資源簡介

專題6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 由an與Sn的關(guān)系求通項或項】 4
【題型2 累加法求通項公式】 4
【題型3 累乘法求通項公式】 5
【題型4 構(gòu)造法求通項公式】 6
【題型5 數(shù)列的周期性】 6
【題型6 數(shù)列的單調(diào)性】 6
【題型7 數(shù)列的最大（?。╉棥?7
【題型8 數(shù)列中的規(guī)律問題】 8
【題型9 數(shù)列的恒成立問題】 9
1、數(shù)列的概念與簡單表示法
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式) (2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù) 2021年北京卷：第10題，4分 數(shù)列是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考中對數(shù)列的概念的考查相對較少，考查題型以選擇題、填空題為主，難度不大，重點是考查數(shù)列的單調(diào)性、周期性與最值等內(nèi)容.
【知識點1 數(shù)列的概念與基本知識】
1．?dāng)?shù)列的定義
一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一
個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.
2．?dāng)?shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義 舉例
按項的
個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列 1,2,3,…,n
無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列 1,0,1,0,1,0,…
按項的
變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一
項的數(shù)列 3,4,5,6,…,n+2
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一
項的數(shù)列 -1,-2,-3,…,-n
常數(shù)列 各項相等的數(shù)列 0,0,0,0,…
擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一
項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 1,-2,3,-4,…
3．?dāng)?shù)列的通項公式
如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這
個數(shù)列的通項公式.
4．?dāng)?shù)列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
(2)對數(shù)列遞推公式的理解
①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關(guān)于項的序號n的恒等式.
如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.
③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：
基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；
遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項與它的前一項 ()(或前幾項)間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可
以用等式來表示.
5．?dāng)?shù)列表示方法及其比較
優(yōu)點 缺點
通項
公式法 便于求出數(shù)列中任意指定的一項，利于對數(shù)列性質(zhì)進行研究 一些數(shù)列用通項公式表示比較困難
列表法 內(nèi)容具體、方法簡單，給定項的序號，易得相應(yīng)項 確切表示一個無窮數(shù)列或項數(shù)比較多的有窮數(shù)列時比較困難
圖象法 能直觀形象地表示出隨著序號的變化，相應(yīng)項的變化趨勢 數(shù)列項數(shù)較多時用圖象表示比較困難
遞推
公式法 可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì)，如前后幾項之間的關(guān)系 不容易了解數(shù)列的全貌，計算也不方便
6．?dāng)?shù)列的前n項和
數(shù)列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{}的前n項和，記作，即=+++.
如果數(shù)列{}的前n項和與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做
這個數(shù)列的前n項和公式.
=.
【知識點2 數(shù)列的通項公式的求解策略】
1．由an與Sn的關(guān)系求通項：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式.
(2) Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含 Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.
2．由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項.
(3)構(gòu)造法：
①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵.
②形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
【知識點3 數(shù)列的性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略】
1．?dāng)?shù)列周期性問題的解題策略：
解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求出有關(guān)項的值或前n項和.
2．求數(shù)列最大項與最小項的常用方法
(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項的表達式觀察出單調(diào)性，直接確定最大 (小)項，否則，利用作差法.
(2)利用確定最大項，利用確定最小項.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若數(shù)列{}的前n項和為，通項公式為，則=.
2．在數(shù)列{}中，若最大，則；若最小，則.
