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專題10.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理【四大題型】
【新高考專用】
【題型1 分類加法計數原理的應用】 3
【題型2 分步乘法計數原理的應用】 5
【題型3 涂色問題】 6
【題型4 兩個計數原理的綜合應用】 10
1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義 (2)能利用計數原理解決簡單的實際問題 2023年新高考I卷：第13題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分 2023年全國乙卷（理數）：第7題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第9題，5分 從近幾年的高考情況來看，高考對兩個計數原理的考查比較穩定，多以選擇題、填空題的形式出現，以考查兩個計數原理的基本概念與步驟方法為主，往往與排列組合結合考查，難度不大.
【知識點1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理】
1．分類加法計數原理
(1)分類加法計數原理的概念
完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種
不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同
的方法.
(2)分類的原則
分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，
分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種
方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.
2．分步乘法計數原理
(1)分步乘法計數原理的概念
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件
事共有N=m×n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，
做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.
(2)分步的原則
①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才
能完成這件事；
②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件
事就不可能完成；不能缺少步驟.
③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各
個步驟既不能重復也不能遺漏.
3．分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析
(1)聯系
分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.
(2)區別
分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區
別如下表：
區別 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
① 針對的是“分類”問題 針對的是“分步”問題
② 各種方法相互獨立 各個步驟中的方法互相依存
③ 用其中任何一種方法都可以完成這件事 只有各個步驟都完成才算完成這件事
(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇
分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計數原理；
分步→將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決→分步乘法計數原理.
在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的應用.
【知識點2 分類、分步計數原理的解題策略】
1．分類加法計數原理的解題策略
分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.
(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準；
(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才
是不同的方法，不能重復；
(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.
2．分步乘法計數原理的解題策略
(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步
必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.
(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.
【方法技巧與總結】
分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.
(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.
(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.
【題型1 分類加法計數原理的應用】
【例1】（2024·全國·模擬預測）從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（ ）
A．9種 B．12種 C．20種 D．30種
【解題思路】
根據題意分3個不同的數中不含3和6，取出的3個不同的數中含有3不含有6，取出的3個不同的數中含有6不含有3，取出的3個不同的數中含有3和6時四種情況研究即可.
【解答過程】
①當取出的3個不同的數中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數，不符合題意；
②當取出的3個不同的數中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數，
但只有當另外2個數是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數，共有6種取法；、
③當取出的3個不同的數中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數，
但只有當另外2個數是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數，也有6種取法；
④當取出的3個不同的數中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數，
但它們的和一定不是3的倍數，不符合題意．
綜上，它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（種），
故選：B．
【變式1-1】（2024·浙江溫州·模擬預測）平面上的兩個點A()，B()，其中橫縱坐標均為自然數，且不大于5，則兩點之間的距離可以有多少種取值（ ）
A．19 B．20 C．25 D．27
【解題思路】依題先確定中任意兩個數的差的絕對值的所有可能值有共6個，推得與的可能的取值都分別有共6個，再結合兩點間距離公式，考慮的不同取值即得.
【解答過程】依題意， ，且均不大于5，
將其中任意兩個數的差的絕對值記為，則可能的值有共6個，
而A()，B()之間的距離為,
而與的可能的取值都分別有共6個，
故的不同取值可分成五類：
①與中有一個取0，另一個可取六個數，則|AB|的不同取值有：；
②與中有一個取1，另一個可取五個數，則|AB|的不同取值有：；
③ 與中有一個取2，另一個可取四個數，則|AB|的不同取值有：；
④ 與中有一個取3，另一個可取兩個數，則|AB|的不同取值有：
⑤ 與中有一個取4，另一個可取兩個數，則|AB|的不同取值有：；
⑥與均取5時，則|AB|的不同取值有；
由分類加法計數原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20個.
故選：B.
【變式1-2】（2024·安徽·模擬預測）甲 乙等6名高三同學計劃今年暑假在四個景點中選擇一個打卡游玩，若每個景點至少有一個同學去打卡游玩，每位同學都會選擇一個景點打卡游玩，且甲 乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（ ）
A．96種 B．132種 C．168種 D．204種
【解題思路】根據題意，剩下4人去其他兩個景點游玩，由此按游玩的人數分2種情況討論，結合分類加法計數原理，即可求解.
