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專題10.2 排列與組合【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 排列數(shù)的化簡、計算與證明】 3
【題型2 組合數(shù)的化簡、計算與證明】 4
【題型3 全排列問題】 4
【題型4 元素（位置）有限制的排列問題】 5
【題型5 相鄰問題的排列問題】 6
【題型6 不相鄰排列問題】 6
【題型7 組合計數(shù)問題】 7
【題型8 定序問題】 7
【題型9 分組分配問題】 8
【題型10 涂色問題】 8
【題型11 排列組合綜合】 9
1、排列與組合
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)理解排列、組合的概念 (2)能利用排列組合解決簡單的實際問題 2022年新高考全國I卷：第5題，5分 2022年新高考全國Ⅱ卷：第5題，5分 2023年新高考I卷：第13題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分 2023年全國乙卷（理數(shù)）：第7題，5分 2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第14題，5分 2023年全國甲卷（文數(shù)）：第4題，5分 從近幾年的高考情況來看，排列組合是高考的熱點內(nèi)容，每年高考都有考查，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查排列組合的基本方法，特殊元素、相鄰與不相鄰問題以及分組分配等內(nèi)容，難度不大；有時會與兩個計數(shù)原理、概率等知識結(jié)合考查，需要靈活求解.
【知識點1 排列與組合】
1．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m（m≤n,n,m∈）個元素 并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合 作為一組，叫做從n個不同元素中取出m 個元素的一個組合
2．排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)定義
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的排列數(shù)，用符號表示.
(2)組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的組合數(shù)，用符號表示.
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
(1)排列數(shù)公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.
(2)組合數(shù)公式
①連乘表示：
==.
這里，n,m∈，并且mn.
②階乘表示：=.
規(guī)定：=1.
(3)組合數(shù)的性質(zhì)
①性質(zhì)1：=
②性質(zhì)2：=+
【知識點2 排列、組合常見問題的分類與解題策略】
1．排列應(yīng)用問題的分類與解法
(1)有限制條件的排列問題：對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在
實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.
(2)相鄰問題：對相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的
內(nèi)部排列.
(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面
元素排列的空檔中.
(4)定序問題：定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二
是定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.
(5)間接法：正面分類太多從反面入手.
(6)多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究.
2．組合問題的分類與解法
組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；
“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個
關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.
3．分組分配問題
(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.
(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有m組元素個數(shù)相同，則
分組后除以m!；③完全非均勻分組，只要分組即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)
原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.
【方法技巧與總結(jié)】
1．解決排列、組合問題的十種技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排.
(2)合理分類與準確分步.
(3)排列、組合混合問題要先選后排.
(4)相鄰問題捆綁處理.
(5)不相鄰問題插空處理.
(6)定序問題倍縮法處理.
(7)分排問題直排處理.
(8)“小集團”排列問題先整體后局部。
(9)構(gòu)造模型.
(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化.
【題型1 排列數(shù)的化簡、計算與證明】
【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）下列數(shù)中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）若集合{是質(zhì)數(shù)}，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（ ）
A． B． C． D．
【題型2 組合數(shù)的化簡、計算與證明】
【例2】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）化簡式子：的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測），求 的值為 （ ）
A．922 B．923 C．924 D．925
【變式2-3】（2024·山東聊城·三模）設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（ ）
A．512 B．1024 C．5120 D．10240
【題型3 全排列問題】
【例3】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某大樓安裝了6個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能閃亮1種固定的顏色，且閃亮的顏色各不相同，記這6個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍.在每個閃爍中，每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是（ ）
A．7205秒 B．7200秒 C．秒 D．7190秒
【變式3-1】（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實驗，每個艙安排一個人，則不同的安排方法一共有（ ）
A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
【變式3-2】（2024·浙江臺州·二模）房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進行不同角度的切割，以契合實際需要.已知長方體的規(guī)格為，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到，，三種不同規(guī)格的長方體.按照上述方式對第1次所截得的長方體進行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進行第3次截取，則共可得到體積為165cm 的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【變式3-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（　　）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【題型4 元素（位置）有限制的排列問題】
【例4】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）甲乙等6名數(shù)學(xué)競賽國家集訓(xùn)隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（ ）
A．144 B．192 C．360 D．480
【變式4-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某市決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識競賽．競賽規(guī)則:參賽學(xué)生從《紅樓夢》、《論語》、《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識競賽，且同一參賽學(xué)校的選手必須全部參加3本書籍的知識競賽．某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人參加此次競賽．因甲同學(xué)對《論語》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識競賽，其他同學(xué)沒有限制，則不同的安排方法有（ ）種
A．132 B．148 C．156 D．180
【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【變式4-3】（2024·四川南充·三模）某大學(xué)開學(xué)時選擇選修課程，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)準備在音樂鑒賞、影視鑒賞、相聲藝術(shù)鑒賞、戲曲鑒賞四門課程中每人選擇一門課程，每門選修課程至少有一人選擇，甲、乙都不選音樂鑒賞，但能選擇其他三門選修課程，丙、丁、戊可選擇四門選修課程的任何一門課程，則不同的選擇方法有（ ）種．
A．324 B．234 C．216 D．126
【題型5 相鄰問題的排列問題】
【例5】（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）甲 乙 丙 丁 戊共5名同學(xué)進行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（ ）種不同的情況.
A．18 B．24 C．36 D．48
【變式5-1】（2024·山東濱州·二模）某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安排在5月3日，則不同的安排方案共有（ ）
A．42種 B．40種 C．36種 D．30種
【變式5-2】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）2024年4月6號岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標賽（第三站）開賽，比賽結(jié)束后，其中5男3女共8位運動員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運動員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（ ）
A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種
【變式5-3】（2024·湖南岳陽·三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（ ）
A．96種 B．60種 C．48種 D．36種
【題型6 不相鄰排列問題】
【例6】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（ ）
A．120種 B．24種 C．36種 D．12種
【變式6-1】（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（ ）種.