【題型1 由an與Sn的關(guān)系求通項或項】
【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【變式1-2】（2024·四川·三模）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·江蘇·一模）已知正項數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【題型2 累加法求通項公式】
【例2】（23-24高二·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列 中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【變式2-3】（2023·山西·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 累乘法求通項公式】
【例3】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，前項和，則數(shù)列的通項公式為 （ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知是數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知，，則數(shù)列的通項公式是（　?。?br/>A．n B． C．2n D．
【題型4 構(gòu)造法求通項公式】
【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·廣東茂名·一模）已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，則（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【變式4-2】（23-24高一下·上?！て谀?shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【變式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列的前n項和為，，，則數(shù)列的通項公式為 ．
【題型5 數(shù)列的周期性】
【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式5-1】（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列中，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式5-2】（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項的和為（　?。?br/>A．3 B．2 C．1 D．0
【變式5-3】（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）已知數(shù)列，若 ，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列為“凸數(shù)列”，且，，則的前2 024項的和為（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－1
【題型6 數(shù)列的單調(diào)性】
【例6】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式6-2】（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 數(shù)列的最大（?。╉棥?br/>【例7】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列、滿足：，，，則數(shù)列的最大項是（ ）
A．第7項 B．第9項
C．第11項 D．第12項
【變式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若數(shù)列的前項積，則的最大值與最小值之和為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式7-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式7-3】（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知數(shù)列，下列說法正確的是（ ）
A．有最大項，但沒有最小項
B．沒有最大項，但有最小項
C．既有最大項，又有最小項
D．既沒有最大項，也沒有最小項
【題型8 數(shù)列中的規(guī)律問題】
【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀，希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個六邊形數(shù)為（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【變式8-1】（2023·海南·模擬預(yù)測）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項分別為，據(jù)此可以推測，該數(shù)列的第15項與第60項的和為（ ）
A．1012 B．1016 C．1912 D．1916
【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關(guān)系為（其中）．當(dāng)時，有如下勾股弦數(shù)組序列：，，則在這個序列中，第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【變式8-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦 曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【題型9 數(shù)列的恒成立問題】
【例9】（23-24高三上·湖北襄陽·期末）數(shù)列中，，若恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
【變式9-1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）定義．若數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，令，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且．若對恒成立，則的取值范圍為 ．
【變式9-3】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知數(shù)列的通項公式為.若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
一、單選題
1．（2024·山東濟南·三模）若數(shù)列的前項和，則等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
3．（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知數(shù)列對任意滿足，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數(shù)的倒數(shù)的和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)很大時，.其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，用上式計算的值為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）數(shù)列前n項和為，且，則關(guān)于及敘述正確的是（ ）
A．， 都有最小值 B．， 都有最大值
C．， 都無最小值 D．， 都無最大值
7．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·四川綿陽·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，若， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．為遞增數(shù)列 D．為周期數(shù)列
11．（2024·遼寧沈陽·二模）已知數(shù)列的通項公式為，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則數(shù)列單調(diào)遞減
B．若對任意，都有，則
C．若，則對任意，都有
D．若的最大項與最小項之和為正數(shù)，則
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知一數(shù)列：，則該數(shù)列的通項可以表示為 .
13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前三項依次為的前項和，則 ．
14．（2024·北京·三模）已知數(shù)列的前n項和為且，給出下列四個結(jié)論：①長度分別為的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形：②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是 .
四、解答題
15．（23-24高二·全國·課堂例題）分別寫出下列數(shù)列的一個遞推關(guān)系，并求出各個數(shù)列的第7項：
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)，2，5，8，11，…；
(3)1，，4，，16，…．
16．（23-24高二下·遼寧·期末）已知數(shù)列滿足．
(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；
(2)設(shè)，求使數(shù)列取得最大值時n的值．
17．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)議，當(dāng)取得最小值時，求n的取值．
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.
19．（2024·湖北荊州·三模）對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得對任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡稱周期.
(1)判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由.
(2)設(shè)（1）中數(shù)列前項和為，試問是否存在，使對任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.
(3)若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 由an與Sn的關(guān)系求通項或項】 4
【題型2 累加法求通項公式】 6
【題型3 累乘法求通項公式】 8
【題型4 構(gòu)造法求通項公式】 10
【題型5 數(shù)列的周期性】 11
【題型6 數(shù)列的單調(diào)性】 13
【題型7 數(shù)列的最大（?。╉棥?15
【題型8 數(shù)列中的規(guī)律問題】 17
【題型9 數(shù)列的恒成立問題】 19
1、數(shù)列的概念與簡單表示法
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式) (2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù) 2021年北京卷：第10題，4分 數(shù)列是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考中對數(shù)列的概念的考查相對較少，考查題型以選擇題、填空題為主，難度不大，重點是考查數(shù)列的單調(diào)性、周期性與最值等內(nèi)容.
【知識點1 數(shù)列的概念與基本知識】
1．?dāng)?shù)列的定義
一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一
個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.
