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專題5.4 復數【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 復數的概念】 6
【題型2 復數的四則運算】 7
【題型3 復數的幾何意義】 8
【題型4 復數的相等】 9
【題型5 復數的模】 10
【題型6 復數的三角表示】 11
【題型7 復數與方程】 13
1、復數
考點要求 真題統計 考情分析
(1)通過方程的解，認識復數
(2)理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義
(3)掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義 2022年新高考全國I卷：第2題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分 2023年新高考I卷：第2題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分 2024年新高考I卷：第2題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第1題，5分、（理數）：第1題，5分 復數是高考的熱點內容，是高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對復數的考查比較穩定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內容、難度變化不大，主要考查復數的概念、運算及其幾何意義，屬于簡單題.預測明年高考復數依舊以單選題、填空題形式呈現，比較簡單.
【知識點1 復數的概念】
1．復數的概念
(1)復數的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.
(2)復數的表示
復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.
(3)復數的分類
對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.
顯然，實數集R是復數集C的真子集，即RC.
復數z=a+bi可以分類如下：
復數.
2．復數相等
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當
a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.
【知識點2 復數的幾何意義】
1．復數的幾何意義
(1)復平面
根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面
直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.
如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來
表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.
(2)復數的幾何意義——與點對應
由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一
的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.
(3) 復數的幾何意義——與向量對應
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一
對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.
如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.
因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.
2．復數的模
向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它
的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共軛復數
(1)定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0
的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.
(2)幾何意義
互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復
平面內所對應的點重合，且在實軸上.
(3)性質
①=z.
②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.
4．復數的模的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數
的模的幾何意義.
(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以
原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
【知識點3 復數的運算】
1．復數的四則運算
(1)復數的加法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)復數的減法法則
類比實數減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數
x+yi(x,y∈R)叫做復數a+bi(a,b∈R)減去復數c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).
根據復數相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.這就是復數的減法法則.
(3)復數的乘法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把換成-1，并且把實部與
虛部分別合并即可.
(4)復數的除法法則
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可見，兩個復數相除(除數不為0)，所得的商是一個確定的復數.
2．復數加法、減法的幾何意義
(1)復數加法的幾何意義
在復平面內，設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形 (如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量.
(2)復數減法的幾何意義
兩個復數=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的向量分別是，，那么這兩個復數的差
-對應的向量是-，即向量.
如果作=，那么點Z對應的復數就是-(如圖所示).
這說明兩個向量與的差就是與復數(a-c)+(b-d)i對應的向量.因此，復數的減法可以按照向
量的減法來進行，這是復數減法的幾何意義.
3．復數運算的常用技巧
(1)復數常見運算小結論
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【知識點4 復數有關問題的解題策略】
1．復數的概念的有關問題的解題策略
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b=0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a=0且b≠0.
(2)復數z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.
(3)復數z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數為，則，即，若，則.
2．復數的運算的解題策略
(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共輪復數.
3．復數的幾何意義的解題策略
由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.
4．復數的方程的解題策略
(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
【方法技巧與總結】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．復數z的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.
【題型1 復數的概念】
【例1】（2024·湖北·模擬預測）已知，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．i
【分析】直接計算可得，再用虛部的定義即可.
【詳解】由于，所以的虛部為.
故選：B.
【變式1-1】（2024·寧夏銀川·一模）已知復數表示純虛數，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【分析】根據題意結合復數的相關概念列式求解即可.
【詳解】因為，
若復數表示純虛數，則，解得.
故選：B.
【變式1-2】（2024·吉林白山·一模）復數，則的虛部為（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根據虛數單位的乘方運算規律將復數化簡，即得其虛部.
【詳解】由可得：，故的虛部為.
故選:D．
【變式1-3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【分析】根據實部為零，虛部不為零列式計算.
【詳解】由題意可得：且，則.
故選：D.
【題型2 復數的四則運算】
【例2】（2024·西藏·模擬預測）已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據共軛復數和除法法則進行計算，得到答案.