A．186 B．264 C．284 D．336
【變式6-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法（ ）
A．24種 B．36種 C．42種 D．48種
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年“中華情·中國夢”中秋展演系列活動在廈門舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，中秋文藝晚會等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、2幅不同的攝影作品，將這7幅作品排成一排掛在同一面墻上，則美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 組合計數(shù)問題】
【例7】（2024·天津和平·二模）為響應(yīng)黨的二十大報告提出的“深化全民閱讀”的號召，某學(xué)校開展讀書活動，組織同學(xué)從推薦的課外讀物中進行選讀．活動要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【變式7-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）不等式，其中是非負整數(shù)，則使不等式成立的三元數(shù)組有多少組（ ）
A．560 B．455 C．91 D．55
【變式7-2】（2024·山東日照·模擬預(yù)測）設(shè)為某正方體的一條體對角線，為該正方體的各頂點與各棱中點所構(gòu)成的點集，若從中任選兩點連成線段，則與垂直的線段數(shù)目是（ ）
A．12 B．21 C．27 D．33
【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）“142857”這一串數(shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當142857與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個數(shù)是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
【題型8 定序問題】
【例8】（23-24高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）現(xiàn)有5名學(xué)生：甲、乙、丙、丁、戊排成一隊照相，要求甲與乙相鄰，且甲、乙、丁的左右順序固定，站法種數(shù)為（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【變式8-1】（2024·新疆·一模）在古典名著《紅樓夢》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干接連下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需要加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（ ）種
A．72 B．36 C．12 D．6
【變式8-2】（23-24高二下·福建莆田·期末）4名護士和2名醫(yī)生站成一排，2名醫(yī)生順序固定，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．480 B．360 C．288 D．144
【變式8-3】（2024·河南·三模）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【題型9 分組分配問題】
【例9】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來到江西旅游，分別準備從井岡山、廬山、龍虎山這3個5A級景區(qū)中隨機選擇1個景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數(shù)為（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
【變式9-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）將6名志愿者安排到4個不同的社區(qū)進行創(chuàng)文共建活動，要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（ ）
A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種
【變式9-2】（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國人民代表大會在北京召開．會議圓滿結(jié)束后，某市為了宣傳好二十大會議精神，市宣傳部決定組織去甲、乙、丙、丁4個村開展二十大宣講工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一個村，則宣講的分配方案種數(shù)為（ ）
A．158 B．162 C．180 D．198
【變式9-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）某地教體局為了響應(yīng)銀齡教師支教工作，準備從本地區(qū)選聘7位退休教師到新疆3所學(xué)校任教，要求每所學(xué)校至少去1位教師，且每位教師只能去1所學(xué)校支教，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．2142 B．2016 C．1890 D．1806
【題型10 涂色問題】
【例10】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【變式10-1】（23-24高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍三種顏色的油漆對其進行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（ ）種不同的放置與上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
【變式10-2】（2024·云南·二模）三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)對該圖進行涂色，有5種不同的顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué) 中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【題型11 排列組合綜合】
【例11】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）小張同學(xué)喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋子中至少裝1種奶糖．小張同學(xué)希望5個袋子中所裝奶糖種類各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為2，那么不同的方案數(shù)為（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
【變式11-1】（2024·四川南充·模擬預(yù)測）距高考30天之際，高三某班級五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學(xué)準備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學(xué)會選，五位同學(xué)都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A．18 B．36 C．48 D．32
【變式11-2】（23-24高二下·湖北武漢·期中）混放在一起的6件不同的產(chǎn)品中，有2件次品，4件正品．現(xiàn)需通過檢測將其區(qū)分，每次隨機抽取一件進行檢測，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結(jié)束．
(1)一共抽取了4次檢測結(jié)束，有多少種不同的抽法
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，檢測結(jié)束時有多少種不同的抽法 （要求：解答過程要有必要的說明和步驟）
【變式11-3】（23-24高二上·湖北武漢·期中）為慶祝3.8婦女節(jié)，東湖中學(xué)舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓(xùn)練，經(jīng)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？
一、單選題
1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
2．（2024·江西·模擬預(yù)測）某校羽毛球隊的4名男生和4名女生分成四組，參加四場混合雙打比賽（每名隊員只限參加一場比賽），則組隊方法的總數(shù)為（ ）
A．24 B．288 C．576 D．1152
3．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）種.
A． B． C． D．
5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個小型聯(lián)歡會要安排1個詩詞朗誦類節(jié)目，2個獨唱類節(jié)目，2個歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（ ）
A．44種 B．48種 C．72種 D．80種
6．（2024·安徽·一模）樹人學(xué)校開展學(xué)雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（ ）
A．20種 B．40種 C．60種 D．80種
7．（2024·四川涼山·三模）某考點在高考期間安排了高一、高二年級各兩名同學(xué)參與執(zhí)勤，電視臺從4名執(zhí)勤同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)采訪，則這兩名同學(xué)來自同一個年級的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（ ）種.
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若m，n為正整數(shù)且，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）某中學(xué)的3名男生和2名女生參加數(shù)學(xué)競賽，比賽結(jié)束后，這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是（ ）
A．若要求2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法
B．若要求女生與男生相間排列，則這5名同學(xué)共有24種排法
C．若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種排法
D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學(xué)共有72種排法
11．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處．今在道路網(wǎng)，處的甲、乙兩人分別要到，處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止．則（ ）
A．甲從到達處的方法有30種
B．甲從經(jīng)過到達處的方法有9種
C．甲、乙兩人在處相遇的概率為
D．甲、乙兩人不相遇的概率為
三、填空題
12．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）3名男生和3名女生隨機站成一排，每名女生至少與一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為 .
13．（2024·廣東·模擬預(yù)測）學(xué)校安排甲 乙等5名學(xué)生作為社區(qū)組織的“中老年趣味體育大賽”的項目志愿者，已知該比賽有這3個項目，每名學(xué)生只去1個項目做志愿者，且每個項目的志愿者至少有1人，則不同的安排方法有 種.（用數(shù)字作答）
14．（2024·江西·三模）2024年春耕期間，某農(nóng)業(yè)局將甲、乙、丙等5位農(nóng)業(yè)干部分配到3個村莊去指導(dǎo)農(nóng)民春耕，要求每人只去一個村莊，且這三個村莊都有人去，甲和乙不去同一個村莊，甲和丙去同一個村莊，則不同的分配方法共有 種（用數(shù)字作答）．
四、解答題
15．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）（1）計算：；（結(jié)果用數(shù)字表示）
（2）解不等式：；
16．（23-24高二下·青海西寧·期中）由0，1，2，3，4這五個數(shù)字．
(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？
(3)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個？
17．（23-24高二下·福建泉州·期中）將2個男生和4個女生排成一排：
(1)男生不相鄰的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
(2)男生不相鄰且不在頭尾的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
(3)2個男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
(4)4個女生順序一定的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
18．（2024·山西太原·二模）一款便攜式行李箱的密碼是由數(shù)字1，2，3組成的一個五位數(shù)，這三個數(shù)字的每個數(shù)字在密碼中至少出現(xiàn)一次，且它們出現(xiàn)的概率相等．
(1)求該款行李箱密碼的不同種數(shù)；
(2)記X表示該款行李箱密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．（2024·江蘇南通·二模）某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老師擔任教練.
