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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2024-2025人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列
16.3 二次根式的加減八大題型解題技巧
知識(shí)點(diǎn)一、可以合并的二次根式的定義
1.將一些二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式就稱為可合并的二次根式。
2.合并二次根式的方法
將根號(hào)外的因數(shù)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變。
知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的加減
二次根式加減法則
二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并。
二次根式加減運(yùn)算的步驟
化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，
找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式。
合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變。
知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算
二次根式混合運(yùn)算種類
二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算。
二次根式混合運(yùn)算的順序
二次根式混合運(yùn)算順序與整式混合運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）。
題型歸納
【題型1 判斷二次根式能否合并】
【題型2 根據(jù)能合并的二次根式特征求值】
【題型3 二次根式的加減】
【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】
【題型5 一般二次根式化簡(jiǎn)求值】
【題型6 對(duì)稱式的二次根式的求值】
【題型7 二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】
【題型8 二次根式的實(shí)際應(yīng)用】
題型突破、典例精析
【題型1 判斷二次根式能否合并】
【例1-1】．下列各式中，能與合并的是（　　）
A． B． C． D．
【例1-2】．寫出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是　 　．（寫一個(gè)即可）
解題技巧
可以合并的二次根式必須同時(shí)滿足是最簡(jiǎn)二次根式和被開方數(shù)相同兩個(gè)條件。與根號(hào)外的因數(shù)無(wú)關(guān)。
被開方數(shù)不同的二次根式不能合并。
【變式1-1】．下列二次根式中，能與 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【變式1-2】．下列各式中，能與合并的是（　　）
A． B． C． D．
【變式1-3】．下列計(jì)算中，正確的是（　　）
A． B． C．. D．
【變式1-4】．下列二次根式中， 可以與 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【題型2 根據(jù)能合并的二次根式特征求值】
【例2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則a的值為　 　．
解題技巧
（1）.判斷兩個(gè)二次根式是否能合并，首先要將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后判斷被開方數(shù)是否相同，相同就能合并，不相同就不能合并。
（2）.幾個(gè)二次根式能否合并，只與被開方數(shù)有關(guān)，與根號(hào)前面的系數(shù)無(wú)關(guān)。
【變式2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則的值　 　．
【變式2-2】．若與最簡(jiǎn)二次根式可以合并，則a＝　 　．
【變式2-3】． 若最簡(jiǎn)二次根式 與 可以合并， 則 的值是（　　）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
【題型3 二次根式的加減】
【例3-1】計(jì)算：.
【例3-2】．計(jì)算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解題技巧
化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，
找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式。
合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變。
【變式3-1】．計(jì)算：.
【變式3-2】．計(jì)算：
（1）；
（2）
【變式3-3】． 計(jì)算：
（1）；
（2）；
【變式3-4】．計(jì)算：．
【變式3-5】．計(jì)算：
解：原式…………第1步
…………………………第2步
……………………第3步
………………………………第4步
（1）以上解答過程中，從第　 　步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)寫出本題的正確解答過程．
【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】
【例4-1】．
【例4-2】 計(jì)算：
（1） ；
（2） 已知 ， 求代數(shù)式 的值.
解題技巧
（1）牢記運(yùn)算順序和運(yùn)算法則可確保運(yùn)算正確。
（2）運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式可簡(jiǎn)化運(yùn)算。
（3）結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式。
【變式4-1】．． 計(jì)算： .
【變式4-2】．．計(jì)算：
（1）
（2）
【變式4-3】． 計(jì)算：
（1）
（2）
【變式4-4】． 計(jì)算：
【變式4-5】數(shù)學(xué)課上，老師布置一道計(jì)算題：，小紅的解答過程如下：
解：原式
請(qǐng)判斷她的解答是否正確？若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)你寫出正確的解答過程．
【題型5 一般二次根式化簡(jiǎn)求值】
【例5-1】．若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
【例5-2】． 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
如圖是小亮和小芳的解答過程．
解：原式 解：原式
（1）　 　的解答過程是錯(cuò)誤的；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解題技巧
由二次根式的定義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成不等式問題，確定字母的取值范圍。再由方程的解確定字母的取值范圍，在字母求值范圍內(nèi)根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)求值。
【變式5-1】．已知實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式，求的值．
【變式5-2】．（1）當(dāng)a=時(shí)，求代數(shù)式的值；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=，y=．
【變式5-3】．．運(yùn)算能力] 已知實(shí)數(shù) 滿足 ， 求 的值.
