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專題6.2 等差數列及其前n項和【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 等差數列的基本量運算】 3
【題型2 等差數列的判定與證明】 5
【題型3 等差數列的性質及應用】 7
【題型4 等差數列的通項公式】 9
【題型5 等差數列前n項和的性質】 11
【題型6 等差數列的前n項和的最值】 12
【題型7 等差數列的簡單應用】 14
【題型8 等差數列的奇偶項討論問題】 16
【題型9 含絕對值的等差數列問題】 20
【題型10 等差數列中的恒成立問題】 23
【題型11 與等差數列有關的新定義、新情景問題】 26
1、等差數列及其前n項和
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解等差數列的概念和通項公式的意義 (2)探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系 (3)能在具體問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題 (4)體會等差數列與一元函數的關系 2022年全國乙卷（文數）：第13題，5分 2023年新高考I卷：第7題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分 2024年新高考I卷：第19題，17分 2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分 等差數列是高考的熱點內容，屬于高考的常考內容之一.從近幾年的高考情況來看，等差數列的基本量計算和基本性質、等差數列的中項性質、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數列的證明、求和及綜合應用是高考考查的重點，一般出現在解答題中，難度中等. 去年高考壓軸題中出現數列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.
【知識點1 等差數列的概念】
1．等差數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫
做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，常用字母d表示.
2．等差中項
由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，則有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數成等差數列.
3．等差數列的通項公式
等差數列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.
4．等差數列的單調性
由等差數列的通項公式和一次函數的關系可知等差數列的單調性受公差d影響.
①當d>0時，數列為遞增數列，如圖①所示；
②當d<0時，數列為遞減數列，如圖②所示；
③當d=0時，數列為常數列，如圖③所示.
因此，無論公差為何值，等差數列都不會是擺動數列.
5．等差數列的性質
設{}為等差數列，公差為d，則
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.
(2)數列{+b}(,b是常數)是公差為d的等差數列.
(3)若{}是公差為d'的等差數列，{}與{}的項數一致，則數列{+ (,為常數)是公差為
d+d'的等差數列.
(4)下標成等差數列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數列.
(5)在等差數列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.
【知識點2 等差數列的基本運算的解題策略】
1．等差數列的基本運算的兩大求解思路：
(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題.
(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【知識點3 等差數列的判定的方法與結論】
1．證明數列是等差數列的主要方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數，驗證an-an-1為同一常數.即作差法，將關于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.
(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.
2．判定一個數列是等差數列還常用到的結論：
(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數）是等差數列.
(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數）是等差數列.
問題的最終判定還是利用定義.
【知識點4 等差數列及其前n項和的性質及應用】
1．項的性質：
在等差數列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.
2．和的性質：
在等差數列中，Sn為其前n項和，則
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；
(2)S2n-1=(2n-1)an；
(3)依次k項和成等差數列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數列.
3．求等差數列前n項和的最值的常用方法：
(1)鄰項變號法：利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項，便可求得和的最值；
(2)二次函數法：利用公差不為零的等差數列的前n項和Sn=An2+Bn（A,B為常數，A≠0）為二次函數，通過二次函數的性質求最值.
(3)不等式組法：借助當Sn最大時，有，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.
【方法技巧與總結】
1．已知數列{}的通項公式是= pn+q(其中p，q為常數)，則數列{}一定是等差數列，且公差為p.
2．在等差數列{}中，a1>0， d<0，則Sn存在最大值；若a1<0， d>0，則Sn存在最小值.
3．等差數列{}的單調性：當d>0時，{}是遞增數列；當d<0時，{}是遞減數列；當d=0時，{}是常數列.
4．數列{}是等差數列( A, B為常數).
【題型1 等差數列的基本量運算】
【例1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）若等差數列滿足，則（ ）
A．3 B． C．1 D．
【解題思路】設等差數列的公差為，由通項公式寫出和，都代入中，化簡即可求出.
【解答過程】設等差數列的公差為，則，，
因為，可得，
所以有，解得，
故選：B.
【變式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差數列中，，公差.若數列也是等差數列，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】依題意可得，即可表示出，根據數列為等差數列得到，解得即可.
【解答過程】依題意 ，則，
則，
又是等差數列，所以，解得或（舍去）.
故選：C.
【變式1-2】（2024·內蒙古包頭·三模）設為等差數列的前n項和，若，，若時，，則等于（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22
【解題思路】根據，求出首項與公差的關系，再根據結合等差數列的前項和公式即可得解.
【解答過程】設公差為，
由，得，所以，
由，得
故，
則，
因為，
所以，
化簡得，解得或（舍去）.
故選：D.
【變式1-3】（2024·北京·模擬預測）記等差數列的公差為，前項和為，若，且，則該數列的公差為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】根據下標和性質及等差數列求和公式求出、，即可求出公差.
【解答過程】因為，則，
又，所以，
所以．
故選：B．
【題型2 等差數列的判定與證明】
【例2】（2024·湖北武漢·模擬預測）已知數列，則“”是“數列是等差數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先判斷充分性：由已知可得，數列的偶數項成等差數列，奇數項成等差數列，舉例可知數列不一定是等差數列，再判斷必要性：數列是等差數列，可得，可得結論.
【解答過程】先判斷充分性：，
令，則數列的偶數項成等差數列，
令，則數列的奇數項成等差數列，
但數列不一定是等差數列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“”不是“數列是等差數列”的充分條件；
再判斷必要性：若數列是等差數列，則，
，∴“”是“數列是等差數列”的必要條件；
綜上，“”是“數列是等差數列”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式2-1】（2024·安徽阜陽·模擬預測）設正數數列的前項和為，且，則（ ）
A．是等差數列 B．是等差數列 C．單調遞增 D．單調遞增
【解題思路】先利用和的關系求出，進而得出，；再逐項判斷即可.
【解答過程】依題意可得：，.
因為，
所以當時，，即，解得，
當時，，整理得：，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列.
從而， .
因為當時，，
當時，.
也適合上式，
所以，故選項A、B錯誤，選項D正確.
因為，
所以選項C錯誤.
故選：D.
【變式2-2】（2023·新疆·一模）非零數列滿足，且．
(1)設，證明：數列是等差數列；
(2)設，求的前項和．
【解題思路】（1）對已知條件因式分解可得，根據等差數列定義可證；
（2）利用累乘法求得，然后由裂項相消法可得.
【解答過程】（1）由，
得對于恒成立，
所以，即，
所以，
而，故，
所以數列是以1為公差，為首項的等差數列.
