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專題6.5 數列求和【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 公式法】 3
【題型2 錯位相減法求和】 5
【題型3 裂項相消法求和】 8
【題型4 分組（并項）法求和】 10
【題型5 倒序相加法求和】 13
【題型6 含有（-1）n的類型求和】 16
【題型7 奇偶項問題求和】 19
【題型8 先放縮再裂項求和】 21
【題型9 新定義、新情景下的數列求和】 25
1、數列求和
考點要求 真題統計 考情分析
(1)熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式 (2)掌握非等差數列、非等比數列求和的幾種常用方法 2023年新高考I卷：第20題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分 2023年全國甲卷（理數）：第17題，12分 2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第17題，12分 2024年全國甲卷（理數）：第18題，12分 數列是高考的熱點內容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，數列求和往往以解答題的形式考查，難度中等或稍難，往往在解決數列基本問題后考查數列求和，在求和后往往與不等式、函數、最值等問題綜合，與不等式結合時“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解. 去年高考壓軸題中出現數列的新定義、新情景題，綜合性強，難度大，需要靈活求解.
【知識點1 數列求和的幾種常用方法】
1．公式法
直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和.
①等差數列的前n項和公式：
.
②等比數列的前n項和公式：
=.
2．分組求和法與并項求和法
(1)分組求和法
若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.
(2)并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求解.
3．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一 個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的.
4．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
常見的裂項技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一個數列{}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
【方法技巧與總結】
常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【題型1 公式法】
【例1】（2024·四川達州·二模）等差數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若為等比數列，，求通項公式.
【解題思路】（1）應用等差數列基本量運算得出，再求；
（2）應用等比數列通項公式基本量運算得出公比，再求通項即可.
【解答過程】（1）設等差數列公差為，.
（2）
數列公比為.
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預測）已知是等差數列，，且，，成等比數列．
(1)求數列的公差；
(2)求數列的前項和．
【解題思路】（1）設等差數列的公差為，由已知條件列方程求解；
（2）由數列的通項，公式法求前項和.
【解答過程】（1）設等差數列的公差為，由，，成等比數列，
有，解得或．
（2）由（1）因此數列的通項公式為或．
由于或，
由等比數列前項和公式得或．
【變式1-2】（2024·遼寧·一模）已知為數列的前n項和，滿足，且成等比數列，當時，．
(1)求證：當時，成等差數列；
(2)求的前n項和．
【解題思路】(1)利用得到和的關系即可證明；
(2)結合(1)中結論得，求出和公比，得到通項公式，從而根據等差和等比數列前n項和公式即可求解．
【解答過程】（1）∵，
∴，，
兩式相減，得，
即．
當時，，∴，
∴當時，成等差數列．
（2）由，解得或，
又成等比數列，
∴由(1)得，進而，
而，∴，從而，
∴，
∴．
【變式1-3】（2024·江西贛州·二模）已知數列滿足，，，成等差數列.
(1)求證：數列是等比數列，并求出的通項公式；
(2)記的前n項和為，證明：.
【解題思路】（1）由，，成等差數列可得：，利用兩邊同時除以，即可構造為，所以第一問就可以得證并計算通項；
（2）關鍵是對通項進行放縮成等比數列公式求和并證明，所以想到和，最后就能證明不等式成立.
【解答過程】（1）由，，成等差數列可得：，
因為，可得，所以兩邊同時除以得：，
上式可化為：
所以數列表示是以為首項，3為公比的等比數列
所以，即
（2）因為
所以
又因為
所以 ，
（當n＝1時等號成立），
綜上可知：.
【題型2 錯位相減法求和】
【例2】（2024·河南·三模）已知等差數列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【解題思路】（1）根據等差數列通項公式計算得出通項；
（2）應用錯位相減法求出數列的和.
【解答過程】（1）設等差數列的公差為d，
由題意可得，解得，
所以．
（2）設，
所以，
所以，
兩式相減得，，
所以，所以．
【變式2-1】（2024·黑龍江牡丹江·一模）設，若數列的前項和為，且是與的等差中項；
(1)求數列的通項公式；
(2)若是以為首項，為公差的等差數列，求數列的前項和．
【解題思路】（1）依題意可得，在根據，作差得到，結合等比數列的定義計算可得；
（2）依題意可得，則，再利用錯位相減法計算可得.
【解答過程】（1）因為是與的等差中項，可得，
當時，可得，解得，
當時，由，可得，
兩式相減可得，
即為，
可得數列是首項和公比均為的等比數列，
所以；
（2）若是以為首項，為公差的等差數列，
則，
可得，
數列的前項和，
，
兩式相減可得
，
化簡可得．
【變式2-2】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知各項均為正數的數列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數列的前項和.
【解題思路】（1）根據公式求即可.
（2）由（1）知,根據通項公式規律,用錯位相減來求即可.
【解答過程】（1）當時,,解出,又,則；
當時,由兩式相減得,兩邊同時除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
當時,,滿足,因此；
（2）由（1）可知,,則,
兩邊同時乘以得,,
錯位相減得,
即
整理得，.
