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專題9.3 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 變量的相關(guān)關(guān)系】 4
【題型2 樣本相關(guān)系數(shù)】 5
【題型3 一元線性回歸模型】 6
【題型4 非線性回歸模型】 8
【題型5 殘差分析】 11
【題型6 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】 12
【題型7 獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識綜合】 14
1、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義 (2)了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運(yùn)用這些方法解決簡單的實(shí)際問題 (3)會利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 2022年新高考全國I卷：第20題，12分 2023年全國甲卷（文數(shù)、理數(shù)）：第19題，12分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第18題，12分 2024年天津卷：第3題，5分 2024年上海卷：第13題，5分、第19題，12分 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，主要以解答題的形式考查，一般會與概率等知識結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，難度中等；有時(shí)也會在選擇、填空題中出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練.
【知識點(diǎn)1 變量的相關(guān)關(guān)系】
1．變量的相關(guān)關(guān)系
(1)函數(shù)關(guān)系
函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來表示.
(2)相關(guān)關(guān)系
兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)
系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.
2．散點(diǎn)圖
(1)散點(diǎn)圖
成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.
(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)
如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)
變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).
3．線性相關(guān)
一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線
性相關(guān).
【知識點(diǎn)2 樣本相關(guān)系數(shù)】
1．樣本相關(guān)系數(shù)
(1)對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用
相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：
（其中，，，和，，，的均值分別為和）.
①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小；
當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.
②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會變大；
當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會變小.
【知識點(diǎn)3 一元線性回歸模型】
1．一元線性回歸模型
把式子為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱
為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.
2．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法
設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，顯然||越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小.
通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和Q=來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線
y=bx+a的“整體接近程度”.
當(dāng)a，b的取值為時(shí)，Q達(dá)到最小.將=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方
程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì).
經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)(,).
3．殘差分析
對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減
去預(yù)測值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.
4．回歸分析的三大常用結(jié)論
(1)求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心.
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.
(3)根據(jù)的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.
【知識點(diǎn)4 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】
1．2×2列聯(lián)表
假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為
X Y 合計(jì)
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合計(jì) a+c b+d a+b+c+d
2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).
2．獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)假定通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.
X Y 合計(jì)
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
則.
(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡
稱獨(dú)立性檢驗(yàn).
(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.
3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的解題策略
解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；
(2)根據(jù)公式計(jì)算；
(3)通過比較與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計(jì)推斷.
【方法技巧與總結(jié)】
1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn).
2．求時(shí)，常用公式.
3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.
【題型1 變量的相關(guān)關(guān)系】
【例1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知變量與的回歸直線方程為，變量與負(fù)相關(guān)，則（ ）
A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān)
C．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān) D．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)
【變式1-1】（23-24高二下·北京豐臺·期末）在一般情況下，下列各組的兩個(gè)變量呈正相關(guān)的是（ ）
A．某商品的銷售價(jià)格與銷售量 B．汽車勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間
C．氣溫與冷飲的銷售量 D．人的年齡與視力
【變式1-2】（23-24高二下·四川眉山·期末）根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比．測得一根彈簧伸長長度x和相應(yīng)所受外力F的一組數(shù)據(jù)如下：
編號 1 2 3 4 5 6
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25
據(jù)此給出以下結(jié)論：
①這兩變量不相關(guān)；②這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；③這兩個(gè)變量正相關(guān)．
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）觀察下列散點(diǎn)圖，其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)為正相關(guān)，b為負(fù)相關(guān)，c為不相關(guān) B．a(chǎn)為負(fù)相關(guān)，b為不相關(guān)，c為正相關(guān)
C．a(chǎn)為負(fù)相關(guān)，b為正相關(guān)，c為不相關(guān) D．a(chǎn)為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負(fù)相關(guān)
【題型2 樣本相關(guān)系數(shù)】
【例2】（2024·上海·三模）上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，則下述大小關(guān)系正確的為（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-1】（23-24高二上·遼寧·期末）在一組樣本數(shù)據(jù)、、、、、、、不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有的樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川成都·二模）對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
【變式2-3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對近段時(shí)間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：
身體綜合指標(biāo)評分 1 2 3 4 5
用時(shí)小時(shí)） 9.5 8.8 7.8 7 6.1
由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（ ）
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：相關(guān)系數(shù).
A．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)正相關(guān)
B．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較弱
C．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較強(qiáng)
D．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合
【題型3 一元線性回歸模型】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年第19屆亞運(yùn)會在杭州舉行，亞運(yùn)會的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（ ）
時(shí)間x 1 2 3 4 5
銷售量y/萬只 5 4.5 4 3.5 2.5
A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)
B．當(dāng)時(shí)，殘差為0.2
C．可以預(yù)測當(dāng)時(shí)銷量約為2.1萬只
D．線性回歸方程中
【變式3-1】（2024·河北滄州·二模）隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場都在搞“”促銷活動(dòng).市物價(jià)局派人對某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)（單位：元）和銷售量（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
用最小二乘法求得與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，預(yù)測該商品的銷售量件數(shù)大約為（ ）（單位：百件）
A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2
【變式3-2】（2024·青海西寧·二模）只要騎車，都應(yīng)該戴頭盔．騎行頭盔是騎行中生命堅(jiān)實(shí)的保護(hù)屏障．騎行過程中的摔倒會對頭部造成很大的損害，即使騎行者是以較低的車速沿著坡度平穩(wěn)的自行車道騎行，也同樣不可忽視安全問題．佩戴頭盔的原因很簡單也很重要——保護(hù)頭部，減少傷害．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，在每年超過500例的騎車死亡事故中，有75%的死亡原因是頭部受到致命傷害造成的，醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，騎車佩戴頭盔可防止85%的頭部受傷，并且大大減小了損傷程度和事故死亡率．
某市對此不斷進(jìn)行安全教育，下表是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到通過該路口的騎電動(dòng)車不戴頭盔的人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份序號 1 2 3 4 5
不戴頭盔人數(shù) 1450 1300 1200 1100 950
(1)求不戴頭盔人數(shù)與年份序號之間的線性回歸方程；
(2)預(yù)測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)．
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．
【變式3-3】（2024·吉林延邊·二模）我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額x（單位：百萬元）對年收入的附加額y（單位：百萬元）的影響，對往年研發(fā)資金投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
投入額 2 3 4 5 6 8 9 11
年收入的附加額 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求年收入的附加額y與投入額x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1，則稱對應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”，現(xiàn)從上面8個(gè)投入額中任意取3個(gè)，用X表示這3個(gè)投入額為“優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【參考數(shù)據(jù)】，，．
【附】在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，，．
【題型4 非線性回歸模型】
【例4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)和直播帶貨技術(shù)的發(fā)展，直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產(chǎn)品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統(tǒng)計(jì)了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個(gè)月的銷售量(萬件)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中6月份至10月份相應(yīng)的代碼為，如:表示6月份.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②哪一個(gè)更適宜作為月銷售量關(guān)于月份代碼的回歸方程 （給出判斷即可，不必說明理由）
(2)（i）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程;(計(jì)算結(jié)果精確到0.01)
（ⅱ）根據(jù)結(jié)果預(yù)測12月份的銷售量大約是多少萬件
參考公式與數(shù)據(jù): ， ， ，其中.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）腦機(jī)接口，即指在人或動(dòng)物大腦與外部設(shè)備之間創(chuàng)建的直接連接，實(shí)現(xiàn)腦與設(shè)備的信息交換.近日埃隆.馬斯克宣布，腦機(jī)接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請，該試驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)意念控制手機(jī)和電腦.未來10到20年，我國腦機(jī)接口產(chǎn)業(yè)將產(chǎn)生數(shù)百億元的經(jīng)濟(jì)價(jià)值.為了適應(yīng)市場需求，同時(shí)兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過調(diào)研，得到年收益增量（單位：億元）與研發(fā)人員增量（人）的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖.
