資源簡介

專題5.3 平面向量的數量積及其應用【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 平面向量數量積的運算】 4
【題型2 平面向量的夾角問題】 5
【題型3 平面向量的模長】 5
【題型4 平面向量的垂直問題】 5
【題型5 平面向量的投影】 6
【題型6 坐標法解決向量問題】 6
【題型7 平面向量的實際應用】 7
【題型8 向量數量積與解三角形綜合】 8
1、平面向量的數量積及其應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解平面向量數量積的含義及其幾何意義
(2)了解平面向量的數量積與投影向量的關系
(3)掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算 (4)能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系 (5)會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題 2022年新高考全國Ⅱ卷：第4題，5分 2023年新高考I卷：第3題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第13題，5分 2023年北京卷：第3題，5分 2024年新高考I卷：第3題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第3題，5分 平面向量的數量積是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，試題往往以選擇題、填空題的形式呈現，主要考查向量的數量積、夾角、模與垂直條件等知識，難度中等，有時會與三角函數、平面幾何等相結合命題.學生在高考一輪復習中應注意加強訓練，要能靈活運用定義法、坐標法和基底法解決常見的數量積有關問題.
【知識點1 向量數量積的性質和常用結論】
1．向量數量積的性質和運算律
(1)向量數量積的性質
設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①==.
②=0.
③當與同向時，=；當與反向時，=-.
特別地，==或=.
④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.
⑤=.
(2)向量數量積的運算律
由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：
對于向量，，和實數，有
①交換律：=；
②數乘結合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
2．向量數量積的常用結論
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等
號成立.
以上結論可作為公式使用.
【知識點2 平面向量數量積的解題方法】
1．平面向量數量積的兩種運算方法
(1)基底法：當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題；
(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.
【知識點3 數量積的兩大應用】
1．夾角與垂直
根據平面向量數量積的性質：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉化為數量積運算；
(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知識點4 向量數量積綜合應用的方法和思想】
1．向量數量積綜合應用的三大解題方法
(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解.
(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數的問題或三角恒等變換問題是常規的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.
【知識點5 極化恒等式】
1．極化恒等式的證明過程與幾何意義
(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：
.
證明：不妨設，則，，
①，
②，
①②兩式相加得：
.
(2)極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
平行四邊形模式：.
(3)幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．
【方法技巧與總結】
1．平面向量數量積運算的常用公式
(1)；
(2).
2．有關向量夾角的兩個結論
(1)若與的夾角為銳角，則>0；若>0，則與的夾角為銳角或0.
(2)若與的夾角為鈍角，則<0；若<0，則與的夾角為鈍角或π.
3．向量在向量上的投影向量為.
【題型1 平面向量數量積的運算】
【例1】（2024·江西宜春·模擬預測）在△ABC中，已知，，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【變式1-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知向量，，，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·山東日照·一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．8 D．
【變式1-3】（2024·北京·三模）已知點在邊長為2的正八邊形的邊上，點在邊上，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 平面向量的夾角問題】
【例2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知單位向量，滿足，則與的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·江西新余·二模）已知，，若與的夾角為，則（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【變式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·河北·模擬預測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 平面向量的模長】
【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量，的夾角為，，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式3-1】（2024·山東煙臺·三模）已知向量，滿足，在方向上的投影向量為，且，則的值為（ ）
A．4 B． C．16 D．48
【變式3-2】（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形中，，點為該平行四邊形所在平面內的任意一點，則的最小值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【變式3-3】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 平面向量的垂直問題】
【例4】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知向量，若，則（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【變式4-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-2】（2024·陜西·模擬預測）已知兩個向量，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 平面向量的投影】
【例5】（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預測）已知兩個非零向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·湖北武漢·二模）已知，向量，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B．5 C． D．
【題型6 坐標法解決向量問題】
【例6】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知菱形的邊長為，動點在邊上（包括端點），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個不同的點，，…，，記，則（ ）
A．18 B．180 C． D．
【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，已知AB是圓的直徑，是圓上一點，，點是線段BC上的動點，且的面積記為，圓的面積記為，當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交于點．當點在劣弧上運動時，的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型7 平面向量的實際應用】
【例7】（2024·吉林長春·一模）長江流域內某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，設和所成角為，若游船要從航行到正北方向上位于北岸的碼頭處，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【變式7-2】（2024·山東濰坊·二模）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態.已知兩條繩上的拉力分別是，且與水平夾角均為，，則物體的重力大小為 N.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）如圖，某物體作用于同一點的三個力使物體處于平衡狀態，已知，，與的夾角為，則的大小為 ．（牛頓是物理的力學單位）
【題型8 向量數量積與解三角形綜合】
【例8】（2024·江西·三模）已知鈍角的面積為，則的值是（ ）
A． B． C．或 D．或6
【變式8-1】（2024·貴州畢節·三模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點D滿足，且，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.已知
(1)若，判斷的形狀；
(2)若，求的最大值.
