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二次函數全章單元復習
1.二次函數的圖象與一次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分析二次函數的圖像的開口方向即對稱軸位置，而一次函數的圖像恒過定點，即可得出正確選項．
【詳解】二次函數的對稱軸為，一次函數的圖像恒過定點，所以一次函數的圖像與二次函數的對稱軸的交點為，只有A選項符合題意．
故選A．
【總結】本題考查了二次函數的圖像與性質、一次函數的圖像與性質，解決本題的關鍵是能推出一次函數的圖像恒過定點，本題蘊含了數形結合的思想方法等．
2.如圖，拋物線的對稱軸為，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．當時，隨的增大而減小 D．當時，隨的增大而減小
【答案】C
【分析】由圖像可知，拋物線開口向上，因此a＞0．由圖像與y軸的交點在y軸負半軸上得c＜0．根據圖像可知，在對稱軸左側y隨x的增大而減小，在對稱軸右側y隨x的增大而增大．
【詳解】拋物線開口向上，因此a＞0，故A選項不符合題意．
拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，因此c＜0，故B選項不符合題意．
拋物線開口向上，因此在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，故C選項符合題意．
拋物線開口向上，因此在對稱軸右側y隨x的增大而增大，故D選項不符合題意．
故選C
【總結】本題考查了二次函數圖像的性質，掌握二次函數圖像的性質是解題的關鍵．
3.把函數的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】拋物線在平移時開口方向不變，a不變，根據圖象平移的口訣“左加右減、上加下減”即可解答．
【詳解】把函數的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為
，
故選：C．
【總結】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，解答的重點在于熟練掌握圖象平移時函數表達式的變化特點．
4.我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表達式中得：
，由被開方數是二次函數可得其最大值，從而可求得S的最大值．
【詳解】∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
設，當取得最大值時，S也取得最大值
∵
∴當a=3時，取得最大值4
∴S的最大值為
故選：C．
【總結】本題考查了二次函數的性質，關鍵是由已知得出a+b=6，把面積最大值問題轉化為二次函數的最大值問題．
5.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1無實數根
【答案】B
【分析】根據函數圖象確定a、b、c的符號判斷A；根據拋物線與x軸的交點判斷B；利用拋物線的對稱軸得到b=2a，再根據拋物線的對稱性求得c=-3a即可判斷C；利用拋物線的頂點坐標判斷拋物線與直線y=n+1即可判斷D．
【詳解】由函數圖象知a<0， c>0，由對稱軸在y軸左側，a與b同號，得b<0，故abc>0，選項A正確；
二次函數與x軸有兩個交點，故 =，則選項B錯誤，
由圖可知二次函數對稱軸為x=-1，得b=2a，
根據對稱性可得函數與x軸的另一交點坐標為(1，0)，
代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，選項C正確；
∵二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標為（-1，n），
∴拋物線與直線y=n+1沒有交點，故D正確；
故選：B．
【總結】此題考查拋物線的性質，拋物線的圖象與點坐標，拋物線的對稱性，正確理解和掌握y=ax2+bx+c型拋物線的性質及特征是解題的關鍵．
6.如圖，拋物線的對稱軸是．下列結論：①；②；③；④，正確的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】由拋物線的性質和對稱軸是，分別判斷a、b、c的符號，即可判斷①；拋物線與x軸有兩個交點，可判斷②；由，得，令，求函數值，即可判斷③；令時，則，令時，，即可判斷④；然后得到答案．
【詳解】解：根據題意，則，，
∵，
∴，
∴，故①錯誤；
由拋物線與x軸有兩個交點，則，故②正確；
∵，
令時，，
∴，故③正確；
在中，
令時，則，
令時，，
由兩式相加，得，故④正確；
∴正確的結論有：②③④，共3個；
故選：B．
【總結】本題考查了二次函數的圖像和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，熟練判斷各個式子的符號．
7.廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美．某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸．該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
【答案】當定價為4.5萬元每噸時，利潤最大，最大值為312.5萬元
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，設每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，根據利潤每噸的利潤銷售量列出w關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：設每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，
由題意得，
，
∵，
∴當時，w有最大值，最大值為，
∴，
【知識點一 二次函數的圖象和性質】
二次函數的定義：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數。其中x是自變量，a、b、c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數、常數項。
二次函數解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數，a≠0)；
(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接顯示二次函數的頂點坐標是(h，k)；
(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是圖象與x軸交點的橫坐標 ．
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
2、二次函數的性質
二次函數的圖象是一條拋物線。當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越小；|a|越小，拋物線的開口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
對稱軸 y軸 y軸 x=h x=h
頂點 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0時，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0時，頂點是最高點，此時y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或)。
增
減
性 a>0 x<0(h或)時，y隨x的增大而減小；x>0(h或)時，y隨x的增大而增大。 即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。
a<0 x<0(h或)時，y隨x的增大而增大；x>0(h或)時，y隨x的增大而減小。 即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。
3、二次函數的平移：
方法一：
在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．
概括成八個字“左加右減，上加下減”．
任意拋物線y＝a(x－h)2＋k可以由拋物線y＝ax2經過平移得到，具體平移方法如下：
方法二：
(1)沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）
(2)沿x軸平移：向左（右）平移個單位，（或）
4、二次函數的圖象與各項系數之間的關系
1、a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2、b的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”
3、c決定了拋物線與軸交點的位置
字母的符號 圖象的特征
a a＞0 開口向上
a＜0 開口向下
b b＝0 對稱軸為y軸
ab＞0(a與b同號) 對稱軸在y軸左側
ab＜0(a與b異號) 對稱軸在y軸右側
c c＝0 經過原點
c＞0 與y軸正半軸相交
c＜0 與y軸負半軸相交
【知識點二 二次函數與一元二次方程】
1、二次函數與一元二次方程之間的關系
判別式情況 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實數根 有兩個不相等的實數根x1，x2 有兩個相等的實數根x1＝x2 沒有實數根
當b2－4ac＜0時
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2、利用二次函數圖象求一元二次方程的近似解的一般步驟
(1)畫出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象;
(2)確定二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標在哪兩個整數之間;
(3) 列表,在(2)中的兩數之間取值估計,并用計算器估算近似解,則近似解在對應y值正負交替的地方.
