資源簡介

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專題8.1 整式的乘除法【十大題型】
【蘇科版2024】
【題型1 由整式乘除法求代數式的值】 3
【題型2 由整式乘除法求字母的值】 4
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項問題】 7
【題型4 利用整式乘除法解決與某個字母取值無關的問題】 10
【題型5 利用整式乘除法解決污染問題】 13
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問題】 15
【題型7 整式乘除法的應用】 17
【題型8 整式乘除法中的規律問題】 20
【題型9 整式乘除法中的新定義問題】 24
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問題】 29
知識點：整式的乘法、除法
1．單項式與單項式相乘
法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．
（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．
（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．
【注意】
（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．
（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．
2．單項式與多項式相乘
法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．
【注意】
單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢
驗在運算中是否漏乘某些項．
（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．
（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．
3．多項式與多項式相乘
（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．
（2）多項式與多項式相乘，仍得多項式．在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積．
4．單項式除以單項式
單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
單項式除以單項式法則的實質是將單項式除以單項式轉化為同底數冪的除法運算，運算結果仍是單項式．
【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．
【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．
5．多項式除以單項式
多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．
（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．
（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．
【題型1 由整式乘除法求代數式的值】
【例1】（2025七年級下·全國·專題練習）若的積中不含x和項，則 ．
【變式1-1】（24-25七年級上·上海楊浦·期末）已知，那么 ．
【變式1-2】（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）若，則的值是 ．
【變式1-3】（24-25七年級下·全國·課后作業）已知有理數滿足，則 ．
【題型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（24-25八年級上·福建泉州·期中）設實數滿足，若，則的值是 ．
【變式2-1】（2024八年級上·全國·專題練習）若不論為何值時，等式恒成立，則 ， ．
【變式2-2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）已知，，，且的值與無關，則 ．
【變式2-3】（22-23八年級上·福建福州·階段練習）若，求 ．
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項問題】
【例3】（24-25八年級上·甘肅隴南·期末）多項式展開后不含的一次項，則的值為 ．
【變式3-1】（2025七年級下·全國·專題練習）已知的乘積展開式中不含和項，則的值為 ．
【變式3-2】（24-25七年級上·重慶·期末）將展開得到一個關于的多項式，若此關于的多項式中不含二次項和一次項，則 ．
【變式3-3】（2025七年級下·全國·專題練習）先化簡，再求值：，其中的值滿足的結果中不含的二次項和一次項．
【題型4 利用整式乘除法解決與某個字母取值無關的問題】
【例4】（2025七年級下·全國·專題練習）已知，，且的值與無關，求的值．
【變式4-1】（24-25八年級上·江西宜春·期中）已知，．
(1)求證：代數式的值與的取值無關；
(2)若，求的值．
【變式4-2】（23-24七年級下·河北邯鄲·期末）計算求值：
(1)計算：；
(2)已知，，求的值．
(3)已知，，且的值與的取值無關，求的值．
【變式4-3】（24-25八年級上·四川內江·期末）[知識回顧]
已知代數式的值與的取值無關，求的值．
解題方法：把看作字母，看作系數，合并同類項，因為代數式的值與的取值無關，所以含項的系數為0，即原式，所以，即．
[理解應用]
(1)若關于的多項式的值與的取值無關，求的值；
(2)已知的值與無關，求的值；
(3)如圖1，小長方形紙片的長為、寬為，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設右上角的面積為，左下角的面積為，當的長變化時，的值始終保持不變，求與滿足的等量關系．

【題型5 利用整式乘除法解決污染問題】
【例5】（21-22七年級下·湖南永州·期末）某人計算時，已正確得出結果中的一次項系數為，不小心將第二個括號中的常數染黑了，則被染黑的常數為 ．
【變式5-1】（22-23八年級上·河南洛陽·期末）小明在計算時，不小心將第二個括號中的常數染黑了，小亮告訴他結果中的一次項系數為，則被染黑的常數為 ．