【變式5-4】．已知，且x為奇數(shù)，求(1+x)·的值
【變式5-5】．．已知，求的值．
【題型6 對(duì)稱式的二次根式的求值】
【例6-1】．已知，，則　 　.
【例6-2】．已知，，則的值為　 　．
【變式6-1】．已知：．
求：
（1）；
（2）．
解題技巧
對(duì)于對(duì)稱式首先求a+b、a-b、ab的值，再代入求值
【變式6-1】．．已知，求下列式子的值：
（1）．
（2）．
【變式6-2】．． 若 ， 則 的值為　 　
【變式6-3】．．已知，，求下列各式的值：
（1）a2-b2
（2）a2- ab+b2
【變式6-4】．．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【題型7 二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】
【例7-1】． 若 的整數(shù)部分為 ，小數(shù)部分為 ， 則代數(shù)式 的值是　 　．
【例7-2】．我們知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而，所以的整數(shù)部分是2，將減去其整數(shù)部分2，所得的差就是的小數(shù)部分．根據(jù)以上信息回答下列問題：
（1）的整數(shù)部分是　 　，小數(shù)部分是　 　；
（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．
解題技巧
先由無(wú)理數(shù)的大小估值確定整數(shù)部分，再由小數(shù)部分=原數(shù)-整數(shù)部分來確定小數(shù)部分。
【變式7-1】． 大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1；于是用來表示的小數(shù)部分．
請(qǐng)解答：
（1）如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；
（2）已知：，其中是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．
【變式7-2】．已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求(3a+b)(3a-b)的值.
【變式7-3】． 數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問題：“通過探究知道：，它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說出它的小數(shù)部分是多少”，王英舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來，但可以用來表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)王英真聰明，肯定了她的說法．現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)王英的說法解答下列問題：
（1）請(qǐng)表示出的小數(shù)部分；
（2）若a為的小數(shù)部分，b為的整數(shù)部分，求的值；
（3）已知，其中x是一個(gè)正整數(shù)，，求的值．
【變式7-4】． 數(shù)學(xué)張老師在課堂上提出一個(gè)問題：“通過探究知道：，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來，但可以用來表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說法．現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說法解答：
（1）的整數(shù)部分是　 　．
（2）為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，求的值．
（3）已知，其中是一個(gè)正整數(shù)，，求的值．
【題型8 二次根式的實(shí)際應(yīng)用】
【例8-1】．（1） 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是 ， 則它的面積是　 　
（2） 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和面積分別為 和 ， 則這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為　 　
【例8-2】． 兩船同時(shí)同地出發(fā)， 船以 的速度朝正北方向行駛， 船以 的速度朝正西方向行駛， 行駛時(shí)間為 ．
（1） 用含 的代數(shù)式表示兩船的距離 ．
（2）當(dāng) 時(shí)，兩船相距多少千米？
解題技巧
先根據(jù)實(shí)際問題列出二次根式，再進(jìn)行計(jì)算。
【變式8-1】．． 在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，求剩余部分的面積.
【變式8-2】． 【綜合與實(shí)踐】
擺鐘的“滴答”聲提醒著我們時(shí)光易逝，我們要珍惜當(dāng)下，抓住每一秒，努力前行．某學(xué)習(xí)興趣小組通過觀察實(shí)驗(yàn)室的擺鐘發(fā)現(xiàn)：擺鐘的擺球的擺動(dòng)快慢與秒針的走動(dòng)，擺鐘的“滴答”聲，擺長(zhǎng)都有關(guān)系．于是他們通過查閱資料知道：擺鐘的擺球來回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間叫做一個(gè)周期。它的計(jì)算公式是：，其中T表示周期（單位：s），l表示擺線長(zhǎng)（單位：m），，π是圓周率。（π取3.14，擺線長(zhǎng)精確到0.01米，周期精確到0.01s，參考數(shù)據(jù)：，）
（1）【思考填空】通過上面的計(jì)算公式我們知道了：擺球的快慢只與擺線的長(zhǎng)短有關(guān)，擺線越長(zhǎng)，周期越　 　（填“長(zhǎng)”或“短”），擺得越　 　；（填“快”或“慢”）
（2）【實(shí)踐與計(jì)算】若一個(gè)擺鐘的擺線長(zhǎng)為0.49m，它每擺動(dòng)一個(gè)周期發(fā)出一次“滴答”聲，學(xué)習(xí)興趣小組的2名同學(xué)數(shù)該擺鐘1分鐘發(fā)出“滴答”聲的次數(shù)，其余成員計(jì)算擺鐘1分鐘發(fā)出“滴答”聲次數(shù)，再對(duì)照是否一致．請(qǐng)你也計(jì)算該擺鐘1分鐘發(fā)出多少次“滴答”聲；
（3）對(duì)于一個(gè)確定的擺鐘，其內(nèi)部的機(jī)械結(jié)構(gòu)決定了它每來回?cái)[動(dòng)一次記錄的時(shí)間是一定的，如一個(gè)準(zhǔn)確的擺鐘的擺球的擺動(dòng)周期為1s，它每擺動(dòng)一個(gè)周期發(fā)出一次“滴答”聲，秒針就會(huì)走1格，顯示的時(shí)間1s，求該擺鐘的擺線長(zhǎng)．
【變式8-3】． 有一塊長(zhǎng)方形木板，木工采用如圖的方式在木板上截出兩個(gè)面積分別為和的正方形木板．