通過列表求近似根的具體過程:
在列表求近似根時,近似根就出現在對應的y值正負交替的位置,也就是對x取一系列值,看y對應的哪兩個值,由負變成正或由正變成負,此時x的兩個對應值之中必有個近似根,比如x由x1取到x2時,對應y的值出現y1＞0,y2＜0或y1＜0,y2＞0,那么x1,x2中必有一個是近
似根,比較|y1|與|y2|的大小,若|y1|>|y2|,則說明x2是近似根;反之,則說明x1是近似根.從圖象上觀察,(x,y)離x軸越近,y值越接近0,而y=0時x的值就是方程的確切根.
3、利用二次函數圖象解一元二次不等式的步驟
(1)將一元二次不等式化為ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明確二次項系數a的正負、對稱軸在y軸哪側,并計算b2-4ac的值；
(3)作出不等式對應的二次函數y=ax2+bx+c的草圖；
(4)二次函數在x軸上方的圖象對應的函數值大于零,在x軸下方的圖象對應的函數值小于零.
【知識點三 利用二次函數解決最大利潤問題】
利用二次函數解決利潤問題的一般過程可以概括為以下三步:
(1) 分析價格變化后的單件利潤、銷售量、總利潤,找到它們隨價格變化的規律;
(2) 列出總利潤與實際價格之間的函數關系式;
(3)借助二次函數圖象的性質得到二次函數的最值.
1.已知是關于x的二次函數，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義得出且，再求出答案即可．
【詳解】解：，是關于x的二次函數，
且，
，
故選：B．
2.已知二次函數的圖象上有兩點，若，則當時，函數（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值
C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質．由得二次函數與軸的交點為，由當時得，由得在第一象限，越大越小即可判斷．
【詳解】解：
令，則或
即二次函數與軸的交點為
當時，
，且在第一象限，越大越小
其圖象大致如下：
該函數有最大值，無最小值．
故選：B．
3.函數與的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數和一次函數的性質，解題的關鍵是根據a，b與0的大小關系以及交點情況進行討論．
根據二次函數開口向上，對稱軸在y軸右側判斷出a，b與0的大小關系，進而推出一次函數圖像經過第一、三、四象限，再利用二次函數與一次函數交點情況即可作出判斷．
【詳解】解：由四個選項可知，二次函數開口均向上，對稱軸在y軸右側，
∴，，
∴一次函數圖像應該經過第一、三、四象限，
當時，即，，
當時，即，
則二次函數與一次函數在x軸上有一交點，且為
A．一次函數圖像經過第一、二、四象限，故本選項不符合題意．
B．一次函數圖像經過第一、三、四象限，且有一交點在x軸上，故本選項符合題意．
C．一次函數圖像經過第一、三、四象限，但交點均不在x軸上，故本選項不符合題意．
D．一次函數圖像經過第二、三、四象限，故本選項不符合題意．
故選：B．
4.二次函數的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，拋物線與y軸交點在和之間（不與重合）．下列結論：①；②；③；④當時，；⑤a的取值范圍為．其中正確結論有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】根據拋物線的開口方向、與軸的交點、對稱軸可判斷①；由拋物線與軸的交點及拋物線的對稱性可判斷②，對稱軸為直線，即可判斷③；由拋物線與軸有兩個交點，且對稱軸為直線，即可判斷④．由拋物線與y軸交點在和之間（不與重合）．判斷⑤；本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大小：當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置：當與同號時（即，對稱軸在軸左；當與異號時（即，對稱軸在軸右；常數項決定拋物線與軸交點位置：拋物線與軸交于．
【詳解】解：∵二次函數的部分圖象如圖所示，
∴開口向下，
∵圖象過點，對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與y軸交點在和之間（不與重合）．
∴
∴
故①錯誤；
∵
∴
故③正確；
∵如圖：
則圖象過點，拋物線開口向下
把代入
∴
∴
故②錯誤；
∵則圖象過點，對稱軸為直線
∴拋物線與軸的另一個交點為
∵拋物線開口向下
∴當時，
故④正確的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正確的
故選：B．
5.拋物線與軸的一個交點為，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，二次函數的圖象與性質．熟練掌握二次函數與一元二次方程的關系，二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
由拋物線與軸有交點，可得，可求或，對稱軸為直線，當時，拋物線的對稱軸在直線左側，拋物線圖象如圖1，當時，，計算求出滿足要求的解即可；當時，拋物線的對稱軸在直線右側，拋物線圖象，如圖2，當時，，計算求出滿足要求的解，然后作答即可．
【詳解】解：∵拋物線與軸有交點，
∴，
解得，或，
∴對稱軸為直線，
當時，拋物線的對稱軸在直線左側，
∴在對稱軸的右側，拋物線圖象如圖1，
∴當時，，
解得，；
當時，拋物線的對稱軸在直線右側，
拋物線圖象，如圖2，
∴當時，，
解得，；
∴；
綜上所述，或，
故選：B．
6.若二次函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，則b滿足的條件是 ．
【答案】或0
【分析】本題考查了二次函數的圖象，二次函數與一元二次方程的關系，一元二次方程根的判別式等知識．熟練掌握二次函數的圖象，二次函數與一元二次方程的關系，一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
由題意知，分①二次函數的圖象與軸有1個公共點；②二次函數的圖象與軸有2個公共點，但其中一個點為原點，兩種情況求解作答即可．
【詳解】解：∵二次函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，
∴分①二次函數的圖象與軸有1個公共點；②二次函數的圖象與軸有2個公共點，但其中一個點為原點，兩種情況求解；
①當二次函數的圖象與軸有1個公共點時，，
解得；
②當二次函數的圖象與軸有2個公共點，但其中一個點為原點時，，
∴，與軸有2個公共點，為或，
綜上所述，b的值為或0，
故答案為：或0．
7.關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是
【答案】【詳解】解：∵關于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞
設f（x）=ax2-3x-1，如圖，
∵實數根都在-1和0之間，
∴-1＜ ＜0，
∴a＜ ，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴ ＜a＜-2，
【方法總結】通過解方程ax2+bx+c=0(a≠0)來求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標;反過來,也可以由函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標來求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
