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專題9 等腰三角形
知識解讀
1. 等腰三角形中的分類討論
有兩條邊相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形的三條邊中，哪兩條邊相等，往往要分類討論.
2.三角形三邊關系在等腰三角形中的應用
結合三角形的三邊關系和等腰三角形的概念，可以探索出等腰三角形的腰長大于其周長的四分之一，且小于其周長的一半；等腰三角形的底邊長大于0且小于其周長的一半.
培優學案
典例示范
1. 等腰三角形中的分類討論
例1 已知等腰三角形的兩邊長為4和9，求該等腰三角形的周長.
提示：分腰為4和腰為9兩種情況討論，要注意利用三角形三邊關系檢驗兩種情況下，三角形是否成立.
【技巧點評】
條件中只是告知三角形的兩條邊長度，沒有明確哪條是腰，哪條是底時，需要分類討論.
跟蹤訓練
1. 若等腰三角形的一邊長為8，周長為26，求該等腰三角形的其他兩邊長.
例2 等腰三角形ABC一腰上的中線BD將△ABC的周長分成15和12兩部分，求△ABC的三條邊的長.
提示：有兩種可能性：一是AB+AD=15，BC+CD=12；二是AB+AD=12，BC+CD=15.
【技巧點評】
題目沒有明確告知哪部分是15，哪部分是12，所以要分情況討論.
跟蹤訓練
2.等腰三角形ABC的周長為39，其一腰上的中線將其分成兩個三角形，這兩個三角形的周長之差為6，求△ABC的三條邊的長.
2. 三角形的三邊關系在等腰三角形中的應用
例3 等腰三角形的腰長為4，求其周長l的取值范圍.
提示：先利用三邊關系求出底的取值范圍，再確定周長的取值范圍.
【技巧點評】
2腰長<周長<4腰長（或者周長<腰長<周長）。
跟蹤訓練
3. 等腰三角形的周長為16，其腰長a的取值范圍是 ，其底邊長b的取值范圍是 .
培優訓練
直擊中考
1.（2017·內蒙古包頭）若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2cm，則該等腰三角形的底邊長為（ ）
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2.（2017·浙江臺州）如圖9-1，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點E，則下列結論一定正確的是 ( )
A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
圖9-1 圖9-2 圖9-3
3.（2017·海南）已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫 ( )
A.3條 B.4條 C.5條 D.6條
4.（2016·湖北武漢）平面直角坐標系中，已知A（2，2）、B（4，0）.若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.（2016·江蘇揚州）如圖9-2，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6.將該矩形紙片剪去3個等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是 ( )
A.6 B.3 C.2.5 D.2
6.（2017·廣西河池）已知等邊△ABC的邊長為12，D是AB上的動點，過D作DE⊥AC于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FG⊥AB于點G.當G與D重合時，AD的長是 .
7.（2016·山東濱州）如圖9-3，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，
∠A=50°，則∠CDE的度數為 .
8.（2017·四川內江）如圖9-4，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點D，DE∥AC.
求證：△BDE是等腰三角形.
圖9-4
9.（2017·北京）如圖9-5，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D.
求證：AD=BC.
圖9-5
10.（2017·寧夏）在等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點P分別作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分別為垂足.求證：不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高.
圖9-6
挑戰競賽
1.（全國初中數學聯賽）如圖9-7，在2×3矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數為 ( )
A.24 B.38 C.46 D.50
圖9-7 圖9-8
2.將長度為25厘米的細鐵絲折成邊長都是質數（單位：厘米）的三角形，若這樣的三角形的三邊的長分別是a，b，c，且滿足a≤b≤c，則（a，b，c）有 組解，所構成的三角形都是 三角形.
3.（江蘇二十一屆初中數學競賽）如圖9-8，在每個小正方形邊長都為1的網格中取出12個格點，以這些格點為頂點的等腰直角三角形共有 個.
4.一個等腰三角形的周長是15cm，底邊長與腰長的差為3cm，求這個三角形的各邊長.

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