資源簡介

專題10.7 離散型隨機變量及其分布列、數字特征【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 離散型隨機變量的判斷】 3
【題型2 分布列的性質】 4
【題型3 分布列的求法】 5
【題型4 離散型隨機變量的均值】 7
【題型5 離散型隨機變量的方差】 8
【題型6 均值與方差中的決策問題】 10
【題型7 離散型隨機變量與其他知識綜合】 12
1、離散型隨機變量及其分布列、數字特征
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念 (2)理解并會求離散型隨機變量的數字特征 2023年新高考I卷：第21題，12分 2023年全國甲卷（理數）：第19題，12分 2023年北京卷：第18題，13分 2024年新高考Ⅱ卷：第18題，17分 2024年北京卷：第18題，13分 從近幾年的高考情況來看，本節是高考的重點、熱點內容，主要考查離散型隨機變量的分布列、期望與方差等，主要以解答題的形式考查，有時會與概率、統計、獨立性檢驗等結合考查，難度中等，復習時需要加強這方面的練習，靈活求解.
【知識點1 離散型隨機變量及其分布列】
1．隨機變量與離散型隨機變量
(1)隨機變量
①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數X()與之對應，我們
稱X為隨機變量.
②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.
2．離散型隨機變量的分布列
(1)定義
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個值的概率P(X=)=
，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡稱分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.
(3)離散型隨機變量分布列具有的兩個性質
①0，i=1，2，，n；
②+++=1.
3．離散型隨機變量分布列的性質的應用
(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數的值.
(2)利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.
4．離散型隨機變量分布列的求解步驟
第一步，明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；
第二步，求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率；
第三步，畫表格：按規范要求形式寫出分布列；
第四步，做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確.
【知識點2 離散型隨機變量的數字特征】
1．離散型隨機變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
則稱E(X)=+++++為離散型隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱
期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機變量的期望應注意：
①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是
不變的，它描述X取值的平均狀態.
③均值與隨機變量有相同的單位.
2．離散型隨機變量的方差、標準差
(1)定義
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
則稱D(X)=+++=為隨機變量X
的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為(X).
(2)意義
隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程
度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
3．均值與方差的性質
(1)均值的性質
若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特別地，當a=0時，E(b)=b；
當a=1時，E(X+b)=E(X)+b；
當b=0時，E(aX)=aE(X).
(2)方差的有關性質
當a，b均為常數時，隨機變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特別地，當a=0時，D(b)=0；當a=1時，D(X+b)=D(X)；
當b=0時，D(aX)=D(X).
4．求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟
(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每個值的概率.
(3)寫出ξ的分布列.
(4)由均值的定義求E(ξ).
(5)由方差的定義求D(ξ).
【方法技巧與總結】
1．E(k)=k，D(k)=0，其中k為常數.
2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
3．D(X)=E(X2)-(E(X))2.
4．若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
【題型1 離散型隨機變量的判斷】
【例1】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的是（ ）
①某食堂在中午半小時內進的人數； ②某元件的測量誤差；
③小明在一天中瀏覽網頁的時間； ④高一2班參加運動會的人數；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【變式1-1】（23-24高二下·江蘇·課前預習）下列隨機變量是離散型隨機變量的個數是（ ）
①擲一顆骰子出現的點數；
②投籃一次的結果；
③某同學在12：00至12：30到校的時間；
④從含有50件合格品、10件次品的產品中任取3件，其中合格品的件數.
A．1 B．2
C．3 D．4
【變式1-2】（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電子元件的壽命
B．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數
C．某人早晨在車站等出租車的時間
D．測量某零件的長度產生的測量誤差
【變式1-3】（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機變量：
①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；
②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；
③某派出所一天內接到的報警電話次數；
④某同學上學路上離開家的距離．
其中是離散型隨機變量的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型2 分布列的性質】
【例2】（23-24高二下·云南保山·階段練習）隨機變量的分布列如下表所示，且，則（ ）
0 1 2 3
0.1 0.1
A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0
【變式2-1】（23-24高二下·重慶長壽·期末）設實數，隨機變量的分布列是：
0 1
P
則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【變式2-2】（2024·安徽滁州·模擬預測）泊松分布是統計學里常見的離散型概率分布，由法國數學家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數服從參數為的泊松分布，若該線路某站臺的候車人數為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（23-24高二下·全國·期末）離散型隨機變量X的分布列中部分數據丟失，丟失數據以x，代替，分布列如下：則 （ ）
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
【題型3 分布列的求法】
【例3】（2024·湖北黃岡·二模）某校高三年級擬派出甲 乙 丙三人去參加校運動會跑項目.比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，其中
(1)甲 乙 丙三人中，誰進入決賽的可能性最大；
(2)若甲 乙 丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求的值；
(3)在（2）的條件下，設進入決賽的人數為，求的分布列.
【變式3-1】（2024·浙江·模擬預測）現有一拋硬幣游戲機制：假設拋中正、反面可能性均為，若拋中的是正面，則收益的手中金額；否則虧損的手中金額.甲同學按此規則進行多組模擬，拋硬幣次，發現最終虧損的次數多于盈利的次數.假設初始金額為元，記為拋硬幣次數，為經歷次拋硬幣后手中的金額.
(1)若，求的分布列；
(2)如圖，橫坐標表示，縱坐標表示，在圖中描出所有可能取值對應的，并求出當、1、2、3時盈利的概率；
(3)綜合（1）（2）數據，簡要說明形成甲同學的實驗現象的原因（直接寫結論）.
【變式3-2】（2024·河南·二模）盒中裝有大小相同的7個小球，其中2個黑球，3個紅球，2個白球.規定：取到1個黑球得0分，取到1個紅球得1分，取到1個白球得2分.現一次性從盒中任取3個小球.
(1)求取出的3個小球中至少有2個紅球的概率；
(2)用隨機變量表示取出的3個小球得分之和，求的分布列.
【變式3-3】（2024·遼寧·一模）在統計學的實際應用中，除了中位數外，經常使用的是25%分位數（簡稱為第一四分位數）與75%分位數（簡稱為第三四分位數），四分位數應用于統計學的箱型圖繪制，是統計學中分位數的一種，即把所有數值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數值就是四分位數，箱型圖中“箱體”的下底邊對應數據為第一四分位數，上底邊對應數據為第三四分位數，中間的線對應中位數，已知甲、乙兩班人數相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.
(1)由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結論即可，不用說明理由）
(2)若在兩班中隨機抽取一人，發現他的分數小于128分，則求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少？
(3)據統計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學習經驗交流，3人中來自乙班的人數為，求的分布列.
