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代數計算核心考點突破：實數、整式、分式與二次根式
考點梳理
考點一：實數的計算
考點預測：常在解答題第1題出現，融合零次冪、 -1的冪次、乘方、負整數指數冪、絕對值、開方、特殊角三角函數值等3 - 5個知識點，乘方、負整數指數冪的底數絕對值小于5，開方數在100以內。
答題技巧：實數運算規則與有理數運算相似，正實數能開平方。運算遵循從高級到低級的順序，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號內，同級運算從左到右。要掌握運算法則、運算順序和運算律，牢記相關公式和特殊角三角函數值，注意易錯點。
題型示例：計算。
【解析】：分別化簡各項，，，
，，
再按運算順序計算，原式。
通關練習
（1）計算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式。
（2）計算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
（3）計算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
（4）計算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
（5）計算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
考點二：整式的混合運算與化簡
考點預測：常見題型有直接化簡整式、先化簡再求值、找解題過程錯誤并改正，多在解答題第1或2題出現。必考乘法公式，涉及單項式與多項式、多項式與多項式相乘，字母個數1 - 2個，代值方式多樣，可能結合方程或整體代入。
答題技巧：運算順序和有理數混合運算相同，先乘方后乘除。“整體”思想很實用，注意整體需加括號。化簡求值時先化簡整式，再代入求值。掌握常用乘法公式。
題型示例：先化簡，再求值：，其中，。
【解析】：利用公式展開式子，，，
則原式
。
將，代入，
得
。
通關練習
（1）先化簡，再求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：化簡原式，，
，
，
原式
，
將代入，
得。
（2）化簡：。
【答案】：。
【解析】：，，
原式
。
（3）已知，求代數式的值。
【答案】：。
【解析】：先化簡代數式，
，
由可得，
則原式
。
（4）化簡求值：，其中，。
【答案】：。
【解析】：，
，
原式
，
將，代入，
得
。
（5）先化簡，再求值：，其中，。
【答案】：。
【解析】：先化簡，，
，
原式
，
將，代入，
得
。
考點三：分式的運算及化簡
考點預測：主要有直接化簡求值、補全或糾錯化簡過程、先化簡再求值三種題型。通常是2 - 3項的混合運算，涉及1 - 2個字母，字母指數不超2，系數是10以內有理數，運算包含分式的加減乘除、通分、約分、去括號和因式分解。
答題技巧：分式混合運算順序和數的運算一樣，先乘方，再乘除，后加減，有括號先算括號內，結果要化為最簡分式或整式，有時可靈活運用乘法運算律。化簡求值時先化簡，再代入未知數的值計算。
題型示例：先化簡，再求值：，其中。
【解析】：先對括號內通分，，
則，
再將除法變乘法，
原式。
當時，原式。
通關練習
（1）先化簡，再求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：先對括號內通分，，
則
，
再將除法變乘法，原式，
將代入，
得
。
（2）化簡：。
【答案】：。
【解析】：先對括號內通分，，
則
，
再將除法變乘法，
原式
。
（3）已知，求的值。
【答案】：。
【解析】：先化簡代數式，
。
由，因式分解得，
解得（舍去，分式分母不能為0）或，
將代入，
得。
（4）先化簡，再求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：先對括號內通分，，
則
，
再將除法變乘法，原式，
將代入，得。
（5）化簡求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：先通分，將后面兩項結合為，
通分后為。
則原式
。
將代入，得。
考點四：二次根式的計算
考點預測：重點考查二次根式混合運算，常和乘法公式、零指數冪、整數指數冪、特殊角三角函數綜合出題。
答題技巧：運算順序和有理數運算一致，根式可看作“單項式”，多個不同類二次根式的和類似“多項式”，結果要化為最簡二次根式，靈活運用二次根式性質能簡化運算。
題型示例：計算。
【解析】：先化簡各項，，
再計算乘法，
則原式
。
通關練習
（1）計算：。
【答案】：。
【解析】：利用平方差公式，
則
；
根據完全平方公式，
。
所以原式 。
（2）計算：。
【答案】：。
【解析】：根據二次根式除法法則，；
根據乘法法則，；。
所以原式。
（3）先化簡，再求值：，其中。
【答案】：，。
【解析】：利用平方差公式化簡前一項，；
展開后一項。
則原式。
將代入得
。
（4）計算：。
【答案】：。
【解析】：，，，
因為任何非零數的次冪為，所以 ，。
所以原式
。
（5）計算：。
【答案】：。
【解析】：先將各項化為最簡二次根式，，，。
則原式
。
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專題01 代數計算核心考點突破：實數、整式、分式與二次根式
考點一：實數的計算
考點預測：常在解答題第1題出現，融合零次冪、 -1的冪次、乘方、負整數指數冪、絕對值、開方、特殊角三角函數值等3 - 5個知識點，乘方、負整數指數冪的底數絕對值小于5，開方數在100以內。
答題技巧：實數運算規則與有理數運算相似，正實數能開平方。運算遵循從高級到低級的順序，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號內，同級運算從左到右。要掌握運算法則、運算順序和運算律，牢記相關公式和特殊角三角函數值，注意易錯點。
題型示例：計算。
【解析】：分別化簡各項，，，，，再按運算順序計算，原式。
通關練習
（1）計算：。
（2）計算：。
（3）計算：。
（4）計算：。
（5）計算：。
考點二：整式的混合運算與化簡
考點預測：常見題型有直接化簡整式、先化簡再求值、找解題過程錯誤并改正，多在解答題第1或2題出現。必考乘法公式，涉及單項式與多項式、多項式與多項式相乘，字母個數1 - 2個，代值方式多樣，可能結合方程或整體代入。
答題技巧：運算順序和有理數混合運算相同，先乘方后乘除。“整體”思想很實用，注意整體需加括號。化簡求值時先化簡整式，再代入求值。掌握常用乘法公式。
題型示例：先化簡，再求值：，其中，。
【解析】：利用公式展開式子，，，則原式。將，代入，得 。
通關練習
（1）先化簡，再求值：，其中。
（2）化簡：。
（3）已知，求代數式的值。
（4）化簡求值：，其中，。
（5）先化簡，再求值：，其中，。
考點三：分式的運算及化簡
考點預測：主要有直接化簡求值、補全或糾錯化簡過程、先化簡再求值三種題型。通常是2 - 3項的混合運算，涉及1 - 2個字母，字母指數不超2，系數是10以內有理數，運算包含分式的加減乘除、通分、約分、去括號和因式分解。
答題技巧：分式混合運算順序和數的運算一樣，先乘方，再乘除，后加減，有括號先算括號內，結果要化為最簡分式或整式，有時可靈活運用乘法運算律。化簡求值時先化簡，再代入未知數的值計算。
題型示例：先化簡，再求值：，其中。
【解析】：先對括號內通分，，則，再將除法變乘法，原式。當時，原式。
通關練習
（1）先化簡，再求值：，其中。
（2）化簡：。
（3）已知，求的值。
（4）先化簡，再求值：，其中。
（5）化簡求值：，其中。
考點四：二次根式的計算
考點預測：重點考查二次根式混合運算，常和乘法公式、零指數冪、整數指數冪、特殊角三角函數綜合出題。
答題技巧：運算順序和有理數運算一致，根式可看作“單項式”，多個不同類二次根式的和類似“多項式”，結果要化為最簡二次根式，靈活運用二次根式性質能簡化運算。
題型示例：計算。
【解析】：先化簡各項，，再計算乘法，則原式。
通關練習
（1）計算：。
（2）計算：。
（3）先化簡，再求值：，其中。
（4）計算：。
（5）計算：。
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