【變式2-3】（2024·天津·模擬預測）數列是等差數列，其前n項和為，數列是等比數列，，，，，．
(1)求數列、的通項公式；
(2)的前n項和，求證：．
【解題思路】（1）記數列的公差為，數列的公比為，根據已知列方程組求解即可；
（2）根據錯位相減法求和，記，判斷其單調性即可得證.
【解答過程】（1）記數列的公差為，數列的公比為，，
由題知，，解得，所以.
由，解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可知，
則，
，
兩式相減得，
所以，
記，則，
所以單調遞減，所以，且，
所以，即.
【題型3 裂項相消法求和】
【例3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設，求的前n項和.
【解題思路】（1）利用等差數列的定義即可證明；
（2）根據（1）問，求出數列的通項公式，從而求得數列的通項公式，進而可求得數列的通項公式，最后利用裂項相消求和法求得
【解答過程】（1）證明：令，又，則有
，
又，所以
所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
.
【變式3-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）記為數列的前n項和，是首項與公差均為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前2024項的和．
【解題思路】（1）先求，再利用“退位法”可求數列的通項公式；
（2）利用裂項相消法可求.
【解答過程】（1）由是首項與公差均為1的等差數列得
則，當時，，
兩式相減得，，
當時，，也滿足上式，故數列的通項公式為．
（2）由（1）得，，
所以數列的前2024項的和為：
【變式3-2】（2024·福建龍巖·三模）若數列是公差為1的等差數列，且，點在函數的圖象上，記數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式;
(2)設，記數列的前項和為，證明:.
【解題思路】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，代入到中即可求解，
（2）利用裂項求和即可求解.
【解答過程】（1）由得，，
點在函數的圖象上，
（2）,顯然數列為等比數列，首項為1，公比為3，則，
.
【變式3-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．
(1)求數列的公差；
(2)若，求數列的前n項和．
【解題思路】（1）設出公差，根據為等差，得到，求出公差；
（2）得到，裂項相消法求和，得到答案.
【解答過程】（1）設數列的公差為d，則．
因為是等差數列，所以為常數．
，
所以，解得
（2）因為，所以．
，
故．
【題型4 分組（并項）法求和】
【例4】（2024·浙江·模擬預測）已知數列為公差不為零的等差數列，其前n項和為，，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若數列是公比為3的等比數列，且，求的前n項和．
【解題思路】（1）設公差為d，根據等差數列的前n項和公式與等比中項公式列出關于和d的方程，求解即可得的通項公式；
（2）由（1）可得等比數列的第三項，進而得，從而得到的通項公式，利用等差和等比數列前n項和公式分組求和即可求出.
【解答過程】（1）因為為等差數列，設公差為d，
由，得，即，
由，，成等比數列得，，
化簡得，因為，所以．
所以．
綜上．
（2）由知，，
又為公比是3的等比數列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
綜上.
【變式4-1】（2024·山西·三模）已知等差數列的公差，前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解題思路】（1）依題意得到關于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.
【解答過程】（1）因為，，
所以，解得或，
因為，所以，則；
（2）由（1）可得，
所以
.
【變式4-2】（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設求數列的前20項和.
【解題思路】（1）根據等差中項求出，再根據求出公差，最后根據等差數列的通項公式，求出的通項公式；
（2）先寫出，對為偶數的情況進行裂項，再用分組求和法求出.
【解答過程】（1）因為為等差數列，且與的等差中項為5，
所以，解得，
因為，
所以，解得，
因為，所以，
所以，
故數列的通項公式為；
（2）由題知，
即
所以
，
故數列的前20項和為.
【變式4-3】（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數列滿足：，且，，成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若等差數列的公差不為零且數列滿足：，求數列的前項和．
【解題思路】（1）設數列公差，由條件列出方程，求解后運用等差數列基本量運算即得；
（2）求出數列的通項公式，根據其形式結構進行拆項和裂項，利用分組求和法與裂項求和法即可求得.
【解答過程】（1）設數列的公差為，依題意，成等比數列，所以，
解得或，當時，；當時，
所以數列的通項公式為或.
（2）因為等差數列的公差不為零，由（1）知，則
，
所以，
即.
【題型5 倒序相加法求和】
【例5】（2024·上海·模擬預測）已知，數列的前項和為，點均在函數的圖象上.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，令，求數列的前2024項和.
【解題思路】（1）由題意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得結果.
【解答過程】（1）因為點均在函數的圖象上，
所以，
當時，，即，
當時，
，
因為滿足上式，
所以；
（2）因為，
所以，
因為，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
【變式5-1】（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知數列滿足：，數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解題思路】（1）根據題意，當時，可得，兩式相減，求得，再由，得到，即可求得數列的通項公式.
（2）由（1）得，結合指數冪的運算法則，即可求得的值；.
（3）由（2）知，結合倒序相加法，即可求解.
【解答過程】（1）由數列滿足：，
當時，可得，
兩式相減，可得，所以，
當，可得，所以，適合上式，
所以數列的通項公式為.