（2）由（1）知，，即，
整理得，
由累乘法得，即，
又，所以，
則，
所以.
【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預測）已知數列的前項的積記為，且滿足.
(1)證明：數列為等差數列；
(2)設，求數列的前項和.
【解題思路】（1）分類討論與兩種情況，利用遞推式求得與，從而得證；
（2）利用裂項相消法求解即可.
【解答過程】（1）因為，
當時，，即，易知，則，
當時，，所以，即，
故數列是以3為首項，2為公差的等差數列.
（2）由（1）得，
則，
所以.
【題型3 等差數列的性質及應用】
【例3】（2024·山西運城·三模）已知數列是等差數列，，則（ ）
A．4 B． C． D．
【解題思路】利用下標和性質計算可得.
【解答過程】因為，則，又，則，
解得，
所以.
故選：C.
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）在數列中，已知，且，則（ ）
A．256 B．196 C．144 D．96
【解題思路】由已知，為等差數列，所以由等差數列的性質即可得到答案.
【解答過程】由，得，則為等差數列，
又，所以由等差數列的性質知．
故選：D．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知等差數列滿足，則（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【解題思路】根據式子的結構特征可進行組合與提取公因式，再利用等差數列性質和等差中項公式不斷簡化式子即可得解.
【解答過程】由題 ，解得，
故選：C.
【變式3-3】（2024·廣西貴港·模擬預測）已知等差數列的公差不為0，，給定正整數m，使得對任意的（且）都有成立，則m的值為（ ）
A．4047 B．4046 C．2024 D．4048
【解題思路】分與兩種情況，結合等差數列的性質和得到方程，求出.
【解答過程】若，由題意知，
由等差數列的性質知，若，則有，所以，
因為公差，且，所以，所以，
所以．
若，可得，
由等差數列性質知，若，則有，所以，
因為公差，且，所以，所以，
所以．
故選：A.
【題型4 等差數列的通項公式】
【例4】（2024·四川·模擬預測）已知為正項數列的前項和，且，則
.
【解題思路】依題意可得，即可得到 ，兩式作差得到，再求出，即可得到數列表示首項為，公差為的等差數列，即可求出其通項公式.
【解答過程】因為，即，
當時，，又因為，
即，解得或（舍去），
當時，，兩式相減，可得，
因為，可得，
又，所以 ，
所以數列表示首項為，公差為的等差數列，
所以．
故答案為：.
【變式4-1】（23-24高二下·廣東汕尾·階段練習）已知數列的前項和（其中為常數，），寫出使為等差數列的一個通項公式 2n .
【解題思路】利用可得答案.
【解答過程】時，，
時，，
所以是首項為，公差為2的等差數列，
若為等差數列，則即，
此時.
故答案為：.
【變式4-2】（2024高三·廣東·專題練習）已知數列為公差不為零的等差數列，，且滿足，
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，且，求數列的前n項和.
【解題思路】本題第（1）題先設等差數列的公差為，然后根據題干可列出關于首項a1與公差d的方程組，解出a1與d的值，即可計算出數列的通項公式；
第（2）題由題干可得.根據遞推公式的特點可用累加法計算出數列的通項公式，接著計算出數列的通項公式，然后運用裂項相消法計算前n項和.
【解答過程】解：（1）由題意，設等差數列的公差為，則
，解得，
所以.
（2）依題意，由可得.
則時，
當時，，即也滿足上式，
，
，
.
【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習）已知數列，其中數列是等差數列，且滿足，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前項和；
【解題思路】（1）由已知，分別令，先由題意建方程組求解，由等差數列求通項，再由關系求通項即可；
（2）利用裂項相消法求和.
【解答過程】（1）因為，
所以，，
由解得，由解得，
又數列是等差數列，
所以的公差，
故數列的通項公式，
所以，
即的通項公式．
（2）由（1）知，
則．
【題型5 等差數列前n項和的性質】
【例5】（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【解題思路】借助等差數列片斷和的性質計算即可得.
【解答過程】由數列為等差數列，
故、、、、亦為等差數列，
由，，則，
故，，，
即有，，.
故選：D.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知等差數列的前項和分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據等差數列通項公式及求和公式可得結果.
【解答過程】因為為等差數列的前項和，所以可設，（等差數列前項和的二級結論）
同理因為為等差數列的前項和，所以可設．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨設，則，則，故，
故選：D．
【變式5-2】（2024·四川樂山·一模）設等差數列的前項和，若，，則（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【解題思路】根據成等差數列，得到方程，求出答案.
【解答過程】由題意得成等差數列，
即成等差數列，
即，解得.
故選：C.
【變式5-3】（2024·廣東佛山·模擬預測）設等差數列，的前項和分別為，，若對任意正整數都有，則（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【解題思路】運用等差數列的等和性及等差數列前項和公式求解即可.
【解答過程】由等差數列的等和性可得，
.
故選：C.
【題型6 等差數列的前n項和的最值】
【例6】（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解題思路】根據條件，可得數列為遞減數列，且，，可判斷得解.
【解答過程】在等差數列中，，由，可得，
，，且數列為遞減數列，
所以使得前n項的和最大的n值為8.
故選：B.
【變式6-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知是等差數列，是其前項的和，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則取最小值時的值為12
B．若，則的最大值為108
C．若，則必有
D．若首項，，則取最小值時的值為9
【解題思路】對于AB，利用等差數列求和公式求出，然后利用二次函數性質求解即可判斷；對于C，根據等差數列和的性質，結合等差數列通項性質求和即可判斷；對于D，利用求得，利用數列單調性判斷的最值即可.
【解答過程】對于A，因為，所以，
所以，
所以當時，取得最小值，正確；
對于B，因為，所以，
所以，
所以當或時，取得最大值為，正確；
對于C，若，則，又，
所以，所以，正確；
對于D，若，則，
又，所以，所以，
所以等差數列為遞減數列，所以，
所以取最大值時的值為9，錯誤.
故選：D.
【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）記等差數列的前項和為，公差為，已知，則取最小值時，（ ）
A．1 B．4 C．5 D．4或5
【解題思路】由題意可得數列的通項公式，找出數列中的非正數項即可得.
