資源簡介

《2.2.1利用同位角判定兩直線平行及平行公理》自主學習單
—— 鄭州外國語教育集團朗悅校區 楊玉婷
預備性知識：
1.兩條直線相交成四個角，如果有____一個角是直角_____，那么稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線.如圖，記作_____AB⊥CD_____，垂足為點O.
幾何語言：
(1)∵AB⊥CD，
∴______∠BOC或∠AOC或∠AOD或∠BOD______=90°.(填出一個即可)
(2)∵∠BOC=90°，
∴_____AB⊥CD_______.
2.如何判定圖中的直線平行？你是怎么判斷的？
在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.
3.除了定義法，還有其它判斷兩直線平行的方法嗎？
活動1：(基礎性目標1)
在日常生活中，人們經常用到平行線.
如圖，裝修工人要在墻上釘木條，如果木條b與豎直木條垂直，那么木條a與豎直木條所成的角為多少度時，才能使木條a與木條b平行
木條a與豎直木條所成的角為90°時，才能使木條a與木條b平行.
如果木條b不與豎直木條垂直呢
探究 如圖1，三根木條相交成∠1，∠2，固定木條b，c，轉動木條a.如圖2，在轉動木條a的過程中，觀察∠2的變化以及它與∠1的大小關系，你發現木條a與木條b的位置關系發生了什么變化 木條a何時與木條b平行
木條a與木條b的位置關系經歷“相交→平行→相交”這一變化過程.當∠1=∠2時，木條a與木條b平行.
改變圖中∠1的大小，旋轉木條a，∠1與∠2的大小滿足什么關系時，木條a與木條b平行
當∠1=∠2時，木條a與木條b平行.
活動2：(基礎性目標2)
思考 兩條直線相交，可以構成四個角，若在圖中再添加一條直線，構成了幾個角？
此圖可看作兩直線AB，CD被第三條直線l所截，共構成八個角，簡稱“三線八角”.
通常直線AB，CD叫作被截線，直線l叫作截線.
觀察∠1與∠2，它們有怎樣的位置關系？
①在兩條被截直線的同一方；②在截線的同側.
具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同位角.找出其他的同位角.
∠3與∠4，∠5與∠6，∠7與∠8也分別是同位角.
總結:同位角的位置特征:
①在兩條被截直線的同一方；②在截線的同側.形如字母“F”(或倒置、反置、旋轉).
注意:同位角強調兩角的位置關系，與角的大小無關.
基礎性目標2練習 圖中的∠1與∠2是同位角嗎？
活動3：(基礎性目標3)
由上面的活動可知：當∠1=∠2時，木條a與木條b平行.
總結：
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
簡述為:同位角相等，兩直線平行.
兩直線平行，用符號“//”表示.
例如，直線a與直線b平行，記作a//b.
填寫下面的結論：
兩條直線平行的判定方法1：
文字語言：_____同位角相等，兩直線平行_____.
圖形語言：
幾何語言：
∵∠1=∠2(已知)________
∴l1//l2(同位角相等，兩直線平行)_________
基礎性目標3練習 1.1.找出下面點陣(點陣中相鄰的四個點構成正方形)中互相平行的線段.
解:AB//CD，EF//CH.
2.如圖，∠1=∠2=55°，直線 AB與CD平行嗎
解:AB//CD.
∵∠1=∠2=55°，∠1=∠3(對頂角相等)，
∴∠2=∠3.
∴AB//CD(同位角相等，兩直線平行)
活動4：(拓展性目標4)
你能根據“同位角相等，兩直線平行”這一原理，借助三角尺和直尺過直線外一點畫已知直線的平行線嗎？
一落 把三角尺的一邊落在已知直線上.
二靠 用直尺緊靠三角尺的另一邊.
三推 沿直尺推動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點.
四畫 沿三角尺過已知點的邊畫直線.
思考 在畫平行線過程中，三角尺起著什么樣的作用？
在移動的過程中，三角尺的度數不變，保證同位角相等.
活動5：(拓展性目標5)
思考 1.經過點C能畫出幾條直線？
2.與直線AB平行的直線有幾條？
3.經過點C能畫出幾條直線與直線AB平行？
1.無數條
2.無數條
3.1條
總結：平行公理（基本事實）：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.
強調“存在性”和“唯一性”
活動6：(拓展性目標6)
在圖中，分別過點C和D畫直線AB的平行線EF和GH，那么EF與GH有怎樣的位置關系
EF與GH平行
總結：平行公理的推論(平行線的傳遞性)：平行于同一條直線的兩條直線平行
填寫下面的結論：
平行公理的推論(平行線的傳遞性)：
文字語言：_____平行于同一條直線的兩條直線平行_____.