【題型4 離散型隨機變量的均值】
【例4】（2024·全國·模擬預測）從1-20中隨機抽取3個數，記隨機變量為這3個數中相鄰數組的個數．如當這三個數為11，12，14時，；當這三個數為7，8，9時，．則的值為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知某多選題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．若選項中有（其中）個選項符合題目要求，記隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數為隨機變量，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）某學校舉行數學學科知識競賽，第一輪選拔共設有，，，，五道題，規則為每位參賽者依次回答這五道題，每答對一題加20分，答錯一題減10分；若連續答錯兩道題或五道題全部答完，則第一輪選拔結束．假設參賽者甲同學答對，，，，的概率分別為，，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
(1)記為甲同學本輪答題比賽結束時已答題的個數，求的分布列及數學期望；
(2)第一輪比賽結束后，若參賽者在第一輪出現過連續答對三道題或總分不低于70分，則可進入下一輪選拔，求甲同學能進入下一輪的概率．
【變式4-3】（2024·海南·模擬預測）某自助餐廳為了鼓勵消費，設置了一個抽獎箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的獎券各3張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎券，最終餐廳將在結賬時按照3張獎券中最優惠的折扣進行結算.
(1)求一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原價為100元/位，記一位顧客最終結算時的價格為，求的分布列及數學期望 .
【題型5 離散型隨機變量的方差】
【例5】（2024·陜西西安·模擬預測）已知某隨機變量的分布列如圖表，則隨機變量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
【變式5-1】（2024·廣東廣州·二模）設，隨機變量取值的概率均為0.2，隨機變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（ ）
A．
B．
C．
D．與的大小關系與的取值有關
【變式5-2】（2024·河南鄭州·模擬預測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．
(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．
【變式5-3】（2024·湖南長沙·三模）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措 是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程. 某校為 確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支 持情況，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如表:
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支 持相互獨立.
(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望;
(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.
【題型6 均值與方差中的決策問題】
【例6】（2025·甘肅張掖·模擬預測）為增加學生對于籃球運動的興趣，學校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比賽的規則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的三個位置分別投籃一次．在三個位置均投進得10分；在處投進，且在兩處至少有一處未投進得7分；其余情況（包括三處均不投進）保底得4分．已知小王在三處的投籃命中率分別為，且在三處的投籃相互獨立．
(1)設為小王同學在第一輪比賽的得分，求的分布列和期望；
(2)若第二輪比賽中設置兩種參賽方法．方法1：按第一輪比賽規則進行比賽；方法2：選手可以選擇在處縮短投籃距離0.5米，但得分會減少分．選手可以任選一種規則參加比賽．若小王在處縮短投籃距離0.5米后，投籃命中率會增加．請你根據統計知識，幫助小王同學選擇采用哪種方法參加比賽更好．
【變式6-1】（23-24高二下·福建泉州·階段練習）年九省聯考后很多省份宣布高考數學采用新的結構，多選題由道減少到道，分值變為一題分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全部選對得分，有錯選或全不選的得分若正確答案是“兩項”的，則選對個得分若正確答案是“三項”的，則選對個得分，選對個得分某數學興趣小組研究答案規律發現，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為其中．
(1)在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若 ，求學生甲該題得分的概率
(2)針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：
Ⅰ 隨機選一個選項 Ⅱ 隨機選兩個選項 Ⅲ 隨機選三個選項．
若 ，且學生甲選擇方案Ⅰ，求本題得分的數學期望
以本題得分的數學期望為決策依據，的取值在什么范圍內唯獨選擇方案Ⅰ最好
【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現設置300萬元獎金，若甲在前3局中已經勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的，如果再繼續比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的，第4局甲失敗，甲拿走獎金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎金．
【變式6-3】（2024·湖北·二模）數學多選題的得分規則是：每小題的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對按比例得分，有選錯得0分，小明根據大量的多選題統計得到：多選題正確的選項共有四個的概率為0，正確選項共有兩個的概率為p（）
(1)現有某個多選題，小明完全不會，他有兩種策略，策略一：在A、B、C、D四個選項中任選一個選項；策略二：在A、B、C、D四個選項中任選兩個選項，求小明分別采取這兩個策略時小明得分的期望；
(2)若有一個多選題，小明發現A正確，B、C、D選項他不會判斷，現在他也有兩個策略，策略一：．選A和B、C、D中的任一個，策略二：選A和B、C、D中的任意2個，在的條件下，判斷小明該選擇哪個策略.
【題型7 離散型隨機變量與其他知識綜合】
【例7】（2024·河北唐山·二模）某學校組織游戲活動，規則是學生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．
(1)若學生甲摸球2次，其總得分記為，求隨機變量的分布列與期望；
(2)學生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．
【變式7-1】（2024·重慶渝中·模擬預測）為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯表（單位：只）：
藥物 疾病 合計
未患病 患病
未服用 50 40
服用
合計 75 200
(1)請將上面的列聯表補充完整；
(2)依據的獨立性檢驗，能否認為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結論；
(3)為了進一步研究，現按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機抽取4只，設其中未服用藥物的動物數為，求的分布列及期望.
附表及公式：.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）植物迷宮源自于西方國家，在西方國家十分盛行，發展到現在，已經是西方園林植物文化的代表之一．目前植物迷宮的發展已經遍布世界各地，最大的、最長的、最復雜的等等迷宮形式已經成為各大以鄉村或農業等為主打的景區，吸引游客的一項重要手段．某鄉鎮為發展旅游業，欲打造植物迷宮，現就蔬菜迷宮、糧食迷宮兩款征詢90名村民代表的意見（每人可選一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例為，得到相關統計數據如下：
支持蔬菜迷宮 支持糧食迷宮 中立（兩種均可）
人數 45 30 15
(1)根據村民代表的意見，利用分層隨機抽樣的方法抽取12名村民代表，再從這12人中隨機抽取4人，記其中支持糧食迷宮的人數為，求的分布列與數學期望．
(2)在90名村民代表中，蔬菜種植能手與糧食種植能手的相關統計數據如下，其中為正整數，且．
男村民代表 女村民代表
蔬菜種植能手 40 10
糧食種植能手
現從這90名村民代表中任選一名去參與迷宮設計討論，記事件為“選到的為女村民代表”，事件為“選到的為糧食種植能手”．若事件與事件相互獨立，求的值．
【變式7-3】（2024·四川成都·模擬預測）某機構為了解2023年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網購消費金額（單位：千元）進行了統計，所統計的金額均在區間，內，并按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中的值；
(2)若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全列聯表，并判斷是否有的把握認為樣本數據中網購迷與性別有關系？說明理由．
男 女 合計
網購迷 20
非網購迷 47
合計
(3)若甲、乙兩位網購迷網購時支付方式采用軟件支付分概率分別為，采用其它支付方式的概率分別為，且甲、乙兩人網購時采用支付方式相互獨立．在甲、乙各自獨立完成的2次網購中，記甲、乙兩人支付方式采用支付的次數分別為，，令，求的分布列和數學期望
下面的臨界值表僅供參考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（參考公式：，其中
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電子元件的壽命
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數
D．測量某零件的長度產生的測量誤差
2．（2024·上海浦東新·三模）以下能夠成為某個隨機變量分布的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模擬預測）若隨機變量的可能取值為，且（），則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機變量的分布列如下（為常數）：
0 1 2
0.3
則（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
5．（2024·浙江溫州·一模）已知離散型隨機變量的分布列如下表所示.
