資源簡介

《2.3.2平行線的性質》自主學習單
—— 鄭州外國語教育集團朗悅校區 王丹丹
預備性知識：
平行線的性質 文字語言 符號語言 圖形語言
性質1 兩直線平行， 同位角相等. ∵ ∴
性質2 兩直線平行， 內錯角相等. ∵ ∴
性質3 兩直線平行， 同旁內角互補. ∵ ∴
平行線的判定 文字語言 符號語言 圖形語言
判定1 同位角相等， 兩直線平行. ∵ ∴
判定2 內錯角相等， 兩直線平行. ∵ ∴
判定3 同旁內角互補， 兩直線平行. ∵ ∴
平行公理 平行于同一條直線的兩直線平行 ∵ ∴
例1：根據下圖，回答下列問題：
(1)若∠1=∠2，則可以判定哪兩條直線平行？依據是什么？
∠1與∠2是內錯角，若∠1=∠2，則根據 “內錯角相等，兩直線平行”，可得BF//CE.
(2)若∠2=∠M，則可以判定哪兩條直線平行？依據是什么？
∠2與∠M 是同位角，若∠2=∠M，則根據 “同位角相等，兩直線平行”，可得AM//BF.
(3)若∠2 +∠3 = 180°，則可以判定哪兩條直線平行？依據是什么？
∠2與∠3 是同旁內角，若∠2 +∠3=180°，則根據 “同旁內角互補，兩直線平行”，可得AC//MD.
活動1：獨立思考
例2（基礎性目標1）：如圖，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF與AB平行嗎？說說你的理由.
解：因為∠1＝∠2，
根據“內錯角相等，兩直線平行”，
所以 EF∥CD.
又因為AB∥CD，
根據“平行于同一條直線的兩條直線平行”，
所以EF∥AB.
例3（基礎性目標2）：如圖，已知直線a∥b，直線c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度數.
解：因為a∥b，
根據“兩直線平行，內錯角相等”，
所以∠2＝∠1＝107°.
因為c∥d，
根據“兩直線平行，同旁內角互補”，
所以∠1＋∠3＝180°，
所以∠3＝180°－∠1＝180°－107°＝73°.
活動2：典例精講（拓展性目標）
例4.（拓展性目標1）如圖，AB∥CD，∠B=∠D，點F在AD上，EF交BC的延長線于點E. 試說明：∠E=∠DFE.
解：因為AB∥CD(已知)，
所以∠B+∠DCB=180°(兩直線平行，同旁內角互補).
又因為∠B=∠D(已知)，
所以∠D+∠DCB=180°(等量代換).
所以AD∥BC(同旁內角互補，兩直線平行).
所以∠E=∠DFE(兩直線平行，內錯角相等).
（拓展性目標2）你能根據解題過程說說平行線的性質與判定之間有怎樣的關系？
活動3：回顧與反思（挑戰性目標1）
回顧直線相交與平行的探究過程，你積累了哪些研究幾何圖形的方法與經驗
1.在現實生活中認識相交線與平行線，總結其定義及對頂角等相關概念;
2.在研究相交線的特殊情形“重直”時,通過畫圖總結垂線的性質;
3.經過操作活動,觀察、分析、歸納判斷兩直線平行的條件及平行線的性質;
4.通過畫圖總結平行線其他的性質,依據兩直線平行的條件進行尺規作圖.
活動4：頭腦風暴（挑戰性目標2）
已知AB∥CD，請你在平面內任取一點E（點E不在平行線上），連接AE,CE.請探索∠EAB、∠ECB、∠AEC之間的關系，并說明理由.
小結：
說說本節課你的收獲
當堂檢測
1. (基礎性知識) 如圖， AE//CD，∠1=37°，∠D=54°，則∠2=,∠BAE=.