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到下表數(shù)據(jù)，其中.
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型；（無需說明理由）
(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；并用該模型預(yù)測，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）
附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
【變式4-2】（2024·福建南平·模擬預(yù)測）某大型商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場對天氣溫度和飲料的銷售量進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：
10 15 20 25 30 35 40
4 16 64 256 2048 4096 8192
經(jīng)分析，可以用作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；
(2)若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為，在商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
【變式4-3】（2024·重慶·二模）某商場推出“云閃付”購物活動(dòng)，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引了越來越多的顧客使用這種支付方式.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用“云閃付”支付的人數(shù)，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用該支付方式的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 13 25 40 73 110 201
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，支付的人數(shù)關(guān)于天數(shù)的回歸方程適合用表示.
(1)求該回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用“云閃付”的人數(shù)；（的結(jié)果精確到0.01）
(2)推廣期結(jié)束后，商場對顧客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
支付方式 云閃付 會員卡 其它支付方式
比例
商場規(guī)定：使用會員卡支付的顧客享8折，“云閃付”的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，其它支付方式的顧客無優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“云閃付”的顧客，享7折的概率為，享8折的概率為，享9折的概率為.設(shè)顧客購買標(biāo)價(jià)為元的商品支付的費(fèi)用為，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率，寫出的分布列，并求.
參考數(shù)據(jù)：設(shè).
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.
【題型5 殘差分析】
【例5】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（ ）
A．38.1 B．22.6 C． D．91.1
【變式5-1】（2024·河北石家莊·三模）下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（23-24高二下·河北唐山·階段練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬元）之間有下表關(guān)系：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
與的線性回歸方程為，當(dāng)廣告支出5萬元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（ ）
A． B． C．20 D．10
【變式5-3】（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)某制造公司進(jìn)行技術(shù)升級后的第x個(gè)月（）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若時(shí)的觀測值，則時(shí)的殘差為（ ）
A． B．1 C．3 D．6
【題型6 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】
【例6】（2024·上海閔行·二模）某疾病預(yù)防中心隨機(jī)調(diào)查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：
不吸煙者 吸煙者 總計(jì)
不患慢性氣管炎者 121 162 283
患慢性氣管炎者 13 43 56
總計(jì) 134 205 339
假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系，即它們相互獨(dú)立.通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，得，根據(jù)分布概率表:，，，.給出下列3個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于；
②有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)；
③分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計(jì)上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生.
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【變式6-1】（2024·遼寧鞍山·二模）校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（ ）人．
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，．
A．20 B．30 C．35 D．40
【變式6-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）某醫(yī)院對治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進(jìn)行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進(jìn)行治療，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
有效 無效 合計(jì)
使用方案A組 96 120
使用方案B組 72
合計(jì) 32
(1)完成上述列聯(lián)表，并比較兩種治療方案有效的頻率；
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)？
附：.
P() 0.005 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
【變式6-3】（2024·上海·高考真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績
優(yōu)秀 5 44 42 3 1
不優(yōu)秀 134 147 137 40 27
(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？
(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）
(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？
（附：其中，．）
【題型7 獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識綜合】
【例7】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）跑步是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊环N鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，抑制人體癌細(xì)胞生長和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.
喜歡 不喜歡 合計(jì)
男 12 8 20
女 10 10 20
合計(jì) 22 18 40
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？
(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為.對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）.設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【變式7-1】（2024·安徽蕪湖·三模）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過3次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過3次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
男生 女生 合計(jì)
喜歡食堂就餐 40 20 60
不喜歡食堂就餐 10 30 40
合計(jì) 50 50 100
(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)：
(2)該校甲同學(xué)逢星期二和星期四都在學(xué)校食堂就餐，且星期二會從①號、②號兩個(gè)套餐中隨機(jī)選擇一個(gè)套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為；若星期二選擇了②號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為，求甲同學(xué)星期四選擇②號套餐的概率．
(3)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為．事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的值．
參考公式：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【變式7-2】（2024·湖南邵陽·三模）某市開展“安全隨我行”活動(dòng)，交警部門在某個(gè)交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動(dòng)摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)與天數(shù)的情況，對統(tǒng)計(jì)得到的樣本數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與哪一個(gè)更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)依據(jù)（1）的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.
