資源簡介

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專題1 相反數 2
專題2 絕對值
專題3 倒數 3
專題4 科學計數法
專題5 二次根式 4
專題6 三視圖
專題7 冪的運算 5
專題8 整式的運算
專題9 一元二次方程根的判別式 6
專題10 一元二次方程根與系數的關系
專題11 因式分解 7
專題12 概率
專題13 實數的運算 8
專題14 全等三角形
專題15 分式化簡 9
專題16 定義運算
專題17 統計和概率 10
專題18 二元一次方程組和一元一次不等式組的應用利潤問題 11
專題19 反比例函數與一次函數 12
專題20 解直角三角形的應用 13
專題21 圓的綜合題 14
專題22 二次函數的綜合題 15
專題1 相反數 專題2 絕對值
1.的相反數是（ ） A. 5 B. C. D. 2.實數的相反數是（ ） A. B. C. D. 3.有理數2024的相反數是（ ） A. 2024 B. C. D. 4.的相反數是（　　） A. B. 2 C. D. 5.0.5 的相反數是　 　. -[-(+4)]的相反數是　 　. 7.-(-6)的相反數是　 　. 9.-[-(-9)]的相反數是　 　. 10.-[+(-8)]的相反數是　 　. 11.+(-2)的相反數是　 　. 12.-[-(-9)]的相反數是　 　. 13.-(-3.4)的相反數是　 　. 14.4的相反數是　 　.π的相反數是　 　. ﹣|﹣5|的相反數是　 　. ﹣(﹣3)的相反數是　 　. ﹣(＋2)的相反數是　 　. ﹣2017的相反數是　 　. 20.-(-4)=______.-[-( - 7)]=______. 22.-(-0.6)=______.-(-12.5)=______. 24.-[-( - 3 )]=______..-(-a)=______. 26.-[-(-b)]=______.-(-x + 1)=______. 28.-[-(-y - 2)]=______. 1.絕對值等4的數是______. 2.絕對值最小的有理數是______. 3.一個數的絕對值是它本身，這個數是______. 4.一個數的絕對值是它的相反數，這個數是___. 5.____________ 6. 7. 8.絕對值等于5.7的數是____________； 9.絕對值是5的數是　 　. 10.若|x|=3，|y|=2，則|x+y|=____________. 11.____________ 12.____________ 13.___________ 14.____________ 15._____；______. 17. 的絕對值等于(　　) 18.若與1互為相反數，則( 　　) 19.－|－(－7.5)| =__________. 20.-2的絕對值是__________. 21.　 　. 22.=( ) A. B. C. D.
中考鏈接 (2021)1.2021的相反數是(　　). A.﹣2021 B.2021 C. D.﹣ (2016)1.6的相反數為(　　). A.-6 B.6 C. D. (2013)1.﹣2的相反數是(　　). A.2 B.-2 C. D. (2022)1.-6的相反數是(　　).
A.-6 B.6 C. D. (2019)1.﹣8的絕對值是(　　) A.8 B.﹣8 C. D.﹣ (2017)1.的絕對值為( ) A.7 B. C. D. (2015)1.﹣7的絕對值為(　　) A.7 B. C. D. (2022)-6的絕對值是(　　) A.-6 B.6 C. D.
專題3 倒數 專題4 科學計數法
1.如果兩個數互為倒數，那么這兩個數的積為_______. 2.的倒數是________. 3.的倒數是________. 4如果一個數的倒數是，則這個數是________. 5.已知a,b互為倒數，則的值為________. 6.若一個數的倒數是，則這個數的是_____. 7.已知m和n互為倒數，則的值為_______. 8._________與互為倒數. 9.的倒數是_________. 10.與互為倒數的數是________. 11.已知，則ab的值為________. 12.和________互為倒數. 的倒數是________. 14.的倒數是______；的倒數的是______. 15.的倒數是_______；的倒數是_______ 16.的倒數是_______；的倒數是_______. 17.已知：， 則的值是(　　) A. B. C.3 D.-3 1.二十大報告指出，我國經濟實力實現歷史性躍升，國內生產總值從五十四萬億元增長到一百一十四萬億元，我國經濟總量占世界經濟的比重達百分之十八點五，提高七點二個百分點，穩居世界第二位.其中114萬億用科學記數法表示為(　　) A.1.14×1012 B.1.14×1013 C.1.14×1014 D.1.14×1015 2.大型紀錄片《厲害了，我的國》上映25天，累計票房約為4.027×108成為中國紀錄電影票房冠軍，這個用科學記數法表示的數據的原數為(　　) A.0.000000004027 B.0.00000004027 C.402700000 D.4027000000 3.年6月6日，嫦娥六號在距離地球約千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接．數據用科學記數法表示為（ ） A.B.C. D. 4.中國的太空空間站離地球大約400000米，則近似數400000用科學記數法表示為(　　) A.4×104 B.40×104 C.4×105 D.40×105 5.祖沖之發現的圓周率的分數近似值≈3.1415929，稱為密率，比π的值只大0.0000003，0.0000003這個數用科學記數法可表示為(　　) A.0.3×10﹣6 B.0.3×10﹣7 C.3×10﹣6 D.3×10﹣7 6.某地城市軌道交通6號線全長22912m，該長度用科學記數法(精確到1000m)可表示為(　　) A.2.2×104m B.2.3×104m C.2.2×105m D.2.3×105m 7.2020年11月1日0時我國啟動第七次全國人口普查，此次普查的全國總人口基數為1370536875人.將1370536875精確到千萬位，用科學記數法表示為(　　) A.137 B.1.37×109 C.13.7×108 D.137×107
中考鏈接 (2020)1.2的倒數是(　　) A. B. C.2 D.﹣2 (2014)1.5的倒數為(　　) A. B.5 C. D.-5 (2023)1.的倒數是(　　) A.5 B.-5 C. D. (2023)2.市2022年全市地區生產總值(GDP)為2601.5億元，將數據260150000000用科學記數法表示為(　　) A.2.6015×1010 B.2.6015×1011 C.2.6015×1012 D.2.6015×1013 (2024)2.第二十屆中國國際酒業博覽會于2024年3月日在市國際會展中心舉辦，各種活動帶動消費2.6億元，將數據260000000用科學記數法表示為　　 A. B. C. D.
專題5 二次根式 專題6 三視圖
1.式子在實數范圍內有意義，則的取值是( ) A.a≥-2 B.a≤-2 C.a≥2 D.a≤2 2.若和最簡二次根式是同類二次根式，則m的值為( ) A. B. C. D. 3.下列二次根式化為最簡二次根式后能與合并的是( ) A. B. C. D. 4.下列計算正確的是( ) A. B. C. D. 5.下列計算正確的是( ) A. B. C. D. 6.對于任意實數，下列各式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 7.估計的值在( ) A.5和6之間 B.6和7之間 C.7和8之間 D.8和9之間 8.下列計算中，正確的是( ) A. B. C. D. 9.計算： . 1.下列立體圖形中，俯視圖為三角形的是( ) 2.由5個相同的小正方體組成的幾何體如圖所示，該幾何體的左視圖是( ) 3.如圖所示為正方體的表面展開圖，每個面內都分別寫有一個字，則與“創”字相對面上的字是( )
A.文 B.明 C.城 D.市 4.如圖,這是由四個相同的小正方體組成的一個立體圖形,它的俯視圖是 ( ) 5.如圖,這是由一個圓柱體和一個長方體組成的幾何體,其主視圖是( ) 6.如圖,這是一個六角螺栓,它的主視圖和俯視圖都正確的是( )
中考鏈接 (2014)6.已知實數x、y滿足+|y+3|=0，則x+y的值為( ) 　A.﹣2B.2C.4D.﹣4
(2018)13.若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　 　. (2021)4.函數y＝的自變量x的取值范圍是( ) A.x＜1 B.x＞1 C.x≤1 D.x≥1 (2022)7.與最接近的整數是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2024)3.下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為矩形的是( ) A. B. C. D. (2023)4.一個立體圖形的三視圖如圖所示，則該立體圖形是( ) A.圓柱 B.圓錐 C.長方體 D.三棱柱
專題7 冪的運算 專題8 整式的運算
1.若且，，則的值為(　　) A. B. C. D. 2.(　　) A. B. C. D. 3.計算：的結果是(　　) A. B. C. D. 4.計算的結果為(　　) A.1 B. C.2 D. 5.計算的結果是(　　) A. B. C. D. 6.若，，則(　　) A.108 B.54 C.36 D.72 7.計算的結果是(　　) A. B. C. D. 8.若，，則的值為(　　) A.12 B.6 C.9 D.5 9.若，，則 . 10.若，則 . 11.已知，則 . 13.計算：(1) (2)(3) (4)；(5). 1.下列運算正確的是(　　) A.m2 m3＝m6 B.(m4)2＝m6 C.(m﹣n)2＝m2﹣n2 D.m3+m3＝2m3 2.按如圖所示的運算程序,能使輸出的結果為 的是(　　) A. B. C. D. 3.下列計算正確的是(　　) A. B.
C. D. 4.下列計算，正確的是(　　) A. B. C. D. 5.下列運算正確的是(　　) A. B. C. D. 6.下列運算正確的是(　　) A.a2 a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4 7.下列計算正確的是(　　) A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6 C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6a D.(2a﹣b)2=4a2﹣b2 8.下列計算正確的是(　　) A.2x+3y=5xy B.(﹣2x2)3=﹣6x6 C.3y2 (﹣y)=﹣3y2 D.6y2÷2y=3y 9.下列各式運算結果為的是（ ） A. B. C. D.
