資源簡介

專題2數(shù)軸
【知識解讀】
1．借助數(shù)軸比較大小
在數(shù)軸上，原點表示0，原點左邊的點表示的數(shù)是負數(shù)，原點右邊的點表示的數(shù)是正數(shù)．左邊的點表示的數(shù)總是小于右邊的點表示的數(shù)．
2．借助數(shù)軸探究規(guī)律
數(shù)軸是數(shù)與形結(jié)合的一個很好的工具，一些與數(shù)有關(guān)的問題或者點的運動規(guī)律有關(guān)的問題，借助數(shù)軸來研究可以更加直觀方便．
3．借助數(shù)軸解決實際問題
一些實際問題，比如與時間、溫度等有關(guān)的問題，比較適合抽象成數(shù)軸，此時可以借助數(shù)軸來直觀求解．
4．借助數(shù)軸解決兩點之間的距離問題
數(shù)軸上表示m，n兩個數(shù)的點之間的距離等于．
5．借助數(shù)軸化簡含絕對值的式子
根據(jù)題目條件，我們將數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能較為容易地判斷出它們的和、差是正數(shù)還是負數(shù)，從而正確化簡含有絕對值的式子．
培優(yōu)學案
【典例示范】
1．借助數(shù)軸比較大小
例1（希望杯試題）如圖2－1，數(shù)軸上標出了有理數(shù)a，b，c的位置，其中0是原點，則，，的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【提示】思路一：由圖形可看出：b是正數(shù)，a，c是負數(shù)，且a＞c．
思路二：結(jié)合圖形，可用符合要求的特殊值來代替a，b，c．
【技巧點評】
結(jié)合圖形，用符合要求的特殊值代替字母，可以將含字母的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)的大小比較．
【跟蹤訓練1】
a，b，c三個有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖2－2所示，則（ ）
A． B．
C． D．
2．借助數(shù)軸探究規(guī)律
例2如圖2－3，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓上（該圓周長為3個單位長，且在圓周的三等分點處分別標上了數(shù)字0，1，2）：先讓原點與圓周上0所對應的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1，2，3，4，……所對應的點分別與圓周上1，2，0，1，……所對應的點重合．這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應關(guān)系．
（1）圓周上數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對應，則a＝ ；
（2）數(shù)軸上的一個整數(shù)點剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對應的位置，這個整數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示）．
圖2－3
【提示】根據(jù)圖中提供的信息可知數(shù)軸上的數(shù)與圓周上的數(shù)的對應關(guān)系如下：
數(shù)軸上0，1，2 3，4，5 6，7，8…
圓周上0，1，2 0，1，2 0，1，2…
【技巧點評】
從第一組對應開始，依次寫出多組對應，便于尋找規(guī)律．
【跟蹤訓練2】
一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位……依此規(guī)律跳下去，當它跳第100次落下時，落點處離O點的距離是 個單位。
3．借助數(shù)軸解決實際問題
例3父親是兒子現(xiàn)在年齡時，兒子已10歲，而當兒子是父親現(xiàn)在年齡時，父親將82歲，問父子兩人相差幾歲？
【提示】畫出數(shù)軸，分別用A，B兩點表示兒子和父親現(xiàn)在的年齡，并設父子兩人的年齡差為x，再根據(jù)題意表示出10和82的位置。
【解答】
【技巧點評】
將實際問題用數(shù)軸表示出來，使得抽象的數(shù)變得直觀，數(shù)與形的完美結(jié)合為簡捷解題打開了一扇門．
【跟蹤訓練3】
某城市早晨測得的溫度為3℃，中午再測量時發(fā)現(xiàn)溫度上升了4℃，晚上測量時比中午又降了8℃，問晚上的氣溫是多少？晚上氣溫比早上變化了多少？請借助數(shù)軸予以分析．
【解答】
4．借助數(shù)軸解決兩點之間的距離問題
例4閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為．
當A、B兩點中有一點在原點是，不妨設點A在原點，如圖2－4①，；
當A、B兩點都不在原點時，
如圖2－4②，點A、B都在原點的右邊時，；
如圖2－4③，點A、B都在原點的左邊時，；
如圖2－4④，點A、B都在原點的兩邊時，．
圖2－4
回答下列問題：
數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是 ，數(shù)軸上表示1和－3的兩點之間的距離是 ；
數(shù)軸上表示x和－1的兩點之間的距離是 ，如果＝2，那么x為 ；
當代數(shù)式取值最小時，相應的x的取值范圍是 。
【提示】第（3）問：借助數(shù)軸，讓表示x的點從左向右移動，在移動過程中尋找點在什么位置時，
的值最小．
【技巧點評】
數(shù)軸上表示m，n兩個數(shù)的點之間的距離等于．因此很多與絕對值有關(guān)的問題可借助數(shù)軸而變得直觀．
【跟蹤訓練4】
如圖2－5，如果0＜p＜15，那么代數(shù)式在p≤x≤15上的最小值是（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
5．借助數(shù)軸化簡含絕對值的式子
例5已知b＜a＜0，c＞0，，化簡．
【提示】根據(jù)已知條件，將表示a，b，c的點在數(shù)軸上表示出來，再去判斷每個絕對值內(nèi)式子的正負，然后去掉絕對值符號進行化簡．
【解答】
【技巧點評】
將表示a，b，c的點在數(shù)軸上表示出來，很容易判斷出a，a＋b，c－a和b＋c的正負，從而進行化簡．
【跟蹤訓練5】
已知a＜0，b＞0，且，求的值．
【解答】
培優(yōu)訓練
【直擊中考】
1．（2017·北京）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖2－6所示，則正確的結(jié)論是（ 　）
A．a(chǎn)＞－4 B．bd＞0 C． ＞ D．b＋c＞0
2．（2017·江蘇揚州）若數(shù)軸上表示－1和3的兩點分別是點A和點B，則點A和點B之間的距離是（ ）
A．－4 B－2 C．2 D．4
3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖2－7所示，把－a，－b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（）
A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a
4．如圖2－8，數(shù)軸上點P對應的數(shù)為p，則數(shù)軸上與數(shù)對應的數(shù)是( )
A．點A B．點B C．點C D．點D
5．（2017·河北）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如圖2－9所示．設點A，B，C所對應數(shù)的和是p．
（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應的數(shù)，并計算p的值；若以C為原點，p又是多少？
（2）若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO＝28，求p．
【挑戰(zhàn)競賽】
1．★★（江蘇省競賽題）已知數(shù)軸上的三點A，B，C分別表示有理數(shù)a，1，－1，那么│a＋1│表示（ ）
A．A，B兩點的距離 B．A，C兩點的距離
C．A，B兩點到原點的距離之和 D．A，C兩點到原點的距離之和
2．★★（希望杯試題）觀察圖2－10中的數(shù)軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應的數(shù)，，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
3．★★（希望杯試題）一滴墨水灑在一個數(shù)軸上，根據(jù)圖2－11中標出的數(shù)值，可以判定墨跡蓋住的整數(shù)個數(shù)是（）
A．285 B．286 C．287 D．288
4．★★（希望杯試題）數(shù)軸上坐標是整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為1995厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點的個數(shù)是（ ）
A．1994或1995 B．1994或1996 C．1995或1996 D．1995或1997
5．★★（迎春杯試題）代數(shù)式│x＋11│＋│x－12│＋│x＋13│的最小值為 ．

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