】
設雙曲線右焦點為，連接，
由題意可知關于原點對稱，所以，
所以是直角，由，可設，則，即
由雙曲線的定義可知：，，
則，，
由是直角得：，
則，解得：，
又由是直角得：，
則，解得：，所以離心率
故選：B.
6．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線：（，）的右焦點為，左、右頂點分別為，，點在上且軸，直線，與軸分別交于點，，若（為坐標原點），則的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意求出直線和直線的方程，分別令，可求出，結合代入化簡即可得出答案.
【解答過程】由題意知，因為軸，
所以令，可得，解得：，設，
直線的斜率為：，
所以直線的方程為：，
令可得，所以，
直線的斜率為：
所以直線的方程為：，
令可得，所以，
由可得，解得：,
所以，解得：，即
所以的漸近線方程為，
故選：C.
7．（2024·山西太原·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，若動點P位于y軸右側，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據雙曲線的定義，判斷點軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據和把的周長轉化為 的范圍問題，利用三角形兩邊之和大于第三邊求解.
【解答過程】由動點P到兩定點，的距離之差為定值4，
結合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，
易得，，由得，則動點P的軌跡方程為，
如圖：
又，則，且
故的周長為:，
當且僅當P，A，三點共線且點位于、之間時等號成立，故周長的最小值為．
故選：D.
8．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上的一點，C在點P處的切線與C的漸近線交于M，N兩點，O為坐標原點，給出下列四個結論：
①直線的斜率的取值范圍是；
②點P到C的兩條漸近線的距離之積為；
③；
④．
其中所有正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用解析幾何中的坐標思想來研究，結合雙曲線方程及聯解方程組，通過坐標運算進行分析求解即可.
【解答過程】由題意知，，設，又點P在C上，所以，
所以，所以直線的斜率，
所以，令，，
所以
所以，即直線的斜率的取值范圍是，故①正確；
C的漸近線方程為，所以點P到C的兩條漸近線的距離之積為．故②錯誤；
，故③正確；
當時，顯然C在點P處的切線的斜率存在，設點P處的切線方程為，
由得，
所以得，，
解得，
所以C在點P處的切線方程為，即．
當時，C在點P處的切線方程為，所以點P處的切線方程為．
由，解得，
由解得
又，，
所以點P是線段MN的中點，所以，故④正確．
故選：C．
二、多選題
9．（2024·廣東肇慶·模擬預測）已知曲線的方程為，則（ ）
A．當時，曲線表示雙曲線
B．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓
C．當時，曲線表示圓
D．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓
【解題思路】根據雙曲線，橢圓以及圓的性質即可結合選項逐一求解.
【解答過程】對于A，當時，表示焦點在軸雙曲線，故A正確，
對于B，當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，B錯誤，
對于C, 當時，,表示圓，C正確，
對于D,當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D錯誤，
故選：AC.
10．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點分別為為雙曲線上點，且的內切圓圓心為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．直線PF1的斜率為
C．的周長為 D．的外接圓半徑為
【解題思路】對于A，根據三角形與其內切圓性質結合雙曲線定義即可求解；根據已知條件、、以及與各個所需量的關系即可求出、和，進而可依次求出直線PF1的斜率、結合焦三角形面積公式得的周長、結合正弦定理得的外接圓半徑.
【解答過程】如圖1，由條件，點應在雙曲線的右支上，
設圓分別與的三邊切于點，則由題，
且，，
又
，A選項正確；
由選項A得，連接、、，則，
所以，B選項錯誤；
同理，，
，
，
所以由焦三角面積公式得，
又，故得，
的周長為，選項正確；
由，
由正弦定理得，D選項正確.
故選：ACD.
11．（2024·黑龍江大慶·三模）已知點是雙曲線上一點，過向雙曲線的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的浙近線方程為
B．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1
C．
D．的面積為
【解題思路】首先根據雙曲線方程求漸近線方程，判斷A，再根據點到直線的距離判斷BC，最后根據幾何關系，求，再代入面積公式，即可求解.
【解答過程】因為雙曲線的方程為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故A正確；
雙曲線的右焦點到漸近線的距離為，故B正確；
由點到直線的距離公式可得.故錯誤.
如圖，因為，所以.在和中，，
，所以，所以
，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·北京大興·三模）雙曲線的焦點坐標是 ， .
【解題思路】根據雙曲線的方程可得答案.
