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專題6.4 數(shù)列的通項公式的求法【十二大題型】
【新高考專用】
【題型1 觀察法】 3
【題型2 定義法】 4
【題型3 由an與Sn的關(guān)系求通項】 5
【題型4 累加法】 5
【題型5 累乘法】 6
【題型6 構(gòu)造法】 7
【題型7 由等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】 8
【題型8 由等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】 9
【題型9 周期數(shù)列的通項問題】 10
【題型10 正負(fù)、奇偶討論型求通項】 11
【題型11 雙數(shù)列的通項問題】 12
【題型12 特殊數(shù)列求通項】 13
1、數(shù)列的通項公式的求法
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)了解數(shù)列的通項公式和遞推關(guān)系 (2)掌握求數(shù)列的通項公式的常用方法 2022年新高考全國I卷：第17題，10分 2023年新高考I卷：第20題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分 2023年全國甲卷（理數(shù)）：第17題，12分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第17題，12分 2024年全國甲卷（理數(shù)）：第18題，12分 數(shù)列是高考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列的通項公式的求解是高考考查的熱點，主要以解答題的形式考查，一般出現(xiàn)在第一小問中，難度不大；有時也會出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與函數(shù)、不等式等綜合考查；數(shù)列的通項公式的求法多種多樣，需要靈活求解.
【知識點1 數(shù)列的通項公式】
1．?dāng)?shù)列的通項公式
如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這
個數(shù)列的通項公式.
2．?dāng)?shù)列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
(2)對數(shù)列遞推公式的理解
①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關(guān)于項的序號n的恒等式.
如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.
③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：
基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；
遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項與它的前一項 ()(或前幾項)間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可
以用等式來表示.
【知識點2 數(shù)列的通項公式的常見求法】
1．觀察法：
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項.
2．定義法：
已知數(shù)列的通項公式的類型，對于含參的通項公式，根據(jù)數(shù)列的定義結(jié)合已知條件，求出通項公式中的參數(shù)，從而得到此數(shù)列的通項.
3．公式法：
由an與Sn的關(guān)系求通項：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式.
(2) Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含 Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項.
6．構(gòu)造法：
①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵.
②形如an+1=pan+qn+c的數(shù)列，引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{}.
③形如an+1=pan+qn的數(shù)列，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列{}.
④形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
7．等差數(shù)列的通項公式法：
(1)如果給定的數(shù)列是等差數(shù)列，求出首項和公差，直接利用等差數(shù)列的通項公式求解；
(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等差數(shù)列，先求出構(gòu)造的等差數(shù)列的通項公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項公式.
8．等比數(shù)列的通項公式法：
(1)如果給定的數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項和公比，直接利用等比數(shù)列的通項公式求解；
(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，先求出構(gòu)造的等比數(shù)列的通項公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項公式.
【題型1 觀察法】
【例1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）數(shù)列的一個通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【變式1-2】（23-24高二上·山西晉城·階段練習(xí)）數(shù)列的一個通項公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個六邊形數(shù)為（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【題型2 定義法】
【例2】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，，，通項是項數(shù)的一次函數(shù)，
(1)求的通項公式，并求；
(2)若是由組成，試歸納的一個通項公式．
【變式2-1】（23-24高二上·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且.
(1)求通項公式.
(2)求證：是遞增數(shù)列.
【變式2-2】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）已知是對數(shù)函數(shù)且圖象過點，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前n項和為，若，求m的最小值．
【變式2-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）定義數(shù)列“從第二項起，若數(shù)列的每一項與前一項的平方差為同一常數(shù)d，則稱數(shù)列為等平方差數(shù)列，d叫作此數(shù)列的公平方差．”已知數(shù)列為“等平方差數(shù)列”，且，．
(1)判斷滿足條件的數(shù)列是否唯一，并說明理由；
(2)求正項數(shù)列的通項公式，并判斷其單調(diào)性．
【題型3 由an與Sn的關(guān)系求通項】
【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【變式3-3】（2024·四川·三模）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 累加法】
【例4】（23-24高二下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）在數(shù)列中，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2024·云南紅河·一模）已知數(shù)列滿足：，則（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
【變式4-3】（23-24高二上·浙江溫州·期末）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒或小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)沙粒或小石頭所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作，下列不是數(shù)列的項的是（ ）
A．35 B．70 C．145 D．170
【題型5 累乘法】
【例5】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知，，則數(shù)列的通項公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
【變式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2024·吉林長春·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，為常數(shù)列，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 構(gòu)造法】
【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【變式6-1】（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項和為，，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【變式6-2】（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：．
【題型7 由等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】
【例7】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且點在直線上.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列前項和為，求能使對恒成立的（）的最小值.