2．?dāng)?shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義 舉例
按項的
個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列 1,2,3,…,n
無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列 1,0,1,0,1,0,…
按項的
變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一
項的數(shù)列 3,4,5,6,…,n+2
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一
項的數(shù)列 -1,-2,-3,…,-n
常數(shù)列 各項相等的數(shù)列 0,0,0,0,…
擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一
項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 1,-2,3,-4,…
3．?dāng)?shù)列的通項公式
如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這
個數(shù)列的通項公式.
4．?dāng)?shù)列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
(2)對數(shù)列遞推公式的理解
①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關(guān)于項的序號n的恒等式.
如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.
③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：
基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；
遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項與它的前一項 ()(或前幾項)間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可
以用等式來表示.
5．?dāng)?shù)列表示方法及其比較
優(yōu)點 缺點
通項
公式法 便于求出數(shù)列中任意指定的一項，利于對數(shù)列性質(zhì)進行研究 一些數(shù)列用通項公式表示比較困難
列表法 內(nèi)容具體、方法簡單，給定項的序號，易得相應(yīng)項 確切表示一個無窮數(shù)列或項數(shù)比較多的有窮數(shù)列時比較困難
圖象法 能直觀形象地表示出隨著序號的變化，相應(yīng)項的變化趨勢 數(shù)列項數(shù)較多時用圖象表示比較困難
遞推
公式法 可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì)，如前后幾項之間的關(guān)系 不容易了解數(shù)列的全貌，計算也不方便
6．?dāng)?shù)列的前n項和
數(shù)列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{}的前n項和，記作，即=+++.
如果數(shù)列{}的前n項和與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做
這個數(shù)列的前n項和公式.
=.
【知識點2 數(shù)列的通項公式的求解策略】
1．由an與Sn的關(guān)系求通項：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式.
(2) Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含 Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.
2．由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項.
(3)構(gòu)造法：
①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵.
②形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
【知識點3 數(shù)列的性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略】
1．?dāng)?shù)列周期性問題的解題策略：
解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求出有關(guān)項的值或前n項和.
2．求數(shù)列最大項與最小項的常用方法
(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項的表達式觀察出單調(diào)性，直接確定最大 (小)項，否則，利用作差法.
(2)利用確定最大項，利用確定最小項.
【方法技巧與總結(jié)】
1．若數(shù)列{}的前n項和為，通項公式為，則=.
2．在數(shù)列{}中，若最大，則；若最小，則.
【題型1 由an與Sn的關(guān)系求通項或項】
【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由代入即可求得.
【解答過程】，當(dāng)時，，
當(dāng)也滿足，
所以數(shù)列的通項公式為.
故選：D.
【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【解題思路】利用數(shù)列的通項和前n項和公式求解.
【解答過程】解：由題意可得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
兩式相減得，即．
綜上所述，
所以，
故選：C．
【變式1-2】（2024·四川·三模）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
由題中等式，可得，再結(jié)合時，可得.
【解答過程】當(dāng)時，有，所以，
當(dāng)時，由，，
兩式相減得，
此時，，也滿足，
所以的通項公式為.
故選：B.
【變式1-3】（2024·江蘇·一模）已知正項數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】由已知和式求出通項的通項，從而得出，再由已知條件，從而求出，類似的往前推，求出即可.
【解答過程】時，
時，
，
故選：D.
【題型2 累加法求通項公式】
【例2】（23-24高二·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，利用累加法得出.
【解答過程】由題意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故選：B.
【變式2-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列 中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
解法一：由結(jié)合累加法得出；解法二：由逐項驗證即可.
【解答過程】
由 及，得，即.
法一: ，
這個式子累加，得 2 )，即，
又當(dāng)時，，符合上式，所以 .
法二: 由，得，經(jīng)逐一驗證得正確.
故選：A.
【變式2-2】（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【解題思路】由遞推公式用累加法公式求出，再求即可.
【解答過程】法一：由題得 ，
所以.
法二：由題，，
所以.
故選：C.
【變式2-3】（2023·山西·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件寫出遞推關(guān)系式，運用累加法求得通項公式，賦值可判斷A項、B項、D項，分別計算與比較大小可判斷B項.
