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專題7.1 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 空間幾何體的結構特征】 5
【題型2 空間幾何體的表面積】 6
【題型3 空間幾何體的體積】 7
【題型4 斜二測畫法及其應用】 8
【題型5 最短路徑問題】 9
【題型6 空間幾何體的截面問題】 9
1、基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
考點要求 真題統計 考情分析
(1)認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運簡單物體的結構 (2)知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題 (3)能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖 2023年新高考I卷：第12題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第14題，12分 2023年全國乙卷（理數）：第8題，5分 2024年新高考I卷：第5題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第14題，5分、（理數）：第14題，5分 立體幾何是高考的熱點內容.空間幾何體的結構特征與斜二測畫法是立體幾何的基礎，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時作為解答題的一個構成部分考查幾何體的表面積與體積，難度中等；在復習時，要加強幾何體表面積和體積的解題訓練.
【知識點1 空間幾何體的結構特征】
1．多面體的結構特征
棱柱 棱錐 棱臺
定義 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
圖形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱錐S-ABCD(或四棱錐 S - A C ) 棱臺ABCD-A'B'C'D'
結構特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)側面都是平行四邊形；
(3)側棱都相等，且互相平行. (1)底面是多邊形；
(2)側面都是三角形；
(3)側面有一個公共頂點. (1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；
(2)各側棱的延長線交于一點； (3)各側面為梯形.
分類 棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐…… 由幾棱錐截得的就叫幾 棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.
2．旋轉體的結構特征
圓柱 圓錐 圓臺 球
定 義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱. 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 叫做圓錐. 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部 分叫做圓臺. 半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
圖形及表示 圓柱OO' 圓錐SO 圓臺OO' 球O
結 構 特 征 (1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.
(2)圓柱有無數條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形. (1)底面是圓面.
(2)有無數條母線，長度相等且交于頂點.
(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.
(2)有無數條母線，等長且延長線交于一點.
(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸
的截面(軸截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(球心)的距離等于定長(半 徑)的所有點的集合.
(2)球的截面都是圓面.
棱柱與圓柱統稱為柱體，棱錐與圓錐統稱為錐體，棱臺與圓臺統稱為臺體.
3．空間幾何體結構特征的判斷技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定.
(2)通過反例對結構特征進行辨析，即要說明個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
【知識點2 斜二測畫法和展開圖的常用結論】
1．斜二測畫法的常用結論：
(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：.
2．幾何體的表面展開圖的常用結論：
幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.
【知識點3 簡單幾何體的表面積與體積】
1．多面體的側面積、表面積和體積
多面體 圖形 側面積與表面積 體積
棱柱 直棱柱的側面展開圖是矩形，
S直棱柱側=Ch(C為底面周長，h為高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積) V柱= S底h ( S底為底面面積，h為高)
棱錐 正棱錐的側面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側=Ch' (C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側+S底(S底為底面面積) ( S底為底面面積，h為高)
棱臺 正棱臺的側面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積) (S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)
2．旋轉體的側面積、表面積和體積
旋轉體 圖形 側面積與表面積 體積
圓柱 圓柱的側面展開圖是矩形，S圓柱側=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓錐 圓錐的側面展開圖是扇形，S圓錐側=πrl，表面積
S=πr2+πrl=πr(r+l) 體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓臺 圓臺的側面展開圖是扇環，S圓臺側=π(r1+r2)l，
表面積 體積 (S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)
球 半徑為R的球的表面積S=4πR2 半徑為R的球的體積
【知識點4 最短路徑問題】
1．最短路徑問題的解題策略
(1)解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開成平面.
(2)方法總結：解決空間幾何體表面最短路徑問題關鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條直線展開，轉化為平面問題之后，借助“兩點之間，線段最短”，構造三角形，借助解三角形的方法求解.
【知識點5 空間幾何體表面積與體積的常見求法】
1．常見的求幾何體體積的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
2．求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該
怎樣求，然后根據公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
【方法技巧與總結】
1．與體積有關的幾個結論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理).
2．直觀圖與原平面圖形面積間的關系：，.
【題型1 空間幾何體的結構特征】
【例1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（ ）
A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體
C．以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
【變式1-1】（23-24高一下·廣東湛江·期末）下列說法正確的是（ ）
A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的側面都是全等的平行四邊形
C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
【變式1-2】（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B．3 C． D．4
【變式1-3】（23-24高一下·廣東清遠·期末）下列說法中，正確的是（ ）
A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B．一個多面體至少有4個面
C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
【題型2 空間幾何體的表面積】
【例2】（2024·河南濮陽·模擬預測）正四棱臺中，上底面邊長為2，下底面邊長為4，若側面與底面所成的二面角為60°，則該正四棱臺的側面積為（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【變式2-1】（2024·江蘇無錫·模擬預測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業生產和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點在四邊形內（含邊界）運動．當時，點的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·重慶·模擬預測）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時代遺址中發現．如圖，是一個陀螺的立體結構圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 空間幾何體的體積】
【例3】（2024·山東菏澤·模擬預測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發展提供了不可多得的實物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
【變式3-2】（2024·陜西銅川·模擬預測）某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知軸截面為正三角形的圓錐，被平行于底面的平面所截，截得的上、下兩個幾何體的表面積分別為，，體積分別為，，若，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 斜二測畫法及其應用】
【例4】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（ ）