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的最小值．
【變式7-2】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列前項的乘積，若，求的最大值．
【變式7-3】（2023·河南·三模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【題型8 由等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】
【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為1的等差數(shù)列.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)若，是數(shù)列的最大項，求正整數(shù)k的值.
【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，且滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)是否存在正整數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【變式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)當(dāng)時，求;
(2)若，設(shè)，求的通項公式.
【題型9 周期數(shù)列的通項問題】
【例9】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，前n項積為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是周期數(shù)列 B．
C． D．
【變式9-1】（23-24高二下·山東淄博·期中）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A． B．是周期數(shù)列 C． D．
【變式9-2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列
C． D．
【變式9-3】（2024·重慶長壽·模擬預(yù)測）已知是的前項和，，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．是以為周期的周期數(shù)列
【題型10 正負(fù)、奇偶討論型求通項】
【例10】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列的前項和為且．
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項公式．
【變式10-1】（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.
【變式10-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【變式10-3】（2024·湖南長沙·三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”，且.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【題型11 雙數(shù)列的通項問題】
【例11】（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)，求使取得最大值時的值.
【變式11-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，數(shù)列滿足，（，）．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)將數(shù)列，中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．
【變式11-2】（2024·四川德陽·三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且的前項和為，，，在①，②這兩個條件中任選其中一個，完成下面問題的解答.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求.
【變式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知為等差數(shù)列，前項和為，若，；數(shù)列滿足：，.
(1)求和的通項公式；
(2)對任意的，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為.
（i）求；
（ii）記，的前項和記為，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【題型12 特殊數(shù)列求通項】
【例12】（2024·貴州貴陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.試求:
(1)數(shù)列的通項公式;
(2)記，數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，求滿足條件的最小整數(shù).
【變式12-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【變式12-2】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【變式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正項數(shù)列中，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：．
一、單選題
1．（2024·貴州黔南·二模），數(shù)列1，，7，，31，的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
3．（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，且，則的通項為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·廣東茂名·一模）已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，則（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比不為1，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、多選題
9．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列中，若存在最大值，則數(shù)列的通項可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知一數(shù)列：，則該數(shù)列的通項可以表示為 .
13．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，， 則該數(shù)列的通項公式為 ．
14．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為 ．
四、解答題
15．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，，通項公式，其中p，q為常數(shù)，．
(1)求的通項公式；
(2)88是否是數(shù)列中的項？
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
17．（2024·陜西榆林·一模）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
18．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
19．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知等差數(shù)列的公差為4，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題6.4 數(shù)列的通項公式的求法【十二大題型】
【新高考專用】
【題型1 觀察法】 3
【題型2 定義法】 5
【題型3 由an與Sn的關(guān)系求通項】 7
【題型4 累加法】 9
【題型5 累乘法】 11
【題型6 構(gòu)造法】 13
【題型7 由等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】 16
【題型8 由等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】 18
【題型9 周期數(shù)列的通項問題】 21
【題型10 正負(fù)、奇偶討論型求通項】 23
【題型11 雙數(shù)列的通項問題】 26
【題型12 特殊數(shù)列求通項】 30
1、數(shù)列的通項公式的求法
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)了解數(shù)列的通項公式和遞推關(guān)系 (2)掌握求數(shù)列的通項公式的常用方法 2022年新高考全國I卷：第17題，10分 2023年新高考I卷：第20題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分 2023年全國甲卷（理數(shù)）：第17題，12分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第17題，12分 2024年全國甲卷（理數(shù)）：第18題，12分 數(shù)列是高考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列的通項公式的求解是高考考查的熱點，主要以解答題的形式考查，一般出現(xiàn)在第一小問中，難度不大；有時也會出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與函數(shù)、不等式等綜合考查；數(shù)列的通項公式的求法多種多樣，需要靈活求解.
【知識點1 數(shù)列的通項公式】
1．?dāng)?shù)列的通項公式
如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這
個數(shù)列的通項公式.
2．?dāng)?shù)列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
(2)對數(shù)列遞推公式的理解
①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關(guān)于項的序號n的恒等式.
如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.
③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：
基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；
遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項與它的前一項 ()(或前幾項)間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可
以用等式來表示.
【知識點2 數(shù)列的通項公式的常見求法】
1．觀察法：
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項.
2．定義法：
已知數(shù)列的通項公式的類型，對于含參的通項公式，根據(jù)數(shù)列的定義結(jié)合已知條件，求出通項公式中的參數(shù)，從而得到此數(shù)列的通項.
3．公式法：
由an與Sn的關(guān)系求通項：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式.
(2) Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含 Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項.
6．構(gòu)造法：
①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵.
