資源簡介

專題10.8 二項分布、超幾何分布與正態分布【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 二項分布】 3
【題型2 獨立重復試驗的概率問題】 4
【題型3 超幾何分布】 5
【題型4 二項分布與超幾何分布的綜合應用】 6
【題型5 正態密度函數】 8
【題型6 正態曲線的性質】 9
【題型7 正態分布的概率計算】 9
【題型8 正態分布的實際應用】 10
1、二項分布、超幾何分布與正態分布
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題 (2)借助正態曲線了解正態分布的概念，并進行簡單應用 2022年新高考Ⅱ卷：第13題，5分 2023年新高考I卷：第21題，12分 2024年新高考I卷：第9題，6分 從近幾年的高考情況來看，本節是高考的熱點內容，主要考查二項分布、超幾何分布及其期望與方差、正態分布等內容，正態分布主要以選擇、填空題的形式考查，難度不大；在解答題中主要考查二項分布、超幾何分布的期望與方差問題，有時會與統計、獨立性檢驗等結合考查，難度中等偏難，關鍵在于求出概率列出分布列，復習時需要加強這方面的練習.
【知識點1 二項分布】
1．伯努利試驗
(1)伯努利試驗的概念
把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
(2)n重伯努利試驗的兩個特征
①同一個伯努利試驗重復做n次；
②各次試驗的結果相互獨立.
2．二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0次數，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p).
3．二項分布的期望與方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點
(1)在每一次試驗中，事件發生的概率相同.
(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.
(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生.
【知識點2 超幾何分布】
1．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.
2．“二項分布”與“超幾何分布”的區別
有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.
3．超幾何分布的應用
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的分布列.
(2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型.
【知識點3 正態分布及其解題策略】
1．正態分布
(1)正態曲線
函數f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數.我們稱f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正
態密度曲線，簡稱正態曲線.
(2)正態分布
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為XN(,).特別地，
當=0，=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.
(3)正態分布的均值和方差
若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.
2．3原則
(1)正態總體在三個特殊區間內取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原則
在實際應用中，通常認為服從正態分布N(,)的隨機變量X只取[-3，+3]中的值，這在統計學
中稱為3原則.
3．正態分布問題的解題策略
解決正態分布問題有三個關鍵點：
(1)對稱軸x=μ；
(2)標準差σ；
(3)分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.
【方法技巧與總結】
1．二項分布當n=1時就是兩點分布.
2．超幾何分布有時也記為X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差.
3．若X服從正態分布，即X～N(μ,)，要充分利用正態曲線關于直線x=μ對稱和曲線與x軸之間的面
積為1解題.
【題型1 二項分布】
【例1】（2024·山東濟南·二模）已知隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·山西呂梁·三模）如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為.若該質點每次移動一個單位長度，設經過5次移動后，該質點位于的位置，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【題型2 獨立重復試驗的概率問題】
【例2】（2024·安徽合肥·二模）甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·遼寧·模擬預測）一質子從原點處出發，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動一個單位長度，則移動6次后質子回到原點處的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·河北衡水·模擬預測）某大型超市設立了“助農促銷”專區，銷售各種農產品，積極解決農民農副產品滯銷問題.為加大農產品銷量，該超市進行了有獎促銷活動，凡購買專區的農產品每滿100元的顧客均可參加該活動，活動規則如下:將某空地劃分為（1）（2）（3）(4)四個區域，顧客將一皮球投進區域（1）或者（2）一次，或者投進區域（3）兩次，或者投進區域(4)三次，便視為中獎，投球停止，且投球次數不超過四次.已知顧客小王每次都能將皮球投進這塊空地，他投進區域（1）與（2）的概率均為，投進區域（3）的概率是投進區域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互獨立.小王第二次投完皮球首次中獎的概率記為，第四次投完皮球首次中獎的概率記為，若 ，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）下列說法錯誤的是（ ）
A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【題型3 超幾何分布】
【例3】（2024·廣東江門·二模）一箱蘋果共有12個蘋果，其中有個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個．恰有2個爛果的概率為，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式3-1】（23-24高三上·山東臨沂·開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式3-2】（23-24高三上·四川成都·開學考試）某地盛行糕點有n種，該地的糕點店從中準備了m（）種糕點供顧客選購．已知某顧客喜好的糕點有k（）種，則當其隨機進入一家糕點店時，會發現該店中有若干種糕點符合其喜好．記隨機變量X為該顧客發現符合其喜好的糕點的種數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現從乙袋子里隨機取出個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數為，則當變大時（ ）
A．變小 B．先變小再變大
C．變大 D．先變大再變小
【題型4 二項分布與超幾何分布的綜合應用】
【例4】（2024·吉林·二模）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道當總量N足夠大，而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；在二項分布中男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001的前提下，認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數據：，）
【變式4-1】（2024·北京東城·一模）某中學為了解本校高二年級學生閱讀水平現狀，從該年級學生中隨機抽取100人進行一般現代文閱讀速度的測試，以每位學生平均每分鐘閱讀的字數作為該學生的閱讀速度，將測試結果整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)若該校高二年級有1500人，試估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數；
(2)用頻率估計概率，從該校高二學生中隨機抽取3人，設這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數為，求的分布列與數學期望；
(3)若某班有10名學生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數為，試判斷數學期望與（2）中的的大小.
【變式4-2】（2024·北京西城·三模）根據2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、 廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.
