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專題6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】 4
【題型2 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 5
【題型3 等比數(shù)列的判定與證明】 6
【題型4 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】 9
【題型5 等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 10
【題型6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 12
【題型7 等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 14
【題型8 等比數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】 16
【題型9 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 19
【題型10 等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 23
【題型11 與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 27
1、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義 (2)掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系 (3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題 (4)體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷：第17題，10分 2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分 2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第15題，5分 2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第5題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分 2024年北京卷：第5題，5分 等比數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的常考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，等比數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等. 去年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和】
1．等比數(shù)列的概念
文字
語(yǔ)言 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符號(hào)
語(yǔ)言 在數(shù)列{}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比
遞推
關(guān)系 或
2．等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).
若G是a與b的等比中項(xiàng)，則，所以=ab，即G=.
3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是=(,q≠0).
4．等比數(shù)列的單調(diào)性
已知等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則
(1)當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；
(2)當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；
(3)當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個(gè)常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；
(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{}為擺動(dòng)數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號(hào)，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶
數(shù)項(xiàng)異號(hào)).
5．等比數(shù)列的性質(zhì)
設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.
(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；
若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.
(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為
.
(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.
(6)若數(shù)列{}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.
6．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為
=.
7．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：
(1).
(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.
(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；
若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.
【知識(shí)點(diǎn)2 等比數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略】
1．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的求解思路：
等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.
【知識(shí)點(diǎn)3 等比數(shù)列的判定方法】
1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；
(2)中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；
(3)通項(xiàng)公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；
證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.
2．在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)n=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.
【知識(shí)點(diǎn)4 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用】
1．等比數(shù)列的性質(zhì)：
等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形；三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
2．等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題
涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.
【知識(shí)點(diǎn)5 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征】
1．Sn與q的關(guān)系
(1)當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，
由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；
(2)當(dāng)公比q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn).
2．Sn與an的關(guān)系
當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).
【方法技巧與總結(jié)】
1．等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.
2．等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).
3．設(shè)數(shù)列{}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.
(1).
(2)若，則成等比數(shù)列.
(3)若數(shù)列{}的項(xiàng)數(shù)為2n，則；若項(xiàng)數(shù)為2n+1，則.
【題型1 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】
【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再解方程組求出，即可得解.
【解答過程】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，
所以，
則，解得或，
又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，
所以，
所以公比.
故選：A.
【變式1-1】（2024·廣東廣州·三模）等比數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式可求公比及首項(xiàng)，進(jìn)而可求.
【解答過程】依題意有，
.
故選：B.
【變式1-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比為（ ）
A． B． C．2 D．
【解題思路】利用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合正項(xiàng)等比數(shù)列求出最后的結(jié)果.
【解答過程】設(shè)數(shù)列的公比為，顯然，則，解得或（舍去）.
故選C.
【變式1-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．1 B．或-1 C． D．或1
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公比，進(jìn)而可求解.
【解答過程】依題意，，因?yàn)?，
故，
故或
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng) ；
或1.
故選：D.
【題型2 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】
【例2】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再代入求解即可.
【解答過程】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，
因此，即，
所以，
故選：B.
【變式2-1】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比為，則（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解.
【解答過程】由題意可知，
所以.
故選：D.
【變式2-2】（2024·河南駐馬店·二模）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之積為Sn，若，，則a11=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，運(yùn)算求解即可.
【解答過程】因?yàn)椋裕?br/>解得，，
則，故．
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【解題思路】已知條件作商可求得，然后根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，解得，
則．
故選：B.
【題型3 等比數(shù)列的判定與證明】
【例3】（2024·浙江·三模）已知數(shù)列滿足，則“為等比數(shù)列”是“（，）”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【解答過程】若為等比數(shù)列，則，
所以，，
當(dāng)時(shí)，故充分性不成立；
若（，），不妨令，則，又，
所以，即，所以為公比為的等比數(shù)列，故必要性成立；
故“為等比數(shù)列”是“（，）”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列
【解題思路】利用等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B、C，特殊值判斷D，即可得結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為，
所以是定值，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，選項(xiàng)正確;
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為，
所以是定值，
所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，選項(xiàng)正確;
因?yàn)椋裕?br/>所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，選項(xiàng)正確;
當(dāng)時(shí)，，則不是等比數(shù)列，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：D.