【解答過程】因為雙曲線的焦點在軸上，
，，
所以雙曲線的焦點坐標是，.
故答案為：，.
13．（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的內角平分線與軸的交點平分線段，則雙曲線的離心率為 ．
【解題思路】根據角平分線的性質可得，結合雙曲線的定義得，根據直角三角形勾股定理即可求解.
【解答過程】

的內角平分線與軸的交點平分線段，
根據角平分線的性質可得，
根據雙曲線的定義，
又，
，
雙曲線的離心率為，
故答案為：.
14．（2024·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系中，，分別是雙曲線：的左，右焦點，設點是的右支上一點，則的最大值為 .
【解題思路】設，，根據雙曲線的定義得到，再由乘“1”法及基本不等式計算可得.
【解答過程】雙曲線中，，則，
設，，
由雙曲線的定義可得，
則
，
當且僅當，即，即，時取等號，
所以的最大值為．
故答案為：．
四、解答題
15．（23-24高二上·全國·單元測試）分別求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)經過兩點；
(2)與雙曲線有公共的漸近線,且過點．
【解題思路】（1）設雙曲線的方程,代入點的坐標,聯立解參數即可.
（2）設雙曲線的方程,代入點的坐標,聯立解參數即可.
【解答過程】（1）可設雙曲線的方程為，
則有解得
則雙曲線的標準方程為.
（2）設所求雙曲線的方程為.
將點代入雙曲線方程得,解得，
因此，所求雙曲線的標準方程為.
16．（23-24高二上·天津·階段練習）已知雙曲線C：（，）與雙曲線有相同的漸近線，且經過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求雙曲線的實軸長，焦點坐標，離心率．
【解題思路】（1）先求出雙曲線的漸近線方程，從而由題意可得，所以雙曲線的方程可化為，再把坐標代入方程中求出的值，從而可得雙曲線的方程；
（2）由雙曲線方程可得，，，從而可得的實軸長，焦點坐標，離心率．
【解答過程】（1）在雙曲線中，，，
則漸近線方程為，
∵雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，
，
∴方程可化為，
又雙曲線經過點，代入方程，
，解得，，
∴雙曲線的方程為.
（2）由（1）知雙曲線中，
，，，
∴實軸長，離心率為，
雙曲線的焦點坐標為.
17．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，記動點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若動點M在y軸右側，定點,求的最小值．
【解題思路】（1）根據題意，由化簡求解；
（2）過點作垂直于直線 ，垂足為，設，得到，然后由求解.
【解答過程】（1）解：由題意得：，
化簡得：.
（2）如圖所示：
過點作垂直于直線 ，垂足為，
設，則，即，
所以，
顯然，當三點共線時，取得最小值，
為.
18．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知雙曲線是上的任意一點.
(1)設點的坐標為，求的最小值；
(2)若分別為雙曲線的左 右焦點，，求的面積.
【解題思路】（1）設出點的坐標為，表示出，利用點再雙曲線上，借助二次函數知識計算即可;
（2）由雙曲線的定義及余弦定理表示出，結合面積公式計算即可.
【解答過程】（1）

設點的坐標為，
則，
因為，所以當時，取得最小值.
（2）由雙曲線的定義知①,
由余弦定理得②,
根據①②可得，所以.
19．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）設雙曲線：（，）過，，，四個點中的三個點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，，其中與的右支交于，兩點，與直線交于點，與的右支相交于，兩點，與直線交于點，求的最大值．
【解題思路】（1）由題意可得雙曲線不過點，將其余點坐標代入雙曲線方程計算即可得；
（2）借助韋達定理與兩點間距離公式表示出并化簡后，可得，結合基本不等式即可得解.