(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；
(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數量，求隨機變量X的分布列和期望；
(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）某地臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名.為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標準：果徑為一級果，果徑 為二級果，果徑或以上為三級果.某農產品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試估計這1000個臍橙的果徑的中位數；
(2)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑中抽出9個臍橙，為進一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數的分布列和數學期望；
(3)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，其中一級果的個數為，記一級果的個數為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大？
【題型5 正態密度函數】
【例5】（23-24高二下·陜西寶雞·期末）已知三個正態分布密度函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【變式5-1】（23-24高二下·湖北武漢·期末）設隨機變量，則X的密度函數為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（23-24高二·全國·課后作業）已知隨機變量的正態密度函數為，則其均值和標準差分別是（ ）
A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1
【變式5-3】（23-24高二下·福建泉州·期末）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣，發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全，農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態分布，其密度曲線函數為，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．該地水稻的平均株高為
B．該地水稻株高的方差為100
C．隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．隨機測量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大
【題型6 正態曲線的性質】
【例6】（2024·湖南益陽·三模）某生產線正常生產下生產的產品的一項質量指標近似服從正態分布，若，則實數的值為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量()，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2024·四川·模擬預測）若隨機變量服從正態分布，則（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
【變式6-3】（2024·安徽合肥·三模）為弘揚我國優秀的傳統文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了言語表達測試，經過大數據分析，發現本次言語表達測試成績服從，據此估計測試成績不小于94的學生所占的百分比為（ ）
參考數據：
A． B． C． D．
【題型7 正態分布的概率計算】
【例7】（2024·甘肅張掖·三模）若已知隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.25 D．0.15
【變式7-1】（2024·全國·三模）已知隨機變量，且，則（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
【變式7-2】（2024·遼寧·模擬預測）某種酸奶每罐凈重（單位：g）服從正態分布.隨機抽取1罐，其凈重在與之間的概率為（ ）
（注：若，，，）
A．0.8186 B．0.84135 C．0.9545 D．0.6827
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）在日常生活中，許多現象都服從正態分布.若，記，，，經統計，某零件的尺寸大小（單位：dm）從正態分布，則（ ）
A． B． C． D．
【題型8 正態分布的實際應用】
【例8】（2024·廣東深圳·模擬預測）“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對于一次成功的考試來說，所有考生得考試成績應服從正態分布.某單位準備通過考試（按照高分優先錄取的原則）錄用300人，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績為，且，已知所有考生考試的平均成績，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值．（結果保留位整數）
(2)該單位的最低錄取分數約是多少？（結果保留為整數）
(3)考生甲的成績為286分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請說明理由．
參考資料：①當時，令，則．
②當，，，，．
【變式8-1】（2024·河南·模擬預測）某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為：前兩關中的每一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連續通過三關且第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.
(1)若小李在第一關 第二關及第三關通過測試的概率分別為，求小李成功競聘的概率；
(2)統計得10000名競聘者的得分，試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若隨機變量，則
【變式8-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）隨著網絡技術的迅速發展，各種購物群成為網絡銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：
臍橙數量/盒
購物群數量/個 12 18 32 18
(1)求實數的值.并用組中值（每組的中點值）估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數；
(2)假設所有購物群銷售臍橙的數量，其中為（1）中的平均數，.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在（單位：盒）內的群為“級群”，銷售數量小于256盒的購物群為“級群”，銷售數量不小于616盒的購物群為“特級群”，該臍橙基地對每個“特級群”獎勵600元，每個“級群”獎勵100，對“級群”不獎勵，則該臍橙基地大約需要準備多少獎金？（群的個數按四舍五入取整數）
附：若，則， ，.
【變式8-3】（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網絡和短信等方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.
(1)已知該校參加本次競賽的學生分數近似服從正態分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.
（i）試判斷分數為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；
（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數（四舍五入后取整）.
(2)已知該學校有男生1000人，女生1200人，經調查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數記為，求的分布列及數學期望.
參考數據：若，則，，
一、單選題
1．（2024·青海·一模）已知隨機變量，若隨機變量，則（ ）
A．10 B．12 C．30 D．32
2．（2024·云南·模擬預測）已知，且，則（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．（2024·山東青島·三模）某校高一有學生 980 人，在一次模擬考試中這些學生的數學成績 服從正態分布 ，已知 ，則該校高一學生數學成績在 110 分以上的人數大約為（ ）
A．784 B．490 C．392 D．294
4．（2024·山東濟寧·三模）若隨機變量，隨機變量，則（ ）
A．0 B． C． D．2
5．（23-24高二下·遼寧·階段練習）某市組織了一次高二調研考試，考試后統計的數學成績服從正態分布，其密度函數， x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是
A．該市這次考試的數學平均成績為80分
B．分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同
C．分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同
D．該市這次考試的數學成績標準差為10
6．（2024·黑龍江·三模）袋中裝有標號為1，2，3，4，5且質地、大小相同的5個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是偶數，則獲獎.若有4人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數為，則=（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·模擬預測）克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設隨機變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數，現以使最大的值估計的取值并計算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．與10的大小無法確定
二、多選題
9．（2024·吉林·模擬預測）從含有2件次品的100件產品中，任意抽出3件，則（ ）
A．抽出的產品中恰好有1件是次品的抽法有種
B．抽出的產品中至多有1件是次品的概率為
C．抽出的產品中至少有件是次品的概率為
D．抽出的產品中次品數的數學期望為
10．（2024·四川成都·模擬預測）已知，都是服從正態分布的隨機變量，且，，其中，，則下列命題正確的有（ ）
A．
B．
C．若，，則
D．若，，，則
11．（2024·福建泉州·模擬預測）某人在次射擊中擊中目標的次數為，其中，設擊中偶數次為事件，則（ ）
A．當時，取得最大值 B．當時，取得最小值
C．當隨的增大而減小 D．當隨的增大而減小
三、填空題
12．（2023·江蘇·三模）設隨機變量（共10件產品，其中有2件合格品，從中取出3件，有X件），則 .
13．（2024·河南信陽·二模）某生產線正常生產下生產的產品的一項質量指標近似服從正態分布，若，則實數的值為 .
14．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則 .