【解答過程】由題意可知，解得，
所以，
令，則，解得，
所以取最小值時或．
故選：D．
【變式6-3】（2024·遼寧·二模）設等差數列的前n項和為，點在函數的圖象上，則（ ）
A． B．若，則，使最大
C．若，則，使最大 D．若，則，使最大
【解題思路】根據等差數列的前n項和，得到，可判定A錯誤；由時，得到，當時，可判定B錯誤；由，得到，可判定C錯誤；由，得到，可判定D正確．
【解答過程】因為等差數列的前n項和（d為公差），
所以，點在函數的圖像上，
對于A中，因為在函數的圖象上，
可得，，，所以無意義，所以A錯誤；
對于B中，若，則，此時，
當時，不存在，使最大，所以B錯誤；
對于C中，若，則，有最小值，無最大值，所以C錯誤；
對于D中，若，則，有最大值，所以D正確．
故選：D.
【題型7 等差數列的簡單應用】
【例7】（2024·湖南·二模）張揚的父親經營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數列．有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上標記了兩個缺貨尺寸．幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標記缺貨尺寸的進貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼．現在問題是，另外一個缺貨尺寸是（ ）
A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼
【解題思路】利用等差數列的通項公式求得尺碼的總個數，再利用等差數列的前項和公式求得總尺碼，繼而得到缺貨尺寸的總碼數，進一步計算即可.
【解答過程】設第一個尺碼為，公差為，
則，
則，
當時，，
故若不缺碼，所有尺寸加起來的總和為
碼，
所有缺貨尺碼的和為碼，
又因為缺貨的一個尺寸為碼，
則另外一個缺貨尺寸碼，
故選：C.
【變式7-1】（2023·四川達州·一模）《孫子算經》是我國南北朝時著名的數學著作，其中有物不知數問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個.這些物品的數量是多少個？若一個正整數除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數由小到大排列，則前5個數的和為（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【解題思路】根據題意，構成首項為，公差為的等差數列，得到，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【解答過程】根據題意，被以3除余2，除以5余3的數，構成首項為，公差為的等差數列，
則，
所以將這樣的正整數由小到大排列，則前5個數的和為.
故選：B.
【變式7-2】（2024·山西晉城·一模）生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【解題思路】利用等差數列求和公式列方程求解.
【解答過程】若他連續打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數列，且首項為1，公差為2，第天所得積分為．
假設他連續打卡天，第天中斷了，
則他所得積分之和為
，化簡得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故選：D.
【變式7-3】（2024·四川達州·一模）《孫子算經》是我國南北朝時著名的數學著作，其中有物不知數問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個，這些物品的數量是多少個？若一個正整數除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數由小到大排列，則前10個數的和為（ ）
A．754 B．755 C．756 D．757
【解題思路】由題意可得除以三余二且除以五余三的正整數是以為首項，為公差的等差數列，再根據等差數列的前項和公式即可得解.
【解答過程】設除以三余二的正整數為數列，則，
除以五余三的正整數為數列，則，
除以三余二且除以五余三的正整數為數列，
而和的最小公倍數為，
則數列是由數列和的公共項構成的一個數列，
數列是以為首項，為公差的等差數列，
則，
所以前10個數的和為.
故選：B.
【題型8 等差數列的奇偶項討論問題】
【例8】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知數列的前項和為且．
(1)求的值；
(2)求數列的通項公式．
【解題思路】（1）根據的關系，化為，根據并項法求；
（2）由遞推關系可得，據此分為奇數、偶數求通項公式，再合并即可得解.
【解答過程】（1）因為，
所以．
兩式相減，得．
所以
；
（2）由（1）知①，
可得②，．
因為，
所以，又，
所以
又由①②得．
所以，即為偶數，
則當，且為奇數時，
，
又符合上式，綜合得．
【變式8-1】（2023·山東威海·一模）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【解題思路】（1）根據的關系可得，進而根據等差數列的性質即可求解，
(2)數列的前項的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首項為2，公差為2的等差數列，再求奇數項和即可.
【解答過程】（1）由得時，
兩式相減得,整理得
因為，所以,所以數列是以為公差的等差數列
在中令解得
所以.
（2）當時
，
又，，...，是首項為2，公差為2的等差數列，
所以，
故．所以
當時
，
又，，...，是首項為2，公差為2的等差數列，
所以，
故．所以
當為偶數時, ; 當為奇數時, .
【變式8-2】（2024·湖北·模擬預測）數列中，，，且，
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前項和為，且滿足，，求．
【解題思路】（1）依題意可得，即可得到為等差數列，即可得到，再利用累加法計算可得；
（2）由（1）可得，由，得到與同號，再對分類討論，利用并項求和法計算可得.
【解答過程】（1）因為，所以，
所以數列是公差為的等差數列，其首項為，
于是，
則，，，
，，
所以，
所以；而符合該式，故.
（2）由（1）問知，，則，
又，則，兩式相乘得，即，
因此與同號，
因為，所以當時，，此時，
當為奇數時，，
當為偶數時，；
當時，，此時，
當為奇數時，，
當為偶數時，；
綜上，當時，；當時，.
【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項積為．
(1)求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
【解題思路】（1）由前項積定義可得，再由等差數列定義即可得出證明，并求得數列的通項公式為；
（2）利用裂項相消法求和，對的奇偶進行分類討論即可得.
【解答過程】（1）由題意得當時，．
因為，所以，解得以．
當時，，即，因此．
所以數列是以3為首項，2為公差的等差數列，
可得．
所以．
（2）由題意知
．
當為偶數時，
；
當為奇數時，
．
所以（或）.
【題型9 含絕對值的等差數列問題】
【例9】（2024·四川成都·二模）已知數列的前n項和，且的最大值為．
(1)確定常數，并求；
(2)求數列的前15項和．
【解題思路】（1）根據題意，求得，結合，即可求得數列的通項公式；
（2）由（1）求得，結合，即可求解.
【解答過程】（1）解：由數列的前n項和，
根據二次函數的性質，可得當時，取得最大值，
即，解得，所以，
當時，，
當時，（符合上式），
所以數列的通項公式為.
（2）解：由（1）知，可得，
且當且時，可得；當且時，可得，
所以數列的前15項和：．
【變式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知數列是首項為1的等差數列，公差，設數列的前項和為，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【解題思路】（1）根據給定條件，利用等比中項的意義、等差數列前n項和公式求解作答.
（2）令，判斷數列的單調性，確定正數項、負數項，再結合等差數列前n項和公式分段求和作答.
【解答過程】（1）因為成等比數列，則有，
即，而，解得，則，
所以的通項公式是．
（2）由（1）知，令，則數列為遞增數列，其前4項為負值，從第5項開始為正值，
設的前項和為，則，
若， ，
若，
，
所以.