中考鏈接 (2013)3.下列各式計算正確的是(　　) A.(a7)2=a9B.a7 a2=a14C.2a2+3a3=5a5D.(ab)3=a3b3 (2014)2.計算x2 x3的結果為(　　) 　A.2x2 B.x5C.2x3 D.x6
(2015)2.計算(a2)3的結果為(　　) 　A.a4B.a5C.a6D.a9
(2016)2.計算3a2-a2的結果是(　　) A.4a2 B.3a2 C .2a2 D.3 (2021)10.已知10a＝20，100b＝50，則a+b+的值是(　　) A.2 B. C.3 D. (2020)6.下列各式運算正確的是(　　) A.x2+x3＝x5 B.x3﹣x2＝x C.x2 x3＝x6 D.(x3)2＝x6 (2022)5.下列運算正確的是(　　) A. B. C. D. (2023)5.下列運算正確的是(　　) A.m3﹣m2＝m B.3m2 2m3＝6m5 C.3m2+2m3＝5m5 D.(2m2)3＝8m5 (2024)5.下列運算正確的是(　　) B. C. D.
專題9 一元二次方程根的判別式 專題10 一元二次方程根與系數的關系
1.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值為（ ） A.-16 B.-4 C.4 D.16 2.關于x一元二次方程有兩個實數根，則m的取值范圍是（ ） A. B. C.且 D.且 3.以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（ ） A. B. C. D. 4.下列方程中，有兩個相等實數根的是（ ） A. B. C. D. 5.若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ） A.2 B. C.2或 D. 6.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則 ． 7.關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為 ． 8.若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為 ． 1.已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（ ） A．7 B． C．6 D． 2.若關于x的一元二次方程有兩個實數根，，且，則（ ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 3.若關于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（ ） A． B． C． D．6 4.已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為 ． 5.若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為 ． 6.若，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為 ． 7.若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為 ． 8.已知方程的兩根分別為，，則的值為 ．
中考鏈接 (2023)8.關于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情況是(　　) 沒有實數根 B.有兩個相等的實數根 C.有兩個不相等的實數根 D.實數根的個數與實數a的取值有關 (2024)8.已知關于的一元二次方程無實數根，則函數與函數的圖象交點個數為　　 A.0 B.1 C.2 D.3 (2021)9.關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數根x1，x2，滿足x1x2＝2，則(x12+2)(x22+2)的值是(　　) A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 (2022)9.已知關于的方程的兩實數根為，，若，則的值為(　　) A. B. C.或3 D.或3 (2024)15.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值是 ．
專題11 因式分解 專題12 概率
1.如果，，那么的值為(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 2．分解因式：(　　) A． B． C． D． 3.分解因式：______________． 4.因式分解：________________． 5.分解因式：___________________． 6.分解因式：3x2﹣18x+27= ． 7.因式分解： ． 8.=__________.x2+2x+1=__________. 9.________._______. 10.__________.__________. 11.___________.____________. 12.__________.__________. 13.已知，且，則 ． 14.___________.a2﹣3a=__________. 15.___________.x2+2x+1=__________. 16.＝___________.=___________. 17.___________.=___________. 18.___________. ． 19. ．x2+x= ． 1.不透明袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其它差別．從中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都取到白色小球的概率為(　　) A. B. C. D. 2.二十四節氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現象發生的規律，二十四個節氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在夏季的概率為(　　) A. B. C. D. 3. 長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區域文化．若從上述四種區域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則選中“巴蜀文化”的概率是(　　) A. B. C. D. 4. 不透明袋子中裝有白球2個，紅球1個，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出1個球，取出白球的概率是(　　) A. 1 B. C. D. 5.不透明的袋子中裝有5個球，其中有3個紅球和2個黑球，它們除顏色外都相同．從袋子中隨機取出1個球，它是黑球的概率是　 　.
中考鏈接 (2013)13.分解因式:x2y﹣4y=　　　　　　. (2014)13.分解因式:3a2+6a+3=　　　 　. (2015)14.分解因式:2m2﹣2=　　 　　 　. (2016)14.分解因式: . (2017)14.分解因式: . (2018)14.分解因式:3a2﹣3=　 　. (2021)13.分解因式:4﹣4m2＝　 . (2023)分解因式：__________________. (2023)分解因式：__________. (2022)分解因式：_________. (2023)分解因式：____________. (2021)14.不透明袋子中裝有3個紅球，5個黑球，4個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率是　 　. (2023)6.從1，2，3，4，5，5六個數中隨機選取一個數，這個數恰為該組數據的眾數的概率為(　　) A. B. C. D. (2024)14.在一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若從中隨機摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數為　 　.
專題13 實數的運算 專題14 全等三角形
2.. 3.(2019﹣)°﹣2﹣1+|﹣1|+sin245°+(﹣1)2019 4.+|﹣2|﹣()﹣1 5.. 6.|﹣|﹣2﹣1+ 7. 8. 9.. 10.(﹣1)4﹣|2﹣|+6tan30°﹣(3﹣) 11.2sin60°+|-2|+(﹣1)﹣1 12.(﹣1)2018+|﹣|﹣(﹣π)°﹣2sin60°． 13．×2﹣2﹣|tan30°﹣3|+2018° 14.()﹣2+(π2﹣π)°+cos60°+|﹣2| 15.2sin45°+(π﹣1)°﹣+|﹣2|； 16.|﹣2|+20130﹣(﹣)﹣1+3tan30°； 17.|﹣2|﹣+()﹣1+tan45° 18.()﹣1﹣2sin45°+|﹣|+(2018﹣π)° 1.如圖，點E，F分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且BE＝DF. 求證：∠BAE＝∠DAF.
2.如圖，將矩形紙片沿對角線折疊使，點落在平面上的點處，交于點. (1)求證：； (2)若，，求的長.
3.如圖，AB＝AD，AC＝AE， ∠BAE＝∠DAC. 求證：∠C＝∠E.
4.如圖，線段、相交于點, ,. 求證：.
5.如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，且BE=CF， 求證：△ABE≌△BCF.
已知：如圖，點B、E、C、F在一條直線上，A、D兩點在直線BF的同側，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE. 求證：AC＝DF.
7.如圖，已知線段AC，BD相交于點E，AE=DE，BE=CE. (1)求證：△ABE≌△DCE； (2)當AB=5時，求CD的長.
中考鏈接 (2019)17.(π+1)0+(﹣2)2﹣×sin30°. (2020)17.|﹣5|﹣(π﹣2020)0+2cos60°+()﹣1. (2021)17.()0+()﹣1﹣(﹣4)+2cos30°. (2022)17.. (2023)17.3﹣1+(﹣1)0+2sin30°﹣(﹣). (2024)17.. (2021)18.如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C， 求證：BD＝CE.
(2022)18.如圖，已知點E、F分別在 ABCD的邊AB、CD上，且AE=CF.求證：DE=BF.
(2023)18.如圖，點B在線段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC.求證：AD＝EB.
(2024)18.如圖，在中，，是對角線上的點，且.求證：.
專題15 分式化簡 專題16 定義運算
1.. 2. ． 3. 4.(-)÷ 5.÷(+) 6.(1﹣)÷ 7.(1+)÷ 8. 9.(﹣x﹣1) 10.4.÷﹣ 11. 12.﹣÷ 13. (1+)÷ 14. 15. 1.對于實數a，b，定義運算“◆”：a◆b= ，例如4◆3，因為4＞3.所以4◆3= =5.若x，y滿足方程組 ，則x◆y=________. 2.如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入k的值為125，則第2018次輸出的結果是________． 3.定義一種新運算*，規定運算法則為：（m，n均為整數，且）．例：，則________． 4.定義新運算：例如：，．若，則的值為________． 16. 對于實數，定義運算“※”為，例如，則關于的不等式有且只有一個正整數解時，的取值范圍是________．
中考鏈接 (2019)19.化簡：(m+2+) . (2020)19.化簡：(+1)÷. (2021)19.化簡：(a+)÷. (2022)19.化簡： (2023)19.化簡：(+m﹣1)÷. (2024)19.化簡：. 定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數圖象的“近軸點”．例如，點是函數圖象的“近軸點”． （1）下列三個函數的圖象上存在“近軸點”的是________．（填序號）； ①；②；③． （2）若一次函數圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為________．
專題17 統計和概率
1.2020年我縣成功入選四川省文明城市，為了解市民對創建文明城市工作的滿意程度，某中學數學興趣小組在某個小區內進行了調查統計.將調查結果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統計圖.請結合圖中的信息，解決下列問題： (1)此次調查中接受調查的人數為多少人？ (2)請補全條形統計圖； (3)該興趣小組準備從調查結果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性.請用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率. 2.某班開展安全知識競賽活動，班長將所有同學的成績(得分為整數，滿分為分)分成四類，并制作了如下的統計圖表： 根據圖表信息，回答下列問題： (1)該班共有學生 人；表中 ； (2)將丁類的五名學生分別記為、、、、，現從中隨機挑選兩名學生參加學校的決賽，請借助樹狀圖、列表或其他方式求一定能參加決賽的概率. 3.為了解某中學學生課余生活情況，對喜愛看課外書、體育活動、看電視、社會實踐四個方面的人數進行調查統計．現從該校隨機抽取n名學生作為樣本，采用問卷調查的方法收集數據（參與問卷調查的每名學生只能選擇其中一項）．并根據調查得到的數據繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．由圖中提供的信息，解答下列問題： （1）求n的值； （2）若該校學生共有1200人，試估計該校喜愛看電視的學生人數； （3）若調查到喜愛體育活動的4名學生中有3名男生和1名女生，現從這4名學生中任意抽取2名學生，求恰好抽到2名男生的概率． 4.為了落實國家“雙減”政策，某中學在課后服務時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項社團活動．為了了解七年級學生對社團活動喜愛情況，該校從七年級全體學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一項社團活動”的問卷調查，每人必須選擇一項社團活動（且只能選擇一項）．根據調查結果，繪制成如下兩幅統計圖． 請根據統計圖中的信息，解答下列問題： （1）參加本次問卷調查的學生共有______人． （2）在扇形統計圖中，A組所占的百分比是______，并補全條形統 計圖． （3）端午節前夕，學校計劃進行課后服務成果展示，準備從這4個社團中隨機抽取2個社團匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團恰好是B和C的概率．
中考鏈接 (2023)20．某校組織全校800名學生開展安全教育，為了解該校學生對安全知識的掌握程度，現隨機抽取40名學生進行安全知識測試，并將測試成績（百分制）作為樣本數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．①將樣本數據分成5組：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如圖所示的不完整的頻數分布直方圖； ②在80≤x＜90這一組的成績分別是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89． 根據以上信息，解答下列問題： （1）補全頻數分布直方圖； （2）抽取的40名學生成績的中位數是 　 ??； （3）如果測試成績達到80分及以上為優秀，試估計該校800名學生中對安全知識掌握程度為優秀的學生約有多少人？
專題18 二元一次方程組和一元一次不等式組的應用問題
商品甲乙進價(元/件)x+60x售價(元/件)200100
1.某超市計劃購進甲、乙兩種商品，兩種商品的進價、售價如下表： 飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料平均價格(元/瓶)0234
若用360元購進甲種商品的件數與用180元購進乙種商品的件數相同. (1)求甲、乙兩種商品的進價是多少元？ (2)若超市銷售甲、乙兩種商品共50件，其中銷售甲種商品為a件(a≥30)，設銷售完50件甲、乙兩種商品的總利潤為w元，求w與a之間的函數關系式，并求出w的最小值. 2.某商店準備購進A、B兩種商品，A種商品毎件的進價比B種商品每件的進價多20元，用3000元購進A種商品和用1800元購進B種商品的數量相同.商店將A種商品每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元. (1)A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少元？ (2)商店計劃用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數量不低于B種商品數量的一半，該商店有幾種進貨方案？ (3)端午節期間，商店開展優惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優惠m(10＜m＜20)元，B種商品售價不變，在(2)條件下，請設計出銷售這40件商品獲得總利潤最大的進貨方案.
