資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列
7.3 平行線的性質(zhì)十大題型解題技巧
知識要點(diǎn)歸納
知識點(diǎn)1.平行線的性質(zhì)1
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同位角相等.
簡單說成：兩直線平行，同位角相等。
知識點(diǎn)2.平行線的性質(zhì)2
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等.
簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
知識點(diǎn)3.平行線的性質(zhì)3
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ).
簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
注意：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的前提是兩直線平行，不能一看到同位角、內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一看到同旁內(nèi)角就認(rèn)為它們互補(bǔ)。
知識點(diǎn)4.綜合平行線的性質(zhì)判定
1.利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題正確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即畫出示意圖或列式表示，然后再解決數(shù)學(xué)問題，最后回歸實(shí)際
2.判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時(shí)需要結(jié)合運(yùn)用“平行于同一條直線的兩條直線平行”．
3.在解決與平行線相關(guān)問題時(shí)，有時(shí)需作出適當(dāng)?shù)妮o助線.
題型歸納
【題型1 利用平行線的性質(zhì)求角度】
【題型2 利用平行線的性質(zhì)解決生活問題】
【題型3 利用平行線的性質(zhì)和判定求角度】
【題型4 利用平行線的性質(zhì)證明】
【題型5 綜合利用平行線的性質(zhì)判定證明】
【題型6 利用平行線的性質(zhì)和判定探究角度之間關(guān)系】
【題型7 利用平行線的性質(zhì)和判定解決折疊問題】
【題型8 利用平行線的性質(zhì)和判定解決三角板放置問題】
【題型9 利用平行線的性質(zhì)和判定解決跨學(xué)科問題】
【題型10 利用平行線的性質(zhì)和判定解決拐點(diǎn)問題】
題型突破、典例精析
【題型1 利用平行線的性質(zhì)求角度】
【例1-1】．如圖，是的平分線，且，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】．如圖所示，直線，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】．如圖，將一塊含有角的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】．如圖，，直線l分別與，相交，若，則的度數(shù)為 ．
【變式1-3】．如圖，點(diǎn)分別在直線上，且，若在同一平面內(nèi)存在一點(diǎn)O，使，則 ．
【題型2 利用平行線的性質(zhì)解決生活問題】
【例2-1】．一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（ ）
A．先右轉(zhuǎn)，再左轉(zhuǎn) B．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)
C．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn) D．先右轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)
【例2-2】．如圖，地面上的琪琪看熱氣球上的明明為仰角，熱氣球上的明明看地面上的琪琪為（ ）

A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角
【變式2-1】．如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道和，如果管道與縱向聯(lián)通管道的夾角，那么管道與縱向聯(lián)通管道的夾角的度數(shù)等于 ．
【變式2-2】．“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：_______；
(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線第一次到達(dá)之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
【變式2-3】．如圖①是一盞可以伸縮的臺(tái)燈，它的優(yōu)點(diǎn)是可以變化伸縮，找到合適的照明角度．圖②是這盞臺(tái)燈的示意圖．已知臺(tái)燈水平放置，當(dāng)燈頭與支架平行時(shí)可達(dá)到最佳照明角度，此時(shí)支架與水平線的夾角，兩支架和的夾角．
(1)求此時(shí)支架與底座的夾角的度數(shù)；
(2)求此時(shí)燈頭與水平線的夾角的度數(shù)．
【題型3 利用平行線的性質(zhì)和判定求角度】
【例3-1】．如圖，直線、被直線、所截，若，則的大小是 度．
【例3-2】．已知：如圖，與相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在上，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式3-1】．已知：如圖，、是直線上兩點(diǎn)，，平分，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式3-2】．如圖，分別與交于點(diǎn)G、H，分別與交于點(diǎn)B、C，分別與交于點(diǎn)D、E，．若，，求的度數(shù)．
【變式3-3】．如圖，已知，求 的度數(shù)．
【題型4 利用平行線的性質(zhì)證明】
【例4-1】．已知：如圖，，，，，求證：．
證明：，（已知）
（垂直定義）
（_______）
______（_______）
（已知）
______（等量代換）
（_______）
______（_______）
（已知）
（_______）
【例4-2】．如圖，已知，，求證：．
閱讀下面的解答過程，并填空（理由）．
證明：（已知），
（ ）
又（已知），
（ ）
（ ）
【變式4-1】．如圖，已知，射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，從點(diǎn)引一條射線，且．
求證：．
【變式4-2】．如圖，，，，，請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