A． B． C．24 D．48
【變式4-1】（2024·山東濟南·一模）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（23-24高一下·湖北黃岡·期末）如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C．8 D．10
【變式4-3】（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸， 軸，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C．3 D．
【題型5 最短路徑問題】
【例5】（23-24高一下·山西運城·階段練習）已知三棱錐的底面ABC是邊長為1的等邊三角形，平面ABC且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點P，則其爬過的路程最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（23-24高三下·河北衡水·階段練習）如圖，已知正三棱柱的底面邊長為，高為，一質點自點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點的最短路線的長為（ ）
A．12 B．13 C． D．15
【變式5-2】（23-24高二上·浙江·階段練習）正方體的棱長為1，M是面內一動點，且，N是棱上一動點，則周長的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式5-3】（23-24高一下·山東青島·期末）如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點P處沿著該圓錐側面爬行一周后回到點P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（ ）

A． B．3 C． D．
【題型6 空間幾何體的截面問題】
【例6】（2024·江蘇南京·模擬預測）已知，底面半徑的圓錐內接于球，則經過和中點的平面截球所得截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·江西·模擬預測）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【變式6-2】（2024·海南·模擬預測）當飛機超音速飛行時，聲波會形成一個以飛機前端為頂點，飛機的飛行方向為軸的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機的速度、音速滿足關系式.若一架飛機以2倍音速沿直線飛行，則該飛機形成的馬赫錐在距離頂點處的截面圓面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）在正方體中，E，F分別為棱，的中點，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預測）用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸， 軸， ，那么（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（2024·四川達州·二模）如圖，在正方體中，為中點，為線段上一動點，過的平面截正方體的截面圖形不可能是（ ）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
3．（2024·貴州黔南·二模）某學生為制作圓臺形容器，利用如圖所示的半圓環（其中小圓和大圓的半徑分別是和）鐵皮材料，通過卷曲使得邊與邊對接制成圓臺形容器的側面，則該圓臺的高為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山東·二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐
5．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數，則其表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川資陽·二模）已知球O的體積為，點A到球心O的距離為3，則過點A的平面被球O所截的截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·貴州·模擬預測）為了美化廣場環境，縣政府計劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中，，則該石墩的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動點，為的中點，則的周長的最小值為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·河南鄭州·模擬預測）下列說法中，錯誤的為（ ）
A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
B．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；
C．底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
D．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐．
10．（2024·全國·模擬預測）已知球O是正三棱錐的外接球，，點E在線段上，且．過點E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（ ）
A．π B． C． D．
11．（2024·山東·模擬預測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．該四棱臺的側面積為
C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面
D．若一只螞蟻從點出發沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為
三、填空題
12．（2024·浙江·三模）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側面積為，則圓臺的高為 .
13．（2023·遼寧錦州·模擬預測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉一周形成的空間幾何體的體積為 ．