3.某青春黨支部在精準扶貧活動中，給結對幫扶的貧困家庭 贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴 10 元，用 480 元購買乙種樹苗的棵數恰好與用 360 元購買甲種樹苗的棵數相同. (1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元？ (2)在實際幫扶中，他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共 50 棵.此時，甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了 10%，乙種樹苗的售價不變，如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過 1500 元，那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗？] 4.某文體商店計劃購進一批同種型號的籃球和同種型號的排球，每一個排球的進價是每一個籃球的進價的90%，用3600元購買排球的個數要比用3600元購買籃球的個數多10個. (1)問每一個籃球、排球的進價各是多少元？ (2)該文體商店計劃購進籃球和排球共100個，且排球個數不低于籃球個數的3倍，籃球的售價定為每一個100元，排球的售價定為每一個90元.若該批籃球、排球都能賣完，問該文體商店應購進籃球、排球各多少個才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
5.某自行車經銷商計劃投入7.1萬元購進100輛A型和30輛B型自行車，其中B型車單價是A型車單價的6倍少60元． (1)求A、B兩種型號的自行車單價分別是多少元？ (2)后來由于該經銷商資金緊張，投入購車的資金不超過5.86萬元，但購進這批自行年的總數不變，那么至多能購進B型車多少輛？ 6.某學校建立了勞動基地，計劃在基地上種植A、B兩種苗木共6000株，其中A種苗木的數量比B種苗木的數量的一半多600株． (1)請問A、B兩種苗木各多少株？ (2)如果學校安排350人同時開始種植這兩種苗木，每人每天平均能種植A種苗木50株或B種苗木30株，應分別安排多少人種植A種苗木和B種苗木，才能確保同時完成任務？
中考鏈接 (2024)21．某商場購進，兩種商品，已知購進3件商品比購進4件商品費用多60元；購進5件商品和2件商品總費用為620元． （1）求，兩種商品每件進價各為多少元？ （2）該商場計劃購進，兩種商品共60件，且購進商品的件數不少于商品件數的2倍．若商品按每件150元銷售，商品按每件80元銷售，為滿足銷售完，兩種商品后獲得的總利潤不低于1770元，則購進商品的件數最多為多少？ (2023)21．端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．今年端午節來臨之際，某商場預測A粽子能夠暢銷．根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克．根據以上信息，解答下列問題： （1）該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？ （2）如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克20元，節后每千克16元全部售出，那么該商場節前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？
專題19 反比例函數與一次函數問題
1.如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點． 求k與m的值； (2)為x軸上的一動點，當△APB的面積為時，求a的值． 2.如圖，一次函數y1＝k1x+b(k1、b為常數，k1≠0)的圖象與反比例函數y2＝(k2≠0，x＞0)的圖象交于點A(m，8)與點B(4，2). ①求一次函數與反比例函數的解析式. ②根據圖象說明，當x為何值時，k1x+b﹣＜0.
3.如圖，反比例函數與正比例函數的圖象交于點和點，點是點關于軸的對稱點，連接，． (1)求該反比例函數的解析式；(2)求的面積； (3)請結合函數圖象，直接寫出不等式的解集． 4. 如圖，在同一直角坐標系中，一次函數和反比例函數的圖象相交于點，． （1）求點A，點B的坐標及一次函數的解析式； （2）根據圖象，直接寫出不等式的解集．
5.如圖，一次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，與反比例函數的圖象交于點C、D．若，． (1)求一次函數和反比例函數的表達式； (2)求的面積． 6.如圖，一次函數的圖象與x軸正半軸相交于點C，與反比例函數的圖象在第二象限相交于點，過點A作軸，垂足為D，． (1)求一次函數的表達式； (2)已知點滿足，求a的值．
中考鏈接 (2024)23．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與軸相交于點，與反比例函數的圖象相交于點． （1）求一次函數和反比例函數的解析式； （2）直線與反比例函數和的圖象分別交于點，，且，求點的坐標． (2023)23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l： y＝kx+2與x，y軸分別相交于點A，B，與反比例函數 y＝（x＞0）的圖象相交于點C，已知OA＝1，點C的橫坐標為2． （1）求k，m的值； （2）平行于y軸的動直線與l和反比例函數的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
專題20 解直角三角形的應用
1.脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖是政府給貧困戶新建房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為35°，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續向房屋方向走8m到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為60°，房屋的橫梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于點G(點C，D，B在同一水平線上).(參考數據：) (1)求屋頂到橫梁的距離AG； (2)求房屋的高AB(結果精確到1m). 2.如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂C點處的海拔高度，他在該觀景臺上選定了一點A，在點A處測得C點的仰角，再在上選一點B，在點B處測得C點的仰角，．求山頂C點處的海拔高度． （小明身高忽略不計，參考數據：，，）
3.如圖，一艘輪船從點處以的速度向正東方向航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，繼續航行到達處，這時測得燈塔在北偏東方向上，已知在燈塔的四周內有暗礁，問這艘輪船繼續向正東方向航行是否安全？并說明理由． （提示：，） 4.如圖，某座山的項部有一座通訊塔，且點A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為，測得塔底B的仰角為．已知通訊塔的高度為，求這座山的高度（結果取整數）．參考數據：．
中考鏈接 (2024)22．如圖，海中有一個小島，某漁船在海中的點測得小島位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達點，測得小島位于北偏西方向上，再沿北偏東方向繼續航行一段時間后到達點，這時測得小島位于北偏西方向上．已知，相距 ．求，間的距離（計算過程中的數據不取近似值）． 22．如圖，某數學興趣小組為了測量古樹DE的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端D在同一水平線上的點A出發，沿斜面坡度為i＝2：的斜坡AB前進20m到達點B，再沿水平方向繼續前進一段距離后到達點C．在點C處測得古樹DE的頂端E的俯角為37°，底部D的俯角為60°，求古樹DE的高度（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，計算結果用根號表示，不取近似值）．
專題21 圓的綜合題
24.如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D是半圓AB的中點，連接AC，BC，AD，BD.過點D作DH∥AB交CB的延長線于點H. (1)求證：直線DH是⊙O的切線； (2)若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的長. 22.如圖，是的直徑，過外一點作的兩條切線，，切點分別為，，連接，. (1)求證：； (2)連接，， 若，，，求的長.
