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專(zhuān)題1.2 整式的乘除法【十大題型】
【北師大版2024】
【題型1 由整式乘除法求代數(shù)式的值】 2
【題型2 由整式乘除法求字母的值】 3
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項(xiàng)問(wèn)題】 3
【題型4 利用整式乘除法解決與某個(gè)字母取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題】 4
【題型5 利用整式乘除法解決污染問(wèn)題】 4
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問(wèn)題】 5
【題型7 整式乘除法的應(yīng)用】 5
【題型8 整式乘除法中的規(guī)律問(wèn)題】 7
【題型9 整式乘除法中的新定義問(wèn)題】 8
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問(wèn)題】 9
知識(shí)點(diǎn)：整式的乘法、除法
1．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘
法則：一般地，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．
（1）只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫(xiě)在積里，注意不要把這個(gè)因式遺漏．
（2）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則對(duì)于三個(gè)及以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用．
（3）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式．
【注意】
（1）積的系數(shù)等于各項(xiàng)系數(shù)的積，應(yīng)先確定積的符號(hào)，再計(jì)算積的絕對(duì)值．
（2）相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算．
2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
法則：一般地，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項(xiàng)式）．
【注意】
（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，可以以此來(lái)檢驗(yàn)在運(yùn)算中是否漏乘某些項(xiàng)．
（2）計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)．
（3）對(duì)于混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，有同類(lèi)項(xiàng)必須合并，從而得到最簡(jiǎn)結(jié)果．
3．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
（1）法則：一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
（2）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開(kāi)，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則時(shí)，必須做到不重不漏．
（2）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式．在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．
4．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的實(shí)質(zhì)是將單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍是單項(xiàng)式．
【歸納】該法則包括三個(gè)方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的正確性．
5．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問(wèn)題來(lái)解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)．
（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng)．
（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn)．
【題型1 由整式乘除法求代數(shù)式的值】
【例1】（23-24九年級(jí)上·安徽銅陵·期中）已知，則代數(shù)式值為 ．
【變式1-1】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期中）若，，則值為 .
【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東聊城·期中）如果，那么的值為 ．
【變式1-3】（23-24七年級(jí)·福建·期中）已知，則代數(shù)式值為 ．
【題型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（23-24七年級(jí)·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整數(shù)，那么m的可能值的個(gè)數(shù)為( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【變式2-1】（23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期中）若，則值是 ．
【變式2-2】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期中）不論x為何值，,，則 ．
【變式2-3】（23-24七年級(jí)·浙江溫州·期中）關(guān)于的整式，它的各項(xiàng)系數(shù)之和為∶(常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)本身)．已知是關(guān)于的整式，最高次項(xiàng)次數(shù)為2，系數(shù)為1．若是一個(gè)只含兩項(xiàng)的多項(xiàng)式，則各項(xiàng)系數(shù)之和的最大值為 ．
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項(xiàng)問(wèn)題】
【例3】（23-24七年級(jí)·山東聊城·期末）已知多項(xiàng)式，，且，當(dāng)多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，a的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式3-1】（23-24七年級(jí)·河南商丘·期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式與的乘積的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為，則a的值為（ ）
A． B． C．-3 D．3
【變式3-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）小萬(wàn)和小鹿正在做一道老師留下的關(guān)于多項(xiàng)式乘法的習(xí)題：．
(1)小萬(wàn)在做題時(shí)不小心將中的x寫(xiě)成了，結(jié)果展開(kāi)后的式子中不含x的二次項(xiàng)，求a的值；
(2)小鹿在做題時(shí)將中的一個(gè)數(shù)字看錯(cuò)成了k，結(jié)果展開(kāi)后的式子中不含x的一次項(xiàng)，則k的值可能是多少？
【變式3-3】（16-17七年級(jí)·四川成都·期末）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展開(kāi)式中不含x2和x3項(xiàng)．
(1)分別求m、n的值；
(2)化簡(jiǎn)求值：(m+2n+1)（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3）÷（﹣m）
【題型4 利用整式乘除法解決與某個(gè)字母取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題】
【例4】（23-24七年級(jí)·湖南常德·期中）知識(shí)回顧：七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過(guò)這樣一類(lèi)題“代數(shù)式 的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值”，通常的解題方法是：把看作字母，看作系數(shù)合并同類(lèi)項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與的取值無(wú)關(guān)，所以含項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，則．
理解應(yīng)用：
(1)若關(guān)于的多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)，求值；
(2)已知，，且的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．
【變式4-1】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，若的值與x的取值無(wú)關(guān)，當(dāng)時(shí)，A的值為（ ）
A．0 B．4 C． D．2
【變式4-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）若代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，則常數(shù) ．
【變式4-3】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）若代數(shù)式的值與無(wú)關(guān)，則常數(shù)的值為（ ）
A．2 B． C． D．4
【題型5 利用整式乘除法解決污染問(wèn)題】
【例5】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來(lái)時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：，你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（23-24七年級(jí)·湖北十堰·期末）右側(cè)練習(xí)本上書(shū)寫(xiě)的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式被墨水污染看不清了.
（1）求被墨水污染的代數(shù)式；
（2）若被污染的代數(shù)式的值不小于4，求x的取值范圍.
