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《2.2.2利用內錯角或同旁內角判定兩直線平行》自主學習單
—— 鄭州外國語教育集團朗悅校區 楊玉婷
預備性知識：
1.平行的判定方法1：________________________________________________________
2.平行公理（基本事實）：_______________________________________________________
3.平行公理的推論：_______________________________________________________
4.尺規作角：尺規作∠A′O′B′＝∠AOB
活動1：(基礎性目標1)
問題 小明有一塊小畫板，他想知道它的上、 邊緣是否平行，于是他在兩個邊緣之間畫了一條線段AB(如圖所示).
思考 小明身邊只有一個量角器，他通過測量某些角的大小就能知道這個畫板的上、下邊緣是否平行，你知道他是怎樣做的嗎？
觀察∠1與∠4，它們有怎樣的位置關系？
具有∠1與∠4這樣位置關系的角稱為內錯角.
圖中的內錯角還有哪些？
內錯角的位置特征:__________________________________________________________
觀察∠1與∠2，它們有怎樣的位置關系？
具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同旁內角
圖中還有哪些同旁內角？
同旁內角的位置特征:_________________________________________________________
總結：同位角的位置特征：形如字母“________”(或倒置、反置、旋轉).
內錯角的位置特征：形如字母“_________”(或倒置、反置、旋轉).
同旁內角的位置特征：形如字母“_________”(或倒置、反置、旋轉).
注意:同位角、內錯角、同旁內角強調兩角的位置關系，與角的大小無關.
基礎性目標1練習 觀察下圖并填空：
(1)∠1與_________是同位角；
(2)∠5與________是同旁內角；
(3)∠1與________是內錯角.
活動2：(基礎性目標2)
探究 能否利用內錯角和同旁內角來判定兩直線平行呢？
(1)內錯角滿足什么關系時，兩直線平行 為什么
如圖，由∠3=∠2，可推出a//b嗎？如何推出？
總結：
兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.
簡述為:內錯角相等，兩直線平行.
填寫下面的結論：
兩條直線平行的判定方法2：
文字語言：_______________________________________.
圖形語言：
幾何語言：
∵___________________________________
∴___________________________________
(2)同旁內角滿足什么關系時兩直線平行 為什么
如圖，如果∠1+∠2=180°，你能判定a//b嗎
總結：
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.
簡述為:同旁內角互補，兩直線平行.
填寫下面的結論：
兩條直線平行的判定方法3：
文字語言：______________________________________.
圖形語言：
幾何語言：
∵___________________________________
∴______________________________________
除了定義法，我們學習了哪些判斷兩直線平行的方法？
活動3：(拓展性目標3)
如下圖，三個相同的三角尺拼接成一個圖形，請找出圖中的一組平行線，并說明你的理由．
以下是小穎的思考過程：BC與AE是平行的．
因為∠BCA與∠EAC是內錯角，而且又相等．
再找一組平行線，并說明你的理由．
思考 如圖，在探究兩條直線是否平行時，常用第三條直線截這兩條直線，那么這條截線的作用是什么呢
拓展性目標3練習 .當圖中各角分別滿足下列條件時，你能判定哪兩條直線平行
(1)∠1=∠4；(2)∠2=∠4；(3)∠1+∠3=180°.
活動4：(拓展性目標4)
嘗試 如圖，某公園現有兩條直道AB和CD交于點O，為方便游客觀賞，公園管理部門決定過小路CD上的點P，再修建一條直道MN， 并且使MN與AB平行.
(1)過點P的直線有多少條
(2)滿足什么條件的直線才能與AB平行
你能用尺規過直線外一點作這條直線的平行線嗎？
如圖，已知點P在直線AB外，用尺規作直線MN，使MN經過點P，且MN//AB.