【解答過程】（1）由，，，與不能同過，與對稱，
故該雙曲線不過點，
則有，解得，即雙曲線方程為；
（2）由雙曲線方程為，故，
由題意可知，，的斜率均存在，
設的斜率為，則的斜率為，
即，設、，
令，則，即，
聯立雙曲線，有，
由雙曲線性質可知，即，
此時恒成立，
有，，
則，，
故
，
同理可得，
則
，當且僅當，即時，等號成立，
即的最大值為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題8.6 雙曲線【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 雙曲線的定義及其應用】 4
【題型2 雙曲線的標準方程】 5
【題型3 曲線方程與雙曲線】 5
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】 6
【題型5 雙曲線中焦點三角形問題】 7
【題型6 雙曲線上點到焦點的距離及最值問題】 7
【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】 8
【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】 8
【題型9 雙曲線的簡單幾何性質問題】 9
【題型10 雙曲線的實際應用問題】 10
【題型11 橢圓與雙曲線綜合】 11
1、雙曲線
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程 (2)掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率) (3)了解雙曲線的簡單應用 2023年新高考I卷：第16題，5分 2023年全國甲卷（文數）：第8題，5分 2023年北京卷：第12題，5分 2023年天津卷：第9題，5分 2024年新高考I卷：第12題，5分 2024年全國甲卷（理數）：第5題，5分 雙曲線是圓錐曲線中的重要內容，是高考命題的重點.從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與性質等知識，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現，選擇、填空題中難度中等偏易，解答題中難度偏大，有時會與向量等知識結合考查，需要學會靈活求解.
【知識點1 雙曲線及其性質】
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：
雙曲線在坐標系中的位置
標準方程
焦點坐標 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關系
3．雙曲線的簡單幾何性質
雙曲線的一些幾何性質：
圖形
標準方程
范圍 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱
頂點 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長 實半軸長為a,虛半軸長為b
離心率
漸近線方程
4．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
【知識點2 雙曲線方程的求解方法】
1．雙曲線方程的求解
(1)用定義法求雙曲線的標準方程
根據雙曲線的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.
(2)用待定系數法求雙曲線的標準方程
用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為或，再根據條件求解.
(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為.
【知識點3 雙曲線的焦點三角形的相關結論】
1．雙曲線的焦點三角形
(1)焦點三角形的概念
設P是雙曲線上一點，,為雙曲線的焦點，當點P,,不在同一條直線上時，它們構成一個焦
點三角形，如圖所示.
(2)焦點三角形的常用結論
若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，,分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中為.
【知識點4 雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】
1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
(1)直接求出a, c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)
求解.
【知識點5 雙曲線中的最值問題的解題策略】
1．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.
(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【方法技巧與總結】
1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).
【題型1 雙曲線的定義及其應用】
【例1】（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．充分不必要條件
【變式1-1】（2024·青海·模擬預測）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知雙曲線的左右焦點依次為，，且，若點在雙曲線的右支上，則（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【變式1-3】（2024·四川達州·二模）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【題型2 雙曲線的標準方程】
【例2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線經過點， 離心率為2，則的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2024·北京海淀·一模）若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點的距離大，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，若的中心在原點，焦點在軸上，離心率，且點在雙曲線上，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 曲線方程與雙曲線】
【例3】（2024·四川南充·二模）已知，是實數，則“”是“曲線是焦點在軸的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-1】（23-24高二上·上海·期末）當時，方程所表示的曲線是（ ）
A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線
C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線
【變式3-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知曲線，則“”是“曲線C的焦點在x軸上”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題型4 求雙曲線的軌跡方程】
【例4】（23-24高二上·廣東·期末）已知動圓與圓及圓都外切，那么動圓圓心軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設、是兩定點，，動點P滿足，則動點P的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在
【變式4-2】（24-25高二上·全國·課后作業）相距1600m的兩個哨所，聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，已知當時的聲音速度是，在哨所聽到的爆炸聲的時間比在哨所聽到時遲．若以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，則爆炸點所在曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（24-25高二上·上海·課堂例題）已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運動軌跡為曲線C，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 雙曲線中焦點三角形問題】
【例5】（2024·四川成都·三模）設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）已知點，，動點P滿足，圓E：與點P的軌跡的一個交點為M，圓E與x軸的交點為B，C，則的周長為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2024·陜西榆林·模擬預測）設，是雙曲線C：的左，右焦點，過的直線與y軸和C的右支分別交于點P，Q，若是正三角形，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【變式5-3】（2024·廣西南寧·一模）設是雙曲線的左、右兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且，則的面積為（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【題型6 雙曲線上點到焦點的距離及最值問題】
【例6】（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，動點在直線上，線段交于點，過作的垂線，垂足為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·青海玉樹·模擬預測）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P是C的右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．16 B．18 C． D．