②形如an+1=pan+qn+c的數(shù)列，引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{}.
③形如an+1=pan+qn的數(shù)列，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列{}.
④形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
7．等差數(shù)列的通項公式法：
(1)如果給定的數(shù)列是等差數(shù)列，求出首項和公差，直接利用等差數(shù)列的通項公式求解；
(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等差數(shù)列，先求出構(gòu)造的等差數(shù)列的通項公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項公式.
8．等比數(shù)列的通項公式法：
(1)如果給定的數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項和公比，直接利用等比數(shù)列的通項公式求解；
(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，先求出構(gòu)造的等比數(shù)列的通項公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項公式.
【題型1 觀察法】
【例1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）數(shù)列的一個通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】觀察每項的特點，分別確定項的符號以及每一項的聯(lián)系，即可找出數(shù)列的通項公式.
【解答過程】通過觀察這一列數(shù)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，
故第項的正負(fù)可以用表示；
而，
故數(shù)列的通項可為.
故選：D.
【變式1-1】（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【解題思路】根據(jù)觀察歸納出為奇數(shù)，為偶數(shù)數(shù)，即可求解.
【解答過程】設(shè)該數(shù)列為，
當(dāng)為奇數(shù)時，
所以為奇數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時，
所以為偶數(shù)數(shù)；
所以，
故選:B.
【變式1-2】（23-24高二上·山西晉城·階段練習(xí)）數(shù)列的一個通項公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數(shù)列的各項結(jié)合排除法即可.
【解答過程】選項A：，不符合題意；
選項B：，不符合題意；
選項C：不符合題意；
而選項D中的通項公式滿足數(shù)列，
故選：D.
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個六邊形數(shù)為（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【解題思路】根據(jù)給定圖形信息，利用歸納法求出六邊形數(shù)形成數(shù)列的通項公式，即可求出要求的項.
【解答過程】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列，
依題意，，歸納得，
所以.
故選：C.
【題型2 定義法】
【例2】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，，，通項是項數(shù)的一次函數(shù)，
(1)求的通項公式，并求；
(2)若是由組成，試歸納的一個通項公式．
【解題思路】（1）設(shè)，根據(jù)題意可得的方程組，求解即可；
（2）寫出歸納即可.
【解答過程】（1）設(shè),則，解得，
∴,.
（2）∵為
∴歸納的一個通項公式為.
【變式2-1】（23-24高二上·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且.
(1)求通項公式.
(2)求證：是遞增數(shù)列.
【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列的通項將分別代入可計算出，可求得通項公式；（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義，由即可得出證明.
【解答過程】（1）由，且可得
，解得；
因此.
所以，數(shù)列的通項公式為
（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義可知，
，
即，
故是遞增數(shù)列.
【變式2-2】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）已知是對數(shù)函數(shù)且圖象過點，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前n項和為，若，求m的最小值．
【解題思路】（1）先求出對數(shù)函數(shù)的解析式，根據(jù)代入求解即可.
（2）根據(jù)數(shù)列前n項和公式求出，從而得出，再由，即可求出m的最小值．
【解答過程】（1）設(shè)對數(shù)函數(shù) 且，因為圖象過點，
所以，解得，所以，
又?jǐn)?shù)列滿足，
所以.
（2）由（1）得，
，
因為，所以，
因為，所以，解得，
所以m的最小值為24.
【變式2-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）定義數(shù)列“從第二項起，若數(shù)列的每一項與前一項的平方差為同一常數(shù)d，則稱數(shù)列為等平方差數(shù)列，d叫作此數(shù)列的公平方差．”已知數(shù)列為“等平方差數(shù)列”，且，．
(1)判斷滿足條件的數(shù)列是否唯一，并說明理由；
(2)求正項數(shù)列的通項公式，并判斷其單調(diào)性．
【解題思路】（1）根據(jù)“等平方差數(shù)列”的定義求出可得答案；
（2）判斷的正負(fù)可得答案.
【解答過程】（1）根據(jù)“等平方差數(shù)列”的定義，及，，
得，
即，解得．
依題意，得，
所以，
所以滿足條件的數(shù)列不唯一；
（2）因為，
所以由（1）得，
因為，
所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．
【題型3 由an與Sn的關(guān)系求通項】
【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由代入即可求得.
【解答過程】，當(dāng)時，，
當(dāng)也滿足，
所以數(shù)列的通項公式為.
故選：D.
【變式3-1】（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】當(dāng)時，求得；當(dāng)時，根據(jù)化簡得，再檢驗得出通項公式即可.
【解答過程】當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
經(jīng)驗證，不符合上式，所以
故選：.
【變式3-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【解題思路】利用數(shù)列的通項和前n項和公式求解.
