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專題1.7 整式的乘除全章專項復習【2大考點8種題型】
【北師大版2024】
【考點1 整式的乘法】 1
【題型1 整式的化簡求值】 4
【題型2 整式乘法的應用】 6
【題型3 利用整式的乘法求字母的值】 10
【題型4 運用冪的乘方比較大小】 14
【考點2 乘法公式】 17
【題型5 利用乘法公式化簡求值】 17
【題型6 利用乘法公式解方程或不等式】 20
【題型7 乘法公式的整體應用】 22
【題型8 利用乘法公式解決規律探究問題】 23
【考點1 整式的乘法】
1．同底數冪的乘法
一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，am·an=·==．
語言敘述：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
【拓展】（1）同底數冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數冪相乘，法則也適用．
（m，n，…，p都是正整數）．
（2）同底數冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數）．
2．冪的乘方
（1）冪的乘方的意義：
冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．
（2）冪的乘方法則：
一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，
．
語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘．
【拓展】
（1）冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數）．
（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數）．
3．積的乘方
（1）積的乘方的意義：
積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（積的乘方的意義）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結合律）
=a3b3．
積的乘方法則：
一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，
．
因此，我們有．
語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
4．單項式與單項式相乘
法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．
（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．
（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．
【注意】
（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．
（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．
5．單項式與多項式相乘
法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．
【注意】
（1）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．
（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．
（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．
6．多項式與多項式相乘
（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．
（2）多項式與多項式相乘，仍得多項式．在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積．
7．同底數冪的除法
同底數冪的除法法則：
一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．
語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．
【拓展】
（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，
例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．
（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．
8．零指數冪的性質
零指數冪的性質：
同底數冪相除，如果被除式的指數等于除式的指數，例如am÷am，根據除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．
于是規定：a0=1（a≠0）．
語言敘述：任何不等于0的數的0次冪都等于1．
【注意】
（1）底數a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．
（2）底數a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．
9．單項式除以單項式
單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
單項式除以單項式法則的實質是將單項式除以單項式轉化為同底數冪的除法運算，運算結果仍是單項式．
【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．
【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．
10．多項式除以單項式
多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．
（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．
（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．
【題型1 整式的化簡求值】
【方法總結】首先依據整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據冪的運算性質計算,要注意底數和指數的變化特點.
【例1】（2024·河北唐山·七年級期末）在化簡題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當，時，的值為22，則◆所表示的符號為（ ）
A． B． C．＋ D．－
【變式1-1】（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：
，其中
（2）先化簡，再求值：
，其中，．
【變式1-2】（23-24七年級·重慶北碚·期中）已知實數a，b，x，y滿足，，則 .
【變式1-3】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數，我們規定符號，例如：．
(1)計算：______；
(2)已知，求的值；
(3)當時，求的值．
【題型2 整式乘法的應用】
【例2】（23-24七年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為，寬為．
(1)請用含x的代數式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；
(2)現要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x的代數式表示）．
【變式2-1】（23-24七年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現代化商業、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業．如圖，在園區內有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，現規劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為米的正方形．
(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數式表示，并化簡）；
(2)若，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？
【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為和（）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊的長度分別為．設圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．當時，的值為（ ）

A． B． C． D．
【變式2-3】（23-24七年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．
(1)用含、b的代數式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代數式表示區域①、區域②的面積；
(3)當=，時，求區域①、區域②的面積的差．
【題型3 利用整式的乘法求字母的值】
【方法總結】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數為0,可利用方程思想求字母的值.
