資源簡介

專題3 直線、射線、線段
知識解讀
1.與直線、射線、線段有關(guān)的規(guī)律
與直線、射線、線段有關(guān)的規(guī)律題眾多，解決這類問題的辦法是：先寫出具體的實例，再歸納這些實例的共同的特點來探求其中的規(guī)律.
2.線段公理的運用
兩點之間，線段最短.探求最短路徑、最小距離等問題常用到這個公理.
3.列方程解決線段計算問題
在無法通過和差倍分來直接計算線段的長度時，經(jīng)常需要設(shè)未知數(shù)，構(gòu)造方程來求解.
4.設(shè)參數(shù)解決線段計算問題
當題目中未知的線段比較多時，通過增設(shè)參數(shù)，能使題目變得簡單易解。
培優(yōu)學案
典例示范
1.與直線、射線、線段有關(guān)的規(guī)律
例1平面內(nèi)n條直線，每兩條直線都相交，問最多有幾個交點？
提示：通過畫圖可知：兩條直線只有一個交點，
第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個交點，得1＋2；
第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個交點，得1＋2＋3；
第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個交點，得1＋2＋3＋4；
由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點（1＋2＋3＋…＋n－1）個.
【技巧點評】
畫圖探求，從簡單情形考慮，通過有限的幾個特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論.
跟蹤訓練
1.（1）8條直線最多能把平面分成多少個區(qū)域？
（2）n條直線最多能把平面分成多少個區(qū)域？
2.線段公理的運用
例2 將長為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個五邊形。求其中最長的一段的取值范圍.
提示：如圖3-1，設(shè)AB是所圍成的五邊形ABCDE的最長邊，而線段BC，CD，DE，EA則可看成是點A，B之間的一條折線，根據(jù)“兩點之間，線段最短”有：
AB＜BC＋CD＋DE＋EA.
【技巧點評】
將求最長線段AB的取值范圍轉(zhuǎn)化成A，B兩點間由兩條不同的線相連接：線段AB和折線AEDCB，再運用線段公理來解決。
跟蹤訓練
直線a上有四個不同的點，依次為A，B，C，D.那么到A，B，C，D的距離之和最小的點（ ）
A.可以是線段AD外的某一點 B.只是B點和C點
C.只是線段AD的中點 D.有無數(shù)多個點
3.列方程解決線段計算問題
例3如圖3-2，B，C兩點把線段AD分成2：3：4三部分，點E是線段AD的中點，EC=2cm.
求：（1）AD的長；（2）AB:BE.
提示：根據(jù)條件AB:BC:CD=2：3：4，設(shè)AB=2x，注意到E是AD中點，從而可將BC，CD，AD，AE都用含x的式子表示出來，再由AC，AE，EC的關(guān)系建立方程，從而求解。
【技巧點評】
本題關(guān)鍵是根據(jù)給出的比例關(guān)系巧設(shè)未知數(shù)x，進而把相關(guān)線段用含x的式子表示出來，再由AC－AE=EC列出方程來求出x.要注意方程思想在解題中的應(yīng)用。
跟蹤訓練
3.如圖3-3，C是線段AB的中點，D是線段AC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，求線段AC的長度.
4.設(shè)參數(shù)解決線段計算問題
例4已知點C在直線AB上，且AC＞BC，線段AB=a，點M，N分別是AC，BC的中點，求MN的長度。
提示：點C在直線AB上，有兩種可能（見圖3-4）.設(shè)BC=b，則可表示出AC，進而表示出MC和NC，從而求出MN.
【技巧點評】
本題可采用整體法，將AC＋BC（或AC－BC）看成一個整體來求解.設(shè)BC=b，引入這個參數(shù)后，解題更方便.
跟蹤訓練
4.如圖3-5，點C在線段AB上，BC=10，點M，N分別是AB，AC的中點，求MN的長。
培優(yōu)訓練
1.（2017·貴州黔南）如圖3-6，建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁然后拉一條直的參照線，其運用到的數(shù)學原理是 （ ）
A.兩點之間，線段最短 B.兩點確定一條直線
C.垂線段最短 D.過一點有且只有一條直線和已知直線平行
2.（2014·湖南長沙）如圖3-7，C，D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB＝10cm，BC＝4cm，則AD的長為 （ ）
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