【解答過程】由題意，甲、乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，
則剩下的4人去其他兩個景點游玩，有兩種情況：
①若3位同學去一個景點，1位同學去另一個景點，有種不同游玩方法；
②分別都是2位同學去一個景點，有種不同游玩方法，
由分類計數原理得，共有種.
故選：C.
【變式1-3】（2024·貴州黔東南·二模）在個數碼的全排列中，若一個較大的數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成一個逆序，這個排列的所有逆序個數的總和稱為這個排列的逆序數，記為.例如，在3個數碼的排列312中，3與1，3與2都構成逆序，因此.那么（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【解題思路】根據題意，結合數字都構成逆序，結合分類計數原理，即可求解.
【解答過程】由題意，對于八位數87542136，可得8與后面每個數字都構成逆序，
7與后面每個數字都構成逆序，5與都構成逆序，4與都構成逆序，
2與1構成逆序，所以.
故選：C.
【題型2 分步乘法計數原理的應用】
【例2】（2024·湖北武漢·模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過景點，所以甲不選景點，則不同的選法有（ ）
A．64種 B．48種 C．36種 D．24種
【解題思路】由分步乘法計數原理求解即可.
【解答過程】因甲不選A景點，應該分步完成：
第一步，先考慮甲在三個景點中任選一個，有3種選法；
第二步，再考慮乙和丙，從中分別任選一個景點，有中選法．
由分步乘法計數原理，可得不同選法有：種．
故選：B．
【變式2-1】（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，，則滿足方程的解的個數為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知可得，又，結合分步乘法計數原理求結論.
【解答過程】由題設，得，
又，其中都為質數，
所以，
因為x，，所以可能為，，，
所以的取值個數為，
方程的整數解的個數為．
故選：B．
【變式2-2】（2024·湖南岳陽·三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數是（ ）
A．96種 B．60種 C．48種 D．36種
【解題思路】根據分步乘法計數原理，結合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.
【解答過程】依題意，設這五個人分別為甲乙丙丁戊.
第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，
第二步，將這個整體與丁戊全排列，有種安排方法，
第三步，排好后產生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有種安排方法.
則由分步乘法計數原理，不同的方案共有種.
故選：D.
【變式2-3】（2024·海南·模擬預測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數字填入如圖所示的表格區域中，每個區域填一個數字，1不在區域且三列中只有中間一列區域的數字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（ ）
A．20種 B．24種 C．36種 D．48種
【解題思路】根據給定條件，利用分步乘法計數原理列式計算即得.
【解答過程】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，
與1同列的只能是3或4，有2種方法，最后兩個區域，填兩個數字有2種方法，
所以不同填法種數是.
故選：B.
【題型3 涂色問題】
【例3】（2024·四川資陽·模擬預測）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（ ）
A．360種 B．420種 C．480種 D．540種
【解題思路】利用要求根據區域依次討論計算即可.
【解答過程】如圖，先在區域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區域E布置花卉，有4種不同的布置方案，
再在區域D布置花卉，有3種不同的布置方案．
若區域B與區域E布置同一種花卉，則區域C有3種不同的布置方案；
若區域B與區域E布置不同的花卉，則區域B有2種不同的布置方案，區域C有3種不同的布置方案．
故不同的布置方案有種．
故選：D.
【變式3-1】（2024·遼寧·模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成五個部分（如圖所示），現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區域鮮花的擺放方案共有（ ）
A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．
【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為區域同色，且和其它區域不同色和區域同色兩類，且和其它區域不同色，結合分步乘法計數原理，分類加法計數原理求解即可
【解答過程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，
第一類區域同色，且和其它區域不同色的擺放方案，
滿足條件的方案可分四步完成，
第一步，先擺區域有種方法，
第二步，擺放區域有3種方法，
第三步，擺放區域有2種方法，
第四步，考慮到區域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域有1種方法，
由分步乘法計數原理可得第一類中共有種方案，
第二類，區域同色兩類，且和其它區域不同色的擺放方案，
滿足條件的方案可分四步完成，
第一步，先擺區域有種方法，
第二步，擺放區域有3種方法，
第三步，擺放區域有2種方法，
第四步，考慮到區域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域有1種方法，
由分步乘法計數原理可得第一類中共有種方案，
根據分步加法計數原理可得該區域鮮花的擺放方案共有種，
故選：A.
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，A，B，C，D為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區域進行涂色，要求相鄰區域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由排列組合以及分類加法計數原理求解個數，即可由古典概型概率公式求解.