【例3】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如與，，則M與N互為“組合多項式”，它們的“組合數”為3．
(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；
①與；②與；③與．
(2)多項式與（m，n為常數）互為“組合多項式”，求它們的“組合數”；
(3)關于x的多項式與的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m，n的值；若不能，請說明理由．
【變式3-1】（23-24七年級·山東濟南·期中）已知，，，若的值與x的取值無關，則a的值為（ ）
A． B．3 C．5 D．4
【變式3-2】（23-24七年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關于的整式乘法題：，由于甲抄錯了的符號，得到的結果是，請你計算出a，b的值，并計算出這道整式乘法題的正確結果．
【變式3-3】（23-24七年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：的結果是一個多項式，并且最高次項為：，常數項為：，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數．根據嘗試和總結他發現：一次項系數就是：，即一次項為．
請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．
（1）計算所得多項式的一次項系數為______．
（2）若計算所得多項式不含一次項，求的值；
（3）若，則______．
【題型4 運用冪的乘方比較大小】
【例4】（23-24七年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到；；等，在解題過程中，根據算式的結構特征，逆向運用冪的運算法則，常可以化繁為簡，化難為易，使問題巧妙獲解．
(1)若，求的值．
(2)比較大小：若，，，則，，的大小關系是什么
【變式4-1】（23-24七年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：
（1）已知，比較a、b、c的大小關系;
（2）比較這4個數的大小關系;
（3）已知，比較P、Q的大小關系;
（4）_______（填“>”“<”或“=”）.
【變式4-2】（23-24七年級·湖南岳陽·期中）已知，，，試比較a，b，c的大小并用“”把它們連接起來： ．
【變式4-3】（23-24七年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數相同的形式，另一種是將冪化為指數相同的形式，請閱讀下列材料：若，，則的大小關系是______（填“”或“”．）
解：，，且，
，
類比閱讀材料的方法，解答下列問題：
(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質：______；
A．同底數冪的乘法 B．同底數冪的除法 C．冪的乘方 D．積的乘方
(2)比較的大小；
(3)比較與的大小；
(4)已知，，．求之間的等量關系．
【考點2 乘法公式】
1．平方差公式
（1）平方差公式
語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特點
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
③公式中的a和b可以表示具體的數或單項式，也可以是多項式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
語言敘述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．
3．添括號法則
法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．
（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．
（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．
（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．
【題型5 利用乘法公式化簡求值】
【方法總結】解題時要注意分析算式的結構特征,符合“兩個數的和與這兩個數的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.
【例5】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）已知，．求代數式下列代數式的值：①②．
【變式5-1】（23-24七年級·貴州畢節·期中）已知，求的值
【變式5-2】（23-24七年級·湖南永州·階段練習）已知：，，求：
(1)；
(2)的值
【變式5-3】（23-24七年級·貴州畢節·期中）（1）已知，，求和的值；
（2）已知，，求和的值；
（3）已知，求的值．
【題型6 利用乘法公式解方程或不等式】
【例6】（23-24七年級·上海寶山·期中）解不等式：．
【變式6-1】（23-24七年級·廣東深圳·階段練習）解方程
(1)；
(2)．
【變式6-2】（23-24七年級·上海靜安·期中）解不等式：．
【變式6-3】（23-24七年級·湖北·階段練習）計算
(1)解方程：；
(2)解不等式：.
【題型7 乘法公式的整體應用】
【例7】（23-24七年級·甘肅張掖·階段練習）計算： ．
【變式7-1】（23-24七年級·上海青浦·期中）計算： ．
【變式7-2】（23-24七年級·上海·階段練習）計算：
【變式7-3】（23-24七年級·上海寶山·期中）計算：．
【題型8 利用乘法公式解決規律探究問題】
【例8】（23-24七年級·四川成都·期中）如果一個正整數能夠表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”．因為，，，，……，所以按從小到大的順序，“智慧數”依次為3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此規律，2024是第 個“智慧數”．
【變式8-1】（23-24七年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
按照以上規律．解決下列問題：
（1）第5個等式為： ；
（2）若第個等式為，則 ．
【變式8-2】（23-24七年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：
………
這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律．請你猜想：
．
【變式8-3】（23-24七年級·河南南陽·階段練習）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方的展開式各系數規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了 的展開式的系數規律（按n的次數由大到小的順序）．
1
11
121
1331
14641…
根據上述規律，展開式中含項的系數為 ．
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專題1.7 整式的乘除全章專項復習【2大考點8種題型】
【北師大版2024】
【考點1 整式的乘法】 1
【題型1 整式的化簡求值】 4
【題型2 整式乘法的應用】 6
【題型3 利用整式的乘法求字母的值】 10
【題型4 運用冪的乘方比較大小】 14