【詳解】因為，所以，
所以．
故選：A．
【變式2-1】（2024·河南·三模）已知為虛數單位，（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據復數乘法、除法運算化簡即可.
【詳解】.
故選：D.
【變式2-2】（2024·陜西西安·三模）已知復數，則的虛部為（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】根據復數代數形式的除法化簡，即可判斷.
【詳解】因為，所以，所以的虛部為．
故選：B.
【變式2-3】（2024·北京·三模）若復數為純虛數，其中，為虛數單位，則（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】由復數概念求出參數，結合復數四則運算即可求解.
【詳解】由是純虛數可知，所以，
故選：A.
【題型3 復數的幾何意義】
【例3】（2024·江西上饒·模擬預測）在復平面內，復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據復數的運算法則，得到，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】由復數的運算法則，可得復數，
復數在復平面內對應的點位于第四象限.
故選：D.
【變式3-1】（2024·重慶·二模）若復數為純虛數，則復數在復平面上的對應點的位置在（ ）
A．第一象限內 B．第二象限內
C．第三象限內 D．第四象限內
【分析】根據純虛數的定義解出，利用復數的幾何意義求解．
【詳解】復數為純虛數，，
復數在復平面上的對應點為，位置在第一象限．
故選：A．
【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復平面內三點所對應的復數分別為，若四邊形為平行四邊形，則點對應的復數為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根據復數的幾何意義，利用向量相等即可求解.
【詳解】由題意知三點的坐標為，
設復平面內點，則 ，
又四邊形是復平面內的平行四邊形，則，則，解得，則．
故選:B．
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知，（，i為虛數單位）．若，在復平面內對應的點分別為，，點O為原點，且，則（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
【分析】根據復數的幾何意義可得，，即可利用向量垂直的坐標運算即可求解.
【詳解】由題意，得，．因為，
所以，解得．
故選:B．
【題型4 復數的相等】
【例4】（2023·全國·三模）已知，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【分析】由復數相等的充要條件可得的值.
【詳解】因為，所以，
由復數相等的充要條件得，所以.
故選：C.
【變式4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據條件得出，再根據復數的乘法運算可得出，然后即可求出的值．
【詳解】解：，，
，，.
故選：C.
【變式4-2】（2023·內蒙古包頭·一模）設，其中a，b是實數，則（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用復數相等即可求出結果.
【詳解】因為，即，
則，即，
故選：B.
【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知為虛數單位，為實數，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由復數相等可列出方程組求解.
【詳解】由題意，
所以，解得，所以.
故選：D.
【題型5 復數的模】
【例5】（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知復數，表示z的共軛復數，則（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用復數的除法運算求出，再利用共軛復數及復數模的意義求解即得.
【詳解】，因此，
所以.
故選：C.
【變式5-1】（2024·河北·模擬預測）若復數，則（ ）
A． B．5 C． D．
【分析】由共軛復數的定義和復數的運算化簡，再由復數的模長公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
，
所以.
故選：A.
【變式5-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知，若為純虛數，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
【分析】先對化簡，然后由其為純虛數，求出，從而可求出.
【詳解】，
若為純虛數，則且，即.
則.
故選：C.
【變式5-3】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知復數，若同時滿足和，則為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】設，根據和求出交點坐標，即可求出，再計算其模即可.
【詳解】設，則，，
由和，
所以且，
即且，解得或，
所以、（或、），
則（或），
所以.
故選：C.
【題型6 復數的三角表示】
【例6】（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由棣莫弗公式化簡結合復數的幾何意義即可得出答案.
【詳解】，
在復平面內所對應的點為，在第二象限.
故選：B.
【變式6-1】（2024·廣東·模擬預測）棣莫弗公式（為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667－1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，已知復數，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用棣莫弗公式及三角函數的特殊值，結合三角函數的誘導公式即可求解.
【詳解】依題意知，，
由棣莫弗公式，得 ，
所以.
故選：C.
【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根據復數的三角形及運算，利用復數相等可得，即可得解.
【詳解】設，
則，
所以，，即，
所以
故時，，故可取，
故選：D.