【解答過程】使用4種顏色給四個區域涂色，有種涂法；
使用3種顏色給四個區域涂色，共有種涂法；
（使用3種顏色給四個區域涂色有兩類情況：①區域A與區域C涂同一種顏色，區域B與區域D涂另外2種顏色；
②區域B與區域D涂同一種顏色，區域A與區域C涂另外2種顏色）
使用2種顏色給四個區域涂色，共有種不同的涂法．
所以所有的涂色方法共有（種），故使用2種顏色給四個區域涂色的概率為．
故選：B.
【變式3-3】（2024·廣西南寧·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想.多用于哲學、中醫學和占卜方面.五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系.五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個區域的涂色方法種數，結合分類加法分步乘法計數原理可得結果.
【解答過程】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），
五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），
不妨設四種顏色分別為、、、，
先填涂區域“火”，有種選擇，不妨設區域“火”填涂的顏色為，
接下來填涂區域“土”，有種選擇，分別為、、，
若區域“土”填涂的顏色為，則區域“金”填涂的顏色分別為、、；
若區域“土”填涂的顏色為，則區域“金”填涂的顏色分別為、、；
若區域“土”填涂的顏色為，則區域“金”填涂的顏色分別為、、.
綜上所述，區域“金”填涂、、、的方案種數分別為、、、種，
接下來考慮區域“水”的填涂方案：
若區域“金”填涂的顏色為，則區域“水”填涂的顏色可為、、；
若區域“金”填涂的顏色為，則區域“水”填涂的顏色可為、、；
若區域“金”填涂的顏色為，則區域“水”填涂的顏色可為、、；
若區域“金”填涂的顏色為，則區域“水”填涂的顏色可為、、.
則區域“水”填涂的方案種數為種，填涂的方案種數為種，
填涂的方案種數為種，填涂的方案種數為種.
從區域“火”、“土”、“金”填涂至區域“水”，填涂區域“水”的方案還和填涂區域“木”有關，
當區域“水”填涂的顏色為時，區域“木”填涂的顏色可為、、；
若區域“水”填涂的顏色為時，區域“木”填涂的顏色可為、；
若區域“水”填涂的顏色為時，區域“木”填涂的顏色可為、；
若區域“水”填涂的顏色為時，區域“木”填涂的顏色可為、.
所以，當區域“火”填涂顏色時，填涂方案種數為種.
因此，不同的涂色方法種數有種.
故選：D.
【題型4 兩個計數原理的綜合應用】
【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有（ ）
A．30個 B．42個 C．41個 D．39個
【解題思路】分是否取兩類，當不取時，排除重復的即可得解.
【解答過程】當取時，則只能為真數，此時這個對數值為，
當不取時，底數有種，真數有種，
其中，
故此時有個，
所以共有個.
故選：D.
【變式4-1】（2024·河北·模擬預測）用能組成沒有重復數字且比32000小的數字（ ）個.
A．212 B．213 C．224 D．225
【解題思路】先對數字位數分類討論，在對五位數的首位數字進行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數的選取，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得結果.
【解答過程】分數字位數討論：
一位數5個；
兩位數有個；
三位數有個；
四位數有個；
五位數分以下兩種情況討論：
①首位數字為1或2，此時共有個；
②首位數字為3，則千位數從0或1中選擇一個，其余三個數位任意排列，
此時共有個.
綜上所述，共有個比小的數.
故選：D.
【變式4-2】（24-25高三上·江蘇南京·開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解題思路】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.
【解答過程】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；
所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時共2種情況；
丙是第3名時，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時共2種情況；
丙是第4名時，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，
當甲，乙是第1，2名時，丁為第3名，此時共2種情況；
當甲，乙是第2，3名時，丁為第1名，此時共2種情況；
所以一共有2+2+2+2=8種情況.
故選：C.
【變式4-3】（2024高二·全國·專題練習）從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法有（ ）.
A．105種 B．225種 C．315種 D．420種
【解題思路】首先選取一個點作為鈍角頂點，并該點與圓心連線將其余14個頂點分成左右各7個：在左側選取一個點作為第二頂點，依次選取右側7個點作為第三頂點判斷三角形形狀，依此步驟即可得當前鈍角頂點下的鈍角三角形個數，最后乘以15即可得結果.
