資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題9.2 用樣本估計(jì)總體【六大題型】
【新高考專(zhuān)用】
【題型1 百分位數(shù)的求解】 3
【題型2 樣本的數(shù)字特征的估計(jì)】 4
【題型3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)】 6
【題型4 總體離散程度的估計(jì)】 9
【題型5 分層方差問(wèn)題】 13
【題型6 其他統(tǒng)計(jì)圖表中反映的集中趨勢(shì)與離散程度】 15
1、用樣本估計(jì)總體
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù) (2)能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度 2022年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第2題，5分 2023年新高考I卷：第9題，5分 2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)、理數(shù)）：第17題，10分 從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)用樣本估計(jì)總體的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等知識(shí)，難度不大；在解答題中出現(xiàn)時(shí)，一般會(huì)與其他知識(shí)結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，需要靈活求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 用樣本估計(jì)總體】
1．總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)
值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
(2)求解步驟
可以通過(guò)下面的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i=n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2．頻率分布直方圖的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來(lái)表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖
中，最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.
3．總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度
刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).具體概念回顧如下：
名稱(chēng) 概念
平 均 數(shù) 如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.
中 位 數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
眾 數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
4．總體離散程度的估計(jì)
(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的
方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫(xiě)成的形式.
我們對(duì)方差開(kāi)平方，取它的算數(shù)平方根，稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
(2)總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差
①一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=
.
②加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kN)個(gè)，不妨記為，，，，其中出
現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.
總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=.
(3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義
①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
②在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
③標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性，則
標(biāo)準(zhǔn)差為0.反之，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.
5．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點(diǎn)近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.
2．?dāng)?shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變.
3．若x1,x2,…,xn的方差為s2，那么的方差為a2s2.
【題型1 百分位數(shù)的求解】
【例1】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）樣本數(shù)據(jù)16，20，24，21，22，18，14，28的分位數(shù)為（ ）
A．16 B．17 C．23 D．24
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．
【解答過(guò)程】解：樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為，共8個(gè)數(shù)據(jù)，
，所以分位數(shù)為．
故選：C．
【變式1-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．86 B．87 C．88 D．90
【解題思路】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.
【解答過(guò)程】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，
因?yàn)椋?br/>所以第75百分位數(shù)是．
故選：B．
【變式1-2】（2024·黑龍江大慶·三模）小明希望自己的高考數(shù)學(xué)成績(jī)能超過(guò)120分，為了激勵(lì)自己，他記錄了近8次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，并繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖，如圖，這8次成績(jī)的第80百分位數(shù)是（ ）
A．100 B．105 C．110 D．120
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)定義求解即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋蓤D可知8次成績(jī)由小到大排序，
第7個(gè)位置的數(shù)是110，所以這8次成績(jī)的第80百分位數(shù)是110.
故選：C.
【變式1-3】（2024·福建泉州·一模）海上絲綢之路的起點(diǎn)城市一泉州，有著豐厚的文化底蘊(yùn)，作為國(guó)家級(jí)非遺的蟳埔女簪花圍習(xí)俗，是福建博大精深的海洋文化“百花園”中的一朵香花．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了18位“簪花圍”體驗(yàn)者對(duì)這一活動(dòng)的滿意度評(píng)分情況，得到如下數(shù)據(jù)：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)，則a的值不可能為（ ）
A．71 B．72 C．73 D．74
【解題思路】首先可得這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即可得到的取值范圍，即可判斷.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，
依題意可得，所以不可能為.
故選：D.
【題型2 樣本的數(shù)字特征的估計(jì)】
【例2】（2024·浙江紹興·三模）已知實(shí)數(shù)，若，且這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3，則這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（ ）
A． B．3 C． D．4
【解題思路】借助中位數(shù)與平均數(shù)定義結(jié)合題目所給條件計(jì)算即可得.
【解答過(guò)程】由題意可得，即，
則.
故選：D.
【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）一組數(shù)據(jù)12，12，13，14，15，16，17的中位數(shù)是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解題思路】由中位數(shù)的定義求解．
【解答過(guò)程】一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，
它的中位數(shù)為：14，
故選：A.
【變式2-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知甲、乙兩支籃球隊(duì)各6名隊(duì)員某場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）從小到大排列如下：甲隊(duì)：；乙隊(duì)：.這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】利用中位數(shù)與平均數(shù)的求法計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】由得分?jǐn)?shù)據(jù)知：甲乙兩隊(duì)的中位數(shù)為；
甲乙兩隊(duì)的總得分相等，
為，
所以.
故選：A.
【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月4日，在杭州亞運(yùn)會(huì)跳水男子10米臺(tái)決賽中，中國(guó)選手楊昊奪得金牌．中國(guó)跳水隊(duì)包攬杭州亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目全部10枚金牌．跳水比賽的評(píng)分規(guī)則如下，7位裁判同時(shí)給分，去掉兩個(gè)最高分，去掉兩個(gè)最低分，剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)求和再乘以難度系數(shù)，就是該選手本輪的得分，下表就是楊昊比賽中的第一輪得分表，則（ ）
1號(hào) 裁判 2號(hào) 裁判 3號(hào) 裁判 4號(hào) 裁判 5號(hào) 裁判 6號(hào) 裁判 7號(hào) 裁判 難度 系數(shù) 本輪 得分
a 9.5 9.0 10.0 9.5 10.0 10.0 3.2 92.80
A．這7個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)只能是10.0
B．這7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是9.0
C．a(chǎn)可能是10.0
D．a(chǎn)可能是9.5
【解題思路】根據(jù)評(píng)分規(guī)則，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，由題意可知：，符合題意，此時(shí)眾數(shù)為10或（此時(shí)），中位數(shù)為9.5，因此選項(xiàng)AB不正確，D正確；
當(dāng)時(shí)，由題意可知：，舍去，因此選項(xiàng)C不正確，
故選：D.
【題型3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)】
【例3】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨 知史愛(ài)國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史 育新人”的黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值為0.005
B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分
C．估計(jì)成績(jī)低于60分的有250人
D．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分
【解題思路】對(duì)A，根據(jù)頻率和為1求解即可；對(duì)B，根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)判斷即可；對(duì)C，計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，進(jìn)而可得人數(shù)；對(duì)D，根據(jù)成績(jī)低于中位數(shù)的頻率為0.5計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】對(duì)A，由題意，，解得，故A正確；
對(duì)B，由直方圖可得估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為分，故B正確；
對(duì)C，由直方圖可得成績(jī)低于60分的頻率為，故估計(jì)成績(jī)低于60分的有人，故C正確；
對(duì)D，由A可得區(qū)間的頻率分別為，
因?yàn)椋手形粩?shù)位于內(nèi).
