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2024-2025人教版八年級數學下大單元結構化整合系列
第16章二次根式 微專題一 二次根式化簡求值題常見的五種類型
二次根式化簡求值是本章的重點，其主要依據是二次根式的性質和二次根式的運算法則。下面舉例談談幾種常見的化簡求值方法。
類型1 化簡二次根式后直接代入求值
【例1-1】．先化簡，再求值：
已知，求的值．
【例1-2】．先化簡，再求值：，其中．
【變式1-1】化簡并求值：，其中，．
【變式1-2】．先化簡，再求值：，其中，．
【變式1-3】．先化簡，再求值：
，其中．
類型2 將二次根式變形后整體代入求值
【例2-1】．已知，則值為（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】．已知，，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
【變式2-1】．已知：，，求：的值．
【變式2-2】．科華數學之星在解決問題：已知，求的值．
他是這樣分析與解決的：
，
，
，，
，
．
請你根據小明的分析過程，解決如下問題：
(1) ， ．
(2)化簡：．
(3)若，請按照小明的方法求出的值．
【變式2-3】．已知：，，且，求的值．
類型3 已知二次根式的整數部分、小數部分代入求值
【例3-1】閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道是無理數，而且，即，無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．
又例如：①，即的整數部分為1，小數部分為．
②，即的整數部分為2，小數部分為．
請解答：
(1)的整數部分為_______，小數部分為_______；
(2)設的整數部分為a，小數部分為b，求的值．
【例3-2】．設的整數部分為a，小數部分為b，則的值是 ．
【變式3-1】我們知道，是一個無理數，將這個數減去整數部分，差就是小數部分，即的整數部分是1，小數部分是－1，請解答以下問題：
(1)的小數部分是________，的小數部分是________；
(2)若，其中x為正整數，，求的值；
(3)若表示不超過x的最大整數，如：，，求的值．
【變式3-2】．閱讀下面文字，解答問題∶
∵即，
∴的整數部分是1，小數部分是．
請回答∶
(1)的整數部分是________，小數部分是________；
(2)如果的小數部分為a，的整數部分為b，求的值；
(3)已知：，其中x是整數，且，求的相反數．
【變式3-3】．我們知道無理數都可以化為無限不循環小數，所以的小數部分不可能全部寫出來，若的整數部分為a，小數部分為b，則，且．
(1)的整數部分是 ，小數部分是 ；
(2)若的整數部分為m，小數部分為n，求的值．
類型4化簡分式后將二次根式代入求值
【例4-1】．先化簡，再求值：，其中
【例4-2】．先化簡，再求值：，其中．
【變式4-1】．先化簡，再求值：，其中．
【變式4-2】．先化簡，再求值：，其中
【變式4-3】．小明解答“先化簡，再求值：，其中．”的過程如下：
解： ① ② ③當時，原式 ④ ⑤
(1)請指出他解答過程中開始出現錯誤的步驟是_________；（填序號）
(2)寫出正確的完整解答過程．
類型5 根據二次根式概念化簡后求值
【例5-1】．已知滿足，求的平方根．
【例5-2】．先化簡，再求值：，其中a，b滿足．
【變式5-1】．實數在數軸上的位置如圖所示，則化簡后為（ ）
A．7 B． C． D．無法確定
【變式5-2】．已知有理數、滿足等式．
(1)求的平方根；
(2)計算：．
【變式5-3】．閱讀與思考
下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
標題：雙層二次根式的化簡
內容：二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網還發現了一類帶雙層根號的式子，就是根號內又帶根號的式子，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質消掉外面的一層根號．
例如：要化簡，可以先思考，所以．通過計算，我還發現設（其中m，n，a，b都為正整數），則有，，_______．
這樣，我就找到了一種把部分雙層二次根式化簡的方法．
任務：
(1)文中的________．
(2)化簡：________．
(3)已知，其中a，x，y均為正整數，求a的值．
(4)化簡：________．（直接寫出答案）
2024-2025人教版八年級數學下大單元結構化整合系列
第16章二次根式 微專題一 二次根式化簡求值題常見的五種類型
二次根式化簡求值是本章的重點，其主要依據是二次根式的性質和二次根式的運算法則。下面舉例談談幾種常見的化簡求值方法。
類型1 化簡二次根式后直接代入求值
【例1-1】．先化簡，再求值：
已知，求的值．
【答案】，3
【分析】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的混合運算，正確計算是解題的關鍵．先化簡得，再將代入即可得．
【詳解】解：原式
=
當代入得：
【例1-2】．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，6