【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列滿足，，則下列是等比數(shù)列的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由數(shù)列的遞推式，計(jì)算前四項(xiàng)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷；由數(shù)列的遞推式推得，可判斷．
【解答過程】由，，，
可得，即，解得，
又，即，解得，
由，，，，故A錯(cuò)誤；
由，，，，故B錯(cuò)誤；
由，，，，故C錯(cuò)誤；
由，可得，
即為，又，可得是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，故D正確．
故選：D.
【變式3-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知“正項(xiàng)數(shù)列滿足”，則“”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解題思路】由可得正項(xiàng)數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列，再由結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.
【解答過程】因?yàn)椋裕?br/>兩式相除可得：，
所以，
所以當(dāng)，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以當(dāng)，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
當(dāng)，則，，
所以數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，
所以“”能推出“數(shù)列為等比數(shù)列”，
若數(shù)列為等比數(shù)列，則公比為2，故，
所以“數(shù)列為等比數(shù)列”能推出“”.
故“”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充要條件.
故選：C.
【題型4 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】
【例4】（2024·全國(guó)·一模）等比數(shù)列中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比，且由可得，從而可求解.
【解答過程】由題意知數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，得，解得，
因?yàn)椋矗矗裕忠驗(yàn)椋裕?br/>所以，故B正確.
故選：B.
【變式4-1】（23-24高三下·青海玉樹·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由題設(shè)求出，再通過構(gòu)造得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【解答過程】令可得，又，解得，又，
則，，即是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，.
故選：B.
【變式4-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知在遞增的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【解題思路】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通項(xiàng).
【解答過程】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋裕獾茫?br/>又，所以有，
由是遞增的等比數(shù)列，解得，
所以， 即有.
故答案為：.
【變式4-3】（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列滿足：（），請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： ．
【解題思路】根據(jù)給定條件，可得，公比，再寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式即可.
【解答過程】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，
顯然，即，于是，解得，
，滿足，，
取，.
故答案為：（答案不唯一，（，））.
【題型5 等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】
【例5】（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比的不同情形，分析數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件得解.
【解答過程】若，，則數(shù)列單調(diào)遞減，故不能推出數(shù)列單調(diào)遞增；
若單調(diào)遞增，則，，或，，不能推出，
所以“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
【變式5-1】（2024·四川自貢·三模）等比數(shù)列公比為，若，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件
【解題思路】由等比數(shù)列及已知，要為遞增數(shù)列只需在上恒成立，討論、、，結(jié)合的符號(hào)，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.
【解答過程】由題設(shè)且，要為遞增數(shù)列，只需在上恒成立，
當(dāng)，不論取何值，總存在，不滿足要求；
當(dāng)，
，則，不滿足要求；
，總存在，不滿足要求；
當(dāng)，
，則，不滿足；
，若，，顯然，即，不滿足；
，則在上恒成立，滿足.
所以為遞增數(shù)列有且.
所以，“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的充分不必要條件.
故選：B.
【變式5-2】（23-24高二下·北京順義·期中）數(shù)列是等比數(shù)列，則對(duì)于“對(duì)于任意的 ，”是“是遞增數(shù)列”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等比數(shù)列的單調(diào)性與通項(xiàng)公式判斷即可.
【解答過程】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
若，則，
當(dāng) 時(shí)，由 得，解得或，
若，則，此時(shí)與已知矛盾；
若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列．
當(dāng)時(shí)，由，得，解得或，
若，則，此時(shí)與已知矛盾；
若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列．
反之，若是遞增數(shù)列，則，
所以“對(duì)于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的充要條件．
故選：C．
【變式5-3】（2024·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列
【解題思路】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.
【解答過程】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最小；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對(duì)于C，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：D.
【題型6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】
【例6】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的值為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【解題思路】由等比數(shù)列片段和依然成等比數(shù)列，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可列式求解.
【解答過程】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
若，，則，
所以，即，
解得或（舍去）.
故選：C.
【變式6-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.
【解答過程】依題意，成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，設(shè)其公比為，
則，
由，得，整理得，
由等比數(shù)列的公比小于1，得，解得，
所以.
故選：B.
【變式6-2】（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出n即可．
【解答過程】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，
得到奇數(shù)項(xiàng)為，
偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，
所以前項(xiàng)的和為，解得.
故選：B.
【變式6-3】（2024·江蘇·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程求解即可.
【解答過程】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，
所以，解得或（舍，若成立則不滿足上面三項(xiàng)成等比數(shù)列），故A正確.
故選：A.
【題型7 等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】
【例7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個(gè)花蕾，第一天有10個(gè)花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解題思路】每天荷花的數(shù)量都是前一天的2倍，則荷花朵數(shù)為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，列出不等式求解即可，注意花蕾有凋謝的情況.