四、解答題
15．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某校為營造學科學、愛科學、用科學的良好氛圍，使學生掌握必要和基本的科學知識，培養良好的科學學習態度.特舉辦以“體悟科技魅力，激發思維潛能”為主題科普知識競賽：該活動規定每班選3人，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分.在競賽中，甲 乙兩班代表隊相遇，假設甲隊3人回答正確的概率均為，乙隊3人回答正確的概率分別為，，，且兩隊各人回答問題正確與否互不影響.
(1)求甲隊總得分為20分且乙隊總得分為10分的概率；
(2)求甲隊總得分X的分布列和數學期望.
16．（2024·山東泰安·模擬預測）增強青少年體質，促進青少年健康成長，是關系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高一年級學生體育鍛煉情況，隨機抽取體育鍛煉時間在（單位：分鐘）的50名學生，統計他們每天體育鍛煉的時間作為樣本并繪制成如下的頻率分布直方圖，已知樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生.
(1)求a，b的值；
(2)若從樣本中體育鍛煉時間在的學生中隨機抽取4人，設X表示在的人數，求X的分布列和均值.
17．（2024·新疆喀什·三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：
質量差（單位：） 54 58 60 63 64
件數（單位：件） 5 25 45 20 5
(1)求樣本質量差的平均數；假設零件的質量差，其中，用作為的近似值，求的值；
(2)已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是3:1．若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的．現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件為廢品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率．
參考數據：若隨機變量，則，，
18．（2024·黑龍江·三模）為建立健全國家學生體質健康監測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發了《國家學生體質健康標準》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試，并從中隨機抽取了500名學生的數據，根據他們的健康指數繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計這500名學生健康指數的平均數(同一組數據用該組區間的中點值作代表)；
(2)由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數X近似服從正態分布N(，)，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差(=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知該市高三學生約有30000名，記健康指數在區間[60.29，87.92]的人數為，試求E().
附：參考數據：，若隨機變量X服從正態分布N(，)，則，，.
19．（2024·新疆·二模）目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．
(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；
(2)若未來10天內虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數為．
①判斷為何值時，最大；
②記，求．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題10.8 二項分布、超幾何分布與正態分布【八大題型】
【新高考專用】
【題型1 二項分布】 3
【題型2 獨立重復試驗的概率問題】 5
【題型3 超幾何分布】 8
【題型4 二項分布與超幾何分布的綜合應用】 9
【題型5 正態密度函數】 15
【題型6 正態曲線的性質】 16
【題型7 正態分布的概率計算】 18
【題型8 正態分布的實際應用】 19
1、二項分布、超幾何分布與正態分布
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題 (2)借助正態曲線了解正態分布的概念，并進行簡單應用 2022年新高考Ⅱ卷：第13題，5分 2023年新高考I卷：第21題，12分 2024年新高考I卷：第9題，6分 從近幾年的高考情況來看，本節是高考的熱點內容，主要考查二項分布、超幾何分布及其期望與方差、正態分布等內容，正態分布主要以選擇、填空題的形式考查，難度不大；在解答題中主要考查二項分布、超幾何分布的期望與方差問題，有時會與統計、獨立性檢驗等結合考查，難度中等偏難，關鍵在于求出概率列出分布列，復習時需要加強這方面的練習.
【知識點1 二項分布】
1．伯努利試驗
(1)伯努利試驗的概念
把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.
(2)n重伯努利試驗的兩個特征
①同一個伯努利試驗重復做n次；
②各次試驗的結果相互獨立.
2．二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0次數，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p).
3．二項分布的期望與方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點
(1)在每一次試驗中，事件發生的概率相同.
(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.
(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生.
【知識點2 超幾何分布】
1．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.
2．“二項分布”與“超幾何分布”的區別
有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.
3．超幾何分布的應用
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的分布列.
(2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型.
【知識點3 正態分布及其解題策略】
1．正態分布
(1)正態曲線
函數f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數.我們稱f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正
態密度曲線，簡稱正態曲線.
(2)正態分布
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為XN(,).特別地，
當=0，=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.
(3)正態分布的均值和方差
若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.
2．3原則
(1)正態總體在三個特殊區間內取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原則
在實際應用中，通常認為服從正態分布N(,)的隨機變量X只取[-3，+3]中的值，這在統計學
中稱為3原則.
3．正態分布問題的解題策略
解決正態分布問題有三個關鍵點：
(1)對稱軸x=μ；
(2)標準差σ；
(3)分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.
【方法技巧與總結】
1．二項分布當n=1時就是兩點分布.
2．超幾何分布有時也記為X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差.
3．若X服從正態分布，即X～N(μ,)，要充分利用正態曲線關于直線x=μ對稱和曲線與x軸之間的面
積為1解題.
【題型1 二項分布】
【例1】（2024·山東濟南·二模）已知隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據二項分布直接求解即可.
【解答過程】因為隨機變量，
所以.
故選：B.
【變式1-1】（2024·山西呂梁·三模）如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為.若該質點每次移動一個單位長度，設經過5次移動后，該質點位于的位置，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由條件可得的可能取值為，且，結合二項分布的概率計算公式代入計算，即可求解.
【解答過程】由題意可知，當時，的可能取值為，且，
所以
.
故選：C.
【變式1-2】（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據二項分布的期望和方差公式即可求解，進而根據二項分布的概率公式求解即可.
【解答過程】因為，所以，解得，
所以．
故選：C．
【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】由題意，服從二項分布，，代入公式可得結果．
【解答過程】每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，
每一層均要乘以，共做10次選擇，
故服從二項分布，，
又，
令最大，
則，
即,
解得，又因為，所以,
所以，
，且．
故選：B．
【題型2 獨立重復試驗的概率問題】
【例2】（2024·安徽合肥·二模）甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意只需前5場甲贏3場，再利用獨立事件的乘法公式求解．
【解答過程】根據題意，甲運動員前5場內需要贏3場，第6場甲勝，
則甲以4比2獲勝的概率為．
故選：C．
【變式2-1】（2024·遼寧·模擬預測）一質子從原點處出發，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動一個單位長度，則移動6次后質子回到原點處的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】就質子水平方向移動次數分類討論，再利用獨立事件的概率公式可求概率.
