資源簡介

專題10與三角形有關的角
知識解讀
1.與三角形的角平分線有關的角
（1）如圖10-1①，若點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，則.
（2）如圖10-1②，點P是的外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點，則.
（3）如圖10-1③，點P是∠ABC的平分線和∠ACE的平分線的交點，則.
2.利用外角比較角的大小
“三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角”，這是比較角的大小的常用方法.
3.三角形的角的計算
培優學案
典例示范
1.與三角形的角平分線有關的角
例1 如圖10-2，若點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，試說明.
提示：.
【技巧點評】
三角形兩個內角平分線的交角等于90°加上第三角的一半的和.
跟蹤訓練
1.如圖10-3，點P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點，試說明.
例2 如圖10-4，點P是∠ABC的平分線和∠ACE的平分線的交點，試說明.
提示：.
【技巧點評】
三角形一內角平分線與一外角平分線的夾角等于第三角的一半.
跟蹤訓練
2.如圖10-5，∠ABC與∠ACG的平分線交于；與的平分線交于；如此下去，與的平分線交于，探究與∠A的關系（n為自然數）.
2.利用外角比較角的大小
例3如圖10-6，點P是△ABC內的一點，求證：∠BPC>∠A.
提示：延長BP交AC于點D，則∠BPC>∠PDC，∠PDC>∠A.要說明角的大小關系時，經常采用“三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角”.
跟蹤訓練
3.如圖10-7，在△ABC中，D在BC的延長線上，E在CA的延長線上，F在AB上，試比較∠1與∠2的大小.
3.三角形的角的計算
例4如圖10-8，將△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，∠1、∠2與∠A之間有一種數量關系始終保持不變，請你找出這一規律，并說明理由.
提示：連接，由三角形外角的性質得到，.
【技巧點評】
折疊后的圖形與原來的圖形形狀、大小完全一樣.
跟蹤訓練
4.如圖10-9，將△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE外部時，∠1、∠2與∠A之間有怎樣的數量關系呢？請說出你的理由
培優訓練
1.（2017·湖南株洲）如圖10-10，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，則∠BAD的度數是（ ）
A. B. C. D.
2.（2017·黑龍江大慶）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度數之比為2：3：4，則∠B的度數為（ ）
A.120° B. C. D.
3.（2017·四川德陽）在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，則∠DAC的大小是（ ）
A.15° B. C. D.
4.（2016·四川樂山）如圖10-11，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B=35°，∠ACE=60°，則∠A=（ ）
A. B. C. D.
5.（2016·山東棗莊）如圖10-12，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D等于（ ）
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
6.（2017·青海）如圖10-13，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，若∠A=50°，則∠BOC= .
7.如圖10-14所示，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度數.
8．如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數．
9．（2016·四川內江）
問題引入
（1）如圖1，在△ABC中，點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點，若∠A=a，則∠BOC= （用a表示）；如圖2，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=a，則∠BOC= （用a表示）
拓展研究：
（2）如圖3，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=a，猜想∠BOC= （用a表示），并說明理由．
（3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=a，請猜想∠BOC= ．
挑戰競賽
1．（第15屆希望杯）若三角形三個內角∠A、∠B、∠C的關系滿足3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．形狀無法確定
2．三角形的三個內角分別為α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，則β的取值范圍是（ ）
A．36°≤β≤45° B．45°≤β≤60° C．50°≤β≤90° D．45°≤β≤72°
3．（第14屆希望杯）如圖3，△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAE，∠ABD=∠ABF，則∠D的大?。? ）
A．105° B．90° C．75° D．60°
啟東培優微專題
4．（希望杯）已知△ABC的三個內角的度數比是m：( m+1)：( m+2)，其中m是大于1的正整數，那么△ABC是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
5．（第13屆希望杯）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是兩組對邊延長線的交點，EG、FG分別平分∠BEC、∠DFC，若∠ADC=60°，∠ABC=80°，則∠EGF的大小是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
6．（北京市競賽）在△ABC中，三個內角的度數均為整數，且∠A<∠B<∠C，4∠C=7∠A，則∠B的度數為 ．
7．如圖，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，設∠DAE=α，∠DBE=β，求∠DCE值．（用含α、β的代數式表示）

展開更多......

收起↑