【解答過程】解：由題意可得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
兩式相減得，即．
綜上所述，
所以，
故選：C．
【變式3-3】（2024·四川·三模）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
由題中等式，可得，再結(jié)合時，可得.
【解答過程】當(dāng)時，有，
所以，
當(dāng)時，由，，
兩式相減得，
此時，，也滿足，
所以的通項公式為.
故選：B.
【題型4 累加法】
【例4】（23-24高二下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）在數(shù)列中，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得，結(jié)合累加法，即可求解.
【解答過程】由題意可得，
所以當(dāng)時，，，，，
上式累加可得，
，
又，所以，
當(dāng)時，滿足上式，
所以.
故選：B.
【變式4-1】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】采用累加法化簡可求.
【解答過程】因為，即，
，，，，
累加得：，即.
故選：C.
【變式4-2】（2024·云南紅河·一模）已知數(shù)列滿足：，則（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
【解題思路】
應(yīng)用累加法求數(shù)列通項公式，再求出對應(yīng)項.
【解答過程】由題設(shè)，……，，，
累加可得且，則，
顯然也滿足上式，所以.
故選：A.
【變式4-3】（23-24高二上·浙江溫州·期末）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒或小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)沙粒或小石頭所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作，下列不是數(shù)列的項的是（ ）
A．35 B．70 C．145 D．170
【解題思路】根據(jù)已知得出的前幾項，進(jìn)而得出遞推公式.根據(jù)累加法求得通項公式為.分別令取35，70，145，170，求出的正整數(shù)解的情況，即可得出答案.
【解答過程】由已知可得，，，，，
所以，.
當(dāng)時，累加法求和如下
，
，
，
，
兩邊同時相加可得，，
整理可得，.
對于A項，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故A項錯誤；
對于B項，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故B項錯誤；
對于C項，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故C項錯誤；
對于D項，令可得，，解得（舍去）或（舍去）.
所以，170不是數(shù)列的項，故D項正確.
故選：D.
【題型5 累乘法】
【例5】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知，，則數(shù)列的通項公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
【解題思路】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計算可得；
【解答過程】解：由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，因為，所以，
故選：C．
【變式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．
【解答過程】解：數(shù)列滿足，，
整理得，，，，
所有的項相乘得：，
整理得：，
故選：A．
【變式5-2】（2024·吉林長春·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，為常數(shù)列，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由已知可得出，進(jìn)而可得（），兩式作差得
，然后利用累乘法求出即可.
【解答過程】因為為常數(shù)列且，所以有，①
當(dāng)時，，②
①②得：，即，
從而，得，
當(dāng)時，上式也成立．
故選：B.
【變式5-3】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】令可求得的值，再令，由得，兩式作差整理后可得，然后利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式.
【解答過程】因為數(shù)列的前項和為，，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，由得，
兩式相減得，整理得，
.
故選：A.
【題型6 構(gòu)造法】
【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解題思路】（1）利用和的關(guān)系，然后構(gòu)造一個等比數(shù)列求解即可；
（2）利用進(jìn)行放縮，然后用等比數(shù)列的求和公式求解即可.
【解答過程】（1）因為①．
令得，解得．
當(dāng)時，②，
由①②得，
即
又，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故，所以．
（2）因為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
．
綜上，．
【變式6-1】（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項和為，，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解題思路】（1）利用構(gòu)造法和等差數(shù)列的定義與通項公式可得，結(jié)合即可求解；
（2）由（1）知，利用分組求和法計算即可求解.
【解答過程】（1）根據(jù)題意，，所以，
由于，則是以首項為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，所以，
當(dāng)時，.
驗證時滿足通項公式，故數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知.
設(shè)的前項和為，則當(dāng)為偶數(shù)時，
.
當(dāng)為奇數(shù)時，，
設(shè)的前項和為，則.
因為，所以
【變式6-2】（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
【解題思路】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；
（2）由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．
【解答過程】（1）當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，由，可得,
兩式相減得，所以，
又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，
所以，
數(shù)列 的前項和為，
可得，
兩式相減得，
所以．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：．
【解題思路】（1）借助與的關(guān)系消去可得，結(jié)合數(shù)列性質(zhì)計算即可得；
（2）借助裂項相消法求和，由即可得.
【解答過程】（1）當(dāng)時，.
由，則，
則，
化簡得，所以，，
所以，，
則為常數(shù)列．
因為，所以，
所以；
（2）因為，所以，所以，
所以 ，
由隨的增大而減小，故，
故，
即.
【題型7 由等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】
【例7】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且點在直線上.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列前項和為，求能使對恒成立的（）的最小值.