則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江·模擬預測）已知隨機變量的分布列如下表，則下列方差值最大的是（ ）
0 1
A． B． C． D．
7．（2024·湖南·模擬預測）有一枚質地均勻點數為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數的概率均等，現在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數與最小點數之差，則X的數學期望（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·上海閔行·三模）設，，是不全相等的實數，隨機變量取值為，，的概率都是，隨機變量取值為，，的概率也都是，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西河池·階段練習）已知隨機變量的分布列如下表：
-1 0 1 2
若，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·安徽阜陽·模擬預測）設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（ ）
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
A． B．，
C．， D．，
11．（2024·海南·模擬預測）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場電子競技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結果相互獨立，則（ ）
A．若，，則甲最終獲勝的概率為
B．若，，記決賽進行了局，則
C．若，，記決賽進行了局，則
D．若比時對甲更有利，則
三、填空題
12．（2024·云南曲靖·一模）已知隨機變量，若，則p＝ ．
13．（2024·四川南充·一模）某一隨機變量X的分布列如下表，且，則 .
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
14．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）高三開學，學校舉辦運動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側.因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側已經擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘之間至少要有一名同學的規則.高三(一)班共有七名女生現在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，現在考慮在她們中間添置三個遮陽傘.則添置遮陽傘后，曬黑女生人數的數學期望為
.
四、解答題
15．（2024·寧夏銀川·二模）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗;如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗;其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．
假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立
(1)求這批產品通過檢驗的概率;
(2)已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元)，求X的分布列．
16．（2024·福建廈門·模擬預測）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉發給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當前的紅包轉發給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設A、B、C猜中的概率分別為，，，且A、B、C是否猜中互不影響．
(1)求A恰好獲得8元的概率；
(2)設A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數學期望．
17．（2024·安徽六安·三模）為迎接2024新春佳節，某地4S店特推出盲盒抽獎營銷活動中，店家將從一批汽車模型中隨機抽取50個裝入盲盒用于抽獎，已知抽出的50個汽車模型的外觀和內飾的顏色分布如下表所示.
紅色外觀 藍色外觀
棕色內飾 20 10
米色內飾 15 5
(1)從這50個模型中隨機取1個，用表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用表示事件“取出的模型內飾為米色”，求和，并判斷事件與是否相互獨立；
(2)活動規定：在一次抽獎中，每人可以一次性拿2個盲盒.對其中的模型給出以下假設：假設1：拿到的2個模型會出現3種結果，即外觀和內飾均為同色、外觀和內飾都異色以及僅外觀或僅內飾同色.假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高.假設3：該抽獎活動的獎金額為一等獎3000元、二等獎2000元、三等獎1000元.請你分析獎項對應的結果，設為獎金額，寫出的分布列并求出的期望（精確到元）.
18．（2024·安徽·一模）高三聯考數學試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設一套數學試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：
(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數學期望為3，求p；
(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？
19．（2024·遼寧錦州·模擬預測）甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結果相互獨立．
(1)若，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；
(2)當時，
（i）若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數的分布列及期望的最大值；
（ii）若比賽不限制局數，求“甲學員贏得比賽”的概率（用表示）．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題10.7 離散型隨機變量及其分布列、數字特征【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 離散型隨機變量的判斷】 3
【題型2 分布列的性質】 5
【題型3 分布列的求法】 7
【題型4 離散型隨機變量的均值】 11
【題型5 離散型隨機變量的方差】 14
【題型6 均值與方差中的決策問題】 17
【題型7 離散型隨機變量與其他知識綜合】 22
1、離散型隨機變量及其分布列、數字特征
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念 (2)理解并會求離散型隨機變量的數字特征 2023年新高考I卷：第21題，12分 2023年全國甲卷（理數）：第19題，12分 2023年北京卷：第18題，13分 2024年新高考Ⅱ卷：第18題，17分 2024年北京卷：第18題，13分 從近幾年的高考情況來看，本節是高考的重點、熱點內容，主要考查離散型隨機變量的分布列、期望與方差等，主要以解答題的形式考查，有時會與概率、統計、獨立性檢驗等結合考查，難度中等，復習時需要加強這方面的練習，靈活求解.
【知識點1 離散型隨機變量及其分布列】
1．隨機變量與離散型隨機變量
(1)隨機變量
①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數X()與之對應，我們
稱X為隨機變量.
②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.
2．離散型隨機變量的分布列
(1)定義
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個值的概率P(X=)=
，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡稱分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.
(3)離散型隨機變量分布列具有的兩個性質
①0，i=1，2，，n；
②+++=1.
3．離散型隨機變量分布列的性質的應用
(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數的值.
(2)利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.
4．離散型隨機變量分布列的求解步驟
第一步，明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；
第二步，求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率；
第三步，畫表格：按規范要求形式寫出分布列；
第四步，做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確.
【知識點2 離散型隨機變量的數字特征】
1．離散型隨機變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
則稱E(X)=+++++為離散型隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱
期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機變量的期望應注意：
①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是
不變的，它描述X取值的平均狀態.
③均值與隨機變量有相同的單位.
2．離散型隨機變量的方差、標準差
(1)定義
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
則稱D(X)=+++=為隨機變量X
的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為(X).
(2)意義
隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程
度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
3．均值與方差的性質
(1)均值的性質
若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特別地，當a=0時，E(b)=b；
當a=1時，E(X+b)=E(X)+b；
當b=0時，E(aX)=aE(X).
(2)方差的有關性質
當a，b均為常數時，隨機變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特別地，當a=0時，D(b)=0；當a=1時，D(X+b)=D(X)；
當b=0時，D(aX)=D(X).
4．求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟
(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每個值的概率.
(3)寫出ξ的分布列.
(4)由均值的定義求E(ξ).
(5)由方差的定義求D(ξ).
【方法技巧與總結】
1．E(k)=k，D(k)=0，其中k為常數.
2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
3．D(X)=E(X2)-(E(X))2.
4．若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
【題型1 離散型隨機變量的判斷】
【例1】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的是（ ）
①某食堂在中午半小時內進的人數； ②某元件的測量誤差；
③小明在一天中瀏覽網頁的時間； ④高一2班參加運動會的人數；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【解題思路】根據給定條件，利用離散型隨機變量的定義分析各命題，再判斷作答.
【解答過程】對于①，某食堂在中午半小時內進的人數可以一一列舉出來，故①是離散型隨機變量；對于②，某元件的測量誤差不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機變量；
對于③，小明在一天中瀏覽網頁的時間不能一一列舉出來，故③不是離散型隨機變量；對于④，高一2班參加運動會的人數可以一一列舉出來，故④是離散型隨機變量；
故選：D.
