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二次函數中特殊平行四邊形存在性問題
類型一三定一動
類型二：兩定一動
【總結】平行四邊形存在性問題經常呈現為:一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸(y軸)或對稱軸或某一定直線上.設出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0，則用平行四邊形頂點縱坐標公式;若在y軸上，坐標為0，則用平行四邊形頂點橫坐標公式.動點哪個坐標已知就用與該坐標有關的公式.
另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉化為三定一動了，分別以三個定點構成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論.這種題型，關鍵是合理有序分類:無論是三定一動，還是兩定兩動，統統把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉化為方程(組).這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質是用代數的方法解決幾何問題，體現的是分類討論思想、數形結合思想.
1.如圖，拋物線與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)若D為拋物線的頂點，求的面積；
(3)若P是平面直角坐標系內一點，是否存在以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)；
(3)點P的坐標為或或．
【分析】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）先根據拋物線的解析式求得頂點坐標，設直線的解析式為，待定系數法求出解析式，得到，根據的面積為求解即可；
（3）根據題意分三種情況討論，①當，時，②當，時，③當，時，作于點，結合平行四邊形的性質即可求解．
【詳解】（1）解：由題知，拋物線過點，，
，解得，
該拋物線的解析式為；
（2）解： ，D為拋物線的頂點，
，
設直線的解析式為，
拋物線與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側），
又拋物線對稱軸為，
，
將代入中，有，解得，
直線的解析式為，
作軸，交于點，連接，，

有，
，
的面積為：；
（3）解：存在，

①當，時，
，
的坐標為；
②當，時，
，
的坐標為；
③當，時，作于點，
有，，
，
，，
，
的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或或．
【總結】本題考查了二次函數的綜合應用，待定系數法求一次函數、二次函數解析式，平行四邊形的性質，全等三角形性質和判定，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質并靈活運用．
2.在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；
(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點為頂點、以點為頂點、當以點為頂點，計算即可；
（3）拋物線的對稱軸為直線，設，，求出，，，分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線．
【詳解】（1）解：（1）∵，兩點在拋物線上，
∴
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令，
∴，
由為等腰三角形，如圖甲，

當以點為頂點時，，點與原點重合，
∴；
當以點為頂點時，，是等腰中線，
∴，
∴；
當以點為頂點時，
∴點D的縱坐標為或，
∴綜上所述，點D的坐標為或或或．
（3）存在，理由如下：
拋物線的對稱軸為：直線，
設，，
∵，
則，
，
，
∵以為頂點的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線，
當以為對角線時，則，如圖1，

∴，
解得：，
∴或
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
當時，
∴，
解得：，
∴
當時，
∴，
解得：，
∴
以為對角線時，則，如圖2，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點重合，
∴，
解得：，
∴；
當以為對角線時，則，如圖3，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
∴，
解得：
∴，
綜上所述，符合條件的點P、Q的坐標為： ，或，或，或或
【總結】本題是二次函數綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質、坐標與圖形的性質、分類討論等知識，熟練掌握菱形的性質和坐標與圖形的性質是解題的關鍵．
3.如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
(4)如圖2，點D是拋物線的頂點，過點D作直線軸，交x軸于點H，當點P在第二象限時，作直線，分別與直線交于點G和點I，求證：點D是線段的中點．
【答案】(1)
(2)9
(3)在平面直角坐標系內存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或
(4)證明過程見解析
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）連接，過點P作于點E，利用點的坐標表示出線段、、、、的長度，再根據，進行計算即可；
（3）當為矩形的邊時，畫出符合題意的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，利用等腰直角三角形的判定與性質及矩形的判定與性質得到，利用待定系數法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯立方程組求得點P的坐標，則，進而得到、的長度，即可得出結果；當為對角線時，畫出相應的圖形，求出結果即可；
（4）利用配方法求得拋物線的頂點坐標、對稱軸，再利用待定系數法求得直線、的解析式，進而求得點I、G的坐標，利用點的坐標表示出線段、的長度，即可得出結論．
【詳解】（1）解：由題意可得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：連接，過點P作于點E，如圖，
∵點P的坐標為，
∴，，
令，則，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐標系內存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，理由如下：
如圖，當為邊時，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，
∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴和為等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴和為全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯立方程組得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當為對角線時，四邊形為矩形，過點Q作軸于點D，軸于點E，
則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設點P的坐標為：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此時點Q的坐標為：．
綜上所述，在平面直角坐標系內存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或；
（4）證明：∵，
∴拋物線的頂點D的坐標為，對稱軸為直線，
設，直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴，
∴，
∴，
∴點D是線段的中點．
【總結】本題考查二次函數的圖象與性質、用待定系數法求函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的判定與性質、矩形的判定與性質，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
4.如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，點是拋物線上一個動點．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)當動點在直線上方時，在平面直角坐標系內是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點的坐標為或
【分析】（1）把，代入中求解，得出拋物線的函數表達式即可；
（2）連接、、、，過點作于點，利用點的坐標得出出線段、、、、的長度，再根據，進行計算即可；
（3）當為矩形的邊時，四邊形為矩形，交軸于點，交軸于點，連接，過點作軸于點，過點作軸于點，利用等腰直角三角形的判定與性質及矩形的判定與性質得到，利用待定系數法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯立方程組求得點的坐標，則，進而得到、的長度，即可得出點的坐標；當為對角線時，四邊形為矩形，過點作軸于點，軸于點，證明，得出，設，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，則或，求解并取舍，求出、，即可得出點的坐標．
【詳解】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴該拋物線的函數表達式為；
（2）解：如圖，連接、、、，過點作于點，

