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專題10.6 事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 事件相互獨立性的判斷】 3
【題型2 相互獨立事件的概率】 4
【題型3 事件的相互獨立性與其他知識綜合】 4
【題型4 條件概率】 6
【題型5 全概率公式】 7
【題型6 貝葉斯公式】 8
【題型7 條件概率與其他知識綜合】 9
1、事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解兩個事件相互獨立的含義 (2)理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率 2022年新高考全國I卷：第20題，12分 2022年全國乙卷（理數）：第10題，5分 2023年新高考I卷：第21題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第12題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第6題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第18題，17分 從近幾年的高考情況來看，本節是高考的熱點內容，主要考查相互獨立事件的概率、條件概率與全概率公式等，一般以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會在解答題中出現，與其他知識結合考查，難度中等，復習時需要加強這方面的練習.
【知識點1 事件的相互獨立性】
1．事件的相互獨立性
(1)定義
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質
若事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.
(3)推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈)個事件的相互獨立性，即若事件，，，相
互獨立，則這n個事件同時發生的概率P()=P()P()P().
2．求相互獨立事件同時發生的概率的方法
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.
【知識點2 條件概率與全概率公式】
1．條件概率
(1)條件概率的定義
一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(BA)=為事件A發生的條件下，事件
B發生的條件概率，簡稱條件概率.
(2)性質
設P(A)>0，為樣本空間，則
①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；
②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；
③設和B互為對立事件，則P(A)=1-P(BA).
2．概率的乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(BA).
3．全概率公式及應用
(1)全概率公式
一般地，設，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，
n，則對任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我們稱此公式為全概率公式.
(2)全概率公式的意義
全概率公式的意義在于，當直接計算事件B發生的概率P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間Ω的一
個劃分Ω=∪∪∪，，，，兩兩互斥，將，，，看成是導致B發生的一組原
因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求
解.
4．貝葉斯公式
設，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，則對
任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.
貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：
(1)A的多種情況中到底哪種情況發生是未知的，但是每種情況發生的概率已知，即P()已知;
(2)事件B是已經發生的確定事實，且A的每種情況發生的條件下B發生的概率已知，即P()已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；
(4)求解的目標是用A的某種情況的無條件概率求其在B發生的條件下的有條件概率P().
5．求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(BA)=.
(2)樣本點法：P(BA)=.
(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.
6．利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發生條件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算.
【方法技巧與總結】
1．如果事件A1,A2,…,An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題.
【題型1 事件相互獨立性的判斷】
【例1】（2024·山東泰安·三模）盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（ ）
A．與相互獨立 B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【變式1-1】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）若古典概型的樣本空間，事件，事件，相互獨立，則事件可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·江蘇·模擬預測）有5張相同的卡片，分別標有數字，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數字為2”，表示事件“第一次取出的卡片上的數字為奇數”，表示事件“兩次取出的卡片上的數字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數字之和為”，則（ ）
A．與為對立事件 B．與為相互獨立事件
C．與為相互獨立事件 D．與為互斥事件
【變式1-3】（2024·廣東湛江·一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項．設事件“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則（ ）
A．事件M與事件N相互獨立 B．事件X與事件Y相互獨立
C．事件M與事件Y相互獨立 D．事件N與事件Y相互獨立
【題型2 相互獨立事件的概率】
【例2】（2024·陜西·二模）已知在某次乒乓球單打比賽中，甲 乙 丙 丁四人進入半決賽.將四人隨機分為兩組進行單打半決賽，每組的勝出者進行冠軍的爭奪.已知四人水平相當，即半決賽每人勝或負的概率均為.若甲 丙分在一組，乙 丁分在一組，則甲 乙兩人在決賽中相遇的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·山東·模擬預測）某班元旦晚會中設置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規則如下：①每次不放回的抽取一個，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時游戲結束；②抽取3次完成游戲為一等獎，抽取4次完成游戲為二等獎.則甲同學獲得二等獎的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·遼寧·模擬預測）某疾病全球發病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 事件的相互獨立性與其他知識綜合】
【例3】（2024·上海寶山·二模）在課外活動中，甲、乙兩名同學進行投籃比賽，每人投次，每投進一次得分，否則得分已知甲每次投進的概率為，且每次投籃相互獨立；乙第一次投籃，投進的概率為，從第二次投籃開始，若前一次投進，則該次投進的概率為，若前一次沒投進，則該次投進的概率為.
(1)求甲投籃次得分的概率；
(2)若乙投籃次得分為，求的分布和期望；
(3)比較甲、乙的比賽結果.
【變式3-1】（2024·湖南長沙·三模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經過全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：

若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K，按規定須將該指標大于K的產品應用于A型手機，小于或等于K的產品應用于B型手機．若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應用于A型手機會導致芯片生產商每部手機損失800元；若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應用于B型手機會導致芯片生產商每部手機損失400元；假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．
(1)設臨界值時，將1個Ⅰ級品芯片和1個Ⅱ級品芯片分別應用于A型手機和B型手機．求兩部手機有損失的概率（計算結果用小數表示）；
(2)設且，現有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應用于A型手機、B型手機各1萬部的生產，試估計芯片生產商損失費用的最小值．
【變式3-2】（2024·江蘇南通·二模）某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學入選，該班體育老師擔任教練.
(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？
(2)某次傳球基本功訓練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練，老師傳給每位學生的概率都相等，每位學生傳球給同學的概率也相等，學生傳給老師的概率為.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？
【變式3-3】（2024·云南大理·模擬預測）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個人通過初賽，進入決賽.已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為.
(1)決賽規則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，每場比賽勝者積1分，負者積0分，首先累計到2分者獲得比賽勝利，比賽結束.假設，且每局比賽相互獨立.