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
【變式3-1】（2024·陜西西安·二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天
B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3
C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)
D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等
【解題思路】直接根據(jù)直方圖來(lái)計(jì)算判斷每一個(gè)選項(xiàng).
【解答過(guò)程】對(duì)于A：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有天，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C： ，C正確；
對(duì)于D：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為，
則，解得，D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式3-2】（2024·四川德陽(yáng)·二模）某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個(gè)性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問(wèn)名學(xué)生，并對(duì)這名學(xué)生的個(gè)性化作業(yè)進(jìn)行評(píng)分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績(jī)分成，，六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為30人．
(1)求的值；
(2)估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）和中位數(shù)．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）由題意可得，，
，
解得.
（2）平均數(shù)為.
因?yàn)椋?br/>所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，
則，解得.
【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）為了解甲、乙兩種農(nóng)藥在某種綠植表面的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將100株同種綠植隨機(jī)分成兩組，每組50株，其中組綠植噴甲農(nóng)藥，組綠植噴乙農(nóng)藥，每株綠植所噴的農(nóng)藥體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在綠植表面的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：
記為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為0.70．
(1)求乙農(nóng)藥殘留百分比直方圖中的值；
(2)估計(jì)甲農(nóng)藥殘留百分比的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(3)估計(jì)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)．（保留2位小數(shù)）
【解題思路】（1）由的估計(jì)值為0.70，可得，求得值，再由整體頻率為即可求得；
（2）根據(jù)平均數(shù)的定義，取組區(qū)間的中點(diǎn)值進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）中位數(shù)在使得直方圖面積為處取得，經(jīng)計(jì)算即可得解.
【解答過(guò)程】（1）為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，
根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為0.70．
則由頻率分布直方圖得：,解得,
所以乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比直方圖中．
（2）估計(jì)甲農(nóng)藥殘留百分比的平均數(shù)為：
．
（3）設(shè)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)為，則
,解得，
所以估計(jì)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)約為.
【題型4 總體離散程度的估計(jì)】
【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均值是1，且的平均值是3，則數(shù)據(jù)的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據(jù)已知條件結(jié)合方差公式直接求解即可.
【解答過(guò)程】由題意得，
所以數(shù)據(jù)的方差
.
故選：B.
【變式4-1】（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)模考中，從甲 乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī)，甲班的十個(gè)人成績(jī)分別為，乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同 方差也相同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后（ ）
A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大
B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大
C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小
D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小
【解題思路】不妨設(shè)，表達(dá)出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到或，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者，中位數(shù)不變，再設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，根據(jù)公式得到合并后平均數(shù)為，方差為，，得到結(jié)論.
【解答過(guò)程】不妨設(shè)，
則的中位數(shù)為，的中位數(shù)為，
因?yàn)椋曰颍?br/>則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者，所以中位數(shù)不變.
設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，
合并后總數(shù)為20，平均數(shù)為，方差為，
如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.
故選：A.
【變式4-2】（2024·寧夏銀川·一模）濱海鹽堿地是我國(guó)鹽堿地的主要類(lèi)型之一，如何利用更有效的方法改造這些寶貴的土地資源，成為擺在我們面前的世界級(jí)難題．對(duì)鹽堿的治理方法，研究人員在長(zhǎng)期的實(shí)踐中獲得了兩種成本差異不大，且能降低濱海鹽堿地30-60cm土壤層可溶性鹽含量的技術(shù)，為了對(duì)比兩種技術(shù)治理鹽堿的效果，科研人員在同一區(qū)域采集了12個(gè)土壤樣本，平均分成兩組，測(cè)得組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)，方差，B組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)，方差．用技術(shù)1對(duì)組土壤進(jìn)行可溶性鹽改良試驗(yàn)，用技術(shù)2對(duì)組土壤進(jìn)行可溶性鹽改良試驗(yàn)，分別獲得改良后土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)如下：
組 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
組 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51
改良后組、組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)分別為和，樣本方差分別記為和
(1)求；
(2)應(yīng)用技術(shù)1與技術(shù)2土壤可溶性鹽改良試驗(yàn)后，土壤可溶性鹽含量是否有顯著降低？（若，則認(rèn)為技術(shù)能顯著降低土壤可溶性鹽含量，否則不認(rèn)為有顯著降低）．
【解題思路】（1）借助平均數(shù)與方差公式計(jì)算即可得；
（2）計(jì)算出、、與即可得.
【解答過(guò)程】（1）， ，
， .
（2）當(dāng)時(shí)，，，
，
，
應(yīng)用技術(shù)1后，土壤可溶性鹽含量沒(méi)有顯著降低，
當(dāng)時(shí)，，，
，
，
應(yīng)用技術(shù)2后，土壤可溶性鹽含量顯著降低．
【變式4-3】（2024·陜西西安·一模）近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：
成績(jī)
高一學(xué)生人數(shù) 15 5 15 15
高二學(xué)生人數(shù) 10 10 20 10
試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：
(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？
(2)校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：
方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生10元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生25元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生35元食堂代金券；
方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)30元食堂代金券．
若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？
【解題思路】（1）分別運(yùn)用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式計(jì)算，得出平均數(shù)相同，高一年級(jí)成績(jī)的方差低于高二年級(jí)，故得結(jié)論；
（2）分別按照方案一和方案二計(jì)算兩個(gè)年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)額，進(jìn)行比較后確定方案二.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)高一年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.高二年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.
則，
，
因 ，故高一年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)比較穩(wěn)定集中，成績(jī)更好；
（2）按照方案一，高一年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，
而高二年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，
即按照方案一，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)少于高二；
按照方案二，依題意，所抽取的100名參加競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)中位數(shù)為，
則樣本中，高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元；
高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高二年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元.
因，即按照方案二，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)多于高二.
故若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇方案二.
【題型5 分層方差問(wèn)題】
【例5】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高三年級(jí)男生共有個(gè)，女生共有個(gè)，為調(diào)查該年級(jí)學(xué)生的年齡情況，通過(guò)分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為和，已知，則該校高三年級(jí)全體學(xué)生年齡的方差為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的方差公式可得答案
【解答過(guò)程】學(xué)校高三年級(jí)男生共有個(gè)，所占比例為，女生個(gè)，所占比例為，
故該校高三年級(jí)全體學(xué)生的年齡方差為：，
當(dāng)時(shí)，，，
故選：C.