14．（2024·新疆·二模）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結構是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個羨除的體積 ．
四、解答題
15．（23-24高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖，長、寬、高分別為3，2，1的長方體木塊上有一只小蟲從頂點A出發沿著長方體的外表面爬到頂點C1，則它爬行的最短路程是多少？
16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖.
(1)畫出它的原圖形；
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
17．（2024·全國·模擬預測）已知在正四面體中，棱的中點分別為．
(1)若，求的面積；
(2)平面將正四面體劃分成兩部分，求這兩部分的體積之比．
18．（23-24高一下·山東臨沂·期中）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐底面圓的半徑是4，軸截面的面積是12．
(1)求圓錐的母線長；
(2)過圓錐的兩條母線，作一個截面，求截面面積的最大值．
19．（2023·河南安陽·模擬預測）九章算術商功“斜解立方，得兩塹堵斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣”劉徽注：“此術臑者，背節也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數，數同而實據半，故云六而一即得”陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個.以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．
(1)在下左圖中畫出陽馬和鱉臑不寫過程，并用字母表示出來，求陽馬和鱉臑的體積比；
(2)若，，在右圖中，求三棱錐的高．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題7.1 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 空間幾何體的結構特征】 5
【題型2 空間幾何體的表面積】 7
【題型3 空間幾何體的體積】 9
【題型4 斜二測畫法及其應用】 11
【題型5 最短路徑問題】 14
【題型6 空間幾何體的截面問題】 17
1、基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
考點要求 真題統計 考情分析
(1)認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運簡單物體的結構 (2)知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題 (3)能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖 2023年新高考I卷：第12題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第14題，12分 2023年全國乙卷（理數）：第8題，5分 2024年新高考I卷：第5題，5分 2024年全國甲卷（文數）：第14題，5分、（理數）：第14題，5分 立體幾何是高考的熱點內容.空間幾何體的結構特征與斜二測畫法是立體幾何的基礎，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時作為解答題的一個構成部分考查幾何體的表面積與體積，難度中等；在復習時，要加強幾何體表面積和體積的解題訓練.
【知識點1 空間幾何體的結構特征】
1．多面體的結構特征
棱柱 棱錐 棱臺
定義 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
圖形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱錐S-ABCD(或四棱錐 S - A C ) 棱臺ABCD-A'B'C'D'
結構特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)側面都是平行四邊形；
(3)側棱都相等，且互相平行. (1)底面是多邊形；
(2)側面都是三角形；
(3)側面有一個公共頂點. (1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；
(2)各側棱的延長線交于一點； (3)各側面為梯形.
分類 棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐…… 由幾棱錐截得的就叫幾 棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.
2．旋轉體的結構特征
圓柱 圓錐 圓臺 球
定 義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱. 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體 叫做圓錐. 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部 分叫做圓臺. 半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
圖形及表示 圓柱OO' 圓錐SO 圓臺OO' 球O
結 構 特 征 (1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.
(2)圓柱有無數條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形. (1)底面是圓面.
(2)有無數條母線，長度相等且交于頂點.
(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.
(2)有無數條母線，等長且延長線交于一點.
(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸
的截面(軸截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(球心)的距離等于定長(半 徑)的所有點的集合.
(2)球的截面都是圓面.
棱柱與圓柱統稱為柱體，棱錐與圓錐統稱為錐體，棱臺與圓臺統稱為臺體.
3．空間幾何體結構特征的判斷技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定.
(2)通過反例對結構特征進行辨析，即要說明個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
【知識點2 斜二測畫法和展開圖的常用結論】
1．斜二測畫法的常用結論：
(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：.
2．幾何體的表面展開圖的常用結論：
幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.
【知識點3 簡單幾何體的表面積與體積】
1．多面體的側面積、表面積和體積
多面體 圖形 側面積與表面積 體積
棱柱 直棱柱的側面展開圖是矩形，
S直棱柱側=Ch(C為底面周長，h為高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積) V柱= S底h ( S底為底面面積，h為高)
棱錐 正棱錐的側面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側=Ch' (C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側+S底(S底為底面面積) ( S底為底面面積，h為高)
棱臺 正棱臺的側面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積) (S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)
2．旋轉體的側面積、表面積和體積
旋轉體 圖形 側面積與表面積 體積
圓柱 圓柱的側面展開圖是矩形，S圓柱側=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓錐 圓錐的側面展開圖是扇形，S圓錐側=πrl，表面積
S=πr2+πrl=πr(r+l) 體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓臺 圓臺的側面展開圖是扇環，S圓臺側=π(r1+r2)l，
表面積 體積 (S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)
球 半徑為R的球的表面積S=4πR2 半徑為R的球的體積
【知識點4 最短路徑問題】
1．最短路徑問題的解題策略
(1)解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開成平面.
(2)方法總結：解決空間幾何體表面最短路徑問題關鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條直線展開，轉化為平面問題之后，借助“兩點之間，線段最短”，構造三角形，借助解三角形的方法求解.
【知識點5 空間幾何體表面積與體積的常見求法】
1．常見的求幾何體體積的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
2．求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該
怎樣求，然后根據公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
【方法技巧與總結】
1．與體積有關的幾個結論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理).
2．直觀圖與原平面圖形面積間的關系：，.
【題型1 空間幾何體的結構特征】
【例1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（ ）
A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體
C．以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
【解題思路】根據題意，舉出反例可得AB錯誤，由圓柱、圓錐的定義分析CD，綜合可得答案．
【解答過程】根據題意，依次分析選項：
對于A，如圖：
在三棱錐中，有，，
該每個面都是等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐，A錯誤；
對于B，底面為菱形的直四棱柱，其側棱與底面邊長相等，
該四棱柱的所有棱長都相等，但不是正方體，B錯誤；
對于C，以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱，C正確；
對于D，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐，D錯誤．
故選：C．
【變式1-1】（23-24高一下·廣東湛江·期末）下列說法正確的是（ ）
A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的側面都是全等的平行四邊形
C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
【解題思路】利用棱柱的定義判斷ABC；利用棱臺的定義判斷D.
【解答過程】對于A，正六棱柱正對的兩個側面平行，但它們不是正六棱柱的底面，A錯誤；
對于B，底面鄰邊不等的長方體的相鄰兩個側面不全等，B錯誤；
對于C，由棱柱的定義知，C正確；
對于D，當截面與棱錐的底面不平行時，棱錐底面與截面之間的部分不是棱臺，D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B．3 C． D．4
【解題思路】設母線長為，根據題意得到，即可求解．
【解答過程】設母線長為，由題意，可得，解得，即圓錐的母線長為．
故選：D.
【變式1-3】（23-24高一下·廣東清遠·期末）下列說法中，正確的是（ ）
A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B．一個多面體至少有4個面
C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
【解題思路】根據簡單幾何體的定義以及結構特征去判斷即可.
【解答過程】正棱錐底面是正多邊形，還需要滿足頂點到底面射影落在底面正多邊形的中心，A錯誤；
多面體中面數最少為三棱錐，四個面，B正確，；
有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個側面的交線互相平行，C錯誤；
用一個平面去截棱錐，必須是平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺，D錯誤.
故選：B.
【題型2 空間幾何體的表面積】
【例2】（2024·河南濮陽·模擬預測）正四棱臺中，上底面邊長為2，下底面邊長為4，若側面與底面所成的二面角為60°，則該正四棱臺的側面積為（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【解題思路】做正四棱臺的截面，先求斜高，再求側面積.
【解答過程】如圖：
取棱的中點，作截面，則、為正四棱臺的斜高.
在等腰梯形中，易知，，，所以 .
所以四棱臺的側面積為：.
故選：C.
【變式2-1】（2024·江蘇無錫·模擬預測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業生產和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側面積為（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】根據題意結合圓柱、圓錐以及球的結構特征解得圓錐母線長，進而可求圓錐的側面積.
【解答過程】設為圓錐高，為圓錐母線長