∵點的坐標為，
∴，，
∵時，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
；
（3）解：存在，
如圖，當為邊時，四邊形為矩形，交軸于點，交軸于點，連接，過點作軸于點，過點作軸于點，

∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴和為等腰直角三角形，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴和為全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯立方程組得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當為對角線時，四邊形為矩形，過點作軸于點，軸于點，

則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設，，
∵，，動點在直線上方，
∴，，或，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
，
分解因式得：，
∴或，
解得：（舍去），（舍去），，
∴，，
∴此時點的坐標為．
綜上所述，在平面直角坐標系內存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是矩形，點的坐標為或．
【總結】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、求函數解析式、一次函數的性質、等腰直角三角形的判定與性質、矩形和正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握知識點、分類討論、數形結合是解題的關鍵．
5.綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖2中，對稱軸直線與軸交于點H，連接，求四邊形的面積；
(3)點是直線上一點，點是平面內一點，是否存在以BC為邊，以點B，C，F，G為頂點的菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）因為拋物線經過點，兩點，所以由待定系數法即可求解；
（2）先待定系數法求出直線的表達式為：，再由四邊形的面積，即可求解；
（3）分兩種情況：①當為邊，為對角線時；②當為邊，為對角線時，根據菱形的性質即可求解．
【詳解】（1）拋物線經過點，兩點，
，
解得：，
拋物線的解析式為：．
（2）解：由拋物線的表達式知，點，其對稱軸為直線，點，
連接交直線于點，
設直線的表達式為
把，代入
得
解得
直線的表達式為：，
當時，，
即點，
則，
則四邊形的面積
；
（3）解：由（2）得拋物線的對稱軸為直線，
設點F的坐標為，
①當為邊，為對角線時，，
，
，
解得，
點F的坐標為或；
②當為邊，為對角線時，，
，
，
解得，
點F的坐標為或，
綜上所述，點F的坐標為或或或．
【總結】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、二次函數與坐標軸的交點、面積的計算，菱形的性質，勾股定理等知識點，數形結合、熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
6.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；
(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，菱形的性質，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）分和，兩種情況，結合二次函數的增減性進行求解即可．
（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱，
∴，解得：，
∴；
（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數值越小，
∵時，，
①當時，則：當時，函數有最大值，即：，
解得：或，均不符合題意，舍去；
②當時，則：當時，函數有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
當時，解得：，當時，，
∴，，
設直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
設，則：，
∴，，，
當B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：
①當為邊時，則：，即，
解得：（舍去）或，
此時菱形的邊長為；
②當為對角線時，則：，即：，
解得：或（舍去）
此時菱形的邊長為：；
綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2．
7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（為常數，且）與軸交于點和點，與軸交于點，且．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)連接，點是拋物線的對稱軸上的動點，點是平面內的點，是否存在以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的函數表達式為；
(2)的坐標為)或 或．
【分析】（）利用待定系數法即可求解；
（）由（）得，則拋物線的對稱軸為直線，設，則，，，然后分當為菱形的邊時，則或，當為菱形的對角線時，，兩種情況即可；
本題主要考查了二次函數、菱形的性質和勾股定理，掌握相關知識、正確求出二次函數表達式并靈活應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）當時，，
∴點，則，
∴，
∴點，
∵拋物線過點和點，
∴，解得：，
∴拋物線的函數表達式為；
（2）由（）得
∴拋物線的對稱軸為直線，
設，
∴，，，如圖，
當為菱形的邊時，則或，
∴或，即或（無解），
解得，
∴點的坐標為)或 ；
當為菱形的對角線時，則，
∴，即，
解得，
∴點的坐標為，
綜上可得：存在以點為頂點的四邊形是菱形，點的坐標為)或 或．
8.如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．
(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，
(3)當時，的最大值為
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點在拋物線上，且橫坐標為得出，進而可得，則 ，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）滿足條件的、兩點存在，，，
解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，
過點作軸于點，過點作于點