3.如圖,在△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AC于點E,過點E作AB的垂線交AB于點F,交CB的延長線于點G,且∠ABG=2∠G. (1)求證:EG是⊙O的切線； (2)若，AC=8， 求⊙O的半徑. 4.如圖，AB是⊙O的弦，過AB的中點E作EC⊥OA，垂足為C，過點B作直線BD交CE的延長線于點D，使得DB=DE． (1)求證：BD是⊙O的切線； (2)若AB=12，DB=5，求△AOB的面積．
5.如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C． (1)求證：∠ADE=∠PAE． (2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE． (3)若PE=4，CD=6，求CE的長． 6.如圖，點O是的邊AC上一點，以點O為圓心，OA為半徑作，與BC相切于點E，交AB于點D，連接OE，連接OD并延長交CB的延長線于點F，． (1)連接AF，求證：AF是的切線； (2)若，，求FD的長．
中考鏈接 (2024)24．如圖，是的內接三角形，是的直徑，過點作的切線與的延長線交于點，點在上，，交于點． （1）求證：； （2）過點作于點，若，，求的長． (2023)24．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于點E，CD＝6．過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點F，連接BC． （1）求證：BC平分∠DCF； （2）G為上一點，連接CG交AB于點H，若CH＝3GH，求BH的長．
(2022)24．如圖，點在以為直徑的上，平分交于點，交于點，過點作的切線交的延長線于點． (1)求證：； (2)若，， 求的長． (2021)24．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，AE是⊙O的直徑，連接EC． （1）求證：∠ACF＝∠B； （2）若AB＝BC，AD⊥BC于點D，FC＝4，FA＝2，求AD AE的值．
專題22 二次函數的綜合題
1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，且A點坐標為，直線BC的解析式為. (1)求拋物線的解析式； (2)過點A作AD∥BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC.求四邊形BECD面積取得最大值時相應點E的坐標； (3)將拋物線向左平移個單位，已知點M為拋物線的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點.在(2)中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由. 2.如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E (1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式； (2)當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標； (3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
3.如圖,以D為頂點的拋物線交軸于A、B兩點，交軸于點C,直線BC的表達式為. (1)求拋物線的表達式； (2)在直線BC上有一點P,使PO+PA的值最小,求點P的坐標； (3)在軸上是否存在一點Q,使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似 若存在,請求出點Q的坐標；若不存在,請說明理由. 4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(A在B的左側)，且OA=3，OB=1，與y軸交于C(0，3)，拋物線的頂點坐標為D(﹣1，4)． (1)求A、B兩點的坐標； (2)求拋物線的解析式； (3)過點D作直線DE∥y軸，交x軸于點E，點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點(點P不與B、D兩點重合)，PA、PB與直線DE分別交于點F、G，當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．
中考鏈接 (2024)25．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，與軸交于點，且關于直線對稱． （1）求該拋物線的解析式； （2）當-1≤x≤t時，的取值范圍是0≤y≤2t-1，求的值； （3）點是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由． (2023)25．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+2x+c與坐標軸分別相交于點A，B，C（0，6）三點，其對稱軸為x＝2． （1）求該拋物線的解析式； （2）點F是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線AF分別與y軸，直線BC交于點D，E． ①當CD＝CE時，求CD的長； ②若△CAD，△CDE，△CEF的面積分別為S1，S2，S3，且滿足S1+S3＝2S2，求點F的坐標．人民教育出版社(2022 版)
中
考
專
項
練
習
班級:
姓名:
目錄 頁碼
專題 1 相反數
2
專題 2 絕對值
專題 3 倒數
3
專題 4 科學計數法
專題 5 二次根式
4
專題 6 三視圖
專題 7 冪的運算
5
專題 8 整式的運算
專題 9 一元二次方程根的判別式
6
專題 10 一元二次方程根與系數的關系
專題 11 因式分解
7
專題 12 概率
專題 13 實數的運算
8
專題 14 全等三角形
專題 15 分式化簡
9
專題 16 定義運算
專題 17 統計和概率 10
專題 18 二元一次方程組和一元一次不等式組的應用利潤問題 11
專題 19 反比例函數與一次函數 12
專題 20 解直角三角形的應用 13
專題 21 圓的綜合題 14
專題 22 二次函數的綜合題 15
第 1 頁
專題 1 相反數 專題 2 絕對值
1
1.絕對值等 4的數是______.1. 的相反數是（ ）
5 2.絕對值最小的有理數是______.
1 1
5 3.一個數的絕對值是它本身，這個數是______.A. 5 B. C. D.
5 5 4.一個數的絕對值是它的相反數，這個數是___.
1
2.實數 的相反數是（ ） 5. ( 2 ) ____________
2025
1 1
A. 2025 B. 2025 C. D. 6. 3.7 ______
2025 2025
3.有理數 2024 的相反數是（ ） 7. 0.75 ______
1 1
A. 2024 B. 2024 C. D.
2024 2024 8.絕對值等于 5.7的數是____________；
1
4. 的相反數是（ ） 9.絕對值是 5的數是 .
2 10.若|x|=3，|y|=2，則|x+y|=____________.
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2 11. ( 2) ____________
5.0.5 的相反數是 .
6. 4 12. ( 3.14) ____________-[-(+ )]的相反數是 .
7.-(-6)的相反數是 .
9 13. ( 60) ___________.-[-(-9)]的相反數是 .
10.-[+(-8)]的相反數是 .
11 2 14. 24 ____________.+(- )的相反數是 .
12.-[-(-9)]的相反數是 .
13 3 4 15. 29 _____； 29 ______..-(- . )的相反數是 .
15. 14.4的相反數是 .π的相反數是 .
5 17
1
. 的絕對值等于( )
16. ﹣|﹣ |的相反數是 . 3
17. ﹣(﹣3)的相反數是 .
18.若 a與 1互為相反數，則 a 2 ( )
18. ﹣(＋2)的相反數是 .
19. ﹣2017的相反數是 . 19.－|－(－7.5)| =__________.
20.-(-4)=______.-[-( - 7)]=______. 20.-2的絕對值是__________.
22.-(-0.6)=______.-(-12.5)=______. 21.| 2022| = .
24.-[-( - 3 )]=______..-(-a)=______.
26.-[-(-b)]=______.-(-x + 1)=______. 22. 1 2 =( )
28.-[-(-y - 2)]=______. A.1 2 B. 2 1 C.1 2 D. 1 2
(2021)1.2021的相反數是( ). (2019)1.﹣8的絕對值是( )
A.﹣2021 B.2021 C A.8 B.﹣8 C. D.﹣. D.﹣
(2016)1 6 (2017)1. 7的絕對值為( ). 的相反數為( ). 1 1
中 A.-6 B.6 C 1 D 1 A.7 B. 7 C. D. . .
考 6 6 7 7
鏈 (2013)1
(2015)1.﹣7的絕對值為( )
.﹣2的相反數是( ).
接 A 2 B 2 C 1 D 1 A 7 B
1 C 1. . . D. 7
. .- . .
2 2 7 7
(2022)1.-6 (2022)-6的絕對值是( )的相反數是( ). 1 1
A.-6 B.6 C 1 D 1 A.-6 B.6 C. D.. .
6 6 6 6
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專題 3 倒數 專題 4 科學計數法
1.如果兩個數互為倒數，那么這兩個數的積為 1.二十大報告指出，我國經濟實力實現歷史性躍升，國
_______. 內生產總值從五十四萬億元增長到一百一十四萬億元，
2 3 我國經濟總量占世界經濟的比重達百分之十八點五，提. 的倒數是________.
8 高七點二個百分點，穩居世界第二位.其中 114萬億用科
3 4 學記數法表示為( ). 的倒數是________.
7 A.1.14×1012B.1.14×1013C.1.14×1014D.1.14×1015
4 9 2.大型紀錄片《厲害了，我的國》上映 25 天，累計票如果一個數的倒數是 ，則這個數是________.
5 8房約為 4.027×10 成為中國紀錄電影票房冠軍，這個用
5.已知 a,b互為倒數，則10 ab的值為________. 科學記數法表示的數據的原數為( )
6 1 1 A.0.000000004027 B.0.00000004027.若一個數的倒數是 ，則這個數的 是_____.
10 2 C.402700000 D.4027000000
7 m n m n 3. 2024年 6 月 6 日，嫦娥六號在距離地球約384000千.已知 和 互為倒數，則 的值為_______.
2 3 米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接．數
8 1._________與3 互為倒數. 據384000用科學記數法表示為（ ）
2
5 A.3.84 10
4B.3.84 105 C.3.84 106 D.38.4 105
9. 的倒數是_________.
6 4.中國的太空空間站離地球大約 400000 米，則近似數
10 13 400000 用科學記數法表示為( ).與 互為倒數的數是________.
A 4 B 4 5 55 1 .4×10 .40×10 C.4×10 D.40×1011.已知 a b 1，則 ab的值為________.
3 4 5.祖沖之發現的圓周率的分數近似值 ≈3.1415929，
12.5和________互為倒數.
4 稱為密率，比π的值只大 0.0000003，0.0000003 這個
13. 的倒數是________.
7 數用科學記數法可表示為( )
A ﹣65 1 .0.3×10 B
﹣7 ﹣6 ﹣7
.0.3×10 C.3×10 D.3×10
14. 的倒數是______； 的倒數的是______.
11 5 6.某地城市軌道交通 6 號線全長 22912m，該長度用科
2 3 學記數法(精確到 1000m)可表示為( )15.1 的倒數是_______； 的倒數是_______ A 4 49 8 .2.2×10 m B.2.3×10 m5
15 C.2.2×10 m D
5
.2.3×10 m
16.0.5的倒數是_______； 的倒數是_______.
17 7.2020年 11月 1日 0時我國啟動第七次全國人口普查，
1 1 1 ab 此次普查的全國總人口基數為 1370536875 人.將17.已知： ， 則 的值是( )
a b 3 b a 1370536875 精確到千萬位，用科學記數法表示為( )
A 9 8 71 1 .137 B.1.37×10 C.13.7×10 D.137×10
A. B. C.3 D.-3
3 3
(2020)1.2的倒數是( )
A 1 1. B. C.2 D.﹣2 (2023)2.市 2022 年全市地區生產總值(GDP)為
2 2 2601.5 億元，將數據 260150000000 用科學記數
(2014)1.5的倒數為( ) 法表示為( )
10 11
A 1. B 1 A.5 C. D.-5 .2.6015×10 B.2.6015×10中
5 5 C 12 D 13.2.6015×10 .2.6015×10
考
(2023)1 1. 的倒數是( ) (2024)2.第二十屆中國國際酒業博覽會于 2024鏈
5 年 3月 21 24日在市國際會展中心舉辦，各種活
接
A 5 B 1 1. .-5 C. D. 動帶動消費 2.6 億元，將數據 260000000 用科學
5 5
記數法表示為 ( )
A. 2.6 107 B. 2.6 108 C. 2.6 109 D. 2.6 1010
第 3 頁
專題 5 二次根式 專題 6 三視圖
1.式子 2a 4在實數范圍內有意義，則 a的取值 1.下列立體圖形中，俯視圖為三角形的是( )
是( )
A.a≥-2 B.a≤-2 C.a≥2 D.a≤2
2.若 8和最簡二次根式 3m 7 是同類二次根
式，則 m的值為( ) 2.由 5 個相同的小正方體組成的幾何體如圖所
A.m 4 B.m 3 C.m 5 D.m 6 示，該幾何體的左視圖是( )
3.下列二次根式化為最簡二次根式后能與 3合
并的是( )
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
4.下列計算正確的是( )
A.2 3 2 3 B. ( 3)2 3
3.如圖所示為正方體的表面展開圖，每個面內都
C 1 1. 2 5 7 D. 4 2 分別寫有一個字，則與“創”字相對面上的字是
9 3
( )
5.下列計算正確的是( ) A.文 B.明 C.城 D.市
A. 2 2 2 2 B. 3 2 1 4.如圖,這是由四個相同的小正方體組成的一個
C. 2 3 6 D. 6 2 3 立體圖形,它的俯視圖是 ( )
6.對于任意實數 a，下列各式中一定成立的是
( )
A. a2 1 a 1 a 1 B. a 6 2 a 6 5.如圖,這是由一個圓柱體和一個長方體組成的
C. 16 a 4 a D. 25a4 5a2 幾何體,其主視
圖是( )
7.估計 65的值在( )
A.5 和 6 之間 B.6 和 7 之間
C.7 和 8 之間 D.8 和 9 之間
8.下列計算中，正確的是( ) 6.如圖,這是一個六角螺栓,它的主視圖和俯視
A.2 3 3 2 5 5 B.3 3 3 2 3 6 圖都正確的是( )
C. 27 3 3 D.3 2 2= 3
9.計算： .