【變式4-3】．如圖，已知，，．求證：．
證明：（已知），
________________（________________），
________（________________）．
（已知），________（等量代換），
（________________），
（________________）．
（已知），（等量代換），
________________（________________）．
【題型5 綜合利用平行線的性質(zhì)判定證明】
【例5-1】．如圖，點(diǎn)、、分別是的邊、、上的點(diǎn)，連接，，且，．
(1)證明：；
(2)若，平分，求的度數(shù)．
【例5-2】．已知：如圖，，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
(2)若平分，若，求的度數(shù)．
【變式5-1】．完成下面的推理填空：
已知：如圖，、分別在和上，，與互余，于．
求證：．
證明：，（已知）
．（垂直的定義）
，（已知）
__________．（_____）
，（_____）
又，
_____．
又與互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（_____）
【變式5-2】．如圖，，，的平分線交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【變式5-3】．如圖，和相交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．
(1)試說明：；
(2)若，求的度數(shù)．
【題型6 利用平行線的性質(zhì)和判定探究角度之間關(guān)系】
【例6-1】．（1）【感知】將一副三角板按如圖①所示的方式放置，使三角板的直角頂點(diǎn)E落在上，，且，則的大小為 度．
（2）【探究】如圖②，將圖①一個(gè)三角板放在一組直線與之間（其中），并使直角頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)C在直線上，現(xiàn)測得，試說明．
（3）【拓展】現(xiàn)將圖①的三角板按圖③方式擺放（其中），使頂點(diǎn)C在直線上，直角頂點(diǎn)A在直線上．若，直接寫出與之間的關(guān)系式．
【例6-2】．．如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和交射線于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求的度數(shù)，若，請直接用含的式子表示；
(2)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，與之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，請直接寫出的度數(shù)．
【變式6-1】．．已知，如圖，，則，，之間的關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】．．如圖，，，則、、的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】．．（1）如圖①，，則________；
如圖②，，則________，請你說明理由；
（2）如圖③，，則________；
（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，，和的平分線相交于點(diǎn)F，，求的度數(shù)．
【題型7 利用平行線的性質(zhì)和判定解決折疊問題】
【例7-1】．如圖，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，且，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】．如圖所示，將長方形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，折痕為，若，那么的度數(shù)為 ．
【變式7-1】．如圖，直線，M、N分別為直線上一點(diǎn)，且滿足，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），將三角形沿折疊，使頂點(diǎn)M落在點(diǎn)Q處．若，則的度數(shù)為 ．
【變式7-2】．如圖①，已知長方形紙帶，，，，點(diǎn)分別在邊上，如圖②，將紙帶先沿直線折疊后，點(diǎn)分別落在的位置，如圖③，將紙帶再沿折疊一次，使點(diǎn)落在線段上點(diǎn)的位置，若，則 ．
【變式7-3】．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，琳琳同學(xué)將一張長方形紙條沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．
(1)如圖，她通過測量發(fā)現(xiàn)：，請你證明她的結(jié)論；
(2)如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，將四邊形沿所在直線折疊得到，交于，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處．她通過測量發(fā)現(xiàn)：，請你證明她的結(jié)論．
(3)如圖，在（）的條件下，將四邊形沿向上折疊得到四邊形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落到上的點(diǎn)處，點(diǎn)落到點(diǎn)處，猜想，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【題型8 利用平行線的性質(zhì)和判定解決三角板放置問題】
【例8-1】．將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含角的三角板的一條直角邊與含角的三角板的斜邊垂直，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】．將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】．如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】．已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖所示方式放置（），并且頂點(diǎn)，分別落在直線，上，若，則的度數(shù)是 °．
【變式8-3】．將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)按如圖方式疊放在一起，友情提示：，，．
(1)①若，則的度數(shù)為________．
②若，則的度數(shù)為________．
(2)由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)若且點(diǎn)在直線的上方，當(dāng)這兩塊直角三角板有一組邊互相平行時(shí)，請直接寫出角度所有可能的值（不必說明理由）．