【變式5-1】（2024·浙江·三模）在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，結(jié)合方差的公式，分析選項(xiàng)，即可求解.
【解答過(guò)程】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，
則，
，
結(jié)合選項(xiàng)，可得A項(xiàng)不符合.
故選：A.
【變式5-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，求出該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)，再利用分層抽樣方差的計(jì)算方法求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：（小時(shí)），
該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：.
故選：D.
【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知總體劃分為3層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本容量分別為，，，樣本平均數(shù)分別為，，，樣本方差分別為，，，若，則（ ）
A．
B．
C．總體樣本平均數(shù)
D．當(dāng)時(shí)，總體方差
【解題思路】根據(jù)樣本平均數(shù)以及方差的定義，即可判斷A、B項(xiàng)；計(jì)算可判斷C；根據(jù)分層抽樣，總體方差的求解，計(jì)算即可得出D.
【解答過(guò)程】對(duì)于A、B項(xiàng)，由于樣本容量與樣本平均數(shù)、樣本方差之間并不是成某種比例關(guān)系，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)，
則總體樣本平均數(shù) ，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，總體樣本平均數(shù)，
所以總體方差 ，所以選項(xiàng)D正確.
故選：D．
【題型6 其他統(tǒng)計(jì)圖表中反映的集中趨勢(shì)與離散程度】
【例6】（23-24高一下·河南信陽(yáng)·期中）樹(shù)人中學(xué)男女學(xué)生比例約為，某數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)為了解該校學(xué)生課外體育鍛煉情況（鍛煉時(shí)間長(zhǎng)短（單位：小時(shí)）），采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生人，女生人進(jìn)行調(diào)查.記男生樣本為，樣本平均數(shù)、方差分別為；女生樣本為，樣本平均數(shù)、方差分別為；總樣本平均數(shù)、方差分別為.
(1)該興趣社團(tuán)通過(guò)分析給出以上兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，假設(shè)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，根據(jù)兩圖信息分別估計(jì)男生樣本、女生樣本的平均數(shù)；
(2)已知男生樣本方差，女生樣本方差，請(qǐng)結(jié)合（2）問(wèn)的結(jié)果計(jì)算總樣本方差的估計(jì)值.
【解題思路】（1）利用各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，由頻率分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)平均數(shù)的方法可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算平均數(shù)和方差的方法直接求解即可.
【解答過(guò)程】（1）每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值；
由頻率分布直方圖估計(jì)男生樣本課外體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù) ；
由扇形圖估計(jì)女生樣本課外體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù) .
（2）采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，；
估計(jì)樹(shù)人中學(xué)學(xué)生課外運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)，
.
【變式6-1】（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，分別從兩廠隨機(jī)選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度（單位：）記錄下來(lái)并繪制出折線圖：
(1)分別計(jì)算甲、乙兩廠提供10個(gè)輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在內(nèi)，則稱(chēng)這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動(dòng)情況，判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)廠的輪胎相對(duì)更好
【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法可直接求得結(jié)果；
（2）確定甲、乙兩廠生產(chǎn)的輪胎中標(biāo)準(zhǔn)輪胎的寬度數(shù)據(jù)，由此可計(jì)算得到平均數(shù)和方差，對(duì)比數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.
【解答過(guò)程】（1）記甲廠提供的個(gè)輪胎寬度的平均值為，乙廠提供的個(gè)輪胎寬度的平均值為，
，.
（2）甲廠個(gè)輪胎寬度在內(nèi)的數(shù)據(jù)為，
則平均數(shù)為，
所以方差；
乙廠個(gè)輪胎寬度在內(nèi)的數(shù)據(jù)為，
則平均數(shù)為，
所以方差；
因?yàn)榧住⒁覂蓮S生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均值一樣，但乙廠的方差更小，
所有乙廠的輪胎相對(duì)更好.
【變式6-2】（23-24高一下·湖北武漢·期末）近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷(xiāo)形式．某直播平臺(tái)1200個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖所示．

(1)該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，打算隨機(jī)抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流．如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類(lèi)、生鮮類(lèi)商家各多少家？
(2)在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)（1）中抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問(wèn)題：
①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)430元的商家評(píng)為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．
【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；
②根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來(lái)估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.
【解答過(guò)程】（1），，
所以應(yīng)抽取小吃類(lèi)家，生鮮類(lèi)家；
（2）①根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)椋?br/>所以，解得，
平均數(shù)為：
，
所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.
②,
所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為.
【變式6-3】（2024·河南信陽(yáng)·三模）信陽(yáng)市旅游部門(mén)為了促進(jìn)信陽(yáng)生態(tài)特色城鎮(zhèn)和新農(nóng)村建設(shè)，將甲、乙，丙三家民宿的相關(guān)資料放到某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行推廣宣傳.該平臺(tái)邀請(qǐng)部分曾在這三家民宿體驗(yàn)過(guò)的游客參與調(diào)查，得到了這三家民宿的“綜合滿意度”評(píng)分，評(píng)分越高表明游客體驗(yàn)越好，現(xiàn)從這三家民宿“綜合滿意度”的評(píng)分中各隨機(jī)抽取10個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，并對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.
a.甲、乙兩家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的折線圖：
b.丙家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：
2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1
c.甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的平均數(shù)、中位數(shù)：
甲 乙 丙
平均數(shù) 4.5 4.2
中位數(shù) 4.5 4.7
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
(1)表中的值是______，的值是______；
(2)設(shè)甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的方差分別為、、，試比較其大小.
(3)根據(jù)“綜合滿意度”的評(píng)分情況，該平臺(tái)打算將甲、乙、丙三家民宿中的一家置頂推薦，你認(rèn)為該平臺(tái)會(huì)將這三家民宿中的哪家置頂推薦？說(shuō)明理由（至少?gòu)膬蓚€(gè)方面說(shuō)明）.
【解題思路】（1）利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義計(jì)算出和；
（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖和丙的數(shù)據(jù)，分析出數(shù)據(jù)波動(dòng)的情況，從而比較出方差得大小；
（3）從平均數(shù)，中位數(shù)，方差等方面分析得到結(jié)論，答案不唯一.
【解答過(guò)程】（1）甲家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，
∴，
丙家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，
從小到大排列為：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.