(2014)6.已知實數 x、y滿足 +|y+3|=0， (2024)3.下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左
視圖都為矩形的是( )
則 x+y的值為( )
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣4
A. B. C. D.
(2018)13.若二次根式 x 1在實數范圍內
中 (2023)4.一個立體圖形的三視圖如圖所示，則該
考 有意義，則 x的取值范圍是 . 立體圖形是( )
鏈 (2021)4.函數 y＝ 的自變量 x的取值范
接 A.圓柱 B.圓錐
圍是( ) C.長方體 D.三棱柱
A.x＜1 B.x＞1 C.x≤1 D.x≥1
(2022)7.與 2 + 15最接近的整數是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
第 4 頁
專題 7 冪的運算 專題 8 整式的運算
1.若 a 0且 ax 2，a y 3，則 a x y 的值為( ) 1.下列運算正確的是( )
6 5 2 m
2 m3 m6 4 2 6A. B. C. 1 D. A. ＝ B.(m ) ＝m3
m n 2 m2 n2 m3 m3 m3y5 C.( ﹣ ) ＝ ﹣ D. + ＝2
2. 2 y ( ) 2.按如圖所示的
A. y B. y2
運算程序,能使輸
C. y3 D. y4
出的結果為 的
2
3.計算： a a4的結果是( ) 是( )
A. B.
A. a8 B. a6 C. -a8 D. a6
C. D.
2 2019 1
2018

4.計算 的結果為( ) 3.下列計算正確的是( )
2
A.1 B. 1 C.2 D. 2 A. B.
5.計算 (ab2 )3的結果是( )
C. D.
A. ab5 B.ab6 C.a3b5 D.a3b6 4.下列計算，正確的是( )
6.若 a x 3， a y 2，則 a2x 3 y ( ) 1
A. 8 2 6 B. 2
3

A.108 B.54 C.36 D.72 2 2
1 13
7.計算 a a 2 a 2的結果是( ) C. 3 8 2 2 D. 2 2
A. a7 B.a10 C. a9 D.a12 5.下列運算正確的是( )
8.若10a 2，10b 3，則10a b的值為( ) A. a b a b a2 b2 a2 b2 B. a3 a4 a7
A.12 B.6 C.9 D.5
C. a3 a2 a5 D. 23 6
9.若5n a，6n b，則30n .
6.下列運算正確的是( )
am 6 an 9 a2m n 2 2 2 2 2 4 3 2 6 8 2 410.若 ， ，則 . A.a a =2a B.a +a =a C.(a ) =a D.a ÷a =a
xm 6 xn 2 xm n 7.下列計算正確的是( )11.已知 ， ，則 .
4 5 9 2 3 2 4 6
A.a +a =a B.(2a b ) =4a b
2 2 2 2
13.計算：(1)（x2）3 x2 x2 x6 C.﹣2a(a+3)=﹣2a +6a D.(2a﹣b) =4a ﹣b
8.下列計算正確的是( )
2 3 4 2 2 3 6
(2)m m5 2m3 4 m2 (3) a3 a4 a a2 2a4 A.2x+3y=5xy B.(﹣2x ) =﹣6x
2 2 2
C.3y (﹣y)=﹣3y D.6y ÷2y=3y
4 2 3a3b 2 a6b2 x4 y2 2
2
(4) ；(5) x
6 y3 . 9.下列各式運算結果為 a
5的是（ ）
3 3
A. a2 a3 B. a2a3 C. a2 D. a10 a2
(2013)3.下列各式計算正確的是( ) (2020)6.下列各式運算正確的是( )
A 7 2 9 ..(a ) =a B a7 a2 a14C a2 a3 a5D ab 3 a3b3 A.x2 x3 x5 B x3 2 = .2 +3 =5 .( ) = + ＝ . ﹣x＝x
(2014)2.計算 x2 x3 2 3 6 的結果為( ) C.x x＝x D x3 2 6.( ) ＝x
A 2 5 3.2x B.x C.2x D.x6 (2022)5.下列運算正確的是( )
2 3
(2015)2.計算(a ) 的結果為( ) A. 2 3 = 6 B.3 2 = 1
中 A a4 B a5 C a6 9. . . D.a C. 2 2 3 = 8 6 D. 6 ÷ 2 = 3
考 2 2(2016)2.計算 3a -a 的結果是( ) (2023)5.下列運算正確的是( )
鏈 A a2 B a2 C 2 3 2 2 3 5.4 . 3 .2a D.3 A.m﹣m＝m B.3m 2m＝6m
接 2 3 5 2 3 5(2021)10.已知 10a＝20， 100b＝50，則 C.3m +2m＝5m D.(2m ) ＝8m
a b (2024)5.下列運算正確的是( )+ + 的值是( )
A． 3a 2a3 5a4 B.3a2 2a3 6a6
A.2 B 5 9. C.3 D. B．C. ( 2a3)2 4a6 D. 4a6 a2 4a3
2 2
第 5 頁
專題 9 一元二次方程根的判別式 專題 10 一元二次方程根與系數的關系
x 2
1.若關于 x 2
1.已知關于 的一元二次方程 x 2x a 0的兩
的一元二次方程 x 4x c 0有兩個
根分別記為x ，x ，若 x 2 21 1，則 a x1 x2 的值
相等的實數根，則實數 c的值為（ ） 1 2
A.-16 B.-4 C.4 D.16 為（ ）
2
2.關于 x的一元二次方程 m 2 x 4x 2 0有 A．7 B． 7 C．6 D． 6
2 2
兩個實數根，則 m的取值范圍是（ ） 2.若關于 x的一元二次方程 x 2mx m 4m 1 0
A.m 4 B.m 4 有兩個實數根x ，x ，且 x1 2 x2 2 2x1x2 171 2 ，
C.m 4且m 2 D.m 4且m 2
m
3.以下一元二次方程有兩個相等實數根的是 則 （ ）
（ ） A．2或 6 B．2 或 8 C．2 D．6
A. x2 6x 0 B.x 2 - 9 = 0 3.若關于 x的一元二次方程 x2 2x p 0兩根為
C. x2 6x 6 0 D. x2 6x 9 0 1 1x 、x1 2，且 3x x ，則 p的值為（ ）1 2
4.下列方程中，有兩個相等實數根的是（ ） 2 2
A． B． C． 6 D．6
x 2 2 1 2 3A. B. x 2 0 3
4.已知 x1、x
2
2是關于 x的方程 x﹣2x+k﹣1＝0 的
x 2 2 1 x 2 2 2 x2 xC. D. 1兩實數根，且 x x ＝x
2
1 +2x2﹣1，則 k 的值
1 2
2 2
5.若關于 x的一元二次方程 a 2 x x a 4 0 為 ．
的一個根是 x 0，則a的值為（ ） 5.若一元二次方程 2x
2 4x 1 0的兩根為 m，n，
1
A.2 B. 2 C.2 或 2 D. 2 則3m2 4m n2的值為 ．
6.若關于 x的一元二次方程 x2 2x c 0有兩個 6.若m，n是一元二次方程 x2 5x 2 0的兩個實
相等的實數根，則 c ．
數根，則m n 2 2的值為 ．
7.關于 x的一元二次方程 x2 x c 0有兩個相 7.若一元二次方程 2x2 4x 1 0的兩根為 m，n，
c 則3m2 4m n2等的實數根，則 的值為 ． 的值為 ．
8.若關于 x的方程4x2 2x m 0有兩個相等的 8.已知方程 x2 x 2 0的兩根分別為x1，x2，則
實數根，則m的值為 ． 1 1
x x 的值為 ．1 2
2 (2021)9.關于 x
2 2
的一元二次方程x +2mx+m﹣m＝
(2023)8.關于 x的一元二次方程x +2ax a2+ ﹣1 2 2
0 的兩實數根 x1，x2，滿足 x1x2＝2，則(x1 +2)(x2 +2)
＝0 的根的情況是( )
的值是( )
A．沒有實數根 A.8 B.32 C.8 或 32 D.16 或 40
B.有兩個相等的實數根
(2022)9.已知關于 的方程 2 2 1 +
中 C.有兩個不相等的實數根 2 = 0的兩實數根為 ，
D 1 2
，若 1 + 1 2 +
考 .實數根的個數與實數 a的取值有關 1 = 3，則 的值為( )
鏈 (2024)8. 已 知 關 于 x 的 一 元 二 次 方 程 A. B. C. 3或 3 D. 1或 3
接
x2 2x 1 k 0無實數根，則函數 y kx與函
(2024)15. 已 知 x1 ， x2 是 一 元 二 次 方 程
y 2數 的圖象交點個數為 ( )
x x2 3x 5 0的兩個實數根，則 (x 21 x2 ) 3x1x2 的
A.0 B.1 C.2 D.3
值是 ．
第 6 頁
專題 11 因式分解 專題 12 概率
1.如果 a b 3，ab 1，那么a3b 2a2b2 ab3的值 1.不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，
為( ) 除顏色外兩個小球無其它差別．從中隨機取出一個小球
A．0 B．1 C．4 D．9 后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都
2．分解因式： a3 9a ( ) 取到白色小球的概率為( )
A． a a 3 a 3 B． a a2 9 3 1 1 1
A. B. C. D.
C． a 3 a 3 D． a2 a 9 4 2 3 4
3.分解因式： x 2 x 4 1 ______________． 2.二十四節氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時
間以及大自然中一些物候等自然現象發生的規律，二十
4.因式分解： x 2 x 4 1 ________________．
四個節氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清
5.分解因式：(a 1)2 4a ___________________． 明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、
大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），
2
6.分解因式：3x ﹣18x+27= ． 冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從
2 二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在夏季的概
7.因式分解：2a 4a 2 ．
率為( )
2a3 8ab28. =__________.x2+2x+1=__________.