以為球心，半徑為4的球與圓錐側面相切，則，
在中，，可得，
且，則，解得，
所以圓錐的側面積為.
故選：C.
【變式2-2】（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點在四邊形內（含邊界）運動．當時，點的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據軌跡的長度求出棱長，利用四棱柱的表面積公式可求答案.
【解答過程】設棱長為，延長，過點作垂直于的延長線于，
由，可得；
由直四棱柱的性質可得，平面，所以；
因為，所以.
在平面內，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內的部分，即圖中圓弧.
因為，所以，
因為點的軌跡長度為，所以，即.
四棱柱的表面積為.
故選：A.

【變式2-3】（2024·重慶·模擬預測）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時代遺址中發現．如圖，是一個陀螺的立體結構圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知求出圓錐的母線長，從而可求出圓錐的側面積，再求出圓柱的側面積和底面面積，進而可求出陀螺的表面積
【解答過程】由題意可得圓錐體的母線長為，
所以圓錐體的側面積為，
圓柱體的側面積為，圓柱的底面面積為，
所以此陀螺的表面積為（），
故選：B.
【題型3 空間幾何體的體積】
【例3】（2024·山東菏澤·模擬預測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發展提供了不可多得的實物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據圓臺體積公式求解.
【解答過程】根據題意，.
故選：B.
【變式3-1】（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
【解題思路】根據割補法結合棱臺的體積公式，即可求得答案.
【解答過程】設三棱柱的高為h，上下底面面積均為S，體積為V，
則，
因為E，F分別為AB，AC的中點，故,
結合題意可知幾何體為棱臺，
則，
故,故，
故選：D.
【變式3-2】（2024·陜西銅川·模擬預測）某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設圓臺的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則由題意可得，再由圓臺的側面積列方程可求出，從而可求出上下底面面積和圓臺的高，進而可求出臺的體積.
【解答過程】設圓臺的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則，故，
因為該圓臺的側面積為，母線長，
所以，解得，則，
所以圓臺上底面的面積為，下底面的面積為，
圓臺的高
所以該圓臺的體積．
故選：C．
【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知軸截面為正三角形的圓錐，被平行于底面的平面所截，截得的上、下兩個幾何體的表面積分別為，，體積分別為，，若，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】作出圓錐的軸截面，設出大小圓錐的底面圓半徑，表示出母線長，利用代入化簡得到，計算得到的值.
【解答過程】
如圖，作出圓錐的軸截面，設截得的圓錐的底面圓半徑為，原圓錐的底面圓半徑為．
因為軸截面是正三角形，所以母線長為，原圓錐的母線長為，
則截得的圓臺的母線長為．因為，即，解得，
于是， ，所以.
故選：A．
【題型4 斜二測畫法及其應用】
【例4】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（ ）

A． B． C．24 D．48
【解題思路】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應的線段長，最后由面積公式計算可得.
【解答過程】由直觀圖可得如下平面圖形：
其中，，，軸，且，
所以.
故選：D.
【變式4-1】（2024·山東濟南·一模）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據斜二測畫法的知識確定正確答案.
【解答過程】正三角形的高為，
根據斜二測畫法的知識可知，
直觀圖的面積為.
故選：B.
【變式4-2】（23-24高一下·湖北黃岡·期末）如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C．8 D．10
【解題思路】根據斜二測畫法的原則進行求解即可.
【解答過程】由題設知：原四邊形中且，
所以原四邊形為平行四邊形，
而，則原四邊形中，故，
綜上，四邊形的周長為.
故選：D.
【變式4-3】（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸， 軸，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C．3 D．
【解題思路】結合圖形可得，則可得四邊形面積，后可得四邊形的面積.
【解答過程】設軸與交點為D，因軸，軸，則，
又軸，則四邊形為平行四邊形，故.
又，結合A′B′⊥x′軸，則，故.
則四邊形面積為，
因四邊形面積是四邊形的面積的倍，
則四邊形OABC的面積為.
故選：B.
【題型5 最短路徑問題】
【例5】（23-24高一下·山西運城·階段練習）已知三棱錐的底面ABC是邊長為1的等邊三角形，平面ABC且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點P，則其爬過的路程最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用垂直條件證明得平面，即可得平面平面，然后根據平面展開圖判斷最短距離，再利用勾股定理計算求解即可.
【解答過程】將底面旋轉，以為軸，旋轉至平面與平面共面，如圖，
設的中心為，此時為最短距離，設到直線的距離為，
則，所以.
故選：B.
【變式5-1】（23-24高三下·河北衡水·階段練習）如圖，已知正三棱柱的底面邊長為，高為，一質點自點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點的最短路線的長為（ ）
A．12 B．13 C． D．15
【解題思路】由條件將三棱柱的側面展開，根據兩點間距離最短求最小值.
【解答過程】將正三棱柱沿側棱展開,再拼接一次,其側面展開圖如圖所示，
在展開圖中,最短距離是六個矩形對角線的連線的長度,也即為三棱柱的側面上所求距離的最小值.
由已知求得矩形的長等于,寬等于5,由勾股定理.
故選:C.
【變式5-2】（23-24高二上·浙江·階段練習）正方體的棱長為1，M是面內一動點，且，N是棱上一動點，則周長的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】利用展開方法，以為基準，將和翻折使其與共面，然后利用余弦定理求解.
【解答過程】點M在線段上運動，即動線段在內運動，
動線段在內運動，動線段在內運動，
以為基準，將和翻折使其與共面，如圖所示：
其中翻折至，翻折至，
的周長等于,最小值等于
在四邊形，，
由余弦定理可求得，
所以，
故的周長最小值等于，
故選：B.
【變式5-3】（23-24高一下·山東青島·期末）如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點P處沿著該圓錐側面爬行一周后回到點P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（ ）