【變式1-1】（23-24高二下·江蘇·課前預習）下列隨機變量是離散型隨機變量的個數是（ ）
①擲一顆骰子出現的點數；
②投籃一次的結果；
③某同學在12：00至12：30到校的時間；
④從含有50件合格品、10件次品的產品中任取3件，其中合格品的件數.
A．1 B．2
C．3 D．4
【解題思路】根據離散型隨機變量的定義逐個分析即可.
【解答過程】①中骰子出現的點數為1，2，3，4，5，6，可以一一列舉出來.
②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，
則也可以一一列舉出來.
④中所取3件產品的合格品數可能為0，1，2，3，共4種情況，
可以一一列舉出來.
③中學生到校時間可以是12：00到12：30中的任意時刻，
不能一一列舉出來，因此③不是離散型隨機變量，
故只有①②④滿足.
故選：C.
【變式1-2】（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電子元件的壽命
B．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數
C．某人早晨在車站等出租車的時間
D．測量某零件的長度產生的測量誤差
【解題思路】根據離散型隨機變量的定義直接求解.
【解答過程】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；
一小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；
等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；
測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量．
故選：B．
【變式1-3】（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機變量：
①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；
②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；
③某派出所一天內接到的報警電話次數；
④某同學上學路上離開家的距離．
其中是離散型隨機變量的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據離散型隨機變量的定義判斷即可.
【解答過程】對于①，十分鐘內經過的車輛數可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；
對于②，沿軸進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；
對于③，一天內接到的報警電話次數可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；
對于④，某同學上學路上離開家的距離可為某一區間內的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，
所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．
故選：B．
【題型2 分布列的性質】
【例2】（23-24高二下·云南保山·階段練習）隨機變量的分布列如下表所示，且，則（ ）
0 1 2 3
0.1 0.1
A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0
【解題思路】根據分布列的性質即可求解.
【解答過程】由分布列的性質可得，，即，，
故選：D.
【變式2-1】（23-24高二下·重慶長壽·期末）設實數，隨機變量的分布列是：
0 1
P
則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】利用分布列中，概率之和為1求解.
【解答過程】解：因為，
所以，
故選：A.
【變式2-2】（2024·安徽滁州·模擬預測）泊松分布是統計學里常見的離散型概率分布，由法國數學家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數服從參數為的泊松分布，若該線路某站臺的候車人數為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據候車人數為2和3的概率相等求出參數，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.
【解答過程】由題意可知，即解得，
所以，
從而，
故該線路公交車兩個站臺各有1個乘客候車的概率為.
故選：D.
【變式2-3】（23-24高二下·全國·期末）離散型隨機變量X的分布列中部分數據丟失，丟失數據以x，代替，分布列如下：則 （ ）
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
【解題思路】根據概率之和為1得到方程組，求出，得到答案.
【解答過程】由題意得，解得，
，解得，
故.
故選：B.
【題型3 分布列的求法】
【例3】（2024·湖北黃岡·二模）某校高三年級擬派出甲 乙 丙三人去參加校運動會跑項目.比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，其中
(1)甲 乙 丙三人中，誰進入決賽的可能性最大；
(2)若甲 乙 丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求的值；
(3)在（2）的條件下，設進入決賽的人數為，求的分布列.
【解題思路】（1）利用相互獨立事件的概率公式分別求出甲乙丙進入決賽的概率，再比較大小即可.
（2）利用互斥事件的加法公式及相互獨立事件的概率公式，列式解方程即得.
（3）利用（2）的結論，求出的可能值及對應的概率列出分布列.
【解答過程】（1）甲進入決賽的概率為，乙進入決賽的概率為，
丙進入決賽的概率為，而，則，
所以甲進入決賽的可能性最大.
（2）甲 乙 丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為
，
整理可得，而，所以.
（3）依題意，甲 乙 丙進入決賽的概率分別為，
隨機變量的可能取值有，
，
，
所以隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
【變式3-1】（2024·浙江·模擬預測）現有一拋硬幣游戲機制：假設拋中正、反面可能性均為，若拋中的是正面，則收益的手中金額；否則虧損的手中金額.甲同學按此規則進行多組模擬，拋硬幣次，發現最終虧損的次數多于盈利的次數.假設初始金額為元，記為拋硬幣次數，為經歷次拋硬幣后手中的金額.
(1)若，求的分布列；
(2)如圖，橫坐標表示，縱坐標表示，在圖中描出所有可能取值對應的，并求出當、1、2、3時盈利的概率；
(3)綜合（1）（2）數據，簡要說明形成甲同學的實驗現象的原因（直接寫結論）.
【解題思路】（1）根據條件知的可能取值為，再求出相應的概率，即可求出結果；
（2）通過取一些特殊值，即可得到部分圖象，再根據條件，即可求出、1、2、3時盈利的概率；
（3）根據題設條件，即可寫出結果.
【解答過程】（1）易知的可能取值為，
，，
，
所以的分布列為
25 90 324
（2）當時，，當時，或，
當時，的可能取值為，，所以圖象如下圖
易知，，，.
（3）越大，最終手中金額大于初始金額的概率會越小，則最終虧損的可能性越大，最后虧損的組數多于盈利的組數，即甲同學實驗現象（答案不唯一）.
【變式3-2】（2024·河南·二模）盒中裝有大小相同的7個小球，其中2個黑球，3個紅球，2個白球.規定：取到1個黑球得0分，取到1個紅球得1分，取到1個白球得2分.現一次性從盒中任取3個小球.
(1)求取出的3個小球中至少有2個紅球的概率；
(2)用隨機變量表示取出的3個小球得分之和，求的分布列.
【解題思路】（1）根據古典概型的概率公式可得,即可利用超幾何分布的概率公式求解；
（2）利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.
【解答過程】（1）共有種不同的取法，事件表示取出3個小球中至少有2個紅球，包含兩種；
（2）隨機變量的可能取值為，
，
，
，
，
.
則隨機變量的分布列為：
1 2 3 4 5
【變式3-3】（2024·遼寧·一模）在統計學的實際應用中，除了中位數外，經常使用的是25%分位數（簡稱為第一四分位數）與75%分位數（簡稱為第三四分位數），四分位數應用于統計學的箱型圖繪制，是統計學中分位數的一種，即把所有數值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數值就是四分位數，箱型圖中“箱體”的下底邊對應數據為第一四分位數，上底邊對應數據為第三四分位數，中間的線對應中位數，已知甲、乙兩班人數相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.
(1)由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結論即可，不用說明理由）
(2)若在兩班中隨機抽取一人，發現他的分數小于128分，則求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少？
(3)據統計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學習經驗交流，3人中來自乙班的人數為，求的分布列.
【解題思路】（1）根據甲乙兩班成績箱型圖中的中位數，第三四分位數和第一四分位數的位置可以判斷結果；
（2）依題知這是條件概率問題，分別設出從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數低于128分為事件”，則需要求和，而這需要先求和，再根據全概率公式求出，最后用貝葉斯公式求解即得；
（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每個值對應的概率，即得的分布列.