【解答過程】設(shè)第天水塘中的荷花朵數(shù)為，則，
設(shè)第天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量為，則，，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以荷花的數(shù)量在第8天達(dá)到最大.
故選：C.
【變式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)第三角形的斜邊長(zhǎng)為，面積為，根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>設(shè)第三角形的斜邊長(zhǎng)為，面積為，
由題意可知：，，，
則，，
可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以所作的所有三角形的面積和為.
故選：D.
【變式7-2】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．3937萬(wàn)元 B．3837萬(wàn)元
C．3737萬(wàn)元 D．3637萬(wàn)元
【解題思路】根據(jù)配湊法、分組求和法求得正確答案.
【解答過程】設(shè)，，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以
則
（萬(wàn)元）.
故選：A.
【變式7-3】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，分析可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，即可求得的值.
【解答過程】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，
由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，該馬七天所走的里程為，解得.
故該馬第五天行走的里程數(shù)為.
故選：D.
【題型8 等比數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】
【例8】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，得出數(shù)列為等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，結(jié)合，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【解答過程】（1）解：由，可得，所以，
又由，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
又當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以
【變式8-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解題思路】（1）利用“比差等數(shù)列”的定義可得，令，則為常數(shù)列，
可得，可求的通項(xiàng)公式；
（2）分為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況求解可得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解答過程】（1）由為“比差等數(shù)列”，
得，
從而.
設(shè)，則，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因?yàn)椋?br/>所以為常數(shù)列，
因此，，即，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
因此.
（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
綜上，.
【變式8-2】（2024·云南昆明·三模）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解題思路】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求；
（2）求得后，討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求.
【解答過程】（1）當(dāng)時(shí)，，即，，
所以，同理．
當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：
，因?yàn)椋裕?br/>即，故，又，所以．
同理，或，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
，
同理當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．
所以.
【變式8-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解題思路】（1）利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)可得數(shù)列為等比數(shù)列，從而得解；
（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解答過程】（1）成等差數(shù)列，
，即，而，
為等比數(shù)列，
又，得.
（2），
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
.
【題型9 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】
【例9】（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列滿足：成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解題思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）令，得，兩式相減得，又，即得
【解答過程】（1）設(shè)公差為d，又成等比數(shù)列，
所以，
又，即，解得或，
而時(shí)，不滿足成等比數(shù)列，所以，
所以.
（2）令，
所以，
兩式相減有：，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，即，
又，所以，
所以.
【變式9-1】（2024·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
【解題思路】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.
(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時(shí)，，
取，當(dāng)時(shí)，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前項(xiàng)和.
【解答過程】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，
取，則，即，
當(dāng)時(shí)，，
取，此時(shí)，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
其前項(xiàng)和為：.
【變式9-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解題思路】（1）設(shè)出公差，表達(dá)出前5項(xiàng)，通過等差和等比關(guān)系求出和公差，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）表達(dá)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法即可得出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解答過程】（1）由題意，
在等差數(shù)列中，設(shè)公差為,
由，得，則，
又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．
（2）由題意及（1）得，，
在數(shù)列中，，
在數(shù)列中，，
∴，
∴，
，
兩式相減得
．
∴.
【變式9-3】（2023·天津?yàn)I海新·三模）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且，，，
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)記為的前項(xiàng)和，求證：；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解題思路】（1）由已知條件列出方程組，求解出d，q，根據(jù)等比和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，求出，得證；
（3）利用錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法分奇偶項(xiàng)兩組求和即可.
【解答過程】（1）解：由已知可得，
，
聯(lián)立①②，得，解得或，
因?yàn)槭歉黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，代入①式可得，
所以，；
（2），
，，
則
，
所以；
（3）
，
令
，
則，
，得
，
令
，
.
【題型10 等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】
【例10】（2024·廣西桂林·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)運(yùn)算即可求解；
（2）由（1）可得，結(jié)合錯(cuò)位相減求和法計(jì)算可得，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【解答過程】（1）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，得，即，①，
當(dāng)時(shí)，②，
由①-②得，，又也滿足，
所以．
（2）因?yàn)椋?br/>所以，，
兩式相減得，，
即，則，
故．
由，得，即，
依題意，不等式恒成立，
因?yàn)殡S著n增大而減小，
所以，即的取值范圍為．
【變式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.