【變式6-2】（2024·河南鄭州·一模）設，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當取最小值時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】
【例7】（2024·河南鄭州·一模）已知雙曲線C：（，）的左右焦點分別為，，實軸長為6，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式7-2】（23-24高二上·全國·單元測試）已知等軸雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，左焦點為，焦距為4，點的坐標為，為雙曲線右支上一動點，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【變式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知點，點是雙曲線：左支上的動點，是圓：上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】
【例8】（2024·安徽·模擬預測）雙曲線的一條漸近線過點，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線分別為的右焦點和左頂點，點是雙曲線上的點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【變式8-2】（2024·四川雅安·三模）設分別為雙曲線的左右焦點，過點的直線交雙曲線右支于點，交軸于點，且為線段的中點，并滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線上存在關于原點中心對稱的兩點A，B，以及雙曲線上的另一點C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型9 雙曲線的簡單幾何性質問題】
【例9】（2024·福建福州·模擬預測）以為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式9-1】（2024·湖南·三模）雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（ ）
A． B．4 C． D．2
【變式9-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線方程為（），則不因的值變化而變化的是（ ）
A．頂點坐標 B．焦距 C．離心率 D．漸近線方程
【變式9-3】（2024·河北·模擬預測）雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型10 雙曲線的實際應用問題】
【例10】（2024·全國·模擬預測）圓錐曲線的光學性質在實際生活中有著廣泛的應用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，當入射光線和反射光線PE互相垂直時（其中P為入射點），，則該雙曲線的離心率為（ ）

A． B．2 C． D．
【變式10-1】（23-24高二下·浙江·階段練習）江南水鄉多石拱橋，現有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬米，若水面上升5米，則水面寬為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．30米
【變式10-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發生在接報中心的（ ）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關各點均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340m
C．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m
【變式10-3】（23-24高二上·河南·階段練習）單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風的阻力，又能用最少的材料來維持結構的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細處的直徑為 ，樓底的直徑為 ，樓頂直徑為 ，最細處距樓底 ，則該地標建筑的高為（ ）
A． B． C． D．
【題型11 橢圓與雙曲線綜合】
【例11】（2024·四川樂山·三模）設雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】（2024·山西太原·一模）設雙曲線（、均為正值）的漸近線的傾斜角為，且該雙曲線與橢圓的離心率之積為1，且有相同的焦距，則（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式11-3】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，點為兩曲線的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知曲線，則“”是“曲線的焦點在軸上的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·陜西榆林·模擬預測）設，是雙曲線 的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2024·河南濮陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，點F的坐標為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津南開·二模）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，若，則此雙曲線的標準方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線：（，）的右焦點為，左、右頂點分別為，，點在上且軸，直線，與軸分別交于點，，若（為坐標原點），則的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西太原·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，若動點P位于y軸右側，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上的一點，C在點P處的切線與C的漸近線交于M，N兩點，O為坐標原點，給出下列四個結論：
①直線的斜率的取值范圍是；
②點P到C的兩條漸近線的距離之積為；
③；
④．
其中所有正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
9．（2024·廣東肇慶·模擬預測）已知曲線的方程為，則（ ）
A．當時，曲線表示雙曲線
B．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓
C．當時，曲線表示圓
D．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓
10．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點分別為為雙曲線上點，且的內切圓圓心為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．直線PF1的斜率為
C．的周長為 D．的外接圓半徑為
11．（2024·黑龍江大慶·三模）已知點是雙曲線上一點，過向雙曲線的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的浙近線方程為
B．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1
C．
D．的面積為
三、填空題
12．（2024·北京大興·三模）雙曲線的焦點坐標是 .
13．（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的內角平分線與軸的交點平分線段，則雙曲線的離心率為 ．
14．（2024·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系中，，分別是雙曲線：的左，右焦點，設點是的右支上一點，則的最大值為 .
四、解答題
15．（23-24高二上·全國·單元測試）分別求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)經過兩點；
(2)與雙曲線有公共的漸近線,且過點．
16．（23-24高二上·天津·階段練習）已知雙曲線C：（，）與雙曲線有相同的漸近線，且經過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求雙曲線的實軸長，焦點坐標，離心率．
17．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，記動點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若動點M在y軸右側，定點,求的最小值．
18．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知雙曲線是上的任意一點.
(1)設點的坐標為，求的最小值；
(2)若分別為雙曲線的左 右焦點，，求的面積.
19．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）設雙曲線：（，）過，，，四個點中的三個點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，，其中與的右支交于，兩點，與直線交于點，與的右支相交于，兩點，與直線交于點，求的最大值．
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