資源簡介

專題8.7 拋物線【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 拋物線的定義及其應用】 3
【題型2 拋物線的標準方程】 5
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】 6
【題型4 拋物線的軌跡方程】 7
【題型5 拋物線上的點到定點的距離及最值】 9
【題型6 拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】 11
【題型7 拋物線的焦半徑公式】 14
【題型8 拋物線的幾何性質】 16
【題型9 拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】 18
1、拋物線
考點要求 真題統計 考情分析
(1)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程 (2)掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍 、對稱性、頂點、離心率) (3)了解拋物線的簡單應用 2023年新高考I卷：第22題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第10題，5分 2023年全國乙卷（文數）：第13題，5分 2023年北京卷：第6題，4分 2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6分 2024年北京卷：第11題，5分 拋物線是圓錐曲線中的重要內容，拋物線及其性質是高考數學的熱點問題.從近幾年的高考情況來看，主要考查拋物線的定義、標準方程、幾何性質、面積問題等內容，在選擇、填空、解答題都可能出現，解題思路和解題步驟相對固定，強調通性通法，選擇、填空題中難度不大，解答題中難度偏大，一般以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問題，需要靈活求解.
【知識點1 拋物線及其性質】
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(2)集合語言表示
設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標準方程與幾何性質
標準
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
頂點 (0,0) (0,0)
軸 對稱軸y=0 對稱軸x=0
焦點
準線
離心率 e =1 e=1
開口 開口向右 開口向左 開口向上 開口向下
焦半徑
范圍 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
3．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：
①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是01，拋物線的離心率是
e=1；
⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；
⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.
【知識點2 拋物線標準方程的求解方法】
1．拋物線標準方程的求解
待定系數法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.
【知識點3 拋物線的焦半徑公式】
1．焦半徑公式
設拋物線上一點P的坐標為，焦點為F.
(1)拋物線：，；
(2)拋物線：，；
(3)拋物線：，；
(4)拋物線：，.
注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半
徑公式.
【知識點4 與拋物線有關的最值問題的解題策略】
1．與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略
(1)轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
(2)轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.
【方法技巧與總結】
1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.
2．拋物線上一點P到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
【題型1 拋物線的定義及其應用】
【例1】（2024·貴州貴陽·二模）拋物線上一點與焦點間的距離是10，則到軸的距離是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【解題思路】借助拋物線定義計算即可得.
【解答過程】拋物線的準線為，
由拋物線定義可得，故，
則，即到軸的距離為.
故選：B.
【變式1-1】（2024·河北·模擬預測）已知點為平面內一動點，設甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內一定點的距離與到平面內一定直線的距離相等，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【解題思路】根據已知條件，結合充分條件、必要條件的定義，即可求解．
【解答過程】解：當直線經過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，
當直線不經過該定點時，點的軌跡為拋物線，
故甲是乙的充分條件但不是必要條件．
故選：A．
【變式1-2】（2024·北京大興·三模）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為的直線與直線交于點A，點M在拋物線上，且滿足，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解題思路】由題意先求出過F且斜率為的直線方程，進而可求出點，接著結合點M在拋物線上且可求出，從而根據焦半徑公式即可得解.
【解答過程】由題意可得，故過F且斜率為的直線方程為，
令，則由題，
因為，所以垂直于直線，故，
又M在拋物線上，所以由，
所以.
故選：C.
【變式1-3】（2024·福建莆田·模擬預測）若拋物線的焦點到準線的距離為3，且的開口朝左，則的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據開口設拋物線標準方程，利用p的幾何意義即可求出.
【解答過程】依題意可設的標準方程為，
因為的焦點到準線的距離為3，所以，
所以的標準方程為.
故選：A.
【題型2 拋物線的標準方程】
【例2】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知點為拋物線上一點，且點到拋物線的焦點的距離為3，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【解題思路】由題意,根據拋物線的性質,拋物線,則拋物線焦點為，若為 拋物線上一點,有,可得,解得.
【解答過程】因為拋物線為,
則其焦點在軸正半軸 上,焦點坐標為,
由于點為拋物線為上一點,且點到拋物線的焦點F的距離為3,
所以點A到拋物線的焦點F的距離為解得,
故選：C.
【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用待定系數法，設出拋物線方程，把點代入求解即可.
【解答過程】設拋物線的標準方程為，
將點點代入，得，解得，
所以拋物線的標準方程是.
故選：B.
