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專題9.1 隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 總體、個體、樣本】 5
【題型2 抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用】 5
【題型3 抽樣方法】 6
【題型4 統(tǒng)計(jì)圖表】 7
【題型5 頻率分布直方圖】 8
1、隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解獲取數(shù)據(jù)的基本途徑 (2)會用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機(jī)抽樣 (3)能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表，體會使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性 2022年全國甲卷（文數(shù)）：第2題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第19題，12分 從近幾年的高考情況來看，高考對隨機(jī)抽樣的考查較少，對統(tǒng)計(jì)圖表的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；有時統(tǒng)計(jì)圖表會作為條件信息在解答題中出現(xiàn)，與其他知識結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，需要靈活求解.
【知識點(diǎn)1 隨機(jī)抽樣】
1．總體、個體、樣本
名稱 定義
總體 調(diào)查對象的全體.
個體 從總體中抽取的那部分個體.
樣本 從總體中抽取的那部分個體.
樣本量 樣本中包含的個體數(shù).
2．簡單隨機(jī)抽樣
(1)簡單隨機(jī)抽樣的概念
一般地，設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n個個體作為樣本，如果抽取是放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣.放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣.通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.
(2)（不放回）簡單隨機(jī)抽樣的特征
①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體中所含個體的個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析.
②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作.
③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算.
④等可能性：簡單隨機(jī)抽樣中各個個體被抽到的可能性(機(jī)會)都相等(與第幾次抽取無關(guān))，從而保證了抽樣的公平性.
3．兩種常見的簡單隨機(jī)抽樣方法
(1)抽簽法
一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也
可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些號簽放在一個不透明的盒，充分?jǐn)嚢瑁詈髲暮兄胁环呕?br/>地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的數(shù)量.
(2)隨機(jī)數(shù)法
先把總體中的N個個體編號，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1~N范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中
的編號，使與編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本.重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的數(shù)量.如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要的數(shù)量.
(3)兩種抽樣方法的優(yōu)缺點(diǎn)
抽樣方法 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 適用范圍
抽簽法 簡單易行. 總體量較大時，操作起來比較麻煩. 適用于總體中個體數(shù)不多的情形.
隨機(jī)數(shù)法 簡單易行，它很好地解決了總體量較大時用抽簽法制簽困難的問題. 總體量很大，樣本量也很大時，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便. 總體量較大，樣本量較小的情形.
4．分層隨機(jī)抽樣
(1)分層隨機(jī)抽樣的概念
一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個
子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.
(2)分層隨機(jī)抽樣的步驟
①分層：根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不重疊的層.
②求比：根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本容量n計(jì)算抽樣比.
③定數(shù)：確定第i層應(yīng)該抽取的個體數(shù)為ni=Ni·k(Ni為總體中第i層所包含的個體數(shù))，使得各ni之和
為n.
④抽樣：按“定數(shù)”步驟中確定的個體數(shù)在各層中隨機(jī)地抽取個體，合在一起便得到容量為n的樣本.
(5)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)
①適用于由差異明顯的幾部分(即層)組成的總體；
②分成的各層互不重疊；
③各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即，其中n為樣本容量，N為總體容量;
④分層隨機(jī)抽樣使樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且在各層抽樣時，又可靈活地選用不同的隨機(jī)抽樣方法.
5．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算
在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量
分別為m和n，第1層、第2層的總體平均數(shù)分別為，，第1層、第2層的樣本平均數(shù)分別為，，總體平均數(shù)為，樣本平均數(shù)為，則==+.
由于用第1層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)，用第2層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)，因此可以用=+估計(jì)總體平均數(shù).
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).
【知識點(diǎn)2 統(tǒng)計(jì)圖表】
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).
有時，我們更關(guān)心各個小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數(shù)
第三步，將數(shù)據(jù)分組
通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.
第四步，列頻率分布表
計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.
2．其他幾類常用統(tǒng)計(jì)圖——條形圖、折線圖、扇形圖
條形圖 折線圖 扇形圖
特 點(diǎn) 一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個數(shù)或者比例，條形圖中每一長方形都是等寬的. 用一個單位長度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化. 用整個圓表示總體，扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.
作用及選用情景 能清楚地表示每個項(xiàng)目的具體數(shù)量，便于相互比較大小. 能清楚地看出數(shù)量增減變化的情況及各部分?jǐn)?shù)量的多少.常用來表示隨時間變化的數(shù)據(jù)，當(dāng)然，也可以用在其他合適的情形中. 可以形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.
圖例
3．統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用
(1)扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例.
(2)折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.
(3)條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.
【方法技巧與總結(jié)】
1．利用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，可以進(jìn)行一定的技術(shù)處理，比如將結(jié)果取成整數(shù)等.
2．在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為，樣本平均數(shù)為，則.
3．頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆.