（ⅰ）求三人總積分為2分的概率；
（ⅱ）求比賽結束時，三人總積分的分布列與期望
(2)若，假設乙獲得了指定首次比賽選手的權利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優指定策略
【題型4 條件概率】
【例4】（2024·山西太原·二模）某校高二年級學生中有60%的學生喜歡打籃球，40%的學生喜歡打排球，80%的學生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學生中隨機調查一名學生，若該學生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024高二上·江蘇·專題練習）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【變式4-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）某校春季體育運動會上，甲，乙兩人進行羽毛球項目決賽，約定“五局三勝制”，即先勝三局者獲得冠軍.已知甲、乙兩人水平相當，記事件表示“甲獲得冠軍”，事件表示“比賽進行了五局”，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·湖南長沙·二模）某罐中裝有大小和質地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球.記“第一次摸球時摸到紅球”，“第一次摸球時摸到綠球”，“第二次摸球時摸到紅球”，“第二次摸球時摸到綠球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 全概率公式】
【例5】（2024·安徽·一模）有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%，任取一個零件，則它是次品的概率（ ）
A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525
【變式5-1】（2024·內蒙古包頭·三模）設某工廠購進10盒同樣規格的零部件，已知甲廠、乙廠、丙廠分別生產了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三個廠家生產該種零部件的次品率依次為，，，現從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一個零部件，則取得的零部件是次品的概率為（ ）
A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
【變式5-2】（2024·山東日照·模擬預測）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為，但統計分析結果顯示患病率為，醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為0.01，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為（ ）
A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99
【變式5-3】（2024·陜西寶雞·二模）某位同學家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫囑），則感冒被治愈的概率為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 貝葉斯公式】
【例6】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·湖南邵陽·三模）甲、乙兩個工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數分別占總數的，，任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·江西上饒·模擬預測）越來越多的人喜歡參加戶外極限運動，據調查數據顯示，兩個地區分別有的人參加戶外極限運動，兩個地區的總人口數的比為．若從這兩個地區中任意選取一人，則此人參加戶外極限運動的概率為；若此人參加戶外極限運動，則此人來自地區的概率為，那么（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假．該鑒偽技術的準確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 條件概率與其他知識綜合】
【例7】（2024·四川·模擬預測）在某果園的苗圃進行果苗病蟲害調查，隨機調查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度（單位：，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)估計該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(2)估計該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區間的概率；
(3)已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為，果苗高度位于區間的棵數占該果苗總棵數的.從該苗圃中任選一棵高度位于區間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數據中受到病蟲害果苗的高度位于各區間的頻率作為受到病蟲害果苗的高度位于該區間的概率）.
【變式7-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）2024年誕生的首個網紅城市，非哈爾濱莫屬．從“爾濱”“濱子”“南方小土豆”“廣西砂糖橘”這些雙方間親密、趣味的稱呼和各方的好評可以看出，哈爾濱在這個冰雪季推出的活動很受歡迎和認可．統計數據顯示，今年元旦假期，擁有900多萬常住人口的哈爾濱累計接待游客超過300萬人次，實現旅游總收入59億元，雙雙達到歷史峰值．為了能夠讓游客感到賓至如歸的服務，某校號召學生利用周末從事志愿活動，高三（2）班某學習小組有男生4人，女生2人，現隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協管員、旅游宣傳員、文明監督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為．每人每參加1項活動可獲得綜合評價5分，選擇參加幾項活動彼此互不影響．
(1)在有女生參加活動的條件下，求恰有一名女生參加活動的概率；
(2)記隨機變量為隨機選取的兩人得分之和，求的分布列和數學期望．
【變式7-2】（2024·河北衡水·模擬預測）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時間（即發動一次攻擊后需經過一段時間才能再次發動攻擊）.其擁有兩個技能，技能一是每次發動攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發動，該技能可以連續觸發，從而可能連續多次跳過冷卻時間持續發動攻擊；技能二是每次發動攻擊時有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變為原來的2倍，但是多次觸發時效果不可疊加（相當于多次觸發技能二時僅得到第一次觸發帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發動時先判定技能二是否觸發，再判定技能一是否觸發.發動一次攻擊并連續多次觸發技能一而帶來的連續攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發均彼此獨立：
(1)當“突擊者”發動一輪攻擊時，記事件A為“技能一和技能二的觸發次數之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發1次”，求條件概率
(2)設n是正整數，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.
【變式7-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統計如下：
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學 9天 6天 12天 3天
張老師 6天 6天 6天 12天
假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望；
(3)假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知隨機事件A，B相互獨立，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州貴陽·二模）某汽修廠倉庫里有兩批同種規格的輪胎，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.現從倉庫中任抽取1個輪胎，則這個輪胎是合格品的概率是（ ）
A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.954
3．（2024·上海奉賢·二模）有個相同的球，分別標有數字，，，，，從中有放回地隨機取兩次，每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，則（ ）．
A．甲與乙相互獨立 B．乙與丙相互獨立
C．甲與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立
4．（2024·廣西·模擬預測）在某電路上有C，D兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.3，需要更換D元件的概率為0.2，則在某次通電后C，D有且只有一個需要更換的條件下，C需要更換的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·二模）小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發現自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數列，則小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南·模擬預測）某校舉辦運動會，其中有一項為環形投球比寒，如圖，學生在環形投擲區內進行投球.規定球重心投擲到區域內得3分，區域內得2分，區域內得1分，投擲到其他區域不得分.已知甲選手投擲一次得3分的概率為0.1，得2分的概率為，不得分的概率為0.05，若甲選手連續投擲3次，得分大于7分的概率為0.002，且每次投擲相互獨立，則甲選手投擲一次得1分的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）把一副洗好的牌（共52張）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻開每一張牌，直到翻出第一張A．記事件A為“翻開第3張牌時出現了第一張A”，事件B為“翻開第4張牌時出現了第一張A”，事件C為“翻開的下一張牌是黑桃A”，事件D為“下一張翻開的牌是紅桃3”，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全國·模擬預測）神舟十五號飛行任務是中國載人航天工程2022年的第六次飛行任務，也是中國空間站建造階段最后一次飛行任務，航天員乘組將在軌工作生活6個月.某校為了培養學生們的航天精神，特意舉辦了關于航天知識的知識競賽，競賽一共包含兩輪.高三（9）班派出了和兩位同學代表班級參加比賽，每輪競賽和兩位同學各答1題.已知同學每輪答對的概率是，同學每輪答對的概率是，每輪競賽中和兩位同學答對與否互不影響，每輪結果亦互不影響，則和兩位同學至少答對3道題的概率為（ ）.