小組合作活動5：(挑戰性目標5)
如圖，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不動，繞直角頂點C順時針轉動三角板DCE．當∠ACD＝　_____________________________　時，CE∥AB．
小組合作活動6：(挑戰性目標6)
請模仿挑戰性活動5改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
當堂檢測
1．(基礎性目標1)下列說法不正確的是(　　)
A．∠1與∠4是同位角 B．∠3與∠5是同旁內角
C．∠3與∠4是內錯角 D．∠3與∠6是同位角
2.(拓展性目標3)下列各圖中，能畫出AB∥CD的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3.(拓展性目標4)如圖，已知∠BOP與射線OP上的點A，小亮用尺規過點A作OB的平行線，步驟如下．
①取射線OP上的點C，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OB于點D；
②以點A為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點M；
③以點M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點E，直線EA即為所求．
請你按照小亮的步驟完成作圖，并寫出小亮作圖的依據：____________________________
4.(挑戰性目標5)如圖，直線a、b被直線l所截，AD、BC為其中一組同旁內角的角平分線．若AD⊥BC，則a與b的位置關系是什么？
課后作業(可根據實際選做)
基礎性作業：
1.如圖，下列說法不正確的是(　　)
A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是對頂角
C．∠4+∠2＝180° D．∠1和∠4是內錯角
拓展性作業：
2.如圖，下列條件中，不能判定l1∥l2的是(　　)
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°
3．如圖，一條街道的兩個拐角∠ABC和∠BCD均為150°，街道AB與CD平行嗎？為什么？
4.如圖，∠DAB+∠CDA＝180°，∠ABC＝∠1，直線AB與CD平行嗎？直線AD與BC呢？為什么？
挑戰性作業：
5.如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點P和點Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，說出圖中哪些直線平行，并說明理由．
6.請模仿挑戰性作業第5題改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
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—— 鄭州外國語教育集團朗悅校區 楊玉婷
預備性知識：
1.平行的判定方法1：___同位角相等，兩直線平行__________________________
2.平行公理（基本事實）：___過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行__________
3.平行公理的推論：____平行于同一條直線的兩條直線平行_________________________
4.尺規作角：尺規作∠A′O′B′＝∠AOB
活動1：(基礎性目標1)
問題 小明有一塊小畫板，他想知道它的上、 邊緣是否平行，于是他在兩個邊緣之間畫了一條線段AB(如圖所示).
思考 小明身邊只有一個量角器，他通過測量某些角的大小就能知道這個畫板的上、下邊緣是否平行，你知道他是怎樣做的嗎？
觀察∠1與∠4，它們有怎樣的位置關系？
①在直線l的兩側；②在直線AB，CD的之間
具有∠1與∠4這樣位置關系的角稱為內錯角.
圖中的內錯角還有哪些？
∠3與∠2
內錯角的位置特征:①在兩條被截直線之間；②在截線的兩側.形如字母“Z”(或倒置、反置、旋轉).
觀察∠1與∠2，它們有怎樣的位置關系？
①在直線l的同旁；②在直線AB，CD的之間
具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同旁內角
圖中還有哪些同旁內角？
∠3與∠4
同旁內角的位置特征:①在兩條被截直線之間；②在截線的同側.形如字母“U”(或倒置、反置、旋轉).
總結：同位角的位置特征：形如字母“____F_____”(或倒置、反置、旋轉).
內錯角的位置特征：形如字母“_____Z____”(或倒置、反置、旋轉).
同旁內角的位置特征：形如字母“____U_____”(或倒置、反置、旋轉).
注意:同位角、內錯角、同旁內角強調兩角的位置關系，與角的大小無關.
基礎性目標1練習 觀察下圖并填空：
(1)∠1與____∠4_____是同位角；
(2)∠5與_____∠3____是同旁內角；
(3)∠1與____∠2_____是內錯角.
活動2：(基礎性目標2)
探究 能否利用內錯角和同旁內角來判定兩直線平行呢？
(1)內錯角滿足什么關系時，兩直線平行 為什么
如圖，由∠3=∠2，可推出a//b嗎？如何推出？
解：∵∠3=∠2(已知)，
∠1=∠3(對頂角相等)，
∴∠1=∠2，
∴a//b(同位角相等，兩直線平行).
總結：
兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.
簡述為:內錯角相等，兩直線平行.
填寫下面的結論：
兩條直線平行的判定方法2：
文字語言：_____內錯角相等，兩直線平行_____.
圖形語言：
幾何語言：
∵∠3=∠2(已知)________
∴a//b(內錯角相等，兩直線平行)_________
(2)同旁內角滿足什么關系時兩直線平行 為什么
如圖，如果∠1+∠2=180°，你能判定a//b嗎
解：∵∠1+∠2=180°(已知)，
∠1+∠3=180°(鄰補角定義)，
∴∠2=∠3(同角的補角相等)，
∴a//b(同位角相等，兩直線平行).
總結：
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.
簡述為:同旁內角互補，兩直線平行.
填寫下面的結論：
兩條直線平行的判定方法3：
文字語言：_____同旁內角互補，兩直線平行_____.
圖形語言：
幾何語言：
∵∠1+∠2=180°(已知)________
∴a//b(同旁內角互補，兩直線平行)_________
除了定義法，我們學習了哪些判斷兩直線平行的方法？
判定方法1 同位角相等，兩直線平行
判定方法2 內錯角相等，兩直線平行
判定方法3 同旁內角互補，兩直線平行
平行公理推論 平行于同一條直線的兩條直線平行
活動3：(拓展性目標3)
如下圖，三個相同的三角尺拼接成一個圖形，請找出圖中的一組平行線，并說明你的理由．
以下是小穎的思考過程：BC與AE是平行的．
因為∠BCA與∠EAC是內錯角，而且又相等．
再找一組平行線，并說明你的理由．
AC與DE是平行的．因為∠BCA與∠CDE是同位角，而且又相等．
思考 如圖，在探究兩條直線是否平行時，常用第三條直線截這兩條直線，那么這條截線的作用是什么呢
這條截線的作用是構造出同位角、內錯角、同旁內角，從而將兩直線的位置關系轉化為角之間的數量關系，進而可以通過操作、觀察來探索同位角或內錯角或同旁內角的數量關系與兩直線平行之間的聯系.
