資源簡介

專題10.3 二項式定理【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 求二項展開式的特定項】 3
【題型2 求二項展開式的特定項系數(shù)】 3
【題型3 兩個二項式之積問題】 4
【題型4 三項展開式問題】 4
【題型5 二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題】 4
【題型6 二項式系數(shù)的最值問題】 5
【題型7 整除和余數(shù)問題】 5
【題型8 近似計算問題】 6
【題型9 證明組合恒等式】 6
【題型10 二項式定理與數(shù)列求和】 7
【題型11 楊輝三角】 8
1、二項式定理
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題 2022年新高考全國I卷：第13題，5分 2023年北京卷：第5題，4分 2023年天津卷：第11題，5分 2023年上海卷：第10題，5分 2024年北京卷：第4題，4分 2024年天津卷：第11題，5分 2024年上海卷：第6題，5分 從近幾年的高考情況來看，二項式定理是高考的熱點內(nèi)容，主要考查二項展開式的通項、展開式的特定項或特定項的系數(shù)以及各項系數(shù)和等問題，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度中等，復(fù)習(xí)時需要加強這方面的練習(xí)，解題時要學(xué)會靈活求解.
【知識點1 二項式定理】
1．二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.
(2)二項展開式的規(guī)律
①二項展開式一共有(n+1)項.
②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.
③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.
2．二項式系數(shù)的性質(zhì)
對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(即)
增減性 當時，二項式系數(shù)逐漸增大；當時，二項式系數(shù)逐漸減小，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值
最大值 當n是偶數(shù)時，展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，展開式的中間兩項與的二項式系數(shù)，相等且最大
各二項式
系數(shù)的和
【知識點2 展開式中的通項問題】
1．求二項展開式的特定項的解題策略
求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；
求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.
2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略
(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，
但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
【知識點3 二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題】
1．賦值法
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.
2．系數(shù)之和問題的解題策略
若，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項之和為
，偶數(shù)項系數(shù)之和為.
3．展開式的逆用
根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定
理求解.
【知識點4 二項式系數(shù)最大項問題】
1．二項式系數(shù)最大項的確定方法
當n為偶數(shù)時，展開式中第項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第
和第項的二項式系數(shù)開式中第最大，最大值為或.
【方法技巧與總結(jié)】
1．.
2．.
【題型1 求二項展開式的特定項】
【例1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．112 B．56 C． D．
【變式1-1】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）二項式的展開式的常數(shù)項是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）
A．6項 B．5項 C．4項 D．3項
【變式1-3】（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B． C．20 D．160
【題型2 求二項展開式的特定項系數(shù)】
【例2】（2024·北京·模擬預(yù)測）在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A． B．20 C． D．40
【變式2-1】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）的展開式中，的系數(shù)等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【變式2-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）展開式中含項的系數(shù)為（ ）
A．420 B． C．560 D．
【變式2-3】（23-24高二下·海南·期末）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 兩個二項式之積問題】
【例3】（2024·山西長治·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【變式3-1】（2024·西藏·模擬預(yù)測）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B．4 C． D．8
【變式3-2】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)（ ）
A．28 B．35 C．36 D．56
【變式3-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知的展開式中的系數(shù)為448，則該展開式中的系數(shù)為（ ）
A．56 B． C．106 D．
【題型4 三項展開式問題】
【例4】（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【變式4-1】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·新疆烏魯木齊·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．20 D．30
【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【題型5 二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題】
【例5】（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數(shù)項為 B．各項的系數(shù)和為64
C．第3項的二項式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項二項式系數(shù)和為
【變式5-1】（2024·四川樂山·三模）設(shè)，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【變式5-2】（23-24高二上·福建漳州·階段練習(xí)）多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，則其各項系數(shù)之和為（ ）
A．1 B．243 C．64 D．0
【變式5-3】（2024·廣東江門·一模）已知，則的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【題型6 二項式系數(shù)的最值問題】
【例6】（2024·四川雅安·一模）的展開式中，系數(shù)最小的項是（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【變式6-1】（2024·江西南昌·三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（ ）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
【變式6-2】（2024·遼寧丹東·二模）在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式6-3】（23-24高三上·河南安陽·階段練習(xí)）已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型7 整除和余數(shù)問題】
【例7】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若能被7整除，則x，n的一組值可能為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式7-1】（2024·湖南懷化·二模）若，則被8整除的余數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)，若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【變式7-3】（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年
【題型8 近似計算問題】
【例8】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【變式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結(jié)果保留一位小數(shù)）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【變式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減，其初始質(zhì)量為，年后的質(zhì)量為，則下列各數(shù)中與最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（2024·江西南昌·一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：
對于任意實數(shù)，
當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：
.