【考點2 乘法公式】 17
【題型5 利用乘法公式化簡求值】 17
【題型6 利用乘法公式解方程或不等式】 20
【題型7 乘法公式的整體應用】 22
【題型8 利用乘法公式解決規律探究問題】 23
【考點1 整式的乘法】
1．同底數冪的乘法
一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，am·an=·==．
語言敘述：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
【拓展】（1）同底數冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數冪相乘，法則也適用．
（m，n，…，p都是正整數）．
（2）同底數冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數）．
2．冪的乘方
（1）冪的乘方的意義：
冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．
（2）冪的乘方法則：
一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，
．
語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘．
【拓展】
（1）冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數）．
（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數）．
3．積的乘方
（1）積的乘方的意義：
積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（積的乘方的意義）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結合律）
=a3b3．
積的乘方法則：
一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，
．
因此，我們有．
語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
4．單項式與單項式相乘
法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．
（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．
（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．
【注意】
（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．
（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．
5．單項式與多項式相乘
法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．
【注意】
（1）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．
（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．
（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．
6．多項式與多項式相乘
（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．
（2）多項式與多項式相乘，仍得多項式．在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積．
7．同底數冪的除法
同底數冪的除法法則：
一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．
語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．
【拓展】
（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，
例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．
（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．
8．零指數冪的性質
零指數冪的性質：
同底數冪相除，如果被除式的指數等于除式的指數，例如am÷am，根據除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．
于是規定：a0=1（a≠0）．
語言敘述：任何不等于0的數的0次冪都等于1．
【注意】
（1）底數a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．
（2）底數a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．
9．單項式除以單項式
單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
單項式除以單項式法則的實質是將單項式除以單項式轉化為同底數冪的除法運算，運算結果仍是單項式．
【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．
【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．
10．多項式除以單項式
多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．
（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．
（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．
【題型1 整式的化簡求值】
【方法總結】首先依據整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據冪的運算性質計算,要注意底數和指數的變化特點.
【例1】（2024·河北唐山·七年級期末）在化簡題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當，時，的值為22，則◆所表示的符號為（ ）
A． B． C．＋ D．－
【答案】B
【分析】根據四個選項，依次代入原式，進行化簡求值，即可得到答案．
【詳解】解：A．若◆所表示的符號為，則原式==，當，時，原式=，不符合題意；
B．若◆所表示的符號為，則原式==，當，時，原式=，符合題意；
C．若◆所表示的符號為＋，則原式==，當，時，原式=，不符合題意；
D．若◆所表示的符號為－，則原式==，當，時，原式=，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，理清運算順序，正確進行相關計算是解題的關鍵．
【變式1-1】（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：
，其中
（2）先化簡，再求值：
，其中，．
【答案】（1），；（2），；
【分析】本題考查整式的化簡求值：
（1）先根據乘法法則計算，再合并同類項化到最簡，最后代入求解即可得到答案；
（2）先根據乘除法法則計算，再合并同類項化到最簡，最后代入求解即可得到答案；
【詳解】解：（1）原式
，
當時，
原式
；
（2）原式
，
當，時，
∴原式，
．
【變式1-2】（23-24七年級·重慶北碚·期中）已知實數a，b，x，y滿足，，則 .