8.若二次函數有最小值，則 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了二次函數的圖像和性質，二次函數的定義，屬于簡單題，求出二次函數的頂點坐標是解題關鍵．根據二次函數定義求出k的值，再根據二次函數有最小值確定k的值即可．
【詳解】解：∵二次函數有最小值，
∴
解得：．
故答案為：3．
9.二次函數在上有最小值，則的值為 ．
【答案】5或
【分析】本題考查二次函數的增減性和二次函數最值的求法：分三種情況考慮：對稱軸在的左邊，對稱軸在到2的之間，對稱軸在的右邊，當對稱軸在的左邊和對稱軸在的右邊時，可根據二次函數的增減性來判斷函數取最小值時的值，然后把此時的的值與代入二次函數解析式即可求出的值；當對稱軸在到2的之間時，頂點為最低點，令頂點的縱坐標等于，列出關于的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的值．此題是一道綜合題．求二次函數最值時應注意頂點能否取到．
【詳解】解：分三種情況：
當，即時，二次函數在上為增函數，
所以當時，有最小值為，把代入中解得：；
當，即時，二次函數在上為減函數，
所以當時，有最小值為，把代入中解得：，舍去；
當，即時，此時拋物線的頂點為最低點，
所以頂點的縱坐標為，解得：或，舍去．
綜上，的值為5或．
故答案為：5或
10.二次函數的圖象上有兩點、，滿足且這兩點在對稱軸兩側，當時，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】分兩種情形：當，在對稱軸的異側，且時，當，在對稱軸的異側，時，分別利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：當，在對稱軸的異側，且時，
，，拋物線的對稱軸為直線，
，，，
，
，
函數的最大值為，最小值為，
，即，
，
，
，
，
，
；
當，在對稱軸的異側，時，
，，，
，
，
函數的最大值為，最小值為，
，即，
，
，
，
，
，
；
綜上所述，的取值范圍是，
故答案為：．
【總結】本題考查了二次函數的性質，軸對稱，解不等式等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想，分類思考問題．
11.已知：拋物線與直線有兩個不同的交點，若兩個交點的橫坐標是分別為、，若，則的取值范圍是 ．
【答案】//
【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系和根的判別式、二次函數的性質．根據拋物線與直線有兩個不同的交點，則方程中的，解出可得的取值；由根與系數的關系得：，，把變形后，得，即可得出答案，運用了恒等變換的思想．掌握一元二次方程根與系數的關系及二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：令，
∴，
∵拋物線與直線有兩個不同的交點，
∴，
∴，
∵兩個交點的橫坐標是分別為、，
∴，，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
12.為助推鄉村經濟發展，解決茶農賣茶難問題，某地政府在新茶上市天內，幫助“幸福村”茶農合作社集中銷售茶葉，設第天（為整數）的售價為（元/斤），日銷售額為（元）．據銷售記錄知：
①第天銷量為斤，以后每天比前一天多賣斤；
②前天的價格一直為元/斤，后天價格每天比前一天跌元，
(1)當時，寫出與的關系式；
(2)當為何值時日銷售額最大，最大為多少？
(3)若日銷售額不低于元時可以獲得較大利潤，當天合作社將向希望小學捐款元，用于捐資助學，若“幸福村”茶農合作社計劃幫助希望小學購買元的圖書，求的最小整數值．
【答案】(1)
(2)當為第天時日銷售額最大，最大為元
(3)元
【分析】（1）根據前天的價格一直為元/斤，后天價格每天比前一天跌元，可求出當時，與的關系；
（2）根據日銷售額售價日銷售量，分類討論在的取值范圍內的最大值即可得到結論；
（3）根據日銷售額售價日銷售量，分類討論在的取值范圍內的最大值，再和作比較，從而確定能獲得較大利潤的天數，即可求解．
【詳解】（1）解：∵前天的價格一直為元/斤，后天價格每天比前一天跌元，
∴當時，，
∴當時，寫出與的關系式為：；
（2）由題意得，銷售量為：，
當時，
，
∵，
∴當時，取最大值為：，
當時，
，
∵，
∴當時，取最大值為，
綜上所述，當時，取最大值為，
答：當為第天時日銷售額最大，最大為元；
（3）當時，
，
當時，取最大值為：，
∵，
∴時不可能獲得較大利潤．
當時，，
當時，取最大值為，得：，
當時，
解得：或，
∴當時，，
∴獲得較大利潤天數為天，
∴，
解得：，
∵為整數，
∴的最小值為元．
【總結】本題考查列函數關系式，一次函數的實際應用，一元二次方程的實際應用，二次函數實際中的應用和一元一次不等式的實際．找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程或函數關系式是解題的關鍵．最后要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．
13.已知一次函數與二次函數（m為常數）的圖象在同一平面直角坐標系中．
(1)當 時，求兩個函數圖象的交點坐標．
(2)如果兩個函數圖象沒有交點，求m的取值范圍．
(3)如圖，當 時，點P和點Q分別是兩個函數圖象上的任意一點．
①當軸時，求 的最小值；
②當軸時，求 的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)①；②
【分析】本題考查了一次函數與二次函數交點問題；
（1）當時，一次函數為y= 二次函數為 ，聯立解析式，解方程，即可求解．
（2）聯立解析式，根據一元二次方程根的判別式的意義，即可求解；
（3）當 時，一次函數為y= 二次函數為
①設 ，表示出，進而根據二次函數的性質即可求解；
②設 ，表示出，進而根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：（1）當時，一次函數為y= 二次函數為
聯立方程組
解得 或
∴交點坐標為或；
（2）由
得
∵兩個函數圖象沒有交點，
∴
得
（3）當 時，一次函數為二次函數為
①∵軸
設 ，
∴當 時，
②設
∵軸，
∴當 時，
14.定義：在平面直角坐標系中，圖形上點的縱坐標與其橫坐標的差稱為點的“坐標差”，而圖形上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形的“特征值”．
(1)①點的“坐標差”為 ；
②拋物線的“特征值”為 ；
(2)某二次函數的“特征值”為，且，求此二次函數的解析式；
(3)二次函數的圖像的頂點在“坐標差”為的一次函數的圖像上，四邊形是矩形，點的坐標為，點為坐標原點，點在軸上，點在軸上，當二次函數的圖像與矩形的邊只有三個交點時，求此二次函數的解析式及特征值．
【答案】(1)①；②；
(2)
(3)二次函數的解析式為或，“特征值”
均為
【分析】本題考查了二次函數的綜合，“坐標差”，“特征值”的定義，解題的關鍵是掌握二次函數的圖像與性質，理解題意．
（1）根據題中“坐標差”，“特征值”的定義求解即可；
（2）由得，進而得到，結合特征值的定義求出值，進而求出值，即可求解；
（3）先求出“坐標差”為的一次函數為，由二次函數的圖像的頂點在直線上，可設二次函數的解析式為，分兩種情況討論：拋物線頂點在直線與的交點上時；拋物線右側部分經過點時；分別把、代入，解得的值，即可求解．
【詳解】（1）解：①點的“坐標差”為：；
② ，
拋物線的“特征值”為；
故答案為：①；②；
（2） ，
，
，
二次函數的“特征值”為，
，
，
，
，
二次函數的解析式為；
（3）“坐標差”為的一次函數為，
二次函數的圖像的頂點在直線上，