【變式2-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據拋物線的定義求解．
【解答過程】由題意拋物線上任意一點到焦點F的距離與它到直線的距離相，
因此，，
拋物線方程為．
故選：C．
【變式2-3】（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點A、B，交其準線于C，與準線垂直且垂足為，若，則此拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】過點作準線的垂線，設，得到，結合拋物線的定義，求得，再由，列出方程求得的值，即可求解.
【解答過程】如圖所示，分別過點作準線的垂線，垂足為，
設，則，
由拋物線的定義得 ，
在直角中，可得，所以，
在直角中，因為，可得，
由，所以，解得，
因為，所以，解得，所以拋物線方程為.
故選：C.

【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】
【例3】（2024·內蒙古赤峰·二模）已知拋物線C的方程為 則此拋物線的焦點坐標為（ ）
A．(-4,0) B． C．(-2,0) D．
【解題思路】由拋物線的幾何性質求解．
【解答過程】依題意得：，則此拋物線的焦點坐標為：，
故選：A.
【變式3-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知拋物線，則的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據拋物線的準線方程直接得出結果.
【解答過程】拋物線C：的標準方程為，
所以其準線方程為.
故選：C.
【變式3-2】（2024·河南·三模）拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據拋物線的標準方程直接得出結果.
【解答過程】拋物線的焦點坐標為.
故選：D.
【變式3-3】（2024·福建廈門·模擬預測）若拋物線的準線經過雙曲線的右焦點，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．8
【解題思路】根據題意，分別求得雙曲線的右焦點以及拋物線的準線方程，代入計算，即可得到結果.
【解答過程】因為雙曲線的右焦點為，
又拋物線的準線方程為，則，即.
故選：C.
【題型4 拋物線的軌跡方程】
【例4】（2024·湖南衡陽·三模）已知點，動圓過點，且與相切，記動圓圓心點的軌跡為曲線，則曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.
【解答過程】由題意知，點到點的距離和它到直線的距離相等，
所以點的軌跡是以為焦點的拋物線，所以的方程為，故C正確.
故選：C.
【變式4-1】（23-24高二上·北京延慶·期末）到定點的距離比到軸的距離大的動點且動點不在軸的負半軸的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據拋物線的定義即可得解.
【解答過程】因為動點到定點的距離比到軸的距離大，
所以動點到定點的距離等于到的距離，
所以動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以動點的軌跡方程是.
故選：B.
【變式4-2】（23-24高二上·重慶·期末）已知點滿足，則點的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
【解題思路】根據已知條件及拋物線的定義即可求解.
【解答過程】表示點到點的距離； 表示點到直線的距離.
因為，
所以點到點的距離等于點到直線的距離，
所以的軌跡為拋物線.
故選：C.
【變式4-3】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）一個動圓與定圓：相內切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系找到動點M的幾何條件，再根據拋物線的定義確定動點M的軌跡，最后利用拋物線的標準方程寫出軌跡方程．
【解答過程】設動圓M的半徑為r，依題意：，
點M到定直線的距離為，
所以動點M到定點的距離等于到定直線的距離，
即M的軌跡為以F為焦點，為準線的拋物線，
所以此動圓的圓心M的軌跡方程是.
故選：D．
【題型5 拋物線上的點到定點的距離及最值】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知A是拋物線C：上的點，，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解題思路】由拋物線的方程，利用二次函數的性質求最值
【解答過程】設，
則，
當且僅當時，等號成立．
故選：D．
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習）已知是拋物線上的點，是圓上的點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【解題思路】將問題轉化為求的最小值，根據兩點之間的距離公式，求得的最小值再減去半徑即可.
【解答過程】如圖，拋物線上點到圓心的距離為，

因此，當最小時，最小，
而，
當時，，因此的最小值是．
故選：A.
【變式5-2】（2024·湖南益陽·三模）已知是拋物線上一點，圓關于直線對稱的圓為，是圓上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據對稱性求出圓的方程，設，求出的最小值，即可求出的最小值.
【解答過程】圓圓心為，半徑，設，
則由對稱性可知：，解得，則，
所以圓 ，
設，則，
所以當，即時，，
所以的最小值是.
故選：A.
【變式5-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知拋物線的焦點為，為上的動點，為圓上的動點，設點到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】作出圖形，過點作垂直于拋物線的準線，垂足為點，利用拋物線的定義可知，分析可知，當且僅當、為線段分別與圓、拋物線的交點時，取最小值，即可得解.