【題型1 總體、個體、樣本】
【例1】（2024·四川南充·二模）某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.若樣本中A型號的產(chǎn)品有30件，則樣本容量n為（ ）
A．150 B．180 C．200 D．250
【變式1-1】（23-24高一下·河北張家口·期末）已知一個總體中有個個體，用抽簽法從中抽取一個容量為的樣本，若每個個體被抽到的可能性是，則（ ）
A．10 B．20 C．40 D．不確定
【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校高三年級有男生640人，女生360人．為了解高三學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學(xué)生中共抽取50名學(xué)生，則男、女學(xué)生的樣本容量分別為（ ）
A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18
【變式1-3】（23-24高一下·西藏日喀則·期末）高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級1000名學(xué)生的高考成績，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（ ）
A．100名學(xué)生是個體
B．樣本容量是100
C．每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本
D．1000名學(xué)生是樣本
【題型2 抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用】
【例2】（2024·陜西西安·一模）某高校對中文系新生進(jìn)行體測，利用隨機(jī)數(shù)表對650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號，001，002，…，649，650.從中抽取50個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是（ ）
A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
B．從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
【變式2-2】（2024·云南貴州·二模）本次月考分答題卡的任務(wù)由高三16班完成，現(xiàn)從全班55位學(xué)生中利用下面的隨機(jī)數(shù)表抽取10位同學(xué)參加，將這55位學(xué)生按01、02、、55進(jìn)行編號，假設(shè)從隨機(jī)數(shù)表第1行第2個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過，讀到行末則從下一行行首繼續(xù)，則選出來的第6個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51 B．25 C．32 D．12
【變式2-3】（2024·陜西·一模）我校高三年級為了學(xué)生某項(xiàng)身體指標(biāo)，利用隨機(jī)數(shù)表對650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650進(jìn)行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第7個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【題型3 抽樣方法】
【例3】（2024·陜西·二模）某醫(yī)院有醫(yī)生750人，護(hù)士1600人，其他工作人員150人，用分層抽樣的方法從這些人中抽取一個容量為50的樣本，則樣本中，醫(yī)生比護(hù)士少（ ）
A．19人 B．18人 C．17人 D．16人
【變式3-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式3-2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ）
A．簡單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．抽簽法
【變式3-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在哈爾濱市2024年第一次市模考試中，三所學(xué)校高三年級的參考人數(shù)分別為、.現(xiàn)按比例分層抽樣的方法從三個學(xué)校高三年級中抽取樣本，經(jīng)計(jì)算得三所學(xué)校高三年級數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)分別為，則三所學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的總平均數(shù)約為（ ）
A．101 B．100 C．99 D．98
【題型4 統(tǒng)計(jì)圖表】
【例4】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某高中2023年的高考考生人數(shù)是2022年高考考生人數(shù)的1.5倍.為了更好地對比該校考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2022年和2023年高考分?jǐn)?shù)達(dá)線情況，得到如圖所示扇形統(tǒng)計(jì)圖：

下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該校2023年與2022年的本科達(dá)線人數(shù)比為6:5
B．該校2023年與2022年的專科達(dá)線人數(shù)比為6:7
C．2023年該校本科達(dá)線人數(shù)比2022年該校本科達(dá)線人數(shù)增加了80%
D．2023年該校不上線的人數(shù)有所減少
【變式4-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）當(dāng)今時代，數(shù)字技術(shù)作為世界科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的先導(dǎo)力量，日益融入經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展各領(lǐng)域全過程，深刻改變著生產(chǎn)方式、生活方式和社會治理方式，從而帶動了大量的電子產(chǎn)品在市場的銷售．現(xiàn)有某商城統(tǒng)計(jì)了近兩個月在A，B，C三個區(qū)域售出的1000個電子產(chǎn)品，其中A，B，C各個區(qū)域銷量分布的餅狀圖及售價的頻率條形圖（按規(guī)定這些電子產(chǎn)品的售價均在50,300之間）如圖，則在A區(qū)域售出的電子產(chǎn)品中，售價在區(qū)間(150,200]內(nèi)比在區(qū)間(250,300]內(nèi)多（ ）
A．30件 B．114件 C．120件 D．133件
【變式4-2】（2024·四川遂寧·三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
【變式4-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）2017年至2022年某省年生產(chǎn)總量及其增長速度如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加
B．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3億元
C．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長速度逐年降低
D．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長速度的中位數(shù)為7.6%
【題型5 頻率分布直方圖】
【例5】（2024·天津武清·模擬預(yù)測）某校高三共有200人參加體育測試，將體測得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照分成6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為A，則獲得的考生人數(shù)約為（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【變式5-1】（2024·山東·二模）某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為，則估計(jì)獲得的考生人數(shù)約為（ ）
A．100 B．75 C．50 D．25
【變式5-2】（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：
若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)若臨界值，請估計(jì)該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應(yīng)用于A型手機(jī)的芯片個數(shù)；
(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品 Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機(jī) B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：
方案一：直接將該芯片I級品應(yīng)用于A型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K的芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；
方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要130萬元；
請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．
【變式5-3】（2024·四川成都·二模）2024年1月，某市的高二調(diào)研考試首次采用了“”新高考模式.該模式下，計(jì)算學(xué)生個人總成績時，“”的學(xué)科均以原始分記入，再選的“2”個學(xué)科（學(xué)生在政治 地理 化學(xué) 生物中選修的2科）以賦分成績記入.賦分成績的具體算法是：先將該市某再選科目原始成績按從高到低劃分為五個等級，各等級人數(shù)所占比例分別約為.依照轉(zhuǎn)換公式，將五個等級的原始分分別轉(zhuǎn)換到五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，并對所得分?jǐn)?shù)的小數(shù)點(diǎn)后一位進(jìn)行“四舍五入”，最后得到保留為整數(shù)的轉(zhuǎn)換分成績，并作為賦分成績.具體等級比例和賦分區(qū)間如下表：
等級
比例
賦分區(qū)間
已知該市本次高二調(diào)研考試化學(xué)科目考試滿分為100分.
(1)已知轉(zhuǎn)換公式符合一次函數(shù)模型，若學(xué)生甲 乙在本次考試中化學(xué)的原始成績分別為84，78，轉(zhuǎn)換分成績?yōu)?8，71，試估算該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最高分.
(2)現(xiàn)從該市本次高二調(diào)研考試的化學(xué)成績中隨機(jī)選取100名學(xué)生的原始成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，求出圖中的值，并用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該市本次化學(xué)原始成績等級中的最低分.
一、單選題
1．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）已知三種不同型號的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為的樣本，若樣本中型號產(chǎn)品有件，則為（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
2．（24-25高一上·全國·單元測試）①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有12人的成績在100分以上，30人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況；②運(yùn)動會的工作人員為參加接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道．針對這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（ ）
A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣
C．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣
3．（2024·河南駐馬店·二模）電影《孤注一擲》的上映引發(fā)了電信詐騙問題的熱議，也加大了各個社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多（ ）
A．6人 B．9人 C．12人 D．18人
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）從一個含有個個體的總體中抽取一容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，三者關(guān)系可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生近視情況形成的原因，采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，若抽取的小學(xué)生人數(shù)為70，則抽取的高中生中近視人數(shù)為（ ）
A．10 B．20 C．25 D．40
6．（2024·云南·二模）本次月考分答題卡的任務(wù)由高三16班完成，現(xiàn)從全班55位學(xué)生中利用下面的隨機(jī)數(shù)表抽取10位同學(xué)參加，將這55位學(xué)生按進(jìn)行編號，假設(shè)從隨機(jī)數(shù)表第1行第2個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過，讀到行末則從下一行行首繼續(xù)，則選出來的第6個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．51 B．25 C．32 D．12
7．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）在某次高中數(shù)學(xué)模擬考試中，對800名考生的考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間分別為，，，，，.若考生成績在內(nèi)的人數(shù)為，考生成績在內(nèi)的人數(shù)為，則（ ）
A．20 B．10 C．60 D．40
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知2015—2022年和2023年1～9月某新能源汽車企業(yè)的營業(yè)收入（單位：億元）和凈利潤（單位：億元）及2015—2022年?duì)I業(yè)收入的增長率的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，2023年第二、三、四季度的凈利潤相比上一季度的增長率均為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2015—2022年該企業(yè)年?duì)I業(yè)收入逐年增加
B．2015—2022年該企業(yè)年?duì)I業(yè)收入增長率最大的是2015年
C．2022年該企業(yè)年凈利潤超過2017—2021年年凈利潤總和
D．2023年第四季度的凈利潤比第一季度的凈利潤多約30億元
二、多選題
9．（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，年產(chǎn)量分別為1500輛、6000輛和2000輛．為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)檢部門要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（ ）
A．應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣抽取
B．應(yīng)采用抽簽法抽取
C．三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛、36輛、12輛
D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的可能性相同
10．（2024·黑龍江·三模）在某市初三年級舉行的一次體育考試中(滿分100分)，所有考生成績均在[50,100]內(nèi)，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五組，甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）

A．成績在[70,80)的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)
B．甲班成績在[80,90)內(nèi)人數(shù)最多
C．乙班成績在[70,80)內(nèi)人數(shù)最多
D．甲班成績的極差比乙班成績的極差小
11．（2024·遼寧·二模）下圖為某市2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖．已知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出7924元，與上一年同比增長4.4％；農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出4388元，與上一年同比增長7.8％，則關(guān)于2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出，下列說法正確的是（ ）
A．2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出6393元
B．居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和超過了總?cè)司M(fèi)支出的50％
C．城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額與上一年同比在縮小
D．醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和約占總?cè)司M(fèi)支出的20.6％
三、填空題
12．（2023·山東·一模）為了解某中職學(xué)校男生的身體發(fā)育情況，對隨機(jī)抽取的100名男生的身高進(jìn)行了測量（結(jié)果精確到），并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，由圖可知，其中身高超過的男生的人數(shù)為 .

