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專題10.4 隨機事件、頻率與概率【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 隨機事件與樣本空間】 3
【題型2 隨機事件的關(guān)系與運算】 4
【題型3 互斥事件與對立事件的概率】 4
【題型4 頻率與概率】 5
【題型5 生活中的概率】 6
【題型6 頻率估計概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用】 6
1、隨機事件、頻率與概率
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別 (2)理解事件間的關(guān)系與運算 2023年上海卷：第5題，4分 從近幾年的高考情況來看，隨機事件、頻率與概率的考查相對較少，主要考查以頻率估計概率、互斥事件與對立事件等內(nèi)容，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度較易；有時以頻率估計概率也會在解答題中出現(xiàn)，與統(tǒng)計等知識結(jié)合.
【知識點1 頻率與概率】
1．頻率與概率的區(qū)別
頻率 本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的事件的頻率也可能會不同.
概率 本身是一個在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變.
舉例 辨析 例如，在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是521，則正面向上的頻率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一個客觀常數(shù)，
2．頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計概率)
大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著
試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的
概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率(A)估計概率P(A).
【知識點2 隨機事件】
1．事件
(1)隨機事件
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們
將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.
(2)必然事件
A作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱 為不可能事件.
2．事件的關(guān)系和運算
(1)兩個事件的關(guān)系和運算
事件的關(guān)系或運算 含義 符號表示 圖形表示
包含 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生
并事件 （和事件） A與B至少一個發(fā)生 或
交事件 （積事件） A與B同時發(fā)生 或
互斥 （互不相容） A與B不能同時發(fā)生
互為對立 A與B有且僅有一個發(fā)生 ，
(2)多個事件的和事件、積事件
類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)發(fā)生當且僅當A，B，C，中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩ (或ABC)發(fā)生當且僅當A，B，C，同時發(fā)生.
【知識點3 隨機事件的關(guān)系與概率】
1．互斥事件、對立事件的判斷
判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有
且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.
2．互斥事件的概率求法
求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：
一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公
式計算；
二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡便.
【方法技巧與總結(jié)】
1．從集合的角度理解互斥事件和對立事件
(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.
(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.
2．概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即
.
【題型1 隨機事件與樣本空間】
【例1】（23-24高二·上海·課堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【變式1-1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數(shù)為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【變式1-2】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）給出下列四個命題，其中正確命題的序號是（ ）
①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；
②“當x為某一實數(shù)時，可使”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【變式1-3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列事件為隨機事件的是（　　）
A．投擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)小于7
B．投擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)等于7
C．下周日下雨
D．沒有水和空氣，人也可以生存下去
【題型2 隨機事件的關(guān)系與運算】
【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記“點數(shù)之和為5”是事件，“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（ ）
A．為不可能事件 B．與為互斥事件
C．為必然事件 D．與為對立事件
【變式2-1】（2024·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件
C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件
【變式2-2】（2024·四川內(nèi)江·三模）一個人連續(xù)射擊次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件
C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
【變式2-3】（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治
【題型3 互斥事件與對立事件的概率】
【例3】（23-24高一下·陜西西安·期末）已知隨機事件A，B滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知事件互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（23-24高一下·廣東肇慶·期末）已知樣本空間，事件，，則（　　）
A． B． C． D．
【變式3-3】（23-24高一下·北京·期末）已知隨機事件和互斥，和對立，且，則（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【題型4 頻率與概率】
【例4】（23-24高一下·廣西河池·期末）下列說法中正確的是（ ）
A．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率
B．在次隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有確定性
C．隨著試驗次數(shù)的增大，一個隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率
D．在同一次試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1
【變式4-1】（23-24高一下·山東棗莊·期末）某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學(xué)生進行調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題.問題1：你父親的公歷出生月份是不是奇數(shù)？問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的密封袋子，每個被調(diào)查者隨機地從袋中摸取1個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學(xué)生如實回答第一個問題，摸到紅球的學(xué)生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為56個，則該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的比例約為（ ）
A．2% B．3% C．6% D．8%
【變式4-2】（23-24高一下·山西長治·期末）下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙二人進行羽毛球比賽，甲勝的概率為，則比賽4場，甲一定勝3場
B．概率是隨機的，在試驗前不能確定
C．事件，滿足，則
D．天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%
【變式4-3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率是
B．一個同學(xué)做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上
C．某地發(fā)行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報
D．大量試驗后，可以用頻率近似估計概率
【題型5 生活中的概率】
【例5】（23-24高一下·青海海南·期末）某超市舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿188元就送一次抽獎機會，中獎的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．某人抽獎100次，一定能中獎15次 B．某人抽獎200次，至少能中獎3次
C．某人抽獎1次，一定不能中獎 D．某人抽獎20次，可能1次也沒中獎
【變式5-1】（23-24高一下·新疆喀什·期末）下列說法正確的是（ ）