【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，兩射線、均與直線l垂直，垂足分別為D、E且.點A在直線l上，點B、C在射線上.
(1)若F為線段BC的中點（未畫出），求的最小值；
(2)若為等邊三角形，求面積的范圍.
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知向量，則（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2024·江西吉安·模擬預測）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·遼寧·模擬預測）若，是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A．0 B．2 C． D．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西安康·模擬預測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知向量，則以下說法正確的是（ ）
A． B．方向上的單位向量為
C．向量在向量上的投影為 D．若，則
7．（2024·四川綿陽·模擬預測）某公園設計的一個圓形健身區域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構造三個正方形區域用于放置健身器材，其中每個正方形有兩個頂點恰好在圓上．若，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·山東·模擬預測）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
10．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知非零向量，，對任意，恒有，則（ ）
A．在上的投影的數量為1 B．
C． D．
11．（2024·河北保定·一模）已知為所在平面內一點，則下列正確的是（ ）
A．若，則點在的中位線上
B．若，則為的重心
C．若，則為銳角三角形
D．若，則與的面積比為
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預測）已知向量，，且，則 .
13．（2024·上海·模擬預測）已知向量，，滿足，，且，則
．
14．（2024·天津河西·二模）如圖，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，則向量在向量上的投影向量的模為 ；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且，則的最小值為 .
四、解答題
15．（2024·天津河北·模擬預測）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求向量與的夾角的余弦值．
16．（23-24高一下·北京東城·期中）已知向量的夾角為，且，求：
(1);
(2);
(3)與夾角的余弦值.
17．（2024·湖南邵陽·一模）在中，內角滿足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
18．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，已知向量滿足，，且．
(1)求角；
(2)若是銳角三角形，且，求周長的取值范圍．
19．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在直角梯形中，，，，點是邊上的中點.
(1)若點滿足，且，求的值；
(2)若點是線段上的動點（含端點），求的取值范圍.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題5.3 平面向量的數量積及其應用【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 平面向量數量積的運算】 4
【題型2 平面向量的夾角問題】 7
【題型3 平面向量的模長】 8
【題型4 平面向量的垂直問題】 11
【題型5 平面向量的投影】 12
【題型6 坐標法解決向量問題】 13
【題型7 平面向量的實際應用】 16
【題型8 向量數量積與解三角形綜合】 18
1、平面向量的數量積及其應用
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解平面向量數量積的含義及其幾何意義
(2)了解平面向量的數量積與投影向量的關系
(3)掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算 (4)能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系 (5)會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題 2022年新高考全國Ⅱ卷：第4題，5分 2023年新高考I卷：第3題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第13題，5分 2023年北京卷：第3題，5分 2024年新高考I卷：第3題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第3題，5分 平面向量的數量積是高考的熱點內容.從近幾年的高考情況來看，試題往往以選擇題、填空題的形式呈現，主要考查向量的數量積、夾角、模與垂直條件等知識，難度中等，有時會與三角函數、平面幾何等相結合命題.學生在高考一輪復習中應注意加強訓練，要能靈活運用定義法、坐標法和基底法解決常見的數量積有關問題.