【變式6-3】（2023·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗（1667－1754年）創立的，指的是：設兩個復數，，則，已知復數，則（ ）
A． B． C． D．1
【分析】將化為三角形式，根據棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【詳解】由題意可得，
故，
所以
.
故選：B.
【題型7 復數與方程】
【例7】（2024·山西陽泉·三模）已知是實系數方程的一個復數根，則（ ）
A． B． C．1 D．9
【分析】根據虛根成對原理也是實系數方程的一個復數根，再由韋達定理計算可得.
【詳解】因為是實系數方程的一個復數根，
則也是實系數方程的一個復數根，
所以，解得，
所以.
故選：A.
【變式7-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）在復數范圍內方程的兩個根分別為，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】先求出兩復數根，再根據復數的加法運算及復數的模的公式即可得解.
【詳解】根據題意可得，
，即，
當，時，，
，
當，時，，
，
綜上，.
故選：D.
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知是方程的一個根，則（ ）
A．－2 B．2 C． D．－1
【分析】法一:將復數代入二次方程，利用復數相等求解；法二：利韋達定理求解.
【詳解】方法1：由題意知，即，解得.
方法2：根據虛根成對知1－2i也是方程的根，由韋達定理得，所以.
故選:A.
【變式7-3】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程（其中為虛數單位）的兩根分別為，，則有（ ）
A． B． C． D．
【分析】設方程的根為，將其代入方程中的x中，根據復數相等的條件，構造方程組，解出,.則兩根知道了，再逐項代入驗證即可.
【詳解】設方程的根為，
代入方程，,整理得，
故，則，
不妨令，，
對于A：因為，即，故A錯誤；
對于B：，故B錯誤.
對于C:,
，
因此，,故C錯誤.
對于D：,故D正確.
故選:D.
一、單選題
1．（2024·北京大興·三模）已知為純虛數，則實數（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】根據復數代數形式的乘方運算化簡，再根據實部為，虛部不為得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因為，
又為純虛數，所以，解得.
故選：D.
2．（2024·新疆·三模）復數滿足，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【分析】設，根據模長公式列出方程，求出，得到答案.
【詳解】設且，則，
因為，所以,解得：，則的虛部為.
故選：C.
3．（2024·陜西西安·模擬預測）若復數，則（ ）
A． B． C．5 D．10
【分析】根據題意，結合復數模的計算方法，即可求解.
【詳解】由復數，可得.
故選：C.
4．（2024·浙江·模擬預測）若復數z滿足（i為虛數單位)，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用復數的運算法則求出z，再根據復數的代數表示及其幾何意義得出z對應的點，進而求解．
【詳解】設，則，
則，即，所以，，
解得，，故，對應的點在第四象限．
故選：D．
5．（2024·浙江·模擬預測）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根據復數的乘法、減法運算和復數的模計算得到結果.
【詳解】由題得，
則，
答選：B.
6．（2024·四川內江·模擬預測）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據復數的四則運算以及復數模的計算公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，
解得，
所以.
故選：B.
7．（2024·陜西安康·模擬預測）已知復數滿足，則復數的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據復數的除法運算化簡復數，由共軛復數的定義即可求解.
【詳解】解：由題意，，
則復數的共軛復數.
故選：A.
8．（2024·四川綿陽·模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數，虛數單位，和聯系在一起，充分體現了數學的和諧美，被譽為“數學中的天橋”.則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【分析】把代入歐拉公式即可。
【詳解】.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·江蘇無錫·模擬預測）設為復數，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．“＂是“＂的充分不必要條件
【分析】設，對于A：根據乘法運算結合模長公式分析判斷；對于B：根據加法運算結合共軛復數分析判斷；對于C：舉反例說明即可；對于D：根據復數的概念結合充分必要條件分析判斷.
【詳解】設，
對于選項A：因為，
所以，
且，所以，故A正確；
對于選項B：因為，
則，
所以，故B正確；
對于選項C：若，例如，滿足，
但，，即，故C錯誤；
對于選項D：若，則都是實數，且，即充分性不成立；
若，例如，且，
但不是實數，無法比較大小，即必要性不成立；
綜上所述：“＂是“＂的充分不必要條件，故D正確．
故選：ABD.