設二次函數為，
二次函數的圖像與矩形有三個交點，如圖、，
拋物線頂點在直線與的交點上時如圖，

在中，令，則，得交點為，
把代入，得，
解得：，舍去，
二次函數的解新式為，
，特征值是；
拋物線右側部分經過點時如圖，
把代入，得，
解得，舍去，
二次函數的解析或為，
，特征值是．
綜上，二次函數的解析式為或，“特征值”均為．
15.教師節前夕，某花店采購了一批鮮花禮盒，成本價為50元/件，物價局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤率不得高于52%．分析教師節同期的鮮花禮盒銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）（x為整數）近似的滿足一次函數關系，數據如表：（注：利潤率=利潤/成本）
銷售單價x（元、件） … 60 70 75 …
每天銷售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y與x的函數關系式；
(2)試確定銷售單價取何值時，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤最大？并求出最大利潤；
(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈n元（）給“希望工程”．若扣除捐贈后的日利潤隨著銷售單價x的增大而增大，請直接寫出n的取值范圍是 ．
【答案】(1)
(2)當銷售單價為75元/件時，利潤最大為3750元
(3)
【分析】本題主要考查了求一次函數的解析式、二次函數的應用及二次函數的最值問題，正確列出解析式，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）設y與x的函數關系式為，用待定系數法求函數解析式即可；
（2）設每天獲得的利潤為w元，根據總利潤=單價利潤×銷售量列出函數解析式，再利用二次函數的性質求解即可；
（3）設表示扣除捐款后的日利潤，根據題意，列出函數解析式，利用在范圍內，隨x的增大而增大，進而求解即可．
【詳解】（1）解：設，
由題意得：當時，，當時，，
∴，
解之得，
∴；
（2）解：設每天利潤為w元，由題意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴當時，，
答：當銷售單價為75元/件時，利潤最大為3750元；
（3）解：設表示扣除捐款后的日利潤，
，
∵在（x為整數）范圍內，隨x的增大而增大，開口向下，對稱軸是直線，
∴，
解得，
∵，
∴．
（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，根據二次函數的解析式得出函數圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解∶ 二次函數的對稱軸為y軸，開口向上，
∴當時， y隨x的增大而增大，
∵點都在二次函數的圖象上，且，
∴，
故選∶A．
（2024·廣東廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數以及反比例函數的圖象和性質，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；位于在一、三象限內，且均隨著的增大而減小，據此即可得到答案．
【詳解】解：由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；
位于一、三象限內，且在每一象限內均隨著的增大而減小，
當時，，均隨著的增大而減小，
故選：D．
（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線經過正方形的三個頂點A，B，C，點B在軸上，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，交y軸于點D，根據正方形的性質可知，然后可得點，進而代入求解即可．
【詳解】解：連接，交y軸于點D，如圖所示：

當時，則，即，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴點，
∴，
解得：，
故選B．
【總結】本題主要考查二次函數的圖象與性質及正方形的性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質及正方形的性質是解題的關鍵．
4.（2024·山東濟南·模擬預測）在平面直角坐標系中，如果點的橫坐標和縱坐標相等，則稱點為完美點．已知二次函數（是常數，且）的圖象上有且只有一個完美點，且當時，函數的最小值為，最大值為1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數，一元二次方程根的判別式，二次函數的圖像性質，利用待定系數法和根的判別式建立方程求出二次函數解析式作出圖像是解題的關鍵，根據完美點只有一個得到判別式等于0，再根據完美點為，可建立a，b的方程組，解方程組即可得到函數的解析式，畫出函數的圖形即可得到答案．
【詳解】解：當時，，
整理得，
根據題意得，
∵二次函數經過點，
∴，
整理得，
解方程組得，
∴函數的解析式為：，
整理得：，
函數的圖像如下：

∵時，時，解得或，當時，，
∴，
故選：B．
5.（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④關于x的方程一定有兩個不相等的實數根．其中正確的結論是 ．（填寫序號）

【答案】①②③
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握、、的值決定拋物線的位置以及二次函數與一元二次方程的關系，是正確判斷的前提．根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置、與軸的交點坐標、頂點坐標等知識，逐個判斷即可．
【詳解】解：拋物線軸交于點，對稱軸為直線，
與軸的另一個交點為，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
，，
，
當時，，
，所以①正確；
拋物線與軸的交點在和之間，
，
，
，
，
，
，所以②正確；
由題意可得，方程的兩個根為，，
，即，
，
，
，故③正確，
當，時，
方程沒有實數根或有兩個相等的實數根，所以④不正確，
綜上所述，正確的結論有3個：①②③，
故答案為：①②③．
6.（2024·山西晉城·三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，作直線．D為直線上方拋物線上的一個動點，橫坐標為m，過點D作軸于點F，交直線于點E．
(1)求點A，B，C的坐標，并直接寫出直線的函數表達式．
(2)當時，求點D的坐標．
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、等腰三角形的三線合一等知識，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．
（1）根據二次函數的性質和待定系數法求解即可得；
（2）過點作于點，先求出的長，從而可得點的坐標，再代入二次函數的解析式求解即可得．
【詳解】（1）解：對于二次函數，
當時，，解得或，
∴，，
當時，，
∴，
設直線的函數表達式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的函數表達式為．
（2）解：∵，
∴，
如圖，過點作于點，
則四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∵為直線上方拋物線上的一個動點，橫坐標為，軸于點，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