用這樣的方法，估計的近似值約為（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【題型9 證明組合恒等式】
【例9】（2024高三·全國·專題練習(xí)）
【變式9-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：
【變式9-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：.
【變式9-3】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù) ，其中．
(1)若，，求的最大值；
(2)若，求證：．
【題型10 二項式定理與數(shù)列求和】
【例10】（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)，則（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
【變式10-1】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式10-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，在數(shù)列中，，前項和為．
(1)求的通項公式．
(2)在等差數(shù)列中，，證明：．
【變式10-3】（2024·山東·模擬預(yù)測）設(shè)，.如果存在使得，那么就說可被整除（或整除），記做且稱是的倍數(shù)，是的約數(shù)（也可稱為除數(shù)、因數(shù)）．不能被整除就記做．由整除的定義，不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若，，則；②，互質(zhì)，若，，則；③若，則，其中.
(1)若數(shù)列滿足，，其前項和為，證明：；
(2)若為奇數(shù)，求證：能被整除；
(3)對于整數(shù)與，，求證：可整除.
【題型11 楊輝三角】
【例11】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【變式11-1】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（ ）
A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)
B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等
C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則
D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為
【變式11-2】（23-24高二下·山東菏澤·期末）在中，把，，…，稱為三項式系數(shù).
(1)當時，寫出三項式系數(shù)，，，，的值；
(2)的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當，時，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項式的次系數(shù)的數(shù)陣表；
(3)求的值（用組合數(shù)作答）.
【變式11-3】（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家 教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式
(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；
(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第15行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；
(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.
一、單選題
1．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．147 B． C．63 D．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）的展開式中x的系數(shù)為（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
3．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）被9除的余數(shù)為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在的展開式中，含的項的系數(shù)是7，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知，則被10除所得的余數(shù)為（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
8．（23-24高二下·云南·期中）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．
B．第6行 第7行 第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)
C．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為
D．第2020行的第1010個數(shù)最大
二、多選題
9．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128
B．二項式系數(shù)最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數(shù)的和為
10．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為
C． D．的個位數(shù)字是1
三、填空題
12．（2024·河北保定·三模）在的展開式中，常數(shù)項為75，則 .
13．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為 ．（以數(shù)字作答）
14．（2024·福建寧德·三模）中國古代歷法是中國勞動人民智慧的結(jié)晶，《尚書·堯典》記載“期三百有六旬有六日，以閏月定四時成歲”，指出閏年有366天.元代郭守敬創(chuàng)造了中國古代最精密的歷法——《授時歷》，規(guī)定一年為365.2425天，和現(xiàn)行公歷格里高利歷是一樣的，但比它早了300多年.現(xiàn)行公歷閏年是如下確定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，滿足以上兩個條件之一的年份均為閏年，則公元年，距上一個閏年的年數(shù)為 .
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知在的展開式中，第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.
(1)求的值；
(2)求展開式中的常數(shù)項，并指出是第幾項；
16．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)，求：
(1)；
(2)
17．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知的展開式中的所有二項式系數(shù)的和為32．
(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中所有的有理項．
18．（23-24高二下·浙江嘉興·期中）已知二項式.
(1)若它的二項式系數(shù)之和為，求展開式中系數(shù)最大的項．
(2)若，求二項式的值被除的余數(shù)；
19．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，他提出的楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)重大成就之一.圖為楊輝三角的部分內(nèi)容.設(shè)楊輝三角中第n行的第r個數(shù)為，觀察題圖可知，相鄰兩行中三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加.
(1)用公式表示出題目中敘述的規(guī)律，并加以證明.
(2)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題10.3 二項式定理【十一大題型】
【新高考專用】
【題型1 求二項展開式的特定項】 3
【題型2 求二項展開式的特定項系數(shù)】 4
【題型3 兩個二項式之積問題】 5
【題型4 三項展開式問題】 7
【題型5 二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題】 8
【題型6 二項式系數(shù)的最值問題】 10
【題型7 整除和余數(shù)問題】 11
【題型8 近似計算問題】 13
【題型9 證明組合恒等式】 14
【題型10 二項式定理與數(shù)列求和】 16
【題型11 楊輝三角】 20
1、二項式定理
考點要求 真題統(tǒng)計 考情分析
(1)能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題 2022年新高考全國I卷：第13題，5分 2023年北京卷：第5題，4分 2023年天津卷：第11題，5分 2023年上海卷：第10題，5分 2024年北京卷：第4題，4分 2024年天津卷：第11題，5分 2024年上海卷：第6題，5分 從近幾年的高考情況來看，二項式定理是高考的熱點內(nèi)容，主要考查二項展開式的通項、展開式的特定項或特定項的系數(shù)以及各項系數(shù)和等問題，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度中等，復(fù)習(xí)時需要加強這方面的練習(xí)，解題時要學(xué)會靈活求解.