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·云南大理·模擬預測）假設是兩個事件，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·貴州貴陽·一模）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是奇數”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是偶數”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（ ）
A．乙發生的概率為 B．丙發生的概率為
C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件
11．（2024·廣東佛山·模擬預測）中國象棋是一種益智游戲，也體現博大精深的中國文化.某學校舉辦了一次象棋比賽，李明作為選手參加.除李明之外的其他選手中，甲、乙兩組的人數之比為，李明與甲、乙兩組選手比賽獲勝的概率分別為0.6，0.5.從甲、乙兩組參賽選手中隨機抽取一位棋手與李明比賽，下列說法正確的是（ ）
A．李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為
B．李明獲勝的概率為
C．若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為
D．若李明獲勝，則棋手來自乙組的概率為
三、填空題
12．（2024·山東泰安·模擬預測）已知，則 ．
13．（2024·廣西來賓·模擬預測）甲 乙 丙三名工人加工同一型號的零件，甲加工的正品率為，乙加工的正品率為，丙加工的正品率為，加工出來的零件混放在一起.已知甲 乙加工的零件數相同，丙加工的零件數占總數的.現任取一個零件，則它是正品的概率為 .
14．（2024·江西南昌·二模）一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）. 已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為 .
四、解答題
15．（2024·貴州遵義·模擬預測）已知4臺車床加工的同一種零件共計1000件，其中第一臺加工200件，次品率為5%；第二臺加工250件，次品率為6%；第三臺加工250件，次品率為8%；第四臺加工300件，次品率為10%.現從這1000件零件中任取一個零件.
(1)求取到的零件是次品的概率；
(2)若取到的零件是次品，求它是第（其中）臺車床加工的零件的概率.
16．（2024·陜西安康·模擬預測）近兩年旅游業迎來強勁復蘇，外出旅游的人越來越多．A，B兩家旅游公司過去6個月的利潤率統計如下：
A公司 3 2 1
B公司 2 2 2
利潤率，盈利為正，虧損為負，且每個月的成本不變．
(1)比較A，B兩公司過去6個月平均每月利潤率的大小；
(2)用頻率估計概率，且假設A，B兩公司每個月的盈利情況是相互獨立的，求未來的某個月A，B兩公司至少有一家盈利的概率．
17．（2024·新疆烏魯木齊·二模）某果園產蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．
(1)若選擇分層抽樣，抽出100個蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計果園蘋果的單果平均重量、方差；
(2)現用一臺分選機進行篩選，已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經過分選機篩選后，現從篩選出來的“大果”里隨機抽取一個，問這個“大果”是真的大果的概率．
18．（2024·陜西銅川·三模）學校團委和工會聯合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經多輪比賽后，由教師甲 乙作為代表進行決賽.決賽共設三個項目，每個項目勝者得10分，負者得分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結果相互獨立.甲 乙獲得冠軍的概率分別記為.
(1)求甲教師總得分為0分的概率；
(2)判斷甲 乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若，則認為甲 乙獲得冠軍的實力有明顯差別，否則認為沒有明顯差別.）.
19．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續選擇銀耳羹的概率為，如此往復．
(1)求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；
(2)記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數列；
(3)求從第1天到第10天中，該同學選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題10.6 事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 事件相互獨立性的判斷】 3
【題型2 相互獨立事件的概率】 5
【題型3 事件的相互獨立性與其他知識綜合】 7
【題型4 條件概率】 11
【題型5 全概率公式】 13
【題型6 貝葉斯公式】 15
【題型7 條件概率與其他知識綜合】 17
1、事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解兩個事件相互獨立的含義 (2)理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率 2022年新高考全國I卷：第20題，12分 2022年全國乙卷（理數）：第10題，5分 2023年新高考I卷：第21題，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第12題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第6題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第18題，17分 從近幾年的高考情況來看，本節是高考的熱點內容，主要考查相互獨立事件的概率、條件概率與全概率公式等，一般以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會在解答題中出現，與其他知識結合考查，難度中等，復習時需要加強這方面的練習.
【知識點1 事件的相互獨立性】
1．事件的相互獨立性
(1)定義
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質
若事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.
(3)推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈)個事件的相互獨立性，即若事件，，，相
互獨立，則這n個事件同時發生的概率P()=P()P()P().
2．求相互獨立事件同時發生的概率的方法
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.
【知識點2 條件概率與全概率公式】
1．條件概率
(1)條件概率的定義
一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(BA)=為事件A發生的條件下，事件
B發生的條件概率，簡稱條件概率.
(2)性質
設P(A)>0，為樣本空間，則
①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；
②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；
③設和B互為對立事件，則P(A)=1-P(BA).
2．概率的乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(BA).
3．全概率公式及應用
(1)全概率公式
一般地，設，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，
n，則對任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我們稱此公式為全概率公式.
(2)全概率公式的意義
全概率公式的意義在于，當直接計算事件B發生的概率P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間Ω的一
個劃分Ω=∪∪∪，，，，兩兩互斥，將，，，看成是導致B發生的一組原
因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求
解.
4．貝葉斯公式
設，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，則對
任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.
貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：
(1)A的多種情況中到底哪種情況發生是未知的，但是每種情況發生的概率已知，即P()已知;
(2)事件B是已經發生的確定事實，且A的每種情況發生的條件下B發生的概率已知，即P()已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；
(4)求解的目標是用A的某種情況的無條件概率求其在B發生的條件下的有條件概率P().
5．求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(BA)=.
(2)樣本點法：P(BA)=.
(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.
6．利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發生條件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算.
【方法技巧與總結】
1．如果事件A1,A2,…,An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題.
【題型1 事件相互獨立性的判斷】
【例1】（2024·山東泰安·三模）盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（ ）
A．與相互獨立 B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【解題思路】根據相互獨立事件的定義依次分析即可.
【解答過程】依題意得，，，故A項錯誤；
，，故B項錯誤；
，故C項錯誤；
，，故D項正確.
故選：D.
【變式1-1】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）若古典概型的樣本空間，事件，事件，相互獨立，則事件可以是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據與是否相等判斷事件是否獨立，得到答案.
【解答過程】由題意得，
A選項，，，故，
所以，故事件相互獨立，A正確；
B選項，，，故，
所以，故事件不相互獨立，B錯誤；
C選項，，，故，
所以，故事件不相互獨立，C錯誤；
D選項，，，故，
所以，故事件不相互獨立，D錯誤；
故選：A.