【題型9 利用平行線的性質(zhì)和判定解決跨學(xué)科問題】
【例9-1】．如圖1，是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中為豎直方向的饋源（反射面），入射波經(jīng)過三次反射后沿水平射出，且，已知入射波與法線的夾角，則（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】．跨學(xué)科試題·音樂五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號來記載音樂，如圖，和是五線譜上的兩條線段，點(diǎn)在，之間的一條平行線上，若，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】．兩千多年前，我們的祖先就運(yùn)用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名戥子．如圖，這是一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)，已知．則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】．跨學(xué)科試題·物理如圖，玻璃廠工人為了測試一塊玻璃的兩個(gè)面是否平行，采用了這樣一個(gè)小辦法：一束光線從空氣射入玻璃中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，光線從玻璃射入空氣也會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖所示，如果，，那么工人就會(huì)判定玻璃的兩個(gè)面平行，你明白這個(gè)辦法的道理嗎？請給出理由．
【變式9-3】．跨學(xué)科試題·物理 如圖1，將支架平面鏡放置在水平桌面上，激光筆與水平天花板的夾角為，激光筆發(fā)出的入射光線射到上后，反射光線與形成．由光的反射定律可知，、與的垂線所形成的夾角始終相等，即．
(1)的度數(shù)為_____．
(2)如圖2，點(diǎn)固定不動(dòng)，調(diào)節(jié)支架平面鏡，調(diào)節(jié)角為．
①若，求的度數(shù)；
②若反射光線恰好與平行，求的度數(shù)．
【題型10 利用平行線的性質(zhì)和判定解決拐點(diǎn)問題】
【例10-1】【探究】如圖①，已知，
（1）若，，求的度數(shù)；
（2）求證：；
【應(yīng)用】如圖②，已知，若，，，則_____________．
【例10-2】．小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】．如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-2】．已知如圖，
①由圖（1）易得、、的關(guān)系_______（直接寫結(jié)論）；
②由圖（2）試猜想、、的關(guān)系并說明理由；
[延伸拓展]
利用上面（1）（2）得出的結(jié)論完成下題
③已知，，，．若，則______°．
【變式10-3】．閱讀下列材料：
已知：如圖1，直線，點(diǎn)E是之間的一點(diǎn)，連接得到．求證：．小冰是這樣做的：證明：過點(diǎn)E作，則有．圖1即．
請利用材料中的結(jié)論，完成下面的問題：
已知：直線，直線分別與交于點(diǎn)E、F．
(1)如圖2，和的平分線交于點(diǎn)G．猜想的度數(shù)，并證明你的猜想；
(2)如圖3，和為內(nèi)滿足的兩條線，分別與的平分線交于點(diǎn)和．求證：．
2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列
7.3 平行線的性質(zhì)十大題型解題技巧
知識要點(diǎn)歸納
知識點(diǎn)1.平行線的性質(zhì)1
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同位角相等.
簡單說成：兩直線平行，同位角相等。
知識點(diǎn)2.平行線的性質(zhì)2
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等.
簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
知識點(diǎn)3.平行線的性質(zhì)3
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ).
簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
注意：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的前提是兩直線平行，不能一看到同位角、內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一看到同旁內(nèi)角就認(rèn)為它們互補(bǔ)。
知識點(diǎn)4.綜合平行線的性質(zhì)判定
1.利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題正確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即畫出示意圖或列式表示，然后再解決數(shù)學(xué)問題，最后回歸實(shí)際
2.判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時(shí)需要結(jié)合運(yùn)用“平行于同一條直線的兩條直線平行”．
3.在解決與平行線相關(guān)問題時(shí)，有時(shí)需作出適當(dāng)?shù)妮o助線.
題型歸納
【題型1 利用平行線的性質(zhì)求角度】
【題型2 利用平行線的性質(zhì)解決生活問題】
【題型3 利用平行線的性質(zhì)和判定求角度】
【題型4 利用平行線的性質(zhì)證明】
【題型5 綜合利用平行線的性質(zhì)判定證明】
【題型6 利用平行線的性質(zhì)和判定探究角度之間關(guān)系】
【題型7 利用平行線的性質(zhì)和判定解決折疊問題】
【題型8 利用平行線的性質(zhì)和判定解決三角板放置問題】
【題型9 利用平行線的性質(zhì)和判定解決跨學(xué)科問題】
【題型10 利用平行線的性質(zhì)和判定解決拐點(diǎn)問題】
2024-2025學(xué)年七年級下題型技巧培優(yōu)系列
（人教版）七年級數(shù)學(xué)下冊《相交線平行線》
7.3 平行線的性質(zhì)十大題型解題技巧（解析版）
知識要點(diǎn)歸納
知識點(diǎn)1.平行線的性質(zhì)1
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同位角相等.
簡單說成：兩直線平行，同位角相等。
知識點(diǎn)2.平行線的性質(zhì)2
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等.
簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
知識點(diǎn)3.平行線的性質(zhì)3
兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ).
簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
注意：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的前提是兩直線平行，不能一看到同位角、內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一看到同旁內(nèi)角就認(rèn)為它們互補(bǔ)。
知識點(diǎn)4.綜合平行線的性質(zhì)判定
1.利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題正確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即畫出示意圖或列式表示，然后再解決數(shù)學(xué)問題，最后回歸實(shí)際
2.判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時(shí)需要結(jié)合運(yùn)用“平行于同一條直線的兩條直線平行”．
3.在解決與平行線相關(guān)問題時(shí)，有時(shí)需作出適當(dāng)?shù)妮o助線.
題型歸納
題型突破、典例精析
【題型1 利用平行線的性質(zhì)求角度】
【例1-1】．如圖，是的平分線，且，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題考查了平分線的定義、平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，再根據(jù)角平分線的定義可知．
【詳解】解：如下圖所示，
，
，
平分，
．
故選：C．
【例1-2】．如圖所示，直線，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角度，根據(jù)得到，再根據(jù)平角定義結(jié)合進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖，
，
，，
，
故選：C．
【變式1-1】．如圖，將一塊含有角的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)直尺的兩條對邊平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角，求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵直尺的兩條對邊平行，，
∴，
∴；
故選B．
【變式1-2】．如圖，，直線l分別與，相交，若，則的度數(shù)為 ．
【答案】/130度
【知識點(diǎn)】兩直線平行同位角相等
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題關(guān)鍵．
根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式1-3】．如圖，點(diǎn)分別在直線上，且，若在同一平面內(nèi)存在一點(diǎn)O，使，則 ．
【答案】或
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．分兩種情況：點(diǎn)O在和之間，點(diǎn)在上方，過O作，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到的度數(shù)．
【詳解】解：分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)O在和之間時(shí)，
過點(diǎn)O作，如圖①，則，
；
當(dāng)點(diǎn)O在上方時(shí)，
過點(diǎn)O作，如答圖②，則
．
圖① 圖②
【題型2 利用平行線的性質(zhì)解決生活問題】
【例2-1】．一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（ ）
A．先右轉(zhuǎn)，再左轉(zhuǎn) B．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)
C．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn) D．先右轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)
【答案】B
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)判定即可．
【詳解】解：如圖所示：
A、
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、
故本選項(xiàng)正確；
C、
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
【例2-2】．如圖，地面上的琪琪看熱氣球上的明明為仰角，熱氣球上的明明看地面上的琪琪為（ ）

A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角
【答案】C
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，俯角、仰角的定義，解題關(guān)鍵是能正確理解俯角、仰角的定義．
根據(jù)平行線的性質(zhì)，俯角、仰角的定義求解即可；
【詳解】解：俯角和仰角都是視線與水平線的夾角，視線在水平線之上的是仰角，視線在水平線之下的是俯角，
根據(jù)題意可得：水平線互相平行，熱氣球上的明明看地面上的琪琪時(shí)視線在水平線之下，
故視線與水平線夾角為，故為俯角．
故選：C．
【變式2-1】．如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道和，如果管道與縱向聯(lián)通管道的夾角，那么管道與縱向聯(lián)通管道的夾角的度數(shù)等于 ．
【答案】/80度
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式2-2】．“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：_______；
(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線第一次到達(dá)之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
【答案】(1)
(2)30或110秒
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系的運(yùn)用、一元一次方程的幾何應(yīng)用，
（1）根據(jù)兩角之和為以及兩角之比為即可求解；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分為兩種情況得到關(guān)于t的方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵且，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：；
（2）設(shè)燈A轉(zhuǎn)t秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，
或，
所以或．
答：燈A轉(zhuǎn)動(dòng)30或110秒，兩燈的光束互相平行．
【變式2-3】．如圖①是一盞可以伸縮的臺(tái)燈，它的優(yōu)點(diǎn)是可以變化伸縮，找到合適的照明角度．圖②是這盞臺(tái)燈的示意圖．已知臺(tái)燈水平放置，當(dāng)燈頭與支架平行時(shí)可達(dá)到最佳照明角度，此時(shí)支架與水平線的夾角，兩支架和的夾角．
(1)求此時(shí)支架與底座的夾角的度數(shù)；
(2)求此時(shí)燈頭與水平線的夾角的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【題型3 利用平行線的性質(zhì)和判定求角度】
【例3-1】．如圖，直線、被直線、所截，若，則的大小是 度．
【答案】
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、求一個(gè)角的補(bǔ)角
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，得出，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，得出，根據(jù)補(bǔ)角的和為，則計(jì)算得出答案即可．