【答案】20
【分析】本題考查因式分解的應用、整式的乘法、代數式求值，解答的關鍵利用整體思想求解．先求得，再將所求代數式因式分解，轉化為求的值即可．
【詳解】解：∵，
∴ ，
∵，
∴，
，
故答案為：20．
【變式1-3】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數，我們規定符號，例如：．
(1)計算：______；
(2)已知，求的值；
(3)當時，求的值．
【答案】(1)16
(2)，
(3)1
【分析】本題考查了新定義下的實數運算，涉及整式的混合運算，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）根據新定義，進行有理數的混合運算；
（2）根據新定義，得到一元二次方程，再用因式分解法求解；
（3）根據新定義，進行整式的混合運算，再代入求值即可．
【詳解】（1）解：由題意得，，
故答案為：16；
（2）解：由得：，
化簡得：，
解得：，；
（3）解：
，
∵
∴，
∴，
即的值為1．
【題型2 整式乘法的應用】
【例2】（23-24七年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為，寬為．
(1)請用含x的代數式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；
(2)現要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x的代數式表示）．
【答案】(1)
(2)涂漆這個鐵盒需要元錢
【分析】此題考查了多項式乘多項式的應用．
（1）根據長方形的面積等于長乘寬表示出原長方形鐵皮的面積即可；
（2）根據原長方形鐵皮的面積減去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，再乘單價即可得到結果．
【詳解】（1）原鐵皮的面積是；
（2）油漆這個鐵盒的表面積是：；
則油漆這個鐵盒需要的錢數是：元．
所以涂漆這個鐵盒需要元錢．
【變式2-1】（23-24七年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現代化商業、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業．如圖，在園區內有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，現規劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為米的正方形．
(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數式表示，并化簡）；
(2)若，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？
【答案】(1)平方米
(2)5400元
【分析】本題考查整式運算的實際應用，代數式求值：
（1）用長方形的面積減去正方形的面積，即可；
（2）將代入（1）中的結果，求值后，再乘以單價即可．
【詳解】（1）解：
平方米；
（2）當時，，
（元）．
【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為和（）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊的長度分別為．設圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．當時，的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題中已知線段長度，結合圖形，數形結合表示出陰影部分面積，按要求求差即可得到答案．
【詳解】解：兩個正方形的邊長分別為和（），且長方形中邊的長度分別為，
在圖1中，；
在圖2中，；
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查求陰影部分面積關系，數形結合，準確表示出陰影部分面積是解決問題的關鍵．
【變式2-3】（23-24七年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．
(1)用含、b的代數式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代數式表示區域①、區域②的面積；
(3)當=，時，求區域①、區域②的面積的差．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本題考查了整式乘法的應用，找到圖中的線段間的關系是解題的關鍵．
（1）線段為2個小長方形的寬加1個小長方形的長，線段為1個小長方形的寬加1個小長方形的長，列出式子并化簡即可；
（2）區域①的面積為長，寬的長方形的面積減去一個邊長為的小正方形的面積列式化簡即可得出；區域②的面積：長為小長方形紙片的長，寬為的長方形的面積加上一個邊長為的小正方形的面積列式化簡即可得出；
（3）將兩式相減化簡后，將值代入即可得出答案．
【詳解】（1）小長方形紙片寬為，長為b
，
故答案為：，；
（2）由圖可知，，，
，
區域①的面積為：
區域②的面積為：
；
（3）由（2）知，區域①的面積為：，區域②的面積為：
區域①、區域②的面積的差為：
當=，時，原式
【題型3 利用整式的乘法求字母的值】
【方法總結】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數為0,可利用方程思想求字母的值.