(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？
(2)某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生的概率都相等，每位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題10.2 排列與組合【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 排列數(shù)的化簡、計算與證明】 3
【題型2 組合數(shù)的化簡、計算與證明】 5
【題型3 全排列問題】 6
【題型4 元素（位置）有限制的排列問題】 8
【題型5 相鄰問題的排列問題】 10
【題型6 不相鄰排列問題】 11
【題型7 組合計數(shù)問題】 13
【題型8 定序問題】 15
【題型9 分組分配問題】 17
【題型10 涂色問題】 19
【題型11 排列組合綜合】 22
1、排列與組合
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)理解排列、組合的概念 (2)能利用排列組合解決簡單的實際問題 2022年新高考全國I卷：第5題，5分 2022年新高考全國Ⅱ卷：第5題，5分 2023年新高考I卷：第13題，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分 2023年全國乙卷（理數(shù)）：第7題，5分 2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第14題，5分 2023年全國甲卷（文數(shù)）：第4題，5分 從近幾年的高考情況來看，排列組合是高考的熱點內(nèi)容，每年高考都有考查，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查排列組合的基本方法，特殊元素、相鄰與不相鄰問題以及分組分配等內(nèi)容，難度不大；有時會與兩個計數(shù)原理、概率等知識結(jié)合考查，需要靈活求解.
【知識點1 排列與組合】
1．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m（m≤n,n,m∈）個元素 并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合 作為一組，叫做從n個不同元素中取出m 個元素的一個組合
2．排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)定義
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的排列數(shù)，用符號表示.
(2)組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的組合數(shù)，用符號表示.
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
(1)排列數(shù)公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.
(2)組合數(shù)公式
①連乘表示：
==.
這里，n,m∈，并且mn.
②階乘表示：=.
規(guī)定：=1.
(3)組合數(shù)的性質(zhì)
①性質(zhì)1：=
②性質(zhì)2：=+
【知識點2 排列、組合常見問題的分類與解題策略】
1．排列應(yīng)用問題的分類與解法
(1)有限制條件的排列問題：對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在
實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.
(2)相鄰問題：對相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的
內(nèi)部排列.
(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面
元素排列的空檔中.
(4)定序問題：定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二
是定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.
(5)間接法：正面分類太多從反面入手.
(6)多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究.
2．組合問題的分類與解法
組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；
“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個
關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.
3．分組分配問題
(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.
(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有m組元素個數(shù)相同，則
分組后除以m!；③完全非均勻分組，只要分組即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)
原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.
【方法技巧與總結(jié)】
1．解決排列、組合問題的十種技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排.
(2)合理分類與準確分步.
(3)排列、組合混合問題要先選后排.
(4)相鄰問題捆綁處理.
(5)不相鄰問題插空處理.
(6)定序問題倍縮法處理.
(7)分排問題直排處理.
(8)“小集團”排列問題先整體后局部。
(9)構(gòu)造模型.
(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化.
【題型1 排列數(shù)的化簡、計算與證明】
【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）下列數(shù)中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】運用排列數(shù)和組合數(shù)公式計算即可.
【解答過程】
對于A，；
對于B,
對于C, ，
對于D，，
故選：B.
【變式1-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）若集合{是質(zhì)數(shù)}，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】解不等式得集合B，然后由交集運算可得.
【解答過程】解析：由題意知：
由得：，所以，
即，
所以．
故選：B.
【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用排列數(shù)公式化簡并求解不等式.
【解答過程】不等式中，，化為，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
故選：A.
【變式1-3】（23-24高二下·山東菏澤·期中），，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件利用排列數(shù)公式的意義即可得解.
【解答過程】因且，表示80個連續(xù)正整數(shù)的乘積，
其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，
所以.
故選：A.
【題型2 組合數(shù)的化簡、計算與證明】
【例2】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）化簡式子：的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】本題將復(fù)雜的組合問題轉(zhuǎn)化為“從裝有個白球，個黑球的袋子里，取出個球的所有情況取法總數(shù)的和”模型，等價于“從裝有球中取出個球的不同取法數(shù)”,即可解決.
【解答過程】表示：
從裝有個白球，個黑球的袋子里，取出個球的所有情況取法總數(shù)的和.
又從裝有球中取出個球的不同取法數(shù).
所以，
所以
故選：C.
【變式2-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)組合數(shù)公式可得，結(jié)合二項式系數(shù)和的性質(zhì)計算得解.
【解答過程】∵
，其中，
∴
.
故選：B.
【變式2-2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測），求 的值為 （ ）
A．922 B．923 C．924 D．925
【解題思路】代入求和公式，算出組合數(shù)的值即可.
【解答過程】由題意知
.
故選：B.
【變式2-3】（2024·山東聊城·三模）設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（ ）
A．512 B．1024 C．5120 D．10240
【解題思路】根據(jù)，利用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系求解得，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)及二項式系數(shù)和性質(zhì)即可求解.
【解答過程】由，當時，，解得，
當時，，則，
整理，
又數(shù)列為正項數(shù)列，則，所以，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.
因為 ，
所以.
故選：C.
【題型3 全排列問題】
【例3】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某大樓安裝了6個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能閃亮1種固定的顏色，且閃亮的顏色各不相同，記這6個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍.在每個閃爍中，每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是（ ）
A．7205秒 B．7200秒 C．秒 D．7190秒
【解題思路】依題意每次閃爍共秒，再利用全排列求出不同的閃爍數(shù)，又相鄰兩個閃爍的時間間隔為秒，即可求出所需時間.
【解答過程】依題意每次閃爍共秒，
所有不同的閃爍為個，相鄰兩個閃爍的時間間隔為秒，
因此需要的時間至少是秒.
故選：C.
【變式3-1】（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實驗，每個艙安排一個人，則不同的安排方法一共有（ ）
A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
【解題思路】空間站的主體結(jié)構(gòu)包括3個艙，恰好3名宇航員，每個艙安排一個人，正好是全排列問題，求解即可.
【解答過程】甲、乙、丙共3名航天員分別到天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙3個艙開展實驗，每個艙安排一個人，
不同的安排方法共有（種）.
故選：D.
【變式3-2】（2024·浙江臺州·二模）房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進行不同角度的切割，以契合實際需要.已知長方體的規(guī)格為，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到，，三種不同規(guī)格的長方體.按照上述方式對第1次所截得的長方體進行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進行第3次截取，則共可得到體積為165cm 的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【解題思路】根據(jù)原長方體體積與得到的體積為165cm 長方體的關(guān)系，分別對長寬高進行減半，利用分類加法計數(shù)原理求解即可.
【解答過程】由題意，，為得到體積為的長方體，
需將原來長方體體積縮小為原來的，
可分三類完成：第一類，長減半3次，寬減半3次、高減半3次，共3種；
第二類，長寬高各減半1次，共1種；
第三類，長寬高減半次的全排列種，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共種.
故選：B.
【變式3-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（　　）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【解題思路】分成恰有2個部門所選的旅游地相同、4個部門所選的旅游地全不相同兩類，再應(yīng)用分步計數(shù)及排列、組合數(shù)求至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù).