【解答過程】如圖所示，以A為鈍角頂點，在直徑的左邊取點，右邊依次取，得到6個鈍角三角形，當取時，△為銳角三角形；
同理，直徑的左邊取點，右邊依次取，得到5個鈍角三角形，當取，時，△、△為銳角三角形；
……
在直徑的左邊取點時，得到一個鈍角△，
在直徑的左邊取點時，沒有鈍角三角形.
故以A為鈍角頂點的三角形共有（個）.
以其余14個點為鈍角頂點的三角形也各有21個，
所以總共有（個）鈍角三角形.
故選：C.
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業可供選擇，若去C企業最多一人，則不同分配種數是（ ）
A．112 B．80 C．64 D．32
【解題思路】根據已知條件及分類分步計數原理即可求解.
【解答過程】分兩類情況，第一類情況，去C企業僅有一人，有種情況；
第二類情況，沒有一個去C企業，有種情況，
所以根據分類加法計數原理共有種.
故選：A.
2．（2024·陜西西安·三模）方程的非負整數解的組數為（ ）
A．40 B．28 C．22 D．12
【解題思路】將分解質因數，即可求出的因數的個數，從而得解.
【解答過程】因為，所以的因數有個，
故方程的非負整數解的組數為40．
故選：A.
3．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數…的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
【解題思路】分兩個2之間是8和不是8兩大類討論即可.
【解答過程】若兩個2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12種
若兩個2之間是1或7，則有272818；818272；212878； 878212，共4種；
則總共有16種，
故選：B.
4．（2024·山東泰安·模擬預測）某市人民醫院急診科有名男醫生和名女醫生，內科有名男醫生和名女醫生，現從該醫院急診科和內科各選派名男醫生和名女醫生組成人組，參加省人民醫院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【解題思路】由分步乘法計數原理可求結論.
【解答過程】從急診科選派名男醫生和名女醫生有 種方案，
從內科選派名男醫生和名女醫生有 種方案，
根據分步乘法計數原理，共有 種不同的選派方案.
故選:A.
5．（2024·四川成都·模擬預測）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同學選擇的電影不相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分別求2個人不同的選擇方案以及選擇的電影相同的選擇方案，根據對立事件結合古典概型分析求解.
【解答過程】因為每個人選擇方案有3種，可知2個人不同的選擇方案有種；
且三位同學選擇的電影相同的選擇方案有種；
所以三位同學選擇的電影不相同的概率為.
故選：D.
6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）用代表紅球，代表藍球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 從 1 個紅球和 1 個藍球中取出若干個球的所有取法可由 的展開式 表示出來， 如： “ 1 ” 表示一個球都不取、“ ”表示取出一個紅球， 而 “ ” 表示把紅球和藍球都取出來， 以此類推， 下列各式中， 其展開式可用來表示從 3 個無區別的紅球、 3 個無區別的藍球、 2 個有區別的黑球中取出若干個球， 且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】分三步處理問題，分別表示出取紅球、籃球、黑球的表達式，相乘即可求得.
【解答過程】第一步，從3個無區別的紅球中取出若干球，
則有；
第二步，從3個無區別的藍球中都取出或都不取出，要滿足題意，
只有；
第三步，從2個有區別的黑球中取出若干個，
則有.
根據分步計數原理，則要滿足題意的取法有：
.
故選：A.
7．（23-24高二上·山東德州·階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區域，每個區域分別印有數字，，，，現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域如區域與區域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【解題思路】確定區域，，，的顏色，分區域與區域涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答案.
【解答過程】由題意可得，只需確定區域，，，的顏色，即可確定整個傘面的涂色．
先涂區域，有種選擇，再涂區域，有種選擇，
當區域與區域涂的顏色不同時，區域有種選擇，剩下的區域有種選擇；
當區域與區域涂的顏色相同時，剩下的區域有種選擇，
故不同的涂色方案有種．
故選：B．
8．（2024·四川南充·模擬預測）距高考30天之際，高三某班級五位同學打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學準備星期天在凌云山景區，印象嘉陵江濕地公園，西山風景區三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，五位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數為（ ）
A．18 B．36 C．48 D．32
【解題思路】先根據甲乙選的景點其他人是否選分成兩類情況，①無人再選，按照分組計算方法數；②還有人選，按照部分平均分組計算方法數.最后用分類加法原理計算總的方法數即可.