A．隨著試驗次數(shù)的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率
B．某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票一定能中獎
C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為
D．某市氣象臺預(yù)報“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為明天會降水，30%認為明天不會降水
【變式5-2】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是(　　)
①拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝;
②同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;
④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝,否則張華獲勝.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
【變式5-3】（2024·河南·二模）三國時期，諸葛亮曾經(jīng)利用自身豐富的氣象觀測經(jīng)驗，提前三天準確地預(yù)報出一場大霧，并在大霧的掩護下，演出了一場“草船借箭”的好戲，令世人驚嘆.諸葛亮應(yīng)用的是（ ）
A．動力學(xué)方程的知識 B．概率與統(tǒng)計的知識
C．氣象預(yù)報模型的知識 D．迷信求助于神靈
【題型6 頻率估計概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用】
【例6】（23-24高一上·廣東梅州·開學(xué)考試）兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗是（ ）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；
B．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率；
C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；
D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率．
【變式6-1】（2024·四川綿陽·三模）某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取了1000個零件進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．
B．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的眾數(shù)為45
C．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的中位數(shù)為60
D．從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在的概率約為0.5
【變式6-2】（2024·甘肅隴南·一模）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為三個等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于級品、級品、級品，廠家每件分別收取加工費80元，50元，30元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費為40元/件，乙分廠加工成本費為35元/件．該廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
等級
頻數(shù) 45 30 25
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
等級
頻數(shù) 40 10 50
(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率；
(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？
【變式6-3】（23-24高一上·福建寧德·期末）某種產(chǎn)品特約經(jīng)銷商根據(jù)以往當?shù)氐男枨笄闆r，得出如下該種產(chǎn)品日需求量的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值，并估計日需求量的眾數(shù)；
(2)某日，經(jīng)銷商購進130件該種產(chǎn)品，根據(jù)近期市場行情，當天每售出1件能獲利30元，未售出的部分，每件虧損20元．設(shè)當天需求量為件（），純利潤為S元．
（ⅰ）將S表示為的函數(shù)；
（ⅱ）據(jù)頻率分布直方圖估計當天純利潤S不少于3400元的概率．
一、單選題
1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（ ）
A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件
2．（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）下列說法一定正確的是（ ）
A．一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況
B．隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)
C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元
D．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現(xiàn)一次2
3．（23-24高二上·四川巴中·期末）如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當閉合開關(guān)時，下列事件為必然事件的是（ ）
A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮
C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮
4．（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）某池塘中飼養(yǎng)了A B兩種不同品種的觀賞魚，假設(shè)魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東 南 西三個采樣點捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點北捕撈到20尾魚，則品種A約有（ ）
采樣點 品種A 品種B
東 20 9
南 7 3
西 17 8
A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾
5．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)為同一試驗中的兩個隨機事件，則“”是“事件互為對立事件”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)，設(shè)事件“2個數(shù)都為偶數(shù)”，“2個數(shù)都為奇數(shù)”，“至少1個數(shù)為奇數(shù)”，“至多1個數(shù)為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與是互斥事件 B．與是互斥但不對立事件
C．與是互斥但不對立事件 D．與是對立事件
7．（23-24高二上·湖北荊州·期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為．我們通過設(shè)計模擬實驗的方法求概率，利用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時
D．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時
二、多選題
9．（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰
C．早晨太陽從東方升起
D．，則的值不小于0
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）某校高三年級有（1），（2），（3）三個班，一次期末考試，統(tǒng)計得到每班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率（數(shù)學(xué)成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)與該班學(xué)生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：
班級 （1） （2） （3）
優(yōu)秀率 80% 85% 75%
則下列說法一定正確的是（ ）
A．（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率最高
B．（3）班的學(xué)生人數(shù)不一定最少
C．該年級全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為80%
D．若把（1）班和（2）班的數(shù)學(xué)成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為83%，則（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)
11．（2024·河北滄州·一模）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（ ）
A．與是互斥事件 B．與是對立事件
C． D．
三、填空題
12．（23-24高一下·山西太原·期末）投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，用表示“第枚硬幣正面朝上”，表示“第枚硬幣反面朝上”，則該試驗的樣本空間 ．
13．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是隨機事件，且，則 ．
14．（2024·重慶·模擬預(yù)測）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是 ．
四、解答題
15．（23-24高二·上海·課堂例題）判斷下面哪些是隨機現(xiàn)象，哪些是確定性現(xiàn)象，并列舉幾個生活中的確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象的例子．
（1）明天太陽升起；
（2）明天上海局部地區(qū)下雨；
（3）明年小明又大一歲；
（4）小明今天放學(xué)回家到路口時恰好碰到綠燈．
16．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件：“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件：“點數(shù)小于”，事件：“點數(shù)大于”，事件：“點數(shù)是的倍數(shù)”.求：
(1)，；
(2)，；
(3)，，，.