【解題思路】（1）由題設(shè)易得為等差數(shù)列，即可求其通項公式；
（2）對數(shù)列的通項分析可通過裂項相消法求前項和，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求的最大值或上界問題即得.
【解答過程】（1）點在直線上，得，
所以數(shù)列是以首項為，公差為2的等差數(shù)列．
故，即．
（2），
所以
即，因 ，故，
故要使對恒成立，需使，即，
又，所以的最小值為5.
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的最小值．
【解題思路】（1）利用退一相減法可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得通項公式；
（2）代入，分離參數(shù)可得，再設(shè)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得最大項及的最小值.
【解答過程】（1）由已知①，
則當(dāng)時，②，
①②得，
即，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）得，
即不等式對任意的恒成立，
所以，
設(shè)，
又，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，
所以，
所以，
即實數(shù)的最小值為.
【變式7-2】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列前項的乘積，若，求的最大值．
【解題思路】（1）利用，和成等比數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列知識，從而求出首項和公差，從而求解.
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進(jìn)行分情況討論，從而求解.
【解答過程】（1）設(shè)的公差為，由，得：；
由成等比數(shù)列，得：，即：，整理得：.
由，解得：或.
所以：的通項公式為或.
（2）因為，所以：，
得：當(dāng)時，；當(dāng)時，.
從而，
又因為：，所以：的最大值為.
故的最大值為.
【變式7-3】（2023·河南·三模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解題思路】（1）先將題目中的表達(dá)式邊同時除以可證得是以為首項，為公差的等差數(shù)列，由此求出，再結(jié)合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂項相消法求解即可.
【解答過程】（1）因為，兩邊同時除以，
所以，所以，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，也滿足上式，
所以.
（2）由（1）可得， ，
則
.
【題型8 由等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項】
【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．
【解題思路】（1）利用計算，然后構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式；
（2）利用裂項相消法求和，然后觀察可證明不等式.
【解答過程】（1）當(dāng)，由，得，
當(dāng)時，，
所以，則．
因為，所以，因為，則，
所以是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列，
則，即；
（2）由（1）知，
，
因為，所以.
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為1的等差數(shù)列.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)若，是數(shù)列的最大項，求正整數(shù)k的值.
【解題思路】（1）首先根據(jù)為等差數(shù)列求其通項公式，然后利用與之間的關(guān)系得到遞推公式，最后構(gòu)造為等比數(shù)列，進(jìn)而求解數(shù)列的通項公式；
（2）首先根據(jù)（1）求得，代入求得及，然后通過作差，判斷與0的關(guān)系，進(jìn)而得到項之間的大小關(guān)系，進(jìn)而求得最大項.
【解答過程】（1）由題意得，所以，①
所以，②
②－①，得，即，
所以，
又，所以，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
所以，所以.
（2）由（1）知，，所以
解法一：，
當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即.所以，且，
所以數(shù)列的最大項為和，故k的值為2或3.
解法二：，
令，解得；令，解得；令，解得.
因為，所以，且，
所以數(shù)列的最大項為和，故k的值為2或3.
【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，且滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)是否存在正整數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）由已知可得，可得是首項為、公比為－1的等比數(shù)列，可求通項公式；
（2）假設(shè)成立，由（1）可得 ，化簡可得存在正整數(shù)，當(dāng)，時，對任意的正整數(shù)，總成立.
【解答過程】（1）由，得，
所以， 又，
故，由遞推公式可得,
所以，
所以是首項為、公比為－1的等比數(shù)列.
故，即；
（2）由（1）可得，所以
，
假設(shè)成立，
則 ，
化簡得.
可知當(dāng)為正偶數(shù)，即時，（*）式對任意的正整數(shù)總成立.
因此，存在正整數(shù)，當(dāng)，時，對任意的正整數(shù)，總成立.
【變式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)當(dāng)時，求;
(2)若，設(shè)，求的通項公式.
【解題思路】（1）由等差數(shù)列定義得出為等差數(shù)列，由已知求出公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解；
（2）由定義證明數(shù)列是等比數(shù)列，由此即可得解.
【解答過程】（1）當(dāng)時，有，
即，所以為等差數(shù)列，
因為，所以，
所以.
（2）由已知，，
所以，即，
且，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
【題型9 周期數(shù)列的通項問題】
【例9】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，前n項積為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是周期數(shù)列 B．
C． D．
【解題思路】先將遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，由，計算得到，，，，的值，觀察可得為周期數(shù)列，且周期為4，即可判斷選項A；根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)，即可判斷選項B，C，D.
【解答過程】選項A：易知，由，得，
又，計算得，，，，
因此為周期數(shù)列，且周期為4，A正確.