【變式5-2】（24-25八年級上·云南昆明·期中）小紅準備計算題目：▅，發現第一個因式的一次項系數被墨水遮擋住了，已知這個題目的正確答案是不含三次項的，請計算求出原題中被遮住的一次項系數．
【變式5-3】（2024七年級上·上海·專題練習）小紅準備完成題目：計算時，她發現第一個因式的一次項系數被一滴墨水遮擋住了．
(1)她把被遮住的一次項系數猜成2，請你幫她完成計算：；
(2)老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含一次項的．”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數是多少？
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問題】
【例6】（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）小明在計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是．則這個多項式是 ．
【變式6-1】（24-25八年級上·吉林白城·階段練習）某同學在計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是．
(1)求這個多項式；
(2)求正確的計算結果．
【變式6-2】（23-24六年級下·山東濟南·階段練習）某同學計算一個多項式乘時，因抄錯符號，算成了加上，得到的答案是．
(1)求這個多項式
(2)正確的計算結果應該是多少？
【變式6-3】（24-25八年級上·河南周口·階段練習）小馬虎同學在計算一個多項式A乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是．
(1)這個多項式A是多少？
(2)正確的計算結果是多少？
【題型7 整式乘除法的應用】
【例7】（23-24七年級·浙江杭州·階段練習）有總長為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長方形園子，園子的寬度為a．
(1)如圖1，①園子的面積為 （用關于l，a的代數式表示）．
②當時，求園子的面積．
(2)如圖2，若在園子的長邊上開了長度為1的門，則園子的面積相比圖一 （填增大或減小），并求此時園子的面積（寫出解題過程，最終結果用關于l，a的代數式表示）．
【變式7-1】（23-24七年級·重慶·期末）某農場種植了蔬菜和水果，現在還有兩片空地，農場計劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產量不同，其中白黃瓜的畝產量是青黃瓜的，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產量是白黃瓜與青黃瓜產量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產量之比為 ．
【變式7-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）一家住房的結構如圖所示，房子的主人打算把臥室鋪上地板，臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果這種地磚的價格為a元/平方米，地板的價格元/平方米，那么購買地板和地磚至少共需要多少元？

【變式7-3】（23-24七年級·全國·專題練習）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個長方體構成的，大長方體的長、寬、高分別為：a、2a、a，小長方體的長、寬、高分別為：2a、a、；配件②是一個正方體，其棱長為a

(1)生產配件①與配件②分別需要多長體積的原材料（不計損耗）？
(2)若兩個配件①與一個配件②可以用于加工一個玩具，每個玩具在市場銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？
【題型8 整式乘除法中的規律問題】
【例8】（23-24七年級·四川成都·期中）觀察：下列等式，，…據此規律，當時，代數式的值為 ．
【變式8-1】（23-24七年級·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，如圖是年11月份的日歷，我們任意用一個的方框框出4個數，將其中4個位置上的數交叉相乘，再用較大的數減去較小的數，你發現了什么規律？
(1)圖中方框框出的四個數，按照題目所說的計算規則，結果為　 　．
(2)換一個位置試一下，是否有同樣的規律？如果有，請你利用整式的運算對你發現的規律加以證明；如果沒有，請說明理由．
【變式8-2】（23-24七年級·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學習，對兩位數乘法的速算技巧進行研究．
小明發現“十位相同，個位互補”的兩個兩位數相乘有速算技巧．
例如：
，結果為624；
，結果為2016；
小紅發現“十位互補，個位為5”的兩個兩位數相乘也有速算技巧．
例如：
，結果為2925；
，結果為2625；
(1)請你按照小明發現的技巧，寫出計算的速算過程；
(2)請你用含有字母的等式表示小明所發現的速算規律，并驗證其正確性；
(3)小穎發現：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補，個位相同”的兩個兩位數相乘．請你直接用含有字母的等式表示該規律．
友情提示：如果兩個正整數和為10，則稱這兩個數互補．
【變式8-3】（23-24七年級·福建寧德·期中）下圖揭示了（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規律．請觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過天是星期 ．

……
……
……
……
【題型9 整式乘除法中的新定義問題】
【例9】（23-24七年級·陜西榆林·期末）【問題背景】現定義一種新運算“⊙”對任意有理數m，n，規定：．
例如：．
【問題推廣】（1）先化簡，再求值：，其中，；
【拓展提升】（2）若，求p，q的值
【變式9-1】（23-24七年級·浙江寧波·期中）定義，如．已知，（為常數）
(1)若，求的值；
(2)若中的滿足時，且，求的值．
【變式9-2】（23-24七年級·湖南株洲·期末）定義：如果一個數的平方等于，記為，這個數叫做虛數單位，把形如 (a、b為實數)的數叫做復數，其中a叫做這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如：；