（1）求原長(zhǎng)方形木板的面積；
（2）如果木工想從剩余的木塊中(陰影部分)截出長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出　 　塊這樣的木條？請(qǐng)你直接寫出答案.(參考數(shù)據(jù)：)
【變式8-4】．閱讀理解：若，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)利用這個(gè)結(jié)論，我們可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，則由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為．
請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)　 　時(shí)，式子的最小值為　 　直接寫出答案；
（2）如圖，用籬笆圍一個(gè)面積為平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻墻長(zhǎng)米，籬笆周長(zhǎng)指不靠墻的三邊之和，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？
2024-2025人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列
16.3 二次根式的加減八大題型解題技巧
知識(shí)點(diǎn)一、可以合并的二次根式的定義
1.將一些二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式就稱為可合并的二次根式。
2.合并二次根式的方法
將根號(hào)外的因數(shù)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變。
知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的加減
二次根式加減法則
二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并。
二次根式加減運(yùn)算的步驟
化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，
找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式。
合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變。
知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算
二次根式混合運(yùn)算種類
二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算。
二次根式混合運(yùn)算的順序
二次根式混合運(yùn)算順序與整式混合運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）。
題型歸納
【題型1 判斷二次根式能否合并】
【題型2 根據(jù)能合并的二次根式特征求值】
【題型3 二次根式的加減】
【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】
【題型5 一般二次根式化簡(jiǎn)求值】
【題型6 對(duì)稱式的二次根式的求值】
【題型7 二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】
【題型8 二次根式的實(shí)際應(yīng)用】
題型突破、典例精析
【題型1 判斷二次根式能否合并】
【例1-1】．下列各式中，能與合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式
【解析】【解答】解：A：=2，不能與合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B：，不能與合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C：，不能與合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D：，能與合并，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)各項(xiàng)，根據(jù)同類二次根式的定義，即可求解．
【例1-2】．寫出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是　 　．（寫一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類二次根式
解題技巧
可以合并的二次根式必須同時(shí)滿足是最簡(jiǎn)二次根式和被開方數(shù)相同兩個(gè)條件。與根號(hào)外的因數(shù)無(wú)關(guān)。
被開方數(shù)不同的二次根式不能合并。
【變式1-1】．下列二次根式中，能與 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式
【解析】【解答】解：A原式=2 ，故不能合并，
B原式=3 ，故不能合并，
C原式=2 ，故能合并，
D原式= ，故不能合并，
故選C
【分析】將各式化為最簡(jiǎn)二次根式后即可判斷．
【變式1-2】．下列各式中，能與合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類二次根式
【解析】【解答】解：.
A、，不能與合并，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，不能與合并，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，可與合并，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，不能與合并，故此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：C.
【分析】將目標(biāo)數(shù)化成最簡(jiǎn)根式，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)作同樣處理，然后找到同類根式即可.
【變式1-3】．下列計(jì)算中，正確的是（　　）
A． B． C．. D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法；同類二次根式
【解析】【解答】解：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
對(duì)于B，，故B正確，符合題意；
對(duì)于C，已經(jīng)是最簡(jiǎn)形態(tài)無(wú)法合并，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，不符合題意.
故選：B.
【分析】由同類二次根式合并法則判斷AC，二次根式乘除法運(yùn)算判斷BD.