13．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）某高中為了了解學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的情況，采用了分層隨機(jī)抽樣的方法從三個年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人．已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生 人．
14．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計(jì)學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號從小到大為，，…，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樯a(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，…，，，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的n個整數(shù)，這n個數(shù)將區(qū)間分成個小區(qū)間，由于N是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他n個區(qū)間都是已知的．由于這n個數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前n個區(qū)間的平均長度估計(jì)所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到N的估計(jì)值．例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為 ．

四、解答題
15．（24-25高一上·全國·課堂例題）有以下兩個案例：
案例一：從同一批次同類型號的10袋牛奶中抽取3袋分別檢測三聚氰胺的含量；
案例二：某公司有員工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱的有200人，其他人員120人，從中抽取容量為40的樣本，了解他們的收入情況．
(1)你認(rèn)為這兩個案例分別應(yīng)采用怎樣的抽樣方式較為合適？
(2)在你使用的分層抽樣案例中寫出抽樣過程．
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）以“建設(shè)包容、普惠、有韌性的數(shù)字世界——攜手構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體”為主題的2023年世界互聯(lián)網(wǎng)大會烏鎮(zhèn)峰會于11月8日至10日在中國浙江省烏鎮(zhèn)舉行．為保障大會順利進(jìn)行，世界互聯(lián)網(wǎng)大會的秘書處從招募的志愿者中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行了一次互聯(lián)網(wǎng)知識競賽，所得成績（單位：分）均在內(nèi)，并制成如下頻數(shù)分布表：
成績/分
頻數(shù) 8 28 20 12
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，在下圖中作出頻率分布直方圖；

(2)以樣本估計(jì)總體，記競賽成績不低于86分的志愿者為優(yōu)秀志愿者，則優(yōu)秀志愿者的占比能否達(dá)到20%？
17．（2024·廣西柳州·一模）根據(jù)國家工信部關(guān)于全面推行中國特色企業(yè)新型學(xué)徒制，加強(qiáng)技能人才培養(yǎng)的通知，我區(qū)明確面向各類企業(yè)全面推行企業(yè)新型學(xué)徒制培訓(xùn)，深化產(chǎn)教融合，校企合作，學(xué)徒培養(yǎng)目標(biāo)以符合企業(yè)崗位需要的中，高級技術(shù)工人.2020年度某企業(yè)共需要學(xué)徒制培訓(xùn)200人，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行考核，現(xiàn)對考核后取得相應(yīng)崗位證書進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)情況如下表：
崗位證書 初級工 中級工 高級工 技師 高級技師
人數(shù) 20 60 60 40 20
(1)現(xiàn)從這200人中采用分層抽樣的方式選出10人組成學(xué)習(xí)技能經(jīng)驗(yàn)交流團(tuán)，求交流團(tuán)中取得技師類（包含技師和高級技師）崗位證書的人數(shù).
(2)為了鼓勵企業(yè)員工參加培訓(xùn)，該企業(yè)在2021年出臺了如下培訓(xùn)獎勵措施.
取得崗位證書 初級工 中級工 高級工 技師 高級技師
獎勵金額（元/人） 0 500 600 800 1000
以2020年度培訓(xùn)取得各崗位證書的頻率來估計(jì)2021年的培訓(xùn)考核結(jié)果，若該企業(yè)在2021年度培訓(xùn)共400人，請估計(jì)該企業(yè)2021年度共需支付多少獎金？
18．（23-24高一上·云南保山·開學(xué)考試）近幾年購物的支付方式日益增多，某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，支付方式有：A微信、B支付寶、C現(xiàn)金、D其他，該小組對某超市一天內(nèi)購買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次一共調(diào)查了多少名購買者？
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A種支付方式所對應(yīng)的圓心角為______度.
(3)若該超市這一周內(nèi)有1600名購買者，請你估計(jì)使用A和B兩種支付方式的購買者共有多少名？
19．（2024·山西太原·三模）在學(xué)業(yè)測試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第i題的難度，為答對該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：
題號 1 2 3 4 5
考前預(yù)估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
測試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下
題號 1 2 3 4 5
實(shí)測答對人數(shù) 16 16 14 14 8
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對人數(shù)；
(2)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第i題的實(shí)測難度，為第i題的預(yù)估難度(i=1，2，…，n).規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題9.1 隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表【五大題型】
【新高考專用】
【題型1 總體、個體、樣本】 5
【題型2 抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用】 6
【題型3 抽樣方法】 8
【題型4 統(tǒng)計(jì)圖表】 9
【題型5 頻率分布直方圖】 12
1、隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解獲取數(shù)據(jù)的基本途徑 (2)會用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機(jī)抽樣 (3)能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表，體會使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性 2022年全國甲卷（文數(shù)）：第2題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第19題，12分 從近幾年的高考情況來看，高考對隨機(jī)抽樣的考查較少，對統(tǒng)計(jì)圖表的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；有時統(tǒng)計(jì)圖表會作為條件信息在解答題中出現(xiàn)，與其他知識結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，需要靈活求解.
【知識點(diǎn)1 隨機(jī)抽樣】
1．總體、個體、樣本
名稱 定義
總體 調(diào)查對象的全體.
個體 從總體中抽取的那部分個體.
樣本 從總體中抽取的那部分個體.
樣本量 樣本中包含的個體數(shù).
2．簡單隨機(jī)抽樣
(1)簡單隨機(jī)抽樣的概念
一般地，設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n個個體作為樣本，如果抽取是放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣.放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣.通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.