【知識點1 向量數量積的性質和常用結論】
1．向量數量積的性質和運算律
(1)向量數量積的性質
設，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①==.
②=0.
③當與同向時，=；當與反向時，=-.
特別地，==或=.
④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.
⑤=.
(2)向量數量積的運算律
由向量數量積的定義，可以發現下列運算律成立：
對于向量，，和實數，有
①交換律：=；
②數乘結合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
2．向量數量積的常用結論
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，當且僅當與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等
號成立.
以上結論可作為公式使用.
【知識點2 平面向量數量積的解題方法】
1．平面向量數量積的兩種運算方法
(1)基底法：當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題；
(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.
【知識點3 數量積的兩大應用】
1．夾角與垂直
根據平面向量數量積的性質：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉化為數量積運算；
(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知識點4 向量數量積綜合應用的方法和思想】
1．向量數量積綜合應用的三大解題方法
(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解.
(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數的問題或三角恒等變換問題是常規的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.
【知識點5 極化恒等式】
1．極化恒等式的證明過程與幾何意義
(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：
.
證明：不妨設，則，，
①，
②，
①②兩式相加得：
.
(2)極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
平行四邊形模式：.
(3)幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．
【方法技巧與總結】
1．平面向量數量積運算的常用公式
(1)；
(2).
2．有關向量夾角的兩個結論
(1)若與的夾角為銳角，則>0；若>0，則與的夾角為銳角或0.
(2)若與的夾角為鈍角，則<0；若<0，則與的夾角為鈍角或π.
3．向量在向量上的投影向量為.
【題型1 平面向量數量積的運算】
【例1】（2024·江西宜春·模擬預測）在△ABC中，已知，，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【解題思路】將和轉化成和來表示，再結合求得即可求解.
【解答過程】由題意為邊靠近C點的三等分點，
所以，
所以
，

故，又，
所以，
所以.
故選：D.
【變式1-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知向量，，，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據數量積的坐標表示得到，再確定，由即可求出，從而得到的值，最后根據數量積的定義及運算律計算可得.
【解答過程】因為，所以且，所以，
又，且，所以，
所以，解得，
又，所以，則，
所以，則，
所以
.
故選：A.
【變式1-2】（2023·山東日照·一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．8 D．
【解題思路】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，由向量數量積的坐標表示研究最值.
【解答過程】
以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，
則，
設，，由正六邊形對稱性，不妨只研究y軸左半部分，
（1）當P在EH上時，則，，則；
（2）當P在AG上時，則，，則；
（3）當P在EF上時，則：，，則；
（4）當P在AF上時，則：，，則.
綜上，所求最大值為12.
故選：B.
【變式1-3】（2024·北京·三模）已知點在邊長為2的正八邊形的邊上，點在邊上，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】以為原點，建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，計算即可.
【解答過程】以為原點， 為軸，為軸建立平面直角坐標系，
設，則，
所以，
由于正八邊形的每個外角都為；
則，
所以.
故選：C.
【題型2 平面向量的夾角問題】
【例2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知單位向量，滿足，則與的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據數量積的運算律求出，再由夾角公式計算可得.
【解答過程】因為，即，解得，
設與的夾角為，則，又，所以，
即與的夾角等于.
故選：B.
【變式2-1】（2024·江西新余·二模）已知，，若與的夾角為，則（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【解題思路】利用向量積的運算律計算，再利用向量數量積的定義計算，列出相關等式可得的值.
【解答過程】因為，，
所以，
，
，
因為，
又，
所以，
解得或，
因為，所以，
解得，
所以.
故選：.
【變式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由平面向量數量積的坐標運算可得，再由平面向量的夾角公式代入計算，即可得到結果.
【解答過程】，
，
，
，．
故選：B.
【變式2-3】（2024·河北·模擬預測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由向量的加法法則可得，兩邊同時平方可得，由平面向量的夾角公式求解即可.