【變式5-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）小明在做練習(xí)冊(cè)上的一道多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的習(xí)題時(shí)，一不小心，一滴墨水污染了這道習(xí)題，只看見(jiàn)了被除式中第一項(xiàng)是及中間的“”，污染后習(xí)題形式如下： ，小明翻看了書(shū)后的答案是“”，你能夠復(fù)原這個(gè)算式嗎 請(qǐng)你試一試．
【變式5-3】（23-24七年級(jí)·上海奉賢·期中）小紅準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算（x2 x+2）（x2﹣x）．她發(fā)現(xiàn)第一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)被墨水遮擋住了．
（1）她把被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)猜成3，請(qǐng)你完成計(jì)算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老師說(shuō)：“你猜錯(cuò)了，這個(gè)題目的正確答案是不含三次項(xiàng)的．”請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)是多少？
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問(wèn)題】
【例6】（23-24七年級(jí)·山東菏澤·期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上，得到的結(jié)果是，那么正確的計(jì)算結(jié)果是（　　）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（23-24七年級(jí)·江西萍鄉(xiāng)·期中）小穎在計(jì)算一個(gè)整式乘以時(shí)，誤看成了減去，得到的答案是，該題正確的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是多少？
【變式6-2】（23-24七年級(jí)·江西九江·階段練習(xí)）已知均為整式，，小馬在計(jì)算時(shí)，誤把“”抄成了“”，這樣他計(jì)算的正確結(jié)果為．
(1)將整式化為最簡(jiǎn)形式．
(2)求整式．
【變式6-3】（23-24七年級(jí)·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）甲、乙二人共同計(jì)算一道整式乘法：，由于甲抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為；而乙抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為．
(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？
(2)請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法的正確答案．
【題型7 整式乘除法的應(yīng)用】
【例7】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）有總長(zhǎng)為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長(zhǎng)方形園子，園子的寬度為a．
(1)如圖1，①園子的面積為 （用關(guān)于l，a的代數(shù)式表示）．
②當(dāng)時(shí)，求園子的面積．
(2)如圖2，若在園子的長(zhǎng)邊上開(kāi)了長(zhǎng)度為1的門(mén)，則園子的面積相比圖一 （填增大或減小），并求此時(shí)園子的面積（寫(xiě)出解題過(guò)程，最終結(jié)果用關(guān)于l，a的代數(shù)式表示）．
【變式7-1】（23-24七年級(jí)·重慶·期末）某農(nóng)場(chǎng)種植了蔬菜和水果，現(xiàn)在還有兩片空地，農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產(chǎn)量不同，其中白黃瓜的畝產(chǎn)量是青黃瓜的，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產(chǎn)量是白黃瓜與青黃瓜產(chǎn)量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為 ．
【變式7-2】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）一家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，房子的主人打算把臥室鋪上地板，臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果這種地磚的價(jià)格為a元/平方米，地板的價(jià)格元/平方米，那么購(gòu)買(mǎi)地板和地磚至少共需要多少元？

【變式7-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的，大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：a、2a、a，小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：2a、a、；配件②是一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為a

(1)生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長(zhǎng)體積的原材料（不計(jì)損耗）？
(2)若兩個(gè)配件①與一個(gè)配件②可以用于加工一個(gè)玩具，每個(gè)玩具在市場(chǎng)銷(xiāo)售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？
【題型8 整式乘除法中的規(guī)律問(wèn)題】
【例8】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）觀察：下列等式，，…據(jù)此規(guī)律，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為 ．
【變式8-1】（23-24七年級(jí)·廣東揭陽(yáng)·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
(1)圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說(shuō)的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為　 　．
(2)換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-2】（23-24七年級(jí)·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)行研究．
小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧．
例如：
，結(jié)果為624；
，結(jié)果為2016；
小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧．
例如：
，結(jié)果為2925；
，結(jié)果為2625；
(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫(xiě)出計(jì)算的速算過(guò)程；
(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；
(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘．請(qǐng)你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．
友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10，則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)．
【變式8-3】（23-24七年級(jí)·福建寧德·期中）下圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．請(qǐng)觀察并解決問(wèn)題：今天是星期五，再過(guò)7天也是星期五，那么再過(guò)天是星期 ．

……
……
……
……
【題型9 整式乘除法中的新定義問(wèn)題】
【例9】（23-24七年級(jí)·陜西榆林·期末）【問(wèn)題背景】現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“⊙”對(duì)任意有理數(shù)m，n，規(guī)定：．
例如：．
【問(wèn)題推廣】（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，；
【拓展提升】（2）若，求p，q的值
【變式9-1】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期中）定義，如．已知，（為常數(shù)）
(1)若，求的值；
(2)若中的滿足時(shí)，且，求的值．
【變式9-2】（23-24七年級(jí)·湖南株洲·期末）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如 (a、b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類(lèi)似.例如：；
根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算：， ；
(2)計(jì)算：；
(3)計(jì)算：
【變式9-3】（23-24七年級(jí)·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）定義：是多項(xiàng)式A化簡(jiǎn)后的項(xiàng)數(shù)，例如多項(xiàng)式，則，一個(gè)多項(xiàng)式A乘多項(xiàng)式B化簡(jiǎn)得到多項(xiàng)式C（即），如果．則稱(chēng)B是A的“郡園多項(xiàng)式”如果，則稱(chēng)B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”．