【變式1-2】（2024·江蘇·模擬預測）有5張相同的卡片，分別標有數字，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數字為2”，表示事件“第一次取出的卡片上的數字為奇數”，表示事件“兩次取出的卡片上的數字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數字之和為”，則（ ）
A．與為對立事件 B．與為相互獨立事件
C．與為相互獨立事件 D．與為互斥事件
【解題思路】根據對立事件和互斥事件的定義即可判斷AD；根據相互獨立事件的定義結合古典概型公式進行計算，即可判斷BC.
【解答過程】由題意，與互斥但不對立，故A錯；
事件有共種，則，
事件有共種，則，
其中事件有共種，事件有共種，
，
則，所以與相互獨立，故B對；
，所以與不獨立，故C錯；
因為與可同時發生，所以與不互斥，故D錯.
故選：B.
【變式1-3】（2024·廣東湛江·一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項．設事件“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則（ ）
A．事件M與事件N相互獨立 B．事件X與事件Y相互獨立
C．事件M與事件Y相互獨立 D．事件N與事件Y相互獨立
【解題思路】根據互斥、相互獨立事件的乘法公式對選項一一判斷即可得出答案.
【解答過程】依題意甲、乙兩人所選選項有如下情形：
①有一個選項相同，②兩個選項相同，③兩個選項不相同，
所以，，，，
因為事件與事件互斥，所以，又，
所以事件M與事件N不相互獨立，故A錯誤；
，故B錯誤；
由，則事件M與事件Y相互獨立，故C正確；
因為事件N與事件Y互斥，所以，又，
所以事件N與事件Y不相互獨立，故D錯誤.
故選：C．
【題型2 相互獨立事件的概率】
【例2】（2024·陜西·二模）已知在某次乒乓球單打比賽中，甲 乙 丙 丁四人進入半決賽.將四人隨機分為兩組進行單打半決賽，每組的勝出者進行冠軍的爭奪.已知四人水平相當，即半決賽每人勝或負的概率均為.若甲 丙分在一組，乙 丁分在一組，則甲 乙兩人在決賽中相遇的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由獨立乘法公式即可得解.
【解答過程】若甲 乙兩人在決賽中相遇，這意味著在單打半決賽中，甲、乙均勝出，
從而甲 乙兩人在決賽中相遇的概率為.
故選：B.
【變式2-1】（2024·山東·模擬預測）某班元旦晚會中設置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規則如下：①每次不放回的抽取一個，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時游戲結束；②抽取3次完成游戲為一等獎，抽取4次完成游戲為二等獎.則甲同學獲得二等獎的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】記第i次取到的是紅球為事件，分類求解即可.
【解答過程】記第i次取到的是紅球為事件，
則二等獎的概率為
.
故選：C.
【變式2-2】（2024·遼寧·模擬預測）某疾病全球發病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分別求得非患者檢測為陽性的概率與患者檢測為陽性的概率，可求得結論.
【解答過程】由題意，未患病者判定為陽性的概率為，患病者判定為陽性的概率為，
某人檢測成陽性包含兩種情況：
①非患者檢測為陽性的概率為；
②患者檢測為陽性的概率為，
所以某人檢測成陽性的概率為．
故選：D.
【變式2-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用對立事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式計算即得.
【解答過程】元件都不正常的概率，
則元件至少有一個正常工作的概率為，
而電路是通路，即元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發生，
所以這個電路是通路的概率.
故選：B.
【題型3 事件的相互獨立性與其他知識綜合】
【例3】（2024·上海寶山·二模）在課外活動中，甲、乙兩名同學進行投籃比賽，每人投次，每投進一次得分，否則得分已知甲每次投進的概率為，且每次投籃相互獨立；乙第一次投籃，投進的概率為，從第二次投籃開始，若前一次投進，則該次投進的概率為，若前一次沒投進，則該次投進的概率為.
(1)求甲投籃次得分的概率；
(2)若乙投籃次得分為，求的分布和期望；
(3)比較甲、乙的比賽結果.
【解題思路】（1）甲3次投籃得2分即3次中1次，根據獨立事件概率公式即可求解；
（2）由題意得， X的所有可能取值為0，2，4，6，依次求出每種取值的概率，然后寫出分布列，求出期望；
（3）分別求出甲、乙的期望和方差，然后進行比較大小，根據大小進行分析即可.
【解答過程】（1）甲投籃次得分，即只投中次，概率為；
（2）由題意知的所有可能取值為，，，，
則，
，
隨機變量的分布為，
0 2 4 6
期望；
（3）設甲三次投籃的得分，則，，，，
可求得隨機變量的分布為，
0 2 4 6
所以
，
又可算得，
因為，，
所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩定.
【變式3-1】（2024·湖南長沙·三模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經過全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：

若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K，按規定須將該指標大于K的產品應用于A型手機，小于或等于K的產品應用于B型手機．若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應用于A型手機會導致芯片生產商每部手機損失800元；若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應用于B型手機會導致芯片生產商每部手機損失400元；假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．
(1)設臨界值時，將1個Ⅰ級品芯片和1個Ⅱ級品芯片分別應用于A型手機和B型手機．求兩部手機有損失的概率（計算結果用小數表示）；
(2)設且，現有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應用于A型手機、B型手機各1萬部的生產，試估計芯片生產商損失費用的最小值．
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖，I級品中該指標小于或等于60的頻率和II級品中該指標大于60的頻率，即可求解；
（2）由題意分別計算A、B型手機的損失費用可得，結合一次函數的性質即可求解.
【解答過程】（1）臨界值時，I級品中該指標小于或等于60的頻率為，
II級品中該指標大于60的頻率為0.1，
故將1個I級品芯片和1個II級芯片分別應用于A型手機和B型手機，
兩部手機有損失的概率為：；
（2）當臨界值時，
I級品中該指標小于或等于臨界值的概率為，
可以估計10000部A型手機中有部手機芯片應用錯誤；
II級品中該指標大于臨界值的概率為，
可以估計10000部B型手機中有部手機芯片應用錯誤；
故可以估計芯片生產商的損失費用
又，所以，
即芯片生產商損失費用的最小值為136萬元.
【變式3-2】（2024·江蘇南通·二模）某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學入選，該班體育老師擔任教練.