（2）由數列滿足，
則 .
（3）由（2）知，
可得，
則，
兩式相加可得，所以.
【變式5-2】（23-24高二下·湖南益陽·階段練習）已知數列滿足，數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和；
(3)求數列的前99項的和的值．
【解題思路】（1）利用數列的前項和，求通項；
（2）根據（1）的結果，利用錯位相減法求和；
（3）觀察數列的形式，求得，再利用倒序相加法求和.
【解答過程】（1）由 ①
得 ②
①－②得：，
在①式中令得，合適上式，所以對任意的正整數n都有：
（2），
兩式相減得：
整理得：
（3），
所以
所以，為定值，則
且，兩式相加得，因此.
【變式5-3】（23-24高二下·全國·課前預習）已知函數.
(1)求證為定值；
(2)若數列的通項公式為（為正整數，，，，），求數列的前項和；
【解題思路】（1）由函數的解析式得出的表達式，化簡后可得為定值；
（2）由于，可得，即，倒序相加可得.
【解答過程】（1）證明：由于函數，
則，
所以.
（2）由（1）可知，，
則，其中為正整數，，
即，且，
所以，其中為正整數，，
且，
，①
變化前項順序后，可得：，②
①②得：，
因此.
【題型6 含有（-1）n的類型求和】
【例6】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
【解題思路】（1）根據作差得到，從而得到，結合等差數列的定義計算可得；
（2）由（1）可得，記，則，利用并項求和法計算可得.
【解答過程】（1）由， ，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是首項為，公差為的等差數列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
記，則，
.
【變式6-1】（23-24高二下·廣東佛山·期中）設是等差數列，是公比大于0的等比數列，已知，，．
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【解題思路】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，根據題意建立方程組，求解即可；
（2）由，利用分組求和法求解.
【解答過程】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，且．
依題意得，解得，所以或．
又因為，所以，所以，
故，．
（2），
．
【變式6-2】（2024·陜西渭南·二模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2n項和.
【解題思路】（1）根據給定條件，借助等比數列的通項公式求出公比及首項即可.
（2）由（1）的結論，利用分組求和法，結合等比數列前n項和公式求解即得.
【解答過程】（1）設等比數列的公比為，由及，
得，
解得，于是，即，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
【變式6-3】（2024·陜西安康·模擬預測）記為數列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解題思路】（1）根據題意，化簡得到，得出數列為等差數列，求得，進而求得的通項公式；
（2）由（1）得到，當為奇數時，；當為偶數時，，結合，結合等差數列、等比數列的求和公式，即可求解.
【解答過程】（1）解：由，可得，所以，
又由，所以，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以，則，
當時，，所以，
又當時，滿足上式，
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知當為奇數時，；
當為偶數時，，
所以
【題型7 奇偶項問題求和】
【例7】（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解題思路】（1）設出公差，借助等差數列性質與等比數列性質計算即可得；
（2）分奇數項及偶數項分組求和，結合等比數列的性質與裂項相消法計算即可得.
【解答過程】（1）設的公差為，由題意知，即，
即有，因為，可得，，
所以；
（2）設數列的前項中的奇數項之和為，偶數項之和為，
則
，
，
所以．
【變式7-1】（2024·陜西安康·模擬預測）記數列的前項和為，已知且．
(1)證明：是等差數列；
(2)記，求數列的前2n項和．
【解題思路】（1）借助與的關系計算可得，結合等差數列定義即可得；
（2）計算出通項公式后，可得，結合分組求和法，借助等差數列求和公式與等比數列求和公式計算即可得.
【解答過程】（1）當時，，則．
因為，所以當時，，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是以1為首項，1為公差的等差數列；
（2）由（1）知，，所以，
故
.
【變式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知數列和的各項均為正，且，是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【解題思路】（1）利用遞推公式可證得數列是等差數列，可求出數列的通項；利用等比數列的性質，可求出通項；
（2）根據裂項相消和分組求和法求解即可；
【解答過程】（1）由題設，當時或（舍），
由，知，
兩式相減得，
（舍）或，即，
∴數列是首項為2，公差為2的等差數列，．
又．
（2）
則
當n為偶數時，；
當n為奇數時，．
所以.
【變式7-3】（2024·福建廈門·三模）設為數列的前項和，已知，且為等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和.
【解題思路】（1）根據等差數列定義可得，利用與之間關系可證得數列通的項公式；
（2）采用分組求和法，分別對奇數項和偶數項求和，結合等差數列求和公式和裂項相消法可求得結果.
【解答過程】（1）設等差數列的公差為，因為，
所以，即，
所以，即，
當時，，
當時，，滿足上式，所以.
（2）由（1）知
則
所以數列的前項和為.
【題型8 先放縮再裂項求和】
【例8】（2024·福建廈門·二模）已知數列滿足，.
（1）證明：數列是等差數列；
（2）令，證明：.