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
當時，，此時點在點右側故舍去；
當時，.
綜上所述：，，
（3）∵向右平移8個單位長度得到拋物線
當，即
解得：
∴，
∵過，，三點
∴
在直線下方的拋物線上任取一點，作軸交于點，過點作軸于點

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵點在拋物線上，且橫坐標為
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴當時，的最大值為．
【總結】本題考查了二次函數綜合運用，正方形的性質，二次函數的性質，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
1.．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，其中，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，平面內是否存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，若點P是線段BC（不與端點重合）上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM．
①如圖3，將△PCM沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在y軸上，求證：四邊形PCNM為菱形；
②當△PCM和△ABC相似時，求點P的坐標．
【答案】(1)；
(2)平面內存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點D的坐標為或或
(3)①見解析；②點P的坐標為或
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先求得，，，點D的坐標為，分當、、為對角線，三種情況討論，利用中點坐標公式求解即可；
（3）①只要利用等邊對等角證明，即可得到四邊形為菱形；
②先求得直線解析式，設，則，求得，，分和，兩種情況討論，利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】（1）解：把代入得，
∴，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：平面內存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點D的坐標為或或．
在中，
令，得：，
解得：，，
∴，，
令得，
∴，
存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設點D的坐標為，
如圖，分情況討論：
①當為對角線時，，，
解得：，，
∴；
②當為對角線時，，，
解得：，，
∴；
③當為對角線時，，，
解得：，，
∴；
綜上所述，平面內存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點D的坐標為或或；
（3）解：①證明：∵沿對折，P的對應為點N，
∴，，，
∵垂直于x軸在y軸上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形；
②設直線解析式為，
∵，，
∴，
解得：，
∴直線解析式為：，
設，則，
∴，
∵，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
要使和相似，共有兩種可能：
1）當，
∴，即，
解得：，（不合，舍去）；
∴；
2）當，
∴，
即，
解得：，（不合，舍去），
∴；
綜上所述，點P的坐標為或；
【總結】本題是二次函數的綜合題，考查了折疊的性質，二次函數的圖象及性質，待定系數法，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定，折疊的性質，數形結合思想是解題的關鍵．
2．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與y軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；
（3）分，，分別為對角線，三種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過兩點，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
設直線，
則：，解得：，
∴，
當時，，
∴；
作點關于軸的對稱點，連接，
則：，，
∴當三點共線時，有最小值為的長，

∵，，
∴，
即：的最小值為：；
（3）解：存在；
∵，
∴對稱軸為直線，
設，，
當以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：
①為對角線時：，