【變式1-4】．下列二次根式中， 可以與 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式
【解析】【解答】解：
A：是最簡(jiǎn)二次根式，和不是同類根式，不能與合并。A不合題意；
B：＝3，和不是同類根式，不能與合并。B不合題意；
C：＝，和是同類根式，能與合并。C符合題意；
D：＝，和不是同類根式，不能與合并。D不合題意。
故答案為：C.
【分析】先判斷是否為最簡(jiǎn)二次根式，再看是否和是同類根式，如果是則能合并，如果不是則不能合并。
【題型2 根據(jù)能合并的二次根式特征求值】
【例2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則a的值為　 　．
【答案】7
【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式
【解析】【解答】解：∵與可以合并，
∴，2a+5=3a-2，
解得：a=7，
故答案為：7.
【分析】利用二次根式及合并同類項(xiàng)法則求解即可.
【例2-2】． 若與最簡(jiǎn)二次根式可以合并，則　 　．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類二次根式
【解析】【解答】由題可知m+1=3，解得m=2；
正確答案：2.
【分析】因?yàn)閮啥胃娇梢院喜ⅲ适峭惗胃剑磺遥傻胢的方程，求解即可。
解題技巧
（1）.判斷兩個(gè)二次根式是否能合并，首先要將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后判斷被開方數(shù)是否相同，相同就能合并，不相同就不能合并。
（2）.幾個(gè)二次根式能否合并，只與被開方數(shù)有關(guān)，與根號(hào)前面的系數(shù)無(wú)關(guān)。
【變式2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則的值　 　．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】同類二次根式
【解析】【解答】解：由題意得：，解得：．
∴，
∴．
故答案為：2．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義求出a，再進(jìn)行計(jì)算即可.
【變式2-2】．若與最簡(jiǎn)二次根式可以合并，則a＝　 　．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類二次根式
【解析】【解答】解：∵與最簡(jiǎn)二次根式可以合并，
∴和是同類二次根式，
∵，是最簡(jiǎn)二次根式，
∴2a－1=3，
解得：a=2.
故答案為：2.
【分析】根據(jù)題意得和是同類二次根式，先將化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，再令根號(hào)里面相等，得關(guān)于a的方程，求解即可.
【變式2-3】． 若最簡(jiǎn)二次根式 與 可以合并， 則 的值是（　　）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類二次根式
【解析】【解答】解：
∵ 最簡(jiǎn)二次根式 與 可以合并，
∴ 與 是同類根式，
∴2a-5=11-2a
解得，a=4
故答案為：D.
【分析】?jī)筛娇梢院喜ⅲf明它們是同類根式，即被開方數(shù)相同，由此列方程進(jìn)行求解即可。
【題型3 二次根式的加減】
【例3-1】計(jì)算：.
【答案】解：原式
.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法
【解析】【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可.
【例3-2】．計(jì)算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=.
（3）解：原式=
=
=.
（4）解：原式=
=.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【分析】（1）先將分母有理化，進(jìn)而再根據(jù)二次根式的減法計(jì)算法則計(jì)算即可；
（2）利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則計(jì)算即可；
（3）利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則計(jì)算即可；
（4）利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則計(jì)算即可.
解題技巧
化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，
找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式。
合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變。
【變式3-1】．計(jì)算：.
【答案】解：原式
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法
【解析】【分析】先根據(jù)二次根數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)各個(gè)二次根式，再合并同類二次根式即可求解.
【變式3-2】．計(jì)算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可；
（2）先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算即可。
【變式3-3】． 計(jì)算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法
【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)法則將各二次根式化到最簡(jiǎn)，再將同類二次根式進(jìn)行合并即可；
（2）將同類二次根式合并即可.
【變式3-4】．計(jì)算：．
【答案】解：原式
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后在合并同類二次根式即可求解.
【變式3-5】．計(jì)算：
解：原式…………第1步
…………………………第2步
……………………第3步
………………………………第4步
（1）以上解答過程中，從第　 　步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)寫出本題的正確解答過程．
【答案】（1）3
（2）解：原式
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】（1）由題意得第3步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，，
故答案為：3
【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算結(jié)合題意即可求解；
（2）根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)合二次根式的加減運(yùn)算即可求解。
【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】
【例4-1】．
【答案】解：原式．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的除法法則及乘法法則分別計(jì)算，再根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.