1 1 1 1
9. 2mx2 8my2 ________. 2a2 4a 2 _______. A. 2 B. C. D.12 6 4
10. a2 7a __________.3am2 3a __________. 3. 長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文
x2 1 2x2 8 化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區域文化．若從11. ___________. ____________.4 上述四種區域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則
12.3m3 12m __________. x3 25x __________. 選中“巴蜀文化”的概率是( )
13.已知 a2 b2 12，且 a b 2，則a b ． 1 1 1 3
A. B. C. D.
2 4 3 2 4
14. x2 y 2xy ___________.a ﹣3a=__________.
2 4. 不透明袋子中裝有白球 2 個，紅球 1 個，這些球除15. ab 4a ___________.x +2x+1=__________.
了顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出 1個球，取出
16. a3 9a＝___________. a2 ab=___________. 白球的概率是( )
1 1 2
17. x2 3x ___________.2m2 2=___________. A. 1 B. C. 2 D.3 3
18.m2 5m ___________.a2 2a ． 5.不透明的袋子中裝有 5 個球，其中有 3 個紅球和 2個
黑球，它們除顏色外都相同．從袋子中隨機取出 1 個球，
19.3am2 3a ．x2+x= ． 它是黑球的概率是 .
x2(2013)13.分解因式: y﹣4y= . (2021)14.不透明袋子中裝有3個紅球，5個黑球，
a2 a 4 個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子(2014)13.分解因式:3 +6 +3= .
中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率
2
(2015)14.分解因式:2m﹣2= . 是 .
(2016)14.分解因式: 2a2 4a 2 . (2023)6.從 1，2，3，4，5，5 六個數中隨機選
中
(2017)14.分解因式: 2m2 8 . 取一個數，這個數恰為該組數據的眾數的概率為
考
2
(2018)14.分解因式:3a﹣3= .
鏈 ( ) A. B. C. D.
m2接 (2021)13.分解因式:4﹣4 ＝ . (2024)14.在一個不透明的盒子中裝有6個白球，
(2023)分解因式：x2 9 __________________. 若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.
(2023)分解因式：m3 4m2 4m __________. 2
若從中隨機摸出一個球是白球的概率是 ，則黃
(2022)分解因式：ax2 axy ay2 _________. 3
(2023)分解因式：a3 2a2 a 球的個數為 .____________.
第 7 頁
專題 13 實數的運算 專題 14 全等三角形
1. ( 6) cos45 1 1.如圖，點 E，F 分別在菱 ( ) 1 | 3 2 |
2 形 ABCD 的邊 BC，CD 上，且
1 BE＝DF.
2. 8 4cos 45 ( 1) 2015 . 求證：∠BAE＝∠DAF.
2
2.如圖，將矩形紙片 ABCD
﹣1 2 2019
3.(2019﹣ )°﹣2 +|﹣1|+sin 45°+(﹣1) 沿對角線 BD折疊使，點 A落
﹣1
4. +| ﹣2|﹣( ) 在平面上的 F 點處， DF 交
BC于點 E .
5. ( 2)0 2cos30 16 |1 3 | . (1)求證： DCE BFE；
(2)若CD 2， ADB 30 ，求BE的長.
﹣1
6.|﹣ |﹣2 + 3.如圖，AB＝AD，AC＝AE，
1
1 0 ∠BAE＝∠DAC.
7. 12 3tan 30 π 3 1 3
3 求證：∠C＝∠E.
5 0 8 2sin 30 2 4.如圖，線段 AC、BD相交于點 E ,8. AE DE ,BE CE .
求證： B C .
9. .
4
10.(﹣1) ﹣|2﹣ |+6tan30°﹣(3﹣ ) 5.如圖，在正方形 ABCD 中，點 E，F
﹣1 分別在 BC，CD 上，且 BE=CF，
11.2sin60°+| 3 -2|+(﹣1) 3 -8
求證：△ABE≌△BCF.
2018
12.(﹣1) +|﹣ |﹣( ﹣π)°﹣2sin60°．
﹣2
13． ×2 ﹣| tan30°﹣3|+2018° 6. 已知：如圖，點 B、E、
C、F在一條直線上，A、D
﹣2 2
14.( ) +(π﹣π)°+cos60°+| ﹣2| 兩點在直線 BF 的同側，BE
15.2sin45°+(π﹣1)°﹣ +|﹣2 |； ＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE.
0 ﹣1
16.| ﹣2|+2013 ﹣(﹣ ) +3tan30°； 求證：AC＝DF.
7.如圖，已知線段 AC，BD 相交
﹣1
17.|﹣2|﹣ +( ) +tan45° 于點 E，AE=DE，BE=CE.
(1)求證：△ABE≌△DCE；
﹣1
18.( ) ﹣2sin45°+|﹣ |+(2018﹣π)° (2)當 AB=5 時，求 CD 的長.
(2021)18.如圖，點 D 在 AB 上，點 E
在 AC 上，AB＝AC，∠B＝∠C，
(2019)17.(π 0 2+1) +(﹣2) ﹣ ×sin30°. 求證：BD＝CE.
(2020)17.|﹣5|﹣(π﹣2020)0+2cos60°+( )﹣1.
(2022)18.如圖，已知點 E、F
中 分別在 ABCD的邊 AB、CD
(2021)17.( )0+( )﹣1﹣(﹣4)+2 cos30°.
考 上，且 AE=CF.求證：DE=BF.
鏈 0 1
(2022)17. 3 + 2 1 + 2cos45° . (2023)18.如圖，點 B在線段 AC
接 2 上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝
(2023)17.3﹣1+( ﹣1)0+2sin30°﹣(﹣ ). BC.求證：AD＝EB.
1 (2024)18.如圖，在 ABCD中，
(2024)17. | 3 | ( 2024)0 2sin 60 ( ) 1 .
2 E， F 是對角線 BD上的點，且
DE BF .求證： 1 2 .
第 8 頁
專題 15 分式化簡 專題 16 定義運算
x2 4x 4 3 1.對于實數 a，b，定義運算“◆”：a◆b= ，
1. ( x 1) . 2. ．
x 1 x 1
例如 4◆3，因為 4＞3.所以 4◆3= =5.若 x，y
2a a2 a 1 b
3. 2 ( a) 4.( 2 - )÷a 4 a 2 a b2 a 1 b a 滿足方程組 ，則 x◆y=________.
2.如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入 k
5. ÷( + ) 6.(1﹣ )÷
的值為 125，則第 2018 次輸出的結果是________．
7.(1+ )÷ 8.
9.( ﹣x﹣1)
n
3.定義一種新運算*，規定運算法則為：m*n m mn
4. ÷ ﹣
10.
3
（m，n 均為整數，且m 0）．例：2*3 2 2 3 2，
2a 1 a
2

2
11. a 4 a 2 a 4a 4 則
( 2)*2 ________．
a2 b a 0
﹣ ÷ 4.定義新運算： a b
例如：
12. a b a 0
2 4 ( 2)2 (1+ )÷ 4 0， 2 3 2 3 1．若
13.
x 1 3 ，則 x的值為________．
2a 1 a 4
14. 2 a 4 a 2 a2 4a 4
16. 對于實數 a，b定義運算“※”為 a※b a 3b，例
2
15. (a 1 4a 1) a 8a 16 如 5※2 5 3 2 11，則關于 x的不等式 x※m 2
a 1 a 1
有且只有一個正整數解時，m的取值范圍是________．
定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于 1 的
(2019)19.化簡：(m+2+ ) .
點叫做這個函數圖象的“近軸點”．例如，點 0,1 是函
(2020)19.化簡：( +1)÷ .
數 y x 1圖象的“近軸點”．
中
(2021)19.化簡：(a+ )÷ . （ 1）下列三個函數的圖象上存在 “近軸點 ”的是
考
鏈
(
2 3 +1 2 1 ________．（填序號）；
(2022)19.化簡： + 1) ÷ .
接
① y x 3；② y 2 ；③ y x2 2x 1．
(2023)19.化簡：( +m﹣1)÷ . x
y2 x2 y2 （2）若一次函數 y mx 3m圖象上存在“近軸點”，則
(2024)19.化簡： ( x 2y) .
x x
m 的取值范圍為________．
第 9 頁
專題 17 統計和概率
1.2020 年我縣成功入選四川省文明城市，為了解市民對創建文明城市工作的滿意程度，某中學數學興趣小組在某
個小區內進行了調查統計.將調查結果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得
到下列不完整的統計圖.請結合圖中的信息，解決下列問題：
(1)此次調查中接受調查的人數為多少人？
(2)請補全條形統計圖；
(3)該興趣小組準備從調查結果為“不滿意”的 4位市民中隨機選
擇 2 位進行回訪，已知這 4 位市民中有 2 位男性，2 位女性.請用
畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率.
2.某班開展安全知識競賽活動，班長將所有同學的成績(得分為整數，滿分為100分)分成四類，并制作了如下的
統計圖表：
根據圖表信息，回答下列問題：
(1)該班共有學生 人；表中 a ；
(2)將丁類的五名學生分別記為 A、 B、C、D、 E，現從中隨機
挑選兩名學生參加學校的決賽，請借助樹狀圖、列表或其他方式求 B
一定能參加決賽的概率.