【解答過程】若甲乙選的景點沒有其他人選，則分組方式為：的選法總數為：，
若甲乙選的景點還有其他人選擇，則分組方式為：的選法總數為：，
所以不同的選法總數為: .
故選：B.
二、多選題
9．（23-24高三下·全國·強基計劃）某城市內有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開始走，每個點至多經過一次，最終回到出發點．已知向左轉了100次，則可能向右轉了（ ）次．
A．96 B．98 C．104 D．102
【解題思路】分情況討論不同情況即可.
【解答過程】總體的路線形成一個多邊形，
如果出發點在多邊形的邊上，左轉、右轉的次數差一定是4的倍數，
如果出發點在多邊形的頂點上，左轉、右轉的次數差一定奇數，因此只有AC有可能．
下面兩圖的路線分別對應右轉96次和104次的情形：
故選：AC.
10．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習）數學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數是對稱美的一種體現，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數有9個：11，22，33，…，99；三位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（ ）
A．四位回文數有45個 B．四位回文數有90個
C．（）位回文數有個 D．（）位回文數有個
【解題思路】根據題意，用列舉法分析四位回文數數目，可得A錯誤，B正確；再用分步計數原理分析2n+1位回文數的數目，可得C錯誤，D正確，綜合可得答案．
【解答過程】據題意，對于四位回文數，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90個，則A錯誤，B正確；
對于2n位回文數，首位和個位數字有9種選法，第二位和倒數第二位數字有10種選法，……，第n和第n+1位也有10種，則共有9×10×10×……×10＝9×10n-1種選法，故C錯；
對于2n+1位回文數，首位和個位數字有9種選法，第二位和倒數第二位數字有10種選法，……，第n+1個數字，即最中間的數字有10種選法，
則共有9×10×10×……×10＝9×10n種選法，即2n+1（n∈N*）位回文數有9×10n個，所以 D正確．
故選：BD．
11．（2024·重慶·模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（ ）
A．可以圍成20個不同的正方形
B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個不同的三角形
D．可以圍成16個不同的等邊三角形
【解題思路】利用分類計算原理及組合，結合圖形，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.
【解答過程】不妨設兩個釘子間的距離為1，
對于選項A，由圖知，邊長為1的正方形有個，邊長為的正方形有個，
邊長為3的正方形有1個，邊長為的正方形有個，邊長為的有2個，共有20個，所以選項A正確，
對于選項B，由圖知，寬為1的長方形有個，寬為2的長方形有個，
寬為3的長方形有5個，寬為的有2個，共有24個，所以選項B正確，
對于選項C，由圖知，可以圍成個不同的三角形，所以選項C正確，
對于選項D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項D錯誤，
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024·湖南岳陽·模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業可供選擇，若去C企業最多一人，則不同分配種數是 112 .
【解題思路】根據給定條件，利用兩個計數原理列式計算即得.
【解答過程】求不同分配種數的問題，有兩類辦法：
沒有人去C企業，有種分配方法，
有1人去C企業，有種分配方法，
所以不同分配種數是.
故答案為：112.
13．（2024·河南濮陽·模擬預測）對一個四棱錐各個頂點著色，現有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有 420 種（用數字作答）．
【解題思路】依題意按照分類分步計數原理直接計算可得結果.
【解答過程】根據題意可知，需分五步進行著色，
在四棱錐中，如下圖所示：

按照的順序進行著色，則點有5種顏色可選，點有4種顏色可選；
點有3種顏色可選，
若點顏色與點相同，則點有3種顏色可選；
若點顏色與點不同，則點有2種顏色可選，此時點有2種顏色可選；
所以共有種.
故答案為：420.
14．（2024·江蘇連云港·模擬預測）某排球賽共有三個組：第一、二組各有6個隊，第三組有7個隊，首先各組進行單循環賽，然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽一共需要比賽 57 場．
【解題思路】利用分類加法計數原理結合排列組合知識求解即可.
【解答過程】首先在3個小組進行單循環賽，第一組有6個隊，需進行場比賽，第二組有6個隊，需進行場比賽，第三組有7個隊，需進行場比賽，第一階段需要進行場比賽.
然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，有場比賽，
所以共需要比賽場.
故答案為：57.
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習）分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅，2，3，4，的不同坐法有多少種？
【解題思路】根據給定條件，利用分步乘法計數原理、分類加法計數原理列式計算即得.