【例4-2】 計(jì)算：
（1） ；
（2） 已知 ， 求代數(shù)式 的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：，，
，
∴x2y-xy2=xy(x-y)=2×2=4．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】（1）先算乘除，再算加減，據(jù)此計(jì)算；
（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算x-y和xy的值，將x2y-xy2變形為xy(x-y)，再整體代入，計(jì)算即可．
解題技巧
（1）牢記運(yùn)算順序和運(yùn)算法則可確保運(yùn)算正確。
（2）運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式可簡(jiǎn)化運(yùn)算。
（3）結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式。
【變式4-1】．． 計(jì)算： .
【答案】解：原式
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算即可求解。
【變式4-2】．．計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式 =
=
=；
（2）解： 原式 =
=
=
.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，即可得出答案；
（2）首先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，在進(jìn)行加減運(yùn)算即可得出答案。
【變式4-3】． 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】（1）先計(jì)算乘法，再計(jì)算減法即可求解；
（2）先根據(jù)根據(jù)完全平方公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算除法和加減法即可求解。
【變式4-4】． 計(jì)算：
【答案】解：
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】分別把分別代入，依次進(jìn)行計(jì)算即可.
【變式4-5】數(shù)學(xué)課上，老師布置一道計(jì)算題：，小紅的解答過程如下：
解：原式
請(qǐng)判斷她的解答是否正確？若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)你寫出正確的解答過程．
【答案】解：小紅的解答是錯(cuò)誤的，正確解答如下：
.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【題型5 一般二次根式化簡(jiǎn)求值】
【例5-1】．若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
【答案】解：由題意可知：x＝，y＝3
原式＝（2x+2）﹣（x+5）
＝x﹣3
＝﹣3
＝﹣
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】由二次根式性質(zhì)可知，，解得，則y=3，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得 原式 ＝x﹣3 ，然后把x、y值代入，即可求解。
【例5-2】． 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
如圖是小亮和小芳的解答過程．
解：原式 解：原式
（1）　 　的解答過程是錯(cuò)誤的；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮
（2）解：原式，
，
，
∴原式
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴。
∴小亮的解答過程錯(cuò)誤.
【分析】（1）先將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用完全平方公式去根號(hào)，去根號(hào)時(shí)考慮根號(hào)里數(shù)的正負(fù)性是解題的關(guān)鍵即易錯(cuò)點(diǎn)，即可判斷誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò).
（2）利用第一問的方法先對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，將m值代入即可求出答案.
解題技巧
由二次根式的定義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成不等式問題，確定字母的取值范圍。再由方程的解確定字母的取值范圍，在字母求值范圍內(nèi)根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)求值。
【變式5-1】．已知實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式，求的值．
【答案】解：∵，，
∴且，
∴，
∴，
∴
.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】根據(jù)，，求得x=3，于是可得y=-2.先計(jì)算分式除法，再把x，y代入運(yùn)算.
【變式5-2】．（1）當(dāng)a=時(shí)，求代數(shù)式的值；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=，y=．
【答案】（1）解：
，
把代入得：原式=.
（2）解：原式=
當(dāng)x=+1，y=時(shí)，
原式=
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】（1）由a的范圍化簡(jiǎn)得：原式，把代入求解即可.
（2）利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得：原式，再代數(shù)求值即可.
【變式5-3】．．運(yùn)算能力] 已知實(shí)數(shù) 滿足 ， 求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴，
解得：
∴原式=.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先列出關(guān)于a，b的二元一次方程組，求得a，b的值，然后再把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入數(shù)值計(jì)算即可解答．
【變式5-4】．已知，且x為奇數(shù)，求(1+x)·的值
【答案】解：∵，∴
解得6≤x<9． x為奇數(shù)，x=7，
∴(1+x)·-=(1+x)·=(1+x) ·=
=
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】解帶根號(hào)的分式方程，先要確定分式有意義，本題給出了 x為奇數(shù) ，根據(jù)題意可算出 x的值，再化簡(jiǎn)整式，將x的值代入即可得出答案.
【變式5-5】．．已知，求的值．
【答案】解：∵
∴，，
解得：，，
∵
，
當(dāng)，時(shí)，
原式．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值；算術(shù)平方根的性質(zhì)（雙重非負(fù)性）；絕對(duì)值的非負(fù)性
【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值及二次根式的非負(fù)性求出x、y值，再將原式化簡(jiǎn)為 ， 然后代入計(jì)算即可.