(1)若，，則B是不是A的“郡園多項(xiàng)式”？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
(2)若，是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，則_____；
(3)若，是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，求m的值．
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問(wèn)題】
【例10】（23-24七年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期中）現(xiàn)定義了一種新運(yùn)算“”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b，c，d，規(guī)定，等號(hào)右邊是通常的減法和乘法運(yùn)算．例如：．

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)填空：______；
(2)若的代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)時(shí)，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如圖1，小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a，寬為b，用5張圖1中的小長(zhǎng)方形按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形內(nèi)，其中，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)左下角長(zhǎng)方形的面積為，右上角長(zhǎng)方形的面積為．當(dāng)，求的值．
【變式10-1】（23-24七年級(jí)·浙江溫州·期中）小陳用五塊布料制作靠墊面子，其中四周的四塊由長(zhǎng)方形布料裁成四塊得到，正中的一塊正方形布料從另一塊布料裁得，靠墊面子和布料尺寸簡(jiǎn)圖，如圖所示∶
(1)用含a，b的代數(shù)式表示圖中陰影部分小正方形的面積．
(2)當(dāng)，時(shí)，求陰影部分面積．
【變式10-2】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為．
(1)小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為 （用代數(shù)式表示）；
(2)陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為 ，是 的（填正確/錯(cuò)誤）；陰影A和陰影B的周長(zhǎng)值之和與 （填有關(guān)/無(wú)關(guān)），與 （填有關(guān)/無(wú)關(guān)）；
(3)設(shè)陰影A和陰影B的面積之和為S，是否存在使得S為定值，若存在請(qǐng)求出的值和該定值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式10-3】（23-24七年級(jí)·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為，長(zhǎng)為b的小長(zhǎng)方形紙片，不重疊的放在矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分為空白區(qū)域①和空白區(qū)域②．
(1)用含、b的代數(shù)式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代數(shù)式表示區(qū)域①、區(qū)域②的面積；
(3)當(dāng)=，時(shí)，求區(qū)域①、區(qū)域②的面積的差．
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專(zhuān)題1.2 整式的乘除法【十大題型】
【北師大版2024】
【題型1 由整式乘除法求代數(shù)式的值】 3
【題型2 由整式乘除法求字母的值】 4
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項(xiàng)問(wèn)題】 7
【題型4 利用整式乘除法解決與某個(gè)字母取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題】 10
【題型5 利用整式乘除法解決污染問(wèn)題】 13
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問(wèn)題】 15
【題型7 整式乘除法的應(yīng)用】 17
【題型8 整式乘除法中的規(guī)律問(wèn)題】 20
【題型9 整式乘除法中的新定義問(wèn)題】 24
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問(wèn)題】 29
知識(shí)點(diǎn)：整式的乘法、除法
1．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘
法則：一般地，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．
（1）只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫(xiě)在積里，注意不要把這個(gè)因式遺漏．
（2）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則對(duì)于三個(gè)及以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用．
（3）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式．
【注意】
（1）積的系數(shù)等于各項(xiàng)系數(shù)的積，應(yīng)先確定積的符號(hào)，再計(jì)算積的絕對(duì)值．
（2）相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算．
2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
法則：一般地，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項(xiàng)式）．
【注意】
（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，可以以此來(lái)檢驗(yàn)在運(yùn)算中是否漏乘某些項(xiàng)．
（2）計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)．
（3）對(duì)于混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，有同類(lèi)項(xiàng)必須合并，從而得到最簡(jiǎn)結(jié)果．
3．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
（1）法則：一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
（2）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開(kāi)，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則時(shí)，必須做到不重不漏．
（2）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式．在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．
4．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的實(shí)質(zhì)是將單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍是單項(xiàng)式．
【歸納】該法則包括三個(gè)方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的正確性．
5．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問(wèn)題來(lái)解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)．
（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng)．
（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn)．
【題型1 由整式乘除法求代數(shù)式的值】
【例1】（23-24九年級(jí)上·安徽銅陵·期中）已知，則代數(shù)式值為 ．
【答案】
【分析】由已知得，然后對(duì)所求式子展開(kāi)后進(jìn)行變形，再整體代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期中）若，，則值為 .
【答案】
【分析】本題主要考查代數(shù)式的值及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；因此此題先把所求整式進(jìn)行展開(kāi)，然后再代值求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
；
故答案為：．
【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東聊城·期中）如果，那么的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代數(shù)式求值，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式1-3】（23-24七年級(jí)·福建·期中）已知，則代數(shù)式值為 ．
【答案】2022
【分析】由x2 3x 1=0，變形x2=3x+1，利用此等式進(jìn)行降次，化簡(jiǎn)整體代入計(jì)算即可．
【詳解】由x2 3x 1=0，變形x2=3x+1，x2-3x=1，
x3 10x+2019，
=x(3x+1)-10x+2019，
=3x2-9x+2019，
=3(x2-3x)+2019，
=3+2019，
=2022．