【解答過程】因為平面四邊形中，點分別為的中點，
所以，
所以，
由可得：，
兩邊同時平方可得：，
所以，
解得：，所以.
故選：A.
【題型3 平面向量的模長】
【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量，的夾角為，，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】分析可知，向量，的夾角為，根據結合數量積的運算求解.
【解答過程】因為，則，
且非零向量，的夾角為，，可知向量，的夾角為，
則，
所以.
故選：D.
【變式3-1】（2024·山東煙臺·三模）已知向量，滿足，在方向上的投影向量為，且，則的值為（ ）
A．4 B． C．16 D．48
【解題思路】根據題意結合投影向量可得，再根據垂直關系可得，進而可求模長.
【解答過程】由題意可知：，即，
因為在方向上的投影向量為，可得，
又因為，則，可得，
則，所以.
故選：B.
【變式3-2】（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形中，，點為該平行四邊形所在平面內的任意一點，則的最小值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解題思路】設與的交點為，由，兩邊平方可表示出，同理可表示，四個式子相加化簡可求得結果.
【解答過程】設與的交點為，由，
得，
同理可得，
，
，
所以
，當點與點重合時，等號成立.
故選：C.
【變式3-3】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】以為坐標原點，所在直線為x軸，過垂直BC的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，取的中點為，求得的軌跡方程，數形結合可求.
【解答過程】由題意，以為坐標原點，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，由，可得是以為直徑的圓，
所以的軌跡方程為，
取的中點為，設，
可得，所以，所以，
所以點的軌跡方程為，圓心為，半徑為，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故選：A.
【題型4 平面向量的垂直問題】
【例4】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知向量，若，則（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【解題思路】計算出，根據向量垂直得到方程，求出答案.
【解答過程】由題意，向量，可得，
因為，則，即，解得或6．
故選：D.
【變式4-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先計算時的取值，再根據必要與充分條件的定義判斷即可.
【解答過程】因為，，
所以，，
當時，
，即
解得
所以“”是的充分不必要條件.
故選：A.
【變式4-2】（2024·陜西·模擬預測）已知兩個向量，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用垂直關系的向量表示，結合模的坐標表示求解即得.
【解答過程】由，得，則，即，
因此，所以.
故選：B.
【變式4-3】（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【解答過程】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
【題型5 平面向量的投影】
【例5】（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用向量的模長關系可得，再由投影向量的定義即可求出結果.
【解答過程】根據題意可得，
所以，則
所以，
則在方向上的投影向量為.
故選：B.
【變式5-1】（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用投影向量的定義直接求解即可.
【解答過程】依題意，，
所以在上的投影向量為.
故選：A.
【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預測）已知兩個非零向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩邊平方可得，結合投影向量的定義計算即可求解.
【解答過程】由，得，
即，整理可得，
所以在方向上的投影向量為.
故選：B.
【變式5-3】（2024·湖北武漢·二模）已知，向量，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B．5 C． D．
【解題思路】借助向量垂直可得，結合投影向量定義計算即可得解.
【解答過程】由，則有，即，
則，故.
故選：C.
【題型6 坐標法解決向量問題】
【例6】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知菱形的邊長為，動點在邊上（包括端點），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立平面直角坐標系，利用向量積的坐標計算將目標式化簡，求出取值范圍即可.
【解答過程】
如圖，作，以為原點，建立平面直角坐標系，
易知，，，
設，且，故，，
故，而，.
故選：C.
【變式6-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個不同的點，，…，，記，則（ ）
A．18 B．180 C． D．
【解題思路】建立坐標系，求出直線的方程，利用坐標法表示數量積即可求解.
【解答過程】以為坐標原點，所在直線為軸建系，如圖所示：
則，，，，直線的方程為：，
設，，則有，，，
則，
所以.
故選：B.
【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，已知AB是圓的直徑，是圓上一點，，點是線段BC上的動點，且的面積記為，圓的面積記為，當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】以為坐標原點建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算分析可知點與點重合時，取到最大值，即可得結果.