根據以上信息，完成下列問題:
(1)計算：， ；
(2)計算：；
(3)計算：
【變式9-3】（23-24七年級·內蒙古烏蘭察布·期末）定義：是多項式A化簡后的項數，例如多項式，則，一個多項式A乘多項式B化簡得到多項式C（即），如果．則稱B是A的“郡園多項式”如果，則稱B是A的“郡園志勤多項式”．
(1)若，，則B是不是A的“郡園多項式”？請判斷并說明理由；
(2)若，是關于x的多項式，且B是A的“郡園志勤多項式”，則_____；
(3)若，是關于x的多項式，且B是A的“郡園志勤多項式”，求m的值．
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問題】
【例10】（23-24七年級·遼寧遼陽·期中）現定義了一種新運算“”，對于任意有理數a，b，c，d，規定，等號右邊是通常的減法和乘法運算．例如：．

請解答下列問題：
(1)填空：______；
(2)若的代數式中不含x的一次項時，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如圖1，小長方形長為a，寬為b，用5張圖1中的小長方形按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，其中，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設左下角長方形的面積為，右上角長方形的面積為．當，求的值．
【變式10-1】（23-24七年級·浙江溫州·期中）小陳用五塊布料制作靠墊面子，其中四周的四塊由長方形布料裁成四塊得到，正中的一塊正方形布料從另一塊布料裁得，靠墊面子和布料尺寸簡圖，如圖所示∶
(1)用含a，b的代數式表示圖中陰影部分小正方形的面積．
(2)當，時，求陰影部分面積．
【變式10-2】（23-24七年級·廣東佛山·期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為．
(1)小長方形的較長邊為 （用代數式表示）；
(2)陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為 ，是 的（填正確/錯誤）；陰影A和陰影B的周長值之和與 （填有關/無關），與 （填有關/無關）；
(3)設陰影A和陰影B的面積之和為S，是否存在使得S為定值，若存在請求出的值和該定值，若不存在請說明理由．
【變式10-3】（23-24七年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．
(1)用含、b的代數式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代數式表示區域①、區域②的面積；
(3)當=，時，求區域①、區域②的面積的差．
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專題8.1 整式的乘除法【十大題型】
【蘇科版2024】
【題型1 由整式乘除法求代數式的值】 3
【題型2 由整式乘除法求字母的值】 4
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項問題】 7
【題型4 利用整式乘除法解決與某個字母取值無關的問題】 10
【題型5 利用整式乘除法解決污染問題】 13
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問題】 15
【題型7 整式乘除法的應用】 17
【題型8 整式乘除法中的規律問題】 20
【題型9 整式乘除法中的新定義問題】 24
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問題】 29
知識點：整式的乘法、除法
1．單項式與單項式相乘
法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．
（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．
（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．
【注意】
（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．
（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．
2．單項式與多項式相乘
法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．
【注意】
單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢
驗在運算中是否漏乘某些項．
（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．
（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．
3．多項式與多項式相乘
（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．
（2）多項式與多項式相乘，仍得多項式．在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積．
4．單項式除以單項式
單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
單項式除以單項式法則的實質是將單項式除以單項式轉化為同底數冪的除法運算，運算結果仍是單項式．
【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．
【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．
5．多項式除以單項式
多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．
（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．
（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．
【題型1 由整式乘除法求代數式的值】
【例1】（2025七年級下·全國·專題練習）若的積中不含x和項，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查了多項式乘以多項式、不含無關類問題及代數式求值，熟練掌握運算法則及不含無關類做題方法是解決本題關鍵．利用多項式乘以多項式的法則計算，再根據不含和的項，即可求出m與n的值，將m與n的值代入求解即可．