(2)（不放回）簡單隨機(jī)抽樣的特征
①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體中所含個體的個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析.
②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作.
③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算.
④等可能性：簡單隨機(jī)抽樣中各個個體被抽到的可能性(機(jī)會)都相等(與第幾次抽取無關(guān))，從而保證了抽樣的公平性.
3．兩種常見的簡單隨機(jī)抽樣方法
(1)抽簽法
一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也
可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些號簽放在一個不透明的盒，充分?jǐn)嚢瑁詈髲暮兄胁环呕?br/>地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的數(shù)量.
(2)隨機(jī)數(shù)法
先把總體中的N個個體編號，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1~N范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中
的編號，使與編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本.重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的數(shù)量.如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要的數(shù)量.
(3)兩種抽樣方法的優(yōu)缺點(diǎn)
抽樣方法 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 適用范圍
抽簽法 簡單易行. 總體量較大時，操作起來比較麻煩. 適用于總體中個體數(shù)不多的情形.
隨機(jī)數(shù)法 簡單易行，它很好地解決了總體量較大時用抽簽法制簽困難的問題. 總體量很大，樣本量也很大時，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便. 總體量較大，樣本量較小的情形.
4．分層隨機(jī)抽樣
(1)分層隨機(jī)抽樣的概念
一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個
子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.
(2)分層隨機(jī)抽樣的步驟
①分層：根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不重疊的層.
②求比：根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本容量n計(jì)算抽樣比.
③定數(shù)：確定第i層應(yīng)該抽取的個體數(shù)為ni=Ni·k(Ni為總體中第i層所包含的個體數(shù))，使得各ni之和
為n.
④抽樣：按“定數(shù)”步驟中確定的個體數(shù)在各層中隨機(jī)地抽取個體，合在一起便得到容量為n的樣本.
(5)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)
①適用于由差異明顯的幾部分(即層)組成的總體；
②分成的各層互不重疊；
③各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即，其中n為樣本容量，N為總體容量;
④分層隨機(jī)抽樣使樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且在各層抽樣時，又可靈活地選用不同的隨機(jī)抽樣方法.
5．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算
在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量
分別為m和n，第1層、第2層的總體平均數(shù)分別為，，第1層、第2層的樣本平均數(shù)分別為，，總體平均數(shù)為，樣本平均數(shù)為，則==+.
由于用第1層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)，用第2層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)，因此可以用=+估計(jì)總體平均數(shù).
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).
【知識點(diǎn)2 統(tǒng)計(jì)圖表】
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).
有時，我們更關(guān)心各個小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數(shù)
第三步，將數(shù)據(jù)分組
通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.
第四步，列頻率分布表
計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.
2．其他幾類常用統(tǒng)計(jì)圖——條形圖、折線圖、扇形圖
條形圖 折線圖 扇形圖
特 點(diǎn) 一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個數(shù)或者比例，條形圖中每一長方形都是等寬的. 用一個單位長度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化. 用整個圓表示總體，扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.
作用及選用情景 能清楚地表示每個項(xiàng)目的具體數(shù)量，便于相互比較大小. 能清楚地看出數(shù)量增減變化的情況及各部分?jǐn)?shù)量的多少.常用來表示隨時間變化的數(shù)據(jù)，當(dāng)然，也可以用在其他合適的情形中. 可以形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.
圖例
3．統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用
(1)扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例.
(2)折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.
(3)條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.
【方法技巧與總結(jié)】
1．利用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，可以進(jìn)行一定的技術(shù)處理，比如將結(jié)果取成整數(shù)等.
2．在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為，樣本平均數(shù)為，則.
3．頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆.
【題型1 總體、個體、樣本】
【例1】（2024·四川南充·二模）某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.若樣本中A型號的產(chǎn)品有30件，則樣本容量n為（ ）
A．150 B．180 C．200 D．250
【解題思路】直接由分層抽樣的定義按比例計(jì)算即可.
【解答過程】由題意樣本容量為.
故選：A.
【變式1-1】（23-24高一下·河北張家口·期末）已知一個總體中有個個體，用抽簽法從中抽取一個容量為的樣本，若每個個體被抽到的可能性是，則（ ）
A．10 B．20 C．40 D．不確定
【解題思路】抽簽法可知每個個體被抽到的可能性均為，即可得到方程，解得即可.
【解答過程】根據(jù)抽簽法可知每個個體被抽到的可能性均為，
依題意可得，解得.
故選：C.
【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校高三年級有男生640人，女生360人．為了解高三學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學(xué)生中共抽取50名學(xué)生，則男、女學(xué)生的樣本容量分別為（ ）
A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18
【解題思路】由分層抽樣的定義求解即可.
【解答過程】根據(jù)分層抽樣的定義，知男生共抽取（人），女生共抽取（人）．
故選：D．
【變式1-3】（23-24高一下·西藏日喀則·期末）高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級1000名學(xué)生的高考成績，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（ ）
A．100名學(xué)生是個體
B．樣本容量是100
C．每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本
D．1000名學(xué)生是樣本
【解題思路】根據(jù)有關(guān)的概念可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，再結(jié)合題中選項(xiàng)即可得到答案．
【解答過程】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，
根據(jù)選項(xiàng)可得選項(xiàng)A、D表達(dá)的對象都是學(xué)生，而不是成績，所以A、D都錯誤．
C每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績是一個個體．
B：樣本的容量是100正確．
故選:B．
【題型2 抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用】
【例2】（2024·陜西西安·一模）某高校對中文系新生進(jìn)行體測，利用隨機(jī)數(shù)表對650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號，001，002，…，649，650.從中抽取50個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【解題思路】按照隨機(jī)數(shù)表提供的數(shù)據(jù)，三位一組的讀數(shù)，并取001到650內(nèi)的數(shù)，重復(fù)的只取一次即可
【解答過程】從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，
第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，
第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是860，不符合要求，
下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復(fù)，
第四個是007，第五個是328，第六個數(shù)是623，，故A正確.
故選：A.
【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是（ ）
A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
B．從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
【解題思路】根據(jù)抽簽法的適用條件，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.
【解答過程】選項(xiàng)A，總體中的個體數(shù)較大，樣本容量也較大，不適合用抽簽法，故A不符合題意；
選項(xiàng)B，總體中的個體數(shù)較小，樣本容量也較小，
且同廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品可視為攪拌均勻了，可用抽簽法，故B符合題意；
選項(xiàng)C，甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，
不能滿足攪拌均勻的條件，不能用抽簽法，故C不符合題意；
選項(xiàng)D，總體中的個體數(shù)較大，不適合用抽簽法，故D不符合題意.
故選：B.