【例3】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如與，，則M與N互為“組合多項式”，它們的“組合數”為3．
(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；
①與；②與；③與．
(2)多項式與（m，n為常數）互為“組合多項式”，求它們的“組合數”；
(3)關于x的多項式與的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m，n的值；若不能，請說明理由．
【答案】(1)②③
(2)
(3)能，，
【分析】本題主要考查了整式四則混合運算、求代數式值，準確理解新定義是解題的關鍵．
（1）運用題目中的定義進行逐一計算、辨別；
（2）先運用題目中的定義求得m，n的值，再代入求解；
（3）先求得，，再將根據“組合數”為0，列方程解方程即可；
【詳解】（1） ，不是常數，
①組多項式不是互為“組合多項式”；
，是常數，
②組多項式是互為“組合多項式”；
，2是常數，
③組多項式是互為“組合多項式”，
故答案為：②③
（2）
，
，
與（m，n為常數）互為“組合多項式”，
，，為常數，
解得：，，
，
它們的“組合數”為3；
（3）能為0，理由如下：
，，
，
若C和D的“組合數”能為0，
解得：．
【變式3-1】（23-24七年級·山東濟南·期中）已知，，，若的值與x的取值無關，則a的值為（ ）
A． B．3 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了整式的運算，正確化簡是解本題的關鍵．
先求出，再根據取值與x無關，得出，即可解答．
【詳解】解：∵，，，
∴
，
∵的值與x的取值無關，
∴，
解得：，
故選：A．
【變式3-2】（23-24七年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關于的整式乘法題：，由于甲抄錯了的符號，得到的結果是，請你計算出a，b的值，并計算出這道整式乘法題的正確結果．
【答案】，，．
【分析】本題考查了整式的混合運算，先利用整式的混合運算法則進行化簡，得，進而可得，，再將其代入原式即可求解，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵 ．
【詳解】解：
，
，，
，，
．
【變式3-3】（23-24七年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：的結果是一個多項式，并且最高次項為：，常數項為：，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數．根據嘗試和總結他發現：一次項系數就是：，即一次項為．
請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．
（1）計算所得多項式的一次項系數為______．
（2）若計算所得多項式不含一次項，求的值；
（3）若，則______．
【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．
【分析】根據題意可得出結論多項式和多項式相乘所得結果的一次項系數是每個多項式的一次項系數分別乘以其他多項式的常數項后相加所得．
（1）中每個多項式的一次項系數分別是1、3、5，常數項分別是2、1、-3，再根據結論即可求出所得多項式的一次項系數．
（2）中每個多項式的一次項系數分別是1、-3、2，常數項分別是1、a、-1，再根據所得多項式的一次項系數為0，結合結論即可列關于a的一元一次方程，從而求出a．
（3）中每個多項式一次項系數為1，常數項系數也為1，為所得多項式的一次項系數．所以根據結論為2121個相加，即可得出結果．
【詳解】（1）根據題意可知的一次項系數為：
．
故答案為-11．
（2）根據題意可知的一次項系數為：
∵該多項式不含一次項，即一次項系數為0，
∴
解得．
（3）根據題意可知即為所得多項式的一次項系數．
∴
故答案為2021
【點睛】本題考查多項式乘多項式以及對多項式中一次項系數的理解，根據題意找出多項式乘多項式所得結果的一次項系數與多項式乘多項式中每個多項式的一次項系數和常數項關系規律是解題關鍵．
【題型4 運用冪的乘方比較大小】
【例4】（23-24七年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到；；等，在解題過程中，根據算式的結構特征，逆向運用冪的運算法則，常可以化繁為簡，化難為易，使問題巧妙獲解．
(1)若，求的值．
(2)比較大小：若，，，則，，的大小關系是什么
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用冪的乘方及同底數冪的乘法的逆運算求解．
（2）將a、b、c化簡為相同的指數進行比較大小．
【詳解】（1）解：
解得：
（2）解：
【點睛】此題考查了冪的計算法則及拓展應用，解題的關鍵是正確運用計算法則及逆運算．
【變式4-1】（23-24七年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：
（1）已知，比較a、b、c的大小關系;
（2）比較這4個數的大小關系;
（3）已知，比較P、Q的大小關系;
（4）_______（填“>”“<”或“=”）.
【答案】（1 ;(2) ;(3) ;(4) ．
【分析】（1）根據冪的乘方公式，化為底數是3的形式進行比較；（2）根據冪的乘方公式，化為指數是11的形式進行比較；（3）用求商法比較大小；（4）由易得結果.
【詳解】（1)因為，，，所以．
(2)因為，，，，，所以．
(3)因為，所以.
(4)因為，所以．
【點睛】考核知識點：冪的乘方運用.靈活運用冪的運算性質比較數的大小.