(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？
(2)某次傳球基本功訓練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練，老師傳給每位學生的概率都相等，每位學生傳球給同學的概率也相等，學生傳給老師的概率為.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？
【解題思路】（1）法一，利用分步乘法計數原理集合組合數的計算，即可求得答案；法二，利用間接法，即用不考慮隊長人選對甲的限制的所有選法，減去甲擔任隊長的選法，即可得答案；
（2）考慮第一次傳球，老師傳給了甲還是傳給乙、丙、丁中的任一位，繼而確定第二次以及第三次傳球后球回到老師手中的情況，結合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.
【解答過程】（1）法一，先選出隊長，由于甲不擔任隊長，方法數為；
再選出副隊長，方法數也是，故共有方法數為（種）.
方法二 先不考慮隊長人選對甲的限制，共有方法數為（種）；
若甲任隊長，方法數為，故甲不擔任隊長的選法種數為（種）
答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長的選法共有9種.
（2）①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學，其概率為；
第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為，
故這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為：.
②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為，
第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為，
第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為，
這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為，
所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：.
答：前三次傳球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是.
【變式3-3】（2024·云南大理·模擬預測）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個人通過初賽，進入決賽.已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為.
(1)決賽規則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，每場比賽勝者積1分，負者積0分，首先累計到2分者獲得比賽勝利，比賽結束.假設，且每局比賽相互獨立.
（ⅰ）求三人總積分為2分的概率；
（ⅱ）求比賽結束時，三人總積分的分布列與期望
(2)若，假設乙獲得了指定首次比賽選手的權利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優指定策略
【解題思路】（1）（ⅰ）列舉出可能事件，由獨立事件的乘法公式計算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；（ⅱ）列舉出總積分，根據各個積分計算出概率，再根據期望公式即可求解；
（2） 設事件為“第一局乙對丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對甲最終乙獲勝”，
為“第一局甲對丙而最終乙獲勝”，比較大小即可判斷.
【解答過程】（1）（ⅰ）由題意可知，兩場比賽后結束，即甲或乙連續獲得兩場勝利，有兩種情況，；
（ⅱ）由題意可知，，
所以，
，
，
所以三人總積分的分布列為
2 3 4
0.6 0.16 0.24
所以.
（2）設事件為“第一局乙對丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對甲最終乙獲勝”，
為“第一局甲對丙而最終乙獲勝”，其中包含三種情況，
第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；
第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；
第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，
故；
同理可得；
；
顯然，
故，
，
由于，故，
所以，故乙的最優指定策略是讓乙和甲打第一局.
【題型4 條件概率】
【例4】（2024·山西太原·二模）某校高二年級學生中有60%的學生喜歡打籃球，40%的學生喜歡打排球，80%的學生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學生中隨機調查一名學生，若該學生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】應用條件概率公式計算即可.
【解答過程】設在該校高二年級的學生中隨機調查一名學生，若該學生喜歡打籃球為事件A,
在該校高二年級的學生中隨機調查一名學生，則他也喜歡打排球為事件B,
,
.
故選：A.
【變式4-1】（2024高二上·江蘇·專題練習）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【解題思路】根據題意，設某人愛好滑冰為事件，某人愛好滑雪為事件，由古典概型公式求出和，進而由條件概率公式計算可得答案．
【解答過程】根據題意，在該地的中學生中隨機調查一位同學，設選出的同學愛好滑冰為事件，選出的同學愛好滑雪為事件，
由于中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，則,
而同時愛好兩個項目的占，即，
則該同學愛好滑該同學也愛好滑冰的概率為．
故選：A．
【變式4-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）某校春季體育運動會上，甲，乙兩人進行羽毛球項目決賽，約定“五局三勝制”，即先勝三局者獲得冠軍.已知甲、乙兩人水平相當，記事件表示“甲獲得冠軍”，事件表示“比賽進行了五局”，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出，，再根據條件概率公式計算可得.
【解答過程】因為甲、乙兩人水平相當，所以每局比賽甲，乙獲勝的概率都是，
比賽進行了五局，分甲獲勝和乙獲勝兩種情況，則，
又，
所以．
故選：A．
【變式4-3】（2024·湖南長沙·二模）某罐中裝有大小和質地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球.記“第一次摸球時摸到紅球”，“第一次摸球時摸到綠球”，“第二次摸球時摸到紅球”，“第二次摸球時摸到綠球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，利用條件概率的計算公式，以及相互獨立事件的概念和計算，逐項求解，即可求解.
【解答過程】由條件概率的公式，可得或，故C正確；
因為，不相互獨立，所以或，
，所以，所以A錯誤；
因為，
所以，故B錯誤；
由，
則，所以D錯誤.
故選：C.
【題型5 全概率公式】
【例5】（2024·安徽·一模）有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%，任取一個零件，則它是次品的概率（ ）
A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525
【解題思路】根據題意，設任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，根據全概率公式求解.
【解答過程】根據題意，設任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，
則，，，，，
任取一個零件是次品的概率
，
故選：D.
【變式5-1】（2024·內蒙古包頭·三模）設某工廠購進10盒同樣規格的零部件，已知甲廠、乙廠、丙廠分別生產了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三個廠家生產該種零部件的次品率依次為，，，現從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一個零部件，則取得的零部件是次品的概率為（ ）
A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
【解題思路】由全概率公式計算即可求解．
【解答過程】根據題意，設任取一個零件，分別來自甲，乙，丙三廠的事件分別為，設任取一個零件為次品為事件，
則，，
所以
，
故選：C．
【變式5-2】（2024·山東日照·模擬預測）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為，但統計分析結果顯示患病率為，醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為0.01，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為（ ）
A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99
【解題思路】根據題意，由全概率和條件概率的公式計算即可.
【解答過程】設事件為“患有該疾病”，為“化驗結果呈陽性”，
由題意可得，，，
因為，
所以，解得，
所以該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為，
故選：C.
【變式5-3】（2024·陜西寶雞·二模）某位同學家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫囑），則感冒被治愈的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據全概率公式計算可得；
【解答過程】記服用金花清感顆粒為事件，服用蓮花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，
依題意可得，，，，，，
所以
.
故選：C.
【題型6 貝葉斯公式】
【例6】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設出事件，利用條件概率和全概率公式得到，使用貝葉斯公式得到答案.
【解答過程】設檢驗結果呈現陽性為事件，此人患病為事件，
，
，
則.
故選：C.
【變式6-1】（2024·湖南邵陽·三模）甲、乙兩個工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數分別占總數的，，任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由全概率公式算出“任取一個零件，取到的零件是次品”的概率，再由貝葉斯公式即可求解.