【解答過程】①恰有2個部門所選的旅游地相同，
第一步，先將選相同的2個部門取出，有種；
第二步，從6個旅游地中選出3個排序，有種，
根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有種；
②4個部門所選的旅游地都不相同的方法有種，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種．
故選：B.
【題型4 元素（位置）有限制的排列問題】
【例4】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）甲乙等6名數(shù)學(xué)競賽國家集訓(xùn)隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（ ）
A．144 B．192 C．360 D．480
【解題思路】分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間；②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，由分步計數(shù)原理計算即可．
【解答過程】根據(jù)題意，分2步進行分析：
①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間，有種情況；
②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有種排法；
則有種不同的站法．
故選：B.
【變式4-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某市決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識競賽．競賽規(guī)則:參賽學(xué)生從《紅樓夢》、《論語》、《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識競賽，且同一參賽學(xué)校的選手必須全部參加3本書籍的知識競賽．某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人參加此次競賽．因甲同學(xué)對《論語》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識競賽，其他同學(xué)沒有限制，則不同的安排方法有（ ）種
A．132 B．148 C．156 D．180
【解題思路】分選出的4人中含甲和不含甲兩種情況，含甲時再分甲單獨參加，和其中1名同學(xué)共同參加，求出不同的安排方法相加即可.
【解答過程】若選出的4人中含甲，再從剩余4人中選擇3人，有種選擇，
若比賽時安排甲單獨參加《紅樓夢》、《史記》的其中一本書的知識競賽，有種選擇，
則剩余的3人參加剩余2本書的知識競賽，則有種選擇，此時共有種選擇，
若比賽時安排甲和3名同學(xué)中的一名參加《紅樓夢》、《史記》中1本書的知識競賽有種，
余下的2人參與其它兩本的知識競賽，則有種，此時共有種，
故共有種選擇，
若選出的4人中不含甲，則選出的4人分為3組，參加比賽，共有種選擇，
綜上，共有種安排方法.
故選：A.
【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【解題思路】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法計數(shù)原理計算.
【解答過程】3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，
先排左右兩端，有種排法，
再排中間4個位置，有種排法，
所以不同的排法種數(shù)為種.
故選：C.
【變式4-3】（2024·四川南充·三模）某大學(xué)開學(xué)時選擇選修課程，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)準備在音樂鑒賞、影視鑒賞、相聲藝術(shù)鑒賞、戲曲鑒賞四門課程中每人選擇一門課程，每門選修課程至少有一人選擇，甲、乙都不選音樂鑒賞，但能選擇其他三門選修課程，丙、丁、戊可選擇四門選修課程的任何一門課程，則不同的選擇方法有（ ）種．
A．324 B．234 C．216 D．126
【解題思路】根據(jù)題意，按甲乙是否選擇同一門課程分2種情況討論，由加法原理計算可得結(jié)果.
【解答過程】根據(jù)題意，分2種情況討論：
①甲乙選擇同一門課程，有種選法，
②甲乙不選擇同一門課程，有種選法，
則不同選法總數(shù)為種.
故選：D.
【題型5 相鄰問題的排列問題】
【例5】（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）甲 乙 丙 丁 戊共5名同學(xué)進行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（ ）種不同的情況.
A．18 B．24 C．36 D．48
【解題思路】由題意知將丙和丁看成一個整體，按丙和丁的位置分4種情況討論，結(jié)合分類計數(shù)原理計算即可求解.
【解答過程】由題意知，將丙和丁看成一個整體，
分4種情況分析：
①丙和丁的整體分別為第1、2名，有種情況；
②丙和丁的整體分別為第2、3名，第1名只能是戊，
所以甲和乙為第4、5名，有種情況；
③丙和丁的整體分別為第3、4名，第1名只能是戊，
所以甲和乙為第2、5名，有種情況；
④丙和丁的整體分別為第4、5名，第1名只能是戊，
所以甲和乙為第2、3名，有種情況；
所以共有種情況.
故選：B.
【變式5-1】（2024·山東濱州·二模）某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安排在5月3日，則不同的安排方案共有（ ）
A．42種 B．40種 C．36種 D．30種
【解題思路】利用相鄰問題的排列數(shù)，減去甲乙相鄰時丙排在5月3日的排列數(shù)得解.
【解答過程】甲乙相鄰的排列數(shù)是，其中甲乙相鄰且丙排在5月3日的排列數(shù)為，
所以不同的安排方案共有（種）.
故選：B.
【變式5-2】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）2024年4月6號岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標賽（第三站）開賽，比賽結(jié)束后，其中5男3女共8位運動員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運動員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（ ）
A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種
【解題思路】依題意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運動員在“3男1女”這一排中，按照先選人，再排列，相鄰問題用捆綁法，最后按照分步乘法計數(shù)原理計算可得．
【解答過程】根據(jù)題意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相鄰的2位男運動員在“3男1女”這一排中．
先確定“3男1女”這一排，5男選3人，3女選1人，
所選3男選2人相鄰，與余下的1男安排在1女的兩側(cè)，
排列方法有種，
再確定“2男2女”這一排，2男先排好有，
2女相鄰并放在2男之間有種，或2女放在2男成排的兩空有種方式，
排列方法有種，
因此，不同的排列方法總數(shù)為．
故選：D.
【變式5-3】（2024·湖南岳陽·三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（ ）
A．96種 B．60種 C．48種 D．36種
【解題思路】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.
【解答過程】依題意，設(shè)這五個人分別為甲乙丙丁戊.
第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，
第二步，將這個整體與丁戊全排列，有種安排方法，
第三步，排好后產(chǎn)生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有種安排方法.
則由分步乘法計數(shù)原理，不同的方案共有種.
故選：D.
【題型6 不相鄰排列問題】
【例6】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（ ）
A．120種 B．24種 C．36種 D．12種
【解題思路】先排紅色棋子，再將黑色棋子插空，求出答案.
【解答過程】先將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子進行全排列，有種選擇，
3個紅色棋子中間有2個空，將2個黑色的“將”“車”棋子進行插空，有種選擇，
則同色棋子不相鄰的排列方式有種.
故選：D.
【變式6-1】（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（ ）種.
A．186 B．264 C．284 D．336
【解題思路】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.
【解答過程】先考慮A和B不相鄰的排法，
將C、D、E、F四個人進行全排列，有種情況，
C、D、E、F四個人之間共有5個空，選擇2個排A和B，有種情況，
故有種選擇，
再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，
先從兩端選擇一個位置安排C，有種情況，
再將D、E、F三個人進行全排列，有種情況
最后D、E、F三個人之間共有4個空，選擇2個排A和B，有種情況，
故有種情況，
則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有種情況.
故選：D.
【變式6-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法（ ）
A．24種 B．36種 C．42種 D．48種
【解題思路】由題意得對紅菊花所處位置進行分類，每一類根據(jù)分步計數(shù)原理可得.
