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專題01 平面向量的概念精講精練
（一）向量的定義
向量是既有大小又有方向的量。用有向線段表示向量時，有向線段的長度就是向量的大小（即模），箭頭所指方向為向量的方向。向量可用字母如、等表示，也可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如 。
（二）零向量
長度為0的向量是零向量，記作。零向量方向任意，它與任意向量平行，在向量運算里，滿足等特殊運算規則。
（三）單位向量
模等于1個單位長度的向量叫單位向量。對于非零向量，同方向的單位向量是 ，單位向量常用來明確向量方向。
（四）相等向量
長度相等且方向相同的向量是相等向量，若和相等，記為 ，相等向量與起點、終點位置無關。
（五）平行向量（共線向量）
方向相同或相反的非零向量是平行向量，也叫共線向量，規定零向量與任意向量平行，向量和平行記作 。
（一）向量概念的理解與判斷
此考點考查對向量、零向量、單位向量、相等向量、平行向量等概念的掌握，常以判斷命題真假的形式出現。
（23 - 24高二上·廣東湛江·開學考試）下列命題正確的個數是（ ）
（1）向量就是有向線段；
（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量的長度為0。
A．1
B．2
C．3
D．4
（多選）（23 - 24高一下·山東青島）設為非零向量，下列有關向量的描述正確的是（ ）
A．是單位向量
B．
C．
D．
（二）向量的表示與模的計算
考查向量不同表示方法，以及依據向量坐標或幾何關系求向量的模。
（23 - 24高二下·江蘇南京·期末檢測）已知點，，則向量的坐標為（ ）
A．
B．
C．
D．
（23 - 24高三上·湖北武漢·月考）已知向量，則等于（ ）
A．1
B．
C．
D．5
（三）單位向量與共線向量問題
常涉及求與已知向量共線的單位向量，或依據向量共線條件求參數值。
（24 - 25高三·全國·階段練習）已知向量，，則與共線的單位向量為（ ）
A.
B.
C.或
D.或
（23 - 24高一下·廣東茂名·階段練習）已知、是兩個不共線的單位向量，，，若與共線，則的值為（ ）
A.- 2
B.2
C.-
D.
（一）概念判斷類
（23 - 24高二上·四川成都·隨堂測驗）下列說法正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，則且與方向相同
C. 單位向量都相等
D. 零向量沒有方向
（23 - 24高二下·浙江杭州·單元評估）（多選）下列關于向量的說法正確的是（ ）
A. 向量與向量是相等向量
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則與方向相同或相反
（23 - 24高三上·遼寧大連·模擬訓練）給出下列命題：
①兩個向量，當且僅當它們的起點相同，終點相同時才相等；
②若，則，，，四點是平行四邊形的四個頂點；
③在平行四邊形中，一定有；
④若，，則；
⑤若，，則。
其中正確命題的序號是（ ）
A. ①②⑤
B. ③④
C. ③⑤
D. ①④⑤
（23 - 24高二上·湖南長沙·課堂小測）下列關于向量的說法錯誤的是（ ）
A. 若向量與向量平行，則存在實數使得
B. 起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
C. 單位向量不一定都平行
D. 零向量與任意向量的數量積都為
（23 - 24高二下·河南鄭州·期中測試）（多選）下列命題中，正確的是（ ）
A. 向量與平行，則與的方向相同或相反
B. 兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
C. 兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
D. 有向線段就是向量，向量就是有向線段
（二）向量表示與模計算類
（23 - 24高二上·福建廈門·期中考試）已知點，，則向量的坐標是（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高三下·河南鄭州·適應性考試）若向量，且，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二下·安徽合肥·期末測試）已知向量，，。若點，，能構成三角形，則實數應滿足的條件為（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二上·山東濟南·月考）已知向量，，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高三上·湖北武漢·模擬）已知向量，，若，則等于（ ）
A.
B.
C.
D.
（三）單位向量與共線向量類
（23 - 24高一下·廣東佛山·階段練習）已知向量，則與同方向的單位向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二上·河北石家莊·周測）已知向量，，若，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高三下·江蘇南京·沖刺訓練）已知向量，，。若，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二下·山東青島·期末）已知向量，則與共線的單位向量的坐標為（ ）
A.
B.
C. 或
D.