選項B：由A知，，B正確,
選項C，D：由周期性，得，
，則，故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
【變式9-1】（23-24高二下·山東淄博·期中）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A． B．是周期數(shù)列 C． D．
【解題思路】依次取即可驗證A項和B項的正確與否，再根據(jù)周期性可判斷C項是否正確，最后根據(jù)周期性和分組求和法可判斷D項是否正確.
【解答過程】由題意，數(shù)列滿足，，
當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，；
當(dāng)n=3時，；當(dāng)n=4時，；
當(dāng)n=5時，；當(dāng)n=6時，，，
歸納可得數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，所以A正確，B正確；
又由，所以C正確；
因為，所以，所以D錯誤．
故選：ABC．
【變式9-2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列
C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，求出數(shù)列的前面的項，找到數(shù)列的項出現(xiàn)的規(guī)律，即可判斷A，B；結(jié)合數(shù)列的項的規(guī)律求出，即可判斷C，D.
【解答過程】由題意知，故；；
；；；
；……
∴數(shù)列從開始每3項，即重復(fù)出現(xiàn)，
但前2項和后面項并不重復(fù)，故數(shù)列并不是周期數(shù)列，A錯誤，B正確．
，
，C正確，D錯誤．
故選：BC．
【變式9-3】（2024·重慶長壽·模擬預(yù)測）已知是的前項和，，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．是以為周期的周期數(shù)列
【解題思路】推導(dǎo)出，利用數(shù)列的周期性可判斷各選項的正誤.
【解答過程】因為，，則，，，
以此類推可知，對任意的，，D選項正確；
，A選項錯誤；
，B選項正確；
，C選項錯誤.
故選：AC.
【題型10 正負(fù)、奇偶討論型求通項】
【例10】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列的前項和為且．
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項公式．
【解題思路】（1）根據(jù)的關(guān)系，化為，根據(jù)并項法求；
（2）由遞推關(guān)系可得，據(jù)此分為奇數(shù)、偶數(shù)求通項公式，再合并即可得解.
【解答過程】（1）因為，
所以．
兩式相減，得．
所以
；
（2）由（1）知①，
可得②，．
因為，
所以，又，
所以
又由①②得．
所以，即為偶數(shù)，
則當(dāng)，且為奇數(shù)時，
，
又符合上式，綜合得．
【變式10-1】（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.
【解題思路】（1）由數(shù)列的遞推公式，利用累乘法即可求解；
（2）對進(jìn)行不等式放縮，即可證明不等式.
【解答過程】（1），，，
，兩式相除，得，
當(dāng)，時，，，即；
當(dāng)，時，，，即，
綜上所述，數(shù)列的通項公式為；
（2），
，
又，
.
【變式10-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到，得出數(shù)列為等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得的通項公式；
（2）由（1）得到，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，結(jié)合，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【解答過程】（1）解：由，可得，所以，
又由，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當(dāng)時，，所以，
又當(dāng)時，滿足上式，
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以
【變式10-3】（2024·湖南長沙·三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”，且.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解題思路】（1）利用“比差等數(shù)列”的定義可得，令，則為常數(shù)列，
可得，可求的通項公式；
（2）分為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況求解可得數(shù)列的前項和.
【解答過程】（1）由為“比差等數(shù)列”，
得，
從而.
設(shè)，則，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因為，
所以為常數(shù)列，
因此，，即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
因此.
（2）當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，.
綜上，.
【題型11 雙數(shù)列的通項問題】
【例11】（2024·重慶九龍坡·三模）已知是等差數(shù)列的前項和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)，求使取得最大值時的值.
【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項及前項和公式求出首項與公差，即可求出數(shù)列的通項公式，再求出數(shù)列的首項與公比，即可得的通項公式；
（2）先求出的通項，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案.
【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，解得，
所以；
（2）由（1）得，
則，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)或時，取得最大值.
【變式11-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，數(shù)列滿足，（，）．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)將數(shù)列，中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．
【解題思路】（1）對，兩邊同時取對數(shù)，對分類討論即可求出，由等差數(shù)列定義即可求出；
（2）令，解出即可得解.
【解答過程】（1），，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，
而，滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為；
若數(shù)列滿足，（，），
則，
從而數(shù)列的通項公式為；
（2）令，解得，這表明，
從而只能，
所以，
所以數(shù)列的通項公式為.
【變式11-2】（2024·四川德陽·三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且的前項和為，，，在①，②這兩個條件中任選其中一個，完成下面問題的解答.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求.
【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列定義根據(jù)條件①②列方程組解得公比可得數(shù)列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求出.
【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
∵，，
∴，
∴.
∴.
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若選條件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
故.