故答案為：2022．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的值，關(guān)鍵是把條件等式變形會(huì)降次，會(huì)整體代入求值．
【題型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（23-24七年級(jí)·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整數(shù)，那么m的可能值的個(gè)數(shù)為( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則，求得a+b=m，ab=12，再進(jìn)行分類(lèi)討論，從而解決此題．
【詳解】解：(x+a)(x+b)=+bx+ax+ab=+(a+b)x+ab．
∵(x+a)(x+b)=+mx+12，
∴a+b=m，ab=12．
∵m、a、b都是整數(shù)，
∴當(dāng)a=1時(shí)，則b=12，此時(shí)m=a+b=1+12=13；
當(dāng)a=-1時(shí)，則b=-12，此時(shí)m=a+b=-1-12=-13；
當(dāng)a=2時(shí)，則b=6，此時(shí)m=a+b=2+6=8；
當(dāng)a=-2時(shí)，則b=-6，此時(shí)m=a+b=-2-6=-8；
當(dāng)a=3時(shí)，則b=4，此時(shí)m=a+b=3+4=7；
當(dāng)a=-3時(shí)，則b=-4，此時(shí)m=a+b=-3-4=-7；
當(dāng)a=12時(shí)，則b=1，此時(shí)m=a+b=12+1=13；
當(dāng)a=-12時(shí)，則b=-1，此時(shí)m=a+b=-12-1=-13；
當(dāng)a=6時(shí)，則b=2，此時(shí)m=a+b=6+2=8；
當(dāng)a=-6時(shí)，則b=-2，此時(shí)m=a+b=-6-2=-8；
當(dāng)a=4時(shí)，則b=3，此時(shí)m=a+b=4+3=7；
當(dāng)a=-4時(shí)，則b=-3，此時(shí)m=a+b=-4-3=-7．
綜上：m=±13或±8或±7，共6個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則、分類(lèi)討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期中）若，則值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確計(jì)算出是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則把等式左邊去括號(hào)得到m的值即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式2-2】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期中）不論x為何值，,，則 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開(kāi)，求出a的值以及a與k的關(guān)系，然后可得答案．
本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
又∵，
∴，
，，
，
．
故答案為：5．
【變式2-3】（23-24七年級(jí)·浙江溫州·期中）關(guān)于的整式，它的各項(xiàng)系數(shù)之和為∶(常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)本身)．已知是關(guān)于的整式，最高次項(xiàng)次數(shù)為2，系數(shù)為1．若是一個(gè)只含兩項(xiàng)的多項(xiàng)式，則各項(xiàng)系數(shù)之和的最大值為 ．
【答案】7
【分析】本題考查整式的定義，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解二元一次方程．根據(jù)題意對(duì)整式的表述，可設(shè)、為待求的常數(shù)），計(jì)算，整理后得到關(guān)于的三次四項(xiàng)式．由于條件說(shuō)乘積是只有兩項(xiàng)，故有兩項(xiàng)的系數(shù)為0，需分3種情況討論計(jì)算，列得關(guān)于、的方程組，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：是關(guān)于的整式，最高次項(xiàng)次數(shù)為2，二次項(xiàng)系數(shù)為1，
設(shè)，、為常數(shù)，
，
乘積是一個(gè)只含有兩項(xiàng)的多項(xiàng)式，
①，
解得：，
，各項(xiàng)系數(shù)之和為；
②，
解得：，
，各項(xiàng)系數(shù)之和為；
③，
解得：，
．各項(xiàng)系數(shù)之和為；
∵；
則各項(xiàng)系數(shù)之和的最大值為7．
故答案為：7．
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項(xiàng)問(wèn)題】
【例3】（23-24七年級(jí)·山東聊城·期末）已知多項(xiàng)式，，且，當(dāng)多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，a的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本題考查的是整式的乘法—多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出整式相乘的式子，再計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，最后進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)，令二次項(xiàng)的系數(shù)等于0即可．
【詳解】解：∵
∴
∵多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，
∴
∴
故選D．
【變式3-1】（23-24七年級(jí)·河南商丘·期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式與的乘積的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為，則a的值為（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確不含的二次項(xiàng)，則二次項(xiàng)的系數(shù)為．根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再將計(jì)算結(jié)果中，利用二次項(xiàng)系數(shù)為零與一次項(xiàng)的系數(shù)為的要求建立方程組，即可求解．
【詳解】解：；
；
；
∵多項(xiàng)式與的乘積的展開(kāi)式中不含二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為；
∴；
解得：，
∴；
故選：C．
【變式3-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）小萬(wàn)和小鹿正在做一道老師留下的關(guān)于多項(xiàng)式乘法的習(xí)題：．
(1)小萬(wàn)在做題時(shí)不小心將中的x寫(xiě)成了，結(jié)果展開(kāi)后的式子中不含x的二次項(xiàng)，求a的值；
(2)小鹿在做題時(shí)將中的一個(gè)數(shù)字看錯(cuò)成了k，結(jié)果展開(kāi)后的式子中不含x的一次項(xiàng)，則k的值可能是多少？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則將對(duì)應(yīng)算式展開(kāi)并合并同類(lèi)項(xiàng)，令二次系數(shù)為，即可求出答案，
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則將對(duì)應(yīng)算式展開(kāi)并合并同類(lèi)項(xiàng)，令一次系數(shù)為，即可求出答案．
【詳解】（1）解：
展開(kāi)后的式子中不含x的二次項(xiàng)，
，
解得；
（2）解：①若將中的3看成k，
，
展開(kāi)后的式子中不含x的一次項(xiàng)，
，
．
②若將中的看成k，
，
展開(kāi)后的式子中不含x的一次項(xiàng)，
，
解得．
③若指數(shù)2看作k，當(dāng)時(shí)，
原式
不符合題意；
④若指數(shù)2看作k，當(dāng)時(shí)，
原式
，
不符合題意；
或．
【變式3-3】（16-17七年級(jí)·四川成都·期末）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展開(kāi)式中不含x2和x3項(xiàng)．
(1)分別求m、n的值；
(2)化簡(jiǎn)求值：(m+2n+1)（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3）÷（﹣m）
【答案】（1）m的值為2，n的值為3（2）2mn+8n2﹣1；83
【分析】（1）先將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)的展開(kāi)式中不含和項(xiàng)，可以求得m、n的值；
（2）先化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將m、n的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．
【詳解】解：（1）
=﹣2+n+m﹣2m+mnx+﹣2x+n
=+（﹣2+m）+（n﹣2m+1）+（mn﹣2）x+n
∵的展開(kāi)式中不含和項(xiàng)，
∴，解得 ，
即m的值為2，n的值為3；
（2）（m+2n+1）（m+2n﹣1）+（2n﹣4m+）÷（﹣m）
=[（m+2n）+1][（m+2n）﹣1]﹣2mn+4﹣
=﹣1﹣2mn+4﹣
=+4mn+4﹣1﹣2mn+4﹣
=2mn+8﹣1
當(dāng)m=2，n=3時(shí)，
原式=2×2×3+8×﹣1=83．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【題型4 利用整式乘除法解決與某個(gè)字母取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題】