(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對該路口騎電動(dòng)摩托車市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
性別 佩戴頭盔 合計(jì)
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合計(jì) 22 18 40
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民騎電動(dòng)摩托車佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)？
參考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某醫(yī)療科研小組為研究某市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣的關(guān)系，從該市市民中隨機(jī)抽查了100人，得到如表數(shù)據(jù)．（注：用表示的對立事件）
疾病A 生活習(xí)慣B
具有 不具有
患病 25 15
未患病 20 40
(1)是否有超過的把握認(rèn)為，該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣有關(guān)
(2)從該市市民中任選一人，表示事件“選到的人不具有生活習(xí)慣”，表示事件“選到的人患有疾病”，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，求的估計(jì)值；
(3)從該市市民中任選3人，記這3人中具有生活習(xí)慣，且未患有疾病的人數(shù)為，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，求的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
一、單選題
1．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知變量和滿足關(guān)系，變量y與正相關(guān)，則（ ）
A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān)
C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)
2．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異
B．兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
C．若一組樣本數(shù)據(jù)（）的樣本點(diǎn)都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為0.98
D．由一組樣本數(shù)據(jù)（）求得的回歸直線方程為，設(shè)，則
3．（2024·上海·模擬預(yù)測）在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2024·江西南昌·三模）如圖對兩組數(shù)據(jù)，和，分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖，并求得線性回歸方程分別是和，并對變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)，對變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南邵陽·三模）某學(xué)習(xí)小組對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點(diǎn)的中心為.乙同學(xué)對甲的計(jì)算過程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北荊州·三模）根據(jù)變量和的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，求得如圖所示的殘差圖.模型誤差（ ）
A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)
B．不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)
C．不滿足一元線性回歸模型的假設(shè)
D．不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè)
7．（2024·天津河北·二模）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長. 已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模與年份代碼的關(guān)系可以用模型（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代碼 1 2 3 4 5
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則2026年該科技公司云計(jì)算市場規(guī)模的估計(jì)值為（ ）
（參考公式：）
A． B． C． D．
8．（2024·四川成都·三模）有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
優(yōu)秀 非優(yōu)秀
甲班 10
乙班 30
附：（），
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)
B．甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率
C．表中的值為15，的值為50
D．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”
二、多選題
9．（2024·廣東東莞·三模）下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1
B．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高
C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
D．若數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2
10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（ ）
月份編號 1 2 3 4 5
下載量（萬次） 5 4.5 4 3.5 2.5
A．與負(fù)相關(guān) B．
C．預(yù)測第6個(gè)月的下載量是2.1萬次 D．殘差絕對值的最大值為0.2
11．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）某中學(xué)為更好的開展素質(zhì)教育，現(xiàn)對外出研學(xué)課程是否和性別有關(guān)做了一項(xiàng)調(diào)查，其中被調(diào)查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的，女生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的．若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)”．則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（ ）
男生 女生 合計(jì)
選修外出研學(xué)課程
未選修外出研學(xué)課程
合計(jì)
附：
，其中
A．150人 B．225人 C．300人 D．375人
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）某試驗(yàn)小組收集了部分父親和兒子的身高數(shù)據(jù)，通過測量與回歸方程計(jì)算得到如下五組兒子身高的觀測值與估計(jì)值，則該組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的決定系數(shù) ．
兒子身高觀測值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5
兒子身高估計(jì)值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5
13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知某品牌的新能源汽車的使用時(shí)間x（年）與維護(hù)費(fèi)用y（千元）之間有如下數(shù)據(jù)：
使用時(shí)間x（年） 2 4 6 8 10
維護(hù)費(fèi)用y（千元） 2.4 3.2 4.4 6.8 7.6
若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的線性回歸方程為．據(jù)此估計(jì)，該品牌的新能源汽車的使用時(shí)間為12年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用約為 千元．
14．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病
服用 50
未服用 50
合計(jì) 80 20 100
取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為 ．
(參考公式：；參考值：）
四、解答題
15．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應(yīng)年份2015~2023．
已知，，，．
(1)可否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說明．
(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型，可否用此模型來預(yù)測2024年和2034年我國的氮氧化物排放量？請說明理由．
附：相關(guān)系數(shù)．
16．（2024·青海·二模）某企業(yè)近年來的廣告費(fèi)用x（百萬元）與所獲得的利潤y（千萬元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
年份 2018 2019 2020 2021 2022
廣告費(fèi)用x/百萬元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
利潤y/千萬元 1.6 2 2.4 2.5 3
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程：
(2)若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬元，根據(jù)（1）中所得的線性回歸方程，預(yù)測2025年該企業(yè)可獲得的利潤.
參考公式：，.
17．（2024·四川宜賓·三模）某地為調(diào)查年齡在35―50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35―50歲段人群中隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：
女性 男性
每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí) 60 80
每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí) 40 20
(1)根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35―50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)？
(2)在以上被抽取且每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)的人中，按性別進(jìn)行分層抽樣，共抽6人．再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人中至少有1人是女性的概率．
參考公式：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）和溫度（）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中；；；
(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，哪種模型比較合適？
(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出關(guān)于的回歸方程．
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，
19．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人．
男生 女生 合計(jì)
喜歡食堂就餐
不喜歡食堂就餐 10
合計(jì) 100
(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)：
(2)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“”的概率為，求隨機(jī)變量X的期望和方差．
參考公式：，其中．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題9.3 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 變量的相關(guān)關(guān)系】 4
【題型2 樣本相關(guān)系數(shù)】 6
【題型3 一元線性回歸模型】 8
【題型4 非線性回歸模型】 11
【題型5 殘差分析】 16
【題型6 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】 18
【題型7 獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識綜合】 21
1、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義 (2)了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運(yùn)用這些方法解決簡單的實(shí)際問題 (3)會利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 2022年新高考全國I卷：第20題，12分 2023年全國甲卷（文數(shù)、理數(shù)）：第19題，12分 2024年全國甲卷（文數(shù)）：第18題，12分 2024年天津卷：第3題，5分 2024年上海卷：第13題，5分、第19題，12分 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，主要以解答題的形式考查，一般會與概率等知識結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，難度中等；有時(shí)也會在選擇、填空題中出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練.
【知識點(diǎn)1 變量的相關(guān)關(guān)系】
1．變量的相關(guān)關(guān)系
(1)函數(shù)關(guān)系
函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來表示.
(2)相關(guān)關(guān)系
兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)
系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.
2．散點(diǎn)圖
(1)散點(diǎn)圖
成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.
(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)
如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)
變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).
3．線性相關(guān)
一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線
性相關(guān).
【知識點(diǎn)2 樣本相關(guān)系數(shù)】
1．樣本相關(guān)系數(shù)
(1)對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用
相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：
（其中，，，和，，，的均值分別為和）.
①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小；
當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.
②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會變大；
當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會變小.
【知識點(diǎn)3 一元線性回歸模型】
1．一元線性回歸模型
把式子為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱
為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.
2．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法
設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，顯然||越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小.
通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和Q=來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線
y=bx+a的“整體接近程度”.
當(dāng)a，b的取值為時(shí)，Q達(dá)到最小.將=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方
程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì).
經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)(,).
3．殘差分析
對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減
去預(yù)測值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.
4．回歸分析的三大常用結(jié)論
(1)求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心.
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.
(3)根據(jù)的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.
【知識點(diǎn)4 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】
1．2×2列聯(lián)表
假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為
X Y 合計(jì)
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合計(jì) a+c b+d a+b+c+d
2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).
2．獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)假定通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.
X Y 合計(jì)
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
則.
(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡
稱獨(dú)立性檢驗(yàn).
(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.
3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的解題策略
解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；
(2)根據(jù)公式計(jì)算；
(3)通過比較與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計(jì)推斷.
【方法技巧與總結(jié)】
1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn).
2．求時(shí)，常用公式.
3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.
【題型1 變量的相關(guān)關(guān)系】
【例1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知變量與的回歸直線方程為，變量與負(fù)相關(guān)，則（ ）
A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān)
C．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān) D．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合回歸方程可判斷與正相關(guān)，再由變量與負(fù)相關(guān)，即可判斷與負(fù)相關(guān).