【解題思路】（1）依題意可得，再兩邊取倒數，即可得到，從而得證；
（2）由（1）可得，則，利用放縮法得到，再利用裂項相消法求和即可得證；
【解答過程】解：（1）因為，所以，
因為，所以﹐
所以
所以
又因為.所以是以1為首項，公差為1的等差數列.
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
所以
即，
【變式8-1】（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習）已知數列的前n項和為，，．
（1）求證為等比數列；
（2）求證：．
【解題思路】（1）由已知得，即，可證明是等比數列；
（2）有（1）知，即，合理利用放縮然后利用裂項相消可得證明.
【解答過程】證明：（1）∵數列的前n項和為，，，∴，
∴，，∴是以為首項，以4為公比的等比數列．
（2）∵是以為首項，以4為公比的等比數列，∴，∴．∴．
，，所以，
當時，
∴
．
綜上所述，．
【變式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知數列滿足，，令，設數列前n項和為．
(1)求證：數列為等差數列；
(2)若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍；
(3)設正項數列滿足，求證：．
【解題思路】（1）根據等差數列的定義證明；（2）根據裂項相消法計算求解；（3）求出通項公式，然后根據放縮法證明.
【解答過程】（1）因為，所以數列為等差數列，首項為1，公差為2；
（2）由（1）問可知；故；
所以 ．
所以存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，所以；
因為，
當且僅當，即時取得等號；
綜上：實數的取值范圍是：；
（3）因為，所以，所以，即；
因為；
所以；
∴
；
綜上：原不等式得證．
【變式8-3】（2024·廣東惠州·一模）約數，又稱因數．它的定義如下：若整數除以整數除得的商正好是整數而沒有余數，我們就稱為的倍數，稱為的約數．設正整數共有個正約數，記為，，…，，（）．
(1)當時，若正整數的個正約數構成等比數列，請寫出一個的值；
(2)當時，若，，…，構成等比數列，求證：；
(3)記，求證：．
【解題思路】（1）根據題意即可寫出的一個值；（首項為1，公比為質數的等比數列的第四項均可）
（2）由題意知，，，，，結合，，…，構成等比數列，可推出是完全平方數，繼而可得，由此可知，，…，為，，，，求得即可；
（3）由題意知，，，， ，從而可得，采用放縮法以及裂項求和的方法，即可證明結論．
【解答過程】（1）（1）當 時，正整數的4個正約數構成等比數列，
如1，2，4，8為8的所有正約數，即；
或1，3，9，27為27的所有正約數，即；
或1，5，25，125為125的所有正約數，即；
（首項為1，公比為質數的等比數列的第四項均可）
（2）由題意可知，，，且，
因為，，…，構成等比數列，不妨設其公比為，
則，所以，
化簡得：，所以，
又因為，所以，所以公比，
所以，
又因為，，所以，
又因為，所以；
（3）由題意知，，，， ，
所以，
因為，，，
所以 ，
因為，，所以
所以，即．
【題型9 新定義、新情景下的數列求和】
【例9】（2024·陜西·三模）數列的前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令，并將數列稱為的“生成數列”．
(1)設數列的“生成數列”為，求證：；
(2)若，求其生成數列的前項和．
【解題思路】（1）由“生成數列”的定義證明即可；
（2）由分組求和求解即可.
【解答過程】（1）由題意可知，
所以，因此，
即是單調遞增數列，且，
由“生成數列”的定義可得．
（2）當時，．
，又，
，
當時，．
設數列的前項和為．則．
當時，
又符合上式，所以．
【變式9-1】（2024·重慶·模擬預測）對于數列，定義，滿足，記，稱為由數列生成的“函數”．
(1)試寫出“函數” ，并求的值；
(2)若“函數” ，求n的最大值；
(3)記函數，其導函數為，證明：“函數” ．
【解題思路】結合新定義可得，結合等差數列及疊加法可求得；（1）代入即可求解；（2）代入，結合分組求和及應用導數求最值即可（3）由 ，結合導數的運算即可求解.
【解答過程】（1）由定義及．知，
所以是公差為m的等差數列，所以．
因為，所以，
所以，即．
當時，有，
，
……
，
所以，
即．
（1）當時，，
所以“函數” ．
當時，．
（2）當時，，
故“函數”
．
由，得．
令，則，
所以在上單調遞增．
因為．所以當時，，所以當時，，
故n的最大值為5．
（3）證明：由題意得
由，得，
所以，所以，
所以.
【變式9-2】（2024·山東泰安·模擬預測）已知數列是斐波那契數列，其數值為： .這一數列以如下遞推的方法定義： .數列對于確定的正整數，若存在正整數使得成立，則稱數列為“階可分拆數列”.
(1)已知數列滿足 .判斷是否對，總存在確定的正整數，使得數列為“階可分拆數列”，并說明理由.
(2)設數列的前項和為 ，
（i）若數列為“階可分拆數列”，求出符合條件的實數的值；
（ii）在（i）問的前提下，若數列滿足，，其前項和為.證明：當且時，成立.