【解答過程】紅菊花在正中間位置時，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，
即紅菊花兩邊各一盆白色，黃色菊花，故有；
紅菊花在首位或者尾端時，先排好白菊花，產(chǎn)生三個空再對黃菊花分類排即可，
故；
紅菊花在第2或者第4位置時，先給首位或者尾端任意放一種，剩下的3盆花位置就確定了，故；
綜上，共有種擺放方法.
故選：D.
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年“中華情·中國夢”中秋展演系列活動在廈門舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，中秋文藝晚會等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、2幅不同的攝影作品，將這7幅作品排成一排掛在同一面墻上，則美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用排列知識求出7幅作品所有的不同掛法，結(jié)合捆綁法，插空法求出美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品相鄰時不同的掛法，利用間接法求出美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的掛法，根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)論.
【解答過程】由題意知這7幅作品所有的不同掛法有種，
美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品相鄰時不同的掛法有種，
美術(shù)作品不能掛兩端時不同的掛法有種，
則美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的不同的掛法有種，
所以事件美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的概率為，
故選：B.
【題型7 組合計數(shù)問題】
【例7】（2024·天津和平·二模）為響應(yīng)黨的二十大報告提出的“深化全民閱讀”的號召，某學(xué)校開展讀書活動，組織同學(xué)從推薦的課外讀物中進行選讀．活動要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【解題思路】根據(jù)題意，首先選取種相同課外讀物，再選取另外兩種課外讀物，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答過程】根據(jù)題意，分2步進行分析：
首先選取種相同課外讀物的選法有種，
再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，
所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．
故選：B．
【變式7-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）不等式，其中是非負整數(shù)，則使不等式成立的三元數(shù)組有多少組（ ）
A．560 B．455 C．91 D．55
【解題思路】在都加上1，把問題轉(zhuǎn)化成方程有正整數(shù)解的問題解決.
【解答過程】設(shè)，，，
則不等式有多少組非負整數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為：的正整數(shù)解的組數(shù).
因為方程：的解的組數(shù)為：；
的解的組數(shù)為：；
…
的解的組數(shù)為：.
所以原不等式解的組數(shù)為： .
故選：B.
【變式7-2】（2024·山東日照·模擬預(yù)測）設(shè)為某正方體的一條體對角線，為該正方體的各頂點與各棱中點所構(gòu)成的點集，若從中任選兩點連成線段，則與垂直的線段數(shù)目是（ ）
A．12 B．21 C．27 D．33
【解題思路】如圖正方體，設(shè)直線為直線，可證平面，故所有與垂直的直線在平面內(nèi)或與平面平行，再結(jié)合圖象確定與平面平行的平面，最后利用組合數(shù)公式計算可得.
【解答過程】如圖正方體，設(shè)直線為直線，
如下圖所示，對應(yīng)棱上的點為對應(yīng)棱的中點，連接，
因為四邊形為正方形，則，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面，，
同理可證，又，平面，平面，
故所有與垂直的直線在平面內(nèi)或與平面平行，
易知與平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，
所以滿足條件的且與對角線垂直的線段共（個）.
故選：C.
【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）“142857”這一串數(shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當142857與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個數(shù)是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
【解題思路】按千位數(shù)分別是5，7，8進行分類討論即可.
【解答過程】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字不能是1，故共有（個）；
（①一個四位數(shù)為偶數(shù)，則其個位上的數(shù)字一定是偶數(shù)；②組成的四位數(shù)要大于5200，則其千位上的數(shù)字是5，7或8）
若千位數(shù)字是7，則共有（個）；
若千位數(shù)字是8，則共有（個）．
故符合條件的四位數(shù)共有（個）．
故選：A.
【題型8 定序問題】
【例8】（23-24高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）現(xiàn)有5名學(xué)生：甲、乙、丙、丁、戊排成一隊照相，要求甲與乙相鄰，且甲、乙、丁的左右順序固定，站法種數(shù)為（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【解題思路】由題意結(jié)合相鄰問題、定序問題的解法直接計算即可得解.
【解答過程】因為甲與乙相鄰，且甲、乙、丁的左右順序固定，
所以可將甲和乙看作一個整體，共有1種站法，
再與其余三人進行排列，共有種站法.
故選：D.
【變式8-1】（2024·新疆·一模）在古典名著《紅樓夢》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干接連下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需要加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（ ）種
A．72 B．36 C．12 D．6
【解題思路】利用排列數(shù)公式，以及順序一定問題，列式求解.
【解答過程】將香菌、新筍、豆腐干看成一個元素，且順序一定，茄子凈肉和雞胸肉順序一定，
所以不同的排序方法有種方法.
故選：C.
【變式8-2】（23-24高二下·福建莆田·期末）4名護士和2名醫(yī)生站成一排，2名醫(yī)生順序固定，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．480 B．360 C．288 D．144
【解題思路】先將6個元素作全排列，再除以可得答案.
【解答過程】4名護士和2名醫(yī)生站成一排，共有種，
又因為2名醫(yī)生順序固定，所以不同的排法種數(shù)為種.
故選：B.
【變式8-3】（2024·河南·三模）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【解題思路】結(jié)合全排列的概念即可.
【解答過程】由題意，對8盞不同的花燈進行取下，
先對8盞不同的花燈進行全排列，共有種方法，
因為取花燈每次只能取一盞，而且只能從下往上取，
所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，
故一共有種，
故選：A.
【題型9 分組分配問題】
【例9】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來到江西旅游，分別準備從井岡山、廬山、龍虎山這3個5A級景區(qū)中隨機選擇1個景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數(shù)為（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
【解題思路】分類討論與甲為一組的人數(shù)情況，結(jié)合分組分配問題的解法即可得解.
【解答過程】若甲1個人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1，3或2，2，
則不同的選擇方案有種；
若甲和另外1個人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為1，2，
則不同的選擇方案有種；
若甲和另外2個人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1，1，
則不同的選擇方案有種；
所以共有種選擇方案.
故選：D.
【變式9-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）將6名志愿者安排到4個不同的社區(qū)進行創(chuàng)文共建活動，要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（ ）
A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種
【解題思路】先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可．
【解答過程】解：先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可，
若志愿者人數(shù)依次為3，1，1，1，則不同的安排方法種數(shù)為：種；
若志愿者人數(shù)依次為2，2，1，1，則不同的安排方法種數(shù)為：種，
故不同的安排方法共有種．
故選：B．
【變式9-2】（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國人民代表大會在北京召開．會議圓滿結(jié)束后，某市為了宣傳好二十大會議精神，市宣傳部決定組織去甲、乙、丙、丁4個村開展二十大宣講工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一個村，則宣講的分配方案種數(shù)為（ ）
A．158 B．162 C．180 D．198
【解題思路】分A單獨去某一個村和A和中的某一個一起去某個村兩種情況，結(jié)合排列組合知識求出每種情況下分配方法，相加即可.