∴中位數(shù)，
（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可知，
乙的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)在4分與5分之間波動(dòng)，甲的數(shù)據(jù)在3.2分和5分之間波動(dòng)，
根據(jù)丙的數(shù)據(jù)可以在2.6至5分之間波動(dòng)，
∴；
（3）推薦乙，理由：乙的方差最小，數(shù)據(jù)穩(wěn)定，平均分比丙高，
答案不唯一，合理即可.
一、單選題
1．（2024·江西·一模）從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A．16 B．30 C．32 D．51
【解題思路】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.
【解答過(guò)程】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，
因?yàn)椋@11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32.
故選：C.
2．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）已知甲組數(shù)據(jù)：1，3，5，7，9，11，乙組數(shù)據(jù)：2，4，8，16，根據(jù)不同組別，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本，則該樣本的平均數(shù)不可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【解題思路】先根據(jù)分層抽樣算出甲乙兩組數(shù)據(jù)抽到的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，列出表格，在結(jié)合平均數(shù)公式計(jì)算得出答案；
【解答過(guò)程】根據(jù)分層抽樣可知甲組數(shù)據(jù)抽取3個(gè)數(shù)據(jù)，乙組數(shù)據(jù)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，具體情況如下表：
甲組抽樣 乙組抽樣 平均數(shù)
3，5，7 2，8 5
5，7，11 4，8 7
5，7，9 8，16 9
平均數(shù)為11時(shí)，需5個(gè)樣本數(shù)字之和為55，而樣本之和最大值為．
故選：D．
3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）為了解高中學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間,某市教育部門(mén)隨機(jī)抽取高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,把每天進(jìn)行體育活動(dòng)的時(shí)間按照時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）分成組:,,,,,.然后對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則可估計(jì)這名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第百分位數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)第百分位數(shù)的概念，知道它在第二組里.運(yùn)用概率之和為，構(gòu)造方程，解出即可.
【解答過(guò)程】第百分位數(shù)設(shè)為，而，則所求百分位數(shù)在第二組，
則可列方程解得.
故選:A.
4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱(chēng)形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（ ）
A．圖（1）的平均數(shù)＝中位數(shù)＞眾數(shù) B．圖（2）的眾數(shù)＜中位數(shù)＜平均數(shù)
C．圖（2）的平均數(shù)＜眾數(shù)＜中位數(shù) D．圖（3）的中位數(shù)＜平均數(shù)＜眾數(shù)
【解題思路】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.
【解答過(guò)程】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱(chēng)的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A錯(cuò)誤；
圖（2）頻率直方圖可得，單峰不對(duì)稱(chēng)且“右拖尾”，最高峰偏左，眾數(shù)最小，
平均數(shù)易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯(cuò)誤；
同理圖（3）“左拖尾”，眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知有4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的新方差為（ ）
A． B． C．6 D．10
【解題思路】設(shè)原來(lái)的 4 個(gè)數(shù)依次為 , , , , 再利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式結(jié)合整體法即可.
【解答過(guò)程】設(shè)原來(lái)的4個(gè)數(shù)依次為，，，，
原來(lái)4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，
，
，
，
，
現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
，
則這6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為:
.
故選：C.
6．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（　　）

A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意求中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，對(duì)比即可得結(jié)果.
【解答過(guò)程】30個(gè)數(shù)中第15個(gè)數(shù)是5，第16個(gè)數(shù)是6，所以中位數(shù)，
由題意可知：眾數(shù)，
平均值＝.
所以.
故選：D.
7．（2024·江西·二模）從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；乙隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.4，則這10人答對(duì)題目的方差為（ ）
A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82
【解題思路】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊(duì)中抽取人，
從乙隊(duì)中抽取人，
這人答對(duì)題目的平均數(shù)為，
所以這人答對(duì)題目的方差為.
故選：D.
8．（2024·山東·二模）甲乙兩名歌手參加選拔賽，5位評(píng)委評(píng)分情況如下：甲：；乙：，記甲、乙兩人的平均得分分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A．，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 B．，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定
C．，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 D．，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定
【解題思路】由平均數(shù)和方差公式求出，，，即可得出答案.
【解答過(guò)程】；
；
，
所以，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·河北保定·三模）若一組數(shù)據(jù)14，17，11，9，12，15，，8，10，7的第65百分位數(shù)為12，則的值可能為（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
【解題思路】根據(jù)題意先將數(shù)據(jù)排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義分析求解.
【解答過(guò)程】將這組數(shù)據(jù)除去后，按從小到大的順序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17.
因?yàn)椋?
故選：AB.
10．（2024·廣東茂名·一模）中秋節(jié)起源于上古時(shí)代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動(dòng)，以月之圓兆人之團(tuán)圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產(chǎn).某校舉行與中秋節(jié)相關(guān)的“中國(guó)傳統(tǒng)文化”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽查了100人的成績(jī)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本的眾數(shù)為75
B．樣本的分位數(shù)為75
C．樣本的平均值為68.5
D．該校學(xué)生中得分低于60分的約占
【解題思路】由圖求得的值，再根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【解答過(guò)程】依題意，，解得，
選項(xiàng)A，最高小矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為75，眾數(shù)是75，故A正確.
選項(xiàng)B，設(shè)樣本的分位數(shù)為，又，
，解得，故B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C，平均數(shù)為，故C正確.
選項(xiàng)D，樣本中得分低于60分的占，
該校學(xué)生中得分低于60分的約占，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．（2024·重慶九龍坡·三模）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)，的平均數(shù)為6
B．?dāng)?shù)據(jù)，的方差為9
C．?dāng)?shù)據(jù)的方差為1
D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為5
【解題思路】對(duì)于AB：根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)分析求解；對(duì)于CD：根據(jù)平均數(shù)、方差公式運(yùn)算求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為1，
對(duì)于選項(xiàng)A：所以數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：數(shù)據(jù)，的方差為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br/>則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以方差為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由，，
得，可得，
所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D正確；
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是 6 .
【解題思路】先依據(jù)題意列等量關(guān)系式求出m，再依據(jù)百分位數(shù)的定義以及求解步驟直接求解即可得解.
【解答過(guò)程】由題該組數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，
所以，又，
所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是該組數(shù)據(jù)的第三位數(shù)為6.
故答案為：6.
13．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某小學(xué)對(duì)四年級(jí)的某個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測(cè)試的總體方差為 ．
【解題思路】先求出總體的平均數(shù)，在利用計(jì)算得解.
【解答過(guò)程】設(shè)全體同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為，方差為，
記，，，，，，
依題意有，
則
.
故答案為：.