若選條件②，，
令，得，
∴公比，
∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
從而.
（2）因為，
所以，
兩式相減，得，
即，
所以.
【變式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知為等差數(shù)列，前項和為，若，；數(shù)列滿足：，.
(1)求和的通項公式；
(2)對任意的，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為.
（i）求；
（ii）記，的前項和記為，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）的通項通過基本量法求解，的通項通過令，兩式作商求解.
（2）（i）求出即可得出答案；
（ii）根據(jù)題意求出和的關(guān)系，在利用取值范圍求出和.
【解答過程】（1），
所以，
①
當(dāng)時，則②
①②得：，所以是公差為的等差數(shù)列，
當(dāng)時有：，所以
（2）（i）
因為，所以，所以
（ii），把代入得：，
所以，，
所以
因為，，所以，
當(dāng)時，（舍去），當(dāng)時，（舍去），
當(dāng)時，，所以存在，.
【題型12 特殊數(shù)列求通項】
【例12】（2024·貴州貴陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.試求:
(1)數(shù)列的通項公式;
(2)記，數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，求滿足條件的最小整數(shù).
【解題思路】（1）由已知結(jié)合和與項的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）利用裂項求和求出，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．
【解答過程】（1）因為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因為，
兩式相減得，，
因為，所以，
所以，均為等差數(shù)列，，．
所以；
（2）由題意得，，
所以，
因為，
所以，
解得．所以滿足條件的最小整數(shù)為9．
【變式12-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解題思路】（1）根據(jù)公式求即可.
（2）由（1）知,根據(jù)通項公式規(guī)律,用錯位相減來求即可.
【解答過程】（1）當(dāng)時,,解出,又,則；
當(dāng)時,由兩式相減得,兩邊同時除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
當(dāng)時,,滿足,因此；
（2）由（1）可知,,則,
兩邊同時乘以得,,
錯位相減得,
即
整理得，.
【變式12-2】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解題思路】（1）首先利用作差法得到，再由作差可得；
（2）由（1）知，再利用分組求和法及裂項相消法計算可得.
【解答過程】（1）因為，
當(dāng)時有，
兩式相減得，所以，
當(dāng)時，，所以，此時仍然成立，
所以，
當(dāng)時，，
又也滿足，
所以.
（2）由（1）知
，
所以.
【變式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正項數(shù)列中，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到，得到數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）知，結(jié)合二項式定理，得到，再結(jié)合，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得證.
【解答過程】（1）解：由，可得，
即，
因為，所以，
所以數(shù)列是首項為，公差為0的等差數(shù)列，
又因為，所以，所以數(shù)列的通項公式為．
（2）解：由（1）知，
則，當(dāng)時，取等號，
因為，
所以，
所以．
一、單選題
1．（2024·貴州黔南·二模），數(shù)列1，，7，，31，的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用排除法，取特值檢驗即可.
【解答過程】對于選項A：因為，故A錯誤；
對于選項B：因為，故B錯誤；
對于選項C：因為，故C錯誤；
對于選項D：檢驗可知對均成立，故D正確；
故選：D.
2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
【解題思路】在數(shù)列遞推式中依次取，得到個等式，累加后求出數(shù)列的通項公式，即可求出答案.
【解答過程】由，
得，，
，，，
累加得，
，
當(dāng)時，上式成立，
則，
所以.
故選：D.
3．（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
由，可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果
【解答過程】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因為，所以，
因為滿足上式，所以，
故選：B.
4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，且，則的通項為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；
【解答過程】解：∵，∴，
由，得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．
故選：A.
5．（2024·廣東茂名·一模）已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，則（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【解題思路】利用給定的遞推公式，結(jié)合對數(shù)運算變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項即可得解.
【解答過程】由，得，于是，則，
兩邊取對數(shù)得，因此，數(shù)列是常數(shù)列，
則，即，所以，.
故選：B.
6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)遞推關(guān)系可證明為等差數(shù)列，即可求解.
【解答過程】，
所以，，所以為等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，
故，即，
故選：B.
7．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比不為1，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用等差中項的性質(zhì)及等比數(shù)列基本量的計算求通項公式即可.
【解答過程】設(shè)的公比為q，
則依題意有，
解方程得或（舍去），所以 .
故選：C.
8．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解題思路】先把，利用累加法和裂項相消法可求答案.
【解答過程】因為，所以，
則當(dāng)，時，，
將個式子相加可得，
因為，則，
當(dāng)時，符合上式，
所以，，，
故選：D.
二、多選題
9．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件求得，從而判斷AB；利用作差法，結(jié)合遞推關(guān)系可得，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項公式，從而判斷CD.