【解答過程】1號椅有4種坐法，3，4，5均可坐），
假設1號椅由3號坐，則按排3號椅，那3號椅也有4種坐法，2，4，5可坐），
假設3號椅由1號坐了，剩下2，4，5坐2，4，5這3個椅，只有2種坐法，
如果3號椅由4號坐了，剩下1，2，5坐2，4，5這3個椅，有3種坐法，
同樣，3號椅由2號，5號坐的時候，也是各有3種坐法，
所以總坐法數是種．
16．（24-25高二上·全國·課后作業）將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：
(1)1號盒中無球的不同放法種數；
(2)1號盒中有球的不同放法種數．
【解題思路】（1）由分步乘法計數原理可直接求出答案；
（2）分1號盒中有一個球、1號盒中有兩個球、1號盒中有三個球3種情況進行討論，再根據分類計數原理得到結果．
【解答過程】（1）1號盒中無球即A，B，C三個球只能放入2，3，4號盒子中，有（種）放法．
（2）1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有（種）放法，一類是1號盒中有兩個球，共有（種）放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法．
共有（種）放法．
17．（23-24高二下·青海西寧·期中）由0，1，2，3，4這五個數字．
(1)能組成多少個無重復數字的五位數？
(2)能組成多少個無重復數字的五位偶數？
(3)組成無重復數字的五位數中比21034大的數有多少個？
【解題思路】（1）先排數字0，再排其它4個數字即可計算得解；
（2）選偶數先排個位數，分個位數字為0和個位數字為2或4兩種情況，再排其它數位；
（3）按最高位上的數字比2大和2兩類分類計算作答.
【解答過程】（1）先排數字0，0只能占除最高位外的其余四個數位，有種排法，
再排四個非0數字有種，由分步乘法計數原理得，
所以能組成96個無重復數字的五位數；
（2）當個位數字為0時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，
當個位數字為2或4時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，
即可以組成個無重復數字的五位偶數；
（3）計算比21034大的五位數的個數分兩類：
萬位比2大的五位數個數是，
萬位是2的五位數中，千位比1大的有個，千位是1，百位比0大的有個，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個，
由分類加法計數原理得，
所以組成無重復數字的五位數中比21034大的數有65個.
18．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖，從左到右有5個空格．
(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法 （用數字作答）
(2)若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法 （用數字作答）
(3)若把這5個格子看成5個企業，現安排3名校長與5個企業洽談，若每名校長與2家企業領導洽談，每家企業至少接待1名校長，則不同的安排方法共有多少種（用數字作答）．
【解題思路】（1）先將排好，再排其他數字即可；
（2）先涂第一個格子，再涂第二個格子，依次進行，求出每步的方法種數，即可得解；
（3）法一：從5家企業中選一家，再從3位校長中選2位，再從剩下4家企業中選2家安排另外一位校長，進而可得出答案.
法二：先將五家企業分為3份，再將這3份分給3位校長即可.
【解答過程】（1）分2步：①第三個格子不能填0，則0有4種選法；
②將其余的4個數字全排列安排在其他四個格子中有種情況，
則一共有種不同的填法；
（2）根據題意，第一個格子有3種顏色可選，即有3種情況，
第二個格子與第一個格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，
同理可得：第三、四、五個格子都有2種情況，
則五個格子共有種不同的涂法；
（3）法一：根據題意，有一家企業與2位校長談，其余4家企業只與1位校長談，
第1步：從5家企業中選一家，
第2步：從3位校長中選2位，
第3步：從剩下4家企業中選2家安排另外一位校長，
第4步：在第2步選中的兩位校長，每位還要安排一家企業，
因此有種．
法二：五家企業記為A，B，C，D，E，把這五家企業分為3份，
如，，，
含有E的這一份要從A，B，C，D取一家組成2家，如取A得，
前面分三份會出現，因此有，
然后再分給3位校長，
因此總排法有種．
19．（23-24高二下·廣東茂名·期中）某校高二年級開設了《數學建?！?、《電影賞析》、《經典閱讀》、《英語寫作》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的．
(1)三人共有多少種不同的課程選擇種數
(2)求三位同學選擇的課程互不相同的概率;
(3)若至少有兩位同學選擇《數學建?！罚瑒t三人共有多少種不同的選課種數
【解題思路】（1）由分步計數原理計算即可；
（2）先計算出三位同學選擇的課程互不相同的選法種數，利用古典概型的概率公式可求得結果；
（3）分兩種情況討論：有兩位同學選擇《數學建?！泛腿煌瑢W都選擇《數學建模》，分別計算出兩種情況下不同的選課種數，利用分類加法計數原理可得結果.