【知識點1 二項式定理】
1．二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.
(2)二項展開式的規(guī)律
①二項展開式一共有(n+1)項.
②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.
③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.
2．二項式系數(shù)的性質(zhì)
對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(即)
增減性 當時，二項式系數(shù)逐漸增大；當時，二項式系數(shù)逐漸減小，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值
最大值 當n是偶數(shù)時，展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，展開式的中間兩項與的二項式系數(shù)，相等且最大
各二項式
系數(shù)的和
【知識點2 展開式中的通項問題】
1．求二項展開式的特定項的解題策略
求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；
求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.
2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略
(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，
但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
【知識點3 二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題】
1．賦值法
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.
2．系數(shù)之和問題的解題策略
若，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項之和為
，偶數(shù)項系數(shù)之和為.
3．展開式的逆用
根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定
理求解.
【知識點4 二項式系數(shù)最大項問題】
1．二項式系數(shù)最大項的確定方法
當n為偶數(shù)時，展開式中第項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第
和第項的二項式系數(shù)開式中第最大，最大值為或.
【方法技巧與總結(jié)】
1．.
2．.
【題型1 求二項展開式的特定項】
【例1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．112 B．56 C． D．
【解題思路】求出的展開式的通項可得答案.
【解答過程】的展開式的通項，
由，得，
所以的展開式中的常數(shù)項為．
故選：A.
【變式1-1】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）二項式的展開式的常數(shù)項是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得展開式中的常數(shù)項.
【解答過程】二項式展開式的通項公式為
.
令，
所以展開式的常數(shù)項為
故選：B.
【變式1-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）
A．6項 B．5項 C．4項 D．3項
【解題思路】運用二項展開式的通項公式可得、的值，結(jié)合有理項的定義賦值求解即可.
【解答過程】展開式的第7項為，
由題意，得，，（），所以，，
則展開式的通項為，，
令，則，所以展開式中的有理項共有3項.
故選：D.
【變式1-3】（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B． C．20 D．160
【解題思路】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得，再根據(jù)通項公式可求出結(jié)果.
【解答過程】因為的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，
則由二項式系數(shù)性質(zhì)知：展開式共有7項，則，
則展開式的通項為，
展開式中常數(shù)項，必有，即，
所以展開式中常數(shù)項為.
故選：A.
【題型2 求二項展開式的特定項系數(shù)】
【例2】（2024·北京·模擬預(yù)測）在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A． B．20 C． D．40
【解題思路】
由題意寫出展開式通項并化簡，令，解得，回代展開通項計算即可得解.
【解答過程】在的展開式通項為，
由題意令，解得，所以項的系數(shù)為.
故選：D.
【變式2-1】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）的展開式中，的系數(shù)等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【解題思路】由二項式展開式的通項公式即可求出的系數(shù).
【解答過程】的通項為，
令，解得，
所以項的系數(shù)為：.
故選：D.
【變式2-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）展開式中含項的系數(shù)為（ ）
A．420 B． C．560 D．
【解題思路】由二項展開式的通項公式解出r的值，進而可得項的系數(shù).
【解答過程】由題意知， 的二項展開式的通項公式為，
令，得，故含項的系數(shù)為.
故選：D.
【變式2-3】（23-24高二下·海南·期末）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用二項式展開式通項公式來求指定項系數(shù).
【解答過程】由，
當，解得，
所以的系數(shù)為，
故選：A.
【題型3 兩個二項式之積問題】
【例3】（2024·山西長治·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【解題思路】根據(jù)乘法的分配律以及二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【解答過程】依題意可知，含的項是
，
所以的系數(shù)是.
故選：C.
【變式3-1】（2024·西藏·模擬預(yù)測）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B．4 C． D．8
【解題思路】根據(jù)展開式通項公式得到，的系數(shù)分別為，，從而得到的系數(shù)為．
【解答過程】在的展開式中，通項公式為，
故，的系數(shù)分別為，，
所以在的展開式中，的系數(shù)為．
故選：D．
【變式3-2】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)（ ）
A．28 B．35 C．36 D．56
【解題思路】先求出的展開式的通項，再分別求出展開式中項、項的系數(shù)及常數(shù)項，即可求得的展開式中項的系數(shù)．
【解答過程】根據(jù)題意，二項式的展開式的通項，
其中項為，，
項為，，
常數(shù)項為，，
所以展開式中項的系數(shù)為．
故選：C．
【變式3-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知的展開式中的系數(shù)為448，則該展開式中的系數(shù)為（ ）
A．56 B． C．106 D．
【解題思路】求出二項式的展開式的通項，由給定系數(shù)求出，再求出的系數(shù).