將點代入得：，
解得或（不符合題意，舍去），
∴點的坐標為．
7.（2024·陜西西安·二模）如圖，拋物線L：經過，兩點，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線L的表達式；
(2)拋物線與拋物線L關于直線對稱，P是拋物線L的x軸上方且在對稱軸左側的一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，點P、Q關于拋物線L的對稱軸對稱的點分別為M、N．試探究是否存在一點P，使得四邊形為長寬之比是的矩形？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或
【分析】（1）利用待定系數法求解析式即可；
（2）求出直線為，再求出拋物線與拋物線L關于直線對稱的解析式，設，則，，，由題意得到關于m的方程，再解方程即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線L：經過點，，
∴，
解得，
∴拋物線L的表達式為；
（2）解：存在一點P，使得四邊形為長寬之比是的矩形，理由如下：
∵，，
∴直線為，
∵點
∴點A關于直線的對稱點為，
∵拋物線與拋物線L關于直線對稱，
∴點、在拋物線的圖象上，
設拋物線的解析式為，
把點代入得，，
解得，
∴拋物線與拋物線L關于直線對稱的解析式，
設，則，
∵點P、Q關于拋物線L的對稱軸對稱點分別為M、N．
∴，，
∵四邊形為長寬之比是的矩形，
∴或，
整理得或，
解得，或，，
∵P是拋物線L的x軸上方且在對稱軸左側的一點，
∴，
∴或，
即點P的橫坐標為或．
【總結】本題考查二次函數圖象與幾何變換、用待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特性、軸對稱的性質、正方形的性質，根據題意得到關于m的方程是解題的關鍵．
1.下列函數中，是二次函數的是（　　）
A．y3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解析】解：A、含有分式，不是二次函數，故此選項不合題意；
B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函數，故此選項不合題意；
C、是二次函數，故此選項符合題意；
D、當a＝0時，不是二次函數，故此選項不合題意；
故選：C．
2.若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函數，則a的取值范圍是（　　）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【解析】解：由題意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故選：A．
3.二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象向上平移3個單位長度，得到的拋物線相應的函數表達式為（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【答案】D
【解析】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象向上平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故選：D．
4.如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④；⑤，其中含所有正確結論的選項是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象與系數的關系、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．
由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行分別推理，進而逐項判斷即可．
【詳解】解：①由拋物線開口向上，則，
∵點B在和之間，
∴，
∴，①錯誤；
②∵，
∴，
∴，故②正確；
③∵拋物線過，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③錯誤；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正確；
⑤∵圖象與y軸的交點B在和之間，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正確．
故選：C．
5.如圖，二次函數的圖象與一次函數的圖象相交兩點，則二次函數的圖象可能為（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象，直線和拋物線的交點，交點坐標和方程的關系以及方程和二次函數的關系等，由一次函數與二次函數圖象相交于兩點，得出函數與軸有兩個交點，兩個交點為，利用對稱軸即可進行判斷的圖象，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由一次函數與二次函數圖象相交于兩點的橫坐標可得：
函數與軸有兩個交點，兩個交點為，
，
即，
，
，
，
故二次函數的圖象開口向上，對稱軸在軸左邊，只有A選項的圖象符合條件，
故選：A．
63.在同一平面直角坐標系中，直線和拋物線，如圖所示，，是方程的兩個根，且，則函數的坐標系中的圖象大致為（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數、二次函數圖象與系數的關系，一次函數、二次函數圖象交點與一元二次方程根的關系等知識點，通過圖象交點的橫坐標確定，的正負是解題的關鍵．
根據方程的兩個根和，即轉化為與函數圖象交點問題，通過圖象交點可得，即可確定函數在坐標系中的大致圖象．
【詳解】解：，是方程的兩個根，
與函數圖象兩交點橫坐標為，，
由圖象可得：，
，，
故函數在坐標系中的圖象經過第二、三、四象限，
故選：B．
7.已知函數與x軸的交點橫坐標為正整數，則整數k的值為
【答案】0或1或2
【分析】本題主要考查了求二次函數與x軸的交點坐標，求一次函數與x軸的交點坐標，當時，原函數為一次函數，可求得與x軸的交點的橫坐標為1，符合題意；當時，原函數為二次函數，可求得原函數與x軸的交點的橫坐標為或，由此可得是正整數，則或．
【詳解】解：當時，則，在中，當時，，即函數與x軸的交點的橫坐標為1，符合題意；
當時，則當時，有，
解得或，
∵函數與x軸的交點橫坐標為正整數，
∴是正整數，
∴是正整數，
∴或；
綜上所述，整數k的值為0或1或2，
故答案為：0或1或2．
8.（2024·廣東東莞·三模）若點在拋物線上，則的大小關系為 （用“”連接）．
【答案】
【分析】本題考查二次函數比較函數值大小，涉及二次函數圖象與性質，由二次函數圖象與性質得到拋物線上的點，離對稱軸越遠，其函數值越大，求出到對稱軸距離，比較距離大小即可得到函數值大小，熟練掌握二次函數比較函數值大小的方法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：由可知，拋物線的開口向上，且對稱軸為直線，
拋物線上的點，離對稱軸越遠，其函數值越大，
點到對稱軸的距離為；點到對稱軸的距離為；且，
，
故答案為：．
9.（2024·廣東深圳·二模）已知函數的大致圖象如圖所示，對于方程（m為實數），若該方程恰有3個不相等的實數根，則m的值是 ．
【答案】4
【分析】此題考查函數圖象的應用，解題的關鍵是求出函數與y軸的交點．先求出函數與y軸的交點，再根據函數圖象的特點即可求解．