【解題思路】（1）由已知可得可得由定義可得結論；
（2）當時，，（i）由已知可得存在正整數使得成立，當時，可求得，當時，可得，方程無解，可得結論；
（ii）法一：當時，易得，計算可得，由（1）可得，，利用錯位相減法可得 ，可證結論成立；法二：同法一可得，，兩邊同乘以，可求得，可證結論.
【解答過程】（1）存在，理由如下：
由已知得，，，
即
對，當正整數時，存在，使得成立，
即數列為“階可分拆數列”；
（2），
當時，，
當時，，
（i）若數列為“階可分拆數列”，則存在正整數使得成立，
當時，，即，解得，
當時，，即，
因，所以，又，
故方程無解.
綜上所述，符合條件的實數a的值為.
（ii）方法一：
證明：，
當時，，
，
，
由（i）知，所以，
①，
②，
由①-②可得
，
，
，
，
當且時， 成立.
方法二：
證明：，
當時，，
，
，
由（i）知，所以，
①，
②，
③，
由①②③可得
，
，
當且時， 成立.
【變式9-3】（2024·江西·模擬預測）我國元代數學家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書中對高階等差數列求和有精深的研究，即“垛積術”．對于數列，①，從第二項起，每一項與它前面相鄰一項的差構成數列，②，稱該數列②為數列①的一階差分數列，其中；對于數列②，從第二項起，每一項與它前面相鄰一項的差構成數列，③，稱該數列③為數列①的二階差分數列，其中按照上述辦法，第次得到數列，④，則稱數列④為數列①的階差分數列，其中，若數列的階差分數列是非零常數列，則稱數列為階等差數列（或高階等差數列）．
(1)若高階等差數列為，求數列的通項公式；
(2)若階等差數列的通項公式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求數列的前項和．
附：．
【解題思路】（1）根據階等差數列的定義，分別求出一階差分數列和二階差分數列，發現二階差分數列為常熟列，即可得出，即，得到為等差數列，求得，即，然后用累加法即可求解；
（2）（?。└鶕A等差數列的定義，從一階差分數列、二階差分數列、三階差分數列…依次往下求，當出現常數列時為止，即可確定為r的值；（?、。┙Y合二項式定理將轉化為了，然后利用裂項相消求和與分組求和的方法即可得解.
【解答過程】（1）數列的一階差分數列為，
二階差分數列為，為非零常數列，
所以，即，且，
所以數列是首項為1、公差為4的等差數列，
所以，即，且，
所以當時，
，
當時，，也滿足上式，
綜上，數列的通項公式為．
（2）（?。?，所以，
，
所以，
所以，
所以數列是4階等差數列，即．
（ⅱ）
，
所以，
又
，
所以
．
一、單選題
1．（2024·新疆·二模）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意結合等差數列的性質求解即可，或根據題意利用等差數列的通項公式化簡，再化簡即可.
【解答過程】因為，所以，所以．
因為，所以．
另解：設等差數列的公差為，
由，得，
所以，即，得，
所以，
因為，
，
，
，
所以
故選：A．
2．（2024·四川內江·模擬預測）在數列中，已知，，則它的前30項的和為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可得，運用數列的恒等式可得，再由數列的裂項相消求和，計算可得所求和．
【解答過程】解：由，
可得，
所以當時，，
又，
所以，
所以．
故選：D．
3．（2024·湖北·模擬預測）已知是各項均為正數的等比數列，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】由已知得及，代入問題化簡計算即可．
【解答過程】由題設易知，公比，設，
從而由得，，
由得，，
則，
故選：D．
4．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）已知數列是公比為q（）的正項等比數列，且，若，則（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
【解題思路】由等比數列的性質可得，由，可得，故有，即可計算.
【解答過程】由數列是公比為q（）的正項等比數列，故，
，故，
即有，
由，則當時，
有，
故，
故 ，
故.
故選：D.
5．（2024·河北張家口·三模）已知數列的前n項和為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分奇數項和偶數項求遞推關系，然后記，利用構造法求得，然后分組求和可得.
【解答過程】因為，
所以，，且，
所以，
記，則，所以，
所以是以為首項，2為公比的等比數列，
所以，，
記的前n項和為，則.
故選：A.
6．（2024·四川攀枝花·三模）數列的前項和為，，，設，則數列的前51項之和為（ ）
A． B． C．49 D．149
【解題思路】由與的關系，結合等差數列的通項公式求得，即可得到，再由并項求和法計算可得．
【解答過程】因為，
當時，，
即，
可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，則，
當時，
所以，當時也成立，
所以，
可得數列的前項之和為．
故選：B．
7．（2024·天津北辰·模擬預測）設數列滿足，則數列的前5項和為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用遞推關系求出，再利用裂項相消法求和即可得出答案.
【解答過程】當時，，
當時，
，
，
兩式相減可得：，所以，
又時，，所以不滿足，
所以，設，數列的前項和，
所以，
設數列的前5項和為：
.
故選：D.
8．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列的各項均為正數，，若表示不超過的最大整數，則（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
【解題思路】根據等差數列的定義求出，再根據新定義對分情況求出，再求和可得答案.