【解答過程】由相鄰層球的個數(shù)差，可知，，
所以當(dāng)時，，
將代入得，符合
所以，
對于A項，當(dāng)時，，故A項錯誤；
對于B項，當(dāng)時，，故B項錯誤；
對于C項，因為，
所以，
，
所以，故C項錯誤；
對于D項，，故D項正確.
故選：D.
【題型3 累乘法求通項公式】
【例3】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，前項和，則數(shù)列的通項公式為 （ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)數(shù)列遞推式，得，兩式相減，可得，利用累乘法，即可得到結(jié)論
【解答過程】由于數(shù)列中，，前項和，
∴當(dāng)時，，
兩式相減可得：
∴，
所以，
因此，
故選：A.
【變式3-1】（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
由，可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果
【解答過程】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因為，所以，
因為滿足上式，所以，
故選：B.
【變式3-2】（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知是數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由得，兩式相減得，把分別代入，用累乘法得，，再驗證也成立，即可得到.
【解答過程】由得，
兩式相減得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因為，所以，.
當(dāng)時，，所以.
故選：B.
【變式3-3】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知，，則數(shù)列的通項公式是（　?。?br/>A．n B． C．2n D．
【解題思路】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計算可得；
【解答過程】解：由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，因為，所以，
故選：C．
【題型4 構(gòu)造法求通項公式】
【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】通過構(gòu)造等差數(shù)列的方法，先求得，進而求得.
【解答過程】由，得，
所以，
所以，兩邊取倒數(shù)得，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
.
故選：A.
【變式4-1】（2024·廣東茂名·一模）已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，則（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【解題思路】利用給定的遞推公式，結(jié)合對數(shù)運算變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項即可得解.
【解答過程】由，得，于是，則，
兩邊取對數(shù)得，因此，數(shù)列是常數(shù)列，
則，即，所以，.
故選：B.
【變式4-2】（23-24高一下·上?！て谀?shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【解題思路】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項求解即得.
【解答過程】數(shù)列中，由，得，即，
而，，于是數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：.
【變式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列的前n項和為，，，則數(shù)列的通項公式為 ．
【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合變形等式，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項.
【解答過程】數(shù)列中，，當(dāng)時，，
兩式相減得，即，則有，
因此數(shù)列是常數(shù)列，則，
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：.
【題型5 數(shù)列的周期性】
【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【解題思路】根據(jù)遞推公式代入檢驗可知數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解即可.
【解答過程】因為，，，
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
可知數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，
所以.
故選：A.
【變式5-1】（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列中，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.
【解答過程】由，得
，
，
，
，
，
，
則是以6為周期的周期數(shù)列，
所以.
故選：C.
【變式5-2】（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項的和為（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解題思路】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運算得解.
【解答過程】由題意得，用替換式子中的，得，
兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.
又，，.
所以數(shù)列的前2024項和.
故選：A.
【變式5-3】（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）已知數(shù)列，若 ，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列為“凸數(shù)列”，且，，則的前2 024項的和為（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－1
【解題思路】根據(jù)，遞推出數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列求解.
【解答過程】解：因為，所以，
，
則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，又，
所以，
故選：D.
【題型6 數(shù)列的單調(diào)性】
【例6】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.
【解答過程】為遞增數(shù)列時，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；
為遞增數(shù)列時，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.
所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【解答過程】當(dāng)時，則，
所以，即，所以是遞增數(shù)列，故充分性成立；
當(dāng)時，則，所以是遞增數(shù)列，
所以當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列，可以大于，所以必要性不成立，
所以“”是是遞增數(shù)列的充分不必要條件.
故選：B.
【變式6-2】（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由已知條件推得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式可得，再由數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．
【解答過程】因為，
所以，
由于，即，
可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
則，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，可得，
即對任意的正整數(shù)都成立．
當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，
可得，則；
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞增，
可得，則；
綜上可得的取值范圍是．
故選：B．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意得到是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式得到，利用是遞減數(shù)列列出關(guān)于的不等式，進而求出的取值范圍.
【解答過程】將整理得，
又，易知當(dāng)時,，不滿足是遞減數(shù)列，故，
因此數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故，因此，
由于是遞減數(shù)列，故恒成立，得，
化簡得，故，
因此，解得，
故選：B．
【題型7 數(shù)列的最大（小）項】
【例7】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列、滿足：，，，則數(shù)列的最大項是（ ）
A．第7項 B．第9項
C．第11項 D．第12項
【解題思路】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可.