3.（2013·武漢）兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點….那么六條直線最多有 （ ）
A.21個交點 B.18個交點 C.15個交點 D.10個交點
4.某公司員工分別住在A，B，C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人，三個區(qū)在一條直線上，位置如圖3-8所示，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個停靠點，使得各小區(qū)員工到停靠點的總路程最少，那么停靠點的位置應(yīng)在 （ ）
A.A區(qū) B.B區(qū) C.C區(qū) D.A，B兩區(qū)之間
5.（2017·廣西桂林）如圖3-9，點D是線段AB的中點，點C是線段AD的中點，若CD＝1，則AB＝________.
6.已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC使BC＝3cm，則線段AC＝
7.平面內(nèi)不同的兩點確定一條直線，不同的三點最多確定三條直線.若平面內(nèi)的不同的n個點最多可確定15條直線，則n的值為__________.
8.已知線段MN，P是MN的中點，Q是PN的中點，R是MQ的中點，那么MR＝__________MN.
9.在直線l上任取一點A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中點D與AC的中點E之間的距離。
10.M，N是線段AB上的兩點，且AM:BM＝2：3，AN:BN＝4：1，MN＝3cm，求AM，NB的長.
【挑戰(zhàn)競賽】
1.（重慶市競賽）五位朋友a、b、c、d、e在公園聚會，見面時握手致意問候.已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次.到目前為止，e握了 （ ）
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
2.（五羊杯邀請賽）如圖3-10，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N是線段AC的中點，P為NA的中點，Q為MA的中點，則MN:PQ等于 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.（第16屆江蘇省競賽）如圖3-11所示，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A、B、C、D、E、F離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20km，而村莊G正好是AF的中點.現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應(yīng)建在 （ ）
A.A處 B.C處 C.G處 D.E處
4.（第13屆希望杯）冰冰過生日時，媽媽給她買了一個大蛋糕，形狀是圓柱形的，來為冰冰過生日的有7個同學，算上冰冰的爸爸、媽媽和她自己共10個人，現(xiàn)想把這個蛋糕切成至少10塊，且是沿豎直方向切分這塊蛋糕，則至少需切的刀數(shù)為 （ ）
A.3 B.4 C.6 D.9
5.（第16屆希望杯）公園里準備修五條甬道，并在甬道交叉路口處設(shè)一個報亭，
這樣的報亭最多設(shè) （ ）
A.9個 B.10個 C.11個 D.12個
6.（數(shù)學新蕾邀請賽）如圖3-12，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EF＝e，則圖中所有線段長度的和______.
7.（重慶市競賽）如圖3-13，從甲地到乙地共有4條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地到丙地有5條路可走，那么從甲地到丙地共有________條路可走.
8.（第9屆希望杯）線段AB上有P，Q兩點，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝________.
9.（第11屆希望杯）如圖3-14，C是線段AB的中點，D是線段BC的中點，已知圖中所有的線段之和為39，求線段BC的長.
10.（第5屆華羅庚金杯）攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這里路程的二分之一就到達目的地了，問A、B兩市相距多少千米？
11.（第18屆希望杯）平面上有若干個點，其中任意三點都不在同一直線上，將這些點分成三組，并按下面的規(guī)則用線段連接：①在同一組的任意兩點間都沒有線段連接；②不在同一組的任意兩點間一定有線段連接。
（1）若平面上恰好有9個點，且平均分成三組，那么平面上有多少條線段？
（2）若平面上恰好有9個點，且點數(shù)分成2，3，4三組，那么平面上有多少條線段？

展開更多......

收起↑