【解答過程】因為，
所以，可得是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以，因為數列的各項均為正數，
所以，因為，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
，
則 .
故選：C.
二、多選題
9．（2023·山東日照·模擬預測）已知數列中，則（ ）
A．的前10項和為
B．的前100項和為100
C．的前項和
D．的最小項為
【解題思路】A.由，利用錯位相減法求解判斷；B.由，利用幷項求和判斷；C.由 ，利用裂項相消法求解判斷；D. 由，利用對勾函數的性質求解判斷.
【解答過程】A.易知，則 ，
，
，
兩式相減得 ，
，
，
，則 ，故錯誤；
B. 易知，則其前100項和為，故正確；
C. ，故正確；
D. 易知，令，則，當且僅當，即，時，等號成立，而，當時，，當時，，所以的最小項為，故錯誤；
故選：BC.
10．（2024·吉林·模擬預測）已知在公差不為0的等差數列中，是與的等比中項，數列的前項和為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先由等差數列的條件求得通項公式，進而求得，，可判斷AC，再根據，的正負情況判斷BD.
【解答過程】設等差數列的公差為，則，，
，因為是與的等比中項，所以，
即，解得或，又因為，所以，
所以，故A正確；
，
令，則，又因為，所以，此時，
即只有時，且，除此之外，
所以成立，故B正確；
，故C錯誤；
因為只有時，，除此之外，所以的最小值為，
又時，，所以的最大值為，
所以成立，故D正確.
故選：ABD.
11．（2024·貴州畢節·三模）已知等差數列的前n項和為，且，則（ ）
A． B．
C．數列的前n項和為 D．數列的前n項和為
【解題思路】由等差數列的性質和前n項和公式可求出，可判斷A；由等差數列的前n項和公式可判斷B；由裂項相消法可判斷C；由分組求和法可判斷D.
【解答過程】對于A，設等差數列的首項和公差為，
所以，化簡可得：，
又因為，則，
所以，所以，
所以，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，
所以數列的前n項和為，故C錯誤；
對于D，令，
所以數列的前n項和為：
，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·山東青島·三模）已知等差數列的公差，首項 ，是與的等比中項，記 為數列的前項和，則 105 .
【解題思路】根據等比中項的性質得到方程，即可求出公差，再根據等差數列求和公式計算可得.
【解答過程】等差數列中， ，是與的等比中項，設公差為，
所以，即，
解得或（不合題意，舍去）；
所以．
故答案為：．
13．（2024·四川·三模）在數列中，已知，，則數列的前2024項和
．
【解題思路】由，得到，利用累乘法得到數列的通項公式，再用裂項相消，即可求解.
【解答過程】因為，所以，
所以，
因此，
故答案為：.
14．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
【解題思路】根據已知條件得到關于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數列的通項公式，，由此可得數列的通項公式，分組求和即可求解.
【解答過程】設等差數列的公差為．由，得①，
由得②，
聯立①②，，解得，
所以．
則，
所以
．
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·內蒙古包頭·三模）已知數列的前n項和為，，．
(1)證明：數列是等比數列，并求；
(2)求數列的前n項和．
【解題思路】(1)根據題意及，整理可得，即可得證；
(2)根據(1)中可求出分類討論求出的通項公式，再根據等比數列前n項和可求得.
【解答過程】（1）因為，又，
所以，整理得．
由題意得，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故，
即．
（2）由（1）可，
當時，，
當時，，
所以，
.
當，代入滿足公式，
綜上，.
16．（2024·四川內江·三模）已知等差數列的公差為4，且，，成等比數列，數列的前n項和為，且.
(1)求數列、的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
【解題思路】（1）由已知結合等比數列的性質求解等差數列的首項，即可求解，由得，兩式相減得，再驗證，最后利用等比數列的定義求解即可.
（2）利用錯位相減法求解數列的和即可.
【解答過程】（1）依題意，設等差數列的首項為，因為，，成等比數列，
所以，又，即，解得，
故，
由已知，故，
兩式相減，得，
又，解得，所以，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故.
（2）由（1）得，
故，
則，
兩式相減得
，
故.
17．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前10項和.
【解題思路】（1）先設等差數列的公差為，再根據題干已知條件列出關于首項與公差的方程組，解出與的值，即可計算出數列的通項公式；
（2）先根據第（1）題的結果計算出的表達式，進一步計算出數列的通項公式并進行轉化，最后運用裂項相消法即可計算出數列的前10項和.
【解答過程】（1）由題意，設等差數列的公差為，
則，
化簡整理，得，
解得，
.
（2）由（1）可得，，
則 ，
數列的前10項和為：
.
18．（2024·山東聊城·二模）已知數列滿足為常數，若為等差數列，且．
(1)求的值及的通項公式；
(2)求的前項和．
【解題思路】（1）設等差數列的公差為，結合等差數列的性質可得方程組，解出即可得；
（2）由題意可得，借助分組求和法計算即可得解.