【變式2-2】（2024·云南貴州·二模）本次月考分答題卡的任務(wù)由高三16班完成，現(xiàn)從全班55位學(xué)生中利用下面的隨機(jī)數(shù)表抽取10位同學(xué)參加，將這55位學(xué)生按01、02、、55進(jìn)行編號，假設(shè)從隨機(jī)數(shù)表第1行第2個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過，讀到行末則從下一行行首繼續(xù)，則選出來的第6個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51 B．25 C．32 D．12
【解題思路】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表按照規(guī)則讀數(shù)即可得解.
【解答過程】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表讀取，分別抽到的編號為31，32，43，25，12，51，26，04，01，11，
所以選出來的第6個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為51，
故選：A.
【變式2-3】（2024·陜西·一模）我校高三年級為了學(xué)生某項(xiàng)身體指標(biāo)，利用隨機(jī)數(shù)表對650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650進(jìn)行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第7個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【解題思路】依據(jù)隨機(jī)數(shù)表的讀取規(guī)則求解即可.
【解答過程】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，
前7個數(shù)據(jù)分別是253，313，457，007，328，623，072．
故選：C.
【題型3 抽樣方法】
【例3】（2024·陜西·二模）某醫(yī)院有醫(yī)生750人，護(hù)士1600人，其他工作人員150人，用分層抽樣的方法從這些人中抽取一個容量為50的樣本，則樣本中，醫(yī)生比護(hù)士少（ ）
A．19人 B．18人 C．17人 D．16人
【解題思路】根據(jù)分層抽樣的比例，求出醫(yī)生、護(hù)士抽取的人數(shù)，即可得答案.
【解答過程】由題意知某醫(yī)院有醫(yī)生750人，護(hù)士1600人，
用分層抽樣的方法從這些人中抽取一個容量為50的樣本，
則樣本中，醫(yī)生抽取（人），
護(hù)士抽取（人），
故樣本中，醫(yī)生比護(hù)士少17人，
故選：C.
【變式3-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的等可能性，即可判斷和選擇.
【解答過程】總體有10個個體，從中抽取第一個，若為，則其可能性為，若不為，則其可能性為；
抽取第二個，若其為，則第一次一定不是，再從9個個體中抽取1個，且為，則其可能性為.
綜上所述，某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是.
故選：A.
【變式3-2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ）
A．簡單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．抽簽法
【解題思路】由已知條件，適合分層抽樣法，即可得到答案.
【解答過程】因?yàn)槭孪纫呀?jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，應(yīng)按學(xué)段分層抽樣，這種抽樣方式抽出的樣本具有代表性，比較合理．
故選；C.
【變式3-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在哈爾濱市2024年第一次市模考試中，三所學(xué)校高三年級的參考人數(shù)分別為、.現(xiàn)按比例分層抽樣的方法從三個學(xué)校高三年級中抽取樣本，經(jīng)計(jì)算得三所學(xué)校高三年級數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)分別為，則三所學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的總平均數(shù)約為（ ）
A．101 B．100 C．99 D．98
【解題思路】利用分層抽樣的均值公式求解即可.
【解答過程】由題意得可供參考的總?cè)藬?shù)為人，
故三所學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的總平均數(shù)約為，
故選：B.
【題型4 統(tǒng)計(jì)圖表】
【例4】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某高中2023年的高考考生人數(shù)是2022年高考考生人數(shù)的1.5倍.為了更好地對比該校考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2022年和2023年高考分?jǐn)?shù)達(dá)線情況，得到如圖所示扇形統(tǒng)計(jì)圖：

下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該校2023年與2022年的本科達(dá)線人數(shù)比為6:5
B．該校2023年與2022年的專科達(dá)線人數(shù)比為6:7
C．2023年該校本科達(dá)線人數(shù)比2022年該校本科達(dá)線人數(shù)增加了80%
D．2023年該校不上線的人數(shù)有所減少
【解題思路】設(shè)2022年的高考人數(shù)為100，則2023年的高考人數(shù)為150，再根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中各個種類的人數(shù)所占的比例，逐個選項(xiàng)判斷即可．
【解答過程】不妨設(shè)2022年的高考人數(shù)為100，則2023年的高考人數(shù)為150，
2022年本科達(dá)線人數(shù)為50，2023年本科達(dá)線人數(shù)為90，
2023年與2022年的本科達(dá)線人數(shù)比為9:5，
本科達(dá)線人數(shù)增加了，故A錯誤，C正確；
2022年專科達(dá)線人數(shù)為35，2023年專科達(dá)線人數(shù)為45，
2023年與2022年的專科達(dá)線人數(shù)比為9:7，故B錯誤；
2022年不上線人數(shù)為15，2023年不上線人數(shù)也是15，不上線的人數(shù)無變化，故D錯誤．
故選：C.
【變式4-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）當(dāng)今時代，數(shù)字技術(shù)作為世界科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的先導(dǎo)力量，日益融入經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展各領(lǐng)域全過程，深刻改變著生產(chǎn)方式、生活方式和社會治理方式，從而帶動了大量的電子產(chǎn)品在市場的銷售．現(xiàn)有某商城統(tǒng)計(jì)了近兩個月在A，B，C三個區(qū)域售出的1000個電子產(chǎn)品，其中A，B，C各個區(qū)域銷量分布的餅狀圖及售價的頻率條形圖（按規(guī)定這些電子產(chǎn)品的售價均在50,300之間）如圖，則在A區(qū)域售出的電子產(chǎn)品中，售價在區(qū)間(150,200]內(nèi)比在區(qū)間(250,300]內(nèi)多（ ）
A．30件 B．114件 C．120件 D．133件
【解題思路】根據(jù)銷量分布的餅狀圖及售價的頻率條形圖分別求售價在區(qū)間，的件數(shù)，即可得結(jié)果.
【解答過程】由題意可知：區(qū)間，內(nèi)的頻率分別為，
可知在區(qū)間，內(nèi)售出的電子產(chǎn)品件數(shù)分別為，
則在A區(qū)域售出的電子產(chǎn)品中，售價在區(qū)間，的件數(shù)分別為，
所以售價在區(qū)間內(nèi)比在區(qū)間內(nèi)多件.
故選：B.
【變式4-2】（2024·四川遂寧·三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
【解題思路】根據(jù)兩個圖，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.
【解答過程】由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總?cè)藬?shù)的56%，超過一半，A正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過20%，
所以快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90”后的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%；B正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，C正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為22.176%，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，D不一定正確．
故選：D.
【變式4-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）2017年至2022年某省年生產(chǎn)總量及其增長速度如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加
B．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3億元
C．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長速度逐年降低
D．2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長速度的中位數(shù)為7.6%
【解題思路】根據(jù)給定的條形圖和折線圖，逐項(xiàng)分析判斷即得.
