資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題 二次函數中三角形存在性問題
解題方法：
幾何法：1）“兩圓一線”作出點；
2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長；
3)分類討論，求出點P的坐標.
代數法：1）表示出三個點坐標A、B、P；
2）由點坐標表示出三條線段：AB、AP、BP；
3）根據題意要求（看題目有沒有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
1.已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
(1)求A、B、C三點的坐標；
(2)點D是直線上方拋物線上的點，連接、，求的最大值；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)最大值為
(3)存在，或或或或
【分析】（1）分別令、計算即可得解；
（2）求出直線的解析式為：，過點作軸，交于點，設點的坐標為，則，求出，再由并結合二次函數的性質即可得解；
（3）設，則，，，再分三種情況：當時，當時，當時，分別求解即可．
【詳解】（1）解：令，
解得：，，
點在點左側，
，，
當時，，
；
（2）解：設直線的解析式為，
，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
過點作軸，交于點，
設點的坐標為，則，
，
，
當時，的面積最大，最大值為；
（3）解：點在拋物線對稱軸上，且對稱軸為：，
設，則，，，
是等腰三角形，需分3種情況討論：
①當時，，解得：，
此時點的坐標為或；
②當時，，解得：，
此時點的坐標為或；
③當時，，解得：，
此時點的坐標為．
綜上所述，滿足條件的點有5個，分別為或或或或．
【總結】本題考查了二次函數與坐標軸的交點、二次函數綜合—面積問題、二次函數綜合—特殊三角形、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
2.綜合與實踐：如圖，拋物線y與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C．點D從點A出發以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點E同時從點B出發以相同的速度向點C運動，設運動的時間為t秒．
(1)求點A，B，C的坐標；
(2)求t為何值時，△BDE是等腰三角形；
(3)在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）
(2)t的值為，和
(3)存在，1或4
【分析】（1）令y＝0，求出方程0x2x﹣3，可得點A（﹣1，0），點B（4，0），再令x＝0，可得點C（0，﹣3），即可求解；
（2）根據勾股定理可得 ，然后分三種情況：當BD＝BE時，當BE＝DE時，當BD＝DE時，即可求解；
（3）過點E作EH⊥BD于H，根據銳角三角函數可得HEt，然后分兩種情況：當S△BDES△BOC時，當S△BDES△BOC時，即可求解．
【詳解】（1）解：令y＝0，可得0x2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴點A（﹣1，0），點B（4，0），
可得y＝﹣3，
∴點C（0，﹣3）；
（2）解：∵點A（﹣1，0），點B（4，0），點C（0，﹣3），
∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，
∴ ，
當BD＝BE時，則5﹣t＝t，
∴t；
當BE＝DE時，如圖1，過點E作EH⊥BD于H，
∴DH＝BHBD，
∵cos∠DBC，
∴，
∴t；
當BD＝DE時，如圖2，過點D作DF⊥BE于F，
∴EF＝BFBEt，
∵cos∠DBC，
∴，
∴t，
綜上所述：t的值為，和；
（3）解：∵S△BOCBO×CO＝6，
∴S△BOC，S△BOC，
如圖1，過點E作EH⊥BD于H，
∵sin∠DBC，
∴，
∴HEt，
當S△BDES△BOC時，則（5﹣t）t，
∴t1＝1，t2＝4，
當S△BDES△BOC時，則（5﹣t）t，
∴t2﹣5t+16＝0，
∴方程無解，
綜上所述：t的值為1或4．
【總結】本題主要考查了二次函數與特殊三角形的綜合題，熟練掌握二次函數的圖象和性質，等腰三角形的性質，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵．
3.如圖，直線與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度秒，設運動時間為t秒．以點A為頂點的拋物線經過點E，過點E作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為點G，與相交于點F．
(1)求點A、點B的坐標；
(2)用含t的代數式分別表示和的長；
(3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）在直線中，分別令和，即可求得、兩點坐標；
（2）由、的長可求得，用可表示出，，和的長，由勾股定理可求得的長，從而可用表示出的長；
（3）若為直角三角形時，由條件可知只能是，又，由（）可知又由二次函數的對稱性可得到，從而可求出，在中，可得到關于的方程，可求得的值，進一步可求得點坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式．
【詳解】（1）解：在直線中，
令得，
解得：
令得，
∴，
（2）解：由（1）可知，
，
運動時間為秒，
軸，
在中，，，
在中，，，
，
；
（3）解：存在．
軸，
，
點不能在拋物線的對稱軸上，
，
當為直角三角形時，則有，
又，
，
，，
，且
，
解得：
即當的值為秒時，為直角三角形，
此時
∴
∵拋物線的頂點為，設拋物線解析式為，
把點坐標代入得：
解得：，
∴拋物線的解析式為，
即．
【總結】本題主要考查了二次函數綜合運用待定系數法，三角函數的定義，相似三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數的對稱性等知識點；綜合運用以上知識是解題的關鍵．
4.（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；