【詳解】解：如圖，標(biāo)記，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【例3-2】．已知：如圖，與相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在上，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先由，證明，得，因?yàn)?，故，即可作答?br/>（2）因?yàn)椋?，則，即可作答．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
【變式3-1】．已知：如圖，、是直線上兩點(diǎn)，，平分，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由鄰補(bǔ)角可得，結(jié)合題意可得，再由同位角相等兩直線平行證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得，再由角平分線求得，最后由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
，
∴；
（2）解：，，
，
平分，
，
∵，
．
【變式3-2】．如圖，分別與交于點(diǎn)G、H，分別與交于點(diǎn)B、C，分別與交于點(diǎn)D、E，．若，，求的度數(shù)．
【答案】
【知識點(diǎn)】利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度
【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義．根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理證明，得出，進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式3-3】．如圖，已知，求 的度數(shù)．
【答案】．
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算
【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)，對頂角與補(bǔ)角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，由已知且，可得到，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得到，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得到，已知，則，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得的度數(shù)，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：且，
，
∴，
，
，
，
，而，
．
【題型4 利用平行線的性質(zhì)證明】
【例4-1】．已知：如圖，，，，，求證：．
證明：，（已知）
（垂直定義）
（_______）
______（_______）
（已知）
______（等量代換）
（_______）
______（_______）
（已知）
（_______）
【答案】同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同位角相等；等量代換
【知識點(diǎn)】垂線的定義理解、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行線的性質(zhì)與垂直的定義進(jìn)行證明即可．
【詳解】證明：，（已知）
（垂直定義）
（同位角相等，兩直線平行）
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
（已知）
（等量代換）
（同位角相等，兩直線平行）
（兩直線平行，同位角相等）
（已知）
（等量代換）
；
故答案為：同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同位角相等；等量代換
【例4-2】．如圖，已知，，求證：．
閱讀下面的解答過程，并填空（理由）．
證明：（已知），
（ ）
又（已知），
（ ）
（ ）
【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同位角相等．
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，首先根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明，然后根據(jù)平行公理的推論得到，進(jìn)而得到．
【詳解】證明：（已知），
（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
又（已知），
（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
（兩直線平行，同位角相等）．
【變式4-1】．如圖，已知，射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，從點(diǎn)引一條射線，且．
求證：．
【答案】見解析
【知識點(diǎn)】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用．先證明，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式4-2】．如圖，，，，，請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】，理由見解析
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，由角的和差關(guān)系可求出，則可判斷與互補(bǔ)，然后根據(jù)平行線的判定可得出，最后根據(jù)平行線的傳遞性即可得出結(jié)論．
【詳解】解：．
理由：，，
．
又，
．
又，
，
，
又，
．
【變式4-3】．如圖，已知，，．求證：．
證明：（已知），
________________（________________），
________（________________）．
（已知），________（等量代換），
（________________），
（________________）．
（已知），（等量代換），
________________（________________）．
【答案】見解析
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理補(bǔ)全證明過程即可．
【詳解】解：（已知），
（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
（已知），
（等量代換），
（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
（兩直線平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代換），
（同位角相等，兩直線平行）．
【題型5 綜合利用平行線的性質(zhì)判定證明】
【例5-1】．如圖，點(diǎn)、、分別是的邊、、上的點(diǎn)，連接，，且，．
(1)證明：；
(2)若，平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵．
（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到，進(jìn)而得出，即可證明結(jié)論；
（2）由平行線的性質(zhì)，得到，結(jié)合角平分線的定義，得出，即可得出的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
【例5-2】．已知：如圖，，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
(2)若平分，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義；
（1）根據(jù)可得，從而證明，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：．
理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【變式5-1】．完成下面的推理填空：
已知：如圖，、分別在和上，，與互余，于．
求證：．
證明：，（已知）
．（垂直的定義）
，（已知）
__________．（_____）
，（_____）
又，
_____．
又與互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（_____）
【答案】，，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，同位角相等，，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；