【解答過程】因為移動6次后仍然回到原點，故質子水平方向移動偶數次，豎直方向移動偶數次
若質子水平方向移動0次，則回到原點的概率；
若質子水平方向移動2次，則回到原點的概率；
若質子水平方向移動4次，則回到原點的概率；
若質子水平方向移動6次，則回到原點的概率；
故移動6次后仍然回到原點的概率為，
故選：C.
【變式2-2】（2024·河北衡水·模擬預測）某大型超市設立了“助農促銷”專區，銷售各種農產品，積極解決農民農副產品滯銷問題.為加大農產品銷量，該超市進行了有獎促銷活動，凡購買專區的農產品每滿100元的顧客均可參加該活動，活動規則如下:將某空地劃分為（1）（2）（3）(4)四個區域，顧客將一皮球投進區域（1）或者（2）一次，或者投進區域（3）兩次，或者投進區域(4)三次，便視為中獎，投球停止，且投球次數不超過四次.已知顧客小王每次都能將皮球投進這塊空地，他投進區域（1）與（2）的概率均為，投進區域（3）的概率是投進區域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互獨立.小王第二次投完皮球首次中獎的概率記為，第四次投完皮球首次中獎的概率記為，若 ，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據條件，理解和對應的事件，再根據獨立事件的概率公式求解概率，根據 后，即可求解.
【解答過程】小王投進區域（3）的概率為，投進區域(4)的概率為，故.
小王第二次投完皮球后，首次中獎包含“第一次區域（1）（2）均末投中，第二次投中區域（1）或（2）”和“第一次與第二次均投中區域（3）"兩個事件，
則概率為 .
第四次投完皮球后，首次中獎，需前三次投完后有一次投進區域（3），有兩次投進區域(4)，
因此，令，
得，解得，又 ，所以.
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）下列說法錯誤的是（ ）
A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【解題思路】根據獨立時間的概率乘法以及列舉法，可得答案.
【解答過程】對于A，由題意可知：信號的傳輸相互獨立，輸入收到的概率為，輸入收到的概率為，
所以采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A正確；
對于B，由題意可知：信號的傳輸相互獨立，輸入收到的概率為，輸入收到的概率為，
所以采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為，故B正確；
對于C，采用三次傳輸方案，若發送1，譯碼為1的情況分別為“”、“”、“”、“”，
因為信號的傳輸相互獨立，輸入收到的概率為，輸入收到的概率為，
所以采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為，故C錯誤；
對于D，若發送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的情況有“”、“”、“”、“”，
所以其概率為；
若發送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率為，
由，且，
則，故D正確；
故選：C.
【題型3 超幾何分布】
【例3】（2024·廣東江門·二模）一箱蘋果共有12個蘋果，其中有個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個．恰有2個爛果的概率為，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】由超幾何分布的概率公式列方程即可求解.
【解答過程】依題意可得，即，整理得，
解得或9，因為，所以．
故選：B.
【變式3-1】（23-24高三上·山東臨沂·開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】根據取出2個黑球，1個白球的概率為求出n的值，再求出X的分布列，根據數學期望的定義即可計算.
【解答過程】由題可知，，解得，
X的可能取值為，
，，，，
∴.
故選：A.
【變式3-2】（23-24高三上·四川成都·開學考試）某地盛行糕點有n種，該地的糕點店從中準備了m（）種糕點供顧客選購．已知某顧客喜好的糕點有k（）種，則當其隨機進入一家糕點店時，會發現該店中有若干種糕點符合其喜好．記隨機變量X為該顧客發現符合其喜好的糕點的種數，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知服從超幾何分布，然后利用超幾何分布的期望公式求解即可.
【解答過程】由題意可知從含有顧客喜好的k（）種糕點的n種糕點中，任取m（）種糕點，其中恰有種顧客喜好的糕點，則服從超幾何分布，
所以，其中，
所以，
故選：A.
【變式3-3】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現從乙袋子里隨機取出個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數為，則當變大時（ ）
A．變小 B．先變小再變大
C．變大 D．先變大再變小
【解題思路】運用超幾何分布與兩點分布，求解離散隨機變量的期望，然后判斷選項.
【解答過程】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，其中白球的個數服從超幾何分布，則．故從甲盒子里隨機取一球，相當于從含有個白球的個球中取一球，取到白球的個數為，
易知隨機變量服從兩點分布，故，
所以，隨著的增加，減小.
故選：A.
【題型4 二項分布與超幾何分布的綜合應用】
【例4】（2024·吉林·二模）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；
(2)我們知道當總量N足夠大，而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；在二項分布中男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001的前提下，認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數據：，）
【解題思路】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數學期望；
（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.
【解答過程】（1）當時，男性員工有8人，女性員工有12人.
服從超幾何分布，，
，，
，，
∴的分布列為
0 1 2 3
數學期望為.
（2），
，
由于，則，
即，
即，
由題意易知，
從而，
化簡得，
又，于是.
由于函數在處有極小值，
從而當時單調遞增，
又，.
因此當時，符合題意，
而又考慮到和都是整數，則一定是5的整數倍，于是.
即N至少為145，
我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.
另：或
又，故，下同法一.