17．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，地到火車站共有兩條路徑和，現(xiàn)隨機抽取100位從地到火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：
所用時間（分鐘） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60]
選擇的人數(shù) 6 12 18 12 12
選擇的人數(shù) 0 4 16 16 4
(1)試用頻率估計概率，估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率：
(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試用頻率估計概率通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
18．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件：
(1)A與C；
(2)B與C；
(3)B與D；
(4)B與E；
(5)A與E．
19．（23-24高二上·黑龍江·期中）某校 1 200 名高三年級學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測驗（滿分為 100 分），為了分析這次數(shù)學(xué)測驗的成績， 從這1200人的數(shù)學(xué)成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表，請根據(jù)表中提供的信息解決下列問題：
成績分組 頻數(shù) 頻率 平均分
3 0.015 16
a b 32.1
25 0.125 55
c 0.5 74
62 0.31 88
(1)求 a，b，c 的值；
(2)如果從這1200名學(xué)生中隨機抽取一人，試估計這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測驗及格的概率P（注：60 分及 60分以上為及格）.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題10.4 隨機事件、頻率與概率【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 隨機事件與樣本空間】 3
【題型2 隨機事件的關(guān)系與運算】 4
【題型3 互斥事件與對立事件的概率】 6
【題型4 頻率與概率】 8
【題型5 生活中的概率】 9
【題型6 頻率估計概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用】 11
1、隨機事件、頻率與概率
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別 (2)理解事件間的關(guān)系與運算 2023年上海卷：第5題，4分 從近幾年的高考情況來看，隨機事件、頻率與概率的考查相對較少，主要考查以頻率估計概率、互斥事件與對立事件等內(nèi)容，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度較易；有時以頻率估計概率也會在解答題中出現(xiàn)，與統(tǒng)計等知識結(jié)合.
【知識點1 頻率與概率】
1．頻率與概率的區(qū)別
頻率 本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的事件的頻率也可能會不同.
概率 本身是一個在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變.
舉例 辨析 例如，在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是521，則正面向上的頻率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一個客觀常數(shù)，
2．頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計概率)
大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著
試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的
概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率(A)估計概率P(A).
【知識點2 隨機事件】
1．事件
(1)隨機事件
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們
將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.
(2)必然事件
A作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱 為不可能事件.
2．事件的關(guān)系和運算
(1)兩個事件的關(guān)系和運算
事件的關(guān)系或運算 含義 符號表示 圖形表示
包含 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生
并事件 （和事件） A與B至少一個發(fā)生 或
交事件 （積事件） A與B同時發(fā)生 或
互斥 （互不相容） A與B不能同時發(fā)生
互為對立 A與B有且僅有一個發(fā)生 ，
(2)多個事件的和事件、積事件
類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)發(fā)生當且僅當A，B，C，中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩ (或ABC)發(fā)生當且僅當A，B，C，同時發(fā)生.
【知識點3 隨機事件的關(guān)系與概率】
1．互斥事件、對立事件的判斷
判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有
且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.
2．互斥事件的概率求法
求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：
一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公
式計算；
二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡便.
【方法技巧與總結(jié)】
1．從集合的角度理解互斥事件和對立事件
(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.
(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.
2．概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即
.
【題型1 隨機事件與樣本空間】
【例1】（23-24高二·上海·課堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【解題思路】利用隨機事件的定義逐一分析給定的各個事件即可判斷作答.
【解答過程】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機事件；
三角形三條高線一定交于一點，②是必然事件；
實數(shù)a，b都不為0，則，③是不可能事件；
某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，
所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.
故選：A.
【變式1-1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數(shù)為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合列舉法運算求解.
【解答過程】從A，B，C，D，E五人中選兩人，
不同的選法有：，
所以樣本空間中樣本點的個數(shù)為10．
故選：B.
【變式1-2】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）給出下列四個命題，其中正確命題的序號是（ ）
①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；
②“當x為某一實數(shù)時，可使”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【解題思路】根據(jù)必然事件，不可能事件和隨機事件的定義逐個分析判斷
【解答過程】對于①，三個球全部放入兩個盒子，就是將3個分成兩部分，其中一部分1個球，另一部分2個球，所以必有一個盒子有一個以上的球，所以①正確，
對于②，“當x為某一實數(shù)時，可使”是不可能事件，所以②正確，
對于③，“明天上海要下雨”是不確定的，是隨機事件，所以③錯誤，
對于④，“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件，所以④正確，
故選：C.