【解答過程】依題意，，
二項式的展開式的通項，
于是，解得，
所以的展開式中的系數(shù)為.
故選：D.
【題型4 三項展開式問題】
【例4】（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【解題思路】分不含項和含有一個項兩種情況求解．
【解答過程】展開式中，的項為，
則的系數(shù)為30．
故選：．
【變式4-1】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)條件，利用組合知識，即可求出結(jié)果.
【解答過程】相當于6個因式相乘，其中一個因式取，有種取法，
余下5個因式中有2個取，有種取法，最后3個因式中全部取，有種取法，故展開式中的系數(shù)為.
故選：A.
【變式4-2】（2024·新疆烏魯木齊·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．20 D．30
【解題思路】利用二項式定理展開式的通項公式進行計算即可.
【解答過程】，
其展開式的通項公式為，
令，則，
而的展開式的通項公式為：
，
令，則的展開式中的系數(shù)為:
,
故選：A.
【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【解題思路】先求出展開式的通項公式 =,其中的展開式的通項公式為 ，令x的冪指數(shù)等于0，求得r，k的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值.
【解答過程】=的展開式的通項公式為
=，
其中的展開式的通項公式為 ，
當時，，，常數(shù)項為；
當時，，，常數(shù)項為；
當時，，，常數(shù)項為；
故常數(shù)項為++.
故選：D.
【題型5 二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題】
【例5】（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數(shù)項為 B．各項的系數(shù)和為64
C．第3項的二項式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項二項式系數(shù)和為
【解題思路】對于A，由二項式展開式，通過賦值即可得解；對于B，直接賦值即可得解；對于C，由二項式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于D，由奇數(shù)項、偶數(shù)項二項式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷.
【解答過程】對于A，的展開式通項為，
當時，常數(shù)項為，選項A正確；
對于B，令，得各項的系數(shù)和為，選項B錯誤；
對于C，展開式共7項，二項式系數(shù)最大應(yīng)為第4項，故選項C錯誤；
對于D，依題意奇數(shù)項二項式系數(shù)和為，選項D錯誤.
故選：A.
【變式5-1】（2024·四川樂山·三模）設(shè)，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【解題思路】令求得，令即可求得的值．
【解答過程】由，令，得；
令，得，
所以．
故選：C．
【變式5-2】（23-24高二上·福建漳州·階段練習(xí)）多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，則其各項系數(shù)之和為（ ）
A．1 B．243 C．64 D．0
【解題思路】利用二項展開式表示項系數(shù)比項系數(shù)多35求出的值，然后令，即求出各項系數(shù)之和.
【解答過程】根據(jù)二項式的展開式，
當時，的系數(shù)為，
當時，的系數(shù)為，
因為多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，
所以，解得，
所以其各項系數(shù)之和，即當時，系數(shù)和為0，
故選：D.
【變式5-3】（2024·廣東江門·一模）已知，則的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【解題思路】利用賦值法，分別令和，將得到的兩式相加，結(jié)合等比數(shù)列的求和，即可求得答案.
【解答過程】令，則，即
令，則，
即，
兩式相加可得，
故選：B.
【題型6 二項式系數(shù)的最值問題】
【例6】（2024·四川雅安·一模）的展開式中，系數(shù)最小的項是（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【解題思路】利用二項式定理求得的展開通項公式，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【解答過程】依題意，的展開通項公式為，其系數(shù)為，
當為奇數(shù)時，才能取得最小值，
又由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項，
所以當時，取得最小值，即第6項的系數(shù)最小.
故選：C．
【變式6-1】（2024·江西南昌·三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（ ）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
【解題思路】先利用二項式系數(shù)的增減性求出的值，再根據(jù)展開式的通項公式求解即可.
【解答過程】因為的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，
所以，解得，
則的展開式通項為 ，
當為奇數(shù)時，系數(shù)為負數(shù)，當為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，
所以展開式中系數(shù)最大時，為偶數(shù)，
由展開式通項可知，，，
，，
所以展開式中系數(shù)最大的是第三項，
故選：B.
【變式6-2】（2024·遼寧丹東·二模）在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】根據(jù)若n為偶數(shù)，則二項式系數(shù)最大的是中間一項即第項，若n為奇數(shù)，則二項式系數(shù)最大的是中間兩項，即第項和第項求解.