【詳解】解：令得，，
所以函數的圖象與y軸的交點坐標為．
方程的實數根可以看成函數的圖象與直線交點的橫坐標．
因為該方程恰有3個不相等的實數根，
所以函數的圖象與直線有3個不同的交點．
如圖所示，
當時，兩個圖象有3個不同的交點，
所以m的值為4．
故答案為：4．
10.（2024·湖北荊州·一模）已知函數與x軸的交點橫坐標為正整數，則整數k的值為
【答案】0或1或2
【分析】本題主要考查了求二次函數與x軸的交點坐標，求一次函數與x軸的交點坐標，當時，原函數為一次函數，可求得與x軸的交點的橫坐標為1，符合題意；當時，原函數為二次函數，可求得原函數與x軸的交點的橫坐標為或，由此可得是正整數，則或．
【詳解】解：當時，則，在中，當時，，即函數與x軸的交點的橫坐標為1，符合題意；
當時，則當時，有，
解得或，
∵函數與x軸的交點橫坐標為正整數，
∴是正整數，
∴是正整數，
∴或；
綜上所述，整數k的值為0或1或2，
故答案為：0或1或2．
11.（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，已知拋物線（、為常數，且）與軸交于，兩點（點在點左側），與軸交于點，．拋物線的對稱軸與軸交于點，與經過點的直線交于點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有得合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，點的坐標為或或
【分析】本題考查待定系數法求函數表達式、坐標與圖形、等腰三角形的判定與性質、一次函數圖象的平移、直角三角形的性質等知識，正確求得拋物線的函數表達式是解答的關鍵．
（1）先求點A坐標，再利用待定系數法求函數表達式即可；
（2）先根據二次函數的性質求得，點的坐標為，進而可得；當時，則，可得，設點的坐標為，然后解方程求得t值即可；求直線的函數表達式，然后平移至經過點，此時直線與拋物線的交點分別為，，可得，再利用待定系數法求得直線的函數表達式，然后聯立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵點的坐標為，，點在點左側，
∴點的坐標為，
將，代入．
，解得：，
∴拋物線的函數表達式為；
（2）解：在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形．
理由如下：由得拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，
∴當時，，
∴點的坐標為，則，
∴
當時，則，過點作于點，如圖．
則是等腰直角三角形，
∴，
設點的坐標為，
∴，
解得：，（舍），
當時，，
點的坐標為；
設直線的函數表達式為，
將點，代入，得，解得，
∴直線的函數表達式為．
將直線平移至經過點，此時直線與拋物線的交點分別為，，
則，可設直線的函數表達式為，
將代入，得，解得，
∴直線的函數表達式為．
∴，解得：或．
∴點的坐標為或．
綜上可得，在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，點的坐標為或或．
12.（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別交x，y軸于A，B兩點，拋物線經過點A，B．點P為第四象限內拋物線上的一個動點．
(1)求此拋物線的函數解析式．
(2)當時，求點P的坐標．
【答案】(1)；
(2)
【分析】此題是二次函數的綜合題，是中考的壓軸題，難度較大，計算量也大，（1）本題所求二次函數的解析式含有兩個待定字母，一般需要兩個點的坐標建立方程組，現在可求A、B點坐標，代入列方程組可解答；
（2）設點A關于y軸的對稱點為，求出直線的解析式，再聯立拋物線的解析式解答即可．
【詳解】（1）解：令，得，則，
令，解得，則，
把，代入中，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）設點A關于y軸的對稱點為，則．
∴．
直線交拋物線于P．
∴．
∵，
∴，
設直線的解析式為．
∵，
∴，
解得，
∴直線的解析式為．
再令，
得．
解得（舍去）或．
∴點P的坐標是．
13.榴蓮靠著獨特風味和口感深受廣大消費者喜愛，多數品質較好的榴蓮都需要進口，所以價格居高不下，國產高品質榴蓮在三亞成功掛果上市，某水果店購進一批三亞榴蓮，進價為元，設售價為x元，圖中線段是總進價（元）與x關系的圖象，拋物線是總銷售額（元）與x關系的圖象，經過原點．假定購買和銷售數量相同，當售價為元時，銷售量為．
（總利潤=總銷售額﹣總進價）
(1)直接寫出t、p、q的值；
(2)分別求出與x的關系式；
(3)當售價定為多少，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)與x的關系式為；與x的關系式為
(3)當售價定為元時，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大，最大利潤是
【分析】（1）由圖象可知當售價為元時，銷售量為，則，此時進價為，當總進價為元時，，即利潤為0，此時進價=售價，進而可求值；
（2）待定系數法求一次函數、二次函數解析式即可；
（3）設該水果店出售這批榴蓮所獲利潤為w元，依題意得，，根據二次函數的圖象與性質，求解作答即可．
【詳解】（1）解：∵當售價為元時，銷售量為，
∴，
∴此時進價為（元），
∴；
當總進價為元時，，即利潤為0，此時進價=售價，
∴；
（2）解：設，把，代入得，，
解得，，
∴；
設，把，代入得，，
解得，，
∴；
∴與x的關系式為；與x的關系式為；
（3）解：設該水果店出售這批榴蓮所獲利潤為w元，
依題意得，，
∵，
∴當時，w有最大值，
∴當售價定為元時，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大，最大利潤是．
【總結】本題考查了一次函數解析式，二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數的應用，二次函數的最值．熟練掌握函數圖象，二次函數的應用是解題的關鍵．
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二次函數全章單元復習
1.二次函數的圖象與一次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.如圖，拋物線的對稱軸為，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．當時，隨的增大而減小 D．當時，隨的增大而減小
3.把函數的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（ ）
A． B．
C． D．
4.我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
5.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1無實數根
6.如圖，拋物線的對稱軸是．下列結論：①；②；③；④，正確的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
7.廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美．某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸．該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
【知識點一 二次函數的圖象和性質】