【例4】（23-24七年級(jí)·湖南常德·期中）知識(shí)回顧：七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過(guò)這樣一類(lèi)題“代數(shù)式 的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值”，通常的解題方法是：把看作字母，看作系數(shù)合并同類(lèi)項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與的取值無(wú)關(guān)，所以含項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，則．
理解應(yīng)用：
(1)若關(guān)于的多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)，求值；
(2)已知，，且的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，結(jié)合多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)，即可求出答案；
（2）先把進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后計(jì)算，結(jié)合多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)，即可求出答案．
【詳解】（1）解：
，
其值與的取值無(wú)關(guān)，
，
解得：，
即：當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)；
（2）解：，，



；
的值與無(wú)關(guān)，
，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減乘混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，若的值與x的取值無(wú)關(guān)，當(dāng)時(shí)，A的值為（ ）
A．0 B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算無(wú)關(guān)型題目，代數(shù)式求值，首先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根據(jù)的值與x的取值無(wú)關(guān)，可得x的系數(shù)是0，據(jù)此求出a的值，最后代入求值即可．
【詳解】解：，，，
，
的值與x的取值無(wú)關(guān)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
故選：B．
【變式4-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）若代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，則常數(shù) ．
【答案】3
【分析】此題考查整式的混合運(yùn)算，先運(yùn)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后合并，進(jìn)而根據(jù)與x的取值無(wú)關(guān)得到，解方程即可．
【詳解】解：，
∵代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，
∴，解得，
故答案為：．
【變式4-3】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）若代數(shù)式的值與無(wú)關(guān)，則常數(shù)的值為（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】本題考查整式的四則混合運(yùn)算，先將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)此代數(shù)式的值與y的取值無(wú)關(guān)，可知關(guān)于y的項(xiàng)的系數(shù)為0，從而可以求得k的值．
【詳解】解：
∵關(guān)于y的代數(shù)式：的值與y無(wú)關(guān)，
∴，
解得，
即當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值與y的取值無(wú)關(guān)．
故選：A.
【題型5 利用整式乘除法解決污染問(wèn)題】
【例5】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來(lái)時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：，你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．
【詳解】解： ( 4x2y2+3xy y) ( 6x2y)=24x4y3 18x3y2+6x2y2，
∴■=18x3y2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（23-24七年級(jí)·湖北十堰·期末）右側(cè)練習(xí)本上書(shū)寫(xiě)的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式被墨水污染看不清了.
（1）求被墨水污染的代數(shù)式；
（2）若被污染的代數(shù)式的值不小于4，求x的取值范圍.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)題意，被墨水污染的代數(shù)式=，再結(jié)合整式的乘法法則及加減法則解題，注意運(yùn)算順序；
（2）由（1）中結(jié)果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解題．
【詳解】解：（1）由已知可得，
；
（2）由已知可得，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、解一元一次不等式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
【變式5-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）小明在做練習(xí)冊(cè)上的一道多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的習(xí)題時(shí)，一不小心，一滴墨水污染了這道習(xí)題，只看見(jiàn)了被除式中第一項(xiàng)是及中間的“”，污染后習(xí)題形式如下： ，小明翻看了書(shū)后的答案是“”，你能夠復(fù)原這個(gè)算式嗎 請(qǐng)你試一試．
【答案】復(fù)原后的算式為
【分析】先根據(jù)被除式的首項(xiàng)和商式的首項(xiàng)可求得除式，然后根據(jù)除式乘商式等于被除式求解即可．
【詳解】解：對(duì)應(yīng)的結(jié)果為：，
除式為：，
根據(jù)題意得：，
復(fù)原后的算式為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（23-24七年級(jí)·上海奉賢·期中）小紅準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算（x2 x+2）（x2﹣x）．她發(fā)現(xiàn)第一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)被墨水遮擋住了．
（1）她把被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)猜成3，請(qǐng)你完成計(jì)算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老師說(shuō)：“你猜錯(cuò)了，這個(gè)題目的正確答案是不含三次項(xiàng)的．”請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)是多少？
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）設(shè)一次項(xiàng)系數(shù)為，計(jì)算，根據(jù)其結(jié)果不含三次項(xiàng)，則結(jié)果的三次項(xiàng)系數(shù)為0，據(jù)此即可求得的值，即原題中被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)．
【詳解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）
（2）設(shè)一次項(xiàng)系數(shù)為，
答案是不含三次項(xiàng)的
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問(wèn)題】
【例6】（23-24七年級(jí)·山東菏澤·期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上，得到的結(jié)果是，那么正確的計(jì)算結(jié)果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為，根據(jù)題意可得，最后利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則即可解答．本題考查了整式的加減運(yùn)算法則，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為，
∵計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上，得到的結(jié)果是，
∴，
∴，
∴正確的結(jié)果為，
故選．
【變式6-1】（23-24七年級(jí)·江西萍鄉(xiāng)·期中）小穎在計(jì)算一個(gè)整式乘以時(shí)，誤看成了減去，得到的答案是，該題正確的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是多少？
【答案】
【分析】本題主要考查了整式乘法運(yùn)算，根據(jù)一個(gè)整數(shù)減去，得到的答案是，得出這個(gè)整式為，然后用乘這個(gè)整式得出結(jié)果即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
．
故該題正確的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是．
【變式6-2】（23-24七年級(jí)·江西九江·階段練習(xí)）已知均為整式，，小馬在計(jì)算時(shí)，誤把“”抄成了“”，這樣他計(jì)算的正確結(jié)果為．
(1)將整式化為最簡(jiǎn)形式．