【詳解】解：
∵展開后的結果中不含和的項，
∴，
∴，；
∵，
∴
．
故答案為：．
【變式1-1】（24-25七年級上·上海楊浦·期末）已知，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的乘法運算，解題的關鍵是掌握多項式乘多項式的運算法則．先計算出，再根據，可得，，求出、，即可求解．
【詳解】解：，
，
，，
解得：，，
，
故答案為：．
【變式1-2】（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）若，則的值是 ．
【答案】9
【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，代數式求值，根據多項式乘以多項式的計算法則得到，則，據此求出a、b的值即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式1-3】（24-25七年級下·全國·課后作業）已知有理數滿足，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了單項式乘單項式，以及非負數的性質，熟練掌握相關運算法則是解本題的關鍵．已知等式利用非負數性質求出a，b，c的值，代入原式求出值即可．
【詳解】解：，
則，
，
．
【題型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（24-25八年級上·福建泉州·期中）設實數滿足，若，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是因式分解的應用，熟練掌握換元法是解題的關鍵．利用換元法，由已知可得，代入進行降次計算可得，進而可得：，，，，再代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
，
又∵，
∴
，
，，，
，
故答案為：．
【變式2-1】（2024八年級上·全國·專題練習）若不論為何值時，等式恒成立，則 ， ．
【答案】 1
【分析】本題考查單項式乘以多項式，整式加減運算中的恒等問題，將等式左邊的多項式去括號，合并同類項后，根據對應項的系數相同，進行求解即可．
【詳解】恒成立，
．
故答案為：1，．
【變式2-2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）已知，，，且的值與無關，則 ．
【答案】
【分析】先根據題意列出算式，再計算單項式與多項式的乘法，最后合并，由題意得關于的方程，求解即可．此題考查的是單項式乘多項式及整式的加減，掌握其運算法則是解決此題的關鍵．
【詳解】解：
，
的值與無關，
，
．
故答案為：．
【變式2-3】（22-23八年級上·福建福州·階段練習）若，求 ．
【答案】/0.4
【分析】先把等式左邊去括號，再利用對應項系數相等即可求解．
【詳解】，
，
，
，
．
故答案為．
【點睛】本題考查了整式的乘法，多項式相等對應項系數相等進解題的關鍵．
【題型3 利用整式乘除法解決不含某項問題】
【例3】（24-25八年級上·甘肅隴南·期末）多項式展開后不含的一次項，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式乘以多項式法則，正確計算多項式乘多項式是解此題的關鍵．先根據多項式乘以多項式法則進行計算，即可得出，求出即可．
【詳解】解：
，
多項式展開后不含的一次項，
，
解得：，
故答案是：．
【變式3-1】（2025七年級下·全國·專題練習）已知的乘積展開式中不含和項，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式乘多項式，多項式不含某項問題，代數式求值，先根據多項式乘多項式的運算法則展開乘積，再根據展開式中不含和項，可得含和項的系數為，求出的值，最后代入代數式計算即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
∵乘積展開式中不含和項，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【變式3-2】（24-25七年級上·重慶·期末）將展開得到一個關于的多項式，若此關于的多項式中不含二次項和一次項，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了整式的混合運算，整式的無關項問題，掌握整式的混合運算法則，無關項的含義是解題的關鍵．
先根據整式的混合運算化簡，再根據無關項得到關于的多項式中二次項和一次項的系數，使其為零，可解出的值的，代入計算即可．
【詳解】解：
，
∵關于的多項式中不含二次項和一次項，
∴，
解得，，
∴，
故答案為： ．
【變式3-3】（2025七年級下·全國·專題練習）先化簡，再求值：，其中的值滿足的結果中不含的二次項和一次項．
【答案】，59
【分析】本題主要考查整式的化簡求值，涉及兩個乘法公式，多項式乘多項式等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則及乘法公式．利用多項式乘多項式法則計算，由積中不含x的二次項和一次項令其系數為0，即可求出a與b的值，再代入到化簡后的整式中求值即可．
【詳解】解：
，
．
因為的結果中不含的二次項和一次項，所以，解得．
當時，原式．
【題型4 利用整式乘除法解決與某個字母取值無關的問題】
【例4】（2025七年級下·全國·專題練習）已知，，且的值與無關，求的值．
【答案】
【分析】本題主要考查整式的化簡求值．根據整式的混合運算順序和法則化簡，根據其值與x無關得出，即可得出答案．
【詳解】解：因為
，
因為，
所以
．
由題意，得，
解得．
【變式4-1】（24-25八年級上·江西宜春·期中）已知，．
(1)求證：代數式的值與的取值無關；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查整式的乘法以及化簡求值．
（1）將代數式化簡即可求解；
（2）計算，進而將字母的值代入，即可求解．
【詳解】（1）解：證明：
∴代數式的值與的取值無關
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
【變式4-2】（23-24七年級下·河北邯鄲·期末）計算求值：
(1)計算：；
(2)已知，，求的值．