【解答過程】（1）由題意知，
因為，所以,
設等差數列的公差為，則，
解得，所以，
所以的值為的通項公式為；
（2）由（1）知，，
所以
．
所以的前項和．
19．（2024·天津河北·二模）已知是等差數列，其前項和為是等比數列，已知，是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)記，求證：.
【解題思路】（1）由求出，利用又是和的等比中項、求出；
（2）利用錯位相減法求出；
（3）利用放縮法求和可得答案.
【解答過程】（1）由題意，
，
又是和的等比中項，得，
又，解得，
；
（2），
設，
則，
將以上兩式相減得
，
；
（3）
，
，
.
結論得證.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題6.5 數列求和【九大題型】
【新高考專用】
【題型1 公式法】 3
【題型2 錯位相減法求和】 4
【題型3 裂項相消法求和】 5
【題型4 分組（并項）法求和】 6
【題型5 倒序相加法求和】 7
【題型6 含有（-1）n的類型求和】 8
【題型7 奇偶項問題求和】 9
【題型8 先放縮再裂項求和】 11
【題型9 新定義、新情景下的數列求和】 12
1、數列求和
考點要求 真題統計 考情分析
(1)熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式 (2)掌握非等差數列、非等比數列求和的幾種常用方法 2023年新高考I卷：第20題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分 2023年全國甲卷（理數）：第17題，12分 2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第17題，12分 2024年全國甲卷（理數）：第18題，12分 數列是高考的熱點內容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，數列求和往往以解答題的形式考查，難度中等或稍難，往往在解決數列基本問題后考查數列求和，在求和后往往與不等式、函數、最值等問題綜合，與不等式結合時“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解. 去年高考壓軸題中出現數列的新定義、新情景題，綜合性強，難度大，需要靈活求解.
【知識點1 數列求和的幾種常用方法】
1．公式法
直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和.
①等差數列的前n項和公式：
.
②等比數列的前n項和公式：
=.
2．分組求和法與并項求和法
(1)分組求和法
若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.
(2)并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求解.
3．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一 個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的.
4．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
常見的裂項技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一個數列{}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
【方法技巧與總結】
常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【題型1 公式法】
【例1】（2024·四川達州·二模）等差數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若為等比數列，，求通項公式.
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預測）已知是等差數列，，且，，成等比數列．
(1)求數列的公差；
(2)求數列的前項和．
【變式1-2】（2024·遼寧·一模）已知為數列的前n項和，滿足，且成等比數列，當時，．
(1)求證：當時，成等差數列；
(2)求的前n項和．
【變式1-3】（2024·江西贛州·二模）已知數列滿足，，，成等差數列.
(1)求證：數列是等比數列，并求出的通項公式；
(2)記的前n項和為，證明：.
【題型2 錯位相減法求和】
【例2】（2024·河南·三模）已知等差數列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【變式2-1】（2024·黑龍江牡丹江·一模）設，若數列的前項和為，且是與的等差中項；
(1)求數列的通項公式；
(2)若是以為首項，為公差的等差數列，求數列的前項和．
【變式2-2】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知各項均為正數的數列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數列的前項和.
【變式2-3】（2024·天津·模擬預測）數列是等差數列，其前n項和為，數列是等比數列，，，，，．
(1)求數列、的通項公式；
(2)的前n項和，求證：．
【題型3 裂項相消法求和】
【例3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)設，求的前n項和.
【變式3-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）記為數列的前n項和，是首項與公差均為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前2024項的和．
【變式3-2】（2024·福建龍巖·三模）若數列是公差為1的等差數列，且，點在函數的圖象上，記數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式;
(2)設，記數列的前項和為，證明:.
【變式3-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．
(1)求數列的公差；
(2)若，求數列的前n項和．
【題型4 分組（并項）法求和】
【例4】（2024·浙江·模擬預測）已知數列為公差不為零的等差數列，其前n項和為，，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若數列是公比為3的等比數列，且，求的前n項和．
【變式4-1】（2024·山西·三模）已知等差數列的公差，前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式4-2】（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設求數列的前20項和.
【變式4-3】（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數列滿足：，且，，成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若等差數列的公差不為零且數列滿足：，求數列的前項和．
【題型5 倒序相加法求和】
【例5】（2024·上海·模擬預測）已知，數列的前項和為，點均在函數的圖象上.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，令，求數列的前2024項和.
【變式5-1】（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知數列滿足：，數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【變式5-2】（23-24高二下·湖南益陽·階段練習）已知數列滿足，數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和；
(3)求數列的前99項的和的值．
【變式5-3】（23-24高二下·全國·課前預習）已知函數.
(1)求證為定值；
(2)若數列的通項公式為（為正整數，，，，），求數列的前項和；
【題型6 含有（-1）n的類型求和】
【例6】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
【變式6-1】（23-24高二下·廣東佛山·期中）設是等差數列，是公比大于0的等比數列，已知，，．
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【變式6-2】（2024·陜西渭南·二模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2n項和.