【解答過程】根據已知得到，圓，所以，圓的半徑為，
拋物線的準線為，過點作，垂足為點，則，
由拋物線的定義可得，
所以，.
當且僅當、為線段分別與圓、拋物線的交點時，兩個等號成立，
因此，的最小值為.
故選：D.
【題型6 拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模擬預測）設點，動點P在拋物線上，記P到直線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C． D．
【解題思路】根據拋物線的定義，到焦點的距離等于到準線的距離，可得，從而轉化為求的值，當三點共線時，取得最小值，即可求解.
【解答過程】由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，
由拋物線的定義可得，
所以，
因為
所以.
當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為
故選：D.
【變式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知拋物線方程為:，焦點為.圓的方程為，設為拋物線上的點， 為圓上的一點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解題思路】根據拋物線定義將點到焦點的距離轉化為點到直線的距離，即，從而得到，三點共線時和最小；再由在圓上，得到最小值.
【解答過程】

由拋物線方程為，得到焦點，準線方程為，過點做準線的垂線，垂足為，
因為點在拋物線上，所以，
所以，當點固定不動時，三點共線，即垂直于準線時和最小，
又因為在圓上運動，由圓的方程為得圓心，半徑，所以，
故選：C.
【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】設，由題意求出P的軌跡方程，繼而結合拋物線定義將的最小值轉化為M到直線l的距離，即可求得答案.
【解答過程】設，則PE的中點坐標為，代入，可得，
故動點P的軌跡是以F為焦點，直線l：為準線的拋物線，
由于，故在拋物線內部，
過點P作，垂足為Q，則，（拋物線的定義），
故當且僅當M，P，Q三點共線時，最小，即最小，
最小值為點M到直線l的距離，所以，
故選：B．
【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）設為拋物線C：上的動點，關于的對稱點為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意得到，再利用拋物線的定義結合三角不等式求解.
【解答過程】拋物線C：的焦點為，準線方程為，
如圖，
因為，且關于的對稱點為，所以，
所以
.
當在線段與拋物線的交點時，取得最小值，且最小值為.
故選：D.
【題型7 拋物線的焦半徑公式】
【例7】（2024·青海西寧·一模）已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標為3，則（ ）
A． B． C．4 D．6
【解題思路】利用拋物線的標準方程和拋物線的焦半徑公式即可求解.
【解答過程】由，得，解得.
所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為，
又因為的縱坐標為3，點在上，
所以.
故選：C.
【變式7-1】（2024·河南·模擬預測）已知拋物線上的點到原點的距離為，焦點為F，準線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據點到原點的距離為求出拋物線方程，再設點坐標，利用拋物線的定義和等腰三角形的性質列出方程即可求解.
【解答過程】因為點到原點的距離為，
所以，解得，（負值舍），
將點代入拋物線方程，得，所以，
所以.

由于拋物線關于軸對稱，不妨設，
因為，，
所以為等腰三角形，，
所以，
所以，
解得或(舍)，
所以.
故選：D.
【變式7-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦與弦的交點恰好為F，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】由拋物線的方程可得焦點F的坐標，應用拋物線焦點弦性質，，，，結合三角的恒等變換的化簡可得，即可求解.
【解答過程】由拋物線得，則，，
不妨設PQ的傾斜角為，
則由，，
得，，
所以，，
得，，
所以.
故選：B.
【變式7-3】（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解題思路】設，根據拋物線方程求出焦點坐標和準線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據拋物線的定義可求得結果.
【解答過程】設，
由，得，所以，準線方程為，
因為，所以為的重心，
所以，所以，
所以
，
故選：C.
【題型8 拋物線的幾何性質】
【例8】（2024·重慶·模擬預測）是拋物線上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且的重心恰為F，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據重心可得，結合對稱性可得，再根據拋物線的定義運算求解.
【解答過程】設，
因為的重心恰為F，則，解得，
由可知關于x軸對稱，即，
則，即，
又因為，解得.
故選：D.
【變式8-1】（23-24高二下·福建廈門·期末）等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解題思路】正三角形的另外兩個頂點關于軸對稱，設另外兩個頂點坐標分別是，把頂點代入拋物線方程化簡即可求解.
【解答過程】設正三角形得邊長為，
由圖可知正三角形的另外兩個頂點關于軸對稱，可設另外兩個頂點坐標分別是，
把頂點代入拋物線方程得解得，
所以正三角形的邊長為.