(3)已知，，且的值與的取值無關，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了有理數混合運算，同底數冪的乘法公式逆用，冪的乘方公式逆用，整式加減中的無關型問題，熟練掌握各運算法則是解題的關鍵．
（1）先計算負整數指數冪和零指數冪，再計算加減即可；
（2）先根據，計算得，，再把原式化簡為計算即可；
（3）先計算出，根據的值與的取值無關可推出，即可得到值．
【詳解】（1）解：
（2）解：，
，
（3）解：， ，
的值與的取值無關
解得：
的值為．
【變式4-3】（24-25八年級上·四川內江·期末）[知識回顧]
已知代數式的值與的取值無關，求的值．
解題方法：把看作字母，看作系數，合并同類項，因為代數式的值與的取值無關，所以含項的系數為0，即原式，所以，即．
[理解應用]
(1)若關于的多項式的值與的取值無關，求的值；
(2)已知的值與無關，求的值；
(3)如圖1，小長方形紙片的長為、寬為，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設右上角的面積為，左下角的面積為，當的長變化時，的值始終保持不變，求與滿足的等量關系．

【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本題主要考查了整式加減中的無關型問題，涉及整式的乘法、整式的加減知識，熟練掌握整式加減乘法的運算法則是解題關鍵．
（1）根據含項的系數為0建立方程，解方程即可得；
（2）先根據整式的加減化簡，再根據含項的系數為0建立方程，解方程即可得；
（3）設，先求出，從而可得，再根據“當的長變化時，的值始終保持不變”可知的值與的值無關，由此即可得．
【詳解】（1）解：
，
關于的多項式的值與的取值無關，
，
解得；
（2）解：
，
關于的多項式的值與的取值無關的值與無關，
，
解得；
（3）解：設，
由圖可知，，，
則
，
當的長變化時，的值始終保持不變，
的值與的值無關，
，
．
【題型5 利用整式乘除法解決污染問題】
【例5】（21-22七年級下·湖南永州·期末）某人計算時，已正確得出結果中的一次項系數為，不小心將第二個括號中的常數染黑了，則被染黑的常數為 ．
【答案】1
【分析】根據多項式乘多項式的法則進行運算，再結合所給的條件進行求解即可．
【詳解】解：（x－2）（x+■）=x2+（■－2）x－2■，
∵一次項系數為－1，
∴■－2=－1，
解得：■=1．
故答案為：1．
【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是運算時注意符號的變化．
【變式5-1】（22-23八年級上·河南洛陽·期末）小明在計算時，不小心將第二個括號中的常數染黑了，小亮告訴他結果中的一次項系數為，則被染黑的常數為 ．
【答案】1
【分析】本題考查多項式乘以多項式，設，根據多項式乘以多項式的運算法則將原式展開，使得一次項系數等于列方程求解即可．
【詳解】解：設，
則原式，
∵結果中的一次項系數為，
∴，解得，
故答案為：1．
【變式5-2】（24-25八年級上·云南昆明·期中）小紅準備計算題目：▅，發現第一個因式的一次項系數被墨水遮擋住了，已知這個題目的正確答案是不含三次項的，請計算求出原題中被遮住的一次項系數．
【答案】
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，多項式中不含某項的條件；設一次項系數為，由多項式乘以多項式得，由多項式中不含某項的條件，即可求解；理解“多項式中不含某一項就是使得這一項的系數為零．”是解題的關鍵．
【詳解】解：設一次項系數為，
正確答案是不含三次項，
，
，
故原題中被遮住的一次項系數為．
【變式5-3】（2024七年級上·上海·專題練習）小紅準備完成題目：計算時，她發現第一個因式的一次項系數被一滴墨水遮擋住了．
(1)她把被遮住的一次項系數猜成2，請你幫她完成計算：；
(2)老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含一次項的．”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了多項式乘多項式的運算，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．
（1）根據多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加即可；
（2）設被遮住的一次項系數為，根據多項式乘多項式的運算法則進行計算，再根據正確答案是不含一次項的，得到關于的方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：設被遮住的一次項系數為，
即
，
∵這個題目的正確答案不含一次項的，
∴，
解得：，
∴被遮住的一次項系數為．
【題型6 利用整式乘除法解決誤看問題】
【例6】（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）小明在計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是．則這個多項式是 ．
【答案】
【分析】由題意可得，，從而可求解得．
本題主要考查了整式的加減，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
【詳解】解：由題意可得：，
解得，
故答案為：．
【變式6-1】（24-25八年級上·吉林白城·階段練習）某同學在計算一個多項式乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是．
(1)求這個多項式；
(2)求正確的計算結果．
【答案】(1)
(2)正確的計算結果是
【分析】本題考查多項式加減法和乘法的計算，熟練掌握多項式的運算法則，正確計算是解本題的關鍵．
（1）根據多項式的加減法計算法則得出代數式的值；
（2）根據多項式的乘法計算法則得出正確的計算結果即可．
【詳解】（1）解：根據題意，
．
（2）解：
．
【變式6-2】（23-24六年級下·山東濟南·階段練習）某同學計算一個多項式乘時，因抄錯符號，算成了加上，得到的答案是．
(1)求這個多項式
(2)正確的計算結果應該是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了單項式與多項式相乘，熟練掌握單項式與多項式相乘運算法則是解答本題的關鍵．
（1）用錯誤結果減去，可得出原式；
（2）用計算出的原式乘得出正確結果．
【詳解】（1）解：這個多項式是：
，
（2）正確的計算結果為：．
【變式6-3】（24-25八年級上·河南周口·階段練習）小馬虎同學在計算一個多項式A乘時，因抄錯運算符號，算成了加上，得到的結果是．