【解答過程】（1）由兩班成績箱型圖可以看出，甲班成績得中位數為128，而乙班的第三四分位數使128，同時，甲班的第一四分位數明顯高于乙班，由此估計甲班平均分較高.
（2）由圖可知，甲班中有的學生分數低于128分；
乙班中有的學生分數低于128分
設從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數低于128分為事件”，
則，，，，
所以，該同學來自甲乙兩班的概率分別為，.
（3）依題的所有可能取值為0，1，2，3
，
，
所以的分布列為：
【題型4 離散型隨機變量的均值】
【例4】（2024·全國·模擬預測）從1-20中隨機抽取3個數，記隨機變量為這3個數中相鄰數組的個數．如當這三個數為11，12，14時，；當這三個數為7，8，9時，．則的值為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【解題思路】隨機變量的取值為0,1,2，結合變量對應的事件寫出概率，算出期望．
【解答過程】隨機變量的取值為0,1,2，
當時，所取的三個數中僅兩個數相鄰，其中取1,2和19,20，對應取法為17種，其余17情況取法為16種，
，
當時，即所取的三個數中兩兩相鄰，取法有18種，，
所以當時，即所取的三個數彼此不相鄰，取法有種，
，
.
故選：B.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知某多選題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．若選項中有（其中）個選項符合題目要求，記隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數為隨機變量，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】由題意可知：當至少選擇一個選項時，共有（種）可能，根據期望的定義分別求，進而分析判斷.
【解答過程】由題意可知：當至少選擇一個選項時，共有（種）可能，
因為可取0，2，5，
且 ，
所以．
又因為可取0，2，5，
且，
所以．
而可取2，5，且，則，
所以；
即，所以，故D正確．
故選：D．
【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）某學校舉行數學學科知識競賽，第一輪選拔共設有，，，，五道題，規則為每位參賽者依次回答這五道題，每答對一題加20分，答錯一題減10分；若連續答錯兩道題或五道題全部答完，則第一輪選拔結束．假設參賽者甲同學答對，，，，的概率分別為，，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
(1)記為甲同學本輪答題比賽結束時已答題的個數，求的分布列及數學期望；
(2)第一輪比賽結束后，若參賽者在第一輪出現過連續答對三道題或總分不低于70分，則可進入下一輪選拔，求甲同學能進入下一輪的概率．
【解題思路】（1）根據題意列出甲同學本輪答題比賽結束時已答題的個數的可能取值，然后分別算出其概率，即可得出的分布列和數學期望；
（2）依據題意，列舉甲同學能進入下一輪的情況，然后利用相互獨立事件的概率公式分別算出其概率，即可得出答案.
【解答過程】（1）由題可得可能取值為：2，3，4，5
，
的分布列如下：
2 3 4 5
所以
（2）設，，，，分別代表第1，2，3，4，5個問題，
用表示甲同學第個問題回答正確；
用表示甲同學第個問題回答錯誤；
由題意得，，，，，
記甲同學能進入下一輪為事件
則
.
【變式4-3】（2024·海南·模擬預測）某自助餐廳為了鼓勵消費，設置了一個抽獎箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的獎券各3張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎券，最終餐廳將在結賬時按照3張獎券中最優惠的折扣進行結算.
(1)求一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原價為100元/位，記一位顧客最終結算時的價格為，求的分布列及數學期望 .
【解題思路】（1）利用古典概型概率公式可求解；
（2）的所有取值為，利用古典概型概率公式可求分布列，進而可求期望.
【解答過程】（1）從12張中任選3張有種方法，
取到的折扣均不相同的取法有，
所以一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；
（2）的所有取值為，
，，
，，
所以的分布列為
.
【題型5 離散型隨機變量的方差】
【例5】（2024·陜西西安·模擬預測）已知某隨機變量的分布列如圖表，則隨機變量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
【解題思路】根據概率和為，求得，再根據分布列求，再求即可.
【解答過程】由題可知：，解得，則；
故.
故選：C.
【變式5-1】（2024·廣東廣州·二模）設，隨機變量取值的概率均為0.2，隨機變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（ ）
A．
B．
C．
D．與的大小關系與的取值有關
【解題思路】根據期望的公式推出，再根據方差的計算公式可得的表達式，結合基本不等式，即可判斷的大小，即得答案.
【解答過程】由題意得，
，
故，
記
則
同理
因為，則，，，
故 ，
即得，與的大小關系與的取值無關，
故選：C.
【變式5-2】（2024·河南鄭州·模擬預測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．
(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．
【解題思路】（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據條件先求，再利用條件概率公式，即可求解；
（2）由題知可能取值為，再求出對應的概率，利用期望和方差的計算公式，即可求解.
【解答過程】（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，
因為球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）設X為員工取得的紅包數額，則可能取值為，
所以，，
，，
所以，
．
【變式5-3】（2024·湖南長沙·三模）開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措 是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程. 某校為 確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支 持情況，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如表:
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支 持相互獨立.
(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望;
(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.
【解題思路】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，根據已知條件求出，的可能取值為0，1，2，求出相應的概率，從而可求得的分布列與數學期望;
（2）根據方差的性質判斷即可.
【解答過程】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件 .
則 ，
則的可能取值為 .
所以，
，
，
所以 的分布列為:
0 1 2
所以 .
（2）依題意可得，
所以,
即 .
【題型6 均值與方差中的決策問題】
【例6】（2025·甘肅張掖·模擬預測）為增加學生對于籃球運動的興趣，學校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比賽的規則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的三個位置分別投籃一次．在三個位置均投進得10分；在處投進，且在兩處至少有一處未投進得7分；其余情況（包括三處均不投進）保底得4分．已知小王在三處的投籃命中率分別為，且在三處的投籃相互獨立．
(1)設為小王同學在第一輪比賽的得分，求的分布列和期望；
(2)若第二輪比賽中設置兩種參賽方法．方法1：按第一輪比賽規則進行比賽；方法2：選手可以選擇在處縮短投籃距離0.5米，但得分會減少分．選手可以任選一種規則參加比賽．若小王在處縮短投籃距離0.5米后，投籃命中率會增加．請你根據統計知識，幫助小王同學選擇采用哪種方法參加比賽更好．
【解題思路】（1）根據相互獨立事件概率乘法公式求的分布列，利用公式求得數學期望；
（2）先求選取方法2參加比賽，則小王同學得分的數學期望，再進行比較.
【解答過程】（1）的可能取值為4，7，10，
，
，
所以分別列為：
4 7 10
P
所以；
（2）如果選取方法2參加比賽，則小王同學得分的可能取值為，
，
，
，
所以，
當時，即，即時，選擇方法1，
當時，即，即時，選擇方法2，
當時，即，即時，選擇兩種方法都一樣.