二次函數的定義：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數。其中x是自變量，a、b、c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數、常數項。
二次函數解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數，a≠0)；
(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接顯示二次函數的頂點坐標是(h，k)；
(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是圖象與x軸交點的橫坐標 ．
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
2、二次函數的性質
二次函數的圖象是一條拋物線。當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越小；|a|越小，拋物線的開口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
對稱軸 y軸 y軸 x=h x=h
頂點 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0時，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0時，頂點是最高點，此時y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或)。
增
減
性 a>0 x<0(h或)時，y隨x的增大而減小；x>0(h或)時，y隨x的增大而增大。 即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。
a<0 x<0(h或)時，y隨x的增大而增大；x>0(h或)時，y隨x的增大而減小。 即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。
3、二次函數的平移：
方法一：
在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．
概括成八個字“左加右減，上加下減”．
任意拋物線y＝a(x－h)2＋k可以由拋物線y＝ax2經過平移得到，具體平移方法如下：
方法二：
(1)沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）
(2)沿x軸平移：向左（右）平移個單位，（或）
4、二次函數的圖象與各項系數之間的關系
1、a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2、b的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”
3、c決定了拋物線與軸交點的位置
字母的符號 圖象的特征
a a＞0 開口向上
a＜0 開口向下
b b＝0 對稱軸為y軸
ab＞0(a與b同號) 對稱軸在y軸左側
ab＜0(a與b異號) 對稱軸在y軸右側
c c＝0 經過原點
c＞0 與y軸正半軸相交
c＜0 與y軸負半軸相交
【知識點二 二次函數與一元二次方程】
1、二次函數與一元二次方程之間的關系
判別式情況 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實數根 有兩個不相等的實數根x1，x2 有兩個相等的實數根x1＝x2 沒有實數根
當b2－4ac＜0時
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2、利用二次函數圖象求一元二次方程的近似解的一般步驟
(1)畫出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象;
(2)確定二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標在哪兩個整數之間;
(3) 列表,在(2)中的兩數之間取值估計,并用計算器估算近似解,則近似解在對應y值正負交替的地方.
通過列表求近似根的具體過程:
在列表求近似根時,近似根就出現在對應的y值正負交替的位置,也就是對x取一系列值,看y對應的哪兩個值,由負變成正或由正變成負,此時x的兩個對應值之中必有個近似根,比如x由x1取到x2時,對應y的值出現y1＞0,y2＜0或y1＜0,y2＞0,那么x1,x2中必有一個是近
似根,比較|y1|與|y2|的大小,若|y1|>|y2|,則說明x2是近似根;反之,則說明x1是近似根.從圖象上觀察,(x,y)離x軸越近,y值越接近0,而y=0時x的值就是方程的確切根.
3、利用二次函數圖象解一元二次不等式的步驟
(1)將一元二次不等式化為ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明確二次項系數a的正負、對稱軸在y軸哪側,并計算b2-4ac的值；
(3)作出不等式對應的二次函數y=ax2+bx+c的草圖；
(4)二次函數在x軸上方的圖象對應的函數值大于零,在x軸下方的圖象對應的函數值小于零.
【知識點三 利用二次函數解決最大利潤問題】
利用二次函數解決利潤問題的一般過程可以概括為以下三步:
(1) 分析價格變化后的單件利潤、銷售量、總利潤,找到它們隨價格變化的規律;
(2) 列出總利潤與實際價格之間的函數關系式;
(3)借助二次函數圖象的性質得到二次函數的最值.
1.已知是關于x的二次函數，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．0
2.已知二次函數的圖象上有兩點，若，則當時，函數（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值
C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值
3.函數與的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
4.二次函數的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，拋物線與y軸交點在和之間（不與重合）．下列結論：①；②；③；④當時，；⑤a的取值范圍為．其中正確結論有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
5.拋物線與軸的一個交點為，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
6.若二次函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，則b滿足的條件是 ．
7.關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是
【方法總結】通過解方程ax2+bx+c=0(a≠0)來求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標;反過來,也可以由函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標來求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
8.若二次函數有最小值，則 ．
9.二次函數在上有最小值，則的值為 ．
10.二次函數的圖象上有兩點、，滿足且這兩點在對稱軸兩側，當時，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是 .