【變式1-3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列事件為隨機事件的是（　　）
A．投擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)小于7
B．投擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)等于7
C．下周日下雨
D．沒有水和空氣，人也可以生存下去
【解題思路】根據(jù)隨機事件的定義即可結(jié)合選項逐一求解.
【解答過程】A中事件為必然事件；B，D中事件為不可能事件；C中事件為隨機事件．
故選：C.
【題型2 隨機事件的關(guān)系與運算】
【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記“點數(shù)之和為5”是事件，“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（ ）
A．為不可能事件 B．與為互斥事件
C．為必然事件 D．與為對立事件
【解題思路】利用事件的基本關(guān)系判斷即可.
【解答過程】同時拋擲兩顆骰子，有36個結(jié)果，
“點數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；
“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；
對于選項A: 表示“點數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”， 不是不可能事件.故A錯誤；
對于選項B：A與B不可能同時發(fā)生．故B正確；
對于選項C：表示“點數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯誤；
對于選項D：與不能包含全部基本事件，故D錯誤.
故選:B．
【變式2-1】（2024·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件
C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件
【解題思路】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.
【解答過程】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,
事件3可表示為：,事件4可表示為：,
因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；
因為為不可能事件，為必然事件，
所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；
因為，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；
因為為不可能事件，不為必然事件，
所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤；
故選：B.
【變式2-2】（2024·四川內(nèi)江·三模）一個人連續(xù)射擊次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件
C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
【解題思路】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.
【解答過程】一個人連續(xù)射擊次，其可能結(jié)果為擊中次，擊中次，擊中次，
其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，
事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯誤；
事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，
事件“第二次擊中” 包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯誤；
事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時發(fā)生，故C錯誤；
事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；
故選：D.
【變式2-3】（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治
【解題思路】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.
【解答過程】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，
可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.
對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對立事件，故A錯誤；
對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯誤；
對于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；
對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.
故選:D.
【題型3 互斥事件與對立事件的概率】
【例3】（23-24高一下·陜西西安·期末）已知隨機事件A，B滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計算即得.
【解答過程】依題意，.
故選：D.
【變式3-1】（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知事件互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)互斥事件，對立事件的概率關(guān)系即可計算求解.
【解答過程】由事件互斥，且都不發(fā)生為，則，
又，所以，解得，，
所以.
故選：C.
【變式3-2】（23-24高一下·廣東肇慶·期末）已知樣本空間，事件，，則（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，由概率的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【解答過程】因為，且事件，，則，
所以.
故選：A.
【變式3-3】（23-24高一下·北京·期末）已知隨機事件和互斥，和對立，且，則（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【解題思路】利用對立事件概率公式和互斥事件加法公式計算即可.
【解答過程】由和對立，，可得，解得，
又由隨機事件和互斥可知，
由，
將代入計算可得.
故選：D.
【題型4 頻率與概率】
【例4】（23-24高一下·廣西河池·期末）下列說法中正確的是（ ）
A．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率
B．在次隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有確定性
C．隨著試驗次數(shù)的增大，一個隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率
D．在同一次試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率，概率的定義，即可判斷.
【解答過程】頻率與概率不是同一個概念，故A錯誤；
在次隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性，故B錯誤；
隨著試驗次數(shù)的增大，一個隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，故C正確；
在同一次試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和一定等于1，故D錯誤．
故選：C．
【變式4-1】（23-24高一下·山東棗莊·期末）某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學(xué)生進行調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題.問題1：你父親的公歷出生月份是不是奇數(shù)？問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的密封袋子，每個被調(diào)查者隨機地從袋中摸取1個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學(xué)生如實回答第一個問題，摸到紅球的學(xué)生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為56個，則該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的比例約為（ ）
A．2% B．3% C．6% D．8%
【解題思路】由概率得出這100個回答第一個問題的學(xué)生中，約有50人回答了“是”，結(jié)合題設(shè)條件，估計第二個問題有人回答了“是”，從而得出所占比例.
【解答過程】因為一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子中，
隨機摸出1個球，摸到白球和紅球的概率都為，
因此，這200人中，回答了第一個問題的有100人，
而一年12個月中，奇數(shù)的占一半，
所以對第一個問題回答“是”的概率為
所以這100個回答第一個問題的學(xué)生中，約有50人回答了“是”，
從而可以估計，在回答第二個問題的100人中，約有人回答了“是”，
所以可以估計出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為．
故選：C.