（23 - 24高二上·廣東惠州·階段檢測）設向量， ，若，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.專題01 平面向量的概念精講精練
（一）向量的定義
向量是既有大小又有方向的量。用有向線段表示向量時，有向線段的長度就是向量的大小（即模），箭頭所指方向為向量的方向。向量可用字母如、等表示，也可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如 。
（二）零向量
長度為0的向量是零向量，記作。零向量方向任意，它與任意向量平行，在向量運算里，滿足等特殊運算規則。
（三）單位向量
模等于1個單位長度的向量叫單位向量。對于非零向量，同方向的單位向量是 ，單位向量常用來明確向量方向。
（四）相等向量
長度相等且方向相同的向量是相等向量，若和相等，記為 ，相等向量與起點、終點位置無關。
（五）平行向量（共線向量）
方向相同或相反的非零向量是平行向量，也叫共線向量，規定零向量與任意向量平行，向量和平行記作 。
（一）向量概念的理解與判斷
此考點考查對向量、零向量、單位向量、相等向量、平行向量等概念的掌握，常以判斷命題真假的形式出現。
（23 - 24高二上·廣東湛江·開學考試）下列命題正確的個數是（ ）
（1）向量就是有向線段；
（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量的長度為0。
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】：B
【解析】：
向量有大小和方向，有向線段有起點、終點和長度 ，二者概念不同，所以（1）錯誤；
零向量方向是任意的，并非沒有方向，所以（2）錯誤；
零向量方向任意，（3）正確；
零向量的長度規定為0，（4）正確。
綜上，正確的是（3）（4），共2個，選B。
（多選）（23 - 24高一下·山東青島）設為非零向量，下列有關向量的描述正確的是（ ）
A．是單位向量
B．
C．
D．
【答案】：ABD
【解析】：
根據單位向量定義，對于非零向量 ，表示與同方向的單位向量，所以A正確；
單位向量的模長為1，對于 ，其模，所以B正確；
當時， ，當時，，所以一般情況下二者不相等，C錯誤；
根據向量點積公式（為與的夾角）， ，因為 ，，所以，D正確。
（二）向量的表示與模的計算
考查向量不同表示方法，以及依據向量坐標或幾何關系求向量的模。
（23 - 24高二下·江蘇南京·期末檢測）已知點，，則向量的坐標為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：
向量的坐標等于終點的坐標減去起點的坐標。
即
，所以選B。
（23 - 24高三上·湖北武漢·月考）已知向量，則等于（ ）
A．1
B．
C．
D．5
【答案】：C
【解析】：
對于向量 ，其模長公式為。
已知，則
，所以選C。
（三）單位向量與共線向量問題
常涉及求與已知向量共線的單位向量，或依據向量共線條件求參數值。
（24 - 25高三·全國·階段練習）已知向量，，則與共線的單位向量為（ ）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】：C
【解析】：
先求 ：
。
設與共線的單位向量為，
因為單位向量模為1，所以 ①；
又因為與共線，兩向量，共線的充要條件是，所以，即 ②。
將②代入①得：
解得。
當時：
，
對，進行分母有理化并化簡，分子分母同乘以，得到，；
當時：
，
同樣進行分母有理化并化簡，得到，。
所以與共線的單位向量為或，選C。
（23 - 24高一下·廣東茂名·階段練習）已知、是兩個不共線的單位向量，，，若與共線，則的值為（ ）
A.- 2
B.2
C.-
D.
【答案】：A
【解析】：
因為與共線，所以存在實數，使得，
即。
由于、不共線，所以，
將代入，得，
解得，選A。
（一）概念判斷類
（23 - 24高二上·四川成都·隨堂測驗）下列說法正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，則且與方向相同
C. 單位向量都相等
D. 零向量沒有方向
【答案】：B
【解析】：
A選項，當時，因為零向量與任意向量平行，所以即使且，與也不一定平行，A錯誤。
B選項，根據相等向量的定義，長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。所以若，必然有且與方向相同，B正確。
C選項，單位向量是指模等于的向量，但方向不一定相同。向量相等需要模相等且方向相同，所以單位向量不一定都相等，C錯誤。
D選項，零向量的方向是任意的，并不是沒有方向，D錯誤。
（23 - 24高二下·浙江杭州·單元評估）（多選）下列關于向量的說法正確的是（ ）
A. 向量與向量是相等向量
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則與方向相同或相反
【答案】：BD
【解析】：
A選項，向量與向量的大小相等，但方向相反。根據相等向量的定義，它們不是相等向量，A錯誤。
B選項，向量的模為時，該向量就是零向量，所以若，則，B正確。
C選項，只能說明向量與的模相等，但方向不一定相同。而相等向量要求模相等且方向相同，所以不一定等于，C錯誤。
D選項，平行向量（共線向量）的定義是方向相同或相反的非零向量，并且規定零向量與任意向量平行。所以若，則與方向相同或相反（當其中一個為零向量時也滿足平行關系），D正確。
（23 - 24高三上·遼寧大連·模擬訓練）給出下列命題：
①兩個向量，當且僅當它們的起點相同，終點相同時才相等；
②若，則，，，四點是平行四邊形的四個頂點；
③在平行四邊形中，一定有；
④若，，則；
⑤若，，則。
其中正確命題的序號是（ ）
A. ①②⑤
B. ③④
C. ③⑤
D. ①④⑤
【答案】：B
【解析】：
①相等向量是指大小相等且方向相同的向量，與它們的起點和終點的位置無關。例如，在平面內將一個向量平移后，它的大小和方向不變，仍然與原向量相等，所以①錯誤。
②當時，，，，四點有可能在同一條直線上，此時這四點不能構成平行四邊形，所以②錯誤。