【解答過程】設事件“任取一個零件，取到的零件是次品”，“任取一個零件，來自甲工廠”，“任取一個零件，來自乙工廠”，
由題意得，，，．
因為，
所以．
故選：D．
【變式6-2】（2024·江西上饒·模擬預測）越來越多的人喜歡參加戶外極限運動，據調查數據顯示，兩個地區分別有的人參加戶外極限運動，兩個地區的總人口數的比為．若從這兩個地區中任意選取一人，則此人參加戶外極限運動的概率為；若此人參加戶外極限運動，則此人來自地區的概率為，那么（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設事件,分別求出相關事件的概率，利用全概率公式求，利用貝葉斯公式求即可.
【解答過程】設“此人參加戶外極限運動”，“此人來自地區”，“此人來自地區”.
依題意，,
依題意，
；
.
故選：D.
【變式6-3】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假．該鑒偽技術的準確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結果.
【解答過程】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結果為AI”為事件B，
則，
由貝葉斯公式得：，
故選：C．
【題型7 條件概率與其他知識綜合】
【例7】（2024·四川·模擬預測）在某果園的苗圃進行果苗病蟲害調查，隨機調查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度（單位：，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)估計該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(2)估計該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區間的概率；
(3)已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為，果苗高度位于區間的棵數占該果苗總棵數的.從該苗圃中任選一棵高度位于區間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數據中受到病蟲害果苗的高度位于各區間的頻率作為受到病蟲害果苗的高度位于該區間的概率）.
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖中平均數公式求解即可；
（2）求出所給區間上的頻率即可求解；
（3）根據條件概率公式求解即可.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖得該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度為：
.
（2）該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區間的頻率為：.
所以，估計該苗圃一顆受到這種病蟲害的果苗高度位于區間的概率為0.6.
（3）設從苗圃中任選一棵高度位于區間的果苗為事件，該棵果苗受到這種病蟲害為事件，
則.
【變式7-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）2024年誕生的首個網紅城市，非哈爾濱莫屬．從“爾濱”“濱子”“南方小土豆”“廣西砂糖橘”這些雙方間親密、趣味的稱呼和各方的好評可以看出，哈爾濱在這個冰雪季推出的活動很受歡迎和認可．統計數據顯示，今年元旦假期，擁有900多萬常住人口的哈爾濱累計接待游客超過300萬人次，實現旅游總收入59億元，雙雙達到歷史峰值．為了能夠讓游客感到賓至如歸的服務，某校號召學生利用周末從事志愿活動，高三（2）班某學習小組有男生4人，女生2人，現隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協管員、旅游宣傳員、文明監督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為．每人每參加1項活動可獲得綜合評價5分，選擇參加幾項活動彼此互不影響．
(1)在有女生參加活動的條件下，求恰有一名女生參加活動的概率；
(2)記隨機變量為隨機選取的兩人得分之和，求的分布列和數學期望．
【解題思路】（1）利用條件概率公式求解即可.
（2）利用條件概率公式結合全概率公式求出概率，列出分布列，再求數學期望即可.
【解答過程】（1）設有女生參加活動為事件，恰有一名女生參加活動為事件，
所以，，
所以.
（2）設選取的兩人中女生人數為，記為事件，
則，，，
由題意得的可能值為，
得分分別為時我們記為事件,
則，，
，，
，，
，，
，
故 ，
，
，
，
，
，
故分布列見下面表格，
10 15 20 25 30
所以數學期望為.
【變式7-2】（2024·河北衡水·模擬預測）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時間（即發動一次攻擊后需經過一段時間才能再次發動攻擊）.其擁有兩個技能，技能一是每次發動攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發動，該技能可以連續觸發，從而可能連續多次跳過冷卻時間持續發動攻擊；技能二是每次發動攻擊時有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變為原來的2倍，但是多次觸發時效果不可疊加（相當于多次觸發技能二時僅得到第一次觸發帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發動時先判定技能二是否觸發，再判定技能一是否觸發.發動一次攻擊并連續多次觸發技能一而帶來的連續攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發均彼此獨立：
(1)當“突擊者”發動一輪攻擊時，記事件A為“技能一和技能二的觸發次數之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發1次”，求條件概率
(2)設n是正整數，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.
【解題思路】（1）分析試驗過程，分別求出和，利用條件概率的公式直接計算；
（2）分析 “突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.進行次，均不觸發技能二；前面的次觸發技能一，最后一次不觸發技能一；ii.第一次觸發技能二，然后的次觸發技能一，第次未觸發技能一；iii. 前面的次未觸發技能二，然后接著的第次觸發技能二；前面的觸發技能一，第次未觸發技能一. 分別求概率.即可求出.
【解答過程】（1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發；ii .第一次攻擊，技能一觸發，技能二未觸發，第二次攻擊，技能二觸發，技能一未觸發；iii. 第一、二次攻擊，技能一觸發，技能二未觸發，第三次攻擊，技能一、二未觸發；
所以.
.
所以.
（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：
i. 記事件D：進行次，均不觸發技能二；前面的次觸發技能一，最后一次不觸發技能一.其概率為：
ii. 記事件E：第一次觸發技能二，然后的次觸發技能一，第次未觸發技能一.其概率為：
iii. 記事件：前面的次未觸發技能二，然后接著的第次觸發技能二；前面的觸發技能一，第次未觸發技能一. 其概率為：
，
則事件彼此互斥，記，
所以
.
所以
.
【變式7-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統計如下：
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學 9天 6天 12天 3天
張老師 6天 6天 6天 12天
假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望；
(3)假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．
【解題思路】（1）由頻率估計概率，按古典概型進行求解；
（2）先確定隨機變量的可能取值，再求出各值所對應的概率，列出分布列，根據期望的定義求期望；
（3）用條件概率公式進行推理證明.
【解答過程】（1）設事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，
因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數為，
所以．
（2）記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，
則X的所有可能取值為1和2，
所以，
，
所以X的分布列為
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的數學期望．
（3）由題知，所以
所以，
所以，
即，
所以，即.
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知隨機事件A，B相互獨立，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據A，B相互獨立可得，再根據計算即可.
【解答過程】因為事件A，B相互獨立，且，可得，
所以=.
故選：B.