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，平方差公式，分母有理化等內容，先根據完全平方公式，平方差公式進行展開化簡得出，再把整理得，然后代入計算，即可作答．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
把代入，得出．
【變式1-1】化簡并求值：，其中，．
【答案】．，4
【分析】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算是解題的關鍵；由題意易得，，然后代入進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴
．
【變式1-2】．先化簡，再求值：，其中，．
【答案】．．，
【分析】本題考查的是二次根式的化簡求值，根據平方差公式、完全平方公式、合并同類項把原式化簡，把、的值代入計算得到答案．
【詳解】解：原式
，
當，時，原式．
【變式1-3】．先化簡，再求值：
，其中．
【答案】，．
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分式的化簡求值，掌握二次根式和分式的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】
解：∵，
∴，
∴
，
當時，原式．
類型2 將二次根式變形后整體代入求值
【例2-1】．已知，則值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】通過對完全平方公式變形求值、二次根式有意義的條件、已知條件式，化簡求值
【分析】本題考查二次根式的化簡求值，根據推出，再將化為，最后代入計算即可．掌握相應的運算法則、性質及公式是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值為．
故選：A．
【例2-2】．已知，，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)9
【知識點】已知條件式，化簡求值
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式．熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
（1）先將已知和的值進行分母有理化，得到，，再分別根據二次根式的加法法則和乘法法則即可求出答案；
（2）根據完全平方公式將原式變為，再代入（1）的值即可求出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
【變式2-1】．已知：，，求：的值．
【答案】
【知識點】通過對完全平方公式變形求值、已知條件式，化簡求值
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根據進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴
．
【變式2-2】．科華數學之星在解決問題：已知，求的值．
他是這樣分析與解決的：
，
，
，，
，
．
請你根據小明的分析過程，解決如下問題：
(1) ， ．
(2)化簡：．
(3)若，請按照小明的方法求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知識點】二次根式的混合運算、分母有理化、已知條件式，化簡求值
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，分母有理化．熟練掌握分母有理化，整體代入法求代數式的值，是解決本題的關鍵．
（1）根據例題可得：對每個式子的分子和分母同時乘以分母的有理化因式化簡即可；
（2）將式子中的每一個分式進行分母有理化，問題隨之得解；
（3）根據小明的分析過程，得，可求出代數式的值．
【詳解】（1）解：，
．
故答案為：，．
（2）原式．
（3）∵，
．
，．
．
原式．
【變式2-3】．已知：，，且，求的值．
【答案】
【知識點】通過對完全平方公式變形求值、分母有理化、已知條件式，化簡求值
【分析】本題考查了完全平方式的變形運用，二次根式的化簡求值，利用完全平方公式可得，再對二次根式進行化簡，最后把式子的值代入計算即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
類型3 已知二次根式的整數部分、小數部分代入求值
【例3-1】閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道是無理數，而且，即，無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．
又例如：①，即的整數部分為1，小數部分為．
②，即的整數部分為2，小數部分為．
請解答：
(1)的整數部分為_______，小數部分為_______；
(2)設的整數部分為a，小數部分為b，求的值．
【答案】(1)2，
(2)4
【知識點】無理數整數部分的有關計算、二次根式的混合運算
【分析】本題主要考查了無理數的整數部分、小數部分、二次根式的混合運算等知識點，掌握求無理數的取值范圍是解題的關鍵．
（1）先求出的取值范圍，進而求出其整數部分和小數部分即可；
（2）先求出的取值范圍，進而確定的取值部分，然后確定的整數部分a和小數部分b，然后代入運用二次根式的混合運算法則計算即可．