故選：D.
【變式8-2】（23-24高三下·北京·階段練習）設拋物線C的焦點為F，點E是C的準線與C的對稱軸的交點，點P在C上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
先設，根據圖形分別表示出和即可得解.
【解答過程】由于拋物線的對稱性，不妨設拋物線為，則其焦點為，
點是的準線與的對稱軸的交點，其坐標為，
點在上，設為，若，則，
且，則.
故選：B.
【變式8-3】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知軸上一定點，和拋物線上的一動點，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設 ，表示出，依題意可得恒成立，分和兩種情況討論，當時恒成立，即可得到，從而求出的取值范圍.
【解答過程】設 ，則，所以
，
因為恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
當時顯然恒成立，當時恒成立，
所以，則，又，所以，即實數的取值范圍為.
故選：B.
【題型9 拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知點在拋物線C：上，F為拋物線的焦點，則（O為坐標原點）的面積是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【解題思路】將點代入拋物線的方程，即可求解，再結合拋物線的公式，即可求解
【解答過程】點在拋物線上，為拋物線的焦點，
，解得，
故拋物線的方程為，,，
則的面積．
故選：A．
【變式9-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知拋物線C：（）的焦點為F，直線l與C相交于A、B兩點，與y軸相交于點E．已知，，若的面積是面積的2倍，則拋物線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】過分別作的準線的垂線交軸于點，根據拋物線定義可得，，再由即可求參數，進而可得拋物線方程.
【解答過程】如圖，過分別作的準線的垂線交軸于點，
則，故，
因為的準線為，所以，，
所以，解得，
故拋物線C的方程為.
故選：B.
【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州·期末）設為拋物線的焦點，為該拋物線上不同的三點，且為坐標原點，若、、的面積分別為、、，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】設點的坐標，再表示出的面積，借助向量等式即可求得答案.
【解答過程】設點的坐標分別為，而拋物線的焦點，，
，由，得，
于是，
所以.
故選：A.
【變式9-3】（23-24高二·全國·課后作業）已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓：作切線，切點分別為，，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解題思路】由題意圓的圓心與拋物線的焦點重合，可得連接，則，而，所以當最小時，四邊形的面積最小，再拋物線的定義轉化為點到拋物線的準線的距離的最小值，結合拋物線的性質可求得結果
【解答過程】如圖，連接，圓：，該圓的圓心與拋物線的焦點重合，半徑為1，
則．
又，所以當四邊形的面積最小時，最小．
過點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則，
當點與坐標原點重合時，最小，此時．
故．
故選：C.
一、單選題
1．（2024·江西·模擬預測）若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的2倍．則（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】根據拋物線的方程，結合拋物線的標準方程，得到拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義，得到拋物線上的點到焦點的距離，根據題意得到關于的方程，求解即可．
【解答過程】已知拋物線的方程為，可得．
所以焦點為，準線為：．
拋物線上一點到焦點F的距離等于到準線的距離，
即，
又∵A到x軸的距離為，
由已知得，解得．
故選：D．
2．（2024·四川·模擬預測）已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，為坐標原點，，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解題思路】求出拋物線焦點和準線方程，設，結合與拋物線方程，得到，由焦半徑公式得到答案.
【解答過程】拋物線的焦點為，準線方程為，
設，則，解得或（舍去），
則．
故選：B．
3．（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設圓心坐標為，依題意可得，化簡整理即可得解.
【解答過程】設圓心坐標為，依題意可得，化簡得，
即圓的圓心的軌跡方程為.
故選：C.
4．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點為F、點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若，則的面積為（ ）
A．8 B． C． D．
【解題思路】確定拋物線的焦點和準線，根據得到，計算面積得到答案.
【解答過程】
因為拋物線的焦點為，準線方程為，
所以，故，
不妨設在第一象限，故，
所以.
故選：C.
5．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】點到直線的距離為，到準線的距離為，利用拋物線的定義得，當，和共線時，點到直線和準線的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案.
【解答過程】由拋物線知，焦點，準線方程為，根據題意作圖如下；

點到直線的距離為，到準線的距離為，
由拋物線的定義知：，
所以點到直線和準線的距離之和為，
且點到直線的距離為，
所以的最小值為.
故選：D.
6．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【解題思路】根據圓的通徑的上端點就是拋物線通徑的上右端點，可得拋物線經過點，從而可得答案.