(2)求整式．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根據(jù)整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；
（）根據(jù)題意可得，根據(jù)整式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
【詳解】（1），
，
；
（2）由題意，得
由（）知，
∴，
∴．
【變式6-3】（23-24七年級(jí)·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）甲、乙二人共同計(jì)算一道整式乘法：，由于甲抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為；而乙抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為．
(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？
(2)請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法的正確答案．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）按照甲、乙兩人抄的錯(cuò)誤的式子進(jìn)行計(jì)算，得到，，解關(guān)于的方程組即可求出a、b的值；
（2）把a(bǔ)、b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，甲抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為，
那么，
可得
乙抄錯(cuò)為，得到的結(jié)果為，
可知
可得，
解關(guān)于的方程組，可得，；
（2）正確的式子：
【點(diǎn)睛】本題主要是考查多項(xiàng)式的乘法以及二元一次方程組，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【題型7 整式乘除法的應(yīng)用】
【例7】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）有總長(zhǎng)為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長(zhǎng)方形園子，園子的寬度為a．
(1)如圖1，①園子的面積為 （用關(guān)于l，a的代數(shù)式表示）．
②當(dāng)時(shí)，求園子的面積．
(2)如圖2，若在園子的長(zhǎng)邊上開(kāi)了長(zhǎng)度為1的門(mén)，則園子的面積相比圖一 （填增大或減小），并求此時(shí)園子的面積（寫(xiě)出解題過(guò)程，最終結(jié)果用關(guān)于l，a的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)①；②1200
(2)增大；
【分析】本題考查了列代數(shù)式及代數(shù)式求值，正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
（1）①先用和的代數(shù)式表示出園子的長(zhǎng)，再表示出園子的面積；②把，代入①中的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由園子的寬不變，長(zhǎng)增加了，即可判斷出園子的面積增大了，表示出園子的長(zhǎng)，即可求出園子的面積．
【詳解】（1）解：①總長(zhǎng)為，寬為，
園子的長(zhǎng)為：，
園子的面積為：；
故答案為：；
②當(dāng)，時(shí)，
；
（2）解：園子的寬不變，長(zhǎng)增加了，
園子的面積增大了，
在園子的長(zhǎng)邊上開(kāi)了1的門(mén)，
園子的長(zhǎng)為：，
園子的面積為：，
園子增加的面積為：，
答：園子的面積增加了，此時(shí)園子的面積．
故答案為：增大．
【變式7-1】（23-24七年級(jí)·重慶·期末）某農(nóng)場(chǎng)種植了蔬菜和水果，現(xiàn)在還有兩片空地，農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產(chǎn)量不同，其中白黃瓜的畝產(chǎn)量是青黃瓜的，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產(chǎn)量是白黃瓜與青黃瓜產(chǎn)量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為 ．
【答案】
【分析】設(shè)青黃瓜的畝產(chǎn)量為x，則白黃瓜的畝產(chǎn)量為，白黃瓜的種植面積為，青黃瓜的種植面積為，水果黃瓜的種植面積為，據(jù)此求出水果黃瓜的產(chǎn)量是，進(jìn)而得到水果黃瓜的畝產(chǎn)量為，再根據(jù)種植面積的比值即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)青黃瓜的畝產(chǎn)量為x，則白黃瓜的畝產(chǎn)量為，白黃瓜的種植面積為，青黃瓜的種植面積為，水果黃瓜的種植面積為，
∴青黃瓜的產(chǎn)量為，白黃瓜的產(chǎn)量為，
∴水果黃瓜的產(chǎn)量是，
∴水果黃瓜的畝產(chǎn)量為，
∴當(dāng)種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減計(jì)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，正確根據(jù)題意求出水果黃瓜的畝產(chǎn)量為是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）一家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，房子的主人打算把臥室鋪上地板，臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果這種地磚的價(jià)格為a元/平方米，地板的價(jià)格元/平方米，那么購(gòu)買(mǎi)地板和地磚至少共需要多少元？

【答案】需要平方米的地磚，購(gòu)買(mǎi)地板和地磚至少共需要元
【分析】根據(jù)圖形表示出客廳，衛(wèi)生間，以及廚房的面積，相加，在乘地磚的單價(jià)；算出臥室的面積，再乘地板的單價(jià)，算出總價(jià)格即可．
【詳解】解：平方米，
元，
則需要平方米的地磚，購(gòu)買(mǎi)地板和地磚至少共需要元．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的，大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：a、2a、a，小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：2a、a、；配件②是一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為a

(1)生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長(zhǎng)體積的原材料（不計(jì)損耗）？
(2)若兩個(gè)配件①與一個(gè)配件②可以用于加工一個(gè)玩具，每個(gè)玩具在市場(chǎng)銷(xiāo)售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？【答案】(1)生產(chǎn)配件①需要的原材料的體積是：a3；生產(chǎn)配件②需要的原材料的體積是：a3
(2)元
【分析】（1）先算出兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出棱長(zhǎng)為a的正方體體積，即可得出配件②的體積；
（2）先計(jì)算出生產(chǎn)玩具的個(gè)數(shù)，再計(jì)算獲利即可．
【詳解】（1）生產(chǎn)配件①需要的原材料的體積是：；
生產(chǎn)配件②需要的原材料的體積是：；
（2）根據(jù)題意得：（元），
答：體積的這種原材料可使該廠最多獲利元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算的應(yīng)用，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【題型8 整式乘除法中的規(guī)律問(wèn)題】
【例8】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）觀察：下列等式，，…據(jù)此規(guī)律，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律探索、求代數(shù)式的值，由題意得出根據(jù)，結(jié)合，得到，求出，代入到代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：∵，，…
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
【變式8-1】（23-24七年級(jí)·廣東揭陽(yáng)·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
(1)圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說(shuō)的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為　 　．
(2)換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)7
(2)有同樣的規(guī)律，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）按照題目要求列式計(jì)算即可；
（2）設(shè)方框框出的四個(gè)數(shù)分別為，按照題中方法計(jì)算后即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
故答案為：7；
（2）有同樣的規(guī)律，
證明：設(shè)方框框出的四個(gè)數(shù)分別為，
則
．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握整式的四則混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（23-24七年級(jí)·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)行研究．