【解答過程】由題意可知：，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
不妨設，則，
可知直線對應的一次函數解析式為，可設，
可得，
則，且，
因為開口向上，對稱軸為，
且，可知當時，即點與點重合時，取到最大值，
此時，且，所以.
故選：A.
【變式6-3】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交于點．當點在劣弧上運動時，的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據給定條件，建立坐標系，設出點的坐標，利用數量積的坐標表示建立函數關系，求出函數的值域即可.
【解答過程】依題意，以點為原點，直線分別為軸建立平面直角坐標系，如圖，
設點，而，
則，
因此，
由，得，則，
因此，
所以的取值范圍為.
故選：B.
【題型7 平面向量的實際應用】
【例7】（2024·吉林長春·一模）長江流域內某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，設和所成角為，若游船要從航行到正北方向上位于北岸的碼頭處，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意知由向量數量積的定義可得選項.
【解答過程】由題意知有即所以，
故選：B．
【變式7-1】（2024·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【解題思路】利用條件，先求出兩個力的合力及，再利用功的計算公式即可求出結果.
【解答過程】因為，，所以，又，，所以，故.
故選：A.
【變式7-2】（2024·山東濰坊·二模）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態.已知兩條繩上的拉力分別是，且與水平夾角均為，，則物體的重力大小為 20 N.
【解題思路】根據力的平衡有,兩邊平方后可求出.
【解答過程】由題意知.的夾角為.
所以.
所以.
所以.
故答案為:20.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）如圖，某物體作用于同一點的三個力使物體處于平衡狀態，已知，，與的夾角為，則的大小為 ．（牛頓是物理的力學單位）
【解題思路】根據三力平衡得到，然后通過平方將向量式數量化得到，代入數據即可得到答案.
【解答過程】由題意知三力平衡得，化簡得，
兩邊同平方得，即，
即，解得.
故答案為：.
【題型8 向量數量積與解三角形綜合】
【例8】（2024·江西·三模）已知鈍角的面積為，則的值是（ ）
A． B． C．或 D．或6
【解題思路】根據題設求得，依題分角為鈍角和角為鈍角兩種情況討論檢驗，利用向量數量積的定義即可分別求得.
【解答過程】依題意，，解得，
若角為鈍角，則，
由余弦定理，,符合題意，
此時，；
若角為鈍角，則，
由余弦定理，，
此時,即，符合題意，
此時.
故選：C.
【變式8-1】（2024·貴州畢節·三模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點D滿足，且，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【解題思路】由得，進而得到，再結合三角形的面積公式求解即可.
【解答過程】由得，，
故，即，得，
設的高為，可得，

由得，，故，
而，故，則，
故，化簡得，故A正確.
故選：A.
【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.已知
(1)若，判斷的形狀；
(2)若，求的最大值.
【解題思路】（1）利用平面向量數量積的定義和余弦定理化簡已知，可得解；
（2）根據（1）可得，利用正弦定理邊化角，再借助三角函數恒等變形可得，最后利用基本不等式求最值.
【解答過程】（1）根據題意，，
即，
所以，
化簡得，
當時，得，即為直角三角形；
（2）當時，根據（1），有，
根據正弦定理，有，
即，
根據和差化積公式，得，
即，化簡得，
所以，
設則
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
即當時，取最大值為.
【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，兩射線、均與直線l垂直，垂足分別為D、E且.點A在直線l上，點B、C在射線上.
(1)若F為線段BC的中點（未畫出），求的最小值；
(2)若為等邊三角形，求面積的范圍.
【解題思路】（1）建立坐標系，利用向量坐標運算結合二次函數的性質得到所求最小值；
（2）設正三角形的邊長為，設，則，
則,，利用向量的投影向量關系在上的投影向量為,在上的投影向量為, 得到、的關系，利用三角函數公式化簡，利用三角函數的性質求得正三角形的面積的取值范圍.