【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）已知等差數列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)設的前項和為，求．
【解題思路】（1）設等差數列的公差為，分別選擇①②③，求得公差的值，結合等差數列的通項公式和前項和公式，即可求解；
（2）由（1）中的通項公式，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【解答過程】（1）設等差數列的公差為，且．
選擇①：（1）因為，所以，解得．
所以，則，
利用二次函數對稱性和開口方向知，關于對稱，
因為，所以當或6時，.
選擇②：因為，可得，
因為，所以，此時，所以，
因為，所以單調遞增，且當時，．
所以當或11時，最小，此時.
選擇③：因為，所以，即，所以，
所以，則，
利用二次函數對稱性和開口方向知，關于對稱，
因為，所以當或6時，.
（2）解：若選擇①或③：由（1）知，當時，，
所以
.
若選擇②：由（1）知，且當時，，且，
所以
.
【變式9-3】（2024·廣東·模擬預測）已知數列與為等差數列，，，前項和為．
(1)求出與的通項公式；
(2)是否存在每一項都是整數的等差數列，使得對于任意，都能滿足．若存在，求出所有上述的；若不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）由等差數列通項公式及通項公式，可求出與的通項公式.
（2）根據第一小問求得的與的通項公式，結合題意，可得出的限制條件，由條件寫出符合題意的通項公式.
【解答過程】（1）∵等差數列前項和公式為，前項和為，
∴，，解得：，公差，則，
又∵，，∴的公差為，則.
綜上所述：，.
（2）由題意可知，需滿足，
當時，，即，，，
當時，，，
若，，則，，，，解得：，符合題意；
若，，則，，，，解得：，符合題意；
若，，則，，，，解得：，符合題意；
若，，則，，，，解得：，符合題意；
綜上所述：存在數列，為，，，.
【題型10 等差數列中的恒成立問題】
【例10】（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數列，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立，求實數λ的取值范圍．
【解題思路】（1）根據題意建立方程求出等差數列的首項與公差，從而可求解；
（2）先求出等差數列的前n項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數列的單調性求出最值，從而得解．
【解答過程】（1）設數列 的公差為d，則根據題意可得，
解得，則．
（2）由（1）可知運用等差數列求和公式，得到，
又恒成立，則恒成立，
設，則，
當時，，即；
當時，，則，則；
則，故，
故實數λ的取值范圍為．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為，且是以2為公差的等差數列．
(1)若，求證：是等比數列；
(2)對任意，都有成立，求的取值范圍．
【解題思路】（1）先寫出數列的通項公式，然后利用計算，利用待定系數法構造等比數列求解即可；
（2）設，將恒成立轉化為，即證明單調遞增，設，計算恒成立，轉化為最值問題求解即可.
【解答過程】（1）因為是以2為公差的等差數列，且，
所以①．
所以②，
由②-①，得．所以．
因為，即，
所以是以為首項，為公比的等比數列；
（2）由（1）得當時，，
當時，適合上式，所以．
因為對任意，都有成立，
不妨設，則，所以．所以單調遞增．
設，
則，
所以，即．
因為單調遞減，所以．所以．
綜上所述，的取值范圍是．
【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知為各項均為正數的數列的前項和,.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為,若對恒成立，求實數的最大值.
【解題思路】（1）先求得的值，然后利用與的關系推出數列為等差數列，由此求得的通項公式；
（2）首先結合（1）求的表達式，然后用裂項法求得，再根據數列的單調性求得的最大值．
【解答過程】（1）當時，由題設得，即，又，解得.
由知：.
兩式相減得：，即.
由于，可得，即，
所以是首項為，公差為的等差數列，
所以.
（2）由得：
.
因為，
所以，則數列是遞增數列，
所以，故實數的最大值是.
【變式10-3】（23-24高二下·吉林長春·階段練習）設正項數列的前項之和，數列的前項之積，且.
(1)求證：為等差數列，并分別求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，不等式對任意正整數恒成立，求正實數的取值范圍.
【解題思路】（1）利用已知關系可得，代入，化簡可證為等差數列，從而求得，的通項公式；
（2）由（1）得，利用裂項相消可得，利用數列的單調性求出，解不等式即可求出正實數的取值范圍.
【解答過程】（1）由題意知：當時，，代入得，
所以.
由，得，
所以是以2為首項，1為公差的等差數列，
所以，，，
當時，，
當時，也符合上式，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
顯然單調遞增，所以.
由題意得，即，
又，所以的取值范圍為.
【題型11 與等差數列有關的新定義、新情景問題】
【例11】（2024·黑龍江·三模）如果n項有窮數列滿足，，…，，即，則稱有窮數列為“對稱數列”.
(1)設數列是項數為7的“對稱數列”，其中成等差數列，且，依次寫出數列的每一項；
(2)設數列是項數為(且)的“對稱數列”，且滿足，記為數列的前項和.
①若，，…，構成單調遞增數列，且.當為何值時，取得最大值
②若，且，求的最小值.
【解題思路】（1）根據新定義“對稱數列”的定義和已知條件可求得公比，進而求得結果；
（2）①根據對稱數列的定義可得數列為等差數列，然后根據二次函數的性質來求解；②由條件得到數列相鄰兩項間的大小關系，并結合定義求得的取值范圍，然后結合已知條件確定出最后的結果
【解答過程】（1）因為數列是項數為7的“對稱數列”，所以，
又因為成等差數列，其公差，…
所以數列的7項依次為1，3，5，7，5，3，1；
（2）①由，，…，是單調遞增數列，數列是項數為的“對稱數列”且滿足，
可知，，…，構成公差為2的等差數列，，，…，構成公差為的等差數列，
故
，
所以當時，取得最大值；
②因為即，
所以即，
于是，
因為數列是“對稱數列”，
所以
，
因為，故，
解得或，所以，
當，，…，構成公差為的等差數列時，滿足，
且，此時，所以的最小值為2025.
【變式11-1】（2024·福建南平·二模）若數列共有項，對任意都有（為常數，且），則稱數列是關于的一個積對稱數列.已知數列是關于的一個積對稱數列.
(1)若，，，求的值；
(2)已知數列是公差為的等差數列，，若，，求和的值；
(3)若數列是各項均為正整數的單調遞增數列，求證：.