【變式4-2】（23-24高一下·山西長治·期末）下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙二人進行羽毛球比賽，甲勝的概率為，則比賽4場，甲一定勝3場
B．概率是隨機的，在試驗前不能確定
C．事件，滿足，則
D．天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%
【解題思路】根據(jù)概率的定義及性質(zhì)判斷即可.
【解答過程】對于A，甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，是指每場比賽，甲勝的可能性為，
則比賽場，甲可能勝場、3場、2場、1場、0場，故A錯誤；
對于B，隨機試驗的頻率是變化的，概率是頻率的穩(wěn)定值，是固定的，故B錯誤；
對于C：事件，滿足，則，故C錯誤；
對于D，天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為，是指降水的可能性是，故D正確.
故選：D.
【變式4-3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率是
B．一個同學(xué)做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上
C．某地發(fā)行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報
D．大量試驗后，可以用頻率近似估計概率
【解題思路】利用概率的定義和估計方法逐個選項分析求解即可.
【解答過程】對于A，可得中靶的結(jié)果是頻率，不是概率；故錯誤，
對于B，C，太過絕對，故錯誤，
對于D，符合概率的估算方法，故正確．
故選：D.
【題型5 生活中的概率】
【例5】（23-24高一下·青海海南·期末）某超市舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿188元就送一次抽獎機會，中獎的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．某人抽獎100次，一定能中獎15次 B．某人抽獎200次，至少能中獎3次
C．某人抽獎1次，一定不能中獎 D．某人抽獎20次，可能1次也沒中獎
【解題思路】中獎的概率為，只能說有中獎的可能性，但不能確定一定中獎還是不中獎，分析判斷即可.
【解答過程】中獎的概率為，與抽的次數(shù)無關(guān)，只是有中獎的可能性，
故選：D．
【變式5-1】（23-24高一下·新疆喀什·期末）下列說法正確的是（ ）
A．隨著試驗次數(shù)的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率
B．某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票一定能中獎
C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為
D．某市氣象臺預(yù)報“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為明天會降水，30%認為明天不會降水
【解題思路】根據(jù)頻率與概率的定義以及兩者之間的關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.
【解答過程】對于A, 隨著試驗次數(shù)的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率，概率是頻率的穩(wěn)定值，故A正確，
對于B, 某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票不一定中獎，故B錯誤，
對于C, 連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則在100此拋硬幣的實驗中擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的頻率為，而擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為，故C錯誤，
對于D，某市氣象臺預(yù)報“明天本市降水概率為70%”，指的明天會降水的可能性為70%.故D錯誤，
故選：A.
【變式5-2】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是(　　)
①拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝;
②同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;
④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝,否則張華獲勝.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
【解題思路】根據(jù)題意，逐項判斷即可.
【解答過程】①拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)是等可能的，均為，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)兩種情況,而兩枚都正面向上僅為(正,正),因此②中游戲不公平.
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色和黑色是等可能的，均為，所以公平；
④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,一共四種情況(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，兩人寫的數(shù)字相同和不同是等可能的，均為，所以公平；.
故選B.
【變式5-3】（2024·河南·二模）三國時期，諸葛亮曾經(jīng)利用自身豐富的氣象觀測經(jīng)驗，提前三天準確地預(yù)報出一場大霧，并在大霧的掩護下，演出了一場“草船借箭”的好戲，令世人驚嘆.諸葛亮應(yīng)用的是（ ）
A．動力學(xué)方程的知識 B．概率與統(tǒng)計的知識
C．氣象預(yù)報模型的知識 D．迷信求助于神靈
【解題思路】應(yīng)用豐富的氣象觀測經(jīng)驗，預(yù)報天氣，屬于經(jīng)驗預(yù)報法，可知諸葛亮應(yīng)用的是概率與統(tǒng)計的知識.
【解答過程】諸葛亮曾經(jīng)利用自身豐富的氣象觀測經(jīng)驗，提前三天準確地預(yù)報出一場大霧，
屬于氣象業(yè)務(wù)實踐中的經(jīng)驗預(yù)報法，利用的是概率與統(tǒng)計的知識.
并未應(yīng)用到動力學(xué)方程的知識和氣象預(yù)報模型的知識.
故選：B.
【題型6 頻率估計概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用】
【例6】（23-24高一上·廣東梅州·開學(xué)考試）兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗是（ ）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；
B．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率；
C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；
D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率．
【解題思路】先根據(jù)頻率和概率的關(guān)系得到概率為，再對四個選項一一判斷得到D正確.