【解答過程】根據(jù)回歸方程可知變量與正相關(guān)，又變量與負(fù)相關(guān)，
由正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的定義可知，與負(fù)相關(guān).
故選：D.
【變式1-1】（23-24高二下·北京豐臺·期末）在一般情況下，下列各組的兩個(gè)變量呈正相關(guān)的是（ ）
A．某商品的銷售價(jià)格與銷售量 B．汽車勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間
C．氣溫與冷飲的銷售量 D．人的年齡與視力
【解題思路】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念逐項(xiàng)判定，即可求解.
【解答過程】對于A，某商品的銷售價(jià)格與銷售量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；
對于B，汽車勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，故錯(cuò)誤；
對于C，氣溫與冷飲的銷售量呈正相關(guān)，故正確；
對于D，人的年齡與視力呈負(fù)相關(guān)，故錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式1-2】（23-24高二下·四川眉山·期末）根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比．測得一根彈簧伸長長度x和相應(yīng)所受外力F的一組數(shù)據(jù)如下：
編號 1 2 3 4 5 6
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25
據(jù)此給出以下結(jié)論：
①這兩變量不相關(guān)；②這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；③這兩個(gè)變量正相關(guān)．
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解題思路】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷.
【解答過程】畫出彈簧伸長長度x和相應(yīng)所受外力F的散點(diǎn)圖，
可以判斷這兩變量相關(guān)，且為正相關(guān)，故①②錯(cuò)誤，③正確.
故選：C.
【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）觀察下列散點(diǎn)圖，其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)為正相關(guān)，b為負(fù)相關(guān)，c為不相關(guān) B．a(chǎn)為負(fù)相關(guān)，b為不相關(guān)，c為正相關(guān)
C．a(chǎn)為負(fù)相關(guān)，b為正相關(guān)，c為不相關(guān) D．a(chǎn)為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負(fù)相關(guān)
【解題思路】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)性，即可求解.
【解答過程】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，可得a中的數(shù)據(jù)分布在左下方到右上方的區(qū)域里，為正相關(guān)，
b中的數(shù)據(jù)分布在左上方到右下方的區(qū)域里，為負(fù)相關(guān)，
c中的數(shù)據(jù)各點(diǎn)分布不成帶狀，相關(guān)性不明確，不相關(guān).
故選：A.
【題型2 樣本相關(guān)系數(shù)】
【例2】（2024·上海·三模）上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，則下述大小關(guān)系正確的為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，再根據(jù)線性相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷即可.
【解答過程】由散點(diǎn)圖可知，圖一兩個(gè)變量成正相關(guān)，且線性相關(guān)性較強(qiáng)，故，
圖二、圖三兩個(gè)變量都成負(fù)相關(guān)，且圖二的線性相關(guān)性更強(qiáng)，
故，，，故，所以.
故選：C.
【變式2-1】（23-24高二上·遼寧·期末）在一組樣本數(shù)據(jù)、、、、、、、不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有的樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的與線性相關(guān)關(guān)系可得解.
【解答過程】因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)都在直線上，所以相關(guān)系數(shù)滿足.
又因?yàn)椋裕?
故選：C.
【變式2-2】（2024·四川成都·二模）對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
【解題思路】利用散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的知識可得答案.
【解答過程】由題意可知，變量的散點(diǎn)圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現(xiàn)正相關(guān)；
再分別觀察兩個(gè)散點(diǎn)圖，圖比圖點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù).
故選：C.
【變式2-3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對近段時(shí)間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：
身體綜合指標(biāo)評分 1 2 3 4 5
用時(shí)小時(shí)） 9.5 8.8 7.8 7 6.1
由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（ ）
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：相關(guān)系數(shù).
A．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)正相關(guān)
B．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較弱
C．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較強(qiáng)
D．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時(shí)的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合
【解題思路】求出相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小確定答案即可.
【解答過程】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù).
即相關(guān)系數(shù)近似為與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
所以選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，C正確.
故選：C.
【題型3 一元線性回歸模型】
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年第19屆亞運(yùn)會在杭州舉行，亞運(yùn)會的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（ ）
時(shí)間x 1 2 3 4 5
銷售量y/萬只 5 4.5 4 3.5 2.5
A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)
B．當(dāng)時(shí)，殘差為0.2
C．可以預(yù)測當(dāng)時(shí)銷量約為2.1萬只
D．線性回歸方程中
【解題思路】對于選項(xiàng)A，利用表中數(shù)據(jù)變化情況或看回歸方程的正負(fù)均可求解；對于選項(xiàng)B，利用樣本中心點(diǎn)求出線性回歸方程，再利用回歸方程即可求出預(yù)測值，進(jìn)而可求出殘差；對于選項(xiàng)C，利用回歸方程即可求出預(yù)測值；對于選項(xiàng)D，利用回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)即可求解.
【解答過程】對于選項(xiàng)A，從數(shù)據(jù)看，隨的增大而減小，所以變量與負(fù)相關(guān)，故A正確；
對于選項(xiàng)B，由表中數(shù)據(jù)知，，
所以樣本中心點(diǎn)為，將樣本中心點(diǎn)代入中得，
所以線性回歸方程為，所以，殘差，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)銷量約為（萬只），故C正確．
對于選項(xiàng)D，由B選項(xiàng)可知，故D正確.
故選：B.
【變式3-1】（2024·河北滄州·二模）隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場都在搞“”促銷活動(dòng).市物價(jià)局派人對某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)（單位：元）和銷售量（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
用最小二乘法求得與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，預(yù)測該商品的銷售量件數(shù)大約為（ ）（單位：百件）
A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2
【解題思路】求出，，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)求出，即可得到回歸直線方程，最后代入計(jì)算可得.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>所以回歸直線過點(diǎn)，故，解得，
所以，將代入中，得，
即當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，該商品的銷售量件數(shù)大約為百件.
故選：D.
【變式3-2】（2024·青海西寧·二模）只要騎車，都應(yīng)該戴頭盔．騎行頭盔是騎行中生命堅(jiān)實(shí)的保護(hù)屏障．騎行過程中的摔倒會對頭部造成很大的損害，即使騎行者是以較低的車速沿著坡度平穩(wěn)的自行車道騎行，也同樣不可忽視安全問題．佩戴頭盔的原因很簡單也很重要——保護(hù)頭部，減少傷害．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，在每年超過500例的騎車死亡事故中，有75%的死亡原因是頭部受到致命傷害造成的，醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，騎車佩戴頭盔可防止85%的頭部受傷，并且大大減小了損傷程度和事故死亡率．
某市對此不斷進(jìn)行安全教育，下表是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到通過該路口的騎電動(dòng)車不戴頭盔的人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份序號 1 2 3 4 5
不戴頭盔人數(shù) 1450 1300 1200 1100 950
(1)求不戴頭盔人數(shù)與年份序號之間的線性回歸方程；
(2)預(yù)測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)．
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．
【解題思路】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，，，，即可求出、，從而得到回歸直線方程；
（2）求出時(shí)即可得解.