【變式4-1】（2024·北京東城·一模）某中學為了解本校高二年級學生閱讀水平現狀，從該年級學生中隨機抽取100人進行一般現代文閱讀速度的測試，以每位學生平均每分鐘閱讀的字數作為該學生的閱讀速度，將測試結果整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)若該校高二年級有1500人，試估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數；
(2)用頻率估計概率，從該校高二學生中隨機抽取3人，設這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數為，求的分布列與數學期望；
(3)若某班有10名學生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數為，試判斷數學期望與（2）中的的大小.
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖分析數據得頻率即可估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數；
（2）確定從中任取一人，其閱讀速度達到540字/分鐘及以上的概率，結合二項分布的概率求解的分布列與數學期望即可；
（3）根據超幾何分布的概率求解的分布列與數學期望即可得結論.
【解答過程】（1），
故可估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數為人；
（2）從中任取一人，其閱讀速度達到540字/分鐘及以上的概率為：
，
的可能取值為、、、，
，
，
，
，
則其分布列為：
其期望為：；
（3），理由如下：
這10名學生中，閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數為人，的可能取值為、、，
，，，
則，故.
【變式4-2】（2024·北京西城·三模）根據2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、 廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.
(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；
(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數量，求隨機變量X的分布列和期望；
(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）
【解題思路】（1）根據古典概型直接求概率；
（2）根據超幾何分布求得X取值對應的概率，得到分布列和期望；
（3），運用二項分布期望公式求得，即可得到二者相等.
【解答過程】（1）10個超大城市中包含4個一線城市，
所以從10個超大城市中隨機抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.
（2）10個超大城市中包含6個新一線城市，
X所有可能的取值為：.
；；
；.
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
.
（3）
理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，
隨機變量，，所以.
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）某地臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名.為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標準：果徑為一級果，果徑 為二級果，果徑或以上為三級果.某農產品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試估計這1000個臍橙的果徑的中位數；
(2)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑中抽出9個臍橙，為進一步測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數的分布列和數學期望；
(3)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，其中一級果的個數為，記一級果的個數為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大？
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖求中位數的方法即可得解；
（2）根據題意，分析得一級果、二級果、三級果個數分別為4，3，2個，從而得到的所有可能取值，再利用超幾何分布的分布列即可得解；
（3）利用二項分布得到，再利用作商法判斷出當時，最大，從而得解.
【解答過程】（1）果徑的頻率為，
果徑的頻率為.
故果徑的中位數在，不妨設為，
則，解得，
所以估計這1000個臍橙的果徑的中位數為.
（2）果徑的頻率之比為，
所以分層抽樣過程中，一級果、二級果、三級果個數分別為4，3，2個，
故隨機變量的所有可能取值為，
則，，
，.
所以的分布列為
0 1 2 3
期望.
（3）依題意知，這批果實中一級果的概率，
每個果實相互獨立，則，
則，
令 ，解得，
故當時，，
即；
當時，，
即 ，
所以，即一級果的個數最有可能為30個.
【題型5 正態密度函數】
【例5】（23-24高二下·陜西寶雞·期末）已知三個正態分布密度函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解題思路】結合正態分布密度函數中參數表示其均值大小，表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結論.
【解答過程】根據正態分布密度函數中參數的意義，
結合圖象可知，對稱軸位置相同，所以可得；
且都在的右側，即，
比較和圖像可得，其形狀相同，即，
又的離散程度比和大，所以可得；
故選：B.
【變式5-1】（23-24高二下·湖北武漢·期末）設隨機變量，則X的密度函數為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據正態分布的定義可求得，從而可求X的密度函數.
【解答過程】因為，所以，即，
所以X的密度函數為A.
故選：A.
【變式5-2】（23-24高二·全國·課后作業）已知隨機變量的正態密度函數為，則其均值和標準差分別是（ ）
A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1
【解題思路】根據正態總體的概率密度函數的意義直接求解即可.
【解答過程】由的形式，知的均值和標準差分別為0和2.
正態總體的概率密度函數為,
根據，可得其均值為0，標準差為2，
故選：C.
【變式5-3】（23-24高二下·福建泉州·期末）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣，發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全，農業科學發展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態分布，其密度曲線函數為，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．該地水稻的平均株高為
B．該地水稻株高的方差為100
C．隨機測量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．隨機測量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大
【解題思路】根據密度曲線求得，然后對選項進行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】依題意，
所以平均數為，方差為，所以AB選項正確.
依題意，
而，即，所以C選項錯誤.
，所以D選項正確.
故選：C.
【題型6 正態曲線的性質】
【例6】（2024·湖南益陽·三模）某生產線正常生產下生產的產品的一項質量指標近似服從正態分布，若，則實數的值為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【解題思路】根據正態曲線的對稱性計算可得.
【解答過程】因為，且，
所以，解得.
故選：B.
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量()，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】正態分布中的概率問題一般需要用到正態曲線的對稱性，需要畫出大致的正態曲線，標注好對稱軸，數形結合，分別判斷四個選項的正誤即可．
【解答過程】

由圖(1)得，所以A錯誤．
由圖(2)，對應陰影部分的面積，對應空白部分的面積，所以，所以B錯誤．
由圖(3)，因為正態分布中，所以所對應圖形的面積一定大于所對應圖形的面積，所以，所以C正確．
由圖(4)可知，對應圖形的面積大于對應圖形的面積，所以，所以D錯誤．
故選：C.
【變式6-2】（2024·四川·模擬預測）若隨機變量服從正態分布，則（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
【解題思路】由題可知，所以和對稱，據此求解即可.
【解答過程】因為隨機變量服從正態分布，
所以；
所以．
故選：A．
【變式6-3】（2024·安徽合肥·三模）為弘揚我國優秀的傳統文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了言語表達測試，經過大數據分析，發現本次言語表達測試成績服從，據此估計測試成績不小于94的學生所占的百分比為（ ）
參考數據：
A． B． C． D．
【解題思路】根據正態分布的對稱性求得正確答案.