A． B．3 C． D．
【解題思路】畫出圓錐的側面展開圖，則螞蟻爬行的最短距離為，在中，解三角形即可.
【解答過程】已知圓錐的側面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，

一只螞蟻從點P出發繞著圓錐的側面爬行一圈回到點P的最短距離為，
設，圓錐底面周長為，所以圓弧的長為，
所以，
在中，由，得，
故選：D.
【題型6 空間幾何體的截面問題】
【例6】（2024·江蘇南京·模擬預測）已知，底面半徑的圓錐內接于球，則經過和中點的平面截球所得截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據球的截面性質，結合三角形面積等積性、勾股定理進行求解即可.
【解答過程】如圖，
設球的半徑為，線段的中點為，因為，
所以，解得，
設經過和中點的平面截球所得截面圓的圓心為，半徑為，球心到截面的距離，
則，要截面面積最小，則要最小，即要最大，
因為當為點到的距離時最大，此時，又，
所以，
所以，
故截面面積的最小值為．
故選：A.
【變式6-1】（2024·江西·模擬預測）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【解題思路】連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，
過點作交于點，連接，即可得到截面圖形，從而得解.
【解答過程】如圖連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，
過點作交于點，連接，
則五邊形即為平面截該長方體所得的截面多邊形.
其中因為，，，
所以，則，所以，
又，所以，所以，
則，
顯然，則，所以.
故選：C.
【變式6-2】（2024·海南·模擬預測）當飛機超音速飛行時，聲波會形成一個以飛機前端為頂點，飛機的飛行方向為軸的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機的速度、音速滿足關系式.若一架飛機以2倍音速沿直線飛行，則該飛機形成的馬赫錐在距離頂點處的截面圓面積為（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】作出半軸截面，解直角三角形得底面圓半徑，進而即可得解.
【解答過程】如圖所示：

該飛機形成的馬赫錐在距離頂點處的截面圓圓心為，為馬赫錐的母線，
由題意，
而是銳角，所以，
又，所以，
該飛機形成的馬赫錐在距離頂點處的截面圓面積為.
故選：B.
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）在正方體中，E，F分別為棱，的中點，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意可求得正方體的外接球球心位置，易知當截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑，當截面與OP垂直時，截面面積最小；分別求出對應的半徑大小即可得出結果.
【解答過程】如圖，正方體的外接球球心在其中心點處，設該正方體的棱長為，
則外接球的半徑，
要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點，
連接OE，OF，OP，則，
，
所以，
此時截面圓的半徑．
顯然當截面面積最大時，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；
所以．
故選：D．
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預測）用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸， 軸， ，那么（ ）
A． B．2 C． D．4
【解題思路】根據斜二測畫法確定原圖形，求解即可.
【解答過程】根據題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，
其中，，，
原平面圖形的面積為.
故選：D．
2．（2024·四川達州·二模）如圖，在正方體中，為中點，為線段上一動點，過的平面截正方體的截面圖形不可能是（ ）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【解題思路】根據點在、以及三個特殊位置時，截面圖形的形狀，選出正確選項.
【解答過程】B選項，當點與重合時，