【知識點(diǎn)】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題干信息的提示逐步完善推理過程與推理依據(jù)即可．
【詳解】證明：，（已知）
．（垂直的定義）
，（已知）
．（同位角相等，兩直線平行）
，（兩直線平行，同位角相等）
又，
．
又與互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
【變式5-2】．如圖，，，的平分線交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【答案】(1)詳見解析
(2)，理由見解析．
【知識點(diǎn)】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】（）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可求證，
（）作，根據(jù)平行公理推論得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，
本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行公理推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，平行公理推論是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，如圖，作，
則，
由（）可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式5-3】．如圖，和相交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．
(1)試說明：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，等量代換可得，根據(jù)平行線的判定定理即可得證；
（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可得，，根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作，
，
，，
，
．
【題型6 利用平行線的性質(zhì)和判定探究角度之間關(guān)系】
【例6-1】．（1）【感知】將一副三角板按如圖①所示的方式放置，使三角板的直角頂點(diǎn)E落在上，，且，則的大小為 度．
（2）【探究】如圖②，將圖①一個(gè)三角板放在一組直線與之間（其中），并使直角頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)C在直線上，現(xiàn)測得，試說明．
（3）【拓展】現(xiàn)將圖①的三角板按圖③方式擺放（其中），使頂點(diǎn)C在直線上，直角頂點(diǎn)A在直線上．若，直接寫出與之間的關(guān)系式．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）
【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，所以可得，進(jìn)一步可求得答案；
（2）由已知可求得，即可根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”得出結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1），
，
，
；
故答案為：75；
（2），理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
【例6-2】．．如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和交射線于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求的度數(shù)，若，請直接用含的式子表示；
(2)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，與之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，請直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)，
(2)不改變，恒為，理由見解析
(3)
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義的運(yùn)用等知識點(diǎn)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)分別平分和，即可得出的度數(shù)；同理：當(dāng)，用含的式子表示即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)平分，即可得到進(jìn)而得出，進(jìn)而完成解答；
（3）根據(jù)，得出，進(jìn)而得，根據(jù)，進(jìn)而求得的度數(shù)．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵分別平分和，
∴
∴；
若，
∵，．
∴，
∴，
∵分別平分和，
∴，
∴；
（2）解：不變．恒為，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
當(dāng)時(shí)，則有，
∴，
∴，
∴．
【變式6-1】．．已知，如圖，，則，，之間的關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．
作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后由整理后可得答案．
【詳解】解：如圖，作，

∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即．
故選：C．
【變式6-2】．．如圖，，，則、、的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．分別過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系即可解答．
【詳解】解：分別過點(diǎn)作，
，
，
，
，
，
．
故選：D．
【變式6-3】．．（1）如圖①，，則________；
如圖②，，則________，請你說明理由；
（2）如圖③，，則________；
（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，，和的平分線相交于點(diǎn)F，，求的度數(shù)．
【答案】（1），，見解析；（2）；（3）
【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義；
（1）直接由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得圖①答案；如圖，過點(diǎn)作，證明，再利用平行線的性質(zhì)可得圖②的答案；
（2）如圖，過點(diǎn)作，證明，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案；
（3）過作．證明，可得．求解，再結(jié)合角平分線的定義可得答案．
【詳解】解：（1） ，理由如下：
理由：∵，
∴．
如圖，過點(diǎn)作．
，
，
，
．
（2）如圖，過點(diǎn)作．
，
，
∴，
結(jié)合（1）的結(jié)論可得：，
∴；
（3）如圖，過作．
，
，
．
，
．
平分，平分，
，
【題型7 利用平行線的性質(zhì)和判定解決折疊問題】
【例7-1】．如圖，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，且，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．由可得，根據(jù)折疊得：，最后根據(jù)平角的定義即可求解．
【詳解】解：，
，
由折疊得：，
，
故選：C．
【例7-2】．如圖所示，將長方形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，折痕為，若，那么的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】先利用長方形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用平角定義可得，然后利用折疊的性質(zhì)可得：，從而利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了長方形的折疊，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折疊得：，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式7-1】．如圖，直線，M、N分別為直線上一點(diǎn)，且滿足，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），將三角形沿折疊，使頂點(diǎn)M落在點(diǎn)Q處．若，則的度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．分兩種情況：①點(diǎn)在與之間；②點(diǎn)在下方，結(jié)合折疊性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可求得，結(jié)合，，從而可求解．