【解答過程】依題意，
所以測試成績不小于94的學生所占的百分比為 ．
故選：A．
【題型7 正態分布的概率計算】
【例7】（2024·甘肅張掖·三模）若已知隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.25 D．0.15
【解題思路】由正態分布曲線的對稱性，由此即可計算出答案.
【解答過程】隨機變量服從正態分布，所以對稱軸為，
因為，所以，
所以，
故選：C.
【變式7-1】（2024·全國·三模）已知隨機變量，且，則（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
【解題思路】利用正態分布的對稱性求概率即可.
【解答過程】由題設，而，
又，
所以.
故選：B.
【變式7-2】（2024·遼寧·模擬預測）某種酸奶每罐凈重（單位：g）服從正態分布.隨機抽取1罐，其凈重在與之間的概率為（ ）
（注：若，，，）
A．0.8186 B．0.84135 C．0.9545 D．0.6827
【解題思路】根據正態分布的對稱性，以及，，即可求得凈重在與之間的概率．
【解答過程】由題意可知，，，可得，，
凈重在與之間的概率為，
由正態分布的對稱性可知，
，
所以凈重在與之間的概率為.
故選：A.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）在日常生活中，許多現象都服從正態分布.若，記，，，經統計，某零件的尺寸大小（單位：dm）從正態分布，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正態分布的對稱性即可得所求.
【解答過程】由題意知，，則，，，.
結合正態曲線的對稱性可得.
故選：C.
【題型8 正態分布的實際應用】
【例8】（2024·廣東深圳·模擬預測）“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對于一次成功的考試來說，所有考生得考試成績應服從正態分布.某單位準備通過考試（按照高分優先錄取的原則）錄用300人，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績為，且，已知所有考生考試的平均成績，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值．（結果保留位整數）
(2)該單位的最低錄取分數約是多少？（結果保留為整數）
(3)考生甲的成績為286分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請說明理由．
參考資料：①當時，令，則．
②當，，，，．
【解題思路】（1）依題意，令，得到，根據及所給條件求出；
（2）由（1）可得，設最錄取分數為，根據，求得，即可得到答案；
（3）考生甲的成績為 ，得到甲能被錄取概率為，從而推導出分以上的人數，即可得解.
【解答過程】（1）依題意，令，則，
所以可得，，
，
又因為，則，解得；
（2）由（1）可得，
設最錄取分數為，則，
，，所以，
即最低錄取分數線為分．
（3）考生甲的成績為分分，
所以甲能被錄取概率為，
表明不低于考生甲的成績的人數約為總人數的，約有，
即考生甲大約排在第名，排在名之前，所以甲能獲得高薪.
【變式8-1】（2024·河南·模擬預測）某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為：前兩關中的每一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連續通過三關且第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.
(1)若小李在第一關 第二關及第三關通過測試的概率分別為，求小李成功競聘的概率；
(2)統計得10000名競聘者的得分，試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若隨機變量，則
【解題思路】（1）由獨立乘法、互斥加法以及對立事件的概率公式即可求解；
（2）首先根據正態分布曲線的性質求出得分在442分以上的概率，從而乘以10000即可得解.
【解答過程】（1）設：第次通過第一關測試，：第次通過第二關測試，：一次性通過第三關測試，因為各關通過與否相互獨立，
所以
，
.
（2）由題意可知，，
則，
，
，
所以得分在442分以上的競聘者約有228人.
【變式8-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）隨著網絡技術的迅速發展，各種購物群成為網絡銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：
臍橙數量/盒
購物群數量/個 12 18 32 18
(1)求實數的值.并用組中值（每組的中點值）估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數；
(2)假設所有購物群銷售臍橙的數量，其中為（1）中的平均數，.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在（單位：盒）內的群為“級群”，銷售數量小于256盒的購物群為“級群”，銷售數量不小于616盒的購物群為“特級群”，該臍橙基地對每個“特級群”獎勵600元，每個“級群”獎勵100，對“級群”不獎勵，則該臍橙基地大約需要準備多少獎金？（群的個數按四舍五入取整數）
附：若，則， ，.
【解題思路】（1）利用頻數之和等于樣本總數易得值，利用與頻數分布表有關的平均數公式計算即得；
（2）由題意，結合（1）的結果易得的值，根據“級群”， “特級群”的范圍，利用正態分布曲線的對稱性，求出對應的概率，再計算出需準備的獎金即可.
【解答過程】（1）由題意得，，解得.
則這100個購物群銷售臍橙總量的平均數為.
（2）由題意，則，
故
，
故“級群”約有個；
，
故“特級群”約有個；
則依題意，需要資金為元，即該臍橙基地大約需要準備95700元.
【變式8-3】（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網絡和短信等方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.
(1)已知該校參加本次競賽的學生分數近似服從正態分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.
（i）試判斷分數為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；
（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數（四舍五入后取整）.
(2)已知該學校有男生1000人，女生1200人，經調查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數記為，求的分布列及數學期望.
參考數據：若，則，，
【解題思路】（1）根據題意，得到，，結合，得出結論；
（ii）設全校參與本次競賽的人數為，根據正態分布曲線的對稱性，得到“反詐達人”的概率，列出方程，即可求解；
（2）根據題意，得到男生和女生了解“反詐”知識的概率，以及的所有可能取值，結合獨立重復試驗的概率公式，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.
【解答過程】（1）解：（i）由題意知，該校參加本次競賽的學生分數近似服從正態分布
可得，，因為，則該同學能被評為“反詐標兵”.
（ii）設全校參與本次競賽的人數為，“反詐達人”的概率為：
則，解得，所以參與本次知識競賽的學生人數約為人.
（2）解：由題意知，男生了解“反詐”知識的概率為，女生了解“反詐”知識的概率為，
隨機變量的所有可能取值為，
可得
所以隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4 5
所以，期望為.