【解答過程】對于A，觀察條形圖知，2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加，A正確；
對于B，2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3（億元），B正確；
對于C，2017年至2020年該省年生產(chǎn)總量的增長速度逐年降低，
而2021年該省年生產(chǎn)總量的增長速度比2020年該省年生產(chǎn)總量的增長速度高，C錯誤；
對于D，2017年至2020年該省年生產(chǎn)總量的增長速度由小到大排列為：，
因此增長速度的中位數(shù)為，D正確.
故選：C.
【題型5 頻率分布直方圖】
【例5】（2024·天津武清·模擬預(yù)測）某校高三共有200人參加體育測試，將體測得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照分成6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為A，則獲得的考生人數(shù)約為（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【解題思路】根據(jù)頻率分布直方圖求獲得的頻率，進(jìn)而可得相應(yīng)的人數(shù).
【解答過程】由題意可知：估計(jì)獲得的頻率為，
所以獲得的考生人數(shù)約為.
故選：B.
【變式5-1】（2024·山東·二模）某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為，則估計(jì)獲得的考生人數(shù)約為（ ）
A．100 B．75 C．50 D．25
【解題思路】首先計(jì)算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得的考生人數(shù).
【解答過程】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為，
所以獲得的考生人數(shù)約為人，
故選：C.
【變式5-2】（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：
若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)若臨界值，請估計(jì)該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應(yīng)用于A型手機(jī)的芯片個數(shù)；
(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品 Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機(jī) B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：
方案一：直接將該芯片I級品應(yīng)用于A型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K的芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；
方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要130萬元；
請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，即可求解頻率，進(jìn)而可求解，
（2）分別計(jì)算兩種方案的費(fèi)用，即可比較作答.
【解答過程】（1）臨界值時，I級品中該指標(biāo)大于60的頻率為，
II級品中該指標(biāo)大于60的頻率為0.1
故該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個II級品中應(yīng)用于型手機(jī)的芯片個數(shù)估計(jì)為：
（2）當(dāng)臨界值時，若采用方案一：
I級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的概率為，
可以估計(jì)10000部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯誤；
II級品中該指標(biāo)大于臨界值的概率為，
可以估計(jì)10000部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯誤；
故可以估計(jì)芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用
又采用方案二需要檢測費(fèi)用共130萬元
故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二.
【變式5-3】（2024·四川成都·二模）2024年1月，某市的高二調(diào)研考試首次采用了“”新高考模式.該模式下，計(jì)算學(xué)生個人總成績時，“”的學(xué)科均以原始分記入，再選的“2”個學(xué)科（學(xué)生在政治 地理 化學(xué) 生物中選修的2科）以賦分成績記入.賦分成績的具體算法是：先將該市某再選科目原始成績按從高到低劃分為五個等級，各等級人數(shù)所占比例分別約為.依照轉(zhuǎn)換公式，將五個等級的原始分分別轉(zhuǎn)換到五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，并對所得分?jǐn)?shù)的小數(shù)點(diǎn)后一位進(jìn)行“四舍五入”，最后得到保留為整數(shù)的轉(zhuǎn)換分成績，并作為賦分成績.具體等級比例和賦分區(qū)間如下表：
等級
比例
賦分區(qū)間
已知該市本次高二調(diào)研考試化學(xué)科目考試滿分為100分.
(1)已知轉(zhuǎn)換公式符合一次函數(shù)模型，若學(xué)生甲 乙在本次考試中化學(xué)的原始成績分別為84，78，轉(zhuǎn)換分成績?yōu)?8，71，試估算該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最高分.
(2)現(xiàn)從該市本次高二調(diào)研考試的化學(xué)成績中隨機(jī)選取100名學(xué)生的原始成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，求出圖中的值，并用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該市本次化學(xué)原始成績等級中的最低分.
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件及待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)已知條件及頻率分布直方圖的特點(diǎn)即可求解.
【解答過程】（1）設(shè)轉(zhuǎn)換公式中轉(zhuǎn)換分關(guān)于原始成績的一次函數(shù)關(guān)系式為.
則，解得，
轉(zhuǎn)換分的最高分為85，
.解得.
故該市本次化學(xué)原始成績B等級中的最高分為90分.
（2），
.
設(shè)化學(xué)原始成績等級中的最低分為，
綜上，化學(xué)原始成績等級中的最低分為70.
一、單選題
1．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）已知三種不同型號的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為的樣本，若樣本中型號產(chǎn)品有件，則為（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【解題思路】由條件確定型號產(chǎn)品的抽樣比，再根據(jù)頻數(shù)，頻率，樣本容量的關(guān)系求.
【解答過程】因?yàn)槿N不同型號的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，
且用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，
所以型號產(chǎn)品被抽的抽樣比為：，
因?yàn)樾吞柈a(chǎn)品有件，所以，解得.
故選：B.
2．（24-25高一上·全國·單元測試）①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有12人的成績在100分以上，30人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況；②運(yùn)動會的工作人員為參加接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道．針對這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（ ）
A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣
C．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣
【解題思路】根據(jù)分層抽樣和簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)判斷即可.
【解答過程】對于①：考試成績在不同分?jǐn)?shù)段之間的同學(xué)有明顯的差異，用分層隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng)；
對于②：總體包含的個體較少，用簡單隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng)．
故選：A.
3．（2024·河南駐馬店·二模）電影《孤注一擲》的上映引發(fā)了電信詐騙問題的熱議，也加大了各個社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多（ ）
A．6人 B．9人 C．12人 D．18人
【解題思路】根據(jù)題意可以計(jì)算出分層隨機(jī)抽樣的抽樣比例，進(jìn)而計(jì)算出中年人和青年人的人數(shù)，進(jìn)而可以知道中年人比青少年多多少個.
【解答過程】設(shè)中年人抽取人，青少年抽取人，由分層隨機(jī)抽樣可知 ，
解得，故中年人比青少年多9人.
故選:B.
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）從一個含有個個體的總體中抽取一容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，三者關(guān)系可能是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)抽樣的概念，每個個體被抽中的概率是均等的，進(jìn)而即可選擇答案.
【解答過程】因?yàn)樵诔楹灧ǔ闃印㈦S機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中，每個個體被抽中的概率均為，
所以.
故選：B.
5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生近視情況形成的原因，采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，若抽取的小學(xué)生人數(shù)為70，則抽取的高中生中近視人數(shù)為（ ）
A．10 B．20 C．25 D．40
【解題思路】根據(jù)題意，求得抽取的高中生人數(shù)是人，再結(jié)合圖乙可知高中生的近視率為，即可求解.