10．（2024·湖北荊州·三模）已知復數，則下列命題正確的是（ ）
A．若為純虛數，則
B．若為實數，則
C．若在復平面內對應的點在直線上，則
D．在復平面內對應的點不可能在第三象限
【分析】首先得到復數的實部與虛部，再根據復數的類型求出參數的值，即可判斷A、B，根據復數的幾何意義判斷C、D.
【詳解】復數的實部為，虛部為，
復數在復平面內對應的點的坐標為，
對于A：若為純虛數，則，解得，故A錯誤；
對于B：若為實數，則，解得，則，故B正確；
對于C：若在復平面內對應的點在直線上，
所以，解得或，故C錯誤；
對于D：令，即，不等式組無解，
所以在復平面內對應的點不可能在第三象限，故D正確.
故選：BD.
11．（2024·浙江舟山·模擬預測）已知復數是關于的方程的兩根，下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．若，則
【分析】依題意求出兩根為：，再依次判斷選項．
【詳解】，則，
不妨設，
則，故A項正確；
，故C項正確；
而，
則 ，
當時，，故B項錯誤；
當時，，
，，，同理，故D項正確，
故選：ACD.
三、填空題
12．（2024·山東青島·二模）已知復數滿足，則復數 .
【分析】利用復數的除法運算求解.
【詳解】易知，所以.
故答案為：.
13．（2024·上海·三模）設（為虛數單位），若z為純虛數，則實數m的值為 ．
【分析】根據給定的條件，利用純虛數的定義列式計算即得.
【詳解】由為純虛數，得，解得，
所以實數m的值為.
故答案為：.
14．（2024·江蘇南通·模擬預測）復數與分別表示向量與，記表示向量的復數為，則 25 ．
【分析】根據題意，由向量的減法可得，再由復數的乘法運算，代入計算，即可求解.
【詳解】由題意可知，，
則，所以.
故答案為：25.
四、解答題
15．（2024·甘肅蘭州·一模）實數取什么值時，復數是
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
【分析】（1）（2）（3）利用復數是實數、虛數、純虛數的定義列式計算作答.
【詳解】（1）復數是實數，則，解得，
所以當時，復數是實數.
（2）復數是虛數，則，解得，
所以當時，復數是虛數.
（3）復數是純虛數，則，解得，
所以當時，復數是純虛數.
16．（2024·河南·模擬預測）已知復數.
(1)若復數在復平面內對應的點在第三象限，求實數m的取值范圍；
(2)若，在復平面內對應的點分別為B，C，求（點O為坐標原點）.
【分析】（1）化簡得，再根據在復平面內對應的點在第三象限時的實部虛部的正負求解范圍即可；
（2）計算，，得到B，C的坐標，再用向量的數量積公式求解即可
【詳解】（1）因為，所以.
因為復數在復平面內對應的點在第三象限，
所以解得，即實數m的取值范圍是.
（2）由題可知，，
則點，，，.
因此.
17．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知復數（），且為純虛數（是的共軛復數）.
（1）設復數，求；
（2）復數在復平面對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.
【分析】（1）先根據條件得到，進而得到，由復數的模的求法得到結果；
（2）由第一問得到，根據復數對應的點在第一象限得到不等式，進而求解.
【詳解】（1）∵為純虛數，
∴，，解得.
∴，則.
（2），
復數在復平面對應的點在第一象限，
∴，，解得.
∴實數的取值范圍是.
18．（2024·上海·模擬預測）已知關于的方程的虛數根為、.
（1）求的取值范圍；
（2）若，求實數的值.
【分析】（1）由題意，從而，由復數的運算可得，根據判別式得出的范圍，從而得出答案.
（2）將平方，將韋達定理代入，結合判別式得出的范圍，可得答案.
【詳解】由題意知，，則，，
（1），
因為，所以，故的取值范圍是.
（2）
因為，所以，
所以.