【解答過程】（1）因為每位同學都有四種不同的選擇，所以選課種數為；
（2）三位同學選擇的課程互不相同的選課種數為，
所以三位同學選擇的課程互不相同的概率為；
（3）恰有兩位同學選擇《數學建模》，另一位同學在其它三門選一門，故選課種數為，
三位同學都選擇《數學建模》的選課種數為1，
所以若至少有兩位同學選擇《數學建模》，則三人共有10種不同的選課種數．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題10.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理【四大題型】
【新高考專用】
【題型1 分類加法計數原理的應用】 3
【題型2 分步乘法計數原理的應用】 3
【題型3 涂色問題】 4
【題型4 兩個計數原理的綜合應用】 5
1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義 (2)能利用計數原理解決簡單的實際問題 2023年新高考I卷：第13題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分 2023年全國乙卷（理數）：第7題，5分 2023年全國甲卷（理數）：第9題，5分 從近幾年的高考情況來看，高考對兩個計數原理的考查比較穩定，多以選擇題、填空題的形式出現，以考查兩個計數原理的基本概念與步驟方法為主，往往與排列組合結合考查，難度不大.
【知識點1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理】
1．分類加法計數原理
(1)分類加法計數原理的概念
完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種
不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同
的方法.
(2)分類的原則
分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，
分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種
方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.
2．分步乘法計數原理
(1)分步乘法計數原理的概念
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件
事共有N=m×n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，
做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.
(2)分步的原則
①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才
能完成這件事；
②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件
事就不可能完成；不能缺少步驟.
③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各
個步驟既不能重復也不能遺漏.
3．分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析
(1)聯系
分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.
(2)區別
分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區
別如下表：
區別 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
① 針對的是“分類”問題 針對的是“分步”問題
② 各種方法相互獨立 各個步驟中的方法互相依存
③ 用其中任何一種方法都可以完成這件事 只有各個步驟都完成才算完成這件事
(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇
分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計數原理；
分步→將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決→分步乘法計數原理.
在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的應用.
【知識點2 分類、分步計數原理的解題策略】
1．分類加法計數原理的解題策略
分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.
(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準；
(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才
是不同的方法，不能重復；
(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.
2．分步乘法計數原理的解題策略
(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步
必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.
(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.
【方法技巧與總結】
分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.
(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.
(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.
【題型1 分類加法計數原理的應用】
【例1】（2024·全國·模擬預測）從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（ ）
A．9種 B．12種 C．20種 D．30種
【變式1-1】（2024·浙江溫州·模擬預測）平面上的兩個點A()，B()，其中橫縱坐標均為自然數，且不大于5，則兩點之間的距離可以有多少種取值（ ）
A．19 B．20 C．25 D．27
【變式1-2】（2024·安徽·模擬預測）甲 乙等6名高三同學計劃今年暑假在四個景點中選擇一個打卡游玩，若每個景點至少有一個同學去打卡游玩，每位同學都會選擇一個景點打卡游玩，且甲 乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（ ）
A．96種 B．132種 C．168種 D．204種
【變式1-3】（2024·貴州黔東南·二模）在個數碼的全排列中，若一個較大的數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成一個逆序，這個排列的所有逆序個數的總和稱為這個排列的逆序數，記為.例如，在3個數碼的排列312中，3與1，3與2都構成逆序，因此.那么（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【題型2 分步乘法計數原理的應用】
【例2】（2024·湖北武漢·模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過景點，所以甲不選景點，則不同的選法有（ ）
A．64種 B．48種 C．36種 D．24種
【變式2-1】（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，，則滿足方程的解的個數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·湖南岳陽·三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數是（ ）
A．96種 B．60種 C．48種 D．36種
【變式2-3】（2024·海南·模擬預測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數字填入如圖所示的表格區域中，每個區域填一個數字，1不在區域且三列中只有中間一列區域的數字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（ ）
A．20種 B．24種 C．36種 D．48種
【題型3 涂色問題】
【例3】（2024·四川資陽·模擬預測）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（ ）
A．360種 B．420種 C．480種 D．540種
【變式3-1】（2024·遼寧·模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成五個部分（如圖所示），現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區域鮮花的擺放方案共有（ ）
A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，A，B，C，D為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區域進行涂色，要求相鄰區域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·廣西南寧·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想.多用于哲學、中醫學和占卜方面.五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系.五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A． B． C． D．
【題型4 兩個計數原理的綜合應用】
【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有（ ）
A．30個 B．42個 C．41個 D．39個
【變式4-1】（2024·河北·模擬預測）用能組成沒有重復數字且比32000小的數字（ ）個.