【變式6-3】（2024·陜西安康·模擬預測）記為數列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【題型7 奇偶項問題求和】
【例7】（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【變式7-1】（2024·陜西安康·模擬預測）記數列的前項和為，已知且．
(1)證明：是等差數列；
(2)記，求數列的前2n項和．
【變式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知數列和的各項均為正，且，是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【變式7-3】（2024·福建廈門·三模）設為數列的前項和，已知，且為等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前項和.
【題型8 先放縮再裂項求和】
【例8】（2024·福建廈門·二模）已知數列滿足，.
（1）證明：數列是等差數列；
（2）令，證明：.
【變式8-1】（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習）已知數列的前n項和為，，．
（1）求證為等比數列；
（2）求證：．
【變式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知數列滿足，，令，設數列前n項和為．
(1)求證：數列為等差數列；
(2)若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍；
(3)設正項數列滿足，求證：．
【變式8-3】（2024·廣東惠州·一模）約數，又稱因數．它的定義如下：若整數除以整數除得的商正好是整數而沒有余數，我們就稱為的倍數，稱為的約數．設正整數共有個正約數，記為，，…，，（）．
(1)當時，若正整數的個正約數構成等比數列，請寫出一個的值；
(2)當時，若，，…，構成等比數列，求證：；
(3)記，求證：．
【題型9 新定義、新情景下的數列求和】
【例9】（2024·陜西·三模）數列的前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令，并將數列稱為的“生成數列”．
(1)設數列的“生成數列”為，求證：；
(2)若，求其生成數列的前項和．
【變式9-1】（2024·重慶·模擬預測）對于數列，定義，滿足，記，稱為由數列生成的“函數”．
(1)試寫出“函數” ，并求的值；
(2)若“函數” ，求n的最大值；
(3)記函數，其導函數為，證明：“函數” ．
【變式9-2】（2024·山東泰安·模擬預測）已知數列是斐波那契數列，其數值為： .這一數列以如下遞推的方法定義： .數列對于確定的正整數，若存在正整數使得成立，則稱數列為“階可分拆數列”.
(1)已知數列滿足 .判斷是否對，總存在確定的正整數，使得數列為“階可分拆數列”，并說明理由.
(2)設數列的前項和為 ，
（i）若數列為“階可分拆數列”，求出符合條件的實數的值；
（ii）在（i）問的前提下，若數列滿足，，其前項和為.證明：當且時，成立.
【變式9-3】（2024·江西·模擬預測）我國元代數學家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書中對高階等差數列求和有精深的研究，即“垛積術”．對于數列，①，從第二項起，每一項與它前面相鄰一項的差構成數列，②，稱該數列②為數列①的一階差分數列，其中；對于數列②，從第二項起，每一項與它前面相鄰一項的差構成數列，③，稱該數列③為數列①的二階差分數列，其中按照上述辦法，第次得到數列，④，則稱數列④為數列①的階差分數列，其中，若數列的階差分數列是非零常數列，則稱數列為階等差數列（或高階等差數列）．
(1)若高階等差數列為，求數列的通項公式；
(2)若階等差數列的通項公式．
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）求數列的前項和．
附：．
一、單選題
1．（2024·新疆·二模）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川內江·模擬預測）在數列中，已知，，則它的前30項的和為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北·模擬預測）已知是各項均為正數的等比數列，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）已知數列是公比為q（）的正項等比數列，且，若，則（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
5．（2024·河北張家口·三模）已知數列的前n項和為，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川攀枝花·三模）數列的前項和為，，，設，則數列的前51項之和為（ ）
A． B． C．49 D．149
7．（2024·天津北辰·模擬預測）設數列滿足，則數列的前5項和為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列的各項均為正數，，若表示不超過的最大整數，則（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
二、多選題
9．（2023·山東日照·模擬預測）已知數列中，則（ ）
A．的前10項和為
B．的前100項和為100
C．的前項和
D．的最小項為
10．（2024·吉林·模擬預測）已知在公差不為0的等差數列中，是與的等比中項，數列的前項和為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·貴州畢節·三模）已知等差數列的前n項和為，且，則（ ）
A． B．
C．數列的前n項和為 D．數列的前n項和為
三、填空題
12．（2024·山東青島·三模）已知等差數列的公差，首項 ，是與的等比中項，記 為數列的前項和，則 .
13．（2024·四川·三模）在數列中，已知，，則數列的前2024項和
．
14．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數列是等差數列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
四、解答題
15．（2024·內蒙古包頭·三模）已知數列的前n項和為，，．
(1)證明：數列是等比數列，并求；
(2)求數列的前n項和．
16．（2024·四川內江·三模）已知等差數列的公差為4，且，，成等比數列，數列的前n項和為，且.
(1)求數列、的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
17．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前10項和.
18．（2024·山東聊城·二模）已知數列滿足為常數，若為等差數列，且．
(1)求的值及的通項公式；
(2)求的前項和．
19．（2024·天津河北·二模）已知是等差數列，其前項和為是等比數列，已知，是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)記，求證：.
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