∴，
當時，，
∴，
∴；
②當為對角線時：，

∴，
當時，，
∴，
∴；
③當為對角線時：，

∴，
當時，，
∴，
∴；
綜上：當以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，或或．
【總結】本題考查二次函數的綜合應用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數解析式，熟練掌握二次函數的性質，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
3.已知二次函數圖象頂點為，直線與該二次函數交于A，B兩點，其中A點，B點在y軸上．
(1)求此二次函數的解析式；
(2)P為線段上一動點（不與A，B重合），過點P作y軸的平行線與二次函數交于點E．設線段長為h，點P橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式；
(3)D為線段與二次函數對稱軸的交點，在上是否存在一點P，使四邊形為平行四邊形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，P點坐標為
【分析】此題考查了用待定系數法求函數解析式以及函數圖象上點的坐標特征，二次函數與平行四邊形的綜合問題，結合圖形有利于解答．
（1）將點A代入直線解析式求出m的值，將二次函數設出頂點式，然后求出函數解析式；
（2）分別得出點P和點E的縱坐標，然后將兩點的縱坐標做差得出h與x的函數關系式；
（3）根據平行四邊形性質可得：，根據點D在直線上得出點D的坐標，從而得出方程求出x的值，得出點P的坐標．
【詳解】（1）解：把代入
得，
∴，
，
∴，
設二次函數解析式為，
把A，B，C三點坐標代入得
解得
∴；
（2）解：∵P點在直線的圖象上，
∴P點坐標為，
∵E點在拋物線的圖象上，
∴E點坐標為，
∴；
（3）解：存在．
，
二次函數關于直線對稱，
，
D點坐標為，則，
當時，，四邊形為平行四邊形，
即
解得，
當時，與重合，
當時，代入，
∴ P點坐標為．
4.如圖，在平面直角坐標系中，經過點的直線AB與y軸交于點．經過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．
(1)求拋物線的表達式；
(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當軸且時，求點M的坐標；
(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
(2)求出直線AB的表達式為，設，，分當M在N點上方時，．和當M在N點下方時，，即可求出M的坐標；
（3）畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對角線，進行討論，利用勾股定理、相似三角形的判定與性質、函數圖像的交點、平移等知識點進行解答即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，
∴，解得，
∴拋物線的表達式為．
（2）設直線AB的解析式為：，
∵直線AB經過，，
∴，
∴，
∴直線AB的表達式為．
∵軸，可設，，其中．
當M在N點上方時，．
解得，（舍去）．
∴．
當M在N點下方時， ．
解得，．
∴，．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標有三個，，．
（3）存在．滿足條件的點Q的坐標有4個．，，，．
理由如下：
①如圖，若AC是四邊形的邊．
當時，
∴拋物線的對稱軸與直線AB相交于點．
過點C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴點與點D重合．
當時，四邊形是矩形．
∵向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．
∴向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．
此時直線的解析式為．
∵直線與平行且過點，
∴直線的解析式為．
∵點是直線與拋物線的交點，
∴．
解得，（舍去）．
∴．當時，四邊形是矩形．
∵向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．
∴向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．
②如圖，若AC是四邊形的對角線，
當時．過點作軸，垂足為H，過點C作，垂足為K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵點P不與點A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如圖，滿足條件的點P有兩個．即，．