【解答過程】時，，，，，將上式累加，得，解得（對于同樣成立），故，
令，即，
解得，，故，即第九項最大.
故選：B.
【變式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若數(shù)列的前項積，則的最大值與最小值之和為（ ）
A． B． C．2 D．
【解題思路】由題可得，利用數(shù)列的增減性可得最值，即求.
【解答過程】∵數(shù)列的前項積，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
時也適合上式，
∴，
∴當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，且 ，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，且 ，
故的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為2.
故選：C.
【變式7-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】根據(jù)給定條件，確定數(shù)列前4項的值，后5項與的差，即可列式計算得解.
【解答過程】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，而數(shù)列的前10項和為定值，
為使取最大，當(dāng)且僅當(dāng)前4項值最小，后5項分別與的差最小，
則，，
因此，解得，所以的最大值為7.
故選：C.
【變式7-3】（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知數(shù)列，下列說法正確的是（ ）
A．有最大項，但沒有最小項
B．沒有最大項，但有最小項
C．既有最大項，又有最小項
D．既沒有最大項，也沒有最小項
【解題思路】分奇偶分別作差，判斷奇數(shù)項的單調(diào)性以及偶數(shù)項的單調(diào)性，從而得出結(jié)果.
【解答過程】當(dāng)
，
，
當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，故最大，
當(dāng)時，
，
，
當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，故最小，
綜上，既有最大項，又有最小項.
故選：C.
【題型8 數(shù)列中的規(guī)律問題】
【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀，希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個六邊形數(shù)為（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【解題思路】根據(jù)給定圖形信息，利用歸納法求出六邊形數(shù)形成數(shù)列的通項公式，即可求出要求的項.
【解答過程】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列，
依題意，，歸納得，
所以.
故選：C.
【變式8-1】（2023·海南·模擬預(yù)測）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項分別為，據(jù)此可以推測，該數(shù)列的第15項與第60項的和為（ ）
A．1012 B．1016 C．1912 D．1916
【解題思路】根據(jù)題意，給出數(shù)列的前幾項，觀察其規(guī)律，得到奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，代入即可求解.
【解答過程】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項為，可得此時滿足，
奇數(shù)項為，可得，
所以，，則，
所以.
故選：C.
【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關(guān)系為（其中）．當(dāng)時，有如下勾股弦數(shù)組序列：，，則在這個序列中，第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【解題思路】由給定的勾股弦數(shù)組序列中，，，得，由 ，得.
【解答過程】因為，所以．
在給定的勾股弦數(shù)組序列中，，所以．
易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項公式為，
所以，
故“弦”的通項公式為 ．
所以第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于．
故選：C．
【變式8-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦 曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【解題思路】本題是一個探究型的題目，從圖①中讀取信息：白球分形成兩白一黑，黑球分型成一白兩黑；由圖②，從第二行起，球的總個數(shù)是前一行的3倍，白球的個數(shù)是前一行白球個數(shù)的兩倍加上黑球的個數(shù)，黑球的個數(shù)是前一行黑球個數(shù)的兩倍加上白球的個數(shù).由此建立遞推關(guān)系求解得到結(jié)果.
【解答過程】設(shè)題圖②中第行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，
依題意可得，且有，
所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，
①；
又，，
故有，
∴為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，
②；
由①②相加減得：
，；
所以．
故選：C．
【題型9 數(shù)列的恒成立問題】
【例9】（23-24高三上·湖北襄陽·期末）數(shù)列中，，若恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
【解題思路】
先將條件變形得到，進而構(gòu)造常數(shù)數(shù)列求出的通項公式，代入，通過參變分離，求最值即可.
【解答過程】由已知，
兩邊同時除以可得
，
即，
即，
則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，
所以，
所以，
又恒成立，
即恒成立，
因為，，
所以，
所以
又
所以要恒成立，有，所以.
故選：A.
【變式9-1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）定義．若數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，令，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，求得，，結(jié)合，且恒成立，得到或，且，列出不等式組，即可求得的取值范圍.