拓展性目標3練習 .當圖中各角分別滿足下列條件時，你能判定哪兩條直線平行
(1)∠1=∠4；(2)∠2=∠4；(3)∠1+∠3=180°.
解:(1)∵∠1=∠4，
∴a//b(同位角相等，兩直線平行).
(2)∵∠2=∠4，
∴l//m(內錯角相等，兩直線平行).
(3)∵ ∠1+∠3=180°，
∴l//n(同旁內角互補，兩直線平行).
活動4：(拓展性目標4)
嘗試 如圖，某公園現有兩條直道AB和CD交于點O，為方便游客觀賞，公園管理部門決定過小路CD上的點P，再修建一條直道MN， 并且使MN與AB平行.
(1)過點P的直線有多少條
(2)滿足什么條件的直線才能與AB平行
解：(1)過點P的直線有無數條.
(2)如圖，滿足∠DPN=∠DOB時，直線MN才能與AB平行.
你能用尺規過直線外一點作這條直線的平行線嗎？
如圖，已知點P在直線AB外，用尺規作直線MN，使MN經過點P，且MN//AB.
作法與示范：
1.如圖1，在直線AB上任取一點O，過點O，P作直線CD.
2.如圖2，以點P為頂點，以PD為一邊，在直線CD的右側作∠DPN=∠DOB.
PN邊所在的直線MN就是要作的直線.
如圖1 如圖2
小組合作活動5：(挑戰性目標5)
如圖，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不動，繞直角頂點C順時針轉動三角板DCE．當∠ACD＝　60°或120°　時，CE∥AB．
解：分兩種情況：
①如圖1所示，
當CE∥AB時，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°；
②如圖2所示，
當CE∥AB時，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
故答案為：60°或120°．
小組合作活動6：(挑戰性目標6)
請模仿挑戰性活動5改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
當堂檢測
1．(基礎性目標1)下列說法不正確的是(　D　)
A．∠1與∠4是同位角 B．∠3與∠5是同旁內角
C．∠3與∠4是內錯角 D．∠3與∠6是同位角
2.(拓展性目標3)下列各圖中，能畫出AB∥CD的是(　D　)
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3.(拓展性目標4)如圖，已知∠BOP與射線OP上的點A，小亮用尺規過點A作OB的平行線，步驟如下．
①取射線OP上的點C，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OB于點D；
②以點A為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點M；
③以點M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點E，直線EA即為所求．
請你按照小亮的步驟完成作圖，并寫出小亮作圖的依據：_內錯角相等，兩直線平行______
4.(挑戰性目標5)如圖，直線a、b被直線l所截，AD、BC為其中一組同旁內角的角平分線．若AD⊥BC，則a與b的位置關系是什么？
解：a∥b如圖，
∵AD⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAD+∠ABC+∠AOB＝180°，
∴∠BAD+∠ABC90°，
∵AD、BC分別是∠MAB、∠ABN的角平分線，
∴∠MAB=2∠BAD，∠ABN=2∠ABC，
∴∠MAB+∠ABN=2(∠BAD+∠ABC)＝180°，
∴a∥b.
課后作業(可根據實際選做)
基礎性作業：
1.如圖，下列說法不正確的是(　C　)
A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是對頂角
C．∠4+∠2＝180° D．∠1和∠4是內錯角
拓展性作業：
2.如圖，下列條件中，不能判定l1∥l2的是(　C　)
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°
3．如圖，一條街道的兩個拐角∠ABC和∠BCD均為150°，街道AB與CD平行嗎？為什么？
解：街道AB與CD平行；理由如下：
∵∠ABC＝∠BCD＝150°，
∴AB∥CD(內錯角相等，兩直線平行)．
4.如圖，∠DAB+∠CDA＝180°，∠ABC＝∠1，直線AB與CD平行嗎？直線AD與BC呢？為什么？
解：AB∥CD，AD∥BC，
理由是：∵∠DAB+∠CDA＝180°，
∴AB∥CD；
∵∠ABC＝∠1，
∴AD∥BC．
挑戰性作業：
5.如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點P和點Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，說出圖中哪些直線平行，并說明理由．
解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQAPQ，∠2＝∠PQH∠EQD，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH．
6.請模仿挑戰性作業第5題改編或創編一道包含平行判定的幾何練習題目并解答.
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