【解答過程】對于AB，因為數(shù)列滿足，，
所以當(dāng)時，，此時，故A正確，B錯誤；
對于CD，當(dāng)時，，
兩式相減，得，整理得，
又，，即當(dāng)時，不滿足上式，
所以是從第二項起首項為的常數(shù)列，
故當(dāng)時，，則，
綜上，，故C錯誤，D正確.
故選：AD．
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列中，若存在最大值，則數(shù)列的通項可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和正負(fù)變號的位置并結(jié)合的性質(zhì)逐項分析即可.
【解答過程】對A，若，則，無最大值，所以A錯誤；
對B，若，則，，，，
所以當(dāng)時，，又，，
所以當(dāng)時，有最大值，所以B正確；
對C，若，則單調(diào)遞減，
又，，，所以當(dāng)時，有最大值，所以C正確；
對D，若，則，，，，所以當(dāng)時，，
又，所以當(dāng)或2時，有最大值，所以D正確．
故選：BCD．
11．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
【解題思路】根據(jù)遞推公式分別求出和可判斷A；將兩邊同時取倒數(shù)后配方，再適當(dāng)放縮可得到，即可判斷B；根據(jù)，再利用累加法可判斷C；根據(jù)，再利用累乘法可求出即可判斷D.
【解答過程】 ，，易知，，
對于A， ，，故A正確；
對于B， ， ，
，兩邊開方得，故B錯誤；
對于C，由B知，，即，
當(dāng)時，
，
， ，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，故C正確；
對于D，由C知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)時，
，
，故D錯誤.
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知一數(shù)列：，則該數(shù)列的通項可以表示為 （答案不唯一） .
【解題思路】觀察數(shù)列前幾項的特征，寫出數(shù)列的一個通項即可.
【解答過程】因為，，，
，，，，
所以該數(shù)列的通項可以表示為.
故答案為：（答案不唯一）.
13．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，， 則該數(shù)列的通項公式為 ．
【解題思路】根據(jù)條件，得到，由等比數(shù)列的定義得到，再通過變形得到數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果.
【解答過程】當(dāng)時，，
又，所以數(shù)列是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，等式兩邊同時除以，得，
又，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，
所以，得到，
故答案為：.
14．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為 ．
【解題思路】對已知遞推關(guān)系的等式兩邊同時除以，利用累加法，結(jié)合裂項求和法即可求得結(jié)果.
【解答過程】，兩邊同除得：
，
所以，即，
化簡得，∵，∴．
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，，通項公式，其中p，q為常數(shù)，．
(1)求的通項公式；
(2)88是否是數(shù)列中的項？
【解題思路】（1）將，代入到通項公式中，聯(lián)立成方程組，求解出參數(shù)p，q，從而得出通項公式；
（2）令，解出的值，若為正整數(shù)，則是數(shù)列中的項；若不是正整數(shù)，則不是數(shù)列中的項.
【解答過程】（1）解：因為，，通項公式，
所以，
解得，，
所以；
（2）令，
解得，
因為，
所以88不是數(shù)列中的項.
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【解題思路】（1）利用數(shù)列的和與項的關(guān)系構(gòu)造①，② 兩式，相減即得數(shù)列的通項；
（2）求出，將其裂項后，進(jìn)行求和，消去中間項即得.
【解答過程】（1）當(dāng)時，．依題意，①
當(dāng)時，②．
①－②得，
所以．因時，該式也成立，
故的通項公式為．
（2）由（1）知，由可得
則 ．
17．（2024·陜西榆林·一模）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解題思路】
（1）利用和之間的關(guān)系式可得，再利用累乘即可求得的通項公式；
（2）寫出數(shù)列的通項公式利用裂項求和即可得出結(jié)果.
【解答過程】（1）當(dāng)時，，解得.
當(dāng)時，由，得，
兩式相減得，即，
利用累乘可得，
即，因為，所以；
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知，裂項可得，
則.
所以數(shù)列的前項和.
18．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解題思路】（1）由是與的等差中項,可得，化簡得，可得，作差可得，則可得的通項公式；
（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.
【解答過程】（1）由題意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是與的等差中項，得當(dāng)時，
，解得，
所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故.
（2）由（1）得，則
，
所以
，
所以，
所以.
19．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知等差數(shù)列的公差為4，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【解題思路】（1）由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解等差數(shù)列的首項，即可求解，由得，兩式相減得，再驗證，最后利用等比數(shù)列的定義求解即可.
（2）利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可.
【解答過程】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的首項為，因為，，成等比數(shù)列，
所以，又，即，解得，
故，
由已知，故，
兩式相減，得，
又，解得，所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.
（2）由（1）得，
故，
則，
兩式相減得
，
故.
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