當時，四邊形是矩形．
∵向左平移個單位，向下平移個單位得到．
∴向左平移個單位，向下平移個單位得到．
當時，四邊形是矩形．
∵向右平移個單位，向上平移個單位得到．
∴向右平移個單位，向上平移個單位得到．
綜上，滿足條件的點Q的坐標為或或或．
【總結】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，本題主要涉及了待定系數法求函數的解析式、勾股定理，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，點的平移等知識，根據題意畫出符合條件的圖形、進行分類討論是解題的關鍵．
5．（2024·青海西寧·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸于點D，過點D作交y軸于點E．
(1)求點A，B，C的坐標；
(2)點P為拋物線上第四象限的一個動點，過點P作軸于點F，當時，求的長；
(3)在（2）的條件下，若點Q是x軸上一點，使以P，E，Q，G為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】（1）當時，，從而得點C的坐標；當時，，解得或，從而確定點A、B的坐標；
（2）設，由構造方程，求得，從而求得點P的坐標，再利用一次函數的性質求的點E，最后利用勾股定理求解即可；
（3）分是矩形的邊和是對角線兩種情況，利用矩形的性質、一次函數的圖象及性質及平移的性質求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴當時，，
∴點C坐標為，
當時，，解得或，
∴；
（2）解：設，
∵軸，，
∴，，
∵，
∴，解得或（不合題意，舍去），
當時，，
∴，
設直線：，把代入可得：
，解得：，
∴直線：，
∵，
∴設：，
∵，
∴拋物線對稱軸為，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在一點G，使以P，E，Q．點G的坐標為或
（i）當是矩形的邊時，有兩種情形：
①如解圖①，四邊形是矩形時，
由（2）可知，代入，解得：，
∴直線的表達式為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，，
∴點E向右平移，向上平移1個單位得到點Q，
∴將點P向右平移，向上平移1個單位得到點G，
∴，即 ；
②如解圖②，四邊形是矩形時，
∵直線的表達式為，
∴，
∴，
∵
∴,
∵四邊形是矩形
∴
∴,
∵,
∴，
∵,
∴，
∴,即，解得：，
∴,
∵，
∴,解得：，
∴
∴．
∵，
∴點P向右平移6，向上平移4個單位得到點Q，
∴將點E向右平移6個單位，向上平移4個單位得到G，
∴，即．
（ii）當是對角線時，設
∵,
∴,
∴，
∵Q是直角頂點，
∴，即，整理得：，
∵，
∴該方程無解，
綜上所述，滿足條件的點G坐標為或．
【總結】本題主要考查了二次函數的性質、待定系數法求一次函數及一次函數的性質、勾股定理、平移的性質等知識點，熟練掌握矩形的性質及待定系數法求一次函數是解題的關鍵．
6．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數表達式及頂點M的坐標；
(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；
(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在點F，當或或或時，以點A，D，E，F為頂點的四邊形為菱形．
【分析】（1）根據對稱軸和過點列二元一次方程組求解即可；
（2）如圖：過點M作交于D，設點 ，則；然后表示出，再根據是等邊三角形可得,，根據三角函數解直角三角形可得，進而求得即可解答；
（3）如圖可知：線段為菱形的邊和對角線，然后通過作圖、結合菱形的性質和中點坐標公式即可解答．
【詳解】（1）解：由題意可得：
，解得：，
所以拋物線的函數表達式為；
當時，，則頂點M的坐標為．
（2）解：如圖：過點M作交于D
設點 ，則,
∴，
∵是等邊三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴該三角形的邊長．
（3）解：存在點F，使以點A，D，E，F為頂點的四邊形為菱形
①如圖：線段作為菱形的邊，
當為菱形的對角線時，作關于直線的對稱線段交于E，連接,作點E關于的對稱點F，即為菱形，由對稱性可得F的坐標為，故存在點F，使以點A，D，E，F為頂點的四邊形為菱形，此時．
當為菱形對角線時，，
設，，
則，解得：或，
∴或
②線段作為菱形的對角線時，
如圖：設
∵菱形,
∴,的中點G的坐標為，點G是的中點，
∴，解得，
∴，
設，
則有：，解得：，
∴．