【解題思路】（1）依題意可得，從而求出；
（2）依題意，即可得到，再結合等差數列通項公式得到，再根據對應系數相等得到方程組，解得即可；
（3）依題意可得，再利用裂項相消法計算可得.
【解答過程】（1）依題意，又，所以.
（2）法一：由知對任意 都有，
即，
所以，
所以，
所以，
因為，，所以，即.
法二：當時由得，
所以，
即，
令，，
則，
因為，，所以，，
即，，
當時都有
，
所以，成立.
（3）由已知，，…，，
所以，
所以
，
即.
【變式11-2】（2024·江蘇南京·二模）已知數列的前n項和為．若對每一個，有且僅有一個，使得，則稱為“X數列”.記，，稱數列為的“余項數列”.
(1)若的前四項依次為0，1，，1，試判斷是否為“X數列”，并說明理由；
(2)若，證明為“X數列”，并求它的“余項數列”的通項公式；
(3)已知正項數列為“X數列”，且的“余項數列”為等差數列，證明：．
【解題思路】（1）依次求出，再根據“X數列”定義進行判斷即可.
（2）由先求出數列通項公式，再依據“X數列”定義進行推算證明即可，接著由“余項數列”的定義公式進行計算即可.
（3）先探究得出“余項數列”公差情況，再討論時推出矛盾得到，接著探究時若得出矛盾，從而得出，進而得出即可進一步推出.
【解答過程】（1）由題，
所以有，，
故根據“X數列”的定義不是“X數列”.
（2）因為，
所以當時，；
當時，；
則不滿足，所以，
令，即，
則當時，有，；
當時，有；故即，
則對每一個，有且僅有一個且，使得，
綜上，對任意，有且僅有一個，使得，
所以為“X數列”，
由上，，
即的“余項數列”通項公式為，.
（3）因為是正項數列，所以單調遞增，
所以，故，
因為，且為“X數列”，
所以，故由得，
的“余項數列”為等差數列，故其公差，
因為，所以，
若，則當時，，與矛盾，
故，所以，，即，
對于，若，則，與正項數列矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，
所以，.
【變式11-3】（2024·貴州·三模）差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數列，規定為數列的一階差分數列，其中；規定為的二階差分數列，其中.如果的一階差分數列滿足，則稱是“絕對差異數列”；如果的二階差分數列滿足，則稱是“累差不變數列”.
(1)設數列，判斷數列是否為“絕對差異數列”或“累差不變數列”，請說明理由；
(2)設數列的通項公式，分別判斷是否為等差數列，請說明理由；
(3)設各項均為正數的數列為“累差不變數列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數都有，且不等式恒成立，求實數的最大值.
【解題思路】（1）根據“絕對差異數列”和“累差不變數列”的定義判斷即可；
（2）分別求出數列的通項，再根據等差數列的定義即可得出結論；
（3）根據等差數列的性質以及新定義求解出，運用基本不等式求解出的范圍，從而得出的最值.
【解答過程】（1）對于數列，
可得：一階差分數列為，不滿足，
所以不是“絕對差異數列”，
二階分差數列為，滿足，
所以是“累差不變數列”；
（2）因為，
所以，所以，
因為，所以數列是首項為，公差為的等差數列，
因為，
所以數列數列是首項為，公差為的等差數列；
（3）由題意得，
對，都有，
所以，
所以，
所以，所以數列是等差數列，
設數列的公差為，則，
當時，，與矛盾；
當時，當時，，
與數列的各項均為正數矛盾，故，
，
則，
，
因為，所以，
所以，
則當時，不等式恒成立，
另一方面，當時，令，
則，
，
則
，
因為，
所以當時，，
即有，與恒成立矛盾.
綜上所述，實數的最大值為.
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列滿足，且，則首項（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據等差數列通項公式直接求解即可.
【解答過程】設等差數列的公差為，因為，且，
所以，所以.
故選：A.
2．（2024·新疆·二模）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意結合等差數列的性質求解即可，或根據題意利用等差數列的通項公式化簡，再化簡即可.
【解答過程】因為，所以，所以．
因為，所以．
另解：設等差數列的公差為，
由，得，
所以，即，得，
所以，
因為，
，
，
，
所以
故選：A．
3．（2024·天津濱海新·三模）已知數列為各項不為零的等差數列，為數列的前項和，，則的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解題思路】由數列的遞推式，分別令，結合等差數列的通項公式，解方程可得首項和公差，再根據等差數列通項公式即可得到答案．
【解答過程】設等差數列公差為，∵，
∴當時，，解得，
∴，
當時， ，
∴，
∴．
故選：D．
4．（2024·河北衡水·三模）已知數列均為等差數列，其前項和分別為，滿足，則（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【解題思路】根據題意，利用得出數列的性質和得出數列的求和公式，準確計算，即可求解.
【解答過程】因為數列均為等差數列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故選：A．
5．（2024·遼寧·模擬預測）2024年春節前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯”的促銷活動，活動規則如下：將一天內購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯1對，否則不能獲得春聯．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯的人數為（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
【解題思路】將能被3除余1且被4除余1的正整數按從小到大排列所得的數列記為，根據題意結合等差數列的通項求出其通項公式，進而可得出答案.
【解答過程】將能被3除余1且被4除余1的正整數按從小到大排列所得的數列記為，
則既是3的倍數，也是4的倍數，
故為12的倍數，所以是首項為0，公差為12的等差數列，
所以，
令，即，且，解得，
且，又，所以恰好獲得1對春聯的人數為167．
故選:A.
6．（2024·山東泰安·三模）已知為等差數列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設的公差為，根據題意列出方程組，求得，得到和，進而求得答案.
【解答過程】設的公差為，因為，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以當時，取得最小值.
故選：D.
7．（2023·重慶·二模）已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.
【解答過程】設等差數列的公差為，首項為，
則，所以，
因為，即，則，
等差數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，等差數列的前30項中奇數項有15項，所以，得，
所以.
故選：B.
8．（2024·湖北·二模）已知等差數列的前n項和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數x可能為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解題思路】由與的關系且為等差數列，求出，由，得，構造函數，由在時恒成立，求實數x的取值范圍.
【解答過程】因為，時，，
時，，
所以，，，
因為為等差數列，所以，，
從而，，
所以，即，
則當時，恒成立，
，解得或，
只有選項A符合題意，
故選：A.
二、多選題
9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，下列說法正確的有（ ）
A． B．當時，
C．當時，不是數列中的項 D．若是數列中的項，則的值可能為6
【解題思路】對A，根據等差數列通項公式求解即可；對B，分析的公差再求解即可；對C，由B中通項公式判斷即可；對D，根據題意判斷當時即可.