小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧．
例如：
，結(jié)果為624；
，結(jié)果為2016；
小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧．
例如：
，結(jié)果為2925；
，結(jié)果為2625；
(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫(xiě)出計(jì)算的速算過(guò)程；
(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；
(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘．請(qǐng)你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．
友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10，則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)．
【答案】(1)4221
(2)，驗(yàn)證見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律對(duì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為b，則另一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為c，其中，那么這兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，然后將常規(guī)計(jì)算得到的結(jié)果與小明速算方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；
（3）仔細(xì)閱讀小紅發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，再進(jìn)行推廣，并用字母表示出來(lái)即可．
【詳解】（1）；
（2）小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律是：，其中．
驗(yàn)證小明的速算規(guī)律：
設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為b，
則另一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為c，其中，
∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別為：，，
常規(guī)的計(jì)算方法是：
，
∵，
∴，
小明的速算方法是：
，
∴小明的速算方法是正確的．
（3）小穎發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律是：，其中．
證明如下：
設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，
則另一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為z，個(gè)位數(shù)為y，其中，
∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別為：，，
常規(guī)的計(jì)算方法是：
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，讀懂題目中的信息，理解“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”和“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”數(shù)字的變換規(guī)律的探索過(guò)程是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（23-24七年級(jí)·福建寧德·期中）下圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．請(qǐng)觀察并解決問(wèn)題：今天是星期五，再過(guò)7天也是星期五，那么再過(guò)天是星期 ．

……
……
……
……
【答案】天（日）
【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘法的展開(kāi)式，能發(fā)現(xiàn)展開(kāi)后，各項(xiàng)是按a的降冪排列的，系數(shù)依次是從左到右系數(shù)之和．它的兩端都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．
根據(jù)可知除以7的余數(shù)為2，從而可得答案．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴除以7的余數(shù)為2，
∴假如今天是星期五，那么再過(guò)天是星期天．
故答案為：天．
【題型9 整式乘除法中的新定義問(wèn)題】
【例9】（23-24七年級(jí)·陜西榆林·期末）【問(wèn)題背景】現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“⊙”對(duì)任意有理數(shù)m，n，規(guī)定：．
例如：．
【問(wèn)題推廣】（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，；
【拓展提升】（2）若，求p，q的值
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）先運(yùn)用新運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后將、代入計(jì)算即可；
（2）先對(duì)括號(hào)內(nèi)用新運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后再對(duì)括號(hào)外運(yùn)算，然后結(jié)合即可求解．
【詳解】解：（1）
．
當(dāng)，時(shí)，原式；
（2）
．
又∵，
∴，
∴，，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算、整式的四則混合運(yùn)算、同類(lèi)項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)，理解新運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期中）定義，如．已知，（為常數(shù)）
(1)若，求的值；
(2)若中的滿足時(shí)，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】()根據(jù)題目中的新定義，先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)，即可得到的值；
()根據(jù)，可以得到的值，再根據(jù)，可得，由代入計(jì)算即可求解；
本題考查了整式的混合運(yùn)算、新定義，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由題意得，，
∵，
，
；
（2）解：由題意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（）知，，
∵，
，
，
∴
，
，
，
．
【變式9-2】（23-24七年級(jí)·湖南株洲·期末）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如 (a、b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類(lèi)似.例如：；
根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算：， ；
(2)計(jì)算：；
(3)計(jì)算：
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】(1)根據(jù)定義即可分別求得結(jié)果；
(2)首先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則去括號(hào)，再根據(jù)定義及有理數(shù)的加減進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果；
(3)首先根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計(jì)算，找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：，，，，，，，，…，
每4個(gè)為一循環(huán)，且，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，數(shù)字類(lèi)規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)相鄰幾個(gè)數(shù)相加的和的規(guī)律．
【變式9-3】（23-24七年級(jí)·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）定義：是多項(xiàng)式A化簡(jiǎn)后的項(xiàng)數(shù)，例如多項(xiàng)式，則，一個(gè)多項(xiàng)式A乘多項(xiàng)式B化簡(jiǎn)得到多項(xiàng)式C（即），如果．則稱(chēng)B是A的“郡園多項(xiàng)式”如果，則稱(chēng)B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”．
(1)若，，則B是不是A的“郡園多項(xiàng)式”？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
(2)若，是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，則_____；
(3)若，是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，求m的值．
【答案】(1)B是A的“郡園多項(xiàng)式”，理由見(jiàn)解析
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，熟知多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算出，則，，即可得到，由此即可得到結(jié)論；
（2）先計(jì)算出，再根據(jù)題意得到，則，即可求出；