一、單選題
1．（2024·青海·一模）已知隨機變量，若隨機變量，則（ ）
A．10 B．12 C．30 D．32
【解題思路】利用二項分布的期望公式和兩隨機變量的線性關系即可求解.
【解答過程】由題意可得，則．
故選：B.
2．（2024·云南·模擬預測）已知，且，則（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【解題思路】由正態曲線的對稱性可求出，即可求出.
【解答過程】根據正態曲線的對稱性，由，得，
再由總體密度曲線，數形結合知：.
故選：B．
3．（2024·山東青島·三模）某校高一有學生 980 人，在一次模擬考試中這些學生的數學成績 服從正態分布 ，已知 ，則該校高一學生數學成績在 110 分以上的人數大約為（ ）
A．784 B．490 C．392 D．294
【解題思路】根據正態分布的性質求出，即可估計人數.
【解答過程】因為，且，
所以，
所以，
又因為高一有學生980人，
所以該校高一學生數學成績在110分以上的人數大約為．
故選：C．
4．（2024·山東濟寧·三模）若隨機變量，隨機變量，則（ ）
A．0 B． C． D．2
【解題思路】利用正態分布的兩個參數就是隨機變量的期望和方差，再利用兩個線性隨機變量之間的期望和方差公式，即 ，就可以求出結果.
【解答過程】由可知：，
又因為，所以，
，
則，
故選：B.
5．（23-24高二下·遼寧·階段練習）某市組織了一次高二調研考試，考試后統計的數學成績服從正態分布，其密度函數， x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是
A．該市這次考試的數學平均成績為80分
B．分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同
C．分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同
D．該市這次考試的數學成績標準差為10
【解題思路】分析：根據密度函數的特點可得：平均成績及標準差，再結合正態曲線的對稱性可得分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同，從而即可選出答案.
【解答過程】密度函數，
該市這次考試的數學平均成績為80分
該市這次考試的數學標準差為10，
從圖形上看，它關于直線對稱，
且50與110也關于直線對稱，
故分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同.
故選B.
6．（2024·黑龍江·三模）袋中裝有標號為1，2，3，4，5且質地、大小相同的5個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是偶數，則獲獎.若有4人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先確定摸一次中獎的概率，4個人摸獎，相當于發生4次試驗，根據每一次發生的概率，利用獨立重復試驗的公式得到結果．
【解答過程】從袋子中一次性摸出兩個球，共有=10種情況，
其中兩個號碼的和為偶數的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4種情況，
所以一個人摸球，能夠獲獎的概率為，
所以4人參與摸球，
恰好2人獲獎的概率.
故選：A.
7．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數為，則=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先通過二項式定理得出在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，然后結合超幾何分布求得相應的概率，進而結合均值公式即可得解.
【解答過程】的二項展開式為，
由題意，解得，
若要取到有理項，則需要能被3整除，則，
即在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，
若在展開式中任取3項，其中有理項的個數為，可知的所有可能取值分別為0，1，2，3，
，，
所以.
故選：C.
8．（2024·浙江·模擬預測）克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設隨機變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數，現以使最大的值估計的取值并計算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．與10的大小無法確定
【解題思路】由題可知服從二項分布，，結合，計算得，又和，故得.
【解答過程】由題，服從二項分布，則，
最大即為滿足的最小，
即為，
又，故為整數時，不為整數時為大于的最小整數，
而，當為整數時顯然成立，
當不為整數時大于的最小整數為的整數部分，其小于，
故，
故選：B.
二、多選題
9．（2024·吉林·模擬預測）從含有2件次品的100件產品中，任意抽出3件，則（ ）
A．抽出的產品中恰好有1件是次品的抽法有種
B．抽出的產品中至多有1件是次品的概率為
C．抽出的產品中至少有件是次品的概率為
D．抽出的產品中次品數的數學期望為
【解題思路】對于A，由題意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，對于BC，利用超幾何分布的概率公式求解，對于D，設抽出的次品數為，由題意可知可能取值為0，1，2，求出相應的概率，從而可求出其期望.
【解答過程】對于A，若抽出的3件產品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，
所以共有種不同的抽法，所以A正確，
對于B，由題意可知抽出的產品中至多有1件是次品的概率為，所以B錯誤，
對于C，由題意得抽出的產品中至少有件是次品的概率為，所以C正確，
對于D，設抽出的次品數為，由題意可知可能取值為0，1，2，則
，，，
所以，所以D正確.
故選：ACD.
10．（2024·四川成都·模擬預測）已知，都是服從正態分布的隨機變量，且，，其中，，則下列命題正確的有（ ）
A．
B．
C．若，，則
D．若，，，則
【解題思路】由正態分布的期望公式及方差公式即可判斷AB；由正態分布的對稱性即可判斷C；由方差的性質即可判斷D．
【解答過程】對于A，由正態分布的期望公式得，，故A正確；
對于B，由正態分布的方差公式得，，故B錯誤；
對于C，由正態分布的對稱性得，，
所以，故C正確；
對于D，由，，，則，，
根據方差的性質知，分布更集中，所以，故D正確；
故選：ACD．
11．（2024·福建泉州·模擬預測）某人在次射擊中擊中目標的次數為，其中，設擊中偶數次為事件，則（ ）
A．當時，取得最大值 B．當時，取得最小值
C．當隨的增大而減小 D．當隨的增大而減小
【解題思路】對于AB，直接由二項分布的方差公式即可求解；對于CD，可以根據二項式定理得出，進一步通過的范圍即可判斷的單調性.
【解答過程】對于AB：，
當時，取得最大值，故A正確，B錯誤；
對于CD：，
，
，
，
當時，為正負交替的擺動數列，
所以不會隨著的增大而減小，故C錯誤；
當時，為正項且單調遞減的數列，
所以隨著的增大而減小，故D正確.