(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，點在拋物線上
(3)存在，點的坐標為：或
【分析】本題主要考查了求二次函數的解析式、二次函數與幾何的綜合、二次函數圖像的平移等知識點，靈活利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來成為解題的關鍵．
（1）將點D的坐標代入拋物線表達式，求得a的值即可；
（2）由題意得：，當x=1時，，即可判斷點是否在拋物線上；
（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質，進而確定點E的坐標，進而確定點P的坐標．
【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，
則拋物線的表達式為：．
（2）解：由題意得：，
當時，，
故點在拋物線上．
（3）解：存在，理由如下：
①當為直角時，如圖1，過點作且，則為等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∴，，
∴點，
當時，，即點在拋物線上，
∴點即為點；
②當為直角時，如圖2，
同理可得：，
∴，，
∴點，
當時，，
∴點在拋物線上，
∴點即為點；
③當為直角時，如圖3，
設點，
同理可得：，
∴且，解得：且，
∴點，
當時，，
即點不在拋物線上；
綜上，點的坐標為：或．
5.（2024·內蒙古包頭·模擬預測）拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點為線段下方拋物線上一動點，連接，．

(1)求拋物線解析式；
(2)在點移動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)設點為上不與端點重合的一動點，過點作線段的垂線，交拋物線于點，若與相似，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)
(2)存在，最大面積為，點的坐標為
(3)點的坐標為或或
【分析】（1）根據待定系數法求拋物線的解析式即可；
（2）過點作軸，交于，先求出拋物線與軸的交點的坐標是,待定系數法求出直線的解析式，設點的橫坐標為，得出點的坐標為，點的坐標為，根據三角形的面積公式和二次函數的最值即可求解；
（3）當時，，過點作，交于點，過點作，根據直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出的值，根據銳角三角函數求的，，，得出點的坐標，根據兩個角和它們所夾的邊分別對應相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應邊相等得出，根據中點坐標的特征求出點的坐標，待定系數法求出直線的解析式，聯立方程解求出直線與拋物線的交點坐標；當時，，過點作，根據拋物線的對稱性求出點的坐標為；當時，，作軸于點N，作于點，作交延長線于點，設，則，根據相似三角形判定與性質表示出，代入拋物線表達式求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線交軸于、兩點，
故將、代入，得：，
解得：，
∴拋物線解析式為：．
（2）解：存在，
理由如下：過點作軸，交于，如圖：

當時，，即拋物線與軸的交點的坐標是,
設直線的解析式為，
將，代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
設點的橫坐標為，
則點的坐標為，點的坐標為，
故，
∴的面積為，
∴當時，的面積存在最大值，最大值為，
此時點的坐標為．
（3）解：點的坐標為或或．
理由如下：如圖，當時，此時，過點作，交于點，過點作；

∵，，
∴，，
故，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
設點的坐標為，
則，，
∴，，
∴點的坐標為，
設直線的解析式為，
將，代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
將與聯立方程可得：，
解得：（舍），，
∴點的坐標為；
如圖，過點作，則，此時，

∵拋物線交軸于、兩點，
∴拋物線的對稱軸為，
∵，
故點與點關于拋物線的對稱軸對稱，
∵點的坐標為，
∴點的坐標為；
如圖，作的垂線，交拋物線于點，且滿足，此時，
∵點的坐標為，點的坐標為，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
作軸于點N，作于點，作交延長線于點，
則，
，
，
，
，
設，則，
，
，
，
將代入拋物線表達式可得：，
解得：（不合題意，舍去），
∴點的坐標為；
綜上可得，點的坐標為或或．
【總結】本題考查了待定系數法求拋物線的解析式，求拋物線與坐標軸的交點坐標，求二次函數的最值，待定系數法求一次函數的解析式，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，求一次函數與二次函數圖象的交點坐標等，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
6.（2022·山東東營·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的表達式；
(2)在對稱軸上找一點Q，使的周長最小，求點Q的坐標；
(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側拋物線上的一點，當是以為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先求出點C的坐標和拋物線的對稱軸，如圖所示，作點C關于直線的對稱點E，連接AE，EQ，則點E的坐標為（2，-3），根據軸對稱最短路徑可知AE與拋物線對稱軸的交點即為點Q；
（3）分兩種情況當∠BPM=90°和當∠PBM=90°兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，點，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵拋物線解析式為，與y軸交于點C，
∴拋物線對稱軸為直線，點C的坐標為（0，-3）