【解答過程】因為在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，
所以，
解得，
故選：B.
【變式6-3】（23-24高三上·河南安陽·階段練習(xí)）已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，再結(jié)合二項展開式的通項求各項系數(shù)，分析列式求系數(shù)最小項時的值，代入求系數(shù)的最小值.
【解答過程】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則
∴展開式的通項為
則該展開式中各項系數(shù)
若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，即，解得
∴系數(shù)的最小值為
故選：C.
【題型7 整除和余數(shù)問題】
【例7】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若能被7整除，則x，n的一組值可能為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】利用二項式定理得展開式，對選項一一判斷即可得出答案.
【解答過程】，
當，時，能被7整除；
當，時，不能被7整除；
當，時，不能被7整除；
當，時，不能被7整除．
故選：A．
【變式7-1】（2024·湖南懷化·二模）若，則被8整除的余數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解題思路】根據(jù)題意，給自變量賦值，取和，兩個式子相減，得到的值，將構(gòu)造成一個新的二項式，根據(jù)二項展開式可以看出被8整除的結(jié)果，得到余數(shù)．
【解答過程】在已知等式中，取得，
取得，
兩式相減得，
即，
因為
因為能被8整除，
所以被8整除的余數(shù)為5，
即被8整除的余數(shù)為5，
故選：B.
【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)，若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二項式定理變形，求出除以8的余數(shù)即可得解.
【解答過程】依題意，
，
顯然是8的整數(shù)倍，因此除以8的余數(shù)是6，
而2021，2022，2023，2024除以8的余數(shù)分別為5，6，7，0，
所以的值可以是2022.
故選：B.
【變式7-3】（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年
【解題思路】借助二項式的展開式計算即可得.
【解答過程】由
，
故除以的余數(shù)為，故除以的余數(shù)為，
故年后是馬年.
故選：B.
【題型8 近似計算問題】
【例8】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【解題思路】利用等比數(shù)列的通項公式、二項展開式計算可得答案.
【解答過程】存入大額存款元，按照復(fù)利計算，
可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
可得，
故選：D.
【變式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結(jié)果保留一位小數(shù)）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【解題思路】根據(jù)復(fù)利可知每年末本息和構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式及二項式定理求解即可.
【解答過程】存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計算，
每年末本利和是以10為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以本利和．
故選：B．
【變式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減，其初始質(zhì)量為，年后的質(zhì)量為，則下列各數(shù)中與最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)二項式定理即可估算近似值.
【解答過程】由題意可知
故選：C.
【變式8-3】（2024·江西南昌·一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：
對于任意實數(shù)，
當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：
.
用這樣的方法，估計的近似值約為（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【解題思路】變形，然后根據(jù)題中的方法計算即可.
【解答過程】.
故選：B.
【題型9 證明組合恒等式】
【例9】（2024高三·全國·專題練習(xí)）
【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，即有由，可得中的系數(shù)為：，而展開式中的系數(shù)為，即可證明.
【解答過程】記，則，
所以
由于，
所以
所以中的系數(shù)為：，
而展開式中的系數(shù)為，
所以成立.
【變式9-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：
【解題思路】利用恒等式及二項式定理，左右展開后對應(yīng)項系數(shù)相同，利用組合數(shù)性質(zhì)計算即可.
【解答過程】考慮恒等式：，
有
．
左邊展開式中的系數(shù)為：
，
而右邊展開式中項的系數(shù)為零．
所以.
即得所證等式．
【變式9-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：.
【解題思路】根據(jù)，利用二項式定理分別求出等式左右兩邊含的項的系數(shù)即可證明.
【解答過程】證明： ，
當時，展開式中的系數(shù)為，
又，
當時，展開式中的系數(shù)為，
，
.
【變式9-3】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù) ，其中．
(1)若，，求的最大值；
(2)若，求證：．
【解題思路】（1）由二項式定理求得，從而求得，然后設(shè)最大，解不等式組求解；
（2）用寫出等式左邊的和式，然后由組合數(shù)公式化簡變形后再由二項式定理可證．
【解答過程】（1）： ，，
∴，∴．
不妨設(shè)為中的最大值，則∴
∴∴或6．
中最大值為．
（2）證明：若，，
．
因為 ，
所以
．
故得證．
【題型10 二項式定理與數(shù)列求和】
【例10】（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)，則（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
【解題思路】首先寫出展開式的通項，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；
【解答過程】解：的展開式的通項為，，
所以.
故選：A.
【變式10-1】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題知，進而整理化簡，并根據(jù)裂項求和法計算即可得答案.