故選：AD．
三、填空題
12．（2023·江蘇·三模）設隨機變量（共10件產品，其中有2件合格品，從中取出3件，有X件），則 .
【解題思路】根據超幾何分布計算公式可得.
【解答過程】由隨機變量服從超幾何分布，
可知3表示選出3個，2表示有2個供選擇，總數為10，
根據超幾何分布公式可得.
故答案為：.
13．（2024·河南信陽·二模）某生產線正常生產下生產的產品的一項質量指標近似服從正態分布，若，則實數的值為 3 .
【解題思路】根據正態分布的對稱性可得方程，求出.
【解答過程】近似服從正態分布，，
故，解得.
故答案為：3.
14．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則 5 .
【解題思路】分析得到～，有，由二項式系數的性質求最大值.
【解答過程】小球在下落的過程中，共10次等可能的向左或向右落下，則小球落入底部的格子號碼服從二項分布，
且落入格子的號碼即向右次數，即～，
所以，
由二項式系數的對稱性可知當時，最大，即最大，所以．
故答案為：5.
四、解答題
15．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某校為營造學科學、愛科學、用科學的良好氛圍，使學生掌握必要和基本的科學知識，培養良好的科學學習態度.特舉辦以“體悟科技魅力，激發思維潛能”為主題科普知識競賽：該活動規定每班選3人，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分.在競賽中，甲 乙兩班代表隊相遇，假設甲隊3人回答正確的概率均為，乙隊3人回答正確的概率分別為，，，且兩隊各人回答問題正確與否互不影響.
(1)求甲隊總得分為20分且乙隊總得分為10分的概率；
(2)求甲隊總得分X的分布列和數學期望.
【解題思路】（1）利用獨立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用二項分布的公式求解即可.
【解答過程】（1）由題設，甲隊得20分，即2人答對1人答錯，概率為，
乙隊得10分，即1人答對2人答錯，概率為，
所以甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率.
（2）由題意可知，甲隊總得分X的可能值為，
，，
，，
甲隊總得分X的分布列如下：
0 10 20 30
所以
16．（2024·山東泰安·模擬預測）增強青少年體質，促進青少年健康成長，是關系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高一年級學生體育鍛煉情況，隨機抽取體育鍛煉時間在（單位：分鐘）的50名學生，統計他們每天體育鍛煉的時間作為樣本并繪制成如下的頻率分布直方圖，已知樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生.
(1)求a，b的值；
(2)若從樣本中體育鍛煉時間在的學生中隨機抽取4人，設X表示在的人數，求X的分布列和均值.
【解題思路】（1）體育鍛煉時間在的頻率為，可求，利用面積和等于，可求；
（2）樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生，在的有3名學生，可得，利用超幾何分布可求分布列與數學期望.
【解答過程】（1）因為體育鍛煉時間在的頻率為，
所以，
又因為，
所以
（2）樣本中體育鍛煉時間在的有5名學生，在的有3名學生
則
，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以.
17．（2024·新疆喀什·三模）某企業監控汽車零件的生產過程，現從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質量差（零件質量與標準質量之差的絕對值）的樣本數據如下表：
質量差（單位：） 54 58 60 63 64
件數（單位：件） 5 25 45 20 5
(1)求樣本質量差的平均數；假設零件的質量差，其中，用作為的近似值，求的值；
(2)已知該企業共有兩條生產汽車零件的生產線，其中第1條生產線和第2條生產線生產的零件件數比是3:1．若第1、2條生產線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產線是否產出廢品是相獨立的．現從該企業生產的汽車零件中隨機抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件為廢品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產線的概率．
參考數據：若隨機變量，則，，
【解題思路】（1）先求出，再利用正態分布曲線的對稱性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用條件概率公式求解.
【解答過程】（1）由題意可知:，
則，
所以
（2）（i）設事件表示“隨機抽取一件該企業生產的該零件為廢品”，
事件表示“隨機抽取一件零件為第1條生產線生產”，
事件表示“隨機抽取一件零件為第2條生產線生產”，
則，，，，
所以；
（ii）因為，
所以，
所以．
18．（2024·黑龍江·三模）為建立健全國家學生體質健康監測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發了《國家學生體質健康標準》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試，并從中隨機抽取了500名學生的數據，根據他們的健康指數繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計這500名學生健康指數的平均數(同一組數據用該組區間的中點值作代表)；
(2)由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數X近似服從正態分布N(，)，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差(=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知該市高三學生約有30000名，記健康指數在區間[60.29，87.92]的人數為，試求E().
附：參考數據：，若隨機變量X服從正態分布N(，)，則，，.
【解題思路】（1）以組中值代替小組平均值，根據加權平均數公式計算可得；
（2）①根據正態分布的性質求解即可；②根據二項分布的期望公式計算即可.
【解答過程】（1）由題意得，平均數=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；
（2）①由(1)可知=69.5，≈9.21，
則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；
②由①可知1名學生的健康指數位于[60.29，87.92]的概率為0.819，
依題意，服從二項分布，即～B(30000,0.819)，
則E()=np=24570.
19．（2024·新疆·二模）目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．
(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；
(2)若未來10天內虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數為．
①判斷為何值時，最大；
②記，求．
【解題思路】（1）先求出小李第二天和第三天都沒有觀看虛擬主播直播的概率，然后利用對立事件的概率，即可求解；
（2）①由已知服從二項分布，則，進而可得，然后利用比值與1比較大小，即可求解；
②因為，所以可能取值為1或，然后結合①分別求出和的概率代入，即可得解.
【解答過程】（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為，
所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.
（2）①由已知服從二項分布，所以，
由，
當時，，所以，即，
當時，，所以，即，
綜上，當時，最大.
②因為，所以或，
當時，，
，
當時，，
，
.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