【解答過程】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，實驗結(jié)果在0.33附近波動，即其概率，
選項A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；
選項B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率為，故此選項不符合題意；
選項C，轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為，故此選項不符合題意；
選項D，從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率為，
故此選項符合題意；
故選：D.
【變式6-1】（2024·四川綿陽·三模）某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取了1000個零件進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．
B．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的眾數(shù)為45
C．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的中位數(shù)為60
D．從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在的概率約為0.5
【解題思路】利用各組的頻率之和為1，求得的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計概率值，從而判定D.
【解答過程】，解得，故A正確；
頻率最大的一組為第二組，中間值為，所以眾數(shù)為45，故B正確；
質(zhì)量指標大于等于60的有兩組，頻率之和為，所以60不是中位數(shù)，故C錯誤；
由于質(zhì)量指標在[50,70)之間的頻率之和為，可以近似認為從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在的概率約為0.5，故D正確.
故選：C.
【變式6-2】（2024·甘肅隴南·一模）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為三個等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于級品、級品、級品，廠家每件分別收取加工費80元，50元，30元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費為40元/件，乙分廠加工成本費為35元/件．該廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
等級
頻數(shù) 45 30 25
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
等級
頻數(shù) 40 10 50
(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率；
(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？
【解題思路】（1）用頻率來估算概率，然后求解即可；
（2）根據(jù)題意計算平均利潤即可.
【解答過程】（1）解：（1）由表可知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為，
乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為．
（2）甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為元，
所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為18.5元，
乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為元，
所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為17元．
故該廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)．
【變式6-3】（23-24高一上·福建寧德·期末）某種產(chǎn)品特約經(jīng)銷商根據(jù)以往當?shù)氐男枨笄闆r，得出如下該種產(chǎn)品日需求量的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值，并估計日需求量的眾數(shù)；
(2)某日，經(jīng)銷商購進130件該種產(chǎn)品，根據(jù)近期市場行情，當天每售出1件能獲利30元，未售出的部分，每件虧損20元．設(shè)當天需求量為件（），純利潤為S元．
（ⅰ）將S表示為的函數(shù)；
（ⅱ）據(jù)頻率分布直方圖估計當天純利潤S不少于3400元的概率．
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖中所有的小長方形的面積之和為一求出的值，利用直方圖中最高的小長方形底邊的中點的橫坐標求出眾數(shù)；
（2）（ⅰ）設(shè)當天的需求量為件，討論、，寫出函數(shù)分段形式；
（ⅱ）由（ⅰ）中所得函數(shù)解出純利潤不少于元時的范圍，再利用直方圖中頻率估計相應(yīng)的概率值.
【解答過程】（1）由直方圖可知：，可得.
由圖知：頻率最高出現(xiàn)在，則眾數(shù)為件.
（2）（ⅰ）當時，
當時，
∴.
（ⅱ）若 得：，又，所以.
由直方圖知：對應(yīng)頻率是，
所以估計當天純利潤S不少于3400元的概率是0.7.
一、單選題
1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（ ）
A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件
【解題思路】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的概念判斷即可.
【解答過程】隨機試驗的樣本空間為，
則事件是隨機事件，故A正確；
事件是必然事件，故B正確；
事件是不可能事件，故C正確；
事件是不可能事件，故D錯誤.
故選：D.
2．（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）下列說法一定正確的是（ ）
A．一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況
B．隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)
C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元
D．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現(xiàn)一次2
【解題思路】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系得到ACD錯誤，B正確.
【解答過程】A選項，一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，也可能出現(xiàn)三投都不中的情況，A錯誤；
B選項，隨機事件發(fā)生的概率是一個固定的值，與試驗次數(shù)無關(guān)，B正確；
C選項，若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票不一定會中獎一元，C錯誤；
D選項，一個骰子擲一次得到2的概率是，擲6次出現(xiàn)2的次數(shù)不確定，可能是1次，也可能是2次或者其他次數(shù)，D錯誤.
故選：B.
3．（23-24高二上·四川巴中·期末）如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當閉合開關(guān)時，下列事件為必然事件的是（ ）
A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮
C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮
【解題思路】根據(jù)并聯(lián)電路的特點及必然事件的概念判斷即可.
【解答過程】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當閉合開關(guān)時，可知A，B兩盞燈均亮.
故選：C.
4．（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）某池塘中飼養(yǎng)了A B兩種不同品種的觀賞魚，假設(shè)魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東 南 西三個采樣點捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點北捕撈到20尾魚，則品種A約有（ ）
采樣點 品種A 品種B
東 20 9
南 7 3
西 17 8
A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾
【解題思路】根據(jù)魚群在池塘里是均勻分布的，利用頻率求解.