14．（2024·廣西·二模）設(shè)實(shí)數(shù)x，，滿足1，3，4，x，y，的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)x，y，的方差為 ．
【解題思路】利用平均數(shù)與分位數(shù)相等，得，代入數(shù)據(jù)中得方差.
【解答過(guò)程】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，
∴ ，即，代入數(shù)據(jù)，
即為，此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
∴ 數(shù)據(jù)的方差為.
故答案：.
四、解答題
15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）中央廣播電視總臺(tái)《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行龘龘，欣欣家國(guó)”為主題，創(chuàng)新“思想藝術(shù)技術(shù)”融合傳播，與全球華人相約除夕，共享一臺(tái)精彩紛呈、情真意切、熱氣騰騰的文化盛宴.2023年12月2日，中央廣播電視總臺(tái)發(fā)布了甲辰龍年春晚的主標(biāo)識(shí)——龘．為了解大家對(duì)這一標(biāo)識(shí)的看法，某網(wǎng)站進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)調(diào)研，并將參與調(diào)查的網(wǎng)友對(duì)這一標(biāo)識(shí)的打分情況（分?jǐn)?shù)在50分到100分之間）繪制成頻率分布直方圖如下：

(1)求網(wǎng)友打分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）、中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；
(2)設(shè)網(wǎng)友打分的平均值為，若按打分是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分層抽樣，抽取10人進(jìn)行深度調(diào)研，打分在區(qū)間內(nèi)的至少抽取8人，試估計(jì)的最小值（保留兩位小數(shù)）．
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)得求法依次計(jì)算即可求解；
（2）由（1）知，根據(jù)打分在區(qū)間內(nèi)的頻率不低于0.8分類(lèi)討論確定，進(jìn)而求解.
【解答過(guò)程】（1）網(wǎng)友打分的平均值為
．
分?jǐn)?shù)在的頻率，
分?jǐn)?shù)在的頻率，
設(shè)中位數(shù)為，則，
，得，
即中位數(shù)約為73.3．
（2）由（1）可知．
要使抽取的10人的打分在內(nèi)的人數(shù)不低于8人，
則打分在區(qū)間內(nèi)的頻率不低于0.8．
若，則 ，
頻率；
若，則 ，
頻率．
當(dāng)最小時(shí)，，
且，
解得，即的最小值約為13.95．
16．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和總體百分位數(shù)的定義直接求解即可.
（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，先求出對(duì)應(yīng)概率，即可求解體檢為“健康”的概率.
【解答過(guò)程】（1）解：（1）由于在的樣本數(shù)據(jù)比例為：
∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在內(nèi)∴估計(jì)為：.
（2）（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，
∴，，
設(shè)事件在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人體檢為“健康”
.
17．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：
成績(jī)
高一學(xué)生人數(shù)
高二學(xué)生人數(shù)
試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：
(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？
(2)校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：
方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生元食堂代金券；
方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)元食堂代金券．
若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得更多的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？
【解題思路】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表估計(jì)平均數(shù)和方差的方法分別計(jì)算出樣本的平均數(shù)和方差，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）計(jì)算出每個(gè)方案中本年級(jí)學(xué)生所獲獎(jiǎng)勵(lì)金額的平均數(shù)，從而確定結(jié)論.
【解答過(guò)程】（1）樣本中，高一學(xué)生競(jìng)賽平均成績(jī)?yōu)椋海?br/>方差；
樣本中，高二學(xué)生競(jìng)賽平均成績(jī)?yōu)椋海?br/>方差．
，，
樣本中平均成績(jī)一樣，但高二學(xué)生的成績(jī)更穩(wěn)定．
利用樣本估計(jì)總體的思想可以認(rèn)為，高二學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好．
（2）設(shè)選擇方案一時(shí)一位學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金為元，
則的可能取值為，其對(duì)應(yīng)的頻率分別為，
獲得獎(jiǎng)勵(lì)的平均數(shù)：（元）；
設(shè)選擇方案二時(shí)一位學(xué)生獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為元，則獲得獎(jiǎng)金的平均數(shù)：
（元）．
，從統(tǒng)計(jì)角度看，高一年級(jí)組長(zhǎng)應(yīng)該選擇方案一．
18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)中學(xué)生的近視率一直是社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)．某市疾控中心為調(diào)查該市高中生的視力狀況，從某高中3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生用五分記錄法統(tǒng)計(jì)了其裸眼視力，得到如圖1所示的頻率分布直方圖：
為改善學(xué)生的視力狀況，該校積極落實(shí)學(xué)生近視防控工作，建立視力監(jiān)測(cè)制度，幾年后，再次抽取100名學(xué)生，用五分記錄法統(tǒng)計(jì)其裸眼視力，得到如下頻數(shù)分布表：
裸眼視力
人數(shù) 5 20 60 15
(1)若裸眼視力位于為輕度近視，用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)近視防控工作開(kāi)展前全校患輕度近視的學(xué)生人數(shù)；
(2)在圖2中作出近視防控工作開(kāi)展后100名學(xué)生裸眼視力的頻率分布直方圖；
(3)估計(jì)近視防控工作開(kāi)展后該校學(xué)生裸眼視力比開(kāi)展前學(xué)生裸眼視力的平均值提高了多少（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖先得出裸眼視力在的頻率，再估計(jì)總體即可；
（2）計(jì)算各區(qū)間的頻率，直接作圖即可；
（3）分別求近視防控工作開(kāi)展前后學(xué)生裸眼視力的平均值，計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】（1）由頻率分布直方圖，得學(xué)生裸眼視力在的頻率為，
所以估計(jì)近視防控工作開(kāi)展前全校患輕度近視的學(xué)生人數(shù)為．
（2）近視防控工作開(kāi)展后學(xué)生裸眼視力在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，
故近視防控工作開(kāi)展后100名學(xué)生裸眼視力的頻率分布直方圖如下．
（3）記近視防控工作開(kāi)展前該校學(xué)生裸眼視力的平均值為，
．
記近視防控工作開(kāi)展后該校學(xué)生裸眼視力的平均值為，
則，
因?yàn)椋?br/>故近視防控工作開(kāi)展后該校學(xué)生裸眼視力比開(kāi)展前學(xué)生裸眼視力的平均值提高了0.29．
19．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）首屆中國(guó)航協(xié)航空大會(huì)的一個(gè)鮮明的特色是在各個(gè)展區(qū)中設(shè)置了多項(xiàng)互動(dòng)體驗(yàn)活動(dòng)，吸引了很多的中小學(xué)生，其中模擬飛行體驗(yàn)區(qū)是讓這些中小學(xué)生戴上VR眼鏡模擬從起飛到降落，大大激發(fā)了他們的興趣愛(ài)好.現(xiàn)從某個(gè)有互動(dòng)體驗(yàn)的展區(qū)中隨機(jī)抽取60名中小學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的參觀時(shí)間（從進(jìn)入該展區(qū)到離開(kāi)該展區(qū)的時(shí)長(zhǎng)，單位：分鐘，時(shí)間取整數(shù)），將時(shí)間分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差；（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(2)為對(duì)比展區(qū)是否有體驗(yàn)區(qū)對(duì)中小學(xué)生的吸引程度，某工作人員給出了一份該展區(qū)中沒(méi)有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)間的隨機(jī)數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到該組數(shù)據(jù)參觀時(shí)長(zhǎng)平均值為65分鐘，方差為，試判斷有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)長(zhǎng)均值比沒(méi)有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)長(zhǎng)均值是否有顯著提高？（如果，則認(rèn)為有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）
(3)利用（2）中的結(jié)果，你認(rèn)為展區(qū)是否應(yīng)該設(shè)置互動(dòng)體驗(yàn)展區(qū)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)和方差公式計(jì)算；
（2）應(yīng)用公式計(jì)算判斷即可；
（3）根據(jù)結(jié)果判斷是否設(shè)置互動(dòng)體驗(yàn)展區(qū)即可.