【解答過程】（1）由題意知，，
所以，
，
所以，
所以，
所以不戴頭盔人數(shù)與年份序號之間的線性回歸方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，，
即預(yù)測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)為．
【變式3-3】（2024·吉林延邊·二模）我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額x（單位：百萬元）對年收入的附加額y（單位：百萬元）的影響，對往年研發(fā)資金投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
投入額 2 3 4 5 6 8 9 11
年收入的附加額 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求年收入的附加額y與投入額x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1，則稱對應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”，現(xiàn)從上面8個(gè)投入額中任意取3個(gè)，用X表示這3個(gè)投入額為“優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【參考數(shù)據(jù)】，，．
【附】在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，，．
【解題思路】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可出y與投入額x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）求出X的所有可能取值和對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案.
【解答過程】（1），，
，
又因?yàn)椋裕?br/>所以年收入的附加額y與投入額x的線性回歸方程為
（2）8個(gè)投入額中，“優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故X的所有可能取值為0，1，2，3，
；；；
則X的分布列為
X 0 1 2 3
P
.
【題型4 非線性回歸模型】
【例4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)和直播帶貨技術(shù)的發(fā)展，直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產(chǎn)品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統(tǒng)計(jì)了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個(gè)月的銷售量(萬件)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中6月份至10月份相應(yīng)的代碼為，如:表示6月份.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②哪一個(gè)更適宜作為月銷售量關(guān)于月份代碼的回歸方程 （給出判斷即可，不必說明理由）
(2)（i）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程;(計(jì)算結(jié)果精確到0.01)
（ⅱ）根據(jù)結(jié)果預(yù)測12月份的銷售量大約是多少萬件
參考公式與數(shù)據(jù): ， ， ，其中.
【解題思路】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合一次函數(shù)以及二次函數(shù)圖象特征分析判斷；
（2）（i）令，根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式求回歸方程；
（ⅱ）令，代入回歸方程運(yùn)算求解即可.
【解答過程】（1）由散點(diǎn)圖可知增加幅度不一致，且散點(diǎn)圖接近于曲線，非線性，
結(jié)合圖象故選模型②.
（2）（i）令，則，
可得，，
則，，
所以關(guān)于的回歸方程為，
即關(guān)于的回歸方程；
（ⅱ）令，可得，
預(yù)測12月份的銷售量大約是13.9萬件.
【變式4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）腦機(jī)接口，即指在人或動(dòng)物大腦與外部設(shè)備之間創(chuàng)建的直接連接，實(shí)現(xiàn)腦與設(shè)備的信息交換.近日埃隆.馬斯克宣布，腦機(jī)接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請，該試驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)意念控制手機(jī)和電腦.未來10到20年，我國腦機(jī)接口產(chǎn)業(yè)將產(chǎn)生數(shù)百億元的經(jīng)濟(jì)價(jià)值.為了適應(yīng)市場需求，同時(shí)兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過調(diào)研，得到年收益增量（單位：億元）與研發(fā)人員增量（人）的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖.
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到下表數(shù)據(jù)，其中.
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型；（無需說明理由）
(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；并用該模型預(yù)測，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）
附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
【解題思路】（1）根據(jù)殘差圖分析判斷；
（2）令與可用線性回歸來擬合，有，然后根據(jù)公式結(jié)合已知的數(shù)據(jù)求出，從而可求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，進(jìn)而可求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再由可求出研發(fā)人員增量.
【解答過程】（1）選擇模型②，理由如下：
由于模型②殘差點(diǎn)比較均勻在落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，
所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會越高，所以模型②比較合適.
（2）根據(jù)模型②，令與可用線性回歸來擬合，有.
則，所以
則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
由題意，，解得，又為整數(shù)，所以.
所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人.
【變式4-2】（2024·福建南平·模擬預(yù)測）某大型商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場對天氣溫度和飲料的銷售量進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：
10 15 20 25 30 35 40
4 16 64 256 2048 4096 8192
經(jīng)分析，可以用作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；
(2)若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為，在商場的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
【解題思路】（1）設(shè)，轉(zhuǎn)化為，利用最小二乘法，求得，求得，進(jìn)而得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）根據(jù)題意，得到變量的可能取值為，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.
【解答過程】（1）解：設(shè)，由，可得，
因?yàn)椋?br/>，所以，
由表中的數(shù)據(jù)可得，
則，
所以，
則，可得，
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
（2）解：由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，
可得，，
，，
所以變量的分布列為
3 4 5 6
P
所以，期望為
【變式4-3】（2024·重慶·二模）某商場推出“云閃付”購物活動(dòng)，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引了越來越多的顧客使用這種支付方式.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用“云閃付”支付的人數(shù)，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用該支付方式的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 13 25 40 73 110 201
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，支付的人數(shù)關(guān)于天數(shù)的回歸方程適合用表示.
(1)求該回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用“云閃付”的人數(shù)；（的結(jié)果精確到0.01）
(2)推廣期結(jié)束后，商場對顧客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
支付方式 云閃付 會員卡 其它支付方式
比例
商場規(guī)定：使用會員卡支付的顧客享8折，“云閃付”的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，其它支付方式的顧客無優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“云閃付”的顧客，享7折的概率為，享8折的概率為，享9折的概率為.設(shè)顧客購買標(biāo)價(jià)為元的商品支付的費(fèi)用為，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率，寫出的分布列，并求.
參考數(shù)據(jù)：設(shè).
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.
【解題思路】（1）由兩邊取常用對數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為線性歸回直線方程并結(jié)合公式進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)概率的乘法公式進(jìn)行求解列出分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算結(jié)果.
【解答過程】（1）由，得，設(shè)，，，則.
，
.
把樣本中心點(diǎn)代入方程得，
所以，即，
其回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，.
（2）的可能取值為：.
分布列如下：
0.1 0.35 0.15 0.4
所以，購物的平均費(fèi)用為：.
【題型5 殘差分析】
【例5】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（ ）
A．38.1 B．22.6 C． D．91.1
【解題思路】對于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)為觀測值，通過線性回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.
【解答過程】因?yàn)橛^測值減去預(yù)測值稱為殘差，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以殘差為 .
故選：C.
【變式5-1】（2024·河北石家莊·三模）下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)一元線性回歸模型對隨機(jī)誤差的假定即可判斷結(jié)果.