19．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）歐拉（1707-1783），他是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數的底數，圓周率，兩個單位——虛數單位和自然數單位，以及被稱為人類偉大發現之一的，數學家評價它是“上帝創造的公式”，請你根據歐拉公式：，解決以下問題：
(1)將復數表示成（，為虛數單位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，則，這里，稱為的一個次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復數，，求的值．
【分析】（1）根據歐拉公式直接可得解；
（2）由歐拉公式可證明，并得到，這即得結果；
（3）根據單位根的概念，代入化簡即可.
【詳解】（1）由歐拉公式有
.
（2）由于，，故，
而當時，有.
故的最大值是.
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題5.4 復數【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 復數的概念】 6
【題型2 復數的四則運算】 6
【題型3 復數的幾何意義】 7
【題型4 復數的相等】 7
【題型5 復數的模】 7
【題型6 復數的三角表示】 8
【題型7 復數與方程】 9
1、復數
考點要求 真題統計 考情分析
(1)通過方程的解，認識復數
(2)理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義
(3)掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義 2022年新高考全國I卷：第2題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分 2023年新高考I卷：第2題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分 2024年新高考I卷：第2題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第1題，5分、（理數）：第1題，5分 復數是高考的熱點內容，是高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對復數的考查比較穩定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內容、難度變化不大，主要考查復數的概念、運算及其幾何意義，屬于簡單題.預測明年高考復數依舊以單選題、填空題形式呈現，比較簡單.
【知識點1 復數的概念】
1．復數的概念
(1)復數的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.
(2)復數的表示
復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.
(3)復數的分類
對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.
顯然，實數集R是復數集C的真子集，即RC.
復數z=a+bi可以分類如下：
復數.
2．復數相等
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當
a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.
【知識點2 復數的幾何意義】
1．復數的幾何意義
(1)復平面
根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面
直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.
如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來
表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.
(2)復數的幾何意義——與點對應
由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一
的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.
(3) 復數的幾何意義——與向量對應
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一
對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.
如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.
因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.
2．復數的模
向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它
的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共軛復數
(1)定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0
的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.
(2)幾何意義
互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復
平面內所對應的點重合，且在實軸上.
(3)性質
①=z.
②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.
4．復數的模的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數
的模的幾何意義.
(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以
原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
【知識點3 復數的運算】
1．復數的四則運算
(1)復數的加法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)復數的減法法則
類比實數減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數
x+yi(x,y∈R)叫做復數a+bi(a,b∈R)減去復數c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).
根據復數相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.這就是復數的減法法則.
(3)復數的乘法法則
設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把換成-1，并且把實部與
虛部分別合并即可.
(4)復數的除法法則
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可見，兩個復數相除(除數不為0)，所得的商是一個確定的復數.
2．復數加法、減法的幾何意義
(1)復數加法的幾何意義
在復平面內，設=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形 (如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量.
(2)復數減法的幾何意義
兩個復數=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的向量分別是，，那么這兩個復數的差
-對應的向量是-，即向量.
如果作=，那么點Z對應的復數就是-(如圖所示).
這說明兩個向量與的差就是與復數(a-c)+(b-d)i對應的向量.因此，復數的減法可以按照向
量的減法來進行，這是復數減法的幾何意義.
3．復數運算的常用技巧
(1)復數常見運算小結論
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【知識點4 復數有關問題的解題策略】
1．復數的概念的有關問題的解題策略
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b=0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a=0且b≠0.
(2)復數z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.
(3)復數z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數為，則，即，若，則.
2．復數的運算的解題策略
(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共輪復數.
3．復數的幾何意義的解題策略
由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.
4．復數的方程的解題策略
(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
【方法技巧與總結】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．復數z的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.