【解題思路】（1）根據(jù)與的關(guān)系，作差結(jié)合等比數(shù)列定義即可求得，當(dāng)時(shí)，，作差變形得，利用等差數(shù)列定義求通項(xiàng)公式即可；
（2）先利用錯(cuò)位相減法求得，然后把恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，按照奇偶性分類討論，分離參數(shù)利用數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍.
【解答過程】（1）對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，與原式作差可得，
所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；
對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，解得，
時(shí)，，
與原式作差可得，
因?yàn)椋裕?br/>所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
兩式作差可得，
所以，
所以恒成立，化簡(jiǎn)得.
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以.
綜上可得：.
【變式10-2】（2024·湖南·二模）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）利用題設(shè)條件求得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而求得；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用作差法求得的最大值，從而得解.
【解答過程】（1）因?yàn)椋?br/>所以，則，
，則，
因?yàn)槭歉黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，即，
所以，則.
（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪ⅲ?br/>設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
所以，則.
【變式10-3】（2024·天津紅橋·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，其中，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解題思路】（1）利用的關(guān)系式求解即可；
（2）由題意有，利用分組求和法分別求出，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性分別求出，即可得解.
【解答過程】（1）由，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）由（1）得，
則，
故，
，
而隨的增大而減小，
所以，
隨的增大而增大，
所以，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有，
所以.
【題型11 與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】
【例11】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為，.
(1)若，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若為等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，證明：.
【解題思路】（1）根據(jù)約數(shù)的定義確定約數(shù)的個(gè)數(shù)即可；
（2）結(jié)合約數(shù)的定義可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義推出，由此確定，
（3）先證明，再證明，結(jié)合裂項(xiàng)相消法證明結(jié)論.
【解答過程】（1）時(shí)，因?yàn)椋?br/>所以為8的所有正約數(shù)，故.
（2）由題意可知.
因?yàn)椋李}意可知，所以，
化簡(jiǎn)可得，所以.
因?yàn)椋裕虼丝芍峭耆椒綌?shù).
由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以可寫為，
經(jīng)檢驗(yàn)該關(guān)系滿足條件，
所以.
（3）由題意知，
所以.
因?yàn)椋?br/>所以
.
因?yàn)椋?
所以.
【變式11-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列．
(1)若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求的值；
(2)若是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和．
(3)若一個(gè)“數(shù)列"滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出“數(shù)列”的式子，變形后得，與無(wú)關(guān)，即可求解；
（2）由題意確定數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，結(jié)合等差和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解；
（3）首先求解出，可得數(shù)列的前項(xiàng)和，并假設(shè)存在，通過驗(yàn)證求得，再利用放縮法，證明結(jié)論成立.
【解答過程】（1）數(shù)列是等比數(shù)列，則，，
則，
因?yàn)榕c無(wú)關(guān)，所以，即；
（2）由題意可知，，而，所以，
是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
而新數(shù)列中項(xiàng)（含）前共有項(xiàng)，
令，結(jié)合，解得：，
故數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，
所以數(shù)列中前30項(xiàng)的和；
（3）因?yàn)閿?shù)列是“數(shù)列”，，，，
則，，得，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和，
假設(shè)存在正整數(shù)，使得不等式，對(duì)一切都成立，
即
當(dāng)時(shí)，，得，
又為正整數(shù)，得
下面證明：對(duì)一切都成立，
由于，，
所以，
，
所以存在，使不等式對(duì)一切都成立.
【變式11-2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列經(jīng)過第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列．設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)的和為．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
【解題思路】（1）根據(jù)題意得到第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，從而計(jì)算出；
（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，數(shù)列經(jīng)過次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則經(jīng)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，得到，構(gòu)造等比數(shù)列，求出，從而得到不等式，求出解集；
（3）得到，從而利用累加法求和得到，從而得到結(jié)論.
【解答過程】（1），第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，
第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，
；
（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，
數(shù)列經(jīng)過次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，
則經(jīng)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，
所以，所以，
其中數(shù)列經(jīng)過1次“和擴(kuò)充”后，得到，故，
，
故是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，故，
則，即，
又，解得，
（3）因?yàn)椋?br/>，，
依次類推，，
故
，
若使為等比數(shù)列，則或.
【變式11-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列滿足（，，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求；
(2)若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；
(3)設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有滿足的值.
【解題思路】（1）將，，代入得到周期數(shù)列,即可求到的值.
（2）由是等比數(shù)列、數(shù)列可求出，，，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.
（3）找出的通項(xiàng)，設(shè)，然后通過求出.
【解答過程】（1）由題意有，，，，則
，，，，，，，，，，…
一般有，，,
所以.