【變式4-2】（23-24七年級·湖南岳陽·期中）已知，，，試比較a，b，c的大小并用“”把它們連接起來： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了有理數比較大小，冪的乘方的逆運算，冪的乘方計算，先根據冪的乘方和冪的乘方的逆運算法則得到，，據此可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式4-3】（23-24七年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數相同的形式，另一種是將冪化為指數相同的形式，請閱讀下列材料：若，，則的大小關系是______（填“”或“”．）
解：，，且，
，
類比閱讀材料的方法，解答下列問題：
(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質：______；
A．同底數冪的乘法 B．同底數冪的除法 C．冪的乘方 D．積的乘方
(2)比較的大小；
(3)比較與的大小；
(4)已知，，．求之間的等量關系．
【答案】(1)C
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運算和冪的乘方運算，同底數冪乘法計算：
（1）根據冪的乘方的逆運算法則判斷即可；
（2）根據冪的乘方計算法則及其逆運算法則得到，，，據此可得答案；
（3）根據冪的乘方計算法則及其逆運算法則得到，，據此可得答案；
（4）根據得到，進而得到，則．
【詳解】（1）解：由題意得，上述求解過程中，逆用了冪的乘方計算法則，
故答案為：C；
（2）解：∵，，，且，
∴；
（3）解：∵，，且，
∴．
（4）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【考點2 乘法公式】
1．平方差公式
（1）平方差公式
語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特點
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
③公式中的a和b可以表示具體的數或單項式，也可以是多項式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
語言敘述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．
3．添括號法則
法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．
（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．
（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．
（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．
【題型5 利用乘法公式化簡求值】
【方法總結】解題時要注意分析算式的結構特征,符合“兩個數的和與這兩個數的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.
【例5】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）已知，．求代數式下列代數式的值：①②．
【答案】①11；②
【分析】本題考查了完全平方公式的變形應用，掌握完全平方公式及其變形形式是解題的關鍵．
①由完全平方公式得，整體代入即可求解；
②先求出，再開方即可．
【詳解】解：①∵，
∴；
②，
∴．
【變式5-1】（23-24七年級·貴州畢節·期中）已知，求的值
【答案】23
【分析】本題考查了運用完全平方公式變形求值，先運用完全平方公式將展開，再求出的值即可．
【詳解】，
即，
．
【變式5-2】（23-24七年級·湖南永州·階段練習）已知：，，求：
(1)；
(2)的值
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查野運用完全平方公式求代數式的值，熟練運用完全平方公式是正確解決本題的關鍵．
（1）根據完全平方公式，即可解答．
（2）根據完全平方公式，即可解答．
【詳解】（1）解：由，，
∴，①
，②
得：，
．
（2）解，由，，
∴，①
，②
得：，．
，
的值為．
【變式5-3】（23-24七年級·貴州畢節·期中）（1）已知，，求和的值；
（2）已知，，求和的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1），
（2），
（3）5
【分析】本題考查的是利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題的關鍵．
（1）利用完全平方公式變形，計算即可．
（2）利用完全平方公式變形，計算即可．
（3）利用完全平方公式變形，計算即可．
【詳解】解：（1），
，
，
，
，，
；
（2），，
①，②，
①②，得，
，
①②，得，
；
（3），
，
，
，
．
【題型6 利用乘法公式解方程或不等式】
【例6】（23-24七年級·上海寶山·期中）解不等式：．
【答案】．
【分析】此題主要考查完全平方公式，平方差公式及一元一次不等式的解法，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題的關鍵，先根據完全平方公式，平方差公式去括號化簡，再按照一元一次不等式的解法求解即可．
【詳解】解： ．
．
【變式6-1】（23-24七年級·廣東深圳·階段練習）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查整式運算，涉及解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握、運用整式運算法則．
（1）利用多項式乘以多項式化簡，再按照解方程步驟即可得解．
（2）利用多項式乘以多項式化簡，再按照解方程步驟即可得解．
【詳解】（1）解：去括號，得．
移項，合并同類項，得．
系數化為1，得．
（2），
，
，
．
【變式6-2】（23-24七年級·上海靜安·期中）解不等式：．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式與平方差公式將不等式化簡為一元一次不等式，然后按照去分母、去括號、移項、合并、系數化為1的步驟求解即可．
【詳解】解：將原不等式變形為：
即：，
去分母，得
移項合并，得
系數化為1，得；
故不等式的解集為：．
【點睛】此題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握利用乘法公式化簡計算以及熟悉解一元一次不等式的方法步驟是解答此題的關鍵．
【變式6-3】（23-24七年級·湖北·階段練習）計算
(1)解方程：；
(2)解不等式：.