【解答過程】對A，，故A正確；
對B，當時，公差，此時，故B正確；
對C，當時，此時，，即是數列中的項，故C錯誤；
對D，當時，，又，故D正確.
故選：ABD.
10．（2024·河北衡水·模擬預測）已知數列是公差為的等差數列，若它的前項的和，則下列結論正確的是（ ）
A．若，使的最大的值為
B．是的最小值
C．
D．
【解題思路】由題設可推得，對于A，由，推斷即得，對于B，利用A結論，舉反例可排除B，對于C，D兩項，采用作差法，利用和等差數列的基本量運算即可判斷.
【解答過程】由題意，，因，則（*），
對于A，因，則，由（*）知，
故使的最大的值為，即A正確；
對于B，若，由A項知，，
即數列的前項都是正數項，第項起都是負數項，
即此時是的最大值，即B錯誤；
對于C，由
，
因，，
故上式的值為0，即，故C正確；
對于D，由
，
由C分析知，且，
故上式的值也為0，即，故D正確.
故選：ACD.
11．（2024·重慶·模擬預測）設是各項為正的無窮數列，若對于，（d：為非零常數），則稱數列為等方差數列．那么（ ）
A．若是等方差數列，則是等差數列
B．數列為等方差數列
C．若是等方差數列，則數列中存在小于1的項
D．若是等方差數列，則存在正整數n，使得
【解題思路】對于B：代入定義計算即可判斷；根據題意結合等差數列的定義分析判斷A；借助題目條件，借助放縮將等式轉換為不等式后結合數列的函數性質分析判斷C；由題意將表示出來后，使用放縮技巧，通過放縮法結合裂項相消法求和以表示出與有關不等式即可判斷D.
【解答過程】對于選項B：若時，則，，
則不為定值，
所以數列不是等方差數列，故B錯誤；
對于選項ACD：若是等方差數列，則為常數，
所以數列是以為首項，公差為d的等差數列，故A正確；
可得，
當時，則總存在正整數，使，
與矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
則，
由隨的增大而增大，
故總存在正整數使，即數列中存在小于1的項，故C正確；
由，故，
則
，
可得
，
由隨n的增大而增大，且時，，
故對任意的，總存在正整數n使，
即總存在正整數n，使得，D正確；
故選：ACD．
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）在等差數列中，，，則其公差 2 .
【解題思路】依題意列出等式，即可求解公差.
【解答過程】由，得，故，
所以.
故答案為：2.
13．（2024·江蘇宿遷·三模）表示不小于x的最小整數，例如，．已知等差數列的前n項和為，且，．記，則數列的前10項的和為 ．
【解題思路】先求出數列的通項公式，再求數列的前10項的和.
【解答過程】由，可得，解得，
又，得，解得，
所以數列的公差為，，
又，
，同理，，，，，
所以數列的前10項的和為.
故答案為：.
14．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
【解題思路】根據已知條件得到關于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數列的通項公式，，由此可得數列的通項公式，分組求和即可求解.
【解答過程】設等差數列的公差為．由，得①，
由得②，
聯立①②，，解得，
所以．
則，
所以
．
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·山西晉中·模擬預測）已知數列的前項和為，，且當時，，
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設數列滿足，求的值.
【解題思路】（1）由題意可得，兩邊同時除以（），得，從而得證；
（2）利用（1）中結論求得，再分類討論與兩種情況，求得與，從而得解.
【解答過程】（1）因為，所以，則，
因為，易知，所以，
又，所以數列是首項與公差都為2的等差數列；
（2）由（1）得，則，
當時，；
當時，，
所以，
所以.
16．（2024·四川·模擬預測）已知數列滿足，．
(1)證明數列是等差數列，并求的通項公式；
(2)若數列滿足，，求的前n項和．
【解題思路】（1）根據數列遞推公式進行合理變形得出，利用等差數列的定義可判斷并求得數列的通項公式；
（2）依題求得，利用裂項相消法即可求得.
【解答過程】（1）由，可得，
即，即，
故數列是等差數列，其首項為，公差為1，
則，解得；
（2）由可得 ，
則 .
17．（2024·湖南·模擬預測）已知公差不為0的等差數列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)記是數列的前項和，證明: .
【解題思路】（1）設，再用已知條件列出兩個方程并解出其中的參數；
（2）直接求出，再用裂項法即可.
【解答過程】（1）設，則由已知有，.
將第一個等式展開化簡可得，故由知.
再代入第二個等式可得，解得，從而.
故的通項公式是.
（2）由于，
故
.
18．（2024·全國·模擬預測）數列的前項和為，，且.
(1)證明：為等差數列；
(2)對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解題思路】（1）根據即可代入化簡得，由等差數列的定義即可求解，
（2）根據可得的表達式，進而將問題轉化為，構造，利用作差法確定數列的單調性，即可求解最值得解.
【解答過程】（1）當時，，則，
化簡得，又，
所以，又，
所以是以1為首項，2為公差的等差數列.
（2）由（1）得，則，
故
則，
由，得，則，
令，
則，所以數列單調遞增，
又，故，所以實數的取值范圍是.
19．（2024·江西南昌·三模）給定數列，若對任意m，且，是中的項，則稱為“H數列”．設數列的前n項和為
(1)若，試判斷數列是否為“H數列”，并說明理由；
(2)設既是等差數列又是“H數列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)設是等差數列，且對任意，是中的項，求證：是“H數列”．
【解題思路】（1）根據“H數列”定義判斷即可.
（2）由等差數列和“H數列”的定義得到公差的等式關系即可求解.
（3）由等差數列的定義與求和公式，進行分情況討論，即可證明是“H數列”.
【解答過程】（1）因為，當時，，
當時，也成立，
所以，
對任意m，且，，
是“H數列”.
（2）因為 ，，，
所以，所以，
由已知得也為數列中的項，
令，即，
所以，所以d為6的正因數，
故d的所有可能值為1，2，3，6.