【解答過程】解：因為魚群在池塘里是均勻分布的，
所以品種A約所占比為：，
所以在采樣點北捕撈到20尾魚，則品種A約有尾，
故選：C.
5．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)為同一試驗中的兩個隨機事件，則“”是“事件互為對立事件”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)對立事件概率的性質(zhì)可以說明條件是必要的，容易給出反例說明條件不是充分的.
【解答過程】若互為對立事件，根據(jù)對立事件概率公式可直接得到，故條件是必要的；
若試驗基本事件含3種及以上，其中表示概率為的兩個不同事件，
則不互為對立事件，此時，故條件不是充分的.
故選：B.
6．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)，設(shè)事件“2個數(shù)都為偶數(shù)”，“2個數(shù)都為奇數(shù)”，“至少1個數(shù)為奇數(shù)”，“至多1個數(shù)為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與是互斥事件 B．與是互斥但不對立事件
C．與是互斥但不對立事件 D．與是對立事件
【解題思路】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷.
【解答過程】根據(jù)題意
，
則，所以與是互斥事件，A正確；
，所以與是互斥且對立事件，B錯誤；
，所以與是互斥且對立事件，C錯誤；
所以與不是對立事件，D錯誤.
故選：A.
7．（23-24高二上·湖北荊州·期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為．我們通過設(shè)計模擬實驗的方法求概率，利用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由樣本數(shù)據(jù)，利用頻率近似估計概率.
【解答過程】設(shè)事件“三天中至少有兩天下雨”，20個隨機數(shù)中，
至少有兩天下雨有，
即事件發(fā)生了13次，用頻率估計事件的概率近似為．
故選：D．
8．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時
D．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時
【解題思路】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.
【解答過程】對于A，該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的天數(shù)為：天，故A錯誤；
對于B，估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為，故B錯誤；
對于C，的頻率為，的頻率為，
則該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為，故C正確；
對于D，估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為，故D錯誤；
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰
C．早晨太陽從東方升起
D．，則的值不小于0
【解題思路】運用必然事件的概念判斷即可.
【解答過程】A為隨機事件，B為不可能事件，C，D為必然事件．
故選:CD.
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）某校高三年級有（1），（2），（3）三個班，一次期末考試，統(tǒng)計得到每班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率（數(shù)學(xué)成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)與該班學(xué)生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：
班級 （1） （2） （3）
優(yōu)秀率 80% 85% 75%
則下列說法一定正確的是（ ）
A．（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率最高
B．（3）班的學(xué)生人數(shù)不一定最少
C．該年級全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為80%
D．若把（1）班和（2）班的數(shù)學(xué)成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為83%，則（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)
【解題思路】由題目表格中的數(shù)據(jù)，逐一判斷選項，可得答案.
【解答過程】選項A：顯然（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率最高，故A正確；
選項B：只根據(jù)優(yōu)秀率的大小，無法比較每個班人數(shù)的多少，故B正確；
選項C：該年級全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為全年級數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)與全年級學(xué)生總?cè)藬?shù)之比，
由于各班的學(xué)生人數(shù)不知道，所以不能計算該年級全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率，故C錯誤；
選項D：設(shè)（1）班、（2）班數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)分別為x，y，（1）班、（2）班人數(shù)分別為a，b，
則，，得，，又（1）班和（2）班放在一起統(tǒng)計的優(yōu)秀率為83%，
即，即，即，得，則，故D錯誤．
故選:AB.
11．（2024·河北滄州·一模）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（ ）
A．與是互斥事件 B．與是對立事件
C． D．
【解題思路】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.
【解答過程】對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件：只參加科技游藝活動，
與事件：一種科普活動都不參加，二者不可能同時發(fā)生，交集為空集，故A正確；
對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個發(fā)生. 事件和事件滿足兩個特點，故B正確；
對C：表示：至多參加一種科普活動，即為事件，故C正確；
對D：表示：只參加一種科普活動，但不一定是科技游藝活動，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
12．（23-24高一下·山西太原·期末）投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，用表示“第枚硬幣正面朝上”，表示“第枚硬幣反面朝上”，則該試驗的樣本空間 ．
【解題思路】按照表示“第枚硬幣正面朝上”， 表示“第枚硬幣正面朝上”，表示“第枚硬幣反面朝上” ，表示“第枚硬幣反面朝上”寫出即可．
【解答過程】事件空間： .
故答案為：.
13．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是隨機事件，且，則 ．
【解題思路】求出，從而根據(jù)事件的運算關(guān)系求出概率.
【解答過程】因為，所以，
故．
故答案為：.