【題型6 對(duì)稱式的二次根式的求值】
【例6-1】．已知，，則　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；二次根式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案為：．
【分析】根據(jù)二次根式的加法及乘法法則先算出a+b及ab的值，再將用配方法變形為，然后代入求值即可．
【例6-2】．已知，，則的值為　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-直接代入求值；因式分解的應(yīng)用-化簡(jiǎn)求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
．
故答案為．
【分析】先分別求出x+y與x-y，再將因式分解后整體代入求值.
【變式6-1】．已知：．
求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，．
；
（2）解：，，
．
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；二次根式的混合運(yùn)算；因式分解的應(yīng)用-簡(jiǎn)便運(yùn)算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式及二次根式的性質(zhì)展開括號(hào)，再計(jì)算有理數(shù)的減法即可；
（2）先利用平方差公式將待求式子分解因式，然后將a、b的值代入，進(jìn)而合并括號(hào)內(nèi)的同類二次根式，最后計(jì)算二次根式的乘法即可得出答案.
【變式6-1】．．已知，求下列式子的值：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=，
∵，
∴原式=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-直接代入求值；求代數(shù)式的值-化簡(jiǎn)代入求值
【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，得到原式為，最后把代入計(jì)算即可求解；
（2）直接把代入計(jì)算即可求解.
【變式6-2】．． 若 ， 則 的值為　 　
【答案】-5
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法
【解析】【解答】解：根據(jù)條件，
故答案為：-5.
【分析】給定了a和b的具體值，首先需要將這兩個(gè)值代入到給定的代數(shù)式中，然后利用二次根式的運(yùn)算規(guī)則、平方差公式來化簡(jiǎn)和求解.
【變式6-3】．．已知，，求下列各式的值：
（1）a2-b2
（2）a2- ab+b2
【答案】（1）解：a2-b2=（a+ b）（a﹣b）
=（3++ 3﹣）（3+﹣3+）
=6×2
=12
（2）解：a2- ab+b2=（a+ b）2﹣3 ab
=（3++ 3﹣）2﹣3（3+）（3﹣）
=62﹣3（9﹣7）
=36-6
=30
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；二次根式的混合運(yùn)算；配方法的應(yīng)用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式將待求式子分解因式，然后將a、b的值代入分別合并后，利用二次根式的乘法法則計(jì)算可得答案；
（2）利用配方法將待求式子變形為（a+ b）2﹣3 ab，然后將a、b的值代入計(jì)算可得答案.
【變式6-4】．．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：∵，，
∴，，
，
.
【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；二次根式的混合運(yùn)算；配方法的應(yīng)用
【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的加減法及乘法法則計(jì)算出x+y與xy的值，然后將待求式子利用配方法變形為(x+y)2-xy，從而整體代入進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)二次根式的加減法及乘法法則計(jì)算出x+y、xy與y-x的值，然后根據(jù)分式的減法進(jìn)行化簡(jiǎn)，整體代入計(jì)算即可求解.
【題型7 二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】
【例7-1】． 若 的整數(shù)部分為 ，小數(shù)部分為 ， 則代數(shù)式 的值是　 　．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整數(shù)部分為 1，即a=1，∴
小數(shù)部分是，即b=
∴
故答案為：2.
【分析】先確定的范圍，再確定 的范圍，求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，得出a，b值，代入 中計(jì)算即可。在計(jì)算時(shí)可運(yùn)用乘法公式，會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)便些。
【例7-2】．我們知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而，所以的整數(shù)部分是2，將減去其整數(shù)部分2，所得的差就是的小數(shù)部分．根據(jù)以上信息回答下列問題：
（1）的整數(shù)部分是　 　，小數(shù)部分是　 　；
（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，即，
∴的整數(shù)部分是5，小數(shù)部分，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的整數(shù)部分，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算；不等式的性質(zhì)
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為，
故答案為：4，；
【分析】（1）先根據(jù)無(wú)理數(shù)的大小估值得到：進(jìn)而即可求解；
（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的大小估值及不等式性質(zhì)計(jì)算得到：，，進(jìn)而將其代入計(jì)算即可.
解題技巧
先由無(wú)理數(shù)的大小估值確定整數(shù)部分，再由小數(shù)部分=原數(shù)-整數(shù)部分來確定小數(shù)部分。
【變式7-1】． 大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1；于是用來表示的小數(shù)部分．
請(qǐng)解答：
（1）如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；
（2）已知：，其中是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．
【答案】（1）解：，
，即，
的小數(shù)部分為，即，
，
，即，
的整數(shù)部分為5，即，
則；
（2）解：，
，即，
，
，
是整數(shù)，且，
，，
則的相反數(shù)是．
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的化簡(jiǎn)求值；相反數(shù)的意義與性質(zhì)；無(wú)理數(shù)的混合運(yùn)算
【解析】【分析】（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算分別求出a、b的值，再代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算x＋y的值，再由其中是整數(shù)，且分別求出x、y的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出y-x即可.