【解答過程】∵，展開式中的系數(shù)為，
∴則
，
故選：B．
【變式10-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，在數(shù)列中，，前項和為．
(1)求的通項公式．
(2)在等差數(shù)列中，，證明：．
【解題思路】（1）本題可以通過題中的一般項與前n 項和的關(guān)系式，利用公式來推導(dǎo)和的關(guān)系，從而得出的通項公式；
（2）先由題意得出的通項公式，再利用錯位相減法求出的求和公式，將，，分別代入到和利用二項式定理化簡，即可得證結(jié)果.
【解答過程】（1）當時，因為，且，所以，解得．
當時，由，得．
兩式相減，得．
因為，所以．
又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
故的通項公式為．
（2）由已知，得，
所以等差數(shù)列的公差，
故的通項公式為．
則，
則．
兩式錯位相減，得
，
所以．
當時，；
當時，，．
此時．
當時，，
所以 ．
故對任意，都有．
【變式10-3】（2024·山東·模擬預(yù)測）設(shè)，.如果存在使得，那么就說可被整除（或整除），記做且稱是的倍數(shù)，是的約數(shù)（也可稱為除數(shù)、因數(shù)）．不能被整除就記做．由整除的定義，不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若，，則；②，互質(zhì)，若，，則；③若，則，其中.
(1)若數(shù)列滿足，，其前項和為，證明：；
(2)若為奇數(shù)，求證：能被整除；
(3)對于整數(shù)與，，求證：可整除.
【解題思路】（1）利用等比數(shù)列前項和公式，求得，再結(jié)合二項式定理以及整除性質(zhì)②即可得出證明；
（2）由二項展開式可得為奇數(shù)時，滿足，可得結(jié)論；
（3）分別對整數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論，利用表達式將的表達式化簡成含有的式子，再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證明可整除.
【解答過程】（1）因為，可知數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列；
所以，
而，且31與9互質(zhì)；
易知
，
所以；
，
所以；
結(jié)合整除性質(zhì)②可知：；
（2）因為 ，
且為奇數(shù)，所以；
因此能被整除.
（3）易知.
當時，，
，
上式中，由（2）知，能被整除，
另一方面，
，
上式中，所以也能被整除，且與互質(zhì)，
所以能被整除，即能被整除.
類似可證當時，，
，
顯然，由（2）知，能被整除；
另一方面，
，
所以能被整除；且與互質(zhì).
能被整除.
綜上可知能被整除.
【題型11 楊輝三角】
【例11】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】觀察萊布尼茨三角形，得出規(guī)律即可判斷得解.
【解答過程】觀察萊布尼茨三角形，知每一個數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個數(shù)之和，
因此，即D正確，ABC錯誤.
故選：D.
【變式11-1】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（ ）
A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)
B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等
C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則
D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為
【解題思路】根據(jù)二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.
【解答過程】第6行的第7個數(shù)為1，第7行的第7個數(shù)為7，第8行的第7個數(shù)為28，
它們之和等于36，第9行的第8個數(shù)是，A正確；
第行是二項式的展開式的系數(shù)，
故第行中第個數(shù)為，第個數(shù)為，又，B正確；
“楊輝三角”第行是二項式的展開式的系數(shù)，所以，
，C正確；
第34行是二項式的展開式的系數(shù)，所以第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為，D不正確.
故選：D.
【變式11-2】（23-24高二下·山東菏澤·期末）在中，把，，…，稱為三項式系數(shù).
(1)當時，寫出三項式系數(shù)，，，，的值；
(2)的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當，時，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項式的次系數(shù)的數(shù)陣表；
(3)求的值（用組合數(shù)作答）.
【解題思路】（1）寫出展開式，即可得到相應(yīng)的系數(shù)；
（2）寫出（，）的展開式，即可得解；
（3）由表示出系數(shù)，再由，計算出系數(shù)，即可得解.
【解答過程】（1）因為，
所以，，，，；
（2）因為，
，
，
，
，
所以三項式的（，）次系數(shù)的數(shù)陣表如下：
（3）
，
其中系數(shù)為，
又
而二項式的通項（且），
由，解得，
所以系數(shù)為，
由代數(shù)式恒成立，
所以.
【變式11-3】（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家 教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式
(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；
(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第15行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；
(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求和即可；
（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡求值即可；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)條件建立方程組求解，即可得解.
【解答過程】（1）第10行的各數(shù)之和為：.
（2）楊輝三角中第2行到第15行各行第3個數(shù)之和為：
.