3.為了解某中學學生課余生活情況，對喜愛看課外書、體育活動、看電視、社會實踐四個方面的人數進行調查統
計．現從該校隨機抽取 n 名學生作為樣本，采用問卷調查的方法收集數據（參與問卷調查的每名學生只能選擇其
中一項）．并根據調查得到的數據繪制成了如圖所示的兩幅不完整
的統計圖．由圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）求 n 的值；
（2）若該校學生共有 1200 人，試估計該校喜愛看電視的學生人數；
（3）若調查到喜愛體育活動的 4 名學生中有 3 名男生和 1 名女生，
現從這 4名學生中任意抽取 2名學生，求恰好抽到 2名男生的概率．
4.為了落實國家“雙減”政策，某中學在課后服務時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項社團活動．為了
了解七年級學生對社團活動的喜愛情況，該校從七年級全體學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一項社
團活動”的問卷調查，每人必須選擇一項社團活動（且只能選擇一項）．根據調查結果，繪制成如下兩幅統計圖．
請根據統計圖中的信息，解答下列問題：
（1）參加本次問卷調查的學生共有______人．
（2）在扇形統計圖中，A 組所占的百分比是______，并補全條形統
計圖．
（3）端午節前夕，學校計劃進行課后服務成果展示，準備從這 4個
社團中隨機抽取 2 個社團匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的 2 個社團恰好是 B 和 C 的概率．
(2023)20．某校組織全校 800 名學生開展安全教育，為了解該校學生對安全知識的掌握程度，現隨機抽取 40
名學生進行安全知識測試，并將測試成績（百分制）作為樣本數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分
信息．①將樣本數據分成 5 組：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x
＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如圖所示的不完整的
頻數分布直方圖；
中
②在 80≤x＜90 這一組的成績分別是：80，81，83，83，84，
考
85，86，86，86，87，88，89．
鏈
根據以上信息，解答下列問題：
接
（1）補全頻數分布直方圖；
（2）抽取的 40 名學生成績的中位數是 ；
（3）如果測試成績達到 80 分及以上為優秀，試估計該校 800
名學生中對安全知識掌握程度為優秀的學生約有多少人？
第 10 頁
專題 18 二元一次方程組和一元一次不等式組的應用問題
1.某超市計劃購進甲、乙兩種商品，兩種商品的進價、 2.某商店準備購進 A、B 兩種商品，A 種商品毎件的進價
售價如下表： 商品 甲 乙 比 B 種商品每件的進價多 20 元，用 3000 元購進 A 種商
x x 品和用 1800 元購進 B種商品的數量相同.商店將 A種商進價(元/件) +60
品每件的售價定為 80 元，B 種商品每件的售價定為 45
售價(元/件) 200 100
元.
飲品名稱 白開水 瓶裝礦泉水 碳酸飲料 非碳酸飲料 (1)A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少
平均價格(元/瓶) 0 2 3 4 元？
若用 360元購進甲種商品的件數與用 180元購進乙種商 (2)商店計劃用不超過 1560 元的資金購進 A、B 兩種商
品的件數相同. 品共 40 件，其中 A 種商品的數量不低于 B 種商品數量
(1)求甲、乙兩種商品的進價是多少元？ 的一半，該商店有幾種進貨方案？
(2)若超市銷售甲、乙兩種商品共 50 件，其中銷售甲種 (3)端午節期間，商店開展優惠促銷活動，決定對每件 A
商品為 a 件(a≥30)，設銷售完 50 件甲、乙兩種商品的 種商品售價優惠 m(10＜m＜20)元，B 種商品售價不變，
總利潤為 w元，求 w與 a之間的函數關系式，并求出 w 在(2)條件下，請設計出銷售這 40 件商品獲得總利潤最
的最小值. 大的進貨方案.
3.某青春黨支部在精準扶貧活動中，給結對幫扶的貧困 4.某文體商店計劃購進一批同種型號的籃球和同種型
家庭 贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種.已知乙種樹苗的 號的排球，每一個排球的進價是每一個籃球的進價的
價格比甲種樹苗貴 10 元，用 480 元購買乙種樹苗的棵 90%，用 3600 元購買排球的個數要比用 3600 元購買籃
數恰好與用 360 元購買甲種樹苗的棵數相同. 球的個數多 10個.
(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元？ (1)問每一個籃球、排球的進價各是多少元？
(2)在實際幫扶中，他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗 (2)該文體商店計劃購進籃球和排球共 100 個，且排球
共 50 棵.此時，甲種樹苗的售價比第一次購買時降低 個數不低于籃球個數的3倍，籃球的售價定為每一個100
了 10%，乙種樹苗的售價不變，如果再次購買兩種樹苗 元，排球的售價定為每一個 90元.若該批籃球、排球都
的總費用不超過 1500 元，那么他們最多可購買多少棵 能賣完，問該文體商店應購進籃球、排球各多少個才能
乙種樹苗？] 獲得最大利潤？最大利潤是多少？
5.某自行車經銷商計劃投入 7.1 萬元購進 100 輛 A型和 6.某學校建立了勞動基地，計劃在基地上種植 A、B 兩
30 輛 B 型自行車，其中 B 型車單價是 A 型車單價的 6 倍 種苗木共 6000 株，其中 A 種苗木的數量比 B 種苗木的
少 60 元． 數量的一半多 600 株．
(1)求 A、B 兩種型號的自行車單價分別是多少元？ (1)請問 A、B兩種苗木各多少株？
(2)后來由于該經銷商資金緊張，投入購車的資金不超 (2)如果學校安排 350 人同時開始種植這兩種苗木，每
過 5.86 萬元，但購進這批自行年的總數不變，那么至 人每天平均能種植 A 種苗木 50 株或 B 種苗木 30 株，應
多能購進 B 型車多少輛？ 分別安排多少人種植 A種苗木和 B 種苗木，才能確保同．
時．完成任務？
(2024)21．某商場購進 A，B兩種商品，已知購進 (2023)21．端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習
3件 A商品比購進 4 件 B商品費用多 60 元；購進 5 俗．今年端午節來臨之際，某商場預測 A 粽子能夠暢
件 A商品和 2 件 B商品總費用為 620 元． 銷．根據預測，每千克 A 粽子節前的進價比節后多 2 元，
（1）求 A， B兩種商品每件進價各為多少元？ 節前用 240 元購進 A粽子的數量比節后用相同金額購進
中 （2）該商場計劃購進 A，B兩種商品共 60 件，且 的數量少 4 千克．根據以上信息，解答下列問題：
考 購進 B商品的件數不少于 A商品件數的 2倍．若 A （1）該商場節后每千克 A 粽子的進價是多少元？
鏈 商品按每件 150 元銷售，B商品按每件 80 元銷售， （2）如果該商場在節前和節后共購進 A 粽子 400 千克，
接 為滿足銷售完 A，B兩種商品后獲得的總利潤不低 且總費用不超過 4600 元，并按照節前每千克 20 元，節
于 1770 元，則購進 A商品的件數最多為多少？ 后每千克 16 元全部售出，那么該商場節前購進多少千
克 A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？
第 11 頁
專題 19 反比例函數與一次函數問題
y kx 2 k 0 2.如圖，一次函數 y1＝k1x+b(k1、b 為常數，k 1≠0)的圖1.如圖，一次函數 的圖像與反比例函數
象與反比例函數 y2＝ (k2≠0，x＞0)的圖象交于點
y m m 0, x 0 的圖像交于點 A 2,n ，與 y 軸交于
x A(m，8)與點 B(4，2).
①求一次函數與反比例函數的解析
點 B，與 x 軸交于點C 4,0 ．
式.
(1) 求 k 與 m的值； ②根據圖象說明，當 x 為何值時，
(2) P a, 0 為 x 軸上的一動 k1x+b﹣ ＜0.
7
點，當△APB 的面積為 時，
2
求 a的值．
k 4. 如圖，在同一直角坐標系中，一次函數 y x b和
3.如圖，反比例函數 y k 0 與正比例函數
x 9
y mx m 0 y A 1, 2 反比例函數 的圖象相交于點 A 1,m ， B n,1 ． 的圖象交于點 和點 B，點C是點 x
A關于 y軸的對稱點，連接 （1）求點 A，點 B的坐標及一
AC， BC． 次函數的解析式；
(1)求該反比例函數的解析式； （2）根據圖象，直接寫出不等
(2)求 ABC的面積； 9
(3)請結合函數圖象，直接寫出 式 x b 的解集．
k x
不等式 mx的解集．
x
5.如圖，一次函數 y ax b的圖象與 x 軸交于點 6.如圖，一次函數 y kx b的圖象與 x 軸正半軸相交于
A 4 k 2，0 ，與 y 軸交于點 B，與反比例函數 y x 0 的 點 C，與反比例函數 y 的圖象在第二象限相交于點
x x
圖象交于點 C、D．若 A( 1,m)，過點 A作
tan BAO 2， BC 3AC． AD x軸，垂足為 D，
(1)求一次函數和反比例函數 AD CD．
的表達式； (1)求一次函數的表達式；
(2)求 OCD的面積． (2)已知點E(a,0)滿足
CE CA，求 a 的值．
(2024)23．如圖，在平面直角坐標系 xOy中，一次 (2023)23．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，直線 l：
函數 y kx b與 x軸相交于點 A( 2,0)，與反比例 y＝kx+2 與 x，y 軸分別相交于點 A，B，與反比例函數
函數 y a 的圖象相交于點 B(2,3)． y＝ （x＞0）的圖象相交于點 C，已知 OA＝1，點 C的
x
（1）求一次函數和反比例函數的解析式； 橫坐標為 2．
中
a （1）求 k，m的值；
考 （2）直線 x m(m 2)與反比例函數 y (x 0)和x （2）平行于 y軸的動直線與 l
鏈
2 和反比例函數的圖象分別交
接 y (x 0) 的圖象分別x 于點 D，E，若以 B，D，E，O
交 于 點 C ， D ， 且 為頂點的四邊形為平行四邊
形，求點 D 的坐標．
S OBC 2S OCD ，求點C的
坐標．
第 12 頁
專題 20 解直角三角形的應用
1.脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖是政 2.如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為
府給貧困戶新建房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖 1600m，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂 C 點處
形，對稱軸是房屋的高 AB所在的直線，為了測量房屋 的海拔高度，他在該觀景臺上選定了一點 A，在點 A 處
的高度，在地面上 C點測得屋頂 A的仰角為 35°，此
C E A 測得 C 點的仰角 CAE 42 ，再在 AE上選一點 B，時地面上 點、屋檐上 點、屋頂上 點三點恰好共
線，繼續向房屋方向走 8m到達點 D時，又測得屋檐 E 在點 B 處測得 C 點的仰角 45 ， AB 10m．求山
點的仰角為 60°，房屋的橫梁 EF＝12m，EF∥CB，AB 頂 C點處的海拔高度．
交 EF于點 G(點 C，D，B在同一水平線上).(參考數據： （小明身高忽略不計，參考數據： sin 42 0.67，
sin35 0.6，cos35 0.8，tan35 0.7， 3 1.7 ) cos42 0.74， tan 42 0.90）
(1)求屋頂到橫梁的距離 AG；
(2)求房屋的高 AB(結
果精確到 1m).