【變式7-2】．已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求(3a+b)(3a-b)的值.
【答案】解：∵3=，4=，；
∴a=3，b=；
∴
=
=
=
=
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；平方差公式及應(yīng)用；二次根式的化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)估值的方法，先找到相鄰的整數(shù)，進(jìn)而求出a和b的值；將所求等式先化簡(jiǎn)，再將a和b的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式，計(jì)算即可.
【變式7-3】． 數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問題：“通過探究知道：，它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說出它的小數(shù)部分是多少”，王英舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來，但可以用來表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)王英真聰明，肯定了她的說法．現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)王英的說法解答下列問題：
（1）請(qǐng)表示出的小數(shù)部分；
（2）若a為的小數(shù)部分，b為的整數(shù)部分，求的值；
（3）已知，其中x是一個(gè)正整數(shù)，，求的值．
【答案】（1）解：，
，
的小數(shù)部分是；
（2）解：，
，
∴，
，
，
．
；
（3）解：∵
∴
∴
∵x是一個(gè)正整數(shù)，，
∴x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，
∴，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【分析】（1）估算出的取值范圍可得答案；
（2）估算出和的取值范圍，可得、的值，然后代入計(jì)算即可．
（3）估算出的取值范圍，求出x和y的值，最后代入計(jì)算即可．
【變式7-4】． 數(shù)學(xué)張老師在課堂上提出一個(gè)問題：“通過探究知道：，它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也叫無(wú)理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰(shuí)能說出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無(wú)法全部寫出來，但可以用來表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎(jiǎng)小明真聰明，肯定了他的說法．現(xiàn)請(qǐng)你根據(jù)小明的說法解答：
（1）的整數(shù)部分是　 　．
（2）為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，求的值．
（3）已知，其中是一個(gè)正整數(shù)，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，
，，
；
（3）解：，其中是一個(gè)正整數(shù)，，
，，
．
【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：【分析】（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法求解即可；
（2）根據(jù)題意得出，b=2，再代入求解即可；
（3）先估算的整數(shù)部分，進(jìn)而確定x、y的值，然后代入計(jì)算即可．
【題型8 二次根式的實(shí)際應(yīng)用】
【例8-1】．（1） 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是 ， 則它的面積是　 　
（2） 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和面積分別為 和 ， 則這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為　 　
【答案】（1）
（2）
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的應(yīng)用
【解析】【解答】解：（1）該長(zhǎng)方形面積=
故答案為：.
（2）該長(zhǎng)方形的寬=.
故答案為：.
【分析】（1）長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)x寬，代入后利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可；
（2）長(zhǎng)方形的寬=面積÷長(zhǎng)，代入后二次根式的除法法則計(jì)算即可.
【例8-2】． 兩船同時(shí)同地出發(fā)， 船以 的速度朝正北方向行駛， 船以 的速度朝正西方向行駛， 行駛時(shí)間為 ．
（1） 用含 的代數(shù)式表示兩船的距離 ．
（2）當(dāng) 時(shí)，兩船相距多少千米？
【答案】（1）解：.
（2）解：代入x=12，得.
即兩船相距 26km.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用
【解析】【分析】（1）算出2h后A、B各自所行駛的距離，然后結(jié)合勾股定理表達(dá)出d；
（2）代入x=12到d的表達(dá)式計(jì)算化簡(jiǎn)即可.
解題技巧
先根據(jù)實(shí)際問題列出二次根式，再進(jìn)行計(jì)算。
【變式8-1】．． 在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，求剩余部分的面積.
【答案】解：
.
答：剩余部分的面積為.