【解答過程】圖A顯示殘差與觀測時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分；
圖B說明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測時(shí)間變大而變大；
圖C顯示殘差與觀測時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；
圖D的殘差較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，
可見D滿足一元線性回歸模型對隨機(jī)誤差的假定．
故選：D．
【變式5-2】（23-24高二下·河北唐山·階段練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬元）之間有下表關(guān)系：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
與的線性回歸方程為，當(dāng)廣告支出5萬元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（ ）
A． B． C．20 D．10
【解題思路】隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為觀測值減去預(yù)測值
【解答過程】當(dāng)廣告支出5萬元時(shí)，觀測值為，預(yù)測值為，則隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為.
故選：D.
【變式5-3】（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)某制造公司進(jìn)行技術(shù)升級后的第x個(gè)月（）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若時(shí)的觀測值，則時(shí)的殘差為（ ）
A． B．1 C．3 D．6
【解題思路】利用殘差的定義求解.
【解答過程】解：因?yàn)闀r(shí)的預(yù)測值為，
所以殘差為．
故選：B．
【題型6 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】
【例6】（2024·上海閔行·二模）某疾病預(yù)防中心隨機(jī)調(diào)查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：
不吸煙者 吸煙者 總計(jì)
不患慢性氣管炎者 121 162 283
患慢性氣管炎者 13 43 56
總計(jì) 134 205 339
假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系，即它們相互獨(dú)立.通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，得，根據(jù)分布概率表:，，，.給出下列3個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于；
②有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)；
③分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計(jì)上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生.
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【解題思路】根據(jù)，與臨界值表對照判斷.
【解答過程】解：因?yàn)椋遥?br/>所以有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)，
即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于，
故①②正確；
分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計(jì)上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生. 故③正確；
故選：D.
【變式6-1】（2024·遼寧鞍山·二模）校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（ ）人．
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，．
A．20 B．30 C．35 D．40
【解題思路】借助卡方計(jì)算即可得.
【解答過程】設(shè)總?cè)藬?shù)為，則男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)為，女生選生物學(xué)的人數(shù)為，
則，
即，又為的倍數(shù)，故男生最少有人.
故選：A.
【變式6-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）某醫(yī)院對治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進(jìn)行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進(jìn)行治療，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
有效 無效 合計(jì)
使用方案A組 96 120
使用方案B組 72
合計(jì) 32
(1)完成上述列聯(lián)表，并比較兩種治療方案有效的頻率；
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)？
附：.
P() 0.005 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
【解題思路】(1)根據(jù)合計(jì)數(shù)可以完善表格，結(jié)合頻數(shù)可得頻率；
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和卡方公式，計(jì)算觀測值，比較觀測值和臨界值可得結(jié)論.
【解答過程】解：(1)列聯(lián)表如下：
有效 無效 合計(jì)
使用方案A組 96 24 120
使用方案B組 72 8 80
合計(jì) 168 32 200
使用方案A組有效的頻率為＝0.8；使用方案B組有效的頻率為＝0.9.
(2)，
所以，不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)．
【變式6-3】（2024·上海·高考真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績
優(yōu)秀 5 44 42 3 1
不優(yōu)秀 134 147 137 40 27
(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？
(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）
(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？
（附：其中，．）
【解題思路】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；
（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.
【解答過程】（1）由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，
則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為．
（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為
．
則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).
（3）由題列聯(lián)表如下：
其他 合計(jì)
優(yōu)秀 45 50 95
不優(yōu)秀 177 308 485
合計(jì) 222 358 580
提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．
其中．
．
則零假設(shè)不成立，
即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．
【題型7 獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識綜合】
【例7】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）跑步是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊环N鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，抑制人體癌細(xì)胞生長和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.
喜歡 不喜歡 合計(jì)
男 12 8 20
女 10 10 20
合計(jì) 22 18 40
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？
(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為.對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）.設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【解題思路】（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；
（2）由題意，得到變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.
【解答過程】（1）解：假設(shè)：人們對跑步的喜歡情況與性別無關(guān)，
根據(jù)題意，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
可得，
因?yàn)椋詻]有95%的把握認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).
（2）解：由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值分別為，
可得，，，
，
所以變量的概率分布為
1 2 3 4
所以，期望為.
【變式7-1】（2024·安徽蕪湖·三模）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過3次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過3次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
男生 女生 合計(jì)
喜歡食堂就餐 40 20 60
不喜歡食堂就餐 10 30 40
合計(jì) 50 50 100
(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)：
(2)該校甲同學(xué)逢星期二和星期四都在學(xué)校食堂就餐，且星期二會從①號、②號兩個(gè)套餐中隨機(jī)選擇一個(gè)套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為；若星期二選擇了②號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為，求甲同學(xué)星期四選擇②號套餐的概率．
(3)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為．事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的值．
參考公式：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解題思路】（1）計(jì)算，與臨界值比較后得結(jié)論；
（2）全概率公式計(jì)算概率；
（3）依題意可得，即可得到，從而得到，解得即可.
【解答過程】（1）：假設(shè)食堂就餐與性別無關(guān)
由列聯(lián)表可得
所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān)．
（2）記星期二選擇了①號套餐為事件，選擇②號套餐為，
星期四選擇了①號套餐為事件，選擇②號套餐為，
則，
所以，
所以．
（3）依題意可得學(xué)生“喜歡飯?zhí)镁筒汀钡母怕剩?br/>則，所以且，
若取得最大值，則，
即，解得
又且，所以．
【變式7-2】（2024·湖南邵陽·三模）某市開展“安全隨我行”活動(dòng)，交警部門在某個(gè)交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動(dòng)摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)與天數(shù)的情況，對統(tǒng)計(jì)得到的樣本數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與哪一個(gè)更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)依據(jù)（1）的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.
(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對該路口騎電動(dòng)摩托車市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
性別 佩戴頭盔 合計(jì)
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合計(jì) 22 18 40
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民騎電動(dòng)摩托車佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)？
參考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解題思路】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，可判斷更適宜作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型.
（2）將兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用表中的數(shù)據(jù)和線性回歸方程公式求解即可.
（3）應(yīng)用卡方公式求卡方值，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想下結(jié)論即可.
【解答過程】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷，更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型.
（2）由，得，
依題意得，
，
所以，即.
（3）零假設(shè)：市民佩戴頭盔與性別無關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)，
此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10.