如圖所示，作點C關于直線的對稱點E，連接AE，EQ，則點E的坐標為（2，-3），
由軸對稱的性質可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周長=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周長最小，則AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴當A、Q、E三點共線時，AQ+QE最小，
設直線AE的解析式為，
∴，
∴，
∴直線AE的解析式為，
當時，，
∴點Q的坐標為（1，-2）；
（3）解： 如圖1所示，當點P在x軸上方，∠BPM=90°時，過點P作軸，過點M作MF⊥EF于F，過點B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB為腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
設點P的坐標為（1，m），
∴，
∴，，
∴點M的坐標為（1-m，m-2），
∵點M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點M的坐標為（-1，0）；
同理當當點P在x軸下方，∠BPM=90°時可以求得點M的坐標為（-1，0）；
如圖2所示，當點P在x軸上方，∠PBM=90°時，過點B作軸，過點P作PE⊥EF于E，過點M作MF⊥EF于F，設點P的坐標為（1，m），
同理可證△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴點M的坐標為（3-m，-2），
∵點M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點M的坐標為（，-2）；
如圖3所示，當點P在x軸下方，∠PBM=90°時，
同理可以求得點M的坐標為（，2）；
綜上所述，當△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，點M的坐標為（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【總結】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定等等，熟知二次函數的相關知識是解題的關鍵．
7.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式及點的坐標；
(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．
①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；
②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，有最大值為；②當P的坐標為或時，與相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標；
（2）①根據P、D的坐標求出，然后根據二次函數的性質求解即可；
②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質等求解即可．
【詳解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函數的解析式為，
設直線解析式為，
則，
解得，
∴直線解析式為，
當時，，
∴；
（2）解：①設，則，
∴
，
∴當時，有最大值為；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又軸，
∴軸，
∴，
當時，如圖，
∴，
∴軸，
∴P的縱坐標為3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐標為；
當時，如圖，過B作于F，
則，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐標為
綜上，當P的坐標為或時，與相似．
【總結】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數、一次函數解析式，二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．
1.如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當點在第二象限內，且的面積為3時，求點的坐標；
(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)的坐標為或
(3)的坐標為或或或
【分析】（1）利用待定系數法求解；
（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據列式求解；
（3）先求出點A，B坐標，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時；②當在第一象限，在第四象限時；③當在第四象限，在第三象限時；④當在第四象限，在第一象限時．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，
設，則，
，
的面積為3，
，即，
解得或，
的坐標為或；
（3）解：在直線上存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直線解析式為，
設，，
過作軸于，過作軸于，
①，
當與重合，與重合時，是等腰直角三角形，如圖：

此時；
②當在第一象限，在第四象限時，
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐標為；
③當在第四象限，在第三象限時，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐標為；
④當在第四象限，在第一象限，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐標為；
綜上所述，的坐標為或或或．
【總結】本題屬于二次函數綜合題，考查待定系數法求函數解析式、二次函數中三角形面積計算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質等，難度較大，熟練運用數形結合及分類討論思想是解題的關鍵．