【解答過(guò)程】（1）由題得，
所以樣本的方差為
（2）由題得，
所以，
所以有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)長(zhǎng)均值比沒(méi)有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)長(zhǎng)均值有顯著提高.
（3）從（2）中可知展區(qū)應(yīng)該設(shè)置互動(dòng)體驗(yàn)展區(qū)，這樣可以吸引更多的參觀者進(jìn)行觀看與體驗(yàn)，使他們能更多地了解產(chǎn)品，并能更大程度地激發(fā)中小學(xué)生的興趣愛(ài)好.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題9.2 用樣本估計(jì)總體【六大題型】
【新高考專(zhuān)用】
【題型1 百分位數(shù)的求解】 3
【題型2 樣本的數(shù)字特征的估計(jì)】 4
【題型3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)】 5
【題型4 總體離散程度的估計(jì)】 7
【題型5 分層方差問(wèn)題】 8
【題型6 其他統(tǒng)計(jì)圖表中反映的集中趨勢(shì)與離散程度】 9
1、用樣本估計(jì)總體
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù) (2)能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度 2022年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第2題，5分 2023年新高考I卷：第9題，5分 2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)、理數(shù)）：第17題，10分 從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)用樣本估計(jì)總體的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等知識(shí)，難度不大；在解答題中出現(xiàn)時(shí)，一般會(huì)與其他知識(shí)結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，需要靈活求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 用樣本估計(jì)總體】
1．總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)
值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
(2)求解步驟
可以通過(guò)下面的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i=n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2．頻率分布直方圖的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來(lái)表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖
中，最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.
3．總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度
刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).具體概念回顧如下：
名稱(chēng) 概念
平 均 數(shù) 如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.
中 位 數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
眾 數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
4．總體離散程度的估計(jì)
(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的
方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫(xiě)成的形式.
我們對(duì)方差開(kāi)平方，取它的算數(shù)平方根，稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
(2)總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差
①一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=
.
②加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kN)個(gè)，不妨記為，，，，其中出
現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.
總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=.
(3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義
①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
②在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
③標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性，則
標(biāo)準(zhǔn)差為0.反之，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.
5．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點(diǎn)近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.
2．?dāng)?shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變.
3．若x1,x2,…,xn的方差為s2，那么的方差為a2s2.
【題型1 百分位數(shù)的求解】
【例1】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）樣本數(shù)據(jù)16，20，24，21，22，18，14，28的分位數(shù)為（ ）
A．16 B．17 C．23 D．24
【變式1-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．86 B．87 C．88 D．90
【變式1-2】（2024·黑龍江大慶·三模）小明希望自己的高考數(shù)學(xué)成績(jī)能超過(guò)120分，為了激勵(lì)自己，他記錄了近8次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，并繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖，如圖，這8次成績(jī)的第80百分位數(shù)是（ ）
A．100 B．105 C．110 D．120
【變式1-3】（2024·福建泉州·一模）海上絲綢之路的起點(diǎn)城市一泉州，有著豐厚的文化底蘊(yùn)，作為國(guó)家級(jí)非遺的蟳埔女簪花圍習(xí)俗，是福建博大精深的海洋文化“百花園”中的一朵香花．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了18位“簪花圍”體驗(yàn)者對(duì)這一活動(dòng)的滿意度評(píng)分情況，得到如下數(shù)據(jù)：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)，則a的值不可能為（ ）
A．71 B．72 C．73 D．74
【題型2 樣本的數(shù)字特征的估計(jì)】
【例2】（2024·浙江紹興·三模）已知實(shí)數(shù)，若，且這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3，則這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（ ）
A． B．3 C． D．4
【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）一組數(shù)據(jù)12，12，13，14，15，16，17的中位數(shù)是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【變式2-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知甲、乙兩支籃球隊(duì)各6名隊(duì)員某場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）從小到大排列如下：甲隊(duì)：；乙隊(duì)：.這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月4日，在杭州亞運(yùn)會(huì)跳水男子10米臺(tái)決賽中，中國(guó)選手楊昊奪得金牌．中國(guó)跳水隊(duì)包攬杭州亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目全部10枚金牌．跳水比賽的評(píng)分規(guī)則如下，7位裁判同時(shí)給分，去掉兩個(gè)最高分，去掉兩個(gè)最低分，剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)求和再乘以難度系數(shù)，就是該選手本輪的得分，下表就是楊昊比賽中的第一輪得分表，則（ ）
1號(hào) 裁判 2號(hào) 裁判 3號(hào) 裁判 4號(hào) 裁判 5號(hào) 裁判 6號(hào) 裁判 7號(hào) 裁判 難度 系數(shù) 本輪 得分
a 9.5 9.0 10.0 9.5 10.0 10.0 3.2 92.80
A．這7個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)只能是10.0
B．這7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是9.0
C．a(chǎn)可能是10.0
D．a(chǎn)可能是9.5
【題型3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)】
【例3】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨 知史愛(ài)國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史 育新人”的黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值為0.005
B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分
C．估計(jì)成績(jī)低于60分的有250人
D．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分
【變式3-1】（2024·陜西西安·二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天
B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3
C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)
D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等
【變式3-2】（2024·四川德陽(yáng)·二模）某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個(gè)性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問(wèn)名學(xué)生，并對(duì)這名學(xué)生的個(gè)性化作業(yè)進(jìn)行評(píng)分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績(jī)分成，，六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為30人．