【解答過程】由數(shù)列的前項和為，
當(dāng)時，可得，
又由當(dāng)時，，適合上式，
所以數(shù)列通項公式為，
由數(shù)列滿足且，可得，
即，
各式相加可得，
又由，所以，所以，
因為，且恒成立，
當(dāng)，，，符合題意；
當(dāng)，則滿足且且，即，解得；
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且．若對恒成立，則的取值范圍為 ．
【解題思路】由與的關(guān)系，可求得，進而求出與的值，當(dāng)時，可得兩個等差數(shù)列的通項公式，由相鄰兩項間的大小關(guān)系，即可求得的取值范圍.
【解答過程】法一：因為，當(dāng)時，，兩式相減得，則，兩式相減得．
當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則．
則．
要使對恒成立，則即解得，
所以的取值范圍為.
法二：，當(dāng)時，，
兩式相減得，則，
兩式相減得，所以數(shù)列都是以2為公差的遞增數(shù)列，
要使對恒成立，只需而，
則解得,
所以的取值范圍為.
故答案為：.
【變式9-3】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知數(shù)列的通項公式為.若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【解題思路】將恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求得其最大項即可.
【解答過程】解：由，得，
所以.
設(shè)，
則.
設(shè)，則，
令，解得，即在上單調(diào)遞增，
令，解得，即在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以當(dāng)時，，即，
所以.
當(dāng)時，，即，所以.
綜上，，所以，即，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·山東濟南·三模）若數(shù)列的前項和，則等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解題思路】根據(jù)與關(guān)系求解即可.
【解答過程】.
故選：C.
2．（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【解題思路】根據(jù)題意，得到數(shù)列的偶數(shù)項的通項公式為，即可求解.
【解答過程】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項為，
可得該數(shù)列的偶數(shù)項的通項公式為，
所以此數(shù)列的第30項為.
故選：C.
3．（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由遞增數(shù)列定義可得，代入計算即可得解.
【解答過程】由題意可得恒成立，即，
即，又，，故.
故選：A.
4．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知數(shù)列對任意滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由，得，從而，再利用累乘法求解.
【解答過程】解：由，得，
所以，
所以，即①．
又因為②，
①②兩式相乘，得．
故選：A．
5．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數(shù)的倒數(shù)的和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)很大時，.其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，用上式計算的值為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解題思路】設(shè)，分析可知數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合題中數(shù)據(jù)估算可知，即可得結(jié)果.
【解答過程】設(shè)，則，
因為，
可知數(shù)列為遞增數(shù)列，
且，
，
可知，所以.
故選：C.
6．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）數(shù)列前n項和為，且，則關(guān)于及敘述正確的是（ ）
A．， 都有最小值 B．， 都有最大值
C．， 都無最小值 D．， 都無最大值
【解題思路】利用數(shù)列通項的單調(diào)性和正負即可判斷出答案．
【解答過程】因為，所以當(dāng)時，且單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，且單調(diào)遞減，故當(dāng)時，為最小值；
又因為當(dāng)時，；當(dāng)時，，故可得最小，
綜上可知，都有最小值．
故選：A.
7．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)奇偶性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知的條件推得數(shù)列的周期，從而計算的出結(jié)果；
【解答過程】由題意可知：的定義域為，
且，即，
可知為定義在上的奇函數(shù)，且，
因為在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增；
綜上所述：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).
因為，則，
可得，即，
由可知：3為數(shù)列的周期，則，
且，所以.
故選：B.
8．（2024·四川綿陽·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)條件先求解出的通項公式，A：根據(jù)的通項公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；B：根據(jù)的結(jié)果進行判斷；C：根據(jù)的通項公式結(jié)合的表達式進行分類討論再判斷；D：判斷的單調(diào)性，然后分析的取值范圍.
【解答過程】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以不滿足的情況，
所以，
對于A：當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，所以，故A錯誤；
對于B：因為，所以，故B錯誤；
對于C：當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，，不滿足，
故不恒成立，故C錯誤；
對于D：當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知為遞減數(shù)列，此時，
且恒成立，所以，也滿足；
所以，故D正確；
故選：D.