2.如圖，在平面直角坐標系中，經過點的拋物線（為常數，且）與x軸交于兩點，與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的函數表達式和點D的坐標；
(2)將拋物線向左平移個單位長度后得到拋物線，拋物線的頂點為E，連接，請問在平移過程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的函數表達式為，頂點D的坐標為；
(2)m的值為或5或．
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法可求得拋物線的函數表達式，配方成頂點式即可求得頂點D的坐標；
（2）根據平移的性質得到，則頂點E的坐標為，利用兩點之間的距離公式求得，，，分或或三種情況討論，列出方程，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵經過點的拋物線，且對稱軸為直線，
∴，
解得，
∴拋物線的函數表達式為，
，
∴頂點D的坐標為；
（2）解：由題意將向左平移個單位長度后得到拋物線，
∴，
∴的頂點E的坐標為，
對于，令，則，
∴與y軸交于點C的坐標為，
即，，其中，
∴，
，
，
當時，則，
解得（舍去）或，此時，，符合題意；
當時，則，
此時，，符合題意；
當時，
則，解得，此時，，符合題意；
綜上，m的值為或5或．
3.如圖，拋物線經過，兩點，與軸交點為，連接．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在第四象限拋物線上，連接，，求點的坐標；
(3)點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，，同時出發，運動時間為秒，，連接，，當為等腰三角形時，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)點的坐標是
(3)秒或秒或秒或秒
【分析】（1）分別將點，的坐標代入拋物線得到關于，的二元一次方程，求解即可；
（2）作的平分線交軸于，過作軸交于，求出，直線解析式為，設，由平分，可得，，故，即可求出，直線解析式為，根據，有，確定直線解析式為，最后聯立，求解即可；
（3）過作軸于，由，可得，，故，，，分三種情況：①當時，；②當時，
；③當時，，分別解方程可得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過，兩點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，作的平分線交軸于，過作軸交于，
∵拋物線與軸交點為，
當時，得，
∴，
設直線解析式為，過點，，
∴，
解得：，
∴直線解析式為，
設，則，
∵平分，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（此時在軸左側，不符合題意，舍去），
∴，
設直線解析式為，過點，，
∴，
解得：，
∴直線解析式為 ，
∵，
∴，
設直線解析式為，過點，
∴，
解得：，
∴直線解析式為，
聯立，
解得：或，
∴；
（3）如圖，過作軸于，
∵，，
∴，，
∴，
根據題意得：，
∴，
∵軸，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
①當時，，
解得：；
②當時，，
解得：（舍去）或；
③當時，，
解得：或；
綜上所述，的值為秒或秒或秒或秒．
【總結】本題是二次函數的綜合應用，考查了待定系數法確定函數解析式，平行線的判定和性質，等腰三角形判定與性質，勾股定理，兩點間的距離，相似三角形判定與性質等知識點，解題的關鍵是分類討論思想的應用．
4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值為，
(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設， 可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當時，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，

∵拋物線的對稱軸為直線，
設，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經過，
直線解析式為，
當時，，
；
綜上所述：存在，的坐標為或．
【總結】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數解析式是解題的關鍵．
5.如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．
(1)求拋物線的表達式．
(2)點是拋物線上位于線段下方的一個動點，連接，，求面積最大時點的坐標；
(3)在拋物線上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的表達式為
(2)點的坐標為
(3)存在，滿足條件的點的坐標為或或或
【分析】（1）利用拋物線的交點式直接代值求解即可得到答案；
（2）過點作軸的垂線，交于，如圖所示，由二次函數圖象與性質，利用平面直角坐標系中三角形的面積求法得到 ，進而由二次函數最值的求法即可得到答案；
（3）當為直角三角形時，分三種情況：①；②；③；如圖所示，根據分類，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，
設拋物線的交點式為，即拋物線的表達式為；
（2）解：過點作軸的垂線，交于，如圖所示：
由（1）知拋物線的表達式為，
拋物線與軸交于點，
設直線，將、代入得，解得，
直線，
點是拋物線上位于線段下方的一個動點，
設，則，
，
，
拋物線開口向下，當時，有最大值，此時點的坐標為；
（3）解：存在，
當為直角三角形時，分三種情況：①；②；③；如圖所示：
設，
、
，
當時，即拋物線上的點（在第一象限，），由勾股定理可得，則，即，解得（舍去）或，
；
當時，即拋物線上的點（在第三象限，），由勾股定理可得，則，即，解得（舍去）或，
；
當時，即拋物線上的點，由勾股定理可得，則，即，解得（與重合，舍去）或（與重合，舍去）或或，
、；
綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或或．
【總結】本題考查二次函數綜合，涉及待定系數法確定函數解析式、二次函數圖象與性質、平面直角坐標系中求三角形面積、二次函數最值、二次函數與直角三角形綜合、兩點之間距離公式、解一元二次方程等知識，熟練掌握二次函數圖象與性質、二次函數綜合問題的解法是解決問題的關鍵．
6．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據的面積，可得的面積 ，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側時，即時，當點在對稱軸右側時，即時，分別進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當時，，即，
設的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，
∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當點在對稱軸左側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【總結】本題二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求函數解析式，二次函數的性質及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．
7.在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點（點在點左側），與y軸交于點，連接．
(1)如圖1，求的值及直線的解析式；
(2)如圖2，點為直線上方拋物線上一動點，連接，設直線交線段于點．當時，求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，且點的橫坐標小于2，在坐標軸上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)，直線的解析式為
(2)點坐標為或
(3)存在，理由見解析
【分析】（1）由待定系數法求解即可得到答案；
（2）證明，得到，即可求解；
（3）當點在軸時，以、、為頂點的三角形與相似，存在、兩種情況，利用解直角三角形的方法即可求解；當點在軸上時，同理可解．
【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，
把代入得，即拋物線的解析式為；
拋物線與軸交于點（點在點左側），，
當時，，解得或
，
直線過、，
設直線 ，
將、代入得：，解得：，
直線的解析式為；
（2）解：分別過點、點作軸的平行線，交直線于點和點，如圖所示：
設點，，則，
當時，，
，，
，
，
，
，則，
，解得，，
點坐標為或；
（3）解：存在，
理由如下：
由題意得，點；由點、、的坐標得，，，
∴
則，則，，，
當點在軸時，如圖所示：
以、、為頂點的三角形與相似，
當時，則，得，則點；
當時，此時，點、重合且符合題意，故點；
當點在軸上時，只有，則，則點，
綜上，點的坐標為或或．
【總結】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及待定系數法確定函數解析式、二次函數圖象與性質、三角形相似的判定與性質、解直角三角形、面積的計算等知識，熟練掌握二次函數圖象與性質、二次函數綜合題型解法，尤其注意分類求解是解題的關鍵．
8.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線經過A、B兩點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)點D是拋物線在第二象限內的點，過點D作x軸的平行線與直線交于點C，求的長的最大值；
(3)點Q是線段上的動點，點P是拋物線在第一象限內的動點，連結交y軸于點N．是否存在點P，使與相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)當時，的長的最大值為4
(3)點P的坐標為或
【分析】（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）設，則，進而表示出CD的長；接下來用含m的二次函數表示S，根據二次函數的性質，即可解答；
（3）分兩種情況：①當△時，②當時，分別求解即可．
【詳解】（1）直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
，，
拋物線經過A、B兩點．
，
解得，
；
（2）設，
作x軸，與直線交于點C，
，解得，
，
當時，的長的最大值為4；
（3）設，
，，
，
分兩種情況：
①當時，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
或3（舍去），
，
，，
設直線的解析式為，
解得，
直線PQ的解析式為，
聯立解得或（不合題意，舍去）
點P的坐標為；
②當時，過點Q作于H，
，
，，
，
，
，
∴，
∴，
設，則，，
，解得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
同理得直線的解析式為，
聯立解得或（不合題意，舍去）
點P的坐標為；
綜上，點P的坐標為或．
【總結】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，勾股定理，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定等等，解題的關鍵是利用方程的思想和函數的思想方法解決問題，利用相似三角形的判定得出關于m的方程是解題關鍵，解（3）的關鍵是分和兩種情況討論求解．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題 二次函數中三角形存在性問題
解題方法：
幾何法：1）“兩圓一線”作出點；
2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長；
3)分類討論，求出點P的坐標.
代數法：1）表示出三個點坐標A、B、P；
2）由點坐標表示出三條線段：AB、AP、BP；
3）根據題意要求（看題目有沒有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