【變式6-1】（23-24高二下·福建泉州·階段練習）年九省聯考后很多省份宣布高考數學采用新的結構，多選題由道減少到道，分值變為一題分，多選題每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，全部選對得分，有錯選或全不選的得分若正確答案是“兩項”的，則選對個得分若正確答案是“三項”的，則選對個得分，選對個得分某數學興趣小組研究答案規律發現，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為其中．
(1)在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若 ，求學生甲該題得分的概率
(2)針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：
Ⅰ 隨機選一個選項 Ⅱ 隨機選兩個選項 Ⅲ 隨機選三個選項．
若 ，且學生甲選擇方案Ⅰ，求本題得分的數學期望
以本題得分的數學期望為決策依據，的取值在什么范圍內唯獨選擇方案Ⅰ最好
【解題思路】（1）由全概率公式求解即可；
（2）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出；
記分別為“從四個選項中隨機選擇一個選項、兩個選項和三個選項的得分”，求出的數學威望，由題意可得，解不等式即可得出答案.
【解答過程】（1）記事件為“正確答案選兩個選項”，事件為“學生甲得分”．
，
即學生甲該題得分的概率為．
（2）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則可以取，，，
， ，
，
所以的分布列為
則數學期望．
記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，
則，
，
，
所以
記為“從四個選項中隨機選擇兩個選項的得分”，
則，
，
，
所以
記為“從四個選項中隨機選擇三個選項的得分”，
則，
，
所以．
要使唯獨選擇方案Ⅰ最好，則，
解得：，故的取值范圍為．
【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現設置300萬元獎金，若甲在前3局中已經勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的，如果再繼續比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的，第4局甲失敗，甲拿走獎金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎金．
【解題思路】（1）由相互獨立事件、互斥事件的概率計算可得答案；
（2）計算出停止比賽甲拿到獎金的期望、再繼續比賽一局甲拿到獎金的期望可得答案.
【解答過程】（1）站在甲的角度，甲在第3局中獲勝包含4種情況：勝勝勝，勝負勝，負勝勝，負負勝，
所以甲在第3局中獲勝的概率 ；
（2）方案一：停止比賽，甲拿到獎金的期望為（萬元）．
方案二；設甲在前3局中已經勝了2局的情況下第4局獲勝的事件為，
前三局的情況有：
勝勝負，概率；
勝負勝，概率；
負勝勝，概率．
再繼續比賽，第4局甲獲勝的概率
，
第4局甲失敗的概率，
所以甲拿到獎金的期望（萬元）．
因為，所以選擇停止比賽，拿到獎金的期望更高．
【變式6-3】（2024·湖北·二模）數學多選題的得分規則是：每小題的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對按比例得分，有選錯得0分，小明根據大量的多選題統計得到：多選題正確的選項共有四個的概率為0，正確選項共有兩個的概率為p（）
(1)現有某個多選題，小明完全不會，他有兩種策略，策略一：在A、B、C、D四個選項中任選一個選項；策略二：在A、B、C、D四個選項中任選兩個選項，求小明分別采取這兩個策略時小明得分的期望；
(2)若有一個多選題，小明發現A正確，B、C、D選項他不會判斷，現在他也有兩個策略，策略一：．選A和B、C、D中的任一個，策略二：選A和B、C、D中的任意2個，在的條件下，判斷小明該選擇哪個策略.
【解題思路】分兩種情況設小明分別采用策略一和策略二的得分情況，在計算相應的概率再求相應的期望；（2）根據條件，分別求出三種情況的分布列，進而求出期望，再根據的值進行討論，從而得到結論
【解答過程】（1）設小明分別采用策略一和策略二的得分分別為，，
，；
;
∴
, ;
；
∴
所以小明分別采取策略一和策略二的得分的期望分別為和
（2）設小明選擇策略一和策略二的得分分別為，
；;
；;
, ；
∵
∴小明應選擇策略一.
【題型7 離散型隨機變量與其他知識綜合】
【例7】（2024·河北唐山·二模）某學校組織游戲活動，規則是學生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．
(1)若學生甲摸球2次，其總得分記為，求隨機變量的分布列與期望；
(2)學生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．
【解題思路】（1）依題得到的取值，求出對應的概率，列出分布列，求得均值；
（2）記“甲最終得分為分”，；“乙獲得獎勵”,求得和，以及和，利用全概率公式計算即可得到.
【解答過程】（1）由題意知學生甲摸球2次總得分的取值為2，3，4，
則，，，
所以的分布列為：
2 3 4
所以．
（2）記“甲最終得分為分”，；“乙獲得獎勵”．
，．
當甲最終得9分時，乙獲得獎勵需要最終得10分，則
；
當甲最終得8分時，乙獲得獎勵需要最終得10分或9分，則
；
故
．
即乙獲得獎勵的概率為．
【變式7-1】（2024·重慶渝中·模擬預測）為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯表（單位：只）：
藥物 疾病 合計
未患病 患病
未服用 50 40
服用
合計 75 200
(1)請將上面的列聯表補充完整；
(2)依據的獨立性檢驗，能否認為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結論；
(3)為了進一步研究，現按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機抽取4只，設其中未服用藥物的動物數為，求的分布列及期望.
附表及公式：.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【解題思路】（1）根據表中的數據完成列聯表即可；
（2）由公式計算，然后根據臨界值表進行判斷；
（3）由題意可得的值可能為0，1，2，3，4，求出相應的概率，從而可求得的分布列與期望．
【解答過程】（1）解：根據題意可得如下列聯表：
藥物 疾病 合計
未患病 患病
未服用 50 40 90
服用 75 35 110
合計 125 75 200
（2）由列聯表可得，
在犯錯誤的概率不超過的前提下認為藥物有效.
解釋：由于，所以表示有小于的可能性證明這兩個事件無關，
也就是在犯錯誤的概率不超過的前提下認為藥物有效.
（3）根據題意，10只未患病動物中，有6只服用藥物，4只未服用藥物，
所以的值可能為0，1，2，3，4，則，，
，，，
的分布列如下：
0 1 2 3 4
則．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）植物迷宮源自于西方國家，在西方國家十分盛行，發展到現在，已經是西方園林植物文化的代表之一．目前植物迷宮的發展已經遍布世界各地，最大的、最長的、最復雜的等等迷宮形式已經成為各大以鄉村或農業等為主打的景區，吸引游客的一項重要手段．某鄉鎮為發展旅游業，欲打造植物迷宮，現就蔬菜迷宮、糧食迷宮兩款征詢90名村民代表的意見（每人可選一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例為，得到相關統計數據如下：
支持蔬菜迷宮 支持糧食迷宮 中立（兩種均可）
人數 45 30 15
(1)根據村民代表的意見，利用分層隨機抽樣的方法抽取12名村民代表，再從這12人中隨機抽取4人，記其中支持糧食迷宮的人數為，求的分布列與數學期望．
(2)在90名村民代表中，蔬菜種植能手與糧食種植能手的相關統計數據如下，其中為正整數，且．
男村民代表 女村民代表
蔬菜種植能手 40 10
糧食種植能手
現從這90名村民代表中任選一名去參與迷宮設計討論，記事件為“選到的為女村民代表”，事件為“選到的為糧食種植能手”．若事件與事件相互獨立，求的值．
【解題思路】（1）根據題意，得到變量的所有可能取值為，求得相應的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（2）根據題意，分別求得則，，，結合，列出方程，即可求解.