（3）設數列的公差為d，所以存在，對任意，，即，
當時，則，故，此時數列為“H數列”；
當時，，取，則，所以，，
當時，均為正整數，符合題意，
當時，均為正整數，符合題意，
所以，，
設，，，即，
所以任意m，且，，
顯然，所以為數列中的項，
是“H數列”.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題6.2 等差數列及其前n項和【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 等差數列的基本量運算】 3
【題型2 等差數列的判定與證明】 4
【題型3 等差數列的性質及應用】 5
【題型4 等差數列的通項公式】 5
【題型5 等差數列前n項和的性質】 6
【題型6 等差數列的前n項和的最值】 6
【題型7 等差數列的簡單應用】 7
【題型8 等差數列的奇偶項討論問題】 8
【題型9 含絕對值的等差數列問題】 9
【題型10 等差數列中的恒成立問題】 10
【題型11 與等差數列有關的新定義、新情景問題】 11
1、等差數列及其前n項和
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解等差數列的概念和通項公式的意義 (2)探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系 (3)能在具體問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題 (4)體會等差數列與一元函數的關系 2022年全國乙卷（文數）：第13題，5分 2023年新高考I卷：第7題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分 2024年新高考I卷：第19題，17分 2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分 等差數列是高考的熱點內容，屬于高考的常考內容之一.從近幾年的高考情況來看，等差數列的基本量計算和基本性質、等差數列的中項性質、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數列的證明、求和及綜合應用是高考考查的重點，一般出現在解答題中，難度中等. 去年高考壓軸題中出現數列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.
【知識點1 等差數列的概念】
1．等差數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫
做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，常用字母d表示.
2．等差中項
由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，則有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數成等差數列.
3．等差數列的通項公式
等差數列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.
4．等差數列的單調性
由等差數列的通項公式和一次函數的關系可知等差數列的單調性受公差d影響.
①當d>0時，數列為遞增數列，如圖①所示；
②當d<0時，數列為遞減數列，如圖②所示；
③當d=0時，數列為常數列，如圖③所示.
因此，無論公差為何值，等差數列都不會是擺動數列.
5．等差數列的性質
設{}為等差數列，公差為d，則
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.
(2)數列{+b}(,b是常數)是公差為d的等差數列.
(3)若{}是公差為d'的等差數列，{}與{}的項數一致，則數列{+ (,為常數)是公差為
d+d'的等差數列.
(4)下標成等差數列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數列.
(5)在等差數列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.
【知識點2 等差數列的基本運算的解題策略】
1．等差數列的基本運算的兩大求解思路：
(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題.
(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【知識點3 等差數列的判定的方法與結論】
1．證明數列是等差數列的主要方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數，驗證an-an-1為同一常數.即作差法，將關于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.
(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.
2．判定一個數列是等差數列還常用到的結論：
(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數）是等差數列.
(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數）是等差數列.
問題的最終判定還是利用定義.
【知識點4 等差數列及其前n項和的性質及應用】
1．項的性質：
在等差數列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.
2．和的性質：
在等差數列中，Sn為其前n項和，則
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；
(2)S2n-1=(2n-1)an；
(3)依次k項和成等差數列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數列.
3．求等差數列前n項和的最值的常用方法：
(1)鄰項變號法：利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項，便可求得和的最值；
(2)二次函數法：利用公差不為零的等差數列的前n項和Sn=An2+Bn（A,B為常數，A≠0）為二次函數，通過二次函數的性質求最值.
(3)不等式組法：借助當Sn最大時，有，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.
【方法技巧與總結】
1．已知數列{}的通項公式是= pn+q(其中p，q為常數)，則數列{}一定是等差數列，且公差為p.
2．在等差數列{}中，a1>0， d<0，則Sn存在最大值；若a1<0， d>0，則Sn存在最小值.
3．等差數列{}的單調性：當d>0時，{}是遞增數列；當d<0時，{}是遞減數列；當d=0時，{}是常數列.
4．數列{}是等差數列( A, B為常數).
【題型1 等差數列的基本量運算】
【例1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）若等差數列滿足，則（ ）
A．3 B． C．1 D．
【變式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差數列中，，公差.若數列也是等差數列，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】（2024·內蒙古包頭·三模）設為等差數列的前n項和，若，，若時，，則等于（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22
【變式1-3】（2024·北京·模擬預測）記等差數列的公差為，前項和為，若，且，則該數列的公差為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【題型2 等差數列的判定與證明】
【例2】（2024·湖北武漢·模擬預測）已知數列，則“”是“數列是等差數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-1】（2024·安徽阜陽·模擬預測）設正數數列的前項和為，且，則（ ）
A．是等差數列 B．是等差數列 C．單調遞增 D．單調遞增
【變式2-2】（2023·新疆·一模）非零數列滿足，且．
(1)設，證明：數列是等差數列；
(2)設，求的前項和．
【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預測）已知數列的前項的積記為，且滿足.
(1)證明：數列為等差數列；
(2)設，求數列的前項和.
【題型3 等差數列的性質及應用】
【例3】（2024·山西運城·三模）已知數列是等差數列，，則（ ）
A．4 B． C． D．
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）在數列中，已知，且，則（ ）
A．256 B．196 C．144 D．96
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知等差數列滿足，則（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【變式3-3】（2024·廣西貴港·模擬預測）已知等差數列的公差不為0，，給定正整數m，使得對任意的（且）都有成立，則m的值為（ ）
A．4047 B．4046 C．2024 D．4048
【題型4 等差數列的通項公式】
【例4】（2024·四川·模擬預測）已知為正項數列的前項和，且，則
.
【變式4-1】（23-24高二下·廣東汕尾·階段練習）已知數列的前項和（其中為常數，），寫出使為等差數列的一個通項公式 .
【變式4-2】（2024高三·廣東·專題練習）已知數列為公差不為零的等差數列，，且滿足，
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，且，求數列的前n項和.