【解答過程】（1）以為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系,

由已知可得點的坐標為，設,
則，
∴，
當且僅當時，取得最小值；
（2）設正三角形的邊長為，
對于直線l上任意一點A，對于不同的情況如圖所示：



設，則，則,，
在上的投影向量為,在上的投影向量為,
,
∴，∴，
又∵，∴，∴,
面積的取值范圍是.
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知向量，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【解題思路】對兩邊平方化簡可得，再對平方化簡后再開方即可.
【解答過程】由兩邊平方得，，
所以，
所以 ，
所以，
故選：D.
2．（2024·江西吉安·模擬預測）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題設可得，根據向量垂直的坐標運算可求.
【解答過程】兩邊平方得，所以，解得.
故選:D.
3．（2024·遼寧·模擬預測）若，是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A．0 B．2 C． D．
【解題思路】由數量積的定義可求出，再由向量垂直的性質求解即可得出答案.
【解答過程】解：，是夾角為的兩個單位向量，
則，，
因為與垂直，
則，
即，解得.
故選：A.
4．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將兩邊平方求出，然后由投影向量公式可得.
【解答過程】因為，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故選：C.
5．（2024·陜西安康·模擬預測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件，將兩邊同時平方，即可求解.
【解答過程】設向量夾角為，
兩邊平方得則，
又，
即，解得.
故選：A.
6．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知向量，則以下說法正確的是（ ）
A． B．方向上的單位向量為
C．向量在向量上的投影為 D．若，則
【解題思路】由條件根據向量線性運算坐標公式求，再由向量的模的坐標表示計算，判斷A，根據定義單位向量定義和向量的線性運算坐標公式求方向上的單位向量，判斷B，根據向量的投影的定義求向量在向量上的投影，判斷C，根據向量垂直的坐標表示，判斷D.
【解答過程】對于A：由可得，，所以，A錯誤；
對于B：因為，所以，
所以方向上的單位向量為，B錯誤；
對于C, 向量在向量上的投影為，C錯誤；
對于D：，所以，D正確.
故選：D.
7．（2024·四川綿陽·模擬預測）某公園設計的一個圓形健身區域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構造三個正方形區域用于放置健身器材，其中每個正方形有兩個頂點恰好在圓上．若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立平面直角坐標系，利用坐標法計算數量積.
【解答過程】如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，，，
又，所以，則，
所以，，
所以.
故選：C.
8．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立直角坐標系，利用向量的坐標運算即可結合三角函數的性質求解.
【解答過程】以O為坐標原點（是中點），建立如圖所示的直角坐標系，
因為在矩形中，，，，，
所以動點在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，故設，
則,
，
其中銳角滿足，故的最大值為,
故選：A.
二、多選題
9．（2024·山東·模擬預測）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
【解題思路】利用向量的坐標運算即可，其中在上的投影向量公式為.
【解答過程】對于A，由向量，，則，故A是錯誤的；
對于B，由向量的夾角公式得：，所以與的夾角為，故B是錯誤的；
對于C，由，所以，即，故C是正確的；
對于D，由，則在上的投影向量為：
，故D是正確的；
故選：CD.
10．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知非零向量，，對任意，恒有，則（ ）
A．在上的投影的數量為1 B．
C． D．
【解題思路】根據數量積的運算律求得，再根據數量積的運算，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【解答過程】由可得，
又，令則上式等價于，對任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
對A：由，且，故，即在上的投影的數量為1，故A正確；
對B：，，
，即，故B正確；
對C：，不確定其結果，故不一定成立，故C錯誤；
對D：，故，D正確；
故選：ABD.
11．（2024·河北保定·一模）已知為所在平面內一點，則下列正確的是（ ）
A．若，則點在的中位線上
B．若，則為的重心
C．若，則為銳角三角形
D．若，則與的面積比為
【解題思路】設中點為，中點為，由可得，可知A正確；
設中點為，由得，對應重心的性質可知B正確；
由知為銳角，但無法確定，知C錯誤；
根據平面向量基本定理可知，將面積比轉化為，知D正確.