(1)求的值；
(2)估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）和中位數(shù)．
【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）為了解甲、乙兩種農(nóng)藥在某種綠植表面的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將100株同種綠植隨機(jī)分成兩組，每組50株，其中組綠植噴甲農(nóng)藥，組綠植噴乙農(nóng)藥，每株綠植所噴的農(nóng)藥體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在綠植表面的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：
記為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為0.70．
(1)求乙農(nóng)藥殘留百分比直方圖中的值；
(2)估計(jì)甲農(nóng)藥殘留百分比的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(3)估計(jì)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)．（保留2位小數(shù)）
【題型4 總體離散程度的估計(jì)】
【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均值是1，且的平均值是3，則數(shù)據(jù)的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式4-1】（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)模考中，從甲 乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī)，甲班的十個(gè)人成績(jī)分別為，乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同 方差也相同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后（ ）
A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大
B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大
C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小
D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小
【變式4-2】（2024·寧夏銀川·一模）濱海鹽堿地是我國(guó)鹽堿地的主要類(lèi)型之一，如何利用更有效的方法改造這些寶貴的土地資源，成為擺在我們面前的世界級(jí)難題．對(duì)鹽堿的治理方法，研究人員在長(zhǎng)期的實(shí)踐中獲得了兩種成本差異不大，且能降低濱海鹽堿地30-60cm土壤層可溶性鹽含量的技術(shù)，為了對(duì)比兩種技術(shù)治理鹽堿的效果，科研人員在同一區(qū)域采集了12個(gè)土壤樣本，平均分成兩組，測(cè)得組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)，方差，B組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)，方差．用技術(shù)1對(duì)組土壤進(jìn)行可溶性鹽改良試驗(yàn)，用技術(shù)2對(duì)組土壤進(jìn)行可溶性鹽改良試驗(yàn)，分別獲得改良后土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)如下：
組 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
組 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51
改良后組、組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)分別為和，樣本方差分別記為和
(1)求；
(2)應(yīng)用技術(shù)1與技術(shù)2土壤可溶性鹽改良試驗(yàn)后，土壤可溶性鹽含量是否有顯著降低？（若，則認(rèn)為技術(shù)能顯著降低土壤可溶性鹽含量，否則不認(rèn)為有顯著降低）．
【變式4-3】（2024·陜西西安·一模）近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：
成績(jī)
高一學(xué)生人數(shù) 15 5 15 15
高二學(xué)生人數(shù) 10 10 20 10
試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：
(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？
(2)校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：
方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生10元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生25元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生35元食堂代金券；
方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)30元食堂代金券．
若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？
【題型5 分層方差問(wèn)題】
【例5】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高三年級(jí)男生共有個(gè)，女生共有個(gè)，為調(diào)查該年級(jí)學(xué)生的年齡情況，通過(guò)分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為和，已知，則該校高三年級(jí)全體學(xué)生年齡的方差為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2024·浙江·三模）在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【變式5-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知總體劃分為3層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本容量分別為，，，樣本平均數(shù)分別為，，，樣本方差分別為，，，若，則（ ）
A．
B．
C．總體樣本平均數(shù)
D．當(dāng)時(shí)，總體方差
【題型6 其他統(tǒng)計(jì)圖表中反映的集中趨勢(shì)與離散程度】
【例6】（23-24高一下·河南信陽(yáng)·期中）樹(shù)人中學(xué)男女學(xué)生比例約為，某數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)為了解該校學(xué)生課外體育鍛煉情況（鍛煉時(shí)間長(zhǎng)短（單位：小時(shí)）），采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生人，女生人進(jìn)行調(diào)查.記男生樣本為，樣本平均數(shù)、方差分別為；女生樣本為，樣本平均數(shù)、方差分別為；總樣本平均數(shù)、方差分別為.
(1)該興趣社團(tuán)通過(guò)分析給出以上兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，假設(shè)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，根據(jù)兩圖信息分別估計(jì)男生樣本、女生樣本的平均數(shù)；
(2)已知男生樣本方差，女生樣本方差，請(qǐng)結(jié)合（2）問(wèn)的結(jié)果計(jì)算總樣本方差的估計(jì)值.
【變式6-1】（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，分別從兩廠隨機(jī)選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度（單位：）記錄下來(lái)并繪制出折線圖：
(1)分別計(jì)算甲、乙兩廠提供10個(gè)輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在內(nèi)，則稱(chēng)這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動(dòng)情況，判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)廠的輪胎相對(duì)更好
【變式6-2】（23-24高一下·湖北武漢·期末）近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷(xiāo)形式．某直播平臺(tái)1200個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖所示．

(1)該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，打算隨機(jī)抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流．如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類(lèi)、生鮮類(lèi)商家各多少家？
(2)在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)（1）中抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問(wèn)題：
①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)430元的商家評(píng)為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．
【變式6-3】（2024·河南信陽(yáng)·三模）信陽(yáng)市旅游部門(mén)為了促進(jìn)信陽(yáng)生態(tài)特色城鎮(zhèn)和新農(nóng)村建設(shè)，將甲、乙，丙三家民宿的相關(guān)資料放到某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行推廣宣傳.該平臺(tái)邀請(qǐng)部分曾在這三家民宿體驗(yàn)過(guò)的游客參與調(diào)查，得到了這三家民宿的“綜合滿意度”評(píng)分，評(píng)分越高表明游客體驗(yàn)越好，現(xiàn)從這三家民宿“綜合滿意度”的評(píng)分中各隨機(jī)抽取10個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，并對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.
a.甲、乙兩家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的折線圖：
b.丙家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：
2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1
c.甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的平均數(shù)、中位數(shù)：
甲 乙 丙
平均數(shù) 4.5 4.2
中位數(shù) 4.5 4.7
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
(1)表中的值是______，的值是______；
(2)設(shè)甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的方差分別為、、，試比較其大小.
(3)根據(jù)“綜合滿意度”的評(píng)分情況，該平臺(tái)打算將甲、乙、丙三家民宿中的一家置頂推薦，你認(rèn)為該平臺(tái)會(huì)將這三家民宿中的哪家置頂推薦？說(shuō)明理由（至少?gòu)膬蓚€(gè)方面說(shuō)明）.