【解答過程】當A單獨去某一個村時，從乙、丙、丁3個村中選擇1個安排，有種情況，
剩下的4個人安排到3個村，有種情況，
故有種情況，
當A和中的某一個一起去某個村時，
先從選擇1個，再從乙、丙、丁3個村中選擇1個安排，有種情況，
再安排另外3個人，每個人去1個村，有種情況，
故有種情況，
綜上，共有種情況.
故選：B.
【變式9-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）某地教體局為了響應(yīng)銀齡教師支教工作，準備從本地區(qū)選聘7位退休教師到新疆3所學(xué)校任教，要求每所學(xué)校至少去1位教師，且每位教師只能去1所學(xué)校支教，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．2142 B．2016 C．1890 D．1806
【解題思路】根據(jù)先選后排的原則，先分類討論分組方式的可能情況，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)求不同的分組方法種數(shù)，再排列即可.
【解答過程】1.第一步，將7位教師分成3組，分組方式有四類：
①第一類為3，2，2，不同的分組方法種數(shù)為；
②第二類為4，2，1，不同的分組方法種數(shù)為；
③第三類為5，1，1，不同的分組方法種數(shù)為；
④第四類為1，3，3，不同的分組方法種數(shù)為．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理得不同的分組方法種數(shù)為．
2.第二步，將3組教師分配到3所不同學(xué)校的分配方法種數(shù)為．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得不同的分配方案種數(shù)為.
故選：D．
【題型10 涂色問題】
【例10】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【解題思路】根據(jù)四個區(qū)域所種植鮮花的種類進行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.
【解答過程】由題意可知：四個區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：
當種植的鮮花為兩種時：和相同，和相同，共有種種植方法；
當種植鮮花為三種時：和相同或和相同，此時共有種種植方法；
當種植鮮花為四種時：四個區(qū)域各種一種，此時共有種種植方法，
綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為種，
故選：.
【變式10-1】（23-24高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍三種顏色的油漆對其進行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（ ）種不同的放置與上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
【解題思路】進行顏色分配，然后利用分類原理的相加和分步相乘的原理進行分析即可.
【解答過程】①3個1，3個2，0個3如表：
1 2 1
2 1 2
只用兩種顏色，并選取兩個位置放AB,此時有：種，
②1個1，2個2，3個3如表：
1 3 2
3 2 3
選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個位置放AB,此時有：種，
或
3 1 3
2 3 2
選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個位置放AB,此時有：種，
③2個1，2個2，2個3如表：
3 2
2 3
選用三種顏色（2+2+2），并選取兩個位置放AB，此時有：種，
或
2 3
2 3
選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個位置放AB，此時有：種，
所以不同的放置與上色方式有：
.
故選：C.
【變式10-2】（2024·云南·二模）三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)對該圖進行涂色，有5種不同的顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】所有的涂色方案分3類，利用排列組合求出涂色方法，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.
【解答過程】所有的涂色方案分3類：
(1)用到三種顏色，為⑤一種顏色，①③同色，②④同色，涂色方法為；
(2)用到四種顏色，為⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或⑤一種顏色，①③同色，②④不同色，涂色方法為；
(3)用到五種顏色，涂色方法為；
因此該方案恰好只用到三種顏色的概率是.
故選：B．
【變式10-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué) 中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【解題思路】根據(jù)不鄰區(qū)域是否同色進行分類，確定涂色順序再分步計數(shù)即可.
【解答過程】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個區(qū)域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.

分為以下兩類情況：
第一類：三個區(qū)域涂三種不同的顏色，
第一步涂區(qū)域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數(shù)原理，則共有種方法；
第二類：三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.
若涂一色，
第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，
即涂個區(qū)域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數(shù)原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，
則共有種方法.
由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.
故選：D.
【題型11 排列組合綜合】
【例11】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）小張同學(xué)喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋子中至少裝1種奶糖．小張同學(xué)希望5個袋子中所裝奶糖種類各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為2，那么不同的方案數(shù)為（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
【解題思路】根據(jù)已知先分類討論再排列得出結(jié)果.
【解答過程】依次記四種奶糖為，則每個字母出現(xiàn)2次，先分堆．
若是“”，則其中的“4”必須是，故有1種可能；
若是“”，則考慮，故有種可能；
若是“”，則考慮，故有種可能，
所以不同的方案數(shù)為種．
故選:A．
【變式11-1】（2024·四川南充·模擬預(yù)測）距高考30天之際，高三某班級五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學(xué)準備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學(xué)會選，五位同學(xué)都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A．18 B．36 C．48 D．32
【解題思路】先根據(jù)甲乙選的景點其他人是否選分成兩類情況，①無人再選，按照分組計算方法數(shù)；②還有人選，按照部分平均分組計算方法數(shù).最后用分類加法原理計算總的方法數(shù)即可.
【解答過程】若甲乙選的景點沒有其他人選，則分組方式為：的選法總數(shù)為：，
若甲乙選的景點還有其他人選擇，則分組方式為：的選法總數(shù)為：，
所以不同的選法總數(shù)為: .
故選:B．
【變式11-2】（23-24高二下·湖北武漢·期中）混放在一起的6件不同的產(chǎn)品中，有2件次品，4件正品．現(xiàn)需通過檢測將其區(qū)分，每次隨機抽取一件進行檢測，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結(jié)束．
(1)一共抽取了4次檢測結(jié)束，有多少種不同的抽法
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，檢測結(jié)束時有多少種不同的抽法 （要求：解答過程要有必要的說明和步驟）
【解題思路】（1）分兩種情形：第一種是4次抽到的全是正品，第二種前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分類加法原理計算；
（2）由題意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，檢測結(jié)束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不論正品還是次品）都可以結(jié)束，由此計算可得．
【解答過程】（1）有以下兩種情況：
4次均為正品，共有種；
前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共種；
則共有96種．
（2）由題意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測結(jié)束，
當抽取4次結(jié)束時，第4次抽到的必是次品，共有種抽法；
當抽取5次結(jié)束時，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，則共有種抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有種抽法；
共120種抽法．
【變式11-3】（23-24高二上·湖北武漢·期中）為慶祝3.8婦女節(jié)，東湖中學(xué)舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓(xùn)練，經(jīng)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？
【解題思路】（1）分成兩組，根據(jù)是否平均分組分別寫出即可；
（2）首先討論有限制的、、有哪些人上場，其次若、同時上場，則利用捆綁法，求解即可.
【解答過程】（1）隊伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，
①若兩組都是3女2男，
則先將6女平均分成兩組共種方式，
再將4男平均分成兩組共種方式，
所以兩組都是3女2男的情況有種；
②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，
所以總情況數(shù)為種.