【解答過程】因為圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，
而拋物線的通徑與軸垂直，
所以圓的這條直徑與軸垂直，
且圓的直徑的上端點就是拋物線通徑的右端點，
因為圓的圓心為，半徑為，
所以該圓與軸垂直的直徑的上端點為，
即拋物線經過點，則，即.
故選：C.
7．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據對稱性可得，即點為的準線與軸的交點，作垂直于的準線于點，結合拋物線的定義可知 ()，結合圖象可得當直線與相切時，最小，求出切線的斜率即可得答案.
【解答過程】依題意，，，設，則，解得，
即，點為的準線與軸的交點，
由拋物線的對稱性，不妨設點M位于第一象限，作垂直于的準線于點，
設 ，由拋物線的定義得，于是 ，
當直線與相切時，最大，最小，取得最小值，此時直線的斜率為正，
設切線的方程為，由消去x得 ，
則，得，直線的斜率為，傾斜角為，
于是，，所以的最小值為.
故選：A.
8．（2024·江西九江·二模）已知拋物線過點，為的焦點，點為上一點，為坐標原點，則（ ）
A．的準線方程為
B．的面積為1
C．不存在點，使得點到的焦點的距離為2
D．存在點，使得為等邊三角形
【解題思路】求解拋物線方程，得到準線方程，判斷A；求解三角形的面積判斷B；利用．判斷C；判斷的位置，推出三角形的形狀，判斷D．
【解答過程】由題意拋物線過點，可得，所以拋物線方程為，所以準線方程為，A錯誤；
可以計算，B正確；
當時，點到的焦點的距離為2，C錯誤；
為等邊三角形，可知的橫坐標為：，當時，縱坐標為：，
則，則為等腰三角形，不是等邊三角形，故等邊三角形的點不存在，所以D錯誤．
故選：B．
二、多選題
9．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點坐標是
B．拋物線關于軸對稱
C．拋物線的準線方程為
D．拋物線的焦點到準線的距離為4
【解題思路】依題意可得拋物線的方程為，即可得到其焦點坐標與準線方程，再根據拋物線的性質判斷即可.
【解答過程】因為拋物線與拋物線關于軸對稱，
所以拋物線的方程為，
則拋物線的焦點坐標是，準線方程為，故A、C正確；
拋物線關于軸對稱，故B錯誤；
拋物線的焦點到準線的距離為，故D錯誤.
故選：AC.
10．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線的焦點為，為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，下列結論正確的是（ ）
A．拋物線的方程為：
B．拋物線的準線方程為：
C．當直線過焦點時，以AF為直徑的圓與軸相切
D．
【解題思路】根據焦半徑即可求解A，根據準線方程即可求解B，求解圓心和半徑即可判斷C，設出直線方程，與拋物線方程聯立，韋達定理，利用焦半徑公式求出，即可判斷D.
【解答過程】對于A：當運動到時，，故，即拋物線為，故A錯誤；
對于B：由，故拋物線的準線方程為：，故B正確；
對于C：當直線過焦點時，設為，則，
故以為直徑的圓的半徑為，又，故以為直徑的圓的圓心坐標為，
圓心到軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與軸相切，故C正確；
對于D：由題意直線斜率存在，設的方程為，聯立，
整理得，，即，
所以，
所以，，
所以，
不能確定什么時候最小，則D錯誤.
故選：BC.
11．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知拋物線：的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，（），則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．的面積最小值為 D．的面積大于
【解題思路】對于A，由拋物線的定義及即可；對于B，由拋物線的定義及即可；對于C，分類討論點所在象限，并由焦半徑公式結合三角函數輔助角公式即可；對于D，結合C選項，分類討論點所在象限，可證，得即可.
【解答過程】對于A，設點在準線上的投影為，準線與軸交于點，
因為兩點在拋物線上，根據拋物線的定義，，
又，
則，所以，故A正確；
對于B，設點在準線上的投影為點，
因為以為直徑的圓過焦點，
所以，且，
所以，
又因為，所以，
即，，
由焦半徑公式，故B正確；
對于C，分兩種情況：當點都在第一象限，
設，，
由焦半徑公式可得，
，
所以，
令，
設，
且，
所以，
當且僅當時取得最小值，
當點在第二象限時，設，，
則，，
所以，
同理令，且，
所以，
所以，
當且僅當時取得最小值，
綜上，面積的最小值為，故C錯誤：
對于D，當點都在第一象限，，，，
則，
所以，
即，
所以
當點在第二象限時，同理可得，
即，
所以，
綜上，的面積大于，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·陜西寶雞·三模）拋物線過點，則點到拋物線準線的距離為 ．
【解題思路】將已知點代入拋物線方程求得，結合拋物線定義求解即可.