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查整式的乘法運算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
（1）方程整理后，移項合并，把系數化為，即可求出解；
（2）不等式整理后，移項合并，把x系數化為，即可求出解集．
【詳解】（1）解：
；
（2）
【題型7 乘法公式的整體應用】
【例7】（23-24七年級·甘肅張掖·階段練習）計算： ．
【答案】
【分析】本題主要考查完全平方公式，運用完全平方公式將括號展開即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【變式7-1】（23-24七年級·上海青浦·期中）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式展開即可得到結果，能熟練理解和靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．
【詳解】原式，
，
，
．
故答案為：
【變式7-2】（23-24七年級·上海·階段練習）計算：
【答案】
【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式變形為，再利用平方差公式去括號，接著利用完全平方公式去括號即可得到答案．
【詳解】解：
．
【變式7-3】（23-24七年級·上海寶山·期中）計算：．
【答案】．
【分析】本題考查了整式的混合運算，原式利用完全平方公式，以及平方差公式計算即可求出值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【詳解】解：
．
【題型8 利用乘法公式解決規律探究問題】
【例8】（23-24七年級·四川成都·期中）如果一個正整數能夠表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”．因為，，，，……，所以按從小到大的順序，“智慧數”依次為3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此規律，2024是第 個“智慧數”．
【答案】1516
【分析】本題考查了新定義“智慧數”以及平方差公式的運用；分別考慮奇數、4的倍數的數，及被4除余2與3的數；設兩個數分別為，其中，且k為整數，即，表明大于1的奇數都是“智慧數”；考慮，表明大于4的4的倍數都是“智慧數”；證明不是“智慧數”；據此可以判斷自然數中的 “智慧數”；找到規律后，即可完成求解．
【詳解】解：對于相鄰兩個自然數，其中，且k為整數，
由于， k為正整數，
因而和就是兩個自然數，
表明大于1的奇數都是“智慧數”；
對于兩個自然數，其中，且k為整數，
則，表明大于4的4的倍數都是“智慧數”；
對于的自然數，下面證明它不是“智慧數”；
若它是“智慧數”，則必有m、n，滿足，
當m、n奇偶性不同時，都是奇數，其積也是奇數，但上式左邊是偶數，矛盾，即不是“智慧數”；是奇數，故是“智慧數”；
綜上知，所有正整數中，1、4及不是“智慧數”外，其余都是“智慧數”；
則“智慧數”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前兩個3與5外，其余都是3個一組的連續整數，且中間一個數為4的倍數，且2024所在的組三個數為：2023，2024，2025，而2022則不是“智慧數”，由于，即從2開始到2022，形如的數共有506個數不是“智慧數”，去掉1與4兩個，共有508個數不是“智慧數”，故2024是第個“智慧數”；
故答案為：1516．
【變式8-1】（23-24七年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
按照以上規律．解決下列問題：
（1）第5個等式為： ；
（2）若第個等式為，則 ．
【答案】
【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規律即可解答；
（2）第n個等式為，再將寫成等式結構即可求解．
【詳解】解：（1）觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規律，
可知第5個等式為：，
故答案為：；
（2）第n個等式為，
證明如下：
等式左邊：，
等式右邊：
，
故等式成立．
∵，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查整式規律探索，發現所給數據的規律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．
【變式8-2】（23-24七年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：
………
這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律．請你猜想：
．
【答案】
【分析】本題考查了平方差公式、數字的變化類，根據所列式子所反映的規律得出答案即可，發現規律是解此題的關鍵．
【詳解】解：
………
，
故答案為：．
【變式8-3】（23-24七年級·河南南陽·階段練習）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方的展開式各系數規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了 的展開式的系數規律（按n的次數由大到小的順序）．
1
11
121
1331
14641…
根據上述規律，展開式中含項的系數為 ．
【答案】
【分析】本題考查整式的混合運算、楊輝三角等知識，首先確定是展開式中第三項，先求出的第三項的系數，再把，代入計算即可．
【詳解】解：∵是展開式中第三項，
且第三項系數為1，字母為，
第三項系數為，字母為，
第三項系數為，字母為，
∴第三項系數為，字母為，
當，時第三項系數為，字母為，
即展開式中含項為，
故答案為：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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