【解答過程】（1）解：由題知支持蔬菜迷宮、支持糧食迷宮、中立的人數之比為，
所以隨機抽取的12人中，支持蔬菜迷宮、支持糧食迷宮、中立的人數分別為，
所以隨機變量的所有可能取值為，
可得，，，
，，
所以隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
所以期望為．
（2）解：因為在90名村民代表中，男、女村民代表的比例為，所以女村民代表有30名，
則，，．
若事件與事件相互獨立，則，
即，可得．
又因為，所以．
【變式7-3】（2024·四川成都·模擬預測）某機構為了解2023年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網購消費金額（單位：千元）進行了統計，所統計的金額均在區間，內，并按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中的值；
(2)若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全列聯表，并判斷是否有的把握認為樣本數據中網購迷與性別有關系？說明理由．
男 女 合計
網購迷 20
非網購迷 47
合計
(3)若甲、乙兩位網購迷網購時支付方式采用軟件支付分概率分別為，采用其它支付方式的概率分別為，且甲、乙兩人網購時采用支付方式相互獨立．在甲、乙各自獨立完成的2次網購中，記甲、乙兩人支付方式采用支付的次數分別為，，令，求的分布列和數學期望
下面的臨界值表僅供參考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（參考公式：，其中
【解題思路】（1）由頻率和為1，可求解；
（2）列出的列聯表，計算，可得結論；
（3）的可能取值為0，1，2，利用二項分布的概率公式可求分布列，可求期望.
【解答過程】（1）根據頻率分布直方圖得：，
解得．
（2）根據頻率分布直方圖得樣本中網購迷的人數為，
的列聯表如下：
男 女 合計
網購迷 15 20 35
非網購迷 47 18 65
合計 62 38 100
解得．
有的把握認為樣本數據中的網購迷與性質有關系．
（3）根據題意，的可能取值為0，1，2，
，
，
．
的分布列為：
0 1 2
.
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電子元件的壽命
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數
D．測量某零件的長度產生的測量誤差
【解題思路】根據離散型隨機變量的定義進行判斷，得到答案.
【解答過程】A選項，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量，A錯誤；
B選項，等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量，B錯誤；
C選項，一小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量，C正確；
D選項，測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量，D錯誤．
故選：C．
2．（2024·上海浦東新·三模）以下能夠成為某個隨機變量分布的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分布列中各項概率大于0，且概率之和為1，從而得到正確答案.
【解答過程】由題意得，分布列中各項概率非負，且概率之和為1，
顯然AC選項不滿足概率之和為1，D選項不滿足各項概率大于0，
B選項滿足要求.
故選：B.
3．（2024·四川成都·模擬預測）若隨機變量的可能取值為，且（），則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據概率之和等于1得到方程，求出，計算出期望，進而計算出方差.
【解答過程】由題意得，解得，
故，
.
故選：A.
4．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機變量的分布列如下（為常數）：
0 1 2
0.3
則（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
【解題思路】根據給定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式計算即得.
【解答過程】依題意，，解得，
所以.
故選：C.
5．（2024·浙江溫州·一模）已知離散型隨機變量的分布列如下表所示.
則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據隨機變量的方差公式可得.
【解答過程】由分布列可得
，
，
故選：D.
6．（2024·浙江·模擬預測）已知隨機變量的分布列如下表，則下列方差值最大的是（ ）
0 1
A． B． C． D．
【解題思路】由已知可得，即可根據方差公式分別計算求解.
【解答過程】由分布列的性質得，得，
可得，
，
則，，
，.
綜上，的值最大.
故選：B.
7．（2024·湖南·模擬預測）有一枚質地均勻點數為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數的概率均等，現在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數與最小點數之差，則X的數學期望（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意得的所有可能取值為，用古典概型算出相應的概率，進而即可求解.
【解答過程】的所有可能取值為，記三次得到的數組成數組，
滿足的數組有：
，共4個，
所以，
滿足的數組有：
，
，共18個，
所以，
滿足的數組有：
，
，
，
，共24個，
所以，
滿足的數組有：
，，
，，
，，共18個，
所以，
所以X的數學期望.
故選：D.
8．（2024·上海閔行·三模）設，，是不全相等的實數，隨機變量取值為，，的概率都是，隨機變量取值為，，的概率也都是，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】首先求出，設，從而得到，、，再利用作差法判斷與的大小關系，即可得解.
【解答過程】因為隨機變量取值為，，的概率都是，
∴，設，
則
；
隨機變量取值為，，的概率都是，
∴，
；
由，，是不全相等的實數，
，
，∴；
綜上，，.
故選：B.
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西河池·階段練習）已知隨機變量的分布列如下表：
-1 0 1 2
若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用分布列的性質列式求解即得.
【解答過程】依題意，，所以.
故選：AD.
10．（2024·安徽阜陽·模擬預測）設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（ ）
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
A． B．，
C．， D．，
【解題思路】根據分布列的性質計算q的值，然后根據期望、方差公式及性質計算.
【解答過程】因為，所以，A選項錯誤；
由，
故，
因此選項B正確；
又，所以，，，故C錯D對.
故選：BD.
11．（2024·海南·模擬預測）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場電子競技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結果相互獨立，則（ ）
A．若，，則甲最終獲勝的概率為
B．若，，記決賽進行了局，則
C．若，，記決賽進行了局，則
D．若比時對甲更有利，則
【解題思路】對于A，利用獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最終獲勝的概率即可判斷；對于B，由條件求的分布列，再求其期望及方差即可判斷，對于C，由條件求的分布列，再由期望公式求其期望即可判斷，對于D，分別求，時甲獲勝的概率，列不等式確定的范圍即可判斷.
【解答過程】對于A，因為，，
所以甲獲勝的概率為，A正確.
對于B，因為，，
由已知的取值有，
，，
所以，
所以，B正確.
對于C，因為，，
又的可能取值有，
所以，
，
，
所以，C錯誤；
對于D，當時，甲獲勝的概率為，
當時，甲獲勝的概率為，
若比時對甲更有利，則，
所以，
所以，又，
所以，D正確；
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·云南曲靖·一模）已知隨機變量，若，則p＝ ．
【解題思路】由可得，進而可求解答案.
【解答過程】已知X～B（2，p），
則，
∴，解得或（因為0＜p＜1，故舍去）．
故答案為：．
13．（2024·四川南充·一模）某一隨機變量X的分布列如下表，且，則 8 .
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
【解題思路】根據題意可得，即可求得的值，進而結合期望公式可求得，進而得到.
【解答過程】由題意，得，解得，
所以，
所以.
故答案為：8.