【解答過程】由題意，解得，所以拋物線的準線為，
故所求為.
故答案為：.
13．（2024·西藏林芝·模擬預測）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點，則的最大值是 4 ．
【解題思路】作準線l，M為垂足，由拋物線的定義可得，故當P，A，M三點共線時取最大值.
【解答過程】根據拋物線方程，可得，準線方程為，
作準線l，M為垂足，又知，
由拋物線的定義可得，
故當P，A，M三點共線時，取最大值，
最大值為．
故答案為：4.

14．（2024·上海·三模）過拋物線的焦點的直線交于點，交的準線于點，，點為垂足.若是的中點，且，則 4 .
【解題思路】作于點，與軸交于點，借助相似三角形的性質可得，，再結合所給數據與拋物線定義計算即可得解.
【解答過程】作于點，與軸交于點，如圖，
則，
又且是的中點，則有，
即，又，故，
又，，，
故，即，則.
故答案為：4.
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課堂例題）分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．
(1)焦點為；
(2)準線為；
(3)過點；
(4)焦點到準線的距離為．
【解題思路】（1）根據焦點位置得到，則得到其標準方程；
（2）根據準線方程得到，則得到其標準方程；
（3）利用待定系數，設出拋物線方程，代入所過得點即可；
（4）根據距離求出，則得到其標準方程.
【解答過程】（1）由于焦點在軸的負半軸上，且，，
拋物線的標準方程為．
（2）焦點在軸正半軸上，且，，
拋物線的標準方程為．
（3）由題意，拋物線方程可設為或，
將點的坐標代入，得或，
或．
所求拋物線的標準方程為或．
（4）由焦點到準線的距離為，可知．
所求拋物線的標準方程為或或或．
16．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知是拋物線上一點.
(1)設點的坐標為，求的最小值；
(2)若點到直線的距離最小，求出點的坐標及距離的最小值.
【解題思路】（1）假設的坐標，根據兩點間的距離公式可以表示出的函數，進而利用二次函數求解最小值；
（2）利用點到直線的距離公式表示出點到直線的距離，再根據二次函數求解最小值
【解答過程】（1）設點，
，
所以當時，，所以.
（2）點到直線的距離，
當時，，此時點的坐標為.
17．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知某條河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米.
(1)建立適當的坐標系，求拱橋所在拋物線的方程；
(2)當水面上漲0.5米時，木船能否通行？
(3)當水面上漲多少米時，木船開始不能通行？
【解題思路】（1）根據題意建立平面直角坐標系并設出拋物線的方程，進而求出方程;
（2）（3）根據已知條件及（1）的結論，結合點在拋物線上即可求解；
【解答過程】（1）以拱頂為原點，拱橋的對稱軸為軸建立直角坐標系.如圖所示

設拋物線的方程為，則
點在拋物線上，代入方程得，
所以拋物線的方程為.
（2）當水面上漲0.5米時，木船與拱頂的距離為3.75米，
設，代入方程得，故，則
，
所以木船能通行；
（3）假設當水面上漲米時，木船開始不能通行，此時木船與拱橋接觸，且與拱頂的距離為，
把代入方程，得，
故，由，得.
所以當水面上漲3米時，木船開始不能通行.
18．（23-24高二上·上海浦東新·期末）已知點到點的距離等于它到直線的距離，
(1)求點的軌跡方程;
(2)若，求周長的最小值.
【解題思路】（1）利用拋物線的定義得解；
（2）根據拋物線的定義可將問題轉化成的最小值，根據三點共線即可求解.
【解答過程】（1）由題意知動點到的距離與它到直線的距離相等，
所以動點的軌跡為以為焦點、以直線為準線的拋物線，
因此動點的軌跡方程為.
（2）由題意知，焦點為,,
當的值最小時，的周長最小.
設點在拋物線的準線上的射影為，根據拋物線的定義，可知 ，
因此的最小值即的最小值.