【解答過程】對于A，設中點為，中點為，
，，
，即，三點共線，
又為的中位線，點在的中位線上，A正確；
對于B，設中點為，由得：，
又，，在中線上，且，
為的重心，B正確；
對于C，，與夾角為銳角，即為銳角，但此時有可能是直角或鈍角，故無法說明為銳角三角形，C錯誤；
對于D，，為線段上靠近的三等分點，即，
，D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預測）已知向量，，且，則 或 .
【解題思路】依題意，根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可.
【解答過程】因為，，且，
所以，解得或.
故答案為：或.
13．（2024·上海·模擬預測）已知向量，，滿足，，且，則
．
【解題思路】根據已知條件依次求出、、，接著求出、和即可結合向量夾角余弦公式求解.
【解答過程】由題，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案為：.
14．（2024·天津河西·二模）如圖，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，則向量在向量上的投影向量的模為 ；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且，則的最小值為 .
【解題思路】根據題意，建立平面直角坐標系，利用坐標法求解投影向量的模；再設，，，進而根據題意得，再根據坐標運算得，進而結合基本不等式求解即可.
【解答過程】根據題意，如圖，建立平面直角坐標系，
因為，
所以，
所以，，
所以，向量在向量上的投影向量為，
故其模為.
因為，分別為線段，上的動點，
所以，設，，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：；.
四、解答題
15．（2024·天津河北·模擬預測）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求向量與的夾角的余弦值．
【解題思路】（1）根據向量垂直的坐標表示求，再代入模的公式，即可求解；
（2）首先根據兩向量平行求，再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.
【解答過程】（1）由，得，解得，
，則．
（2）由題意，
又，，解得，
則，，，
，
即向量與的夾角的余弦值為．
16．（23-24高一下·北京東城·期中）已知向量的夾角為，且，求：
(1);
(2);
(3)與夾角的余弦值.
【解題思路】（1）根據數量積的定義求解；
（2）待求表達式平方后，結合（1）的結果求解；
（3）結合（1）（2）的結果，運用夾角公式求解.
【解答過程】（1）根據數量積的定義，.
（2），
故
（3）由（1）（2）的結果，，
則.
17．（2024·湖南邵陽·一模）在中，內角滿足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
【解題思路】（1）根據輔助角公式求解；
（2）根據向量的加法法則將轉化為，然后結合換元法和基本不等式求解；
【解答過程】（1）由已知
.
.
（2）
.
又，
.
令，
.
當且僅當取等號.
的最大值為.
18．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，已知向量滿足，，且．
(1)求角；
(2)若是銳角三角形，且，求周長的取值范圍．
【解題思路】（1）由，得到，再利用正弦定理求解；
（2）根據和，利用正弦定理得到外接圓的半徑，然后由求解.
【解答過程】（1）解：∵，
∴，即.
由正弦定理得.
∵，∴，
∵，∴或.
（2）∵，且三角形為銳角三角形，
∴.
∴由正弦定理得.
∴，.
∴，
，
.
又∵為銳角三角形，∴，
∴，得，.
∴，，
∴，又∵，
∴.
∴的周長的取值范圍為.
19．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在直角梯形中，，，，點是邊上的中點.
(1)若點滿足，且，求的值；
(2)若點是線段上的動點（含端點），求的取值范圍.
【解題思路】（1）利用向量的加減運算法則，以為基底表示出得出的取值可得結論；
（2）法1：建立平面直角坐標系利用數量積的坐標表示即可得出的取值范圍；
法2：利用極化恒等式得出，即可得出結果.
【解答過程】（1）如下圖所示：
由可得，
所以，
又，可得
所以；
（2）法1：以點為坐標原點，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標系，
則，則，
由點是線段上的動點（含端點），可令，
所以，則，
所以，
由二次函數性質可得當時取得最小值；
當時取得最大值；
可得
法2：取中點，作垂足為，如下圖所示：
則
顯然當點位于點時，取到最大值3，當點位于點時，取到最小值，
可得.
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