(1)這個多項式A是多少？
(2)正確的計算結果是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查多項式乘法的計算，熟練掌握多項式的運算法則，正確計算是解本題的關鍵．
（1）根據多項式的減法計算法則得出代數式A的值；
（2）根據多項式的乘法計算法則得出正確的計算結果即可．
【詳解】（1）解：根據題意，
∴；
（2）解：
．
【題型7 整式乘除法的應用】
【例7】（23-24七年級·浙江杭州·階段練習）有總長為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長方形園子，園子的寬度為a．
(1)如圖1，①園子的面積為 （用關于l，a的代數式表示）．
②當時，求園子的面積．
(2)如圖2，若在園子的長邊上開了長度為1的門，則園子的面積相比圖一 （填增大或減小），并求此時園子的面積（寫出解題過程，最終結果用關于l，a的代數式表示）．
【答案】(1)①；②1200
(2)增大；
【分析】本題考查了列代數式及代數式求值，正確列出代數式是解題的關鍵．
（1）①先用和的代數式表示出園子的長，再表示出園子的面積；②把，代入①中的代數式進行計算即可；
（2）由園子的寬不變，長增加了，即可判斷出園子的面積增大了，表示出園子的長，即可求出園子的面積．
【詳解】（1）解：①總長為，寬為，
園子的長為：，
園子的面積為：；
故答案為：；
②當，時，
；
（2）解：園子的寬不變，長增加了，
園子的面積增大了，
在園子的長邊上開了1的門，
園子的長為：，
園子的面積為：，
園子增加的面積為：，
答：園子的面積增加了，此時園子的面積．
故答案為：增大．
【變式7-1】（23-24七年級·重慶·期末）某農場種植了蔬菜和水果，現在還有兩片空地，農場計劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產量不同，其中白黃瓜的畝產量是青黃瓜的，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產量是白黃瓜與青黃瓜產量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產量之比為 ．
【答案】
【分析】設青黃瓜的畝產量為x，則白黃瓜的畝產量為，白黃瓜的種植面積為，青黃瓜的種植面積為，水果黃瓜的種植面積為，據此求出水果黃瓜的產量是，進而得到水果黃瓜的畝產量為，再根據種植面積的比值即可得到答案．
【詳解】解：設青黃瓜的畝產量為x，則白黃瓜的畝產量為，白黃瓜的種植面積為，青黃瓜的種植面積為，水果黃瓜的種植面積為，
∴青黃瓜的產量為，白黃瓜的產量為，
∴水果黃瓜的產量是，
∴水果黃瓜的畝產量為，
∴當種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產量之比為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，單項式除以單項式，正確根據題意求出水果黃瓜的畝產量為是解題的關鍵．
【變式7-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）一家住房的結構如圖所示，房子的主人打算把臥室鋪上地板，臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果這種地磚的價格為a元/平方米，地板的價格元/平方米，那么購買地板和地磚至少共需要多少元？

【答案】需要平方米的地磚，購買地板和地磚至少共需要元
【分析】根據圖形表示出客廳，衛生間，以及廚房的面積，相加，在乘地磚的單價；算出臥室的面積，再乘地板的單價，算出總價格即可．
【詳解】解：平方米，
元，
則需要平方米的地磚，購買地板和地磚至少共需要元．
【點睛】此題考查了整式的運算的應用，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【變式7-3】（23-24七年級·全國·專題練習）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個長方體構成的，大長方體的長、寬、高分別為：a、2a、a，小長方體的長、寬、高分別為：2a、a、；配件②是一個正方體，其棱長為a

(1)生產配件①與配件②分別需要多長體積的原材料（不計損耗）？
(2)若兩個配件①與一個配件②可以用于加工一個玩具，每個玩具在市場銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？
【答案】(1)生產配件①需要的原材料的體積是：a3；生產配件②需要的原材料的體積是：a3
(2)元
【分析】（1）先算出兩個長方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出棱長為a的正方體體積，即可得出配件②的體積；
（2）先計算出生產玩具的個數，再計算獲利即可．
【詳解】（1）生產配件①需要的原材料的體積是：；
生產配件②需要的原材料的體積是：；
（2）根據題意得：（元），
答：體積的這種原材料可使該廠最多獲利元．
【點睛】本題主要考查了整式的運算的應用，掌握運算法則是解題的關鍵．
【題型8 整式乘除法中的規律問題】
【例8】（23-24七年級·四川成都·期中）觀察：下列等式，，…據此規律，當時，代數式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式乘法中的規律探索、求代數式的值，由題意得出根據，結合，得到，求出，代入到代數式求值即可．
【詳解】解：∵，，…
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
當時，，
故答案為：．
【變式8-1】（23-24七年級·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律，如圖是年11月份的日歷，我們任意用一個的方框框出4個數，將其中4個位置上的數交叉相乘，再用較大的數減去較小的數，你發現了什么規律？
(1)圖中方框框出的四個數，按照題目所說的計算規則，結果為　 　．
(2)換一個位置試一下，是否有同樣的規律？如果有，請你利用整式的運算對你發現的規律加以證明；如果沒有，請說明理由．
【答案】(1)7
(2)有同樣的規律，證明見解析
【分析】（1）按照題目要求列式計算即可；
（2）設方框框出的四個數分別為，按照題中方法計算后即可得到結論．
【詳解】（1）解：，
故答案為：7；
（2）有同樣的規律，
證明：設方框框出的四個數分別為，
則
．