根據平面幾何的知識可得，當 三點共線時，即可作準線于,
與拋物線交于,此時 三點共線，
此時，
所以周長的最小值為
19．（23-24高二·全國·課后作業）在兩個條件①點；②點中任選一個，補充在下面的問題中．
已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在此拋物線上移動，求：
(1)點P到點F與它到______的距離之和的最小值；
(2)點P到點與它到準線l的距離之和的最小值；
(3)點P到直線與它到準線l的距離之和的最小值．
【解題思路】（1）（2）（3）數形結合，利用拋物線定義對所求距離之和進行轉化為兩點之間的距離，或點到直線的距離可得.
【解答過程】（1）過點B、P分別作準線的垂線，垂足為E、D.
選①：如圖1，
由拋物線定義可得，，
所以點P到點F與它到B的距離之和的最小值為4.
選②：由圖2可知，，
所以點P到點F與它到B的距離之和的最小值為，
（2）如圖2，
由拋物線定義可得，
點P到點與它到準線l的距離之和的最小值為.
（3）記P到直線的距離為d，F到直線的距離為m.
由圖2結合拋物線定義可知，則.
所以點P到直線與它到準線l的距離之和的最小值為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題8.7 拋物線【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 拋物線的定義及其應用】 3
【題型2 拋物線的標準方程】 4
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】 4
【題型4 拋物線的軌跡方程】 5
【題型5 拋物線上的點到定點的距離及最值】 5
【題型6 拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】 5
【題型7 拋物線的焦半徑公式】 6
【題型8 拋物線的幾何性質】 6
【題型9 拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】 7
1、拋物線
考點要求 真題統計 考情分析
(1)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程 (2)掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍 、對稱性、頂點、離心率) (3)了解拋物線的簡單應用 2023年新高考I卷：第22題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第10題，5分 2023年全國乙卷（文數）：第13題，5分 2023年北京卷：第6題，4分 2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6分 2024年北京卷：第11題，5分 拋物線是圓錐曲線中的重要內容，拋物線及其性質是高考數學的熱點問題.從近幾年的高考情況來看，主要考查拋物線的定義、標準方程、幾何性質、面積問題等內容，在選擇、填空、解答題都可能出現，解題思路和解題步驟相對固定，強調通性通法，選擇、填空題中難度不大，解答題中難度偏大，一般以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問題，需要靈活求解.
【知識點1 拋物線及其性質】
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.
(2)集合語言表示
設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標準方程與幾何性質
標準
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
頂點 (0,0) (0,0)
軸 對稱軸y=0 對稱軸x=0
焦點
準線
離心率 e =1 e=1
開口 開口向右 開口向左 開口向上 開口向下
焦半徑
范圍 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
3．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：
①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；
②頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；
③焦點個數不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是01，拋物線的離心率是
e=1；
⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；
⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.
【知識點2 拋物線標準方程的求解方法】
1．拋物線標準方程的求解
待定系數法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.
【知識點3 拋物線的焦半徑公式】
1．焦半徑公式
設拋物線上一點P的坐標為，焦點為F.
(1)拋物線：，；
(2)拋物線：，；
(3)拋物線：，；
(4)拋物線：，.
注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半
徑公式.
【知識點4 與拋物線有關的最值問題的解題策略】
1．與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略
(1)轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
(2)轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.
【方法技巧與總結】
1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.