11.已知：拋物線與直線有兩個不同的交點，若兩個交點的橫坐標是分別為、，若，則的取值范圍是 ．
12.為助推鄉村經濟發展，解決茶農賣茶難問題，某地政府在新茶上市天內，幫助“幸福村”茶農合作社集中銷售茶葉，設第天（為整數）的售價為（元/斤），日銷售額為（元）．據銷售記錄知：
①第天銷量為斤，以后每天比前一天多賣斤；
②前天的價格一直為元/斤，后天價格每天比前一天跌元，
(1)當時，寫出與的關系式；
(2)當為何值時日銷售額最大，最大為多少？
(3)若日銷售額不低于元時可以獲得較大利潤，當天合作社將向希望小學捐款元，用于捐資助學，若“幸福村”茶農合作社計劃幫助希望小學購買元的圖書，求的最小整數值．
13.已知一次函數與二次函數（m為常數）的圖象在同一平面直角坐標系中．
(1)當 時，求兩個函數圖象的交點坐標．
(2)如果兩個函數圖象沒有交點，求m的取值范圍．
(3)如圖，當 時，點P和點Q分別是兩個函數圖象上的任意一點．
①當軸時，求 的最小值；
②當軸時，求 的最小值．
14.定義：在平面直角坐標系中，圖形上點的縱坐標與其橫坐標的差稱為點的“坐標差”，而圖形上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形的“特征值”．
(1)①點的“坐標差”為 ；
②拋物線的“特征值”為 ；
(2)某二次函數的“特征值”為，且，求此二次函數的解析式；
(3)二次函數的圖像的頂點在“坐標差”為的一次函數的圖像上，四邊形是矩形，點的坐標為，點為坐標原點，點在軸上，點在軸上，當二次函數的圖像與矩形的邊只有三個交點時，求此二次函數的解析式及特征值．
15.教師節前夕，某花店采購了一批鮮花禮盒，成本價為50元/件，物價局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤率不得高于52%．分析教師節同期的鮮花禮盒銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）（x為整數）近似的滿足一次函數關系，數據如表：（注：利潤率=利潤/成本）
銷售單價x（元、件） … 60 70 75 …
每天銷售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y與x的函數關系式；
(2)試確定銷售單價取何值時，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤最大？并求出最大利潤；
(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈n元（）給“希望工程”．若扣除捐贈后的日利潤隨著銷售單價x的增大而增大，請直接寫出n的取值范圍是 ．
（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·廣東廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A． B． C． D．
（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線經過正方形的三個頂點A，B，C，點B在軸上，則的值為（ ）

A． B． C． D．
4.（2024·山東濟南·模擬預測）在平面直角坐標系中，如果點的橫坐標和縱坐標相等，則稱點為完美點．已知二次函數（是常數，且）的圖象上有且只有一個完美點，且當時，函數的最小值為，最大值為1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④關于x的方程一定有兩個不相等的實數根．其中正確的結論是 ．（填寫序號）

6.（2024·山西晉城·三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，作直線．D為直線上方拋物線上的一個動點，橫坐標為m，過點D作軸于點F，交直線于點E．
(1)求點A，B，C的坐標，并直接寫出直線的函數表達式．
(2)當時，求點D的坐標．
7.（2024·陜西西安·二模）如圖，拋物線L：經過，兩點，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線L的表達式；
(2)拋物線與拋物線L關于直線對稱，P是拋物線L的x軸上方且在對稱軸左側的一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，點P、Q關于拋物線L的對稱軸對稱的點分別為M、N．試探究是否存在一點P，使得四邊形為長寬之比是的矩形？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
1.下列函數中，是二次函數的是（　　）
A．y3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
2.若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函數，則a的取值范圍是（　　）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
3.二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象向上平移3個單位長度，得到的拋物線相應的函數表達式為（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
4.如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結論：①；②；③；④；⑤，其中含所有正確結論的選項是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
5.如圖，二次函數的圖象與一次函數的圖象相交兩點，則二次函數的圖象可能為（ ）
A．B． C． D．
6.在同一平面直角坐標系中，直線和拋物線，如圖所示，，是方程的兩個根，且，則函數的坐標系中的圖象大致為（ ）
A．B．C． D．
在坐標系中的圖象經過第二、三、四象限，
故選：B．
7.已知函數與x軸的交點橫坐標為正整數，則整數k的值為
8.（2024·廣東東莞·三模）若點在拋物線上，則的大小關系為 （用“”連接）．．
9.（2024·廣東深圳·二模）已知函數的大致圖象如圖所示，對于方程（m為實數），若該方程恰有3個不相等的實數根，則m的值是 ．
10.（2024·湖北荊州·一模）已知函數與x軸的交點橫坐標為正整數，則整數k的值為
11.（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，已知拋物線（、為常數，且）與軸交于，兩點（點在點左側），與軸交于點，．拋物線的對稱軸與軸交于點，與經過點的直線交于點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有得合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
12.（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別交x，y軸于A，B兩點，拋物線經過點A，B．點P為第四象限內拋物線上的一個動點．
(1)求此拋物線的函數解析式．
(2)當時，求點P的坐標．
13.榴蓮靠著獨特風味和口感深受廣大消費者喜愛，多數品質較好的榴蓮都需要進口，所以價格居高不下，國產高品質榴蓮在三亞成功掛果上市，某水果店購進一批三亞榴蓮，進價為元，設售價為x元，圖中線段是總進價（元）與x關系的圖象，拋物線是總銷售額（元）與x關系的圖象，經過原點．假定購買和銷售數量相同，當售價為元時，銷售量為．
（總利潤=總銷售額﹣總進價）
(1)直接寫出t、p、q的值；
(2)分別求出與x的關系式；
(3)當售價定為多少，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大？最大利潤是多少？
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