2．（2024·貴州貴陽·二模）某汽修廠倉庫里有兩批同種規格的輪胎，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.現從倉庫中任抽取1個輪胎，則這個輪胎是合格品的概率是（ ）
A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.954
【解題思路】借助全概率公式計算即可得.
【解答過程】設事件為抽中第一批，事件為抽中合格品，
則
.
故選：D.
3．（2024·上海奉賢·二模）有個相同的球，分別標有數字，，，，，從中有放回地隨機取兩次，每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，則（ ）．
A．甲與乙相互獨立 B．乙與丙相互獨立
C．甲與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立
【解題思路】根據題意分別求出事件的概率，再根據相互獨立滿足的概率公式判斷即可.
【解答過程】由題意得，甲，乙，丙， 丁.
對于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲與乙相互獨立，故A正確；
對于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙與丙不是相互獨立，故B不正確；
對于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲與丙不是相互獨立，故C不正確；
對于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙與丁不是相互獨立，故D不正確.
故選：A.
4．（2024·廣西·模擬預測）在某電路上有C，D兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.3，需要更換D元件的概率為0.2，則在某次通電后C，D有且只有一個需要更換的條件下，C需要更換的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】記事件E：在某次通電后C，D有且只有一個需要更換，事件F：C需要更換，由條件概率的計算公式求解即可.
【解答過程】記事件E：在某次通電后C，D有且只有一個需要更換，
事件F：C需要更換，
則，
由條件概率公式可得．
故選：C．
5．（2024·浙江·二模）小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發現自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數列，則小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據貝葉斯公式求得正確答案.
【解答過程】余額恰好成等差數列，即，
其中第天存入元的是，
故所求概率為.
故選：A.
6．（2024·湖南·模擬預測）某校舉辦運動會，其中有一項為環形投球比寒，如圖，學生在環形投擲區內進行投球.規定球重心投擲到區域內得3分，區域內得2分，區域內得1分，投擲到其他區域不得分.已知甲選手投擲一次得3分的概率為0.1，得2分的概率為，不得分的概率為0.05，若甲選手連續投擲3次，得分大于7分的概率為0.002，且每次投擲相互獨立，則甲選手投擲一次得1分的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由已知條件確定，再計算即可得到結果.
【解答過程】由于甲選手投擲3次后，如果得分大于7分，則3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考慮順序），所以其概率.
而已知，故，所以.
從而甲選手投擲一次得1分的概率為.
故選：B.
7．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）把一副洗好的牌（共52張）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻開每一張牌，直到翻出第一張A．記事件A為“翻開第3張牌時出現了第一張A”，事件B為“翻開第4張牌時出現了第一張A”，事件C為“翻開的下一張牌是黑桃A”，事件D為“下一張翻開的牌是紅桃3”，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】A、C選項利用概率的乘法公式即可求解；B、D選項根據題意簡化模型，結合全概率公式分析判斷.
【解答過程】由題意得 ，
故AC均錯誤；
因為與其他牌無關，模型可以簡化為4張A和一張紅桃3，
可知翻出第一張A有如下4種可能：第一張為黑桃A、第一張為非黑桃A也非紅桃3、
第一張為紅桃3且第二張為黑桃A、第一張為紅桃3且第二張為非黑桃A，
其相應的概率分別為，
則，
即，故B正確，D錯誤；
故選：B.
8．（2024·全國·模擬預測）神舟十五號飛行任務是中國載人航天工程2022年的第六次飛行任務，也是中國空間站建造階段最后一次飛行任務，航天員乘組將在軌工作生活6個月.某校為了培養學生們的航天精神，特意舉辦了關于航天知識的知識競賽，競賽一共包含兩輪.高三（9）班派出了和兩位同學代表班級參加比賽，每輪競賽和兩位同學各答1題.已知同學每輪答對的概率是，同學每輪答對的概率是，每輪競賽中和兩位同學答對與否互不影響，每輪結果亦互不影響，則和兩位同學至少答對3道題的概率為（ ）.
A． B． C． D．
【解題思路】分別求出答對4道題，答對3道題的概率，再求和事件的概率即可.
【解答過程】若和兩位同學答對4道題，則其概率為；
若和兩位同學答對3道題，則其概率為；
故和兩位同學至少答對3道題的概率為.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·云南大理·模擬預測）假設是兩個事件，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】A選項，利用條件概率公式得到；B選項，與相互獨立，故；C選項，根據求出答案；D選項，利用條件概率得到.
【解答過程】A選項，因為，，，，
所以，A正確；
B選項，因為事件與相互獨立，所以與相互獨立，
所以，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，因為，所以，D正確.
故選：AD.
10．（2024·貴州貴陽·一模）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是奇數”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是偶數”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（ ）
A．乙發生的概率為 B．丙發生的概率為
C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件
【解題思路】先計算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據獨立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據對立事件的意義可判斷D的正誤.
【解答過程】設A為事件“第一次取出的球的數字是奇數”，B為事件“第二次取出的球的數字是偶數”，C為事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，D為事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則，故A錯；
，故B對；
而，故C對；
兩次取出的數字之和要么為奇數，要么為偶數，故丙與丁互為對立事件，故D正確.
故選：BCD.
11．（2024·廣東佛山·模擬預測）中國象棋是一種益智游戲，也體現博大精深的中國文化.某學校舉辦了一次象棋比賽，李明作為選手參加.除李明之外的其他選手中，甲、乙兩組的人數之比為，李明與甲、乙兩組選手比賽獲勝的概率分別為0.6，0.5.從甲、乙兩組參賽選手中隨機抽取一位棋手與李明比賽，下列說法正確的是（ ）
A．李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為
B．李明獲勝的概率為
C．若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為
D．若李明獲勝，則棋手來自乙組的概率為
【解題思路】對于A，根據概率的乘法公式計算即可；對于B，李明獲勝會受到和甲組比賽或乙組比賽的影響，因此這是一個全概率問題，根據全概率公式計算即可；對于C、D，根據條件概率并結合B選項求解即可.
【解答過程】設事件A為“李明與甲組選手比賽”，事件B為“李明與乙組選手比賽”，事件C為“李明獲勝”，
則由題可知，
對于A，李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為，故A正確；
對于B，李明獲勝的概率為，
故B正確；
對于C，若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為，故C正確；
對于D，若李明獲勝，則棋手來自乙組的概率為，
故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024·山東泰安·模擬預測）已知，則 ．
【解題思路】根據條件概率公式及和事件的概率公式求解即可.