【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)在與之間，
由折疊可得：，
，
，
，
，
，，，
，
解得：；
②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖，

由折疊可得：，
，
，
，
，
，，，
，
解得：；
綜上所述：的度數(shù)為或．
故答案為：或．
【變式7-2】．如圖①，已知長方形紙帶，，，，點(diǎn)分別在邊上，如圖②，將紙帶先沿直線折疊后，點(diǎn)分別落在的位置，如圖③，將紙帶再沿折疊一次，使點(diǎn)落在線段上點(diǎn)的位置，若，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
由折疊得，根據(jù)，得到，由折疊的性質(zhì)得到，即，再根據(jù)求出，代入數(shù)值即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，
∵，
∴，
又∵根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∵根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∵，，，
∴，
將代入上式，即，
解得，
故答案為．
【變式7-3】．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，琳琳同學(xué)將一張長方形紙條沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．
(1)如圖，她通過測量發(fā)現(xiàn)：，請你證明她的結(jié)論；
(2)如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，將四邊形沿所在直線折疊得到，交于，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處．她通過測量發(fā)現(xiàn)：，請你證明她的結(jié)論．
(3)如圖，在（）的條件下，將四邊形沿向上折疊得到四邊形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落到上的點(diǎn)處，點(diǎn)落到點(diǎn)處，猜想，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，理由見解析
【分析】（）作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可求解；
（）根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和角度和差；
（）根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和角度和差；
本題考查了平行線的性質(zhì)額折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），理由：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【題型8 利用平行線的性質(zhì)和判定解決三角板放置問題】
【例8-1】．將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含角的三角板的一條直角邊與含角的三角板的斜邊垂直，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度
【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計(jì)算，先證明，得到，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖，由題意，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選D．
【例8-2】．將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行公理推論，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．如圖（見解析），過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，
由題意得：，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【變式8-1】．如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、對頂角相等、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意∶兩直線平行，同位角相等，題目比較好，難度不大．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/4．得出∠5，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=∠5，即可得出答案．
【詳解】解： ，，
，
，
，
故答案為：C．
【變式8-2】．已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖所示方式放置（），并且頂點(diǎn)，分別落在直線，上，若，則的度數(shù)是 °．
【答案】38
【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，，再結(jié)合三角板的角的度數(shù)即可求得答案．
【詳解】解：作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：38．
【變式8-3】．將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)按如圖方式疊放在一起，友情提示：，，．
(1)①若，則的度數(shù)為________．
②若，則的度數(shù)為________．
(2)由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)若且點(diǎn)在直線的上方，當(dāng)這兩塊直角三角板有一組邊互相平行時(shí)，請直接寫出角度所有可能的值（不必說明理由）．
【答案】(1)①；②
(2)．理由見解析
(3)可能為或
【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)．
（1）①根據(jù)和的度數(shù)，求得的度數(shù)，再根據(jù)求得的度數(shù)；
②根據(jù)和的度數(shù)，求得的度數(shù)，再根據(jù)求得的度數(shù)；
（2）根據(jù)以及，進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；
（3）分2種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求得角度即可．
【詳解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
②因?yàn)?，?br/>所以，
所以，
故答案為：；
（2）解：猜想：．理由如下：
因?yàn)?，?br/>所以，
即；
（3）解：可能為或．
當(dāng)時(shí)，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以；
當(dāng)時(shí)，
．
【題型9 利用平行線的性質(zhì)和判定解決跨學(xué)科問題】
【例9-1】．如圖1，是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中為豎直方向的饋源（反射面），入射波經(jīng)過三次反射后沿水平射出，且，已知入射波與法線的夾角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)作，可得，根據(jù)題意得到，再由平行線的性質(zhì)得到，得出答案，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點(diǎn)作，為法線，如圖：
∵，
∴，
∴，
∴為法線，
∴，
∵為法線，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