【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某醫(yī)療科研小組為研究某市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣的關(guān)系，從該市市民中隨機(jī)抽查了100人，得到如表數(shù)據(jù)．（注：用表示的對立事件）
疾病A 生活習(xí)慣B
具有 不具有
患病 25 15
未患病 20 40
(1)是否有超過的把握認(rèn)為，該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣有關(guān)
(2)從該市市民中任選一人，表示事件“選到的人不具有生活習(xí)慣”，表示事件“選到的人患有疾病”，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，求的估計(jì)值；
(3)從該市市民中任選3人，記這3人中具有生活習(xí)慣，且未患有疾病的人數(shù)為，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，求的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【解題思路】（1）先完善列聯(lián)表，然后根據(jù)公式計(jì)算卡方，對照臨界值表即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別求出，然后由條件概率公式可得；
（3）由二項(xiàng)分布的期望公式可得.
【解答過程】（1）由已知得列聯(lián)表如下:
疾病A 生活習(xí)慣B 合計(jì)
具有 不具有
患病 25 15 40
未患病 20 40 60
合計(jì) 45 55 100
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得：
故有超過的把握認(rèn)為，該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣有關(guān).
（2）由（1）數(shù)據(jù)可得:.
所以 .
（3）由（2）知，，
所以，所以的估計(jì)值為.
一、單選題
1．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知變量和滿足關(guān)系，變量y與正相關(guān)，則（ ）
A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān)
C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)
【解題思路】根據(jù)關(guān)系式判斷負(fù)相關(guān)，再由變量y與正相關(guān)可得負(fù)相關(guān)即可判斷.
【解答過程】因?yàn)樽兞亢蜐M足關(guān)系，變量y與正相關(guān)，
由正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的定義可知與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān).
故選：A.
2．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異
B．兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
C．若一組樣本數(shù)據(jù)（）的樣本點(diǎn)都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為0.98
D．由一組樣本數(shù)據(jù)（）求得的回歸直線方程為，設(shè)，則
【解題思路】根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)和線性回歸方程的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷，得到答案.
【解答過程】A，獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異，從而確定研究對象是否有關(guān)聯(lián)，A正確；
B，兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，B正確；
C，若一組樣本數(shù)據(jù)（）的樣本點(diǎn)都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為1，C錯(cuò)誤；
D，由殘差分析可知，介于0與1之間，D正確.
故選：C.
3．（2024·上海·模擬預(yù)測）在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】結(jié)合回歸方程，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.
【解答過程】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)都在直線上，
所以變量為負(fù)相關(guān)關(guān)系，且，
故選：A．
4．（2024·江西南昌·三模）如圖對兩組數(shù)據(jù)，和，分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖，并求得線性回歸方程分別是和，并對變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)，對變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的位置關(guān)系直接得答案.
【解答過程】由散點(diǎn)圖可知，與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)，則，，故A、B錯(cuò)誤；
且圖形中點(diǎn)比更加集中在一條直線附近，
則，又，，得.
故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
5．（2024·湖南邵陽·三模）某學(xué)習(xí)小組對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點(diǎn)的中心為.乙同學(xué)對甲的計(jì)算過程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意分析求得以及，然后將正確數(shù)據(jù)代入，即可求得樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線即可得到結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，即修正前的樣本中心點(diǎn)為，
假設(shè)甲輸入的為，
則，則，
且，則，
則改為正確數(shù)據(jù)后，則，，
所以修正后的樣本中心點(diǎn)為，
將點(diǎn)代入回歸直線方程可得，解得.
故選：A.
6．（2024·湖北荊州·三模）根據(jù)變量和的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，求得如圖所示的殘差圖.模型誤差（ ）
A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)
B．不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)
C．不滿足一元線性回歸模型的假設(shè)
D．不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè)
【解題思路】根據(jù)一元線性回歸模型的有關(guān)概念即可判斷.
【解答過程】用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，
根據(jù)對應(yīng)的殘差圖，殘差的均值不可能成立，且殘差圖中的點(diǎn)分布在一條拋物線形狀的彎曲帶狀區(qū)域上，
說明殘差與坐標(biāo)軸變量有二次關(guān)系，不滿足一元線性回歸模型，
故選：D.
7．（2024·天津河北·二模）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長. 已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模與年份代碼的關(guān)系可以用模型（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代碼 1 2 3 4 5
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則2026年該科技公司云計(jì)算市場規(guī)模的估計(jì)值為（ ）
（參考公式：）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2026年z的預(yù)測值，代入即可得解.
【解答過程】因?yàn)?br/>所以
即經(jīng)驗(yàn)回歸方程
當(dāng)時(shí)，
所以
即2026年該科技公司云計(jì)算市場規(guī)模y的估計(jì)值為.
故選：C.
8．（2024·四川成都·三模）有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
優(yōu)秀 非優(yōu)秀
甲班 10
乙班 30
附：（），
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)
B．甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率
C．表中的值為15，的值為50
D．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”
【解題思路】根據(jù)條件解出，，然后直接計(jì)算即可判斷A，B，C錯(cuò)誤，使用的計(jì)算公式計(jì)算，并將其與比較，即可得到D正確.
【解答過程】對于C，由條件知，，故，.
所以，，故C錯(cuò)誤；
對于A，由于甲班人數(shù)為，
乙班人數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
對于B，由于甲班優(yōu)秀率為，乙班優(yōu)秀率為，故B錯(cuò)誤；
對于D，由于，故D正確.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·廣東東莞·三模）下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1
B．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高
C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
D．若數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2
【解題思路】對于AB，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，殘差的定義，即可求解；對于C，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解；對于D，結(jié)合方差的線性公式，即可求解．
【解答過程】若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1，故A正確；
在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，故B正確；
隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
則，故C錯(cuò)誤；
設(shè)數(shù)據(jù)，，，的方差為，因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，的方差為8，
則，解得，故D正確．
故選：ABD.
10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（ ）
月份編號 1 2 3 4 5
下載量（萬次） 5 4.5 4 3.5 2.5
A．與負(fù)相關(guān) B．
C．預(yù)測第6個(gè)月的下載量是2.1萬次 D．殘差絕對值的最大值為0.2
【解題思路】對于A：根據(jù)回歸方程分析判斷；對于B：根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，運(yùn)算求解；對于C：根據(jù)回歸方程進(jìn)而預(yù)測；對于D：根據(jù)題意結(jié)合殘差的定義分析判斷.
【解答過程】對于A：因?yàn)椋宰兞颗c負(fù)相關(guān)，故正確；
對于B：，
，
，則，
解得，故錯(cuò)誤；
對于C：當(dāng)時(shí)，，
故可以預(yù)測第6個(gè)月的下載量約為2.1萬次，故正確；
對于D：當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
故殘差絕對值的最大值為0.2，故正確.
故選：ACD.