【點睛】此題考查了整式混合運算的應用，熟練掌握整式的四則混合運算法則是解題的關鍵．
【變式8-2】（23-24七年級·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學習，對兩位數乘法的速算技巧進行研究．
小明發現“十位相同，個位互補”的兩個兩位數相乘有速算技巧．
例如：
，結果為624；
，結果為2016；
小紅發現“十位互補，個位為5”的兩個兩位數相乘也有速算技巧．
例如：
，結果為2925；
，結果為2625；
(1)請你按照小明發現的技巧，寫出計算的速算過程；
(2)請你用含有字母的等式表示小明所發現的速算規律，并驗證其正確性；
(3)小穎發現：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補，個位相同”的兩個兩位數相乘．請你直接用含有字母的等式表示該規律．
友情提示：如果兩個正整數和為10，則稱這兩個數互補．
【答案】(1)4221
(2)，驗證見解析
(3)
【分析】（1）根據小明發現的速算規律對進行計算即可得出答案；
（2）設其中一個兩位數的十位數為a，個位數為b，則另一個兩位數的十位數為a，個位數為c，其中，那么這兩個兩位數分別為，，然后將常規計算得到的結果與小明速算方法得到的結果進行比較即可得出結論；
（3）仔細閱讀小紅發現的速算規律，再進行推廣，并用字母表示出來即可．
【詳解】（1）；
（2）小明所發現的速算規律是：，其中．
驗證小明的速算規律：
設其中一個兩位數的十位數為a，個位數為b，
則另一個兩位數的十位數為a，個位數為c，其中，
∴這兩個兩位數分別為：，，
常規的計算方法是：
，
∵，
∴，
小明的速算方法是：
，
∴小明的速算方法是正確的．
（3）小穎發現的速算規律是：，其中．
證明如下：
設其中一個兩位數的十位數為x，個位數為y，
則另一個兩位數的十位數為z，個位數為y，其中，
∴這兩個兩位數分別為：，，
常規的計算方法是：
∵，
∴．
【點睛】此題主要考查了數字變化的規律，讀懂題目中的信息，理解“十位相同，個位互補”和“十位互補，個位相同”數字的變換規律的探索過程是解答此題的關鍵．
【變式8-3】（23-24七年級·福建寧德·期中）下圖揭示了（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規律．請觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過天是星期 ．

……
……
……
……
【答案】天（日）
【分析】本題考查了多項式乘法的展開式，能發現展開后，各項是按a的降冪排列的，系數依次是從左到右系數之和．它的兩端都是由數字1組成的，而其余的數則是等于它肩上的兩個數之和．
根據可知除以7的余數為2，從而可得答案．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴除以7的余數為2，
∴假如今天是星期五，那么再過天是星期天．
故答案為：天．
【題型9 整式乘除法中的新定義問題】
【例9】（23-24七年級·陜西榆林·期末）【問題背景】現定義一種新運算“⊙”對任意有理數m，n，規定：．
例如：．
【問題推廣】（1）先化簡，再求值：，其中，；
【拓展提升】（2）若，求p，q的值
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）先運用新運算法則化簡，然后將、代入計算即可；
（2）先對括號內用新運算法則化簡，然后再對括號外運算，然后結合即可求解．
【詳解】解：（1）
．
當，時，原式；
（2）
．
又∵，
∴，
∴，，
∴，．
【點睛】本題主要考查了新定義運算、整式的四則混合運算、同類項等知識點，理解新運算法則是解答本題的關鍵．
【變式9-1】（23-24七年級·浙江寧波·期中）定義，如．已知，（為常數）
(1)若，求的值；
(2)若中的滿足時，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】()根據題目中的新定義，先化簡，然后根據，即可得到的值；
()根據，可以得到的值，再根據，可得，由代入計算即可求解；
本題考查了整式的混合運算、新定義，理解新定義運算是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由題意得，，
∵，
，
；
（2）解：由題意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（）知，，
∵，
，
，
∴
，
，
，
．
【變式9-2】（23-24七年級·湖南株洲·期末）定義：如果一個數的平方等于，記為，這個數叫做虛數單位，把形如 (a、b為實數)的數叫做復數，其中a叫做這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如：；
根據以上信息，完成下列問題:
(1)計算：， ；
(2)計算：；
(3)計算：
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】(1)根據定義即可分別求得結果；
(2)首先根據多項式乘多項式法則去括號，再根據定義及有理數的加減進行運算，即可求得結果；
(3)首先根據復數的定義計算，找到規律，再根據規律進行運算，即可求得結果．
【詳解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：，，，，，，，，…，
每4個為一循環，且，
，
．
【點睛】本題考查了新定義，多項式乘多項式法則，數字類規律，解答本題的關鍵是明確題意，發現相鄰幾個數相加的和的規律．
【變式9-3】（23-24七年級·內蒙古烏蘭察布·期末）定義：是多項式A化簡后的項數，例如多項式，則，一個多項式A乘多項式B化簡得到多項式C（即），如果．則稱B是A的“郡園多項式”如果，則稱B是A的“郡園志勤多項式”．
(1)若，，則B是不是A的“郡園多項式”？請判斷并說明理由；
(2)若，是關于x的多項式，且B是A的“郡園志勤多項式”，則_____；
(3)若，是關于x的多項式，且B是A的“郡園志勤多項式”，求m的值．
【答案】(1)B是A的“郡園多項式”，理由見解析
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了多項式乘法中的無關型問題，熟知多項式乘以多項式的計算法則是解題的關鍵．
（1）先計算出，則，，即可得到，由此即可得到結論；
（2）先計算出，再根據題意得到，則，即可求出；
（3）先求出當時，則，，此時B是A的“郡園志勤多項式”，符合題意；當時， 則，即可得到，則，綜上所述，或．