綜上，當或或或時，以點A，D，E，F為頂點的四邊形為菱形．
【總結】本題主要考查了求二次函數解析式、二次函數與幾何的綜合、等邊三角形的性質、解直角三角形、菱形的判定等知識點，掌握數形結合思想是解答本題的關鍵．
7.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，點P在線段上，過點P作軸，交拋物線于點D，交直線于點E．
(1) ， ；
(2)在點P運動過程中，若是直角三角形，求點P的坐標；
(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）把代入，運用待定系數法解二次函數的解析式，即可作答．
（2）因為，先排除一種情況，再進行分類討論，即和，分別列式計算，即可作答．
（3）根據菱形性質，結合圖象性質，進行分類討論，即四邊形為菱形或四邊形為菱形，運用中點法列式，以及勾股定理，代入數值，進行計算，即可作答．
【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象交x軸于兩點，
∴把代入
得
解得
∴
故答案為：；
（2）解：∵軸
∴
∴
∵是直角三角形
∴當時，
∴
∴
∵對稱軸
∴
此時點P的坐標為
∴當時，
設的解析式為
∴把代入
∴得
解得
∴
設點
則
∵
∴
∴
∵
∴
則
即
解得（此時點E和點C重合，故舍去）
∴點
綜上或
（3）解：存在，或
如圖：依題意，當四邊形為菱形時，由（2）知的解析式為
設點，
∵四邊形為菱形
∴
即
則
由（2）知，此時
∴
∴
即如下圖所示：
如圖：依題意，當四邊形為菱形時
∵點，
∴
即
∵
∴
∴解得，（舍去）
∴
∴
綜上或
【總結】本題考查了二次函數的幾何綜合，菱形性質，待定系數法解函數解析式，勾股定理，解直角三角形的相關性質，熟練運用分類討論思想以及數形結合思想是解題的關鍵．
8.如圖，二次函數圖象頂點坐標為，一次函數圖象與二次函數圖象相交于y軸上一點，同時相交于x正半軸上點C．
(1)試求二次函數與一次函數的表達式．
(2)連接，試求四邊形的面積．
(3)假設點P 是二次函數對稱軸上一動點，點Q 是平面直角坐標系中任意一點，是否存在這樣的點P 及點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）先設頂點式，再把代入計算，即可得出，再求出，結合，運用待定系數法解一次函數解析式，即可作答．
（2）先作圖，過點A作平行于x軸的直線交y軸于一點，再過點C作平行于y軸的直線交于一點M，再運用割補法進行列式四邊形的面積，然后代入數值進行計算，即可作答．
（3）結合菱形的判定（運用對角線互相平分，得出是平行四邊形，再結合一組鄰邊相等的平行四邊形），要進行分類討論，過程緊扣中點公式列式計算，即可作答．
本題考查了菱形的判定與性質，二次函數的圖象性質，待定系數法求出函數解析式，割補法求面積，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵頂點坐標為，
∴設二次函數為，
再把代入，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當，
∴，
結合圖象，得出，
把，分別代入，
得，
∴，
則；
（2）解：依題意，過點A作平行于x軸的直線交y軸于一點，再過點C作平行于y軸的直線交于一點M，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，，
∴，
∵，
∴
結合圖象，
四邊形的面積
；
（3）解：或或或或
過程如下：
依題意，設，
當為對角線時，
∵，，且以B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形，
則菱形四邊相等，即，
∴，
解得，
則該菱形的對角線的中點為，
∴，
∴，，
∴，
當為邊時，
∵，，且以B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形，
則菱形四邊相等，即，
∴，
解得，
則當時， ，
∴此時該菱形的對角線的中點為，
∴，
∴，，
∴，
則當時， ，
∴此時該菱形的對角線的中點為，
∴，
∴，，
∴，
當為邊時，
∵，，且以B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形，
則菱形四邊相等，即，
∴，
解得，
則當時， ，
∴此時該菱形的對角線的中點為，
∴，
∴，，
∴，
則當時， ，
∴此時該菱形的對角線的中點為，
∴，
∴，，
∴，
綜上：或或或或．
9.如圖，拋物線 與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接．
(1)求出直線，的函數表達式．
(2)點P是直線下方拋物線上的一個動點，過點P作的平行線l，交線段于點D．在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)直線的函數表達式為，直線的函數表達式為
(2)存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為或；
【分析】本題考查了二次函數圖形的性質、一次函數圖形的性質、菱形的性質，熟練掌握菱形的性質和待定系數法是解題的關鍵．
（1）分別令即可求出三點的坐標；根據三點的坐標求直線的函數表達式即可；
（2）根據直線的表達式設點，然后分為四邊形是菱形和四邊形是菱形兩種情況分別討論即可．
【詳解】（1）解：當時 ，
故點
當時，有
解得：
設直線的表達式為：；
將代入得： ，
解得：
故直線的表達式為： ；
同理可得：直線的表達式為：；
（2）解：①存在：設點D的坐標為，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴當時，以點D，C，B，E為頂點的四邊形為平行四邊形，
分兩種情況：
如圖，當時，四邊形為菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴點D的坐標為，
∵點D向左移動2各單位長度，向下移動6個單位長度得到點E，
∴點E的坐標為；
如圖，當時，四邊形為菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴點D的坐標為，
∵點D向右移動2個單位長度，向上移動6個單位長度得到點E，
∴點E的坐標為；
綜上，存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為或；
10.已知二次函數的圖象經過點和點．
(1)求這個二次函數的表達式；
(2)若點，都在該二次函數的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；
(3)點在直線上，點在該二次函數圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)時，；時，；時，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）將點A和點B的坐標代入，求出a和c的值，即可得出這個二次函數的表達式；
（2）根據題意得出，，再用作差法得出，進行分類討論即可；
（3）求出直線的函數解析式為，然后進行分類討論：當為正方形的邊時；當為正方對角線時，結合正方形的性質和三角形全等的判定和性質，即可解答．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴這個二次函數的表達式為；