（2）數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，又為數(shù)列，，，
當(dāng)時(shí)，，，.有，
又，，，
于是得，解得，有或，
當(dāng)時(shí)，，， 為數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，， 為數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，則，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，即，有，解得，
于是得，，， 為數(shù)列，
所以①當(dāng)，，是大于1的任意正整數(shù)，則，；
②當(dāng)，，，則，.
（3）依題意，，，，數(shù)列為“數(shù)列”，
則，，，，，，，，，，，…
，，，，是公差為1的等差數(shù)列，且,
所以且,
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為9，公比為2的等比數(shù)列，所以,
即,
即,
所以
所以，即，
化簡(jiǎn)得，代入，等式成立.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，方程無(wú)解，
綜上所述，滿足成立的值為1.
一、單選題
1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【解題思路】運(yùn)用等比中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.
【解答過程】根據(jù)等比中項(xiàng)知道，求得，則.
又，則.
故選：A.
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，記其前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．－8 B．－16 C．－32 D．－48
【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)先計(jì)算，再根據(jù)條件建立方程解公比求值即可.
【解答過程】設(shè)的公比為，
則由題意可知，，
化簡(jiǎn)得或（舍去），
則.
故選：B.
3．（2024·陜西西安·三模）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得，，即可得結(jié)果.
【解答過程】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，可得，
則，
所以．
故選：B.
4．（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由已知條件推得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以，
由于，即，
可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，可得，
即對(duì)任意的正整數(shù)都成立．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，
可得，則；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞增，
可得，則；
綜上可得的取值范圍是．
故選：B．
5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式計(jì)算．
【解答過程】由題意記10人每人所得玉米時(shí)依次為，則時(shí)，，，即是等比數(shù)列，
由已知，，
（斗）．
故選：A．
6．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列和等比數(shù)列都是各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，且，，的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，下列判斷正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列 B．是遞增數(shù)列
C． D．
【解題思路】特例法排除A，B，C，對(duì)于D，根據(jù)題意，可得，，且，故，從而可證.
【解答過程】設(shè)數(shù)列和數(shù)列均為常數(shù)列，所以排除A，B，C，選D，
對(duì)于D，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，可知，故，
由，可知，又由，，有，故，
且，
故，即，
所以，故，
所以.
故選：D.
7．（2024·北京西城·二模）已知是無(wú)窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．若對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求得，從而可得公差，由等比數(shù)列得前項(xiàng)和公式得，分類討論，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得求得滿足不等式時(shí)的取值范圍.
【解答過程】因?yàn)榈缺葦?shù)列，由可得，所以，
則公比，所以，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，所以，
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，，則此時(shí)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以，
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，，則此時(shí)；
綜上，的取值范圍是.
故選：D.
8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．對(duì)任意正整數(shù)，
C． D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列
【解題思路】利用前項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系，可以求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而可以判斷A、B、C，對(duì)于D只需要利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可證明.
【解答過程】由得，各項(xiàng)均為正數(shù)，且，
由得，所以選項(xiàng)A是正確的；
由上可知：等比數(shù)列的公比，，
所以等比數(shù)列是遞減數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得：
，所以選項(xiàng)B是正確的；
由，又由，即選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；
由，
由，所以選項(xiàng)D是正確的.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列 滿足，，且，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若為等比數(shù)列，則
【解題思路】根據(jù)兩式相加減可得，，即可求解ABC，根據(jù)前3項(xiàng)以及等比中項(xiàng)可得或，代入驗(yàn)證即可求解D.
【解答過程】對(duì)于B，依題意，，則，
而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，B錯(cuò)誤．
又，因此，結(jié)合可得
，，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，，，，
由為等比數(shù)列，得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，
因此當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，或，D正確．
故選：ACD．
10．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列
C．
D．的最大整數(shù)的值為8
【解題思路】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的定義，推斷數(shù)列等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【解答過程】由題意得，即，
又由，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2且公比為2的等比數(shù)列，所以B正確．
由，即 ，則，所以A正確．
由，又符合上式，則，
即，故C錯(cuò)誤．
因?yàn)?br/>，
，所以D正確．
故選：ABD.
11．（2024·湖南益陽(yáng)·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列
B．一定是等比數(shù)列
C．若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列
D．若，且，，則時(shí)取最小值
【解題思路】對(duì)于A，由題意易得，，可判斷結(jié)論；對(duì)于B，在時(shí)，通過取反例即可排除B；對(duì)于C，分析時(shí)數(shù)列的特征即可判斷；對(duì)于D，先求出的表示式，通過作商分析的大小關(guān)系即得.