【詳解】（1）解：B是A的“郡園多項式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“郡園多項式”；
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“郡園志勤多項式”，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2；
（3）解：∵，，
∴
，
當時，則，，此時B是A的“郡園志勤多項式”，符合題意；
當時，，
∵B是A的“郡園志勤多項式”，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，或．
【題型10 整式乘除法中的幾何圖形問題】
【例10】（23-24七年級·遼寧遼陽·期中）現定義了一種新運算“”，對于任意有理數a，b，c，d，規定，等號右邊是通常的減法和乘法運算．例如：．

請解答下列問題：
(1)填空：______；
(2)若的代數式中不含x的一次項時，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如圖1，小長方形長為a，寬為b，用5張圖1中的小長方形按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，其中，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設左下角長方形的面積為，右上角長方形的面積為．當，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)24
【分析】本題主要考查了新定義，多項式乘以多項式：
（1）根據新定義計算求解即可；
（2）根據新定義求出，再根據不含x的一次項，即可含x的一次項的系數為0進行求解即可；
（3）根據新定義求出，再利用整體代入法代值計算即可；
（4）根據所給圖形可得，根據推出，再根據新定義，進而一步步利用整體代入法降次求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：
∵代數式中不含x的一次項，
∴，
∴；
（3）解：
∵，
∴原式；
（4）解：根據題意得：，
整理得：，
∴
．
【變式10-1】（23-24七年級·浙江溫州·期中）小陳用五塊布料制作靠墊面子，其中四周的四塊由長方形布料裁成四塊得到，正中的一塊正方形布料從另一塊布料裁得，靠墊面子和布料尺寸簡圖，如圖所示∶
(1)用含a，b的代數式表示圖中陰影部分小正方形的面積．
(2)當，時，求陰影部分面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了整式運算的應用；能表示出陰影部分的面積是解題的關鍵．
（1）由圖可求得小長方形的長為，小長方形的寬為，可求大正方形的邊長，由，即可求解；
（2）將，代入計算，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意得：
長方形的長為： ，
長方形的寬為： ，
大正方形的長為：，
；
（2）解： ，，
．
【變式10-2】（23-24七年級·廣東佛山·期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為．
(1)小長方形的較長邊為 （用代數式表示）；
(2)陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為 ，是 的（填正確/錯誤）；陰影A和陰影B的周長值之和與 （填有關/無關），與 （填有關/無關）；
(3)設陰影A和陰影B的面積之和為S，是否存在使得S為定值，若存在請求出的值和該定值，若不存在請說明理由．
【答案】(1)
(2)正確，有關，無關
(3)存在使得S為定值，理由見解析
【分析】本題考查了列代數式以及整式的混合運算，根據圖形分別表示出相關邊長并能熟練運用整式加減的運算法則是解題的關鍵．
（1）由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為；
（2）由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為，據此求解即可；
（3）由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為4cm，
∴小長方形的長為，
故答案為：；
（2）解：∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為，小長方形的寬為4cm，
∴陰影A的較短邊為，
陰影B的較短邊為，
∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；
∵陰影A的較長邊為，較短邊為，
陰影B的較長邊為，較短邊為，
∴陰影A的周長為，
陰影B的周長為，
∴陰影A和陰影B的周長之和為，
∴陰影A和陰影B的周長之和與有關，與無關，
故答案為：正確，有關，無關；
（3）解：∵陰影A的較長邊為，較短邊為，
陰影B的較長邊為，較短邊為，
∴陰影A的面積為，
陰影B的面積為，
∴陰影A和陰影B的面積之和為
，
∴當時，為定值，定值為．
【變式10-3】（23-24七年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．
(1)用含、b的代數式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代數式表示區域①、區域②的面積；
(3)當=，時，求區域①、區域②的面積的差．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本題考查了整式加減的應用，找到圖中的線段間的關系是解題的關鍵．
（1）線段為2個小長方形的寬加1個小長方形的長，線段為1個小長方形的寬加1個小長方形的長，列出式子并化簡即可；
（2）區域①的面積為長，寬的長方形的面積減去一個邊長為的小正方形的面積列式化簡即可得出；區域②的面積：長為小長方形紙片的長，寬為的長方形的面積加上一個邊長為的小正方形的面積列式化簡即可得出；
（3）將兩式相減化簡后，將值代入即可得出答案．
【詳解】（1）小長方形紙片寬為，長為b
，
故答案為：，；
（2）由圖可知，，，
，
區域①的面積為：
區域②的面積為：
；
（3）由（2）知，區域①的面積為：，區域②的面積為：
區域①、區域②的面積的差為：
當=，時，原式
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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