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式的應(yīng)用
【解析】【分析】分別求出正方形與長(zhǎng)方形的面積，再用正方形面積減去長(zhǎng)方形面積即可．
【變式8-2】． 【綜合與實(shí)踐】
擺鐘的“滴答”聲提醒著我們時(shí)光易逝，我們要珍惜當(dāng)下，抓住每一秒，努力前行．某學(xué)習(xí)興趣小組通過觀察實(shí)驗(yàn)室的擺鐘發(fā)現(xiàn)：擺鐘的擺球的擺動(dòng)快慢與秒針的走動(dòng)，擺鐘的“滴答”聲，擺長(zhǎng)都有關(guān)系．于是他們通過查閱資料知道：擺鐘的擺球來回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間叫做一個(gè)周期。它的計(jì)算公式是：，其中T表示周期（單位：s），l表示擺線長(zhǎng)（單位：m），，π是圓周率。（π取3.14，擺線長(zhǎng)精確到0.01米，周期精確到0.01s，參考數(shù)據(jù)：，）
（1）【思考填空】通過上面的計(jì)算公式我們知道了：擺球的快慢只與擺線的長(zhǎng)短有關(guān)，擺線越長(zhǎng)，周期越　 　（填“長(zhǎng)”或“短”），擺得越　 　；（填“快”或“慢”）
（2）【實(shí)踐與計(jì)算】若一個(gè)擺鐘的擺線長(zhǎng)為0.49m，它每擺動(dòng)一個(gè)周期發(fā)出一次“滴答”聲，學(xué)習(xí)興趣小組的2名同學(xué)數(shù)該擺鐘1分鐘發(fā)出“滴答”聲的次數(shù)，其余成員計(jì)算擺鐘1分鐘發(fā)出“滴答”聲次數(shù)，再對(duì)照是否一致．請(qǐng)你也計(jì)算該擺鐘1分鐘發(fā)出多少次“滴答”聲；
（3）對(duì)于一個(gè)確定的擺鐘，其內(nèi)部的機(jī)械結(jié)構(gòu)決定了它每來回?cái)[動(dòng)一次記錄的時(shí)間是一定的，如一個(gè)準(zhǔn)確的擺鐘的擺球的擺動(dòng)周期為1s，它每擺動(dòng)一個(gè)周期發(fā)出一次“滴答”聲，秒針就會(huì)走1格，顯示的時(shí)間1s，求該擺鐘的擺線長(zhǎng)．
【答案】（1）長(zhǎng)；慢
（2）解：
（s）
∴（次）
答：該擺鐘1分鐘發(fā)出43次“滴答”聲.
（3）解：令，則
∴
∴（米）
答：該擺鐘的擺長(zhǎng)為0.25米 .
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；二次根式的應(yīng)用
【解析】【解答】解：（1）令，
∵g>0，
∴，
∴，
∴，
即，
∴擺線越長(zhǎng)，周期越長(zhǎng)，擺得越慢，
故答案為：長(zhǎng)，慢；
【分析】（1）根據(jù)由二次根式的性質(zhì)判斷即可；
（2）將代入化簡(jiǎn)計(jì)算求出T，即可解答；
（3）令，解關(guān)于l的方程即可．
【變式8-3】． 有一塊長(zhǎng)方形木板，木工采用如圖的方式在木板上截出兩個(gè)面積分別為和的正方形木板．
（1）求原長(zhǎng)方形木板的面積；
（2）如果木工想從剩余的木塊中(陰影部分)截出長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出　 　塊這樣的木條？請(qǐng)你直接寫出答案.(參考數(shù)據(jù)：)
【答案】（1）解：兩個(gè)正方形的面積分別為和，
這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為和，
原長(zhǎng)方形木板的面積=；
（2）4
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用
【解析】【解答】解：（2）最多能裁出4塊這樣的木條．理由如下：
，，
塊，
塊，
塊．
從剩余的木塊陰影部分中截出長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木條，最多能裁出塊這樣的木條．
故答案為：．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案；
（2）求出和的近似數(shù)，再根據(jù)題意求解即可．
【變式8-4】．閱讀理解：若，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)利用這個(gè)結(jié)論，我們可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，則由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為．
請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)　 　時(shí)，式子的最小值為　 　直接寫出答案；
（2）如圖，用籬笆圍一個(gè)面積為平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻墻長(zhǎng)米，籬笆周長(zhǎng)指不靠墻的三邊之和，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？
【答案】（1）3；6
（2）解：設(shè)當(dāng)與墻相鄰的一邊為米，則另一邊為米，
則：，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，所用籬笆最短，為米，
答：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米、寬為米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米．
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；二次根式的應(yīng)用
【解析】【解答】解：（1）由 ，得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，的最小值為6，
故答案為：3；6；
【分析】（1）根據(jù)題意，利用結(jié)論，即可求解；
（2）設(shè)與墻相鄰的一邊為米，則另一邊為米，則所用籬笆的長(zhǎng)為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可．
知識(shí)要點(diǎn)歸納
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21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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