取中點，因為是中點，則，且，
連接，則四邊形為平行四邊形，
又因為，所以平行四邊形為矩形，故排除B選項；
C選項，當點與重合時，

取中點，因為是的中點，所以，
連接，截面四邊形為梯形，故排除C選項；
D選項，當點為中點時，

因為是中點，所以且，
連接，則四邊形是平行四邊形，
又因為，，
因為是正方體，所以，所以，
所以平行四邊形是菱形，故排除D選項；
不管點在什么位置，都不可能是三角形.
故選：A.
3．（2024·貴州黔南·二模）某學生為制作圓臺形容器，利用如圖所示的半圓環（其中小圓和大圓的半徑分別是和）鐵皮材料，通過卷曲使得邊與邊對接制成圓臺形容器的側面，則該圓臺的高為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據圓臺的側面展開圖求得，再結合圓臺的結構特征分析求解.
【解答過程】設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為，高為，
由題意可得：，解得，
所以該圓臺的高為.
故選：C.
4．（2024·山東·二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐
【解題思路】由圓錐的三視圖結合條件可得.
【解答過程】由圓錐的三視圖可知該幾何體是底面半徑為1，高為的圓錐.
故選：D．
5．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數，則其表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正六棱柱的體積及外接球的體積列方程求解得出邊長及高最后求出表面積即可.
【解答過程】設該正六棱柱的底面邊長為，高為，其外接球的半徑為，易知，則①，
且②，
聯立①②，因為，解得，
所以正六棱柱的表面積.
故選：D.
6．（2024·四川資陽·二模）已知球O的體積為，點A到球心O的距離為3，則過點A的平面被球O所截的截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據球的體積公式，結合球的截面的性質進行求解即可.
【解答過程】設球O的半徑為R，則，解得.
因為點A到球心O的距離為3，
所以過點A的平面被球O所截的截面圓的半徑的最小值為，
則所求截面面積的最小值為.
故選：C.
7．（2024·貴州·模擬預測）為了美化廣場環境，縣政府計劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中，，則該石墩的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】過點作于，根據條件，求出圓臺的高，再利用圓臺與圓柱的體積公式，即可求出結果.
【解答過程】如圖，過點作于，
因為，，所以，，
所以圓臺的體積為，
又圓柱的體積為，
所以該石墩的體積為，
故選：D.
8．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動點，為的中點，則的周長的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】設的中點為，即可證明，從而得到，再將平面與平面展開并攤平，在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，利用余弦定理計算可得.
【解答過程】

設的中點為，連接（不與點重合），，，，
所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，
在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，
在中利用余弦定理可得，

所以的周長的最小值為．
故選：B．
二、多選題
9．（2024·河南鄭州·模擬預測）下列說法中，錯誤的為（ ）
A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
B．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；
C．底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
D．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐．
【解題思路】對于A，根據棱錐的定義分析判斷，對于B，根據棱臺的定義分析判斷，對于C，根據正三棱錐的定義分析判斷，對于D，根據正六棱錐的定義分析判斷.
【解答過程】對于A，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐，
而有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖，所以A錯誤，
對于B，棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得，而有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體的側棱不一定交于一點，所以B錯誤，
對于C，底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐的頂點不一定在底面的射影為底面等邊三角形的中心，所以C錯誤，
對于D，若六棱錐的所有棱長都相等，則底面為正六邊形，由過底面中心和頂點的截面知，若以正六邊形為底面，則側棱必然大于底面邊長，所以D正確，
故選：ABC.
10．（2024·全國·模擬預測）已知球O是正三棱錐的外接球，，點E在線段上，且．過點E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（ ）
A．π B． C． D．
【解題思路】首先根據幾何關系確定外接球的半徑，再根據點的位置，求，即可確定球心到平面距離的范圍，即可求解.
【解答過程】如圖，作平面，是等邊的中心，O是正三棱錐外接球的球心，點在上，連結，
連結交于點，，
設該球半徑為，則．
由可得，
在中，,解得，
因為，，所以，所以，
在中，,所以，
設球心O到過點E的截面圓的距離為d,可知，
截面圓半徑，
所以截面圓的面積的取值范圍為，
故選：BCD．
11．（2024·山東·模擬預測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．該四棱臺的側面積為
C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面
D．若一只螞蟻從點出發沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為
【解題思路】由勾股定理即可判斷A，由梯形的面積公式代入計算，即可判斷B，做出軸截面圖形代入計算，即可判斷C，將四棱臺展開，然后代入計算，即可判斷D
【解答過程】
對于A，由題意可得，故A錯誤；
對于B，梯形的高為，
所以梯形的面積為，
梯形的高為，
所以梯形的面積為，
故該四棱臺的側面積為，故B正確；
對于C，若放入容器內的球可以接觸到容器的底面，則當球的半徑最大時，
球恰好與面、面、面均相切，
過三個切點的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺的截面為等腰梯形，
較長的底邊上的底角的正切值為，則，
由于互補，故，
則，所以（負值舍），從而球的半徑為，
所以將半徑為的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯誤；
對于D，將平面與平面展開至同一平面，
如圖（2），則，
將平面與平面展開至同一平面，如圖（3），
則，
所以最短路程為，故D正確．
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·浙江·三模）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側面積為，則圓臺的高為 3 .
【解題思路】根據圓臺的側面積求圓臺的母線，再根據圓臺軸截面求出高即可.
【解答過程】因為圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側面積為 ，
設母線長為，高為.
則，解得.
如圖所示圓臺的軸截面，
在中，，
由勾股定理得：圓臺的高.
故答案為：3.
13．（2023·遼寧錦州·模擬預測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉一周形成的空間幾何體的體積為 ．