（3）存在，理由如下：
設(shè)在第行存在連續(xù)三項，其中且且，
有且，化簡得且，
即，解得，
所以，
故這三個數(shù)依次是.
一、單選題
1．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．147 B． C．63 D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二項式定理求出展開式中項即可列式計算即得
【解答過程】二項式展開式中項分別為，
所以的展開式中的常數(shù)項為．
故選：C.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）的展開式中x的系數(shù)為（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
【解題思路】利用二項式定理，寫出通項公式直接求解即可
【解答過程】展開式的通項，
令即，此時，
展開式的通項，
令，即，此時，
所以展開式中的系數(shù)為.
故選：C.
3．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
【解題思路】利用二項展開式的通項公式進行合理賦值即可得到答案.
【解答過程】的展開式的二項式通項為，令，則．
的展開式的二項式通項為，
令，可得．
故項的系數(shù)為．
故選：D.
4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）被9除的余數(shù)為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【解題思路】化簡得出，應(yīng)用二項式展開式根據(jù)整除即可計算求出余數(shù).
【解答過程】
其中是9的整數(shù)倍.
故被9除的余數(shù)為4.
故選：B.
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在的展開式中，含的項的系數(shù)是7，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用多項式乘法法則對式子展開，合并同類項即可得到系數(shù)的值.
【解答過程】由題意可知展開式中含的項：
∴,
故選：D.
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【解題思路】先確定值，再由二項展開式的通項求解項的系數(shù)即可.
【解答過程】因為二項展開式中當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，
即二項式系數(shù)中第5個即最大，
所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，
展開式中共項，，又，
則二項展開式的通項公式
，.
令，所以的系數(shù)為．
故選：D．
7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知，則被10除所得的余數(shù)為（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
【解題思路】由題意可得，將其展開式寫出后可得，即可得解.
【解答過程】，
由，
故被10除所得的余數(shù)為.
故選：C.
8．（23-24高二下·云南·期中）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．
B．第6行 第7行 第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)
C．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為
D．第2020行的第1010個數(shù)最大
【解題思路】對于ABC選項，都可以對照圖表與二項式系數(shù)的關(guān)系，即可得到判斷；對于D選項，則需要找到二項式系數(shù)的規(guī)律分析即可或直接運用二項式系數(shù)的性質(zhì)直接判斷，如第2020行的二項式系數(shù)是，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)最大的是，從而判斷是第1011項．
【解答過程】對于：因為，所以，故正確；
對于：第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：，其和為；而第9行第8個數(shù)字就是36，故B正確；
對于C：依題意：第12行從左到右第2個數(shù)為，第12行從左到右第3個數(shù)為，所以第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為，故C正確；
對于D：由圖可知：第行有個數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，所以第2020行的第1011個數(shù)最大，故D錯誤.
故選:D.
二、多選題
9．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128
B．二項式系數(shù)最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數(shù)的和為
【解題思路】先求出二項式系數(shù)和，奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，即可確定A；二項式系數(shù)的最大項，即為中間項，可確定B；整理出通項公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項的系數(shù)的和，從而確定D.
【解答過程】對于A,二項式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，故A正確；
對于B, 二項式系數(shù)最大為，則二項式系數(shù)最大的項為第5項，故B正確；
對于C,，為有理項，可取的值為，所以有理項共有三項，故C錯誤；
對于D,令，則所有項系數(shù)和為，故D錯誤.
故選：AB.
10．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用賦值法一一計算可判定A、D選項；利用二項式定理可判定B、C選項.
【解答過程】對于A，令，則，故A正確；
對于D，令，
令，
兩式相減得，故D正確；
易知，
而中的常數(shù)項為1，含項為，
含項為，含項為，
同理中的常數(shù)項為，含項為，
含項為，含項為，
所以，故B錯誤；
，故C正確.
故選：ACD.
11．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為
C． D．的個位數(shù)字是1
【解題思路】對于A：根據(jù)二項展開式分析求解；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于C：利用賦值法，令、即可得結(jié)果；對于D：因為，結(jié)合二項展開式分析求解.
【解答過程】對于選項A：的展開式的通項為，
令，可得，
所以，故A錯誤；
對于選項B：因為為偶數(shù)，可知二項式系數(shù)的最大值為，故B正確；
對于選項C：令，可得；
令，可得；
所以，故C錯誤；
對于選項D：因為，
且的展開式的通項為，
可知當，均為20的倍數(shù)，即個位數(shù)為0，
當時，，所以的個位數(shù)字是1，故D正確；
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·河北保定·三模）在的展開式中，常數(shù)項為75，則 .
【解題思路】寫出二項展開式的通項公式，進而可求出結(jié)果.