圖形語言：
幾何語言：
∵b//a，c//a________
∴b//c(平行于同一條直線的兩條直線平行)_________
拓展性目標5、6練習 對于同一平面內的三條直線a，b，c，如果a與b平行，c與a相交，那么c與b的位置關系是相交還是平行 請畫圖說明.
解:c與b的位置關系是相交.
小組合作活動7：(挑戰性目標7)
將裝修工人要在墻上釘木條的情景抽象如圖，直線a⊥c，b⊥c．求證：a∥b．
證明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，
∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定義)，
∴∠1＝∠2(等量代換)，
∴a∥b(同位角相等，兩直線平行).
總結：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行．
小組合作活動8：(挑戰性目標8)
請模仿挑戰性活動7改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
當堂檢測
1．(基礎性目標1)在同一平面內，有三條直線a、b、c，如果a⊥b，b⊥c，則a 　∥　c．
2．(基礎性目標2)如圖中∠1與∠2不是同位角的是(　B　)
A． B． C． D．
3.(基礎性目標3)如圖，∠A＝50°，則當∠1＝　130　°時，AB∥CD．
4.(拓展性目標4)如圖，過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據是 　同位角相等，兩直線平行?。?br/>5.(基礎性目標3)如圖，∠A＝70°，O是AB上一點，直線OD與AB所夾角∠BOD＝86°，要使OD∥AC，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉　16　度．
6.(拓展性目標5、6)下列說法錯誤的是(　B　)
A．兩點之間的所有連線中，線段最短
B．經過一點有且只有一條直線與已知直線平行
C．經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
7.(挑戰性目標7)如圖，在△ABC中，D，E分別在AC，BC上，∠C＝20°，∠CDE＝120°，∠B＝40°，請問DE與AB是否平行？并說明理由.
解：DE∥AB.理由如下：
在△CDE中，∠CDE＝120°，∠C＝20°，
∠CDE+∠C+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-∠CDE-∠C=180°-120°-20°=40°.
又∵∠B＝40°，∴∠DEC=∠B，
∴DE∥AB(同位角相等，兩直線平行).
課后作業(可根據實際選做)
基礎性作業：
1．找出圖中互相平行的直線．
解：∵∠1＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1＝∠ABC，
∴m∥n，
∵∠DEC＝∠ABC＝50°，
∴a∥b．
拓展性作業：
2．如果只有直尺，你能在上面的方格紙上畫出平行線嗎？
解：如圖所示：
3．你能用一張不規則的紙(比如，如圖所示的四邊形的紙)折出兩條平行的直線嗎？與同伴說說你的折法，請在圖中畫出示意圖，寫出平行依據.
解：如圖所示：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行
4.直線l的同側有A，B，C三點，如果A，B兩點確定的直線l1與B，C兩點確定的直線l2都與l平行，那么A，B，C三點的位置關系如何？
解：A、B、C三點的位置關系是：在同一直線上，
理論依據是：在同一平面內，經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
挑戰性作業：
5．如圖，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求證：AB∥EF．
證明：∵CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，
∴∠DCF＝2∠DCG＝130°，
∵∠DCF+∠DCE=180°，
∴∠DCE＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥EF．
6．已知：如圖，∠EGB＝∠GHD，，直線EF分別交AB，CD于點G，H，GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
求證：GM∥HN．
證明：∵GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
∴∠EGM∠EGB，∠GHN∠GHD，
∵∠EGB＝∠GHD，
∴∠EGM＝∠GHN，
∴GM∥HN．
7.請模仿挑戰性作業第6題改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 (共 2 頁)
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—— 鄭州外國語教育集團朗悅校區 楊玉婷
預備性知識：
1.兩條直線相交成四個角，如果有___________________，那么稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線.如圖，記作___________________，垂足為點O.
幾何語言：
(1)∵AB⊥CD，
∴_____________________=90°.(填出一個即可)
(2)∵∠BOC=90°，
∴____________________.
2.如何判定圖中的直線平行？你是怎么判斷的？
3.除了定義法，還有其它判斷兩直線平行的方法嗎？
活動1：(基礎性目標1)
在日常生活中，人們經常用到平行線.