2. (基礎性知識)有下列說法:①兩直線平行,同旁內角互補;②同位角相等,兩直線平行;③內錯角相等,兩直線平行;④兩直線平行,同位角相等.其中是平行線的性質的是(　D　)
A.① B. ②③ C.④ D. ①④
3． (基礎性知識)如圖所示，已知AB⊥GH于點M,CD⊥GH,直線CD,EF,GH相交于一點O,直線EF,AB相交于點P.若∠1=42°,則∠2等于(　B　)
A.130° B.138° C.140° D.142°
4.（拓展性知識）如圖，已知∠ 1=105°， ∠ 2=75°，請說明 a//b.
解：因為∠ 1=105°， ∠ 1+ ∠ 3=180°，
所以∠ 3 =180°- ∠ 1 =180°-105°=75°.
因為∠ 2=75°，
所以∠ 2= ∠ 3，
所以 a//b(同位角相等，兩直線平行).
5.（挑戰性知識）如圖所示，已知∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)試判斷BF與DE的位置關系,并說明理由;
(2)若DE⊥AC,∠2=140°,求∠AFG的度數.
解:(1)BF∥DE.理由如下:因為∠AGF=∠ABC,
所以GF∥BC,所以∠1=∠FBC.
因為∠1+∠2=180°,所以∠FBC+∠2=180°,所以BF∥DE.
(2)因為BF∥DE,DE⊥AC,所以∠AFB=∠AED=90°.
因為∠1+∠2=180°,∠2=140°,所以∠1=40°,
所以∠AFG=90°-40°=50°.
課后作業（可根據自身情況選做）
基礎性作業：
1．已知a∥b，將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若∠2＝30°，則∠1的度數為（　D　）
A．100° B．135° C．155° D．165°
2．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，則∠4的大小是__120___度．
拓展性作業：
3. 如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，BE∥GF，∠1＝∠2．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠ADE＝50°，求∠2的度數．
解：（1）證明：∵BE∥GF，
∴∠2＝∠CBE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CBE，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，∠ADE＝50°，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC50°＝25°，
∵BE∥GF，
∴∠2＝∠CBE＝25°
4. 如圖，AB∥CD，點P，Q分別是AB，CD上的一點，射線PB繞點P順時針旋轉，速度為每秒1度，射線QC繞點Q順時針旋轉，速度為每秒2度，旋轉至與QD重合便立即回轉，當射線PB旋轉至與PA重合時，PB與QC都停止轉動．若射線PB先轉動30秒，射線QC才開始轉動，則射線QC轉動_30或110_秒后，QC與PB平行．
挑戰性作業：
5. 【閱讀 領會】在幾何圖形學習過程中，為了幫助解題可在原圖的基礎上添加直線或線段，比如要證明直線a、b是否平行，可添加“第三條直線”（即圖1中的截線c），把判斷兩條直線的位置關系轉化為判斷兩個角的數量關系．我們稱直線c為“輔助線”．
【實踐 體悟】如圖2，已知∠ABE＝∠DCF，∠E＝∠F．求證：AB∥CD．
（1）小明同學想到通過連接BC，作出平行線的截線，請你幫他完成下列證明過程：
證明：連接BC．
因為∠E＝∠F（已知），
所以 　BE∥CF　（內錯角相等，兩直線平行），
所以 　∠EBC＝∠FCB　（兩直線平行，內錯角相等），
因為∠ABE＝∠DCF（已知），
所以∠ABE+　∠EBC　＝∠DCF+　∠FCB　（等式性質），
所以 　∠ABC　＝ 　∠DCB　（等量代換），
所以AB∥CD（ 　內錯角相等，兩直線平行　）．
（2）請你試用其他方法進行推理，并書寫證明過程．
（2）延長BE交直線CD于點M，
∵∠BEF＝∠F，
∴BM∥CF，
∴∠BMC＝∠DCF．
∵∠ABE＝∠DCF，
∴∠BMC＝∠ABE，
∴AB∥CD．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
原創名校精品資源21世紀教育網獨家享有版權，侵權必究《2.3.2平行線的性質》自主學習單
—— 鄭州外國語教育集團朗悅校區 王丹丹
預備性知識：
平行線的性質 文字語言 符號語言 圖形語言
性質1
性質2
性質3
平行線的判定 文字語言 符號語言 圖形語言
判定1
判定2
判定3
平行公理
例1：根據下圖，回答下列問題：
(1)若∠1=∠2，則可以判定哪兩條直線平行？依據是什么？
(2)若∠2=∠M，則可以判定哪兩條直線平行？依據是什么？
(3)若∠2 +∠3 = 180°，則可以判定哪兩條直線平行？依據是什么？
活動1：獨立思考
例2（基礎性目標1）：如圖，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF與AB平行嗎？說說你的理由.