【解答過程】由圖甲可知抽取的高中生人數(shù)是，
又由圖乙可知高中生的近視率為，所以抽取的高中生中近視人數(shù)為人．
故選：B．
6．（2024·云南·二模）本次月考分答題卡的任務(wù)由高三16班完成，現(xiàn)從全班55位學(xué)生中利用下面的隨機(jī)數(shù)表抽取10位同學(xué)參加，將這55位學(xué)生按進(jìn)行編號，假設(shè)從隨機(jī)數(shù)表第1行第2個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過，讀到行末則從下一行行首繼續(xù)，則選出來的第6個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．51 B．25 C．32 D．12
【解題思路】根據(jù)給定信息，利用隨機(jī)數(shù)表抽樣法規(guī)則，依次寫出前6個符合要求的編號即可.
【解答過程】依題意，前6個編號依次為：31，32，43，25，12，51，
所以選出來的第6個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為51.
故選：A.
7．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）在某次高中數(shù)學(xué)模擬考試中，對800名考生的考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間分別為，，，，，.若考生成績在內(nèi)的人數(shù)為，考生成績在內(nèi)的人數(shù)為，則（ ）
A．20 B．10 C．60 D．40
【解題思路】由頻率分布直方圖求出、，即可得解.
【解答過程】由頻率分布直方圖可得，，
所以.
故選：D.
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知2015—2022年和2023年1～9月某新能源汽車企業(yè)的營業(yè)收入（單位：億元）和凈利潤（單位：億元）及2015—2022年?duì)I業(yè)收入的增長率的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，2023年第二、三、四季度的凈利潤相比上一季度的增長率均為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2015—2022年該企業(yè)年?duì)I業(yè)收入逐年增加
B．2015—2022年該企業(yè)年?duì)I業(yè)收入增長率最大的是2015年
C．2022年該企業(yè)年凈利潤超過2017—2021年年凈利潤總和
D．2023年第四季度的凈利潤比第一季度的凈利潤多約30億元
【解題思路】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)分析，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可求解.
【解答過程】選項(xiàng)A：2019年年?duì)I業(yè)收入低于2018年，故A錯誤；
選項(xiàng)B：2015—2022年該企業(yè)年?duì)I業(yè)收入增長率最大的是2022年，故B錯誤；
選項(xiàng)C：2022年該企業(yè)年凈利潤為166.2億元，2017—2021年年凈利潤的總和為
（億元），故C正確；
選項(xiàng)D：設(shè)2023年第一季度的凈利潤為億元，
由第二、三、四季度的凈利潤相比上一季度的增長率均為，
得，即，
即2023年第四季度的凈利潤比第一季度的凈利潤多21.37億元，故D錯誤．
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，年產(chǎn)量分別為1500輛、6000輛和2000輛．為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)檢部門要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（ ）
A．應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣抽取
B．應(yīng)采用抽簽法抽取
C．三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛、36輛、12輛
D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的可能性相同
【解題思路】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定即可求解．
【解答過程】對于A，因?yàn)槭侨N型號的轎車，個體差異明顯，所以選擇分層隨機(jī)抽樣，所以A正確；
對于B，個體數(shù)目多，用抽簽法制簽難，攪拌不均勻，抽出的樣本不具有代表性，所以B錯誤；
對于C，因?yàn)椋裕ㄝv），（輛），（輛），所以三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛、36輛、12輛，所以C正確；
對于D，分層隨機(jī)抽樣中，每一個個體被抽到的可能性相同，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
10．（2024·黑龍江·三模）在某市初三年級舉行的一次體育考試中(滿分100分)，所有考生成績均在[50,100]內(nèi)，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五組，甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）

A．成績在[70,80)的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)
B．甲班成績在[80,90)內(nèi)人數(shù)最多
C．乙班成績在[70,80)內(nèi)人數(shù)最多
D．甲班成績的極差比乙班成績的極差小
【解題思路】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖逐個分析判斷即可.
【解答過程】對于A，由圖知，每一組中的成績占比都是以各自班級的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，
所以每一組中的甲班、乙班人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故A錯誤；
對于BC，由圖可知甲班成績主要集中在[80,90)，乙班成績主要集中在[60,70)，B正確，C錯誤；
對于D，由圖可知甲班成績的極差和乙班成績的極差的大小無法確定，故D錯誤.
故選：ACD.
11．（2024·遼寧·二模）下圖為某市2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖．已知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出7924元，與上一年同比增長4.4％；農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出4388元，與上一年同比增長7.8％，則關(guān)于2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出，下列說法正確的是（ ）
A．2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出6393元
B．居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和超過了總?cè)司M(fèi)支出的50％
C．城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額與上一年同比在縮小
D．醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和約占總?cè)司M(fèi)支出的20.6％
【解題思路】根據(jù)消費(fèi)支出構(gòu)成圖及已知條件分析數(shù)據(jù)一一判定選項(xiàng)即可.
【解答過程】2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出為（元），故A正確；
易知居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和為（元），
占總?cè)司M(fèi)支出的，故B正確：
依題意可得2022年第一季度城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額為（元），
2023年第一季度城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額為（元），
由于，故C錯誤；
醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和占總?cè)司M(fèi)支出的，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題
12．（2023·山東·一模）為了解某中職學(xué)校男生的身體發(fā)育情況，對隨機(jī)抽取的100名男生的身高進(jìn)行了測量（結(jié)果精確到），并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，由圖可知，其中身高超過的男生的人數(shù)為 64 .

【解題思路】根據(jù)頻率分布直方圖得到身高超過的頻率，再乘以樣本容量100可得答案.
【解答過程】由頻率分布直方圖可知，組距為4，由于結(jié)果精確到1cm，故后三組身高超過，
身高超過的頻率為，
故身高超過的學(xué)生人數(shù)為.
故答案為：64.
13．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）某高中為了了解學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的情況，采用了分層隨機(jī)抽樣的方法從三個年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人．已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生 1800 人．
【解題思路】根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)確定抽樣的比例即可求解.
【解答過程】由題意可知從三個年級中抽取的300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高三有120人，
所以抽取的比例為
設(shè)該校共有名學(xué)生，可得，
解得人，即該校共有1800名學(xué)生.
故答案為：1800.
14．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計(jì)學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號從小到大為，，…，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樯a(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，…，，，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的n個整數(shù)，這n個數(shù)將區(qū)間分成個小區(qū)間，由于N是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他n個區(qū)間都是已知的．由于這n個數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前n個區(qū)間的平均長度估計(jì)所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到N的估計(jì)值．例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為 24 ．

【解題思路】根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用的方法列比例式計(jì)算，即可求得答案.
【解答過程】由于用前n個區(qū)間的平均長度估計(jì)所有個區(qū)間的平均長度，
而繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，即，
故,
即則統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為24，
故答案為：24.