如圖，裝修工人要在墻上釘木條，如果木條b與豎直木條垂直，那么木條a與豎直木條所成的角為多少度時，才能使木條a與木條b平行
如果木條b不與豎直木條垂直呢
探究 如圖1，三根木條相交成∠1，∠2，固定木條b，c，轉動木條a.如圖2，在轉動木條a的過程中，觀察∠2的變化以及它與∠1的大小關系，你發現木條a與木條b的位置關系發生了什么變化 木條a何時與木條b平行
改變圖中∠1的大小，旋轉木條a，∠1與∠2的大小滿足什么關系時，木條a與木條b平行
活動2：(基礎性目標2)
思考 兩條直線相交，可以構成四個角，若在圖中再添加一條直線，構成了幾個角？
通常直線AB，CD叫作被截線，直線l叫作截線.
觀察∠1與∠2，它們有怎樣的位置關系？
具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同位角.找出其他的同位角.
總結:同位角的位置特征:__________________________________________________
注意:同位角強調兩角的位置關系，與角的大小無關.
基礎性目標2練習 圖中的∠1與∠2是同位角嗎？
活動3：(基礎性目標3)
由上面的活動可知：當∠1=∠2時，木條a與木條b平行.
總結：
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
簡述為:同位角相等，兩直線平行.
兩直線平行，用符號“__________”表示.
例如，直線a與直線b平行，記作__________.
填寫下面的結論：
兩條直線平行的判定方法1：
文字語言：____________________.
圖形語言：
幾何語言：
∵____________________________
∴____________________________
基礎性目標3練習 1.1.找出下面點陣(點陣中相鄰的四個點構成正方形)中互相平行的線段.
2.如圖，∠1=∠2=55°，直線AB與CD平行嗎
活動4：(拓展性目標4)
你能根據“同位角相等，兩直線平行”這一原理，借助三角尺和直尺過直線外一點畫已知直線的平行線嗎？
思考 在畫平行線過程中，三角尺起著什么樣的作用？
活動5：(拓展性目標5)
思考 1.經過點C能畫出幾條直線？
2.與直線AB平行的直線有幾條？
3.經過點C能畫出幾條直線與直線AB平行？
總結：平行公理（基本事實）：________________________________________
強調“存在性”和“唯一性”
活動6：(拓展性目標6)
在圖中，分別過點C和D畫直線AB的平行線EF和GH，那么EF與GH有怎樣的位置關系
總結：平行公理的推論(平行線的傳遞性)：平行于同一條直線的兩條直線平行
填寫下面的結論：
平行公理的推論(平行線的傳遞性)：
文字語言：__________________________________________________.
圖形語言：
幾何語言：
∵______________________________________________
∴_________________________________________________
拓展性目標5、6練習 對于同一平面內的三條直線a，b，c，如果a與b平行，c與a相交，那么c與b的位置關系是相交還是平行 請畫圖說明.
小組合作活動7：(挑戰性目標7)
將裝修工人要在墻上釘木條的情景抽象如圖，直線a⊥c，b⊥c．求證：a∥b．
總結：________________________________________
小組合作活動8：(挑戰性目標8)
請模仿挑戰性活動7改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
當堂檢測
1．(基礎性目標1)在同一平面內，有三條直線a、b、c，如果a⊥b，b⊥c，則a 　__________　c．
2．(基礎性目標2)如圖中∠1與∠2不是同位角的是(　　)
A． B． C． D．
3.(基礎性目標3)如圖，∠A＝50°，則當∠1＝　__________　°時，AB∥CD．
4.(拓展性目標4)如圖，過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據是 　______________________________　．
5.(基礎性目標3)如圖，∠A＝70°，O是AB上一點，直線OD與AB所夾角∠BOD＝86°，要使OD∥AC，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉　__________　度．
6.(拓展性目標5、6)下列說法錯誤的是(　　)
A．兩點之間的所有連線中，線段最短
B．經過一點有且只有一條直線與已知直線平行
C．經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
7.(挑戰性目標7)如圖，在△ABC中，D，E分別在AC，BC上，∠C＝20°，∠CDE＝120°，∠B＝40°，請問DE與AB是否平行？并說明理由.
課后作業(可根據實際選做)
基礎性作業：
1．找出圖中互相平行的直線．
拓展性作業：
2．如果只有直尺，你能在上面的方格紙上畫出平行線嗎？
3．你能用一張不規則的紙(比如，如圖所示的四邊形的紙)折出兩條平行的直線嗎？與同伴說說你的折法，請在圖中畫出示意圖，寫出平行依據.
4.直線l的同側有A，B，C三點，如果A，B兩點確定的直線l1與B，C兩點確定的直線l2都與l平行，那么A，B，C三點的位置關系如何？
挑戰性作業：
5．如圖，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求證：AB∥EF．
6．已知：如圖，∠EGB＝∠GHD，，直線EF分別交AB，CD于點G，H，GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
求證：GM∥HN．
7.請模仿挑戰性作業第6題改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
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