11．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）某中學(xué)為更好的開展素質(zhì)教育，現(xiàn)對外出研學(xué)課程是否和性別有關(guān)做了一項(xiàng)調(diào)查，其中被調(diào)查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的，女生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的．若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)”．則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（ ）
男生 女生 合計(jì)
選修外出研學(xué)課程
未選修外出研學(xué)課程
合計(jì)
附：
，其中
A．150人 B．225人 C．300人 D．375人
【解題思路】設(shè)男生人數(shù)為，根據(jù)題意用表示出女生人數(shù)、男生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)、女生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)，進(jìn)而表示出表格中其它人數(shù)，利用公式計(jì)算出，由得到的范圍，進(jìn)而得到男生人數(shù)的范圍，選出符合題意的選項(xiàng).
【解答過程】設(shè)男生人數(shù)為，根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下：
男生 女生 合計(jì)
選修外出研學(xué)課程
不選修外出研學(xué)課程
合計(jì)
則，
若有的把握認(rèn)為喜歡選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，則，
解得，則．
故選：BCD．
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）某試驗(yàn)小組收集了部分父親和兒子的身高數(shù)據(jù)，通過測量與回歸方程計(jì)算得到如下五組兒子身高的觀測值與估計(jì)值，則該組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的決定系數(shù) 1 ．
兒子身高觀測值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5
兒子身高估計(jì)值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5
【解題思路】根據(jù)決定系數(shù)的意義及表格中的數(shù)據(jù)即可求解.
【解答過程】因?yàn)闆Q定系數(shù)，其值越接近1，說明模型擬合效果越好，誤差越小，
從表中數(shù)據(jù)可知沒有誤差，
所以．
故答案為：．
13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知某品牌的新能源汽車的使用時(shí)間x（年）與維護(hù)費(fèi)用y（千元）之間有如下數(shù)據(jù)：
使用時(shí)間x（年） 2 4 6 8 10
維護(hù)費(fèi)用y（千元） 2.4 3.2 4.4 6.8 7.6
若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的線性回歸方程為．據(jù)此估計(jì)，該品牌的新能源汽車的使用時(shí)間為12年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用約為 9.08 千元．
【解題思路】求出，得到樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入回歸方程可求出，然后將代入回歸方程可得答案.
【解答過程】由題意可得，
由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，所以，解得，
所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)該品牌的新能源汽車的使用時(shí)間為12年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用約為9.08千元．
故答案為：9.08.
14．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：
藥物 疾病 合計(jì)
未患病 患病
服用 50
未服用 50
合計(jì) 80 20 100
取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為 ．
(參考公式：；參考值：）
【解題思路】由題意列出不等式，結(jié)合近似計(jì)算求出m的取值范圍，即可得答案.
【解答過程】由題意可知，
則，
解得或，而，
故m的最小值為44.
故答案為：44.
四、解答題
15．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應(yīng)年份2015~2023．
已知，，，．
(1)可否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說明．
(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型，可否用此模型來預(yù)測2024年和2034年我國的氮氧化物排放量？請說明理由．
附：相關(guān)系數(shù)．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可判斷；
（2）根據(jù)題意，由線性回歸方程的意義，即可判斷.
【解答過程】（1）從折線圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，
由題意知，
相關(guān)系數(shù)．
故可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
（2）可以預(yù)測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測2034年的氮氧化物排放量．
理由如下：
①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型進(jìn)行預(yù)測；
②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預(yù)測可能是不準(zhǔn)確的．
16．（2024·青海·二模）某企業(yè)近年來的廣告費(fèi)用x（百萬元）與所獲得的利潤y（千萬元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
年份 2018 2019 2020 2021 2022
廣告費(fèi)用x/百萬元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
利潤y/千萬元 1.6 2 2.4 2.5 3
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程：
(2)若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬元，根據(jù)（1）中所得的線性回歸方程，預(yù)測2025年該企業(yè)可獲得的利潤.
參考公式：，.
【解題思路】（1）首先算出，，，的值，然后可以依次算出，的值即可求解；
（2）先預(yù)測廣告費(fèi)用，然后代入預(yù)測模型可預(yù)測利潤.
【解答過程】（1），，
，
，
，
.
故所求的線性回歸方程為.
（2）由題可知，到2025年時(shí)廣告費(fèi)用為2.2百萬元，
故可預(yù)測該公司所獲得的利潤約為 （千萬元）.
17．（2024·四川宜賓·三模）某地為調(diào)查年齡在35―50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35―50歲段人群中隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：
女性 男性
每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí) 60 80
每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí) 40 20
(1)根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35―50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)？
(2)在以上被抽取且每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)的人中，按性別進(jìn)行分層抽樣，共抽6人．再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人中至少有1人是女性的概率．
參考公式：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【解題思路】（1）根據(jù)二聯(lián)表求解卡方，即可與臨界值比較作答，
（2）列舉基本事件，即可由古典概型的概率個(gè)數(shù)求解.
【解答過程】（1）由題意可得
女性 男性
每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí) 60 80 140
每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí) 40 20 60
總計(jì) 100 100 200
由．
知：有99%把握認(rèn)為該地35-50歲年齡段人每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)．
（2）在以上被抽取且每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)的人中，按性別進(jìn)行分層抽樣，共抽6人
在以上被抽取且每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)的人中，按性別進(jìn)行分層抽樣，共抽6人，則女性抽取4人，記為：，，，，男性抽取2人，記為：，，從這6人中隨機(jī)抽取2人，抽法有：
，，，，，，，，，，，，，，共15種，
這兩人中至少有一人是女性的抽法有：
，，，，，，，，，，，，，共14種，故兩人中至少有一人是女性的概率.
18．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）和溫度（）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中；；；
(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，哪種模型比較合適？
(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出關(guān)于的回歸方程．
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，
【解題思路】（1）根據(jù)殘差點(diǎn)的分布情況分析即可；
（2）取對數(shù)，將非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入公式即可得回歸方程.
【解答過程】（1）模型①更合適．
模型①殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，
所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會越高，故選模型①比較合適．
（2）令與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則．
，
則關(guān)于的線性回歸方程為，即，
產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為．
19．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人．
男生 女生 合計(jì)
喜歡食堂就餐
不喜歡食堂就餐 10
合計(jì) 100
(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)：
(2)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“”的概率為，求隨機(jī)變量X的期望和方差．
參考公式：，其中．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解題思路】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)充完善列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.
（2）根據(jù)題意，，利用二項(xiàng)分布的均值方差公式求解.
【解答過程】（1）列聯(lián)表見圖，
男生 女生 合計(jì)
喜歡食堂就餐 40 20 60
不喜歡食堂就餐 10 30 40
合計(jì) 50 50 100
零假設(shè)：假設(shè)食堂就餐與性別無關(guān)，
由列聯(lián)表可得，
根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，
即可以得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.
（2）由題意可知，抽取的10名學(xué)生，喜歡飯?zhí)镁筒偷膶W(xué)生人數(shù)服從二項(xiàng)分布，
且喜歡飯?zhí)镁筒偷念l率為，則，
故其期望，方差.
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