2．拋物線上一點P到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
【題型1 拋物線的定義及其應用】
【例1】（2024·貴州貴陽·二模）拋物線上一點與焦點間的距離是10，則到軸的距離是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【變式1-1】（2024·河北·模擬預測）已知點為平面內一動點，設甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內一定點的距離與到平面內一定直線的距離相等，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【變式1-2】（2024·北京大興·三模）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為的直線與直線交于點A，點M在拋物線上，且滿足，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式1-3】（2024·福建莆田·模擬預測）若拋物線的焦點到準線的距離為3，且的開口朝左，則的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 拋物線的標準方程】
【例2】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知點為拋物線上一點，且點到拋物線的焦點的距離為3，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點A、B，交其準線于C，與準線垂直且垂足為，若，則此拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 拋物線的焦點坐標及準線方程】
【例3】（2024·內蒙古赤峰·二模）已知拋物線C的方程為 則此拋物線的焦點坐標為（ ）
A．(-4,0) B． C．(-2,0) D．
【變式3-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知拋物線，則的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·河南·三模）拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·福建廈門·模擬預測）若拋物線的準線經過雙曲線的右焦點，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．8
【題型4 拋物線的軌跡方程】
【例4】（2024·湖南衡陽·三模）已知點，動圓過點，且與相切，記動圓圓心點的軌跡為曲線，則曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高二上·北京延慶·期末）到定點的距離比到軸的距離大的動點且動點不在軸的負半軸的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（23-24高二上·重慶·期末）已知點滿足，則點的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
【變式4-3】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）一個動圓與定圓：相內切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（　　）
A． B． C． D．
【題型5 拋物線上的點到定點的距離及最值】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知A是拋物線C：上的點，，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習）已知是拋物線上的點，是圓上的點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【變式5-2】（2024·湖南益陽·三模）已知是拋物線上一點，圓關于直線對稱的圓為，是圓上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知拋物線的焦點為，為上的動點，為圓上的動點，設點到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模擬預測）設點，動點P在拋物線上，記P到直線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C． D．
【變式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知拋物線方程為:，焦點為.圓的方程為，設為拋物線上的點， 為圓上的一點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）設為拋物線C：上的動點，關于的對稱點為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 拋物線的焦半徑公式】
【例7】（2024·青海西寧·一模）已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標為3，則（ ）
A． B． C．4 D．6
【變式7-1】（2024·河南·模擬預測）已知拋物線上的點到原點的距離為，焦點為F，準線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦與弦的交點恰好為F，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式7-3】（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【題型8 拋物線的幾何性質】
【例8】（2024·重慶·模擬預測）是拋物線上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且的重心恰為F，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式8-1】（23-24高二下·福建廈門·期末）等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式8-2】（23-24高三下·北京·階段練習）設拋物線C的焦點為F，點E是C的準線與C的對稱軸的交點，點P在C上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知軸上一定點，和拋物線上的一動點，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型9 拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知點在拋物線C：上，F為拋物線的焦點，則（O為坐標原點）的面積是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【變式9-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知拋物線C：（）的焦點為F，直線l與C相交于A、B兩點，與y軸相交于點E．已知，，若的面積是面積的2倍，則拋物線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州·期末）設為拋物線的焦點，為該拋物線上不同的三點，且為坐標原點，若、、的面積分別為、、，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式9-3】（23-24高二·全國·課后作業）已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓：作切線，切點分別為，，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
一、單選題
1．（2024·江西·模擬預測）若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的2倍．則（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·四川·模擬預測）已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，為坐標原點，，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點為F、點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若，則的面積為（ ）
A．8 B． C． D．
5．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西九江·二模）已知拋物線過點，為的焦點，點為上一點，為坐標原點，則（ ）
A．的準線方程為
B．的面積為1
C．不存在點，使得點到的焦點的距離為2
D．存在點，使得為等邊三角形
二、多選題
9．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點坐標是
B．拋物線關于軸對稱
C．拋物線的準線方程為
D．拋物線的焦點到準線的距離為4
10．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線的焦點為，為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，下列結論正確的是（ ）
A．拋物線的方程為：
B．拋物線的準線方程為：
C．當直線過焦點時，以AF為直徑的圓與軸相切
D．
11．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知拋物線：的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，（），則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．的面積最小值為 D．的面積大于
三、填空題
12．（2024·陜西寶雞·三模）拋物線過點，則點到拋物線準線的距離為 ．
13．（2024·西藏林芝·模擬預測）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點，則的最大值是 ．
14．（2024·上海·三模）過拋物線的焦點的直線交于點，交的準線于點，，點為垂足.若是的中點，且，則 .
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課堂例題）分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．
(1)焦點為；
(2)準線為；
(3)過點；
(4)焦點到準線的距離為．
16．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知是拋物線上一點.
(1)設點的坐標為，求的最小值；
(2)若點到直線的距離最小，求出點的坐標及距離的最小值.
17．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知某條河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米.
(1)建立適當的坐標系，求拱橋所在拋物線的方程；
(2)當水面上漲0.5米時，木船能否通行？
(3)當水面上漲多少米時，木船開始不能通行？
18．（23-24高二上·上海浦東新·期末）已知點到點的距離等于它到直線的距離，
(1)求點的軌跡方程;
(2)若，求周長的最小值.
19．（23-24高二·全國·課后作業）在兩個條件①點；②點中任選一個，補充在下面的問題中．
已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在此拋物線上移動，求：
(1)點P到點F與它到______的距離之和的最小值；
(2)點P到點與它到準線l的距離之和的最小值；
(3)點P到直線與它到準線l的距離之和的最小值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