例3（基礎性目標2）：如圖，已知直線a∥b，直線c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度數.
活動2：典例精講（拓展性目標）
例4.（拓展性目標1）如圖，AB∥CD，∠B=∠D，點F在AD上，EF交BC的延長線于點E. 試說明：∠E=∠DFE.
（拓展性目標2）你能根據解題過程說說平行線的性質與判定之間有怎樣的關系？
活動3：回顧與反思（挑戰性目標1）
回顧直線相交與平行的探究過程，你積累了哪些研究幾何圖形的方法與經驗
活動4：頭腦風暴（挑戰性目標2）
已知AB∥CD，請你在平面內任取一點E（點E不在平行線上），連接AE,CE.請探索∠EAB、∠ECB、∠AEC之間的關系，并說明理由.
小結：
說說本節課你的收獲
當堂檢測
1. (基礎性知識) 如圖， AE//CD，∠1=37°,∠D=54°，則∠2=
____,∠BAE=_____.
2. (基礎性知識)有下列說法:①兩直線平行,同旁內角互補;②同位角相等,兩直線平行;③內錯角相等,兩直線平行;④兩直線平行,同位角相等.其中是平行線的性質的是(　　)
A.① B. ②③ C.④ D. ①④
3． (基礎性知識)如圖所示，已知AB⊥GH于點M,CD⊥GH,直線CD,EF,GH相交于一點O,直線EF,AB相交于點P.若∠1=42°,則∠2等于(　　)
A.130° B.138° C.140° D.142°
4.（拓展性知識）如圖，已知∠ 1=105°， ∠ 2=75°，請說明 a//b.
5.（挑戰性知識）如圖所示，已知∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)試判斷BF與DE的位置關系,并說明理由;
(2)若DE⊥AC,∠2=140°,求∠AFG的度數.
課后作業（可根據自身情況選做）
基礎性作業：
1．已知a∥b，將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若∠2＝30°，則∠1的度數為（　　）
A．100° B．135° C．155° D．165°
2．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，則∠4的大小是_____度．
拓展性作業：
3. 如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，BE∥GF，∠1＝∠2．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠ADE＝50°，求∠2的度數．
4. 如圖，AB∥CD，點P，Q分別是AB，CD上的一點，射線PB繞點P順時針旋轉，速度為每秒1度，射線QC繞點Q順時針旋轉，速度為每秒2度，旋轉至與QD重合便立即回轉，當射線PB旋轉至與PA重合時，PB與QC都停止轉動．若射線PB先轉動30秒，射線QC才開始轉動，則射線QC轉動________秒后，QC與PB平行．
挑戰性作業：
5. 【閱讀 領會】在幾何圖形學習過程中，為了幫助解題可在原圖的基礎上添加直線或線段，比如要證明直線a、b是否平行，可添加“第三條直線”（即圖1中的截線c），把判斷兩條直線的位置關系轉化為判斷兩個角的數量關系．我們稱直線c為“輔助線”．
【實踐 體悟】如圖2，已知∠ABE＝∠DCF，∠E＝∠F．求證：AB∥CD．
（1）小明同學想到通過連接BC，作出平行線的截線，請你幫他完成下列證明過程：
證明：連接BC．
因為∠E＝∠F（已知），
所以 　 　（內錯角相等，兩直線平行），
所以 　 　（兩直線平行，內錯角相等），
因為∠ABE＝∠DCF（已知），
所以∠ABE+　 　＝∠DCF+　 　（等式性質），
所以 　 　＝ 　 　（等量代換），
所以AB∥CD（ 　 　）．
（2）請你試用其他方法進行推理，并書寫證明過程．
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