A．212 B．213 C．224 D．225
【變式4-2】（24-25高三上·江蘇南京·開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【變式4-3】（2024高二·全國·專題練習）從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法有（ ）.
A．105種 B．225種 C．315種 D．420種
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業可供選擇，若去C企業最多一人，則不同分配種數是（ ）
A．112 B．80 C．64 D．32
2．（2024·陜西西安·三模）方程的非負整數解的組數為（ ）
A．40 B．28 C．22 D．12
3．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數…的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
4．（2024·山東泰安·模擬預測）某市人民醫院急診科有名男醫生和名女醫生，內科有名男醫生和名女醫生，現從該醫院急診科和內科各選派名男醫生和名女醫生組成人組，參加省人民醫院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
5．（2024·四川成都·模擬預測）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同學選擇的電影不相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）用代表紅球，代表藍球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 從 1 個紅球和 1 個藍球中取出若干個球的所有取法可由 的展開式 表示出來， 如： “ 1 ” 表示一個球都不取、“ ”表示取出一個紅球， 而 “ ” 表示把紅球和藍球都取出來， 以此類推， 下列各式中， 其展開式可用來表示從 3 個無區別的紅球、 3 個無區別的藍球、 2 個有區別的黑球中取出若干個球， 且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24高二上·山東德州·階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區域，每個區域分別印有數字，，，，現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域如區域與區域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
8．（2024·四川南充·模擬預測）距高考30天之際，高三某班級五位同學打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學準備星期天在凌云山景區，印象嘉陵江濕地公園，西山風景區三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，五位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數為（ ）
A．18 B．36 C．48 D．32
二、多選題
9．（23-24高三下·全國·強基計劃）某城市內有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開始走，每個點至多經過一次，最終回到出發點．已知向左轉了100次，則可能向右轉了（ ）次．
A．96 B．98 C．104 D．102
10．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習）數學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數是對稱美的一種體現，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數有9個：11，22，33，…，99；三位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（ ）
A．四位回文數有45個 B．四位回文數有90個
C．（）位回文數有個 D．（）位回文數有個
11．（2024·重慶·模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（ ）
A．可以圍成20個不同的正方形
B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個不同的三角形
D．可以圍成16個不同的等邊三角形
三、填空題
12．（2024·湖南岳陽·模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業可供選擇，若去C企業最多一人，則不同分配種數是 .
13．（2024·河南濮陽·模擬預測）對一個四棱錐各個頂點著色，現有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有 種（用數字作答）．
14．（2024·江蘇連云港·模擬預測）某排球賽共有三個組：第一、二組各有6個隊，第三組有7個隊，首先各組進行單循環賽，然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽一共需要比賽 場．
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習）分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅，2，3，4，的不同坐法有多少種？
16．（24-25高二上·全國·課后作業）將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：
(1)1號盒中無球的不同放法種數；
(2)1號盒中有球的不同放法種數．
17．（23-24高二下·青海西寧·期中）由0，1，2，3，4這五個數字．
(1)能組成多少個無重復數字的五位數？
(2)能組成多少個無重復數字的五位偶數？
(3)組成無重復數字的五位數中比21034大的數有多少個？
18．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖，從左到右有5個空格．
(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法 （用數字作答）
(2)若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法 （用數字作答）
(3)若把這5個格子看成5個企業，現安排3名校長與5個企業洽談，若每名校長與2家企業領導洽談，每家企業至少接待1名校長，則不同的安排方法共有多少種（用數字作答）．
19．（23-24高二下·廣東茂名·期中）某校高二年級開設了《數學建模》、《電影賞析》、《經典閱讀》、《英語寫作》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的．
(1)三人共有多少種不同的課程選擇種數
(2)求三位同學選擇的課程互不相同的概率;
(3)若至少有兩位同學選擇《數學建?！?，則三人共有多少種不同的選課種數
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