1.已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
(1)求A、B、C三點的坐標；
(2)點D是直線上方拋物線上的點，連接、，求的最大值；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
2.綜合與實踐：如圖，拋物線y與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C．點D從點A出發以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點E同時從點B出發以相同的速度向點C運動，設運動的時間為t秒．
(1)求點A，B，C的坐標；
(2)求t為何值時，△BDE是等腰三角形；
(3)在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
3.如圖，直線與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度秒，設運動時間為t秒．以點A為頂點的拋物線經過點E，過點E作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為點G，與相交于點F．
(1)求點A、點B的坐標；
(2)用含t的代數式分別表示和的長；
(3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
4.（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；
(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
5.（2024·內蒙古包頭·模擬預測）拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點為線段下方拋物線上一動點，連接，．

(1)求拋物線解析式；
(2)在點移動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)設點為上不與端點重合的一動點，過點作線段的垂線，交拋物線于點，若與相似，請直接寫出點的坐標．
6.（2022·山東東營·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的表達式；
(2)在對稱軸上找一點Q，使的周長最小，求點Q的坐標；
(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側拋物線上的一點，當是以為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標．
7.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式及點的坐標；
(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．
①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；
②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
1.如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當點在第二象限內，且的面積為3時，求點的坐標；
(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
2.如圖，在平面直角坐標系中，經過點的拋物線（為常數，且）與x軸交于兩點，與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的函數表達式和點D的坐標；
(2)將拋物線向左平移個單位長度后得到拋物線，拋物線的頂點為E，連接，請問在平移過程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
3.如圖，拋物線經過，兩點，與軸交點為，連接．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在第四象限拋物線上，連接，，求點的坐標；
(3)點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿方向運動，，同時出發，運動時間為秒，，連接，，當為等腰三角形時，直接寫出的值．
4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
5.如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．
(1)求拋物線的表達式．
(2)點是拋物線上位于線段下方的一個動點，連接，，求面積最大時點的坐標；
(3)在拋物線上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．
6．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
7.在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點（點在點左側），與y軸交于點，連接．
(1)如圖1，求的值及直線的解析式；
(2)如圖2，點為直線上方拋物線上一動點，連接，設直線交線段于點．當時，求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，且點的橫坐標小于2，在坐標軸上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
8.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線經過A、B兩點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)點D是拋物線在第二象限內的點，過點D作x軸的平行線與直線交于點C，求的長的最大值；
(3)點Q是線段上的動點，點P是拋物線在第一象限內的動點，連結交y軸于點N．是否存在點P，使與相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