【解答過程】對(duì)于A，設(shè)數(shù)列的公比為，由可得，，
因，則得，解得或，
因是正項(xiàng)數(shù)列，故，，故是單調(diào)遞增數(shù)列，即A正確；
對(duì)于B，由上分析知，或，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，若為偶數(shù)，則都是0，故不符合，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則是遞增數(shù)列，
此時(shí)不存在，使對(duì)都成立；
若時(shí)，易得，故存在，使得對(duì)都成立，
此時(shí)為常數(shù)列，故是公差為0的等差數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，因，，故由上分析知，
則，
由，
當(dāng)時(shí)，，故，數(shù)列遞減，且；
當(dāng)時(shí)，，故，數(shù)列遞增，且；
則當(dāng)時(shí)，取最小值，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
12．（2024·四川雅安·三模）等比數(shù)列中，每項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 4 .
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.
【解答過程】由題意得.
故答案為：4.
13．（2024·湖北襄陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合、，將集合中的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 557 .
【解題思路】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，求得，，由題意可得的前20項(xiàng)中，有5項(xiàng)為的前5項(xiàng)，15項(xiàng)為的前15項(xiàng)，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．
【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的公差為和等比數(shù)列的公比為，
由，，，，可得，，
解得，，
則，，
由，
由和中無(wú)公共項(xiàng)，可得的前20項(xiàng)中，有5項(xiàng)為的前5項(xiàng)，15項(xiàng)為的前15項(xiàng)，
則．
故答案為：557．
14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是 ①②④ ．
①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
【解題思路】對(duì)于①取分析判斷，對(duì)于②④取分析判斷，對(duì)于③，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析判斷.
【解答過程】對(duì)于①：例如，則為等差數(shù)列，可得，則，
所以，，
故、均為嚴(yán)格增數(shù)列，
取，則，即恒成立，
所以是的“數(shù)列”，故①正確；
對(duì)于②，例如，則為等比數(shù)列，可得，則，
所以，，
故、均為嚴(yán)格增數(shù)列，
取，則，即恒成立 ，
所以是的“數(shù)列”，故②正確；
對(duì)于③，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)闉閲?yán)格增數(shù)列，則，
又因?yàn)闉閲?yán)格增數(shù)列，所以，即當(dāng)時(shí)，恒成立，
取，滿足，可知必存在，使得成立，
又因?yàn)闉閲?yán)格增數(shù)列，
所以對(duì)任意正整數(shù)，則有，即，
對(duì)任意正整數(shù)，則有，即，
故當(dāng)時(shí)，不存在正整數(shù)，使得，故③不成立；
對(duì)于④，例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，
所以，，
故、均為嚴(yán)格增數(shù)列，
取，則，即恒成立，
所以是的“數(shù)列”，故④正確.
故答案為：①②④.
四、解答題
15．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【解題思路】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列定義推理得證，再求出通項(xiàng)公式.
（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用分組求和法計(jì)算即得.
【解答過程】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
而，解得，所以是首項(xiàng)為2，公比為5的等比數(shù)列，
通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，，
所以
．
16．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.現(xiàn)將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；如此繼續(xù)操作下去.
(1)求操作1次后桶中的水量；
(2)求操作次后桶中的水量；
(3)至少操作多少次，桶中的水量與桶中的水量之差小于升？（參考數(shù)據(jù)：，）
【解題思路】（1）根據(jù)題意列式計(jì)算；
（2）根據(jù)題意，得到，，然后用數(shù)列知識(shí)求解；
（3）由（2）可得，列式運(yùn)算得解.
【解答過程】（1）記桶中的水量為，桶中的水量為，，
所以.
（2）根據(jù)題意可得：，，
所以，所以，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
，所以.
（3），，
令，得，兩邊取對(duì)數(shù)，
得，
所以至少經(jīng)過5次操作，才能使桶中的水量與桶中的水量之差小于.
17．（2024·四川德陽(yáng)·三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且的前項(xiàng)和為，，，在①，②這兩個(gè)條件中任選其中一個(gè)，完成下面問題的解答.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列定義根據(jù)條件①②列方程組解得公比可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求出.
【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
∵，，
∴，
∴.
∴.
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若選條件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
故.
若選條件②，，
令，得，
∴公比，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
從而.
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
兩式相減，得，
即，
所以.