【解題思路】先由直觀圖還原梯形，再利用斜二測畫法的性質求得其邊與高，從而判斷得該梯形為等腰梯形，進而利用圓臺與圓錐的體積公式求解即可.
【解答過程】在直觀圖中，，所以在還原圖中，，如圖，

在直觀圖中，，為的三等分點，
所以在還原圖中，，D為OA的三等分點，
又在直觀圖中，軸，
所以在還原圖中，軸，則，
所以，則，
故，，所以四邊形OABC是等腰梯形，
所以四邊形OABC繞y軸旋轉一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積，
即．
故答案為：.
14．（2024·新疆·二模）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結構是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個羨除的體積 200 ．
【解題思路】先連線再根據棱錐體積公式計算組合體體積即可.
【解答過程】
連接
.
故答案為：200.
四、解答題
15．（23-24高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖，長、寬、高分別為3，2，1的長方體木塊上有一只小蟲從頂點A出發沿著長方體的外表面爬到頂點C1，則它爬行的最短路程是多少？
【解題思路】分別將矩形繞著展開到，將矩形繞著展開到，將矩形繞著展開到，依次計算,再取其最小值即得.
【解答過程】
依題意，長方體的表面有三種展開形式：
如圖1，把矩形繞著展開到，與共面時，，
如圖2，把矩形繞著展開到，與共面時，，
如圖3，把矩形繞著展開到，與共面時，，
因，故小蟲爬行的最短路程是.
16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖.
(1)畫出它的原圖形；
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
【解題思路】（1）利用直觀圖與原圖形的關系作圖即可得；
（2）利用直觀圖的性質計算可得原圖形對應邊長，即可計算原圖形的高與面積.
【解答過程】（1）畫出平面直角坐標系，在軸上取，即，
在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，
過點作軸，并使，
連接，，則即為原來的圖形，如圖②所示：
（2）由（1）知，原圖形中，于點，則為原圖形中邊上的高，
且，
在直觀圖中作于點，
則的面積，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原圖形中邊上的高為，原圖形的面積為.
17．（2024·全國·模擬預測）已知在正四面體中，棱的中點分別為．
(1)若，求的面積；
(2)平面將正四面體劃分成兩部分，求這兩部分的體積之比．
【解題思路】（1）利用三角形中位線及勾股定理計算即可；
（2）利用割補法、等體積法、相似的性質計算即可.
【解答過程】（1）

如圖所示，由三角形中位線得，
則，
由勾股定理，在邊上的高為，
所以.
（2）

如圖所示取中點，連接，
顯然平面截正四面體形成的其中一部分可由四個四面體：，組成，
易知正四面體與正四面體相似，故，
由題意及中位線性質可知，
且，
所以四面體：，的體積均相等，故，
所以兩部分的體積之比為1．
18．（23-24高一下·山東臨沂·期中）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐底面圓的半徑是4，軸截面的面積是12．
(1)求圓錐的母線長；
(2)過圓錐的兩條母線，作一個截面，求截面面積的最大值．
【解題思路】（1）根據面積關系可得，進而可得母線長；
（2）取的中點，由題意可得，利用基本不等式求面積最大值.
【解答過程】（1）因為軸截面的面積為，解得，
所以圓錐的母線長為.
（2）取的中點，連接，則，
可得，則，
當且僅當，等號成立，此時，
所以截面面積的最大值.
19．（2023·河南安陽·模擬預測）九章算術商功“斜解立方，得兩塹堵斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣”劉徽注：“此術臑者，背節也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數，數同而實據半，故云六而一即得”陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個.以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．
(1)在下左圖中畫出陽馬和鱉臑不寫過程，并用字母表示出來，求陽馬和鱉臑的體積比；
(2)若，，在右圖中，求三棱錐的高．
【解題思路】（1）根據題意作圖即可，根據棱錐的體積公式即可求得答案；
（2）根據等體積法，計算，結合即可求得答案.
【解答過程】（1）
依題意陽馬是四棱錐，
設，，，
則，
鱉臑是三棱錐，
則，
所以陽馬和鱉臑的體積比為2．
（2）由題意得，
故，
則，設三棱錐的高為h，
即，
所以．
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