【解答過程】的展開式的通項公式為，
令，解得，
所以常數(shù)項為，又，解得.
故答案為：.
13．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為 32 ．（以數(shù)字作答）
【解題思路】直接利用二項式的展開式求出結(jié)果．
【解答過程】根據(jù)的展開式的通項公式為，
當r＝3時，，解得；
故所有項的二項式系數(shù)之和為．
故答案為：32．
14．（2024·福建寧德·三模）中國古代歷法是中國勞動人民智慧的結(jié)晶，《尚書·堯典》記載“期三百有六旬有六日，以閏月定四時成歲”，指出閏年有366天.元代郭守敬創(chuàng)造了中國古代最精密的歷法——《授時歷》，規(guī)定一年為365.2425天，和現(xiàn)行公歷格里高利歷是一樣的，但比它早了300多年.現(xiàn)行公歷閏年是如下確定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，滿足以上兩個條件之一的年份均為閏年，則公元年，距上一個閏年的年數(shù)為 5 .
【解題思路】借助二項式的展開式計算可得能整除、，不能整除，故公元年不是閏年，而能整除，但不能整除，故公元年是閏年.
【解答過程】
，
則能整除，即能整除，
，
則能整除，
又
，
故不能整除，
故公元年不是閏年，
則能整除，但不能整除，故公元年是閏年，
則公元年，距上一個閏年的年數(shù)為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知在的展開式中，第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.
(1)求的值；
(2)求展開式中的常數(shù)項，并指出是第幾項；
【解題思路】（1）由二項式系數(shù)之比列式求解即可；
（2）求出展開式的通項，再令的指數(shù)等于零，即可得解．
【解答過程】（1）依題意可得第2項的二項式系數(shù)為，第3項的二項式系數(shù)為，
∴，即，由，解得；
（2）展開式的通項為
，
令，解得，
∴，
∴常數(shù)項為60，為第5項.
16．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)，求：
(1)；
(2)
【解題思路】（1）先代入得，進而分別代入和后兩式相加可得，從而可得的值.
（2）根據(jù)（1）可得，由通項公式可知，當 r 為偶數(shù)時，對應(yīng)系數(shù)為正；當 r 為奇數(shù)時，對應(yīng)系數(shù)為負，從而得的值.
【解答過程】（1）取 ,得到 ；
取 得到 ，
取得到 ，
兩式相加得到 ，
所以 .
（2）根據(jù)（1）知： .
展開式的通項為： ，
故當 r 為偶數(shù)時，對應(yīng)系數(shù)為正；當 r 為奇數(shù)時，對應(yīng)系數(shù)為負，
故
.
17．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知的展開式中的所有二項式系數(shù)的和為32．
(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中所有的有理項．
【解題思路】（1）首先根據(jù)二項式系數(shù)和的公式求，再代入二項式系數(shù)最大公式，即可求解；
（2）根據(jù)通項公式，求有理項.
【解答過程】（1）易知：的展開式的所有二項式系數(shù)和為
由題意有，解得. 展開式共6項，二項式系數(shù)最大的項為第3項和第4項，
即，；
（2）二項式展開式的通項為，
當時，對應(yīng)項是有理項，
所以展開式中所有的有理項為．
18．（23-24高二下·浙江嘉興·期中）已知二項式.
(1)若它的二項式系數(shù)之和為，求展開式中系數(shù)最大的項．
(2)若，求二項式的值被除的余數(shù)；
【解題思路】（1）利用二項式系數(shù)和公式先求，再利用展開式通項公式列不等式組計算即可；
（2）將變形為，利用二項式定理計算即可.
【解答過程】（1）由題意可知，
則的展開通項公式為，
假設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為第項，
則，
即，解得，所以，
展開式中系數(shù)最大的項為第6項，
即；
（2）因為時，
，
記，顯然能被9整除，
所以二項式的值被除的余數(shù)為.
19．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，他提出的楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)重大成就之一.圖為楊輝三角的部分內(nèi)容.設(shè)楊輝三角中第n行的第r個數(shù)為，觀察題圖可知，相鄰兩行中三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加.
(1)用公式表示出題目中敘述的規(guī)律，并加以證明.
(2)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）寫出，利用組合公式進行證明；
（2）在第n行存在連續(xù)三項，，，得到方程組，求出，，得到答案.
【解答過程】（1）觀察得到．
利用組合相關(guān)公式證明如下：，
故原式得證.
（2）存在，理由如下：
設(shè)在第n行存在連續(xù)三項，，，其中且，且，
有且，化簡得且，
即，解得，，
故三個數(shù)依次是45，120，210.
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