（2）解：∵，都在該二次函數的圖象上，
∴，，
∴，
當時，即時，；
當時，即時，；
當時，即時，；
（3）解：設直線的函數解析式為，
把，代入得：，
解得：，
∴直線的函數解析式為，
當為正方形的邊時，
①∵，
∴，
過點M作y軸的垂線，垂足為點G，過點P作的垂線，垂足為點H，
∵軸，
∴，
∴，則，
設，則，
∴，
∴點N的縱坐標為，
即，
∵以，，，為頂點的四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如圖：構造，
和①同理可得：，，
設，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如圖：構造，
和①同理可得：，，
設，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如圖：構造，
和①同理可得：，，
設，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
當為正方形對角線時，
⑤如圖：構造矩形，過點P作于點K，
易得，
∴，
設，則，
和①同理可得：，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，
∴，則，
∴，
設，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如圖：構造，
同理可得：，
設，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
綜上：或或或或或
．
【總結】本題考查了二次函數綜合，解直角三角形，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關性質定理，正確作出輔助線，構造全等三角形解答．
11.如圖，拋物線與x軸交于、兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)點N在坐標平面內，請問在拋物線上是否存在點M，過點M作x軸的垂線交x軸于點H，使得四邊形是正方形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在的坐標為或時，使得四邊形是正方形
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象及性質、二次函數綜合問題．
（1）利用將、代入，利用待定系數法即可求解；
（2）由題意，設，四邊形是正方形，可知，得則，分兩種情況：當時，當時，分別求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，將、代入，
得：，解得：，
∴拋物線的函數表達式為；
（2）存在的坐標為或時，使得四邊形是正方形，理由如下：
由題意，設，
∵，四邊形是正方形，軸，則，
∴，
則，
即：，
當時，
解得：，（舍去），
則，即；
當時，
解得：，（舍去），
則，即；
綜上，存在的坐標為或時，使得四邊形是正方形．
12.如圖，已知拋物線 與軸交于點，與軸交于，兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點是第二象限拋物線上的動點，軸，交直線于點，點在軸上，點在坐標平面內，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在點，點的坐標為或
【分析】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，正方形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象及性質，正方形的性質，學會用分類討論的思想思考問題．
（1）將、兩點坐標代入到中，利用待定系數法求函數解析式．
（2）由題意和可得點坐標，與點坐標代入一次函數，中解出解析式，從而得出點坐標，再分兩種情況：①當為正方形的一條邊時，②當為正方形的對角線時，根據正方形的性質，即可求解．
【詳解】（1）將，代入 中，
得，
解得：
拋物線的函數表達式為．
（2）由題意和可得，
，
可設直線的函數表達式為：，
將代入得：，
，
直線的函數表達式為.
設（），分兩種情況：
①當為邊時，如圖1，四邊形是正方形（點、可互換位置）.
則，
故的縱坐標與的縱坐標相等為，
將代入中，可得的橫坐標為，
則點E的坐標為，
，即，
解得（，要舍）或，
點的坐標為．
②當為對角線時，如圖2，連接，過點作軸于點H，
，，
易得，
則，
則的縱坐標為，
點的坐標為．
點在直線上，
，
解得或2（，要舍），
點的坐標為．
綜上可得：存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形，點的坐標為或．
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二次函數中特殊平行四邊形存在性問題
類型一三定一動
類型二：兩定一動
【總結】平行四邊形存在性問題經常呈現為:一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸(y軸)或對稱軸或某一定直線上.設出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0，則用平行四邊形頂點縱坐標公式;若在y軸上，坐標為0，則用平行四邊形頂點橫坐標公式.動點哪個坐標已知就用與該坐標有關的公式.
另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉化為三定一動了，分別以三個定點構成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論.這種題型，關鍵是合理有序分類:無論是三定一動，還是兩定兩動，統統把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉化為方程(組).這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質是用代數的方法解決幾何問題，體現的是分類討論思想、數形結合思想.
1.如圖，拋物線與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)若D為拋物線的頂點，求的面積；
(3)若P是平面直角坐標系內一點，是否存在以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
2.在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；
(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．
3.如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
(4)如圖2，點D是拋物線的頂點，過點D作直線軸，交x軸于點H，當點P在第二象限時，作直線，分別與直線交于點G和點I，求證：點D是線段的中點．
4.如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，點是拋物線上一個動點．