二、多選題
9．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
【解題思路】根據(jù)遞推公式分別求出和可判斷A；將兩邊同時取倒數(shù)后配方，再適當(dāng)放縮可得到，即可判斷B；根據(jù)，再利用累加法可判斷C；根據(jù)，再利用累乘法可求出即可判斷D.
【解答過程】 ，，易知，，
對于A， ，，故A正確；
對于B， ， ，
，兩邊開方得，故B錯誤；
對于C，由B知，，即，
當(dāng)時，
，
， ，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，故C正確；
對于D，由C知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)時，
，
，故D錯誤.
故選：BD.
10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，若， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．為遞增數(shù)列 D．為周期數(shù)列
【解題思路】根據(jù)題意，分別求得，，，得到數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，逐項判定，即可求解．
【解答過程】解：由題意，數(shù)列滿足， ，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，A錯誤；
當(dāng)時，；
若為奇數(shù)，則，為偶數(shù)，，為奇數(shù)，
則，，，；
若為偶數(shù)，則，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，
則，，，.
所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.
故 ，B正確：
又由，故遞增，C正確；
由上述討論可知，的項為1，，1，，故是周期數(shù)列，D正確．
故選：BCD．
11．（2024·遼寧沈陽·二模）已知數(shù)列的通項公式為，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則數(shù)列單調(diào)遞減
B．若對任意，都有，則
C．若，則對任意，都有
D．若的最大項與最小項之和為正數(shù)，則
【解題思路】對于選項A，求出，再作差判斷兩式分母的大小關(guān)系判斷即可；對于選項B，求解，再分為奇數(shù)與偶數(shù)的情況討論即可；對于選項C，分為奇數(shù)與偶數(shù)的情況討論，進而求和分析是否為0即可；對于選項D，先將條件轉(zhuǎn)化為：到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，再分情況討論即可.
【解答過程】對于選項A，由條件知，，而，
結(jié)合，知，所以，
所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故A正確；
對于選項B，首先有.
若，則當(dāng)n為偶數(shù)時，，從而必成立；
而當(dāng)n為奇數(shù)且時，由，知，，從而，即，這意味著.
所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B錯誤；
對于選項C，顯然當(dāng)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時，必有同號，故；
而當(dāng)?shù)钠媾夹圆煌瑫r，為奇數(shù)，此時不妨設(shè)分別是奇數(shù)和偶數(shù)，則
，
因為，故為偶數(shù)，而為奇數(shù)，所以，
所以，故C正確；
對于選項D，首先顯然的是，最大項必定是某個第偶數(shù)項，最小項必定是某個第奇數(shù)項.
當(dāng)為偶數(shù)時，要讓最大，即要讓最??；
而當(dāng)為奇數(shù)時，要讓最小，即要讓最小.
設(shè)和分別是到距離最小的正偶數(shù)和正奇數(shù)，則條件相當(dāng)于.
而，故條件等價于，即.
這表明，條件等價于，到距離最小的正奇數(shù)到的距離，大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離.
若，則到距離最小的正奇數(shù)和正偶數(shù)分別是1和2，而由可知，不符合條件；
若，是正奇數(shù)，則到距離最小的正奇數(shù)到的距離為0，不可能大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，不符合條件；
若，且不是正奇數(shù)，設(shè)到的距離最近的正偶數(shù)為，則.
此時到距離最小的正偶數(shù)到的距離為，從而到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于，進一步知任意正奇數(shù)到的距離都大于.
從而，，這意味著，，所以.
綜上，，，故D正確．
故選：ACD.
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知一數(shù)列：，則該數(shù)列的通項可以表示為 （答案不唯一） .
【解題思路】觀察數(shù)列前幾項的特征，寫出數(shù)列的一個通項即可.
【解答過程】因為，，，
，，，，
所以該數(shù)列的通項可以表示為.
故答案為：（答案不唯一）.
13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前三項依次為的前項和，則 2024 ．
【解題思路】根據(jù)題意列方程得到，然后根據(jù)求即可.
【解答過程】由題意知，，，
解得，，，
所以，.
故答案為：2024.
14．（2024·北京·三模）已知數(shù)列的前n項和為且，給出下列四個結(jié)論：①長度分別為的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形：②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是 ② .