故一共有種不同的分組方案；
（2）總共可分為三種情況，如下：
①若上場且不上場：
先將全排列，共有種方式，
再把捆綁后和全排列共有種方式，
所以上場且不上場共有種不同的排列方式；
②若上場且也上場：
（i）若在1號位，先將全排列，共有種方式，
再從中選兩人，有種方式，
則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，
所以在1號位共有種不同的方式；
（ii）若在2號位，
再將全排列，且可位于3，4號位或4，5號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在2號位或3號位共有種不同的方式；
（iii）若在3號位，
再將全排列，且可位于1，2號位或4，5號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在2號位或3號位共有種不同的方式；
（iiii）若在4號位，
將全排列，且可位于1，2號位或2，3號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在4號位共有種不同的方式.
所以上場且也上場共有種不同的方式；
③若中有一人上場且上場：
上場且不在5號位，則可位于1，2，3，4號位，有種方式，
再從中選一人，有種方式，
中的一人和共4人全排列，共種方式，
所以中有一人上場且上場共有種不同的排列方式.
綜上所述，共有種排列方式.
一、單選題
1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
【解題思路】根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)公式計算可得.
【解答過程】.
故選：C.
2．（2024·江西·模擬預(yù)測）某校羽毛球隊的4名男生和4名女生分成四組，參加四場混合雙打比賽（每名隊員只限參加一場比賽），則組隊方法的總數(shù)為（ ）
A．24 B．288 C．576 D．1152
【解題思路】根據(jù)條件，先將男生分成四組，有1種分法，再將女生分到四組有種分法，再利用分步計數(shù)原理，即可求解.
【解答過程】根據(jù)題意可知，先將男生平均分成四組有：種方法，
再將女生安排到四組有：種方法，所以組隊方法的總數(shù)為.
故選：A.
3．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用組合數(shù)公式可得，再求和并結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)求出，然后賦值即得.
【解答過程】依題意，
，
則
，
所以.
故選：C.
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）種.
A． B． C． D．
【解題思路】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙在最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種.
【解答過程】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，
然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，
則共有種排法.
故選：D.
5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個小型聯(lián)歡會要安排1個詩詞朗誦類節(jié)目，2個獨唱類節(jié)目，2個歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（ ）
A．44種 B．48種 C．72種 D．80種
【解題思路】利用間接法，首先將五個節(jié)目全排列，減去獨唱類節(jié)目相鄰，再減去歌舞類節(jié)目相鄰，最后加上獨唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰的情況即可.
【解答過程】依題意五個節(jié)目全排列有種排法；
若獨唱類節(jié)目相鄰，則有種排法；
若歌舞類節(jié)目相鄰，則有種排法；
若獨唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰，則有種排法；
綜上可得同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.
故選：B.
6．（2024·安徽·一模）樹人學(xué)校開展學(xué)雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（ ）
A．20種 B．40種 C．60種 D．80種
【解題思路】利用分組分配問題分類討論一一計算即可.
【解答過程】由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男一組，余下一組；
2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；
所以分配方法為.
故選：C.
7．（2024·四川涼山·三模）某考點在高考期間安排了高一、高二年級各兩名同學(xué)參與執(zhí)勤，電視臺從4名執(zhí)勤同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)采訪，則這兩名同學(xué)來自同一個年級的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分別求出從4名執(zhí)勤同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的方法數(shù)和兩名同學(xué)來自同一個年級的方法數(shù)即可根據(jù)古典概型的概率公式求解.
【解答過程】電視臺從4名執(zhí)勤同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)采訪共有種方法，
由題這兩名同學(xué)可能同來自高一也可能同來自高二，
所以這兩名同學(xué)來自同一個年級共有種方法，
所以這兩名同學(xué)來自同一個年級的概率是.
故選：C.
8．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（ ）種.
A． B． C． D．
【解題思路】采用分類與分步計數(shù)原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學(xué)校和甲、丙不在同一所學(xué)校兩類，每類分別討論，最后相加得到結(jié)果.
【解答過程】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；
若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，
剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為X校），
分別對應(yīng)有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所學(xué)校或不在同一所學(xué)校），
共種排法；
若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，
若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；
若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，
分別有、、種排法，故共有：
種排法.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若m，n為正整數(shù)且，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計算公式和性質(zhì)，對每個選項逐一計算即可判斷.
【解答過程】對A：由組合數(shù)性質(zhì)：可知，A正確；
對B：，故B錯誤；
對C：，，左右兩邊不相等，故C錯誤；
對D： ，故D正確.
故選：AD.
10．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）某中學(xué)的3名男生和2名女生參加數(shù)學(xué)競賽，比賽結(jié)束后，這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是（ ）
A．若要求2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法
B．若要求女生與男生相間排列，則這5名同學(xué)共有24種排法
C．若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種排法
D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學(xué)共有72種排法
【解題思路】利用捆綁法解決選項A，利用插空法解決選項BC，利用特殊元素優(yōu)先法解決選項D.
【解答過程】選項A，將2名女生捆綁在一起，再與3名男生進行全排列，
則有（種），故A正確；
選項B，要求女生與男生相間排列，采用插空法，
先將3名男生進行全排列，再將2名女生插到3名男生所形成的2個空中，
則有（種），故B錯誤；
選項C，先將3名男生進行全排列，再將2名女生插到3名男生所形成的4個空中，
則有（種），故C正確；
選項D，將5名同學(xué)排成一排，相當于將他們放到排成一排的5個空位中，
先將男生甲排在中間的3個空位中，再將剩下4名同學(xué)進行全排列，
則有（種），故D正確.
故選：ACD.
11．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處．今在道路網(wǎng)，處的甲、乙兩人分別要到，處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止．則（ ）
A．甲從到達處的方法有30種
B．甲從經(jīng)過到達處的方法有9種
C．甲、乙兩人在處相遇的概率為
D．甲、乙兩人不相遇的概率為
【解題思路】利用組合計數(shù)原理可判斷A選項的正誤，利用分步乘法計數(shù)原理結(jié)合組合計數(shù)原理可判斷B選項的正誤，計算出甲、乙經(jīng)過處的走法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可判斷C選項的正誤，計算出甲、乙兩人相遇的走法種數(shù)，利用古典概型的概率公式及對立事件的概率可判斷D選項的正誤.
【解答過程】A選項，甲從到達處，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
則甲從到達處的方法有種，A選項錯誤；
B選項，甲經(jīng)過到達處，可分為兩步：
第一步，甲從經(jīng)過需要走步，其中步向右走，步向上走，方法數(shù)為種；
第二步，甲從到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法數(shù)為種.