14．（2024·重慶·模擬預(yù)測）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是 ．
【解題思路】設(shè)非吸煙者患肺癌的概率為，根據(jù)題意列出方程，求出，即可得到答案
【解答過程】本次研究調(diào)查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，
設(shè)非吸煙者患肺癌的人數(shù)是人，則，，
因此，本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)為45人．
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二·上海·課堂例題）判斷下面哪些是隨機現(xiàn)象，哪些是確定性現(xiàn)象，并列舉幾個生活中的確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象的例子．
（1）明天太陽升起；
（2）明天上海局部地區(qū)下雨；
（3）明年小明又大一歲；
（4）小明今天放學(xué)回家到路口時恰好碰到綠燈．
【解題思路】利用隨機現(xiàn)象、確定性現(xiàn)象的意義直接判斷即可.
【解答過程】（1）明天太陽升起是確定性現(xiàn)象；
（2）明天上海局部地區(qū)下雨是隨機現(xiàn)象；
（3）明年小明又大一歲是確定性現(xiàn)象.
（4）小明今天放學(xué)回家到路口時恰好碰到綠燈是隨機現(xiàn)象.
如：導(dǎo)體通電時發(fā)熱、拋一塊石頭下落都是確定性現(xiàn)象；
擲一枚硬幣出現(xiàn)正面、某人射擊一次中靶、一個電影院某天的上座率超過50%都是隨機現(xiàn)象.
16．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件：“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件：“點數(shù)小于”，事件：“點數(shù)大于”，事件：“點數(shù)是的倍數(shù)”.求：
(1)，；
(2)，；
(3)，，，.
【解題思路】（1）根據(jù)交事件（積事件）的概念求解即可；
（2）根據(jù)并事件（和事件）的概念求解即可；
（3）根據(jù)對立事件與交事件、并事件運算求解即可.
【解答過程】（1）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，樣本空間為，
事件包含的樣本點為,.
故,.
（2）由（1）知，.
（3）由（1）知，,
故.
17．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，地到火車站共有兩條路徑和，現(xiàn)隨機抽取100位從地到火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：
所用時間（分鐘） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60]
選擇的人數(shù) 6 12 18 12 12
選擇的人數(shù) 0 4 16 16 4
(1)試用頻率估計概率，估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率：
(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試用頻率估計概率通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
【解題思路】（1）根據(jù)頻數(shù)計算頻率即可；
（2）分別計算兩個時間段的概率，比較概率的大小可得結(jié)論.
【解答過程】（1）調(diào)查的100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站有：（人），
因此40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的頻率為，
用頻率估計概率，所以40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率為.
（2）設(shè)分別表示甲選擇和時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；
分別表示乙選擇和時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站，
依題意，，，
由，得甲應(yīng)選擇路徑；
，，
由，得乙應(yīng)選擇路徑，
所以甲應(yīng)選擇路徑，乙應(yīng)選擇路徑.
18．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件：
(1)A與C；
(2)B與C；
(3)B與D；
(4)B與E；
(5)A與E．
【解題思路】根據(jù)是否可能同時發(fā)生→判斷是否互斥→是否必有一個發(fā)生→判斷是否對立，即可逐一求解.
【解答過程】（1）由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，
即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．
（2）事件B“至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．
事件C“至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．
也就是說事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．
（3）事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，
也就是說事件B和事件D有可能同時發(fā)生，故B與D不是互斥事件．
（4）由于事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的，
故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個發(fā)生，故B與E是對立事件．
（5）事件A“只訂甲報”與事件E“一種報紙也不訂”不可能同時發(fā)生，
故A與E是互斥事件，但A與E不是必有一個發(fā)生，比如“只訂乙報”，故A與E不是對立事件．
19．（23-24高二上·黑龍江·期中）某校 1 200 名高三年級學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測驗（滿分為 100 分），為了分析這次數(shù)學(xué)測驗的成績， 從這1200人的數(shù)學(xué)成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表，請根據(jù)表中提供的信息解決下列問題：
成績分組 頻數(shù) 頻率 平均分
3 0.015 16
a b 32.1
25 0.125 55
c 0.5 74
62 0.31 88
(1)求 a，b，c 的值；
(2)如果從這1200名學(xué)生中隨機抽取一人，試估計這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測驗及格的概率P（注：60 分及 60分以上為及格）.
【解題思路】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)分析得到a，b，c 的值；
（2）計算出抽取的200人的成績中，數(shù)學(xué)測驗及格的頻率，從而估計出這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測驗及格的概率.
【解答過程】（1），解得，
故，，
（2）抽取的200人的成績中，數(shù)學(xué)測驗及格的頻率為，
故估計這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測驗及格的概率.
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