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乘法原理
例1?某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？ 　　分析?某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副食后買主食）．其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法．故可以由乘法原理解決． 　　解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3×5=15種不同的方法． 　　補充說明：由例題可以看出，乘法原理運用的范圍是：①這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成；②每個步驟各有若干種不同的方法來完成．這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題． 例2?右圖中有7個點和十條線段，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何線段和點不得重復經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？ 　　分析?甲蟲要從A點沿線段爬到B點，必經過C點，所以，完成這段路分兩步，即由A到C，再由C到B．而由A到C有三種走法，由C到B也有三種走法，所以，由乘法原理便可得到結論． 　　解：這只甲蟲從A到B共有3×3=9種不同的走法． 例3?書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？ 　　分析?要做的事情是從外語、語文書中各取一本．完成它要分兩步：即先取一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）．(或先取語文書，再取外語書．）所以，用乘法原理解決． 　　解：從架上各取一本共有6×4=24種不同的取法． 例4?王英、趙明、李剛三人約好每人報名參加學校運動會的跳遠、跳高、100米跑、200米跑四項中的一項比賽，問：報名的結果會出現多少種不同的情形？ 　　分析?三人報名參加比賽，彼此互不影響獨立報名．所以可以看成是分三步完成，即一個人一個人地去報名．首先，王英去報名，可報4個項目中的一項，有4種不同的報名方法．其次，趙明去報名，也有4種不同的報名方法．同樣，李剛也有4種不同的報名方法．滿足乘法原理的條件，可由乘法原理解決． 　　解：由乘法原理，報名的結果共有4×4×4=64種不同的情形． 例5?由數字0、1、2、3組成三位數，問： 　?、倏山M成多少個不相等的三位數？ 　　②可組成多少個沒有重復數字的三位數？ 　　分析?在確定由0、1、2、3組成的三位數的過程中，應該一位一位地去確定．所以，每個問題都可以看成是分三個步驟來完成． 　?、僖蠼M成不相等的三位數．所以，數字可以重復使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個數字中任取一個，有4種不同的取法；個位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3×4×4=48個不相等的三位數． 　?、谝蠼M成的三位數中沒有重復數字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個，故只剩下0和其余兩個數字，故有3種取法；個位上，由于百位和十位已各取走一個數字，故只能在剩下的兩個數字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3×3×2=18個沒有重復數字的三位數． 　　解：由乘法原理 　　①共可組成3×4×4=48（個）不同的三位數； 　?、诠部山M成3×3×2=18（個）沒有重復數字的三位數． 例6?由數字1、2、3、4、5、6共可組成多少個沒有重復數字的四位奇數？ 　　分析?要組成四位數，需一位一位地確定各個數位上的數字，即分四步完成，由于要求組成的數是奇數，故個位上只有能取1、3、5中的一個，有3種不同的取法；十位上，可以從余下的五個數字中取一個，有5種取法；百位上有4種取法；千位上有3種取法，故可由乘法原理解決． 　　解：由1、2、3、4、5、6共可組成 　　3×4×5×3=180 　　個沒有重復數字的四位奇數． 例7?右圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現一個棋子．問：共有多少種不同的放法？ 　 　　分析?由于四個棋子要一個一個地放入方格內．故可看成是分四步完成這件事．第一步放棋子A，A可以放在16個方格中的任意一個中，故有16種不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內也不能放B，故還剩下9個方格可以放B，B有9種放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，還剩下四個方格可以放C，C有4種放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放D，D有1種放法，本題要由乘法原理解決． 　　解：由乘法原理，共有 　　16×9×4×1=576 　　種不同的放法． 例8?現有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數？ 　　分析?要從三種面值的人民幣中任取幾張，構成一個錢數，需一步一步地來做．如先取一角的，再取貳角的，最后取壹元的．但注意到，取2張一角的人民幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數是相同的．這就會產生重復，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統一起來考慮．即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種．分析知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共8種情況．（即取兩張壹角的人民幣與取一張貳角的人民幣是一種情況；取4張壹角的人民幣與取2張貳角的人民幣是一種情況．）這樣一來，可以把它們看成是8張壹角的人民幣．整個問題就變成了從8張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢．這樣，第一步，從8張壹角的人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從3張壹元的人民幣中取共4種取法，即0、1、2、3．由乘法原理，共有9×4=36種情形，但注意到，要求“至少取一張”而現在包含了一張都不取的這一種情形，應減掉． 　　解：取出的總錢數是 　　9×4-1=35種不同的情形．

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