【詳解】（1）解：，
，
的整數部分為2，小數部分是．
（2）解：，
，即，
的整數部分是，
小數部分是．
．
【例3-2】．設的整數部分為a，小數部分為b，則的值是 ．
【答案】1
【知識點】無理數整數部分的有關計算、運用平方差公式進行運算、二次根式的混合運算
【分析】此題主要考查了無理數的估算，平方差公式，由于，可求出a，進而求出b，代入計算即可求得．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴整數部分為，小數部分為，
∴．
故答案為：．
【變式3-1】我們知道，是一個無理數，將這個數減去整數部分，差就是小數部分，即的整數部分是1，小數部分是－1，請解答以下問題：
(1)的小數部分是________，的小數部分是________；
(2)若，其中x為正整數，，求的值；
(3)若表示不超過x的最大整數，如：，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知識點】無理數的大小估算、已知字母的值 ，求代數式的值、分母有理化
【分析】本題考查了無理數的估算、求代數式的值、分母有理化，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）估算出、的大小，即可得出答案；
（2）估算出，結合題意得出，，代入計算即可得解；
（3）分別求出，，，，的值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，即，
∴的整數部分為，小數部分為；
∵，
∴，即，
∴，
∴的整數部分為，小數部分為；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∵，其中x為正整數，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，，，
∴
【變式3-2】．閱讀下面文字，解答問題∶
∵即，
∴的整數部分是1，小數部分是．
請回答∶
(1)的整數部分是________，小數部分是________；
(2)如果的小數部分為a，的整數部分為b，求的值；
(3)已知：，其中x是整數，且，求的相反數．
【答案】(1)5，
(2)1
(3)
【知識點】無理數的大小估算、無理數整數部分的有關計算、已知字母的值 ，求代數式的值、二次根式的加減運算
【分析】此題主要考查了估算無理數的大小，正確得出各無理數的小數部分是解題的關鍵．
（1）根據解答即可；
（2）根據得出，根據得出，再把a，b的值代入計算即可；
（3）根據得出，然后根據題意得出，，然后代入求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴的整數部分是5，小數部分是；
（2）∵，
∴．
∴的小數部分，
∵，
，
∴的整數部分，
∴
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整數部分是12，小數部分是，
∵x是整數，且，
∴，．
∴，
∴相反數是．
【變式3-3】．我們知道無理數都可以化為無限不循環小數，所以的小數部分不可能全部寫出來，若的整數部分為a，小數部分為b，則，且．
(1)的整數部分是 ，小數部分是 ；
(2)若的整數部分為m，小數部分為n，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【知識點】無理數整數部分的有關計算、運用完全平方公式進行運算、二次根式的混合運算
【分析】（1）利用無理數的估算求值；
（2）利用無理數的估算確定m和n的值，然后代入求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴的整數部分是4，小數部分是；
故答案為：4；．
（2）∵，的整數部分為m，小數部分為n，
∴，，
∴．
【點睛】本題查看無理數的估算，二次根式的加減混合運算，掌握算術平方根的概念和二次根式的加減運算法則是解題關鍵．
類型4化簡分式后將二次根式代入求值
【例4-1】．先化簡，再求值：，其中
【答案】，
【知識點】分式化簡求值、分母有理化
【分析】本題考查了分式化簡求值；先對括號內進行通分運算，同時對分子、分母進行因式分解，再將除轉化為乘，進行約分，結果化為最簡分式或整式，然后代值計算，即可求解；掌握分式化簡的步驟是解題的關鍵．
【詳解】解：原式
；
當時，
原式
．
【例4-2】．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【知識點】分式加減乘除混合運算、分式化簡求值、二次根式的混合運算
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，二次根式的運算等知識點，先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將的值代入計算可得，熟練掌握分式混合運算的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
當時，
原式
．
【變式4-1】．先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【知識點】分式化簡求值、分母有理化
【分析】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化，先通分括號內，再運算除法，最后化簡原式等于，再代入，進行分母有理化，即可作答．