四、解答題
15．（24-25高一上·全國·課堂例題）有以下兩個案例：
案例一：從同一批次同類型號的10袋牛奶中抽取3袋分別檢測三聚氰胺的含量；
案例二：某公司有員工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱的有200人，其他人員120人，從中抽取容量為40的樣本，了解他們的收入情況．
(1)你認(rèn)為這兩個案例分別應(yīng)采用怎樣的抽樣方式較為合適？
(2)在你使用的分層抽樣案例中寫出抽樣過程．
【解題思路】（1）由分層抽樣和簡單隨機(jī)抽樣的定義即可得出答案；
（2）按照分層、確定抽樣比、確定各層樣本數(shù)、按簡單隨機(jī)抽樣方式在各層確定相應(yīng)的樣本、匯總構(gòu)成一個容量為40的樣本的過程求解即可.
【解答過程】（1）案例一用簡單隨機(jī)抽樣，案例二用分層抽樣．
（2）①分層，將總體分為具有高級職稱、中級職稱、初級職稱及其他人員四層；
②確定抽樣比；
③按抽樣比確定各層應(yīng)分別抽取的人數(shù)為8，16，10，6；
④按簡單隨機(jī)抽樣的方法在各層確定相應(yīng)的樣本；
⑤匯總構(gòu)成一個容量為40的樣本．
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）以“建設(shè)包容、普惠、有韌性的數(shù)字世界——攜手構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運(yùn)共同體”為主題的2023年世界互聯(lián)網(wǎng)大會烏鎮(zhèn)峰會于11月8日至10日在中國浙江省烏鎮(zhèn)舉行．為保障大會順利進(jìn)行，世界互聯(lián)網(wǎng)大會的秘書處從招募的志愿者中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行了一次互聯(lián)網(wǎng)知識競賽，所得成績（單位：分）均在內(nèi)，并制成如下頻數(shù)分布表：
成績/分
頻數(shù) 8 28 20 12
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，在下圖中作出頻率分布直方圖；

(2)以樣本估計(jì)總體，記競賽成績不低于86分的志愿者為優(yōu)秀志愿者，則優(yōu)秀志愿者的占比能否達(dá)到20%？
【解題思路】（1）先求出n值，再確定每組的頻率再畫圖即可；
（2）計(jì)算出不低于86分的志愿者的頻率即可求解.
【解答過程】（1），
不同成績對應(yīng)的頻率如下表：
成績/分
頻數(shù) 8 28 32 20 12
頻率 0.08 0.28 0.32 0.20 0.12
作出頻率分布直方圖如圖所示：

（2）在隨機(jī)抽取的100名志愿者中，不低于86分的志愿者的頻率為，故優(yōu)秀志愿者的占比能達(dá)到20%．
17．（2024·廣西柳州·一模）根據(jù)國家工信部關(guān)于全面推行中國特色企業(yè)新型學(xué)徒制，加強(qiáng)技能人才培養(yǎng)的通知，我區(qū)明確面向各類企業(yè)全面推行企業(yè)新型學(xué)徒制培訓(xùn)，深化產(chǎn)教融合，校企合作，學(xué)徒培養(yǎng)目標(biāo)以符合企業(yè)崗位需要的中，高級技術(shù)工人.2020年度某企業(yè)共需要學(xué)徒制培訓(xùn)200人，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行考核，現(xiàn)對考核后取得相應(yīng)崗位證書進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)情況如下表：
崗位證書 初級工 中級工 高級工 技師 高級技師
人數(shù) 20 60 60 40 20
(1)現(xiàn)從這200人中采用分層抽樣的方式選出10人組成學(xué)習(xí)技能經(jīng)驗(yàn)交流團(tuán)，求交流團(tuán)中取得技師類（包含技師和高級技師）崗位證書的人數(shù).
(2)為了鼓勵企業(yè)員工參加培訓(xùn)，該企業(yè)在2021年出臺了如下培訓(xùn)獎勵措施.
取得崗位證書 初級工 中級工 高級工 技師 高級技師
獎勵金額（元/人） 0 500 600 800 1000
以2020年度培訓(xùn)取得各崗位證書的頻率來估計(jì)2021年的培訓(xùn)考核結(jié)果，若該企業(yè)在2021年度培訓(xùn)共400人，請估計(jì)該企業(yè)2021年度共需支付多少獎金？
【解題思路】（1）依題意可以求出分層隨機(jī)抽樣的比例，進(jìn)而可以求得取得技師類崗位證書的人數(shù)；
（2）分類討論，將取得各崗位證書的獎金分別算出來，加起來即可.
【解答過程】（1）技師和高級技師占比為
所以分層抽樣的人中有（人）
（2）初級工頻率，支付：（元）
中級工頻率 ，支付： （元）
高級工頻率 ，支付： （元）
技師頻率 ，支付： （元）
高級技師頻率： ，支付 （元）
加起來需支付費(fèi)用 （元）
所以估計(jì)該企業(yè)需支付 元.
18．（23-24高一上·云南保山·開學(xué)考試）近幾年購物的支付方式日益增多，某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，支付方式有：A微信、B支付寶、C現(xiàn)金、D其他，該小組對某超市一天內(nèi)購買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次一共調(diào)查了多少名購買者？
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A種支付方式所對應(yīng)的圓心角為______度.
(3)若該超市這一周內(nèi)有1600名購買者，請你估計(jì)使用A和B兩種支付方式的購買者共有多少名？
【解題思路】（1）根據(jù)頻率即可求解，
（2）根據(jù)頻率之和即可求解，
（3）根據(jù)所占頻率即可求解.
【解答過程】（1），即本次一共調(diào)查了200名購買者；
（2）D方式支付的有：（人），
A方式支付的有：（人），
補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，

在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A種支付方式所對應(yīng)的圓心角為：
（3）（名），
使用A和B兩種支付方式的購買者共有928名.
19．（2024·山西太原·三模）在學(xué)業(yè)測試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第i題的難度，為答對該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：
題號 1 2 3 4 5
考前預(yù)估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
測試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下
題號 1 2 3 4 5
實(shí)測答對人數(shù) 16 16 14 14 8
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對人數(shù)；
(2)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第i題的實(shí)測難度，為第i題的預(yù)估難度(i=1，2，…，n).規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
【解題思路】（1）根據(jù)實(shí)測答對人數(shù)表求得第五題的實(shí)測難度，然后估計(jì)總體的實(shí)測答對人數(shù)；
（2）根據(jù)圖表，分別計(jì)算出第1題至第5題的實(shí)測難度，求解的值，與0.05比較得出結(jié)論.
【解答過程】（1）因?yàn)榈?題的實(shí)測難度為
所以估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對人數(shù)為（人）.
（2）根據(jù)題干中數(shù)據(jù)可得：，
故，
.
故本次測試的難度所估合理.
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