3.如圖，一艘輪船從點A處以30km/h的速度向正東方 4.如圖，某座山 AB的項部有一座通訊塔 BC，且點 A，
向航行，在A處測得燈塔C在北偏東 60 方向上，繼續 B，C 在同一條直線上，從地面 P 處測得塔頂 C 的仰角為
航行1h到達 B處，這時測得燈塔C在北偏東 45 方向上， 42 ，測得塔底 B的仰角為35 ．已知通訊塔BC的高度
已知在燈塔C的四周 40km內有暗礁，問這艘輪船繼續 為32m，求這座山 AB的高度（結果取整數）．參考數
向正東方向航行是否安全？并說明理由． 據： tan35 0.70，tan 42 0.90．
（提示： 2 1 .414， 3 1.732）
(2024)22．如圖，海中有一個小島C ，某漁船在海 22．如圖，某數學興趣小組為了測量古樹 DE 的高度，
中的 A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西 采用了如下的方法：先從與古樹底端 D在同一水平線上
向東航行一段時間后到達 B點，測得小島C 位于北 的點 A 出發，沿斜面坡度為 i＝2： 的斜坡 AB 前進
偏西 30 方向上，再沿北偏東 60 方向繼續航行一段 20 m 到達點 B，再沿水平方向繼續前進一段距離后到
時間后到達 D點，這時測得小島C位于北偏西 60 達點 C．在點 C處測得古樹 DE 的頂端 E的俯角為 37°，
中 方向上．已知 A，C相距 30n mile．求C， D間 底部 D 的俯角為 60°，求古樹 DE 的高度（參考數據：
考 的距離（計算過程中的數據不取近似值）．
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，計算結果
鏈
接 用根號表示，不取近似值）．
第 13 頁
專題 21 圓的綜合題
24.如圖，點 C 在以 AB 為直徑的⊙O上，點 D是半圓 AB 22.如圖， 是 的直徑，過 外一點 作 的
的中點，連接 AC，BC，AD，BD.過點 D 作 DH∥AB 交 CB 兩條切線 ， ，切點分別為 ， ，連接 ， .
的延長線于點 H. (1)求證： ；
(1)求證：直線 DH 是⊙O 的切線； (2)連接 ， ，
(2)若 AB＝10，BC＝6，求 AD，BH 若 ， ，
的長. ，求 的長.
3.如圖,在△ABC 中,以 BC 為直徑的⊙O 交 AC 于點 E,過 4.如圖，AB 是⊙O的弦，過 AB 的中點 E 作 EC⊥OA，垂
點 E作 AB 的垂線交 AB于點 F,交 CB的延長線于點 G,且 足為 C，過點 B 作直線 BD 交 CE 的延長線于點 D，使得
∠ABG=2∠G. DB=DE．
(1)求證:EG 是⊙O的切線； (1)求證：BD 是⊙O 的切線；
1 (2)若 AB=12，DB=5，求△AOB 的面積．
(2)若 tanC ，AC=8，
2
求⊙O 的半徑.
5.如圖，P 為⊙O 外一點，PA、PB 為⊙O 的切線，切點 6.如圖，點 O是 ABC的邊 AC 上一點，以點 O 為圓心，
分別為 A、B，直線 PO 交⊙O 于點 D、E，交 AB 于點 C． OA 為半徑作 O，與 BC 相切于點 E，交 AB 于點 D，連
(1)求證：∠ADE=∠PAE． 接 OE，連接 OD 并延長交 CB 的延長線于點 F，
(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE． AOD EOD．
(3)若 PE=4，CD=6，求 CE 的長． (1)連接 AF，求證：AF 是 O的
切線；
(2)若 FC 10， AC 6，求 FD
的長．
(2024)24．如圖， ABC是 O的內接三角形，AB (2023)24．如圖，AB 是⊙O 的直徑，AB＝2 ，⊙O
是 O的直徑，過點 B作 O的切線與 AC的延長 的弦 CD⊥AB 于點 E，CD＝6．過點 C 作⊙O 的切線交 AB
線交于點 D，點 E在 O上，AC CE，CE 交 AB 的延長線于點 F，連接 BC．
于點 F ． （1）求證：BC 平分∠DCF；
（1）求證： CAE D；
（2）G 為 上一點，連接
（2）過點 C 作 CG AB 于點
CG 交 AB 于點 H，若 CH＝
G，若OA 3， BD 3 2 ，求
3GH，求 BH 的長．
中 FG的長．
考
鏈
接 (2022)24．如圖，點 在以 為直徑的⊙ 上， (2021)24．如圖，△ABC 是⊙O 的內接三角形，過點 C
作⊙O的切線交 BA 的延長線于點 F，AE 是⊙O 的直徑，
平分∠ 交⊙ 于點 ，交 于點 ，過點 作⊙ 連接 EC．
的切線交 CO的延長線于點 ． （1）求證：∠ACF＝∠B；
（2）若 AB＝BC，AD⊥BC 于點
(1)求證： ∥ ； D，FC＝4，FA＝2，求 AD AE
(2)若 = 2 5， = 5， 的值．
求 的長．
第 14 頁
專題 22 二次函數的綜合題
1. 如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標 系 中 ， 拋 物 線 1 2 3
y ax2 bx 2 2.如圖，二次函數 y x x 4 的圖象與 x 軸交于（a 0）與 y 軸交于點 C，與 x軸交于 A， 4 2
B 兩點(點 A 在點 B 的左側)，且 A 點坐標為 ( 2, 0)， A，B 兩點（點 A 在點 B的左側），與 y 軸交于點 C，點
2 P 是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點 P 的
直線 BC 的解析式為 y x 2 .
3 橫坐標為 m．過點 P作直線 PD x軸于點 D，作直線 BC
(1)求拋物線的解析式； 交 PD 于點 E
(2)過點 A 作 AD∥BC，交拋物線于點 D，點 E 為直線 BC (1)求 A，B，C 三點的坐標，并直接寫出直線 BC 的函數
上方拋物線上一動點，連接 CE，EB，BD，DC.求四邊形 表達式；
BECD 面積取得最大值時相應點 E的坐標；
(2)當△CEP是以 PE 為底邊的等腰三角形時，求點 P的
(3)將拋物線 y ax2 bx 2（a 0）向左平移 2 個單
坐標；
位，已知點 M 為拋物線 y ax2 bx 2（a 0）的對稱軸 (3)連接 AC，過點 P 作
上一動點，點 N 為平移后 直線 l∥AC，交 y 軸
的拋物線上一動點.在(2)
于點 F，連接 DF．試探
中，當四邊形 BECD 的面積
最大時，是否存在以 A，E， 究：在點 P 運動的過程
M，N 為頂點的四邊形為平 中，是否存在點 P，使
行四邊形？若存在，求出 得CE FD，若存在，
點 N 的坐標；若不存在， 請直接寫出 m的值；若
請說明理由. 不存在，請說明理由．
3.如圖,以 D 為頂點的拋物線 yy x bx c交 x軸于 24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax +bx+c 交 x
A、B兩點，交 y軸于點C,直線 BC的表達式為 y x 3 . 軸于 A、B 兩點(A 在 B的左側)，且 OA=3，OB=1，與 y
(1)求拋物線的表達式； 軸交于 C(0，3)，拋物線的頂
(2)在直線 BC 上有一點 點坐標為 D(﹣1，4)．
P,使PO+PA的值最小,求 (1)求 A、B 兩點的坐標；
點 P的坐標； (2)求拋物線的解析式；
(3)在 x軸上是否存在一 (3)過點 D 作直線 DE∥y 軸，
點 Q,使得以 A、C、Q 為 交 x軸于點 E，點 P是拋物線
頂點的三角形與△BCD 上 B、D兩點間的一個動點(點
相似 若存在,請求出點 P 不與 B、D 兩點重合)，PA、
Q 的坐標；若不存在,請說明理由. PB 與直線 DE 分別交于點 F、G，當點 P 運動時，EF+EG
是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理
由．
(2024)25．如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知 (2023)25．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知拋物
2 線 y ax
2
＝ +2x+c 與坐標軸分別相交于點 A，B，C（0，6）
拋物線 y ax bx 3經過點 A(3,0) ，與 y軸交于
三點，其對稱軸為 x＝2．
點 B，且關于直線 x 1對稱． （1）求該拋物線的解析式；
（1）求該拋物線的解析式； （2）點 F 是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直
（2）當-1≤x≤t 時，y的取值范圍是 0≤y≤2t-1， 線 AF 分別與 y 軸，直線 BC 交于點 D，E．
中 求 t的值； ①當 CD＝CE 時，求 CD 的長；
考 （3）點C 是拋物線上位于第一象限的一個動點， ②若△CAD，△CDE，△CEF 的面積分別為 S1，S2，S3，且
鏈 過點C 作 x軸的垂線交直線 AB于點 D，在 y軸上 滿足 S1+S3＝2S2，求點 F的坐
接 是否存在點 E，使得以 B， 標．
C，D，E為頂點的四邊
形是菱形？若存在，求出
該菱形的邊長；若不存在，
說明理由．
第 15 頁
第 16 頁

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