18．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對(duì)于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；
（2）可以采取分組求和的方式，即將奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和分開求解，再利用錯(cuò)位相減法以及裂項(xiàng)相消法分別求和；
（3）對(duì)于求參數(shù)的范圍，一般可以采用分離參數(shù)的方法，對(duì)于求后面式子的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析求解．
【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，又，，，
由， ，又，，，
，，
即，．
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
記，則有
，
，
得：
，
，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
記，
，
．
（3）由與恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
設(shè)，
，
單調(diào)遞增，
又，
，
．
19．（2024·重慶開州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，若正整數(shù)滿足： ，則稱為數(shù)列的“點(diǎn)”．
(1)若，求數(shù)列的“點(diǎn)”；
(2)已知有窮等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．若數(shù)列存在“點(diǎn)”，求正數(shù)的取值范圍；
(3)若，數(shù)列的“點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為，證明：．
【解題思路】（1）由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的各項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的“點(diǎn)”定義確定結(jié)論；
（2）利用等比數(shù)列求和公式求，由條件可得存在，使得，解不等式可得的范圍，再對(duì)所得結(jié)果加以驗(yàn)證即可，
（3）先證明若，則，結(jié)論成立，再證明若存在，使得，則數(shù)列存在“點(diǎn)”， 數(shù)列的 “點(diǎn)” 由小到大依次為，結(jié)合關(guān)系完成證明.
【解答過程】（1）因?yàn)?br/>所以，
所以數(shù)列 的 “ 點(diǎn)” 為 3，5 ，
（2）依題意，，
因?yàn)閿?shù)列存在 “點(diǎn)”，
所以存在 ，使得 ，
所以，
即.
因?yàn)椋裕裕?br/>又隨的增大而增大，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，
所以，又，所以.
當(dāng)時(shí)，有，
所以數(shù)列存在 “點(diǎn)”，
所以的取值范圍為，
（3）①若，則數(shù)列不存在 “點(diǎn)”，即.
由得，，所以，
②若存在，使得. 下證數(shù)列有 “點(diǎn)”.
證明: 若，則2是數(shù)列的 “點(diǎn)”;
若，因?yàn)榇嬖冢沟茫?br/>所以設(shè)數(shù)列中第1個(gè)小于的項(xiàng)為，
則，所以是數(shù)列的第1個(gè) “點(diǎn)”.
綜上，數(shù)列存在 “點(diǎn)”.
不妨設(shè)數(shù)列的 “點(diǎn)” 由小到大依次為，
則是中第1個(gè)小于的項(xiàng)，
故，因?yàn)?，
所以，所以，所以
所以
所以.
綜上，，得證.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】 4
【題型2 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 5
【題型3 等比數(shù)列的判定與證明】 5
【題型4 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】 5
【題型5 等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 6
【題型6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 6
【題型7 等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 7
【題型8 等比數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】 8
【題型9 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 9
【題型10 等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 10
【題型11 與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 11
1、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義 (2)掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系 (3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題 (4)體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷：第17題，10分 2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分 2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第15題，5分 2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第5題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分 2024年北京卷：第5題，5分 等比數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的常考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，等比數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等. 去年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和】
1．等比數(shù)列的概念
文字
語(yǔ)言 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符號(hào)
語(yǔ)言 在數(shù)列{}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比
遞推
關(guān)系 或
2．等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).
若G是a與b的等比中項(xiàng)，則，所以=ab，即G=.
3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是=(,q≠0).
4．等比數(shù)列的單調(diào)性
已知等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則
(1)當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；
(2)當(dāng)或時(shí)，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；
(3)當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個(gè)常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；
(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{}為擺動(dòng)數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號(hào)，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶
數(shù)項(xiàng)異號(hào)).
5．等比數(shù)列的性質(zhì)
設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.
(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；
若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.
(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為
.
(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.
(6)若數(shù)列{}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.
6．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為
=.
7．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：
(1).
(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.
(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；
若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.
【知識(shí)點(diǎn)2 等比數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略】
1．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的求解思路：
等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.
【知識(shí)點(diǎn)3 等比數(shù)列的判定方法】
1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；
(2)中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；
(3)通項(xiàng)公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；
證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.
2．在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)n=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.
【知識(shí)點(diǎn)4 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用】
1．等比數(shù)列的性質(zhì)：
等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形；三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
2．等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題
涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.
【知識(shí)點(diǎn)5 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征】
1．Sn與q的關(guān)系
(1)當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，
由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；
(2)當(dāng)公比q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn).
2．Sn與an的關(guān)系
當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).
【方法技巧與總結(jié)】
1．等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.