【解答過程】由條件概率公式得
再由，得=，
所以．
故答案為：.
13．（2024·廣西來賓·模擬預測）甲 乙 丙三名工人加工同一型號的零件，甲加工的正品率為，乙加工的正品率為，丙加工的正品率為，加工出來的零件混放在一起.已知甲 乙加工的零件數相同，丙加工的零件數占總數的.現任取一個零件，則它是正品的概率為 .
【解題思路】由題意結合全概率公式即可直接計算得解.
【解答過程】由題得甲、乙、丙加工的零件數分別占總數的、、，
所以現任取一個零件，由全概率可得它是正品的概率為.
故答案為：.
14．（2024·江西南昌·二模）一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）. 已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為 .
【解題思路】根據題意可知，甲抽中的前三題按題型概率不同有四種組合，可用組合數依次計算每種組合的概率，然后根據每種組合中每題是否答對為獨立事件，,可依次計算每種組合下全部答對的概率，最后相加即可.
【解答過程】甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：
抽中，剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對，則概率為：
；
抽中，且全部答對，則概率為：
；
抽中A，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：
；
抽中B，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：
.
所以甲前3個題全答對的概率為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·貴州遵義·模擬預測）已知4臺車床加工的同一種零件共計1000件，其中第一臺加工200件，次品率為5%；第二臺加工250件，次品率為6%；第三臺加工250件，次品率為8%；第四臺加工300件，次品率為10%.現從這1000件零件中任取一個零件.
(1)求取到的零件是次品的概率；
(2)若取到的零件是次品，求它是第（其中）臺車床加工的零件的概率.
【解題思路】（1）用樣本估計總體，由所有次品總數除以1000即可得；
（2）求出各臺機床產生的次品數，分別除以總次品數即可得．
【解答過程】（1）由題意所求概率為；
（2）由題意第一臺車床加工的零件中次品數約為，第二臺車床加工的零件中次品數約為，
第三臺車床加工的零件中次品數約為，第四臺車床加工的零件中次品數約為，
，
所以取到的零件是次品，它是第一臺車床加工的零件的概率為，它是第二臺車床加工的零件的概率為，
它是第三臺車床加工的零件的概率為，它是第四臺車床加工的零件的概率為．
16．（2024·陜西安康·模擬預測）近兩年旅游業迎來強勁復蘇，外出旅游的人越來越多．A，B兩家旅游公司過去6個月的利潤率統計如下：
A公司 3 2 1
B公司 2 2 2
利潤率，盈利為正，虧損為負，且每個月的成本不變．
(1)比較A，B兩公司過去6個月平均每月利潤率的大小；
(2)用頻率估計概率，且假設A，B兩公司每個月的盈利情況是相互獨立的，求未來的某個月A，B兩公司至少有一家盈利的概率．
【解題思路】(1)根據題意，進行計算即可；
(2)由題知與相互獨立，進行求解即可.
【解答過程】（1）A公司過去6個月平均每月的利潤率為，
B公司過去6個月平均每月的利潤率為，
因為，
所以A公司過去6個月平均每月的利潤率大于B公司過去6個月平均每月的利潤率．
（2）A公司過去6個月盈利的頻率為，
B公司過去6個月盈利的頻率為，
用頻率代替概率，可知A，B兩公司未來某個月盈利的概率分別為．
設A，B兩公司盈利分別為事件，，由題知與相互獨立，
所以所求概率為．
17．（2024·新疆烏魯木齊·二模）某果園產蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．
(1)若選擇分層抽樣，抽出100個蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計果園蘋果的單果平均重量、方差；
(2)現用一臺分選機進行篩選，已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經過分選機篩選后，現從篩選出來的“大果”里隨機抽取一個，問這個“大果”是真的大果的概率．
【解題思路】（1）根據各層均值、方差與總體均值、方差的關系式可求果園蘋果的單果平均重量、方差；
（2）根據全概率公式可求“大果”是真的大果的概率.
【解答過程】（1）個蘋果中，大果的個數為，小果的個數為，
設大果的單果平均重量為，方差為，小果的單果平均重量為，方差為，
則，，，，
則100個蘋果的平均重量為，
100個蘋果的方差為：
.
故估計果園蘋果的單果平均重量為、方差為；
（2）記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，
記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，則“大果是真大果”為，
則，，，，
由全概率公式可得：
，
，
因此，.
18．（2024·陜西銅川·三模）學校團委和工會聯合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經多輪比賽后，由教師甲 乙作為代表進行決賽.決賽共設三個項目，每個項目勝者得10分，負者得分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結果相互獨立.甲 乙獲得冠軍的概率分別記為.
(1)求甲教師總得分為0分的概率；
(2)判斷甲 乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若，則認為甲 乙獲得冠軍的實力有明顯差別，否則認為沒有明顯差別.）.
【解題思路】（1）應用互斥事件的概率計算求解；
（2）應用對立事件結合互斥事件求概率，再根據新定義計算判斷下結論.
【解答過程】（1）甲教師總得分為0分，
甲教師在三個項目比賽中贏一項輸兩項.
所求概率為.
（2）不妨設教師甲在三個項目中獲勝的事件依次為，
則教師甲獲得冠軍的概率
，
則教師乙獲得冠軍的概率，
，
，
甲 乙獲得冠軍的實力沒有明顯差別.
19．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續選擇銀耳羹的概率為，如此往復．
(1)求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；
(2)記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數列；
(3)求從第1天到第10天中，該同學選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數．
【解題思路】（1）利用條件概率公式計算即得；
（2）利用全概率公式列式，再利用構造法證明即得；
（3）由（2）求出數列的通項公式，再分奇偶解不等式得解．
【解答過程】（1）設表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，
根據題意得，，
所以．
（2）設表示第天選擇綠豆湯，則，
根據題意得，，
由全概率公式得， ，
即，整理得，，又，
所以是以為首項，為公比的等比數列．
（3）由（2）得，，
由題意，只需，即，
則，即，
顯然必為奇數，為偶數時不成立，
當時，考慮的解，
當時，顯然成立，
當時，，不成立，
由單調遞減得，時，也不成立，
綜上，該同學只有1天選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹的概率．
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