【例9-2】．跨學(xué)科試題·音樂五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號來記載音樂，如圖，和是五線譜上的兩條線段，點(diǎn)在，之間的一條平行線上，若，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而求解即可．
【詳解】如圖所示，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故選：A．
【變式9-1】．兩千多年前，我們的祖先就運(yùn)用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名戥子．如圖，這是一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)，已知．則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到，得出的度數(shù)，由平角的定義即可得到的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，
由題意得：，
∴，
∵
∴，
又
∴．
故選：C．
【變式9-2】．跨學(xué)科試題·物理如圖，玻璃廠工人為了測試一塊玻璃的兩個(gè)面是否平行，采用了這樣一個(gè)小辦法：一束光線從空氣射入玻璃中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，光線從玻璃射入空氣也會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖所示，如果，，那么工人就會(huì)判定玻璃的兩個(gè)面平行，你明白這個(gè)辦法的道理嗎？請給出理由．
【答案】見解析
【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)．延長l，首先由，推出，從而結(jié)合，，推出，從而結(jié)合平行線的判定定理證明即可．
【詳解】解：如圖，延長l，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴工人就會(huì)判定玻璃的兩個(gè)面平行．
【變式9-3】．跨學(xué)科試題·物理 如圖1，將支架平面鏡放置在水平桌面上，激光筆與水平天花板的夾角為，激光筆發(fā)出的入射光線射到上后，反射光線與形成．由光的反射定律可知，、與的垂線所形成的夾角始終相等，即．
(1)的度數(shù)為_____．
(2)如圖2，點(diǎn)固定不動(dòng)，調(diào)節(jié)支架平面鏡，調(diào)節(jié)角為．
①若，求的度數(shù)；
②若反射光線恰好與平行，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，余角的性質(zhì)等；
（1）由垂直的定義得，，由余角的性質(zhì)即可求解；
（2）①過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)得 ，由平行線的判定方法得，由平行線的性質(zhì)得，求出后，即可求解；②由平行線的性質(zhì)得，由平行線的判定方法得，由平行線的性質(zhì)，即可求解；
掌握平行線的判定及性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助平行線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案：；
（2）解：①過點(diǎn)作，如圖，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案：；
②如圖，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案：．
【題型10 利用平行線的性質(zhì)和判定解決拐點(diǎn)問題】
【例10-1】【探究】如圖①，已知，
（1）若，，求的度數(shù)；
（2）求證：；
【應(yīng)用】如圖②，已知，若，，，則_____________．
【答案】（1）；（2）見解析；【應(yīng)用】．
【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．
（1）如圖所示，過點(diǎn)P作，首先得到，求出，然后證明出，即可得到；
（2）根據(jù)得到，根據(jù)得到，進(jìn)而求解即可；
應(yīng)用：過點(diǎn)P作，延長到點(diǎn)M，由（2）得，進(jìn)而得到，同理得到，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)P作，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
應(yīng)用：如圖所示，過點(diǎn)P作，延長到點(diǎn)M，
由（2）得，，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：138．
【例10-2】．小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．首先過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得：，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得：，，根據(jù)角之間的關(guān)系可得：，等量代換可得：．
【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)作，
，，
，
，
又，
．
故選：D．
【變式10-1】．如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定．首先根據(jù)題意作輔助線：過點(diǎn)作，即可得，則可求得：，，進(jìn)而可得的值．
【詳解】解：過點(diǎn)作，
，
，
，，
，，
，
，
故選：D．
【變式10-2】．已知如圖，
①由圖（1）易得、、的關(guān)系_______（直接寫結(jié)論）；
②由圖（2）試猜想、、的關(guān)系并說明理由；
[延伸拓展]
利用上面（1）（2）得出的結(jié)論完成下題
③已知，，，．若，則______°．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）85
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，通過平行線的性質(zhì)推出各角之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于作出相應(yīng)的輔助線．
①如圖（1），過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出答案；
②如圖（2），過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出答案；
③根據(jù)題意得：，，由②結(jié)合得：，再由②的結(jié)論即可求解．
【詳解】解：①如圖（1）所示：過點(diǎn)作，
∵，，
∴，
，，
，
；
②如圖（2）所示：過點(diǎn)作，
∵，，
∴，
，，
；
∴；
③∵，，
，，
∵，由②得，
∵，
∴，
∴，
∵，由①得，
∴．
故答案為：85．
【變式10-3】．閱讀下列材料：
已知：如圖1，直線，點(diǎn)E是之間的一點(diǎn)，連接得到．求證：．小冰是這樣做的：證明：過點(diǎn)E作，則有．圖1即．
請利用材料中的結(jié)論，完成下面的問題：
已知：直線，直線分別與交于點(diǎn)E、F．
(1)如圖2，和的平分線交于點(diǎn)G．猜想的度數(shù)，并證明你的猜想；
(2)如圖3，和為內(nèi)滿足的兩條線，分別與的平分線交于點(diǎn)和．求證：．
【答案】(1)，見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，作出輔助線構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．
對于（1），先由材料中的結(jié)論得，再根據(jù)平行線的定義得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得，最后代入整理可得結(jié)論；
對于（2），作，可得，由上述可得，及，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得，進(jìn)而得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖2所示，猜想：．
證明：由材料中的結(jié)論得，
∵分別平分和，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）證明：如圖3，過點(diǎn)作，
∵，
∴，
由結(jié)論可得，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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