【解題思路】①:先確定最大的那個，再根據(jù)勾股定理列式判斷；②通過放縮得到，再進一步通過放縮判斷；③④求出，然后舉例排除.
【解答過程】對于①：，則，
則，即，
假設(shè)長度分別為的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形，
則為斜邊，所以，
所以，所以或，與矛盾，故①錯誤；
對于②：，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br/>所以，所以，
所以，②正確；
對于③：由已知，此時，所以不成立，③錯誤；
對于④：由已知，此時，所以不成立，④錯誤.
故答案為：②.
四、解答題
15．（23-24高二·全國·課堂例題）分別寫出下列數(shù)列的一個遞推關(guān)系，并求出各個數(shù)列的第7項：
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)，2，5，8，11，…；
(3)1，，4，，16，…．
【解題思路】找出數(shù)列的規(guī)律，由此求得遞推關(guān)系，從而求得第項.
【解答過程】（1）因為：，，
，，
所以，即．
從而．
（2）因為，
所以3，即．
從而．
（3）因為，
所以 ．即．
從而．
16．（23-24高二下·遼寧·期末）已知數(shù)列滿足．
(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；
(2)設(shè)，求使數(shù)列取得最大值時n的值．
【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系得到前三項，猜想通項并利用新數(shù)列的關(guān)系加以證明；
（2）寫出數(shù)列的通項公式，利用，可求n的取值范圍.
【解答過程】（1）由題意得，，猜想，
式子可化為，
因為，所以，
因此數(shù)列的通項公式為，得證．
（2）由得，，所以，
若，當(dāng)且僅當(dāng)成立，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故時，取最大值.
17．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)議，當(dāng)取得最小值時，求n的取值．
【解題思路】（1）由數(shù)列中與的關(guān)系即可求解；
（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)時求出的表達式，觀察其單調(diào)性即可得的最小值，從而求出n的取值.
【解答過程】（1）因為，
當(dāng)時，，
所以，
又時，不滿足上式，
故數(shù)列的通項公式為.
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)，時，
因為單調(diào)遞增，∴，
綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時，；
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
因為單調(diào)遞增，∴．
綜上所述，當(dāng)取得最小值時，n的取值為1，2，3．
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）由前項和與通項的關(guān)系可求通項，要注意討論的情況；
（2）先求出的通項公式，代入求得，根據(jù)遞增數(shù)列的定義寫出不等式關(guān)系，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題進行求解.
【解答過程】（1）因為，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以，即.
（易錯：利用公式時，容易忽略的情況）
當(dāng)時，得；當(dāng)時，得.
當(dāng)時，，
所以通項公式為.
（2），，
.
數(shù)列是遞增數(shù)列，
，即，化簡得，
對任意的恒成立，由函數(shù)性質(zhì)知是遞增數(shù)列，最小項是，
，（關(guān)鍵：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題進行求解）
的取值范圍是.
19．（2024·湖北荊州·三模）對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得對任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡稱周期.
(1)判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由.
(2)設(shè)（1）中數(shù)列前項和為，試問是否存在，使對任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.
(3)若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據(jù)周期數(shù)列的定義進行判斷即可；
（2）由（1）可知，是周期為的數(shù)列，得到數(shù)列，求出，通過討論得到的取值范圍；
（3）假設(shè)存在非零常數(shù)，使得是周期為T的數(shù)列，推導(dǎo)出數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，進一步得到數(shù)列的周期為，推斷出，而該方程無解，所以，不存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列.
【解答過程】（1）均是周期數(shù)列，理由如下：
因為，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1，
因為，
所以.則，所以，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6；
（2）由（1）可知，是周期為的數(shù)列，
計算數(shù)列為：，
故，
當(dāng)時，，故；
當(dāng)時，，故；
當(dāng)時，，故；
當(dāng)時，，故；
當(dāng)時，，故；
當(dāng)時，，故；
綜上所述：存在，且.
（3）假設(shè)存在非零常數(shù)，使得是周期為T的數(shù)列，
所以，即，
所以，，即，
所以，，即，
所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，
因為 ，即，
因為，
所以，，，
所以數(shù)列的周期為，
所以，即，顯然方程無解，
所以，不存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列.
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