14．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）高三開學，學校舉辦運動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側.因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側已經擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘之間至少要有一名同學的規則.高三(一)班共有七名女生現在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，現在考慮在她們中間添置三個遮陽傘.則添置遮陽傘后，曬黑女生人數的數學期望為
1 .
【解題思路】設曬黑女生人數為X，確定X可能取值為0，1，2，求出每個值相應的概率，即可求得答案.
【解答過程】由題意可設高三(一)班共有七名女生坐成一排依次為，
由于兩側已經擺好了兩個遮陽傘，則1，7一定曬不到，
現在考慮在她們中間添置三個遮陽傘，即在7位同學之間形成的空中選3個放置，共有種放法；
設曬黑女生人數為X，則X可能取值為0，1，2，
時，若12之間放一把傘，則另外2把分別放在34，56之間，
若23之間放一把傘，則另外1把分別放在56之間，第三把放在34或45之間，
若67之間放一把傘，則另外2把分別放在23，45之間，
則；
時，被曬的人若是2，則23之間沒有傘，34之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，
同理被曬的人若是6，則67之間沒有傘，45之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，
被曬的人若是3或4或5，此時3把傘均有2種放法，
故，
，
故曬黑女生人數的數學期望為,
故答案為：1.
四、解答題
15．（2024·寧夏銀川·二模）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗;如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗;其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．
假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立
(1)求這批產品通過檢驗的概率;
(2)已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元)，求X的分布列．
【解題思路】（1）設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件，第一次取出的4件產品全是優質品為事件，第二次取出的4件產品全是優質品為事件，第二次取出的1件產品是優質品為事件，這批產品通過檢驗為事件，依題意有，且與互斥，由概率得加法公式和條件概率，代入數據計算可得；
（2）可能的取值為400，500，800，分別求其概率，可得分布列．
【解答過程】（1）設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件，第一次取出的4件產品全是優質品為事件，
第二次取出的4件產品全是優質品為事件，第二次取出的1件產品是優質品為事件，
這批產品通過檢驗為事件，依題意有，且與互斥，
所以
；
（2）可能的取值為400，500，800，并且，，
，故的分布列如下：
400 500 800
16．（2024·福建廈門·模擬預測）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉發給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當前的紅包轉發給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設A、B、C猜中的概率分別為，，，且A、B、C是否猜中互不影響．
(1)求A恰好獲得8元的概率；
(2)設A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數學期望．
【解題思路】（1）結合題意，由獨立事件的乘法公式計算即可；
（2）求出X的可能取值，分別計算其概率，列出分布列，再利用期望公式求出期望即可；
【解答過程】（1）若A恰好獲得8元紅包，則結果為A未猜中，B未猜中，C猜中，
故A恰好獲得8元的概率為；
（2）X的可能取值為0，8，12，24，
則，，
，，
所以X的分布列為：
X 0 8 12 24
P
數學期望為
17．（2024·安徽六安·三模）為迎接2024新春佳節，某地4S店特推出盲盒抽獎營銷活動中，店家將從一批汽車模型中隨機抽取50個裝入盲盒用于抽獎，已知抽出的50個汽車模型的外觀和內飾的顏色分布如下表所示.
紅色外觀 藍色外觀
棕色內飾 20 10
米色內飾 15 5
(1)從這50個模型中隨機取1個，用表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用表示事件“取出的模型內飾為米色”，求和，并判斷事件與是否相互獨立；
(2)活動規定：在一次抽獎中，每人可以一次性拿2個盲盒.對其中的模型給出以下假設：假設1：拿到的2個模型會出現3種結果，即外觀和內飾均為同色、外觀和內飾都異色以及僅外觀或僅內飾同色.假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高.假設3：該抽獎活動的獎金額為一等獎3000元、二等獎2000元、三等獎1000元.請你分析獎項對應的結果，設為獎金額，寫出的分布列并求出的期望（精確到元）.
【解題思路】（1）根據古典概型公式、條件概率和事件獨立性定義進行計算和判斷；
（2）根據獎金額對應的情況計算相對應的概率，再列出分布列，最后利用期望公式計算解出；
【解答過程】（1）模型內飾為米色的共有20個，所以，
紅色外觀的模型有35個，其中內飾為米色的共有15個，所，
紅色外觀模型且內飾為米色的共有15個，
所以，，
因為，所以，不獨立；
（2）設事件“取出的模型外觀和內飾均為同色”，事件“取出的模型外觀和內飾都異色”，事件“僅外觀或僅內飾同色”，
，
，
，
因為，
所以獲得一等獎的概率為，二等獎的概率為，三等獎的概率為，
其分布列為
3000 2000 1000
期望為.
18．（2024·安徽·一模）高三聯考數學試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設一套數學試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：
(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數學期望為3，求p；
(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇哪個方案？
【解題思路】（1）根據離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可，
（2）分別求解三種情況下的期望，即可比較期望大小求解.
【解答過程】（1）根據題意可知，，
若該題有2個選項正確，則，
若該題有3個選項正確，則，
則分布列如下：
X 0 4 6
P
所以，
解之得；
（2）不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件，
“有3個選項正確”為事件，
若小明選擇方案①，
記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對應概率為：
，
故；
若小明選擇方案②，
記小明該題得分為，則的可能取值為，對應概率為：
，
，
故，
若小明選擇方案③，
記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對應概率為：
，
.
故，
，
故以最后得分的數學期望為決策依據，小明應該選擇方案②.
19．（2024·遼寧錦州·模擬預測）甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結果相互獨立．
(1)若，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；
(2)當時，
（i）若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數的分布列及期望的最大值；
（ii）若比賽不限制局數，求“甲學員贏得比賽”的概率（用表示）．
【解題思路】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，記“進行4局比賽后甲學員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件：共5種，即可求解；
（2）（i）由題意得的所有可能取值為：，求出對應的概率，列出分布列及求出數學期望，并求出最大值；
（ii）由（1）得前兩局比賽結果可能有：，其中事件表示“甲學員贏得比賽”，事件表示“乙學員贏得比賽”，事件表示“甲、乙兩名學員各得1分”，當甲、乙兩名學員得分總數相同時，甲學員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學員贏得比賽的概率相同，所以即可求解．
【解答過程】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，
則，
記“進行4局比賽后甲學員贏得比賽”為事件N，
則事件N包括事件：共5種，
所以
．
（2）（i）因為，所以每局比賽結果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，
由題意得的所有可能取值為：，
，
，
，
所以的分布列為：
2 4 5
所以的期望為：
因為，所以，
等號成立時，，所以，
所以，
故的最大值為：．
（ii）記“甲學員贏得比賽”為事件M，則，
由（1）得前兩局比賽結果可能有：，
其中事件表示“甲學員贏得比賽”，事件表示“乙學員贏得比賽”，
事件表示“甲、乙兩名學員各得1分”，
當甲、乙兩名學員得分總數相同時，甲學員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學員贏得比賽的概率相同，
所以
，
所以，得，
因為，所以.
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