③在平行四邊形中，平行且等于，根據向量相等的定義（大小相等且方向相同），向量與大小相等且方向相同，所以一定有，③正確。
④由相等向量的傳遞性可知，若，，那么與的大小相等且方向相同，所以，④正確。
⑤若，因為零向量與任意向量平行，所以當且時，與不一定平行，⑤錯誤。
綜上，正確的是③④，【答案】選B。
（23 - 24高二上·湖南長沙·課堂小測）下列關于向量的說法錯誤的是（ ）
A. 若向量與向量平行，則存在實數使得
B. 起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
C. 單位向量不一定都平行
D. 零向量與任意向量的數量積都為
【答案】：A
【解析】：
A選項，若，而，因為零向量的方向是任意的，不存在實數使得非零向量與零向量滿足，所以A錯誤。
B選項，根據相等向量的定義，只要兩個向量的模相等且方向相同，無論它們的起點位置如何，都認為這兩個向量是相等向量，所以起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量，B正確。
C選項，單位向量是模長為的向量，它們的方向可以是任意的。所以單位向量之間的方向不一定相同或相反，即單位向量不一定都平行，C正確。
D選項，根據向量數量積公式（其中為與的夾角），零向量的模，所以零向量與任意向量的數量積，D正確。
（23 - 24高二下·河南鄭州·期中測試）（多選）下列命題中，正確的是（ ）
A. 向量與平行，則與的方向相同或相反
B. 兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
C. 兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
D. 有向線段就是向量，向量就是有向線段
【答案】：AB
【解析】：
A選項，平行向量（共線向量）的定義是方向相同或相反的非零向量，并且規定零向量與任意向量平行。所以當向量與平行時，若，都不為零向量，則與的方向相同或相反；若其中一個為零向量，也滿足平行關系，A正確。
B選項，相等向量的大小相等且方向相同。若兩個向量有共同起點且相等，由于它們的大小和方向都相同，根據向量的性質，將它們的起點固定后，終點的位置是唯一確定的，所以其終點必相同，B正確。
C選項，兩個有公共終點的向量，它們的起點位置不確定，方向也不一定相同或相反。共線向量要求方向相同或相反，所以兩個有公共終點的向量不一定是共線向量，C錯誤。
D選項，向量是既有大小又有方向的量，而有向線段是具有方向的線段，它有起點、終點和長度。向量可以用有向線段來表示，但有向線段只是向量的一種直觀表示方式，不能說有向線段就是向量，向量就是有向線段，它們的概念是不同的，D錯誤。
（二）向量表示與模計算類
（23 - 24高二上·福建廈門·期中考試）已知點，，則向量的坐標是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】：根據向量坐標運算，對于向量，其坐標等于終點的坐標減去起點的坐標。
即，所以選B。
（23 - 24高三下·河南鄭州·適應性考試）若向量，且，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：對于向量，其模長公式為。
已知且，將其代入模長公式可得。
兩邊同時平方得到，移項可得。
對開平方，解得，所以選C。
（23 - 24高二下·安徽合肥·期末測試）已知向量，，。若點，，能構成三角形，則實數應滿足的條件為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：若點，，能構成三角形，則向量與不共線。
先求；
再求。
若兩向量，共線，則。
對于和，有。
展開式子得，合并同類項得，解得。
所以當時，點，，能構成三角形，選C。
（23 - 24高二上·山東濟南·月考）已知向量，，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：
先計算：
已知，
則。
根據向量模長公式，對于向量，有：
，選A。
（23 - 24高三上·湖北武漢·模擬）已知向量，，若，則等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：
因為，所以可得方程組。
解第一個方程，根據等式的性質，等式兩邊同時減去，得到。
解第二個方程，等式兩邊同時減去，可得。
由此得出，。
所以，先計算括號內的值，，，即。
根據向量模長公式，對于向量，有：
，而，，，，，，，，因為，，這里題目可能是在計算過程中出現了約等情況，按照精確計算，最接近的是（在選項中選擇），所以選D。
（三）單位向量與共線向量類
（23 - 24高一下·廣東佛山·階段練習）已知向量，則與同方向的單位向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：對于非零向量，其模長，這里，則。與同方向的單位向量是 ，即，所以選A。
（23 - 24高二上·河北石家莊·周測）已知向量，，若，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：已知兩向量，，若，則。因為，且，所以，即 ，移項可得，解得，選C。
（23 - 24高三下·江蘇南京·沖刺訓練）已知向量，，。若，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：
先計算：
因為 ，
所以。
因為且，根據兩向量平行坐標關系，這里，，，，則 ，即，解得，選A。
（23 - 24高二下·山東青島·期末）已知向量，則與共線的單位向量的坐標為（ ）
A.
B.
C. 或
D.
【答案】：C
【解析】：
對于向量，其模，已知，則。
與共線的單位向量為。
當取正號時，；
當取負號時，。
所以與共線的單位向量的坐標為或，選C。
（23 - 24高二上·廣東惠州·階段檢測）設向量， ，若，則的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：已知兩向量，，若，則。因為，且，所以 。
展開式子得：。
合并同類項：。
移項可得：，選C。

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