（3）先求出當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，符合題意；當(dāng)時(shí)， 則，即可得到，則，綜上所述，或．
【詳解】（1）解：B是A的“郡園多項(xiàng)式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“郡園多項(xiàng)式”；
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2；
（3）解：∵，，
∴
，
當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
∵B是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，或．
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問(wèn)題】
【例10】（23-24七年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期中）現(xiàn)定義了一種新運(yùn)算“”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b，c，d，規(guī)定，等號(hào)右邊是通常的減法和乘法運(yùn)算．例如：．

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)填空：______；
(2)若的代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)時(shí)，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如圖1，小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a，寬為b，用5張圖1中的小長(zhǎng)方形按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形內(nèi)，其中，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)左下角長(zhǎng)方形的面積為，右上角長(zhǎng)方形的面積為．當(dāng)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)24
【分析】本題主要考查了新定義，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：
（1）根據(jù)新定義計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)新定義求出，再根據(jù)不含x的一次項(xiàng)，即可含x的一次項(xiàng)的系數(shù)為0進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)新定義求出，再利用整體代入法代值計(jì)算即可；
（4）根據(jù)所給圖形可得，根據(jù)推出，再根據(jù)新定義，進(jìn)而一步步利用整體代入法降次求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：
∵代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)，
∴，
∴；
（3）解：
∵，
∴原式；
（4）解：根據(jù)題意得：，
整理得：，
∴
．
【變式10-1】（23-24七年級(jí)·浙江溫州·期中）小陳用五塊布料制作靠墊面子，其中四周的四塊由長(zhǎng)方形布料裁成四塊得到，正中的一塊正方形布料從另一塊布料裁得，靠墊面子和布料尺寸簡(jiǎn)圖，如圖所示∶
(1)用含a，b的代數(shù)式表示圖中陰影部分小正方形的面積．
(2)當(dāng)，時(shí)，求陰影部分面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用；能表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
（1）由圖可求得小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，小長(zhǎng)方形的寬為，可求大正方形的邊長(zhǎng)，由，即可求解；
（2）將，代入計(jì)算，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意得：
長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為： ，
長(zhǎng)方形的寬為： ，
大正方形的長(zhǎng)為：，
；
（2）解： ，，
．
【變式10-2】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為．
(1)小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為 （用代數(shù)式表示）；
(2)陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為 ，是 的（填正確/錯(cuò)誤）；陰影A和陰影B的周長(zhǎng)值之和與 （填有關(guān)/無(wú)關(guān)），與 （填有關(guān)/無(wú)關(guān)）；
(3)設(shè)陰影A和陰影B的面積之和為S，是否存在使得S為定值，若存在請(qǐng)求出的值和該定值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)正確，有關(guān)，無(wú)關(guān)
(3)存在使得S為定值，理由見(jiàn)解析
【分析】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運(yùn)算，根據(jù)圖形分別表示出相關(guān)邊長(zhǎng)并能熟練運(yùn)用整式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)及小長(zhǎng)方形的寬，可得出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為；
（2）由大長(zhǎng)方形的寬及小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，可得出陰影A，B的較短邊長(zhǎng)，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；由陰影A，B的相鄰兩邊的長(zhǎng)度，利用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式可得出陰影A和陰影B的周長(zhǎng)之和為，據(jù)此求解即可；
（3）由陰影A，B的相鄰兩邊的長(zhǎng)度，利用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為ycm，小長(zhǎng)方形的寬為4cm，
∴小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，
故答案為：；
（2）解：∵大長(zhǎng)方形的寬為xcm，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，小長(zhǎng)方形的寬為4cm，
∴陰影A的較短邊為，
陰影B的較短邊為，
∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；
∵陰影A的較長(zhǎng)邊為，較短邊為，
陰影B的較長(zhǎng)邊為，較短邊為，
∴陰影A的周長(zhǎng)為，
陰影B的周長(zhǎng)為，
∴陰影A和陰影B的周長(zhǎng)之和為，
∴陰影A和陰影B的周長(zhǎng)之和與有關(guān)，與無(wú)關(guān)，
故答案為：正確，有關(guān)，無(wú)關(guān)；
（3）解：∵陰影A的較長(zhǎng)邊為，較短邊為，
陰影B的較長(zhǎng)邊為，較短邊為，
∴陰影A的面積為，
陰影B的面積為，
∴陰影A和陰影B的面積之和為
，
∴當(dāng)時(shí)，為定值，定值為．
【變式10-3】（23-24七年級(jí)·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為，長(zhǎng)為b的小長(zhǎng)方形紙片，不重疊的放在矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分為空白區(qū)域①和空白區(qū)域②．
(1)用含、b的代數(shù)式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代數(shù)式表示區(qū)域①、區(qū)域②的面積；
(3)當(dāng)=，時(shí)，求區(qū)域①、區(qū)域②的面積的差．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，找到圖中的線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）線段為2個(gè)小長(zhǎng)方形的寬加1個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，線段為1個(gè)小長(zhǎng)方形的寬加1個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，列出式子并化簡(jiǎn)即可；
（2）區(qū)域①的面積為長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形的面積減去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形的面積列式化簡(jiǎn)即可得出；區(qū)域②的面積：長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)，寬為的長(zhǎng)方形的面積加上一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形的面積列式化簡(jiǎn)即可得出；
（3）將兩式相減化簡(jiǎn)后，將值代入即可得出答案．
【詳解】（1）小長(zhǎng)方形紙片寬為，長(zhǎng)為b
，
故答案為：，；
（2）由圖可知，，，
，
區(qū)域①的面積為：
區(qū)域②的面積為：
；
（3）由（2）知，區(qū)域①的面積為：，區(qū)域②的面積為：
區(qū)域①、區(qū)域②的面積的差為：
當(dāng)=，時(shí)，原式
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