【詳解】解：
當時，原式．
【變式4-2】．先化簡，再求值：，其中
【答案】；
【知識點】分式化簡求值、分母有理化
【分析】本題考查了分式的化簡求值、最簡二次根式，熟練掌握分式的運算法則，二次根式的化簡是解題的關鍵．根據分式的運算法則化簡分式，再代入的值求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，
當時，原式．
【變式4-3】．小明解答“先化簡，再求值：，其中．”的過程如下：
解： ① ② ③當時，原式 ④ ⑤
(1)請指出他解答過程中開始出現錯誤的步驟是_________；（填序號）
(2)寫出正確的完整解答過程．
【答案】(1)①
(2)，，過程見解析．
【知識點】二次根式的混合運算、異分母分式加減法、分式化簡求值
【分析】此題考查了分式的化簡求值．
（1）根據分式加法運算步驟進行判斷即可；
（2）先通分把異分母分式加法變為同分母分式加法，再進行計算即可．
【詳解】（1）解：他解答過程中開始出現錯誤的步驟是①，理由是：
這是分式的加減法，不是解分式方程，不能去分母；
故答案為：①
（2）解：

當時，
原式

類型5 根據二次根式概念化簡后求值
【例5-1】．已知滿足，求的平方根．
【答案】
【知識點】求一個數的平方根、分式有意義的條件、求二次根式中的參數
【分析】根據二次根式的被開方數是非負數，可以列出關于a的不等式組，解出a的值，舍去分母為0的值后，代入的表達式，求出值，然后將代入所求式子化簡整理即可．
【詳解】由題意得
∴
∴
∴
∴
∵2的平方根為
∴
【點睛】本題考查了二次根式的被開方數是非負數，列不等式組求解的問題，解不等式注意要驗證取值是否符合題意，求平方根時注意平方根有兩個．
【例5-2】．先化簡，再求值：，其中a，b滿足．
【答案】-1
【知識點】運用平方差公式進行運算、求二次根式中的參數
【分析】根據平方差公式進行變形，再根據分式混合運算法則進行計算，再根據平方差公式的性質和二次根式的性質進行求解，即可得到答案.
【詳解】解：原式
，
∵a，b滿足，
∴，，
，，
原式．
【點睛】本題考查平方差公式和二次根式的性質，解題的關鍵是掌握平方差公式和二次根式的性質.
【變式5-1】．實數在數軸上的位置如圖所示，則化簡后為（ ）
A．7 B． C． D．無法確定
【答案】A
【知識點】根據點在數軸的位置判斷式子的正負、化簡絕對值、利用二次根式的性質化簡
【分析】本題考查了二次根式的性質和絕對值，首先根據數軸得到a的范圍，從而得到與的符號；然后利用二次根式的性質和絕對值的性質即可求解．
【詳解】解：根據數軸得：，
∴，
∴
．
故選：A．
【變式5-2】．已知有理數、滿足等式．
(1)求的平方根；
(2)計算：．
【答案】(1)的平方根是；
(2)
【知識點】求一個數的平方根、求一個數的立方根、數字類規律探索、求二次根式中的參數
【分析】（1）利用二次根式有意義的條件求得，繼而求得，代入計算即可求解；
（2）代入，，利用裂項相消，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，且，，
∴，∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）解：代入，，
原式
．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，關鍵是根據二次根式的定義進行求解．
【變式5-3】．閱讀與思考
下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
標題：雙層二次根式的化簡
內容：二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網還發現了一類帶雙層根號的式子，就是根號內又帶根號的式子，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質消掉外面的一層根號．
例如：要化簡，可以先思考，所以．通過計算，我還發現設（其中m，n，a，b都為正整數），則有，，_______．
這樣，我就找到了一種把部分雙層二次根式化簡的方法．
任務：
(1)文中的________．
(2)化簡：________．
(3)已知，其中a，x，y均為正整數，求a的值．
(4)化簡：________．（直接寫出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)7或13
(4)當時，，當時，
【知識點】復合二次根式的化簡
【分析】本題主要考查了復合二次根式的化簡：
（1）根據題目所給信息即可得到答案；
（2）根據結合完全平方公式求解即可；
（3）根據，得出，，根據x，y為正整數，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根據進行化簡求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，．
故答案為：；
（2）解：
，
故答案為：；
（3）解：由題意得，
∴，，
∵x，y為正整數，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
當，即時，則原式；
當，即時，則原式；
綜上所述，當時，，當時，．
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