2．等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).
3．設(shè)數(shù)列{}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.
(1).
(2)若，則成等比數(shù)列.
(3)若數(shù)列{}的項(xiàng)數(shù)為2n，則；若項(xiàng)數(shù)為2n+1，則.
【題型1 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】
【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式1-1】（2024·廣東廣州·三模）等比數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式1-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式1-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．1 B．或-1 C． D．或1
【題型2 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】
【例2】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【變式2-1】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比為，則（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【變式2-2】（2024·河南駐馬店·二模）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之積為Sn，若，，則a11=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【變式2-3】（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【題型3 等比數(shù)列的判定與證明】
【例3】（2024·浙江·三模）已知數(shù)列滿足，則“為等比數(shù)列”是“（，）”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件
【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列
【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列滿足，，則下列是等比數(shù)列的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知“正項(xiàng)數(shù)列滿足”，則“”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【題型4 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】
【例4】（2024·全國(guó)·一模）等比數(shù)列中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高三下·青海玉樹·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知在遞增的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【變式4-3】（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列滿足：（），請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： ．
【題型5 等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】
【例5】（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【變式5-1】（2024·四川自貢·三模）等比數(shù)列公比為，若，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件
【變式5-2】（23-24高二下·北京順義·期中）數(shù)列是等比數(shù)列，則對(duì)于“對(duì)于任意的 ，”是“是遞增數(shù)列”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【變式5-3】（2024·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列
【題型6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】
【例6】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的值為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【變式6-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【變式6-2】（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式6-3】（2024·江蘇·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【題型7 等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】
【例7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個(gè)花蕾，第一天有10個(gè)花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（ ）

A． B．
C． D．
【變式7-2】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．3937萬(wàn)元 B．3837萬(wàn)元
C．3737萬(wàn)元 D．3637萬(wàn)元
【變式7-3】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（ ）
A． B． C． D．
【題型8 等比數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】
【例8】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式8-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式8-2】（2024·云南昆明·三模）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【變式8-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【題型9 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】
【例9】（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列滿足：成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式9-1】（2024·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
【變式9-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【變式9-3】（2023·天津?yàn)I海新·三模）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且，，，
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)記為的前項(xiàng)和，求證：；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【題型10 等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】
【例10】（2024·廣西桂林·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．
【變式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.
【變式10-2】（2024·湖南·二模）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式10-3】（2024·天津紅橋·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，其中，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【題型11 與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】
【例11】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為，.
(1)若，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若為等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，證明：.
【變式11-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)于，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列．
(1)若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求的值；
(2)若是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和．
(3)若一個(gè)“數(shù)列"滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【變式11-2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列經(jīng)過第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列．設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)的和為．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
【變式11-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列滿足（，，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求；
(2)若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；
(3)設(shè)，，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有滿足的值.
一、單選題
1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，記其前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．－8 B．－16 C．－32 D．－48
3．（2024·陜西西安·三模）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
6．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列和等比數(shù)列都是各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，且，，的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，下列判斷正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列 B．是遞增數(shù)列
C． D．
7．（2024·北京西城·二模）已知是無(wú)窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．若對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．對(duì)任意正整數(shù)，
C． D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列
二、多選題
9．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列 滿足，，且，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若為等比數(shù)列，則
10．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列
C．
D．的最大整數(shù)的值為8
11．（2024·湖南益陽(yáng)·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列
B．一定是等比數(shù)列
C．若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列
D．若，且，，則時(shí)取最小值
三、填空題
12．（2024·四川雅安·三模）等比數(shù)列中，每項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .
13．（2024·湖北襄陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合、，將集合中的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 .
14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是 ．
①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
四、解答題
15．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
16．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.現(xiàn)將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；如此繼續(xù)操作下去.
(1)求操作1次后桶中的水量；
(2)求操作次后桶中的水量；
(3)至少操作多少次，桶中的水量與桶中的水量之差小于升？（參考數(shù)據(jù)：，）
17．（2024·四川德陽(yáng)·三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且的前項(xiàng)和為，，，在①，②這兩個(gè)條件中任選其中一個(gè)，完成下面問題的解答.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
18．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對(duì)于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．（2024·重慶開州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，若正整數(shù)滿足： ，則稱為數(shù)列的“點(diǎn)”．
(1)若，求數(shù)列的“點(diǎn)”；
(2)已知有窮等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．若數(shù)列存在“點(diǎn)”，求正數(shù)的取值范圍；
(3)若，數(shù)列的“點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為，證明：．
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