【題型1 復數的概念】
【例1】（2024·湖北·模擬預測）已知，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．i
【變式1-1】（2024·寧夏銀川·一模）已知復數表示純虛數，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【變式1-2】（2024·吉林白山·一模）復數，則的虛部為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式1-3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【題型2 復數的四則運算】
【例2】（2024·西藏·模擬預測）已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·河南·三模）已知為虛數單位，（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·陜西西安·三模）已知復數，則的虛部為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式2-3】（2024·北京·三模）若復數為純虛數，其中，為虛數單位，則（ ）
A． B． C．1 D．
【題型3 復數的幾何意義】
【例3】（2024·江西上饒·模擬預測）在復平面內，復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【變式3-1】（2024·重慶·二模）若復數為純虛數，則復數在復平面上的對應點的位置在（ ）
A．第一象限內 B．第二象限內
C．第三象限內 D．第四象限內
【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復平面內三點所對應的復數分別為，若四邊形為平行四邊形，則點對應的復數為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知，（，i為虛數單位）．若，在復平面內對應的點分別為，，點O為原點，且，則（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
【題型4 復數的相等】
【例4】（2023·全國·三模）已知，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式4-2】（2023·內蒙古包頭·一模）設，其中a，b是實數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知為虛數單位，為實數，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【題型5 復數的模】
【例5】（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知復數，表示z的共軛復數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·河北·模擬預測）若復數，則（ ）
A． B．5 C． D．
【變式5-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知，若為純虛數，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
【變式5-3】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知復數，若同時滿足和，則為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【題型6 復數的三角表示】
【例6】（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式6-1】（2024·廣東·模擬預測）棣莫弗公式（為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667－1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，已知復數，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗（1667－1754年）創立的，指的是：設兩個復數，，則，已知復數，則（ ）
A． B． C． D．1
【題型7 復數與方程】
【例7】（2024·山西陽泉·三模）已知是實系數方程的一個復數根，則（ ）
A． B． C．1 D．9
【變式7-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）在復數范圍內方程的兩個根分別為，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知是方程的一個根，則（ ）
A．－2 B．2 C． D．－1
【變式7-3】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程（其中為虛數單位）的兩根分別為，，則有（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·北京大興·三模）已知為純虛數，則實數（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2024·新疆·三模）復數滿足，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）若復數，則（ ）
A． B． C．5 D．10
4．（2024·浙江·模擬預測）若復數z滿足（i為虛數單位)，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·浙江·模擬預測）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2024·四川內江·模擬預測）若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陜西安康·模擬預測）已知復數滿足，則復數的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川綿陽·模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數，虛數單位，和聯系在一起，充分體現了數學的和諧美，被譽為“數學中的天橋”.則（ ）
A． B．0 C．1 D．
二、多選題
9．（2024·江蘇無錫·模擬預測）設為復數，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．“＂是“＂的充分不必要條件
10．（2024·湖北荊州·三模）已知復數，則下列命題正確的是（ ）
A．若為純虛數，則
B．若為實數，則
C．若在復平面內對應的點在直線上，則
D．在復平面內對應的點不可能在第三象限
11．（2024·浙江舟山·模擬預測）已知復數是關于的方程的兩根，下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．若，則
三、填空題
12．（2024·山東青島·二模）已知復數滿足，則復數 .
13．（2024·上海·三模）設（為虛數單位），若z為純虛數，則實數m的值為 ．
14．（2024·江蘇南通·模擬預測）復數與分別表示向量與，記表示向量的復數為，則 ．
四、解答題
15．（2024·甘肅蘭州·一模）實數取什么值時，復數是
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
16．（2024·河南·模擬預測）已知復數.
(1)若復數在復平面內對應的點在第三象限，求實數m的取值范圍；
(2)若，在復平面內對應的點分別為B，C，求（點O為坐標原點）.
17．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知復數（），且為純虛數（是的共軛復數）.
（1）設復數，求；
（2）復數在復平面對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.
18．（2024·上海·模擬預測）已知關于的方程的虛數根為、.
（1）求的取值范圍；
（2）若，求實數的值.
19．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）歐拉（1707-1783），他是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數的底數，圓周率，兩個單位——虛數單位和自然數單位，以及被稱為人類偉大發現之一的，數學家評價它是“上帝創造的公式”，請你根據歐拉公式：，解決以下問題：
(1)將復數表示成（，為虛數單位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，則，這里，稱為的一個次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復數，，求的值．
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