(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當點的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)當動點在直線上方時，在平面直角坐標系內是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
5.綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖2中，對稱軸直線與軸交于點H，連接，求四邊形的面積；
(3)點是直線上一點，點是平面內一點，是否存在以BC為邊，以點B，C，F，G為頂點的菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
6.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；
(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．
7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（為常數，且）與軸交于點和點，與軸交于點，且．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)連接，點是拋物線的對稱軸上的動點，點是平面內的點，是否存在以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
8.如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．
(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？
1.．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，其中，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，平面內是否存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，若點P是線段BC（不與端點重合）上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM．
①如圖3，將△PCM沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在y軸上，求證：四邊形PCNM為菱形；
②當△PCM和△ABC相似時，求點P的坐標．
2．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與y軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
3.已知二次函數圖象頂點為，直線與該二次函數交于A，B兩點，其中A點，B點在y軸上．
(1)求此二次函數的解析式；
(2)P為線段上一動點（不與A，B重合），過點P作y軸的平行線與二次函數交于點E．設線段長為h，點P橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式；
(3)D為線段與二次函數對稱軸的交點，在上是否存在一點P，使四邊形為平行四邊形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
4.如圖，在平面直角坐標系中，經過點的直線AB與y軸交于點．經過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．
(1)求拋物線的表達式；
(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當軸且時，求點M的坐標；
(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
5．（2024·青海西寧·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸于點D，過點D作交y軸于點E．
(1)求點A，B，C的坐標；
(2)點P為拋物線上第四象限的一個動點，過點P作軸于點F，當時，求的長；
(3)在（2）的條件下，若點Q是x軸上一點，使以P，E，Q，G為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．
6．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數表達式及頂點M的坐標；
(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；
(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
7.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，點P在線段上，過點P作軸，交拋物線于點D，交直線于點E．
(1) ， ；
(2)在點P運動過程中，若是直角三角形，求點P的坐標；
(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
8.如圖，二次函數圖象頂點坐標為，一次函數圖象與二次函數圖象相交于y軸上一點，同時相交于x正半軸上點C．
(1)試求二次函數與一次函數的表達式．
(2)連接，試求四邊形的面積．
(3)假設點P 是二次函數對稱軸上一動點，點Q 是平面直角坐標系中任意一點，是否存在這樣的點P 及點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
9.如圖，拋物線 與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接．
(1)求出直線，的函數表達式．
(2)點P是直線下方拋物線上的一個動點，過點P作的平行線l，交線段于點D．在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．
10.已知二次函數的圖象經過點和點．
(1)求這個二次函數的表達式；
(2)若點，都在該二次函數的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；
(3)點在直線上，點在該二次函數圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
11.如圖，拋物線與x軸交于、兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)點N在坐標平面內，請問在拋物線上是否存在點M，過點M作x軸的垂線交x軸于點H，使得四邊形是正方形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
12.如圖，已知拋物線 與軸交于點，與軸交于，兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點是第二象限拋物線上的動點，軸，交直線于點，點在軸上，點在坐標平面內，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
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