甲經(jīng)過到達的方法數(shù)為種，B選項正確；
C選項，類似B，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，
甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)為，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；
D選項，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，
若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲、乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走，
乙到處，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走，
所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲、乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數(shù)為種；
若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
故甲、乙兩人相遇的概率， 由對立事件的概率知，甲、乙兩人不相遇的概率為，D選項錯誤.
故選：BC.
三、填空題
12．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）3名男生和3名女生隨機站成一排，每名女生至少與一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為 360 .
【解題思路】由捆綁法、插空法即可求解.
【解答過程】當恰好2名女生相鄰時，有種排法，
當3名女生都不相鄰時，有種排法，
則共有種排法.
故答案為：360.
13．（2024·廣東·模擬預(yù)測）學(xué)校安排甲 乙等5名學(xué)生作為社區(qū)組織的“中老年趣味體育大賽”的項目志愿者，已知該比賽有這3個項目，每名學(xué)生只去1個項目做志愿者，且每個項目的志愿者至少有1人，則不同的安排方法有 150 種.（用數(shù)字作答）
【解題思路】先將5名學(xué)生分成3組有2、2、1和3、1、1兩種分法，然后這3組學(xué)生在3個項目全排列，即可得到答案.
【解答過程】依題意，將5名學(xué)生分成3組有2、2、1和3、1、1兩種分法，
然后安排這3組去3個項目做志愿者，
所以不同的安排方法有種.
故答案為：150.
14．（2024·江西·三模）2024年春耕期間，某農(nóng)業(yè)局將甲、乙、丙等5位農(nóng)業(yè)干部分配到3個村莊去指導(dǎo)農(nóng)民春耕，要求每人只去一個村莊，且這三個村莊都有人去，甲和乙不去同一個村莊，甲和丙去同一個村莊，則不同的分配方法共有 30 種（用數(shù)字作答）．
【解題思路】分兩類，甲、丙兩人去同一個村莊與甲、丙和除乙以外的某一人去同一村莊，按照分組分配的方法計算可得.
【解答過程】分兩類考查：第一類，甲、丙兩人去同一個村莊，共有種分配方法；
第二類，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村莊，共有種分配方法．
故共有種分配方法．
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）（1）計算：；（結(jié)果用數(shù)字表示）
（2）解不等式：；
【解題思路】（1）根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)運算求解；
（2）根據(jù)排列數(shù)公式運算求解即可.
【解答過程】（1）由題意可知：
；
（2）因為，可知，且，
整理可得，解得，
且，所以或.
16．（23-24高二下·青海西寧·期中）由0，1，2，3，4這五個數(shù)字．
(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？
(3)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個？
【解題思路】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個數(shù)字即可計算得解；
（2）選偶數(shù)先排個位數(shù)，分個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；
（3）按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計算作答.
【解答過程】（1）先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有種排法，
再排四個非0數(shù)字有種，由分步乘法計數(shù)原理得，
所以能組成96個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；
（2）當個位數(shù)字為0時，則可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，
當個位數(shù)字為2或4時，則可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，
即可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；
（3）計算比21034大的五位數(shù)的個數(shù)分兩類：
萬位比2大的五位數(shù)個數(shù)是，
萬位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有個，千位是1，百位比0大的有個，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個，
由分類加法計數(shù)原理得，
所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個.
17．（23-24高二下·福建泉州·期中）將2個男生和4個女生排成一排：
(1)男生不相鄰的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
(2)男生不相鄰且不在頭尾的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
(3)2個男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
(4)4個女生順序一定的排法有多少種？（列式并用數(shù)字作答）
【解題思路】(1)先對女生排列再用插空法可得答案；
(2)先對女生排列根據(jù)插空法選擇中間3個位置中的兩個排列即可求得結(jié)果；
(3)根據(jù)間接法總的減去對立面可求得結(jié)果；
(4)先確定4個女生順序，再排一個男生根據(jù)插空法，然后根據(jù)插空法排另外一個男生可求得結(jié)果.
【解答過程】（1）先對女生排列有種方法，再用插空法排列有種方法，則總計有種方法；
（2）先對女生排列有種方法，男生不相鄰且也不排到兩頭，可根據(jù)去掉頭尾兩空的插空法排列有,則總計有種方法；
（3）6個人全排列有種方法，一個男生和甲相鄰有種方法，
另外一個男生和甲相鄰有種方法，兩個男生都和甲相鄰有種方法，
所以兩個男生都不和甲相鄰的排法有
種；
（4）先確定4個女生順序，則有5個空根據(jù)插空法第一個男生有種，
然后根據(jù)插空法排另外一個男生有種，則總計有種方法.
18．（2024·山西太原·二模）一款便攜式行李箱的密碼是由數(shù)字1，2，3組成的一個五位數(shù)，這三個數(shù)字的每個數(shù)字在密碼中至少出現(xiàn)一次，且它們出現(xiàn)的概率相等．
(1)求該款行李箱密碼的不同種數(shù)；
(2)記X表示該款行李箱密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解題思路】（1）分只有一個數(shù)字出現(xiàn)三次且其余兩個數(shù)字各出現(xiàn)一次和兩個數(shù)字各出現(xiàn)兩次且另一個數(shù)字出現(xiàn)一次討論即可；
（2）首先得到X的取值為1，2，3，分別寫出其概率，再利用均值公式即可得到答案.
【解答過程】（1）當密碼中只有一個數(shù)字出現(xiàn)三次且其余兩個數(shù)字各出現(xiàn)一次時，
其不同種數(shù)為，
當密碼中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)兩次且另一個數(shù)字出現(xiàn)一次時，
其不同種數(shù)為，
∴該款行李箱密碼的不同種數(shù)為．
（2）由題意得X所有可能的取值為1，2，3，
，
，
，
∴X的分布列為
X 1 2 3
P
∴X的數(shù)學(xué)期望．
19．（2024·江蘇南通·二模）某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老師擔任教練.
(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？
(2)某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生的概率都相等，每位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？
【解題思路】（1）法一，利用分步乘法計數(shù)原理集合組合數(shù)的計算，即可求得答案；法二，利用間接法，即用不考慮隊長人選對甲的限制的所有選法，減去甲擔任隊長的選法，即可得答案；
（2）考慮第一次傳球，老師傳給了甲還是傳給乙、丙、丁中的任一位，繼而確定第二次以及第三次傳球后球回到老師手中的情況，結(jié)合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.
【解答過程】（1）法一，先選出隊長，由于甲不擔任隊長，方法數(shù)為；
再選出副隊長，方法數(shù)也是，故共有方法數(shù)為（種）.
方法二 先不考慮隊長人選對甲的限制，共有方法數(shù)為（種）；
若甲任隊長，方法數(shù)為，故甲不擔任隊長的選法種數(shù)為（種）
答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長的選法共有9種.
（2）①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學(xué)，其概率為；
第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為，
故這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為：.
②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為，
第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為，
第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為，
這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為，
所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：.
答：前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是.
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