一、單選題
1．（2024·江西·一模）從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A．16 B．30 C．32 D．51
2．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）已知甲組數(shù)據(jù)：1，3，5，7，9，11，乙組數(shù)據(jù)：2，4，8，16，根據(jù)不同組別，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本，則該樣本的平均數(shù)不可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）為了解高中學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間,某市教育部門(mén)隨機(jī)抽取高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,把每天進(jìn)行體育活動(dòng)的時(shí)間按照時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）分成組:,,,,,.然后對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則可估計(jì)這名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第百分位數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱(chēng)形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（ ）
A．圖（1）的平均數(shù)＝中位數(shù)＞眾數(shù) B．圖（2）的眾數(shù)＜中位數(shù)＜平均數(shù)
C．圖（2）的平均數(shù)＜眾數(shù)＜中位數(shù) D．圖（3）的中位數(shù)＜平均數(shù)＜眾數(shù)
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知有4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的新方差為（ ）
A． B． C．6 D．10
6．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（　　）

A． B．
C． D．
7．（2024·江西·二模）從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；乙隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.4，則這10人答對(duì)題目的方差為（ ）
A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82
8．（2024·山東·二模）甲乙兩名歌手參加選拔賽，5位評(píng)委評(píng)分情況如下：甲：；乙：，記甲、乙兩人的平均得分分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A．，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 B．，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定
C．，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 D．，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定
二、多選題
9．（2024·河北保定·三模）若一組數(shù)據(jù)14，17，11，9，12，15，，8，10，7的第65百分位數(shù)為12，則的值可能為（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
10．（2024·廣東茂名·一模）中秋節(jié)起源于上古時(shí)代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動(dòng)，以月之圓兆人之團(tuán)圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產(chǎn).某校舉行與中秋節(jié)相關(guān)的“中國(guó)傳統(tǒng)文化”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽查了100人的成績(jī)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本的眾數(shù)為75
B．樣本的分位數(shù)為75
C．樣本的平均值為68.5
D．該校學(xué)生中得分低于60分的約占
11．（2024·重慶九龍坡·三模）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)，的平均數(shù)為6
B．?dāng)?shù)據(jù)，的方差為9
C．?dāng)?shù)據(jù)的方差為1
D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為5
三、填空題
12．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是 .
13．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某小學(xué)對(duì)四年級(jí)的某個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測(cè)試的總體方差為 ．
14．（2024·廣西·二模）設(shè)實(shí)數(shù)x，，滿足1，3，4，x，y，的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)x，y，的方差為 ．
四、解答題
15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）中央廣播電視總臺(tái)《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行龘龘，欣欣家國(guó)”為主題，創(chuàng)新“思想藝術(shù)技術(shù)”融合傳播，與全球華人相約除夕，共享一臺(tái)精彩紛呈、情真意切、熱氣騰騰的文化盛宴.2023年12月2日，中央廣播電視總臺(tái)發(fā)布了甲辰龍年春晚的主標(biāo)識(shí)——龘．為了解大家對(duì)這一標(biāo)識(shí)的看法，某網(wǎng)站進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)調(diào)研，并將參與調(diào)查的網(wǎng)友對(duì)這一標(biāo)識(shí)的打分情況（分?jǐn)?shù)在50分到100分之間）繪制成頻率分布直方圖如下：

(1)求網(wǎng)友打分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）、中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；
(2)設(shè)網(wǎng)友打分的平均值為，若按打分是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分層抽樣，抽取10人進(jìn)行深度調(diào)研，打分在區(qū)間內(nèi)的至少抽取8人，試估計(jì)的最小值（保留兩位小數(shù)）．
16．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
17．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：
成績(jī)
高一學(xué)生人數(shù)
高二學(xué)生人數(shù)
試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：
(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？
(2)校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：
方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生元食堂代金券；
方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)元食堂代金券．
若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得更多的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？
18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)中學(xué)生的近視率一直是社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)．某市疾控中心為調(diào)查該市高中生的視力狀況，從某高中3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生用五分記錄法統(tǒng)計(jì)了其裸眼視力，得到如圖1所示的頻率分布直方圖：
為改善學(xué)生的視力狀況，該校積極落實(shí)學(xué)生近視防控工作，建立視力監(jiān)測(cè)制度，幾年后，再次抽取100名學(xué)生，用五分記錄法統(tǒng)計(jì)其裸眼視力，得到如下頻數(shù)分布表：
裸眼視力
人數(shù) 5 20 60 15
(1)若裸眼視力位于為輕度近視，用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)近視防控工作開(kāi)展前全校患輕度近視的學(xué)生人數(shù)；
(2)在圖2中作出近視防控工作開(kāi)展后100名學(xué)生裸眼視力的頻率分布直方圖；
(3)估計(jì)近視防控工作開(kāi)展后該校學(xué)生裸眼視力比開(kāi)展前學(xué)生裸眼視力的平均值提高了多少（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
19．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）首屆中國(guó)航協(xié)航空大會(huì)的一個(gè)鮮明的特色是在各個(gè)展區(qū)中設(shè)置了多項(xiàng)互動(dòng)體驗(yàn)活動(dòng)，吸引了很多的中小學(xué)生，其中模擬飛行體驗(yàn)區(qū)是讓這些中小學(xué)生戴上VR眼鏡模擬從起飛到降落，大大激發(fā)了他們的興趣愛(ài)好.現(xiàn)從某個(gè)有互動(dòng)體驗(yàn)的展區(qū)中隨機(jī)抽取60名中小學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的參觀時(shí)間（從進(jìn)入該展區(qū)到離開(kāi)該展區(qū)的時(shí)長(zhǎng)，單位：分鐘，時(shí)間取整數(shù)），將時(shí)間分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差；（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(2)為對(duì)比展區(qū)是否有體驗(yàn)區(qū)對(duì)中小學(xué)生的吸引程度，某工作人員給出了一份該展區(qū)中沒(méi)有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)間的隨機(jī)數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到該組數(shù)據(jù)參觀時(shí)長(zhǎng)平均值為65分鐘，方差為，試判斷有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)長(zhǎng)均值比沒(méi)有體驗(yàn)區(qū)的參觀時(shí)長(zhǎng)均值是否有顯著提高？（如果，則認(rèn)為有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）
(3)利用（2）中的結(jié)果，你認(rèn)為展區(qū)是否應(yīng)該設(shè)置互動(dòng)體驗(yàn)展區(qū)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
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