【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習）已知數列，其中數列是等差數列，且滿足，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前項和；
【題型5 等差數列前n項和的性質】
【例5】（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知等差數列的前項和分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·四川樂山·一模）設等差數列的前項和，若，，則（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【變式5-3】（2024·廣東佛山·模擬預測）設等差數列，的前項和分別為，，若對任意正整數都有，則（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【題型6 等差數列的前n項和的最值】
【例6】（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式6-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知是等差數列，是其前項的和，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則取最小值時的值為12
B．若，則的最大值為108
C．若，則必有
D．若首項，，則取最小值時的值為9
【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）記等差數列的前項和為，公差為，已知，則取最小值時，（ ）
A．1 B．4 C．5 D．4或5
【變式6-3】（2024·遼寧·二模）設等差數列的前n項和為，點在函數的圖象上，則（ ）
A． B．若，則，使最大
C．若，則，使最大 D．若，則，使最大
【題型7 等差數列的簡單應用】
【例7】（2024·湖南·二模）張揚的父親經營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數列．有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上標記了兩個缺貨尺寸．幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標記缺貨尺寸的進貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼．現在問題是，另外一個缺貨尺寸是（ ）
A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼
【變式7-1】（2023·四川達州·一模）《孫子算經》是我國南北朝時著名的數學著作，其中有物不知數問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個.這些物品的數量是多少個？若一個正整數除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數由小到大排列，則前5個數的和為（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【變式7-2】（2024·山西晉城·一模）生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【變式7-3】（2024·四川達州·一模）《孫子算經》是我國南北朝時著名的數學著作，其中有物不知數問題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個，這些物品的數量是多少個？若一個正整數除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數由小到大排列，則前10個數的和為（ ）
A．754 B．755 C．756 D．757
【題型8 等差數列的奇偶項討論問題】
【例8】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知數列的前項和為且．
(1)求的值；
(2)求數列的通項公式．
【變式8-1】（2023·山東威海·一模）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【變式8-2】（2024·湖北·模擬預測）數列中，，，且，
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前項和為，且滿足，，求．
【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項積為．
(1)求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
【題型9 含絕對值的等差數列問題】
【例9】（2024·四川成都·二模）已知數列的前n項和，且的最大值為．
(1)確定常數，并求；
(2)求數列的前15項和．
【變式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知數列是首項為1的等差數列，公差，設數列的前項和為，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）已知等差數列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)設的前項和為，求．
【變式9-3】（2024·廣東·模擬預測）已知數列與為等差數列，，，前項和為．
(1)求出與的通項公式；
(2)是否存在每一項都是整數的等差數列，使得對于任意，都能滿足．若存在，求出所有上述的；若不存在，請說明理由．
【題型10 等差數列中的恒成立問題】
【例10】（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數列，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立，求實數λ的取值范圍．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為，且是以2為公差的等差數列．
(1)若，求證：是等比數列；
(2)對任意，都有成立，求的取值范圍．
【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知為各項均為正數的數列的前項和,.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為,若對恒成立，求實數的最大值.
【變式10-3】（23-24高二下·吉林長春·階段練習）設正項數列的前項之和，數列的前項之積，且.
(1)求證：為等差數列，并分別求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，不等式對任意正整數恒成立，求正實數的取值范圍.
【題型11 與等差數列有關的新定義、新情景問題】
【例11】（2024·黑龍江·三模）如果n項有窮數列滿足，，…，，即，則稱有窮數列為“對稱數列”.
(1)設數列是項數為7的“對稱數列”，其中成等差數列，且，依次寫出數列的每一項；
(2)設數列是項數為(且)的“對稱數列”，且滿足，記為數列的前項和.
①若，，…，構成單調遞增數列，且.當為何值時，取得最大值
②若，且，求的最小值.
【變式11-1】（2024·福建南平·二模）若數列共有項，對任意都有（為常數，且），則稱數列是關于的一個積對稱數列.已知數列是關于的一個積對稱數列.
(1)若，，，求的值；
(2)已知數列是公差為的等差數列，，若，，求和的值；
(3)若數列是各項均為正整數的單調遞增數列，求證：.
【變式11-2】（2024·江蘇南京·二模）已知數列的前n項和為．若對每一個，有且僅有一個，使得，則稱為“X數列”.記，，稱數列為的“余項數列”.
(1)若的前四項依次為0，1，，1，試判斷是否為“X數列”，并說明理由；
(2)若，證明為“X數列”，并求它的“余項數列”的通項公式；
(3)已知正項數列為“X數列”，且的“余項數列”為等差數列，證明：．
【變式11-3】（2024·貴州·三模）差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數列，規定為數列的一階差分數列，其中；規定為的二階差分數列，其中.如果的一階差分數列滿足，則稱是“絕對差異數列”；如果的二階差分數列滿足，則稱是“累差不變數列”.
(1)設數列，判斷數列是否為“絕對差異數列”或“累差不變數列”，請說明理由；
(2)設數列的通項公式，分別判斷是否為等差數列，請說明理由；
(3)設各項均為正數的數列為“累差不變數列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數都有，且不等式恒成立，求實數的最大值.
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列滿足，且，則首項（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·新疆·二模）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津濱海新·三模）已知數列為各項不為零的等差數列，為數列的前項和，，則的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2024·河北衡水·三模）已知數列均為等差數列，其前項和分別為，滿足，則（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2024·遼寧·模擬預測）2024年春節前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯”的促銷活動，活動規則如下：將一天內購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯1對，否則不能獲得春聯．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯的人數為（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
6．（2024·山東泰安·三模）已知為等差數列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·重慶·二模）已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北·二模）已知等差數列的前n項和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數x可能為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多選題
9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，下列說法正確的有（ ）
A． B．當時，
C．當時，不是數列中的項 D．若是數列中的項，則的值可能為6
10．（2024·河北衡水·模擬預測）已知數列是公差為的等差數列，若它的前項的和，則下列結論正確的是（ ）
A．若，使的最大的值為
B．是的最小值
C．
D．
11．（2024·重慶·模擬預測）設是各項為正的無窮數列，若對于，（d：為非零常數），則稱數列為等方差數列．那么（ ）
A．若是等方差數列，則是等差數列
B．數列為等方差數列
C．若是等方差數列，則數列中存在小于1的項
D．若是等方差數列，則存在正整數n，使得
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）在等差數列中，，，則其公差 .
13．（2024·江蘇宿遷·三模）表示不小于x的最小整數，例如，．已知等差數列的前n項和為，且，．記，則數列的前10項的和為 ．
14．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
四、解答題
15．（2024·山西晉中·模擬預測）已知數列的前項和為，，且當時，，
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設數列滿足，求的值.
16．（2024·四川·模擬預測）已知數列滿足，．
(1)證明數列是等差數列，并求的通項公式；
(2)若數列滿足，，求的前n項和．
17．（2024·湖南·模擬預測）已知公差不為0的等差數列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)記是數列的前項和，證明: .
18．（2024·全國·模擬預測）數列的前項和為，，且.
(1)證明：為等差數列；
(2)對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
19．（2024·江西南昌·三模）給定數列，若對任意m，且，是中的項，則稱為“H數列”．設數列的前n項和為
(1)若，試判斷數列是否為“H數列”，并說明理由；
(2)設既是等差數列又是“H數